Ecuacion Diferencial De Conduccion De Calor.docx

Ing. Mecánica

Ing. ELI GUAYAN H.

Ecuación diferencial de conducción de calor I.

Coordenadas cartesianas T(x, y, z, t)

dQz+dz

dvol

dQx 𝑞̇ 𝑓 z dQy

dQy+dy

𝑞̇ 𝑓 dQx+dx

dQz y

x

Balance de energía (del elemento diferencial): dQ1 + dQ2 = dU… (I) 

PARA dQ1 :

dQ1 = dQ1x + dQ1y + dQ1z … (II) Luego: dQ1x = dQx - dQx+dx dQ1y = dQy – dQy+dy dQ1z = dQz – dQz+dz

… (III)

Hacemos en la dirección del eje “x”, en los otros ejes es similar dQ1x = dQx - dQx+dx … (III’)

Ing. Mecánica

Ing. ELI GUAYAN H.

De la densidad de flujo de calor: 𝑑𝑄

𝑞̇ = 𝑑𝐴𝑑𝑡

Despejando: 𝑑𝑄 = 𝑞̇ 𝑑𝐴𝑑𝑡

[J]

 𝑑𝑄𝑋 = 𝑞̇ 𝑥 . 𝑑𝑦𝑑𝑧. 𝑑𝑡  𝑑𝑄𝑋+𝑑𝑥 = 𝑞̇ 𝑥+𝑑𝑥 . 𝑑𝑦𝑑𝑧. 𝑑𝑡 Pero: 𝑞̇ 𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞̇ 𝑥 +

𝜕𝑞̇ 𝑥 𝜕𝑥

. 𝑑𝑥

Entonces: 𝑑𝑄𝑋+𝑑𝑥 = (𝑞̇ 𝑥+𝑑𝑥 = 𝑞̇ 𝑥 +

𝜕𝑞̇ 𝑥 . 𝑑𝑥). 𝑑𝑦𝑑𝑧. 𝑑𝑡 𝜕𝑥

Luego en la ecuación (III’) dQ1x = 𝑞̇ 𝑥 . 𝑑𝑦𝑑𝑧. 𝑑𝑡 − 𝑞̇ 𝑥 . 𝑑𝑦𝑑𝑧. 𝑑𝑡 − dQ1x = −

𝜕𝑞̇ 𝑥 . 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧. 𝑑𝑡 𝜕𝑥

𝜕𝑞̇ 𝑥 . 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧. 𝑑𝑡 𝜕𝑥

Para los ejes “y” “z” dQ1y = − dQ1z = −

𝜕𝑞̇ 𝑦 𝜕𝑦

. 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧. 𝑑𝑡

𝜕𝑞̇ 𝑧 . 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧. 𝑑𝑡 𝜕𝑧

Ahora, reemplazando en la ecuación (II) 𝑑𝑄1 = −(

𝜕𝑞̇ 𝑥 𝜕𝑞̇ 𝑦 𝜕𝑞̇ 𝑧 + + )𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧. 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Se tiene también: 𝑞̇ = −𝑘

𝜕𝑇 𝜕𝑛

𝜕𝑇

, entonces: 𝑞𝑥̇ = −𝑘 𝜕𝑥

𝜕𝑇

𝑞𝑦̇ = −𝑘 𝜕𝑦 𝜕𝑇

𝑞𝑧̇ = −𝑘 𝜕𝑧 Con k= constante

𝜕 2𝑇 𝜕 2𝑇 𝜕 2𝑇 𝑑𝑄1 = 𝑘[ 2 + 2 + 2 ]𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧. 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧

Ing. Mecánica 

Ing. ELI GUAYAN H. PARA EL CALOR “GENERADO” POR LAS FUENTES INTERNAS dQ2 :

𝑑𝑄2 = 𝑞̇ 𝑓 . 𝑑𝑣𝑜𝑙. 𝑑𝑡 𝑑𝑄2 = 𝑞̇ 𝑓 . 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧. 𝑑𝑡 

PARA LA VARIACIÓN DE LA ENERGÍA INTERNA dU:

𝑑𝑈 = 𝑑𝑚. 𝐶. 𝑑𝑇 𝑑𝑈 = 𝜌. 𝑑𝑣𝑜𝑙. 𝐶. 𝑑𝑇 𝑑𝑈 = 𝜌. 𝑑𝑣𝑜𝑙. 𝐶.

𝜕𝑇 𝑑𝑡 𝜕𝑡

Pero: CP ≈CV = C 𝑑𝑈 = 𝜌. 𝐶𝑃 . 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧.

𝜕𝑇 𝑑𝑡 𝜕𝑡

Ahora, reemplazando en la ecuación (I) 𝜕 2𝑇 𝜕 2𝑇 𝜕 2𝑇 𝑘 [ 2 + 2 + 2 ] 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧. 𝑑𝑡 + 𝑞̇ 𝑓 . 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧. 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑇 = 𝜌. 𝐶𝑃 . 𝑑𝑥. 𝑑𝑦. 𝑑𝑧. 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝜕 2𝑇 𝜕 2𝑇 𝜕 2𝑇 𝜕𝑇 𝑘 [ 2 + 2 + 2 ] + 𝑞̇ 𝑓 = 𝜌. 𝐶𝑃 . 𝑑𝑡 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜕𝑡

Todo entre 𝜌. 𝐶𝑃

𝑞̇ 𝑓 𝑘 𝜕 2𝑇 𝜕 2𝑇 𝜕 2𝑇 𝜕𝑇 [ 2 + 2+ 2 ]+ = 𝜌. 𝐶𝑃 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜌. 𝐶𝑃 𝜕𝑡 Pero: 𝑎 = 𝑘⁄𝜌. 𝐶 (difusividad térmica) 𝑃

𝑞̇ 𝑓 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 𝜕2𝑇 𝜕𝑇 𝑎[ 2 + 2 + 2 ]+ = 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝜌. 𝐶𝑃 𝜕𝑡

Ing. Mecánica II.

Ing. ELI GUAYAN H.

COORDENADAS CILÍNDRICAS

CALCULO DE AREAS DEL ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUMEN:  según la dirección radial (r):

𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧  Según la dirección de (θ)

𝑑𝐴 = 𝑑𝑟𝑑𝑧

𝑑𝐴 = (𝑟 + 𝑑𝑟)𝑑𝜃𝑑𝑧

Ing. Mecánica

Ing. ELI GUAYAN H.

 Según la dirección de (z) Área del trapecio: 𝑟𝑑𝜃 + (𝑟 + 𝑑𝑟)𝑑𝜃 𝑑𝐴 = ( )𝑑𝑟 2 𝑟𝑑𝜃 + 𝑟𝑑𝜃 + 𝑑𝑟𝑑𝜃 𝑑𝐴 = ( )𝑑𝑟 2 𝑑𝑟 2 𝑑𝜃 𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟 + 2 pero: 𝑑𝑟 2 = 0 , muy pequeño 𝑑𝐴 = 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟

ECUACIÓN: 𝑑𝑄1 + 𝑑𝑄2 = 𝑑𝑈 …(I) 𝑑𝑄1 = 𝑑𝑄1𝑟 + 𝑑𝑄1𝜃 + 𝑑𝑄1𝑧 …(II)  Para la dirección de (r): 𝑑𝑄1𝑟 = 𝑑𝑄𝑟 − 𝑑𝑄𝑟+𝑑𝑟 …(*) Se sabe que: 𝑑𝑄 = 𝑞̇ 𝑑𝐴𝑑𝑡 𝑑𝑄𝑟 = 𝑞̇ 𝑟 . 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 𝑑𝑄𝑟+𝑑𝑟 = 𝑞̇ 𝑟+𝑑𝑟 . (𝑟 + 𝑑𝑟)𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑞̇

Pero: 𝑞̇ 𝑟+𝑑𝑟 = 𝑞̇ 𝑟 + 𝜕𝑟 . 𝑑𝑟 , luego: 𝜕𝑞̇ . 𝑑𝑟)(𝑟 + 𝑑𝑟)𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑟 𝜕𝑞̇ = 𝑞̇ 𝑟 (𝑟 + 𝑑𝑟)𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 + . 𝑑𝑟(𝑟 + 𝑑𝑟)𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑟 𝜕𝑞̇ 𝜕𝑞̇ = 𝑞̇ 𝑟 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 + 𝑞̇ 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 + . 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 + . 𝑑𝑟 2 𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 ,

𝑑𝑄𝑟+𝑑𝑟 = (𝑞̇ 𝑟 + 𝑑𝑄𝑟+𝑑𝑟 𝑑𝑄𝑟+𝑑𝑟

𝜕𝑟

𝜕𝑟

Pero 𝑑𝑟 2 = 0 𝑑𝑄𝑟+𝑑𝑟 = 𝑞̇ 𝑟 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 + 𝑞̇ 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 +

𝜕𝑞̇ . 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑟

Entonces en: 𝑑𝑄1𝑟 = 𝑑𝑄𝑟 − 𝑑𝑄𝑟+𝑑𝑟 Reemplazando: 𝑑𝑄1𝑟 = 𝑞̇ 𝑟 . 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 − 𝑞̇ 𝑟 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 − 𝑞̇ 𝑟 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 − 𝑑𝑄1𝑟 = −(𝑞̇ 𝑟 +

𝜕𝑞̇ . 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑟

𝜕𝑞̇ 𝑟 . 𝑟)𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑟

Ing. Mecánica

Ing. ELI GUAYAN H.

 Para la dirección de (θ): 𝑑𝑄1𝜃 = 𝑑𝑄𝜃 − 𝑑𝑄𝜃+𝑑𝜃 …(**) Se sabe que: 𝑑𝑄 = 𝑞̇ 𝑑𝐴𝑑𝑡 𝑑𝑄𝜃 = 𝑞̇ 𝜃 . 𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝑡 𝑑𝑄𝜃+𝑑𝜃 = 𝑞̇ 𝜃+𝑑𝜃 . 𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑞̇

𝜃 Pero: 𝑞̇ 𝜃+𝑑𝜃 = 𝑞̇ 𝜃 + 𝜕(𝑟𝜃) . 𝑑𝜃 , luego:

𝜕𝑞̇ 𝜃 . 𝑑𝜃)𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕(𝑟𝜃) 𝜕𝑞̇ 𝜃 = 𝑞̇ 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝑡 + . 𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕(𝑟𝜃)

𝑑𝑄𝜃+𝑑𝜃 = (𝑞̇ 𝜃 + 𝑑𝑄𝜃+𝑑𝜃

Entonces reemplazando en: 𝑑𝑄1𝜃 = 𝑑𝑄𝜃 − 𝑑𝑄𝜃+𝑑𝜃 𝜕𝑞̇ 𝜃 𝑑𝑄1𝜃 = 𝑞̇ 𝜃 . 𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝑡 − 𝑞̇ 𝜃 𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝑡 − . 𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕(𝑟𝜃) 𝜕𝑞̇

𝜃 𝑑𝑄1𝜃 = − 𝜕(𝑟𝜃) . 𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝑡 , para r=constante

1 𝜕𝑞̇ 𝜃 𝑑𝑄1𝜃 = − . . 𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝑡 𝑟 𝜕𝜃

 Para la dirección de (z): 𝑑𝑄1𝑧 = 𝑑𝑄𝑧 − 𝑑𝑄𝑧+𝑑𝑧 …(***) Se sabe que: 𝑑𝑄 = 𝑞̇ 𝑑𝐴𝑑𝑡 𝑑𝑄𝑧 = 𝑞̇ 𝑧 . 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑡 𝑑𝑄𝑧+𝑑𝑧 = 𝑞̇ 𝑧+𝑑𝑧 . 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑡 𝜕𝑞̇

Pero: 𝑞̇ 𝑧+𝑑𝑧 = 𝑞̇ 𝑧 + 𝜕𝑧𝑧 . 𝑑𝑧 , luego: 𝜕𝑞̇ 𝑧 𝑑𝑄𝑧+𝑑𝑧 = (𝑞̇ 𝑧 + . 𝑑𝑧)𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑡 𝜕𝑧 𝜕𝑞̇ 𝑧 𝑑𝑄𝑧+𝑑𝑧 = 𝑞̇ 𝑧 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑡 + . 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑧 Entonces reemplazando en: 𝑑𝑄1𝑧 = 𝑑𝑄𝑧 − 𝑑𝑄𝑧+𝑑𝑧 𝜕𝑞̇ 𝑧 . 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑧 𝜕𝑞̇ 𝑧 =− . 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑧

𝑑𝑄1𝑧 = 𝑞̇ 𝑧 . 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑡 − 𝑞̇ 𝑧 𝑟𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑡 − 𝑑𝑄1𝑧

Ing. Mecánica

Ing. ELI GUAYAN H.

Luego reemplazando todo en la formula (II): 𝑑𝑄1 = 𝑑𝑄1𝑟 + 𝑑𝑄1𝜃 + 𝑑𝑄1𝑧 𝜕𝑞̇ 𝑟 1 𝜕𝑞̇ 𝜃 𝜕𝑞̇ 𝑧 . 𝑟)𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 − . . 𝑑𝜃𝑑𝑟𝑑𝑧𝑑𝑡 − . 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝑞̇ 𝑟 1 𝜕𝑞̇ 𝜃 𝜕𝑞̇ 𝑧 𝑑𝑄1 = −[𝑞̇ 𝑟 + 𝑟. + . + 𝑟. ]𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝑑𝑄1 = −(𝑞̇ 𝑟 +

𝜕𝑇

Pero: 𝑞̇ = −𝑘 𝜕𝑛 En los tres ejes: 𝜕𝑇

𝜕𝑇

𝜕𝑇

𝑞̇ 𝑟 = −𝑘 𝜕𝑟 , 𝑞̇ 𝜃 = −𝑘 𝜕𝜃, 𝑞̇ 𝑧 = −𝑘 𝜕𝑧 Reemplazando: 𝑑𝑄1 = −𝑘[

𝜕𝑇 𝜕 2𝑇 1 𝜕 2𝑇 𝜕 2𝑇 + 𝑟. 2 + . 2 + 𝑟. 2 ]𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧

CALOR DEBIDO O GENERADO POR LAS FUENTES INTERNAS DE CALOR DURANTE dt: 𝑑𝑄2 = 𝑞̇ 𝑓 𝑑𝑣. 𝑑𝑡 , donde: 𝑑𝑣 = 𝑑𝐴. 𝑑𝑡 = 𝑟. 𝑑𝜃. 𝑑𝑟. 𝑑𝑧 𝑑𝑄2 = 𝑞̇ 𝑓 . 𝑟. 𝑑𝜃. 𝑑𝑟. 𝑑𝑧𝑑𝑡

PARA EL dU: 𝑑𝑈 = 𝑑𝑚. 𝐶. 𝑑𝑇 = 𝜌. 𝑑𝑣. 𝐶. 𝑑𝑇 𝜕𝑇 𝑑𝑈 = 𝜌. 𝐶. 𝑑𝑣. 𝑑𝑡 𝜕𝑡 𝑑𝑈 = 𝜌. 𝐶. 𝑟. 𝑑𝜃. 𝑑𝑟. 𝑑𝑧. 𝑑𝑡.

𝜕𝑇 𝜕𝑡

Reemplazando en la ecuación general (I): 𝑑𝑄1 + 𝑑𝑄2 = 𝑑𝑈 𝜕𝑇 𝜕 2𝑇 1 𝜕 2𝑇 𝜕 2𝑇 −𝑘[ + 𝑟. 2 + . 2 + 𝑟. 2 ]𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑧𝑑𝑡 + 𝑞̇ 𝑓 . 𝑟. 𝑑𝜃. 𝑑𝑟. 𝑑𝑧𝑑𝑡 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝑇 = 𝜌. 𝐶. 𝑟. 𝑑𝜃. 𝑑𝑟. 𝑑𝑧. 𝑑𝑡. 𝜕𝑡 𝜕𝑇 𝜕 2𝑇 1 𝜕 2𝑇 𝜕 2𝑇 𝜕𝑇 −𝑘 [ + 𝑟. 2 + . 2 + 𝑟. 2 ] + 𝑞̇ 𝑓 = 𝜌. 𝐶. 𝑟. 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜕𝑡 2 2 2 𝑞̇ 𝑓 𝑘 1 𝜕𝑇 𝜕 𝑇 1 𝜕 𝑇 𝜕 𝑇 𝜕𝑇 − [ + 2 + 2 . 2 + 2] + = 𝜌𝐶 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑧 𝜌𝐶 𝜕𝑡

𝒒̇ 𝒇 𝝏𝟐 𝑻 𝟏 𝝏𝑻 𝟏 𝝏𝟐 𝑻 𝝏𝟐 𝑻 𝝏𝑻 𝒂[ 𝟐 + + 𝟐 . 𝟐 + 𝟐] + = 𝝏𝒓 𝒓 𝝏𝒓 𝒓 𝝏𝜽 𝝏𝒛 𝝆𝑪 𝝏𝒕

Ing. Mecánica III.

Ing. ELI GUAYAN H.

COORDENADAS ESFÉRICAS

CALCULO DE AREAS DEL ELEMENTO DIFERENCIAL DE VOLUMEN:  En la dirección radial(r):

[𝑟 sin ∅𝑑𝜃 + 𝑟 sin(∅ + 𝑑∅)][𝑟𝑑∅] 2 𝐴𝑟 = 𝑟 2 sin ∅ 𝑑𝜃𝑑∅ 𝐴𝑟 =

Ing. Mecánica

Ing. ELI GUAYAN H.

𝐴𝑟+𝑑𝑟 =

[(𝑟 + 𝑑𝑟) sin ∅𝑑𝜃 + (𝑟 + 𝑑𝑟) sin(∅ + 𝑑∅)𝑑𝜃][(𝑟 + 𝑑𝑟)𝑑∅] 2

𝐴𝑟+𝑑𝑟 =

𝑟 2 sin ∅𝑑𝜃𝑑∅ + 2𝑟 sin ∅𝑑𝜃 𝑑𝑟𝑑∅

 En la dirección azimutal(θ): [𝑟𝑑∅ + (𝑟 + 𝑑𝑟)𝑑𝜃][𝑑𝑟] 2 𝐴𝜃 = 𝑟𝑑𝑟𝑑∅ 𝐴𝜃 =

𝐴𝜃+𝑑𝜃 = 𝐴𝜃 = 𝑟𝑑𝑟𝑑∅

 En la dirección cenital(Ф): Se eliminan los diferenciales (𝑑𝜑)2 y (𝑑𝑟)2 y se expande sin(𝜑 + 𝑑𝜑) = sin 𝜑 + cos 𝜑 𝑑𝜑 Ahora: 𝐴∅ =

[𝑟 sin ∅ 𝑑𝜃 + (𝑟 + 𝑑𝑟) sin ∅ 𝑑𝜃][𝑑𝑟] 2

𝐴∅ = 𝑟 sin ∅ 𝑑𝑟𝑑𝜃

[(𝑟 + 𝑑𝑟) sin( ∅ + 𝑑∅) 𝑑𝜃 + 𝑟 sin(∅ + 𝑑∅) 𝑑𝜃][𝑑𝑟] 2 = 𝑟 sin(∅ + 𝑑∅)𝑑𝑟 𝑑𝜃 = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃[sin ∅ cos 𝑑∅ + cos ∅ sin 𝑑∅] = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃[sin ∅ cos 𝑑∅ + cos ∅ sin 𝑑∅] = 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃[sin ∅ + cos ∅ 𝑑∅]

𝐴∅+𝑑∅ = 𝐴∅+𝑑∅ 𝐴∅+𝑑∅ 𝐴∅+𝑑∅ 𝐴∅+𝑑∅

𝐴∅+𝑑∅ = 𝑟 sin ∅ . 𝑑𝑟𝑑𝜃 + 𝑟 cos ∅ . 𝑑∅]𝑑𝑟𝑑𝜃

ECUACIÓN: 𝑑𝑄1 + 𝑑𝑄2 = 𝑑𝑈 …(I) 𝑑𝑄1 = 𝑑𝑄1𝑟 + 𝑑𝑄1𝜃 + 𝑑𝑄1∅ …(II)

Ing. Mecánica

Ing. ELI GUAYAN H.

 En la dirección radial(r): 𝑑𝑄1𝑟 = 𝑑𝑄𝑟 − 𝑑𝑄𝑟+𝑑𝑟 …(*) Se sabe que: 𝑑𝑄 = 𝑞̇ 𝑑𝐴𝑑𝑡 2

se elimina el diferencial (𝑑𝑟) 𝑑𝑄𝑟 = 𝑞̇ 𝑟 . 𝐴𝑟 𝑑𝑡 = 𝑞̇ 𝑟 𝑟 2 sin ∅ 𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑡 𝑑𝑄𝑟+𝑑𝑟 = 𝑞̇ 𝑟+𝑑𝑟 . 𝐴𝑟+𝑑𝑟 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑟 = [𝑞̇ 𝑟 + 𝑑𝑟] (𝑟 2 sin ∅ 𝑑𝜃𝑑∅ + 2𝑟 sin ∅ 𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑟)𝑑𝑡 𝜕𝑟 𝑑𝑄𝑟+𝑑𝑟 = 𝑞̇ 𝑟 𝑟 2 sin ∅ 𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑡 + 𝑞̇ 𝑟 2𝑟 sin ∅ 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑟 2 + 𝑟 sin ∅ 𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝑡 𝜕𝑟 Luego reemplazando en: 𝑑𝑄1𝑟 = 𝑑𝑄𝑟 − 𝑑𝑄𝑟+𝑑𝑟 𝑑𝑄1𝑟 = 𝑞̇ 𝑟 𝑟 2 sin ∅ 𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑡 − 𝑞̇ 𝑟 𝑟 2 sin ∅ 𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑡 − 𝑞̇ 𝑟 2𝑟 sin ∅ 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ 𝑟 2 − 𝑟 sin ∅ 𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝑡 𝜕𝑟 𝑑𝑄1𝑟 = −[2𝑞̇ 𝑟 + 𝑟

𝜕𝑞̇ 𝑟 ]r sin ∅ 𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝑡 𝜕𝑟

 En la dirección azimutal(θ): 𝑑𝑄1𝜃 = 𝑑𝑄𝜃 − 𝑑𝑄𝜃+𝑑𝜃 …(**) Se sabe que: 𝑑𝑄 = 𝑞̇ 𝑑𝐴𝑑𝑡 2

se elimina el diferencial (𝑑𝜃) 𝑑𝑄𝜃 = 𝑞̇ 𝜃 . 𝐴𝜃 𝑑𝑡 = 𝑞̇ 𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑡 𝑑𝑄𝜃+𝑑𝜃 = 𝑞̇ 𝜃+𝑑𝜃 . 𝐴𝜃+𝑑𝜃 𝑑𝑡 = [𝑞̇ 𝜃 +

𝜕𝑞̇ 𝜃 𝑑𝜃] 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑡 𝜕𝜃

𝜕𝑞̇ 𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑡 𝜕𝜃 Luego reemplazando en: 𝑑𝑄1𝜃 = 𝑑𝑄𝜃 − 𝑑𝑄𝜃+𝑑𝜃 𝑑𝑄𝜃+𝑑𝜃 = 𝑞̇ 𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑡 +

𝑑𝑄1𝜃 = 𝑞̇ 𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑡 − 𝑞̇ 𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑∅𝑑𝑡 − 𝑑𝑄1𝜃 = −

𝜕𝑞̇ 𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑡 𝜕𝜃

𝜕𝑞̇ 𝜃 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑡 𝜕𝜃

Ing. Mecánica

Ing. ELI GUAYAN H.

 En la dirección cenital(Ф): 𝑑𝑄1∅ = 𝑑𝑄∅ − 𝑑𝑄∅+𝑑∅ …(***) Se sabe que: 𝑑𝑄 = 𝑞̇ 𝑑𝐴𝑑𝑡 2

se elimina el diferencial (𝑑∅) 𝑑𝑄∅ = 𝑞̇ ∅ . 𝐴∅ 𝑑𝑡 = 𝑞̇ ∅ 𝑟 sin ∅ 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡 𝑑𝑄∅+𝑑∅ = 𝑞̇ ∅+𝑑∅ . 𝐴∅+𝑑∅ 𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ ∅ = [𝑞̇ ∅ + 𝑑∅] [𝑟 sin ∅ 𝑑𝑟𝑑𝜃 + 𝑟 cos ∅ 𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝜃]𝑑𝑡 𝜕∅ 𝜕𝑞̇ ∅ 𝑑𝑄∅+𝑑∅ = 𝑞̇ ∅ 𝑟 sin ∅ 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡 + 𝑞̇ ∅ 𝑟 cos ∅ 𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡 + 𝑟 sin ∅ 𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡 𝜕∅ Luego reemplazando en: 𝑑𝑄1∅ = 𝑑𝑄∅ − 𝑑𝑄∅+𝑑∅ 𝑑𝑄1∅ = 𝑞̇ ∅ 𝑟 sin ∅ 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡 − 𝑞̇ ∅ 𝑟 sin ∅ 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡 − 𝑞̇ ∅ 𝑟 cos ∅ 𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡 𝜕𝑞̇ ∅ − 𝑟 sin ∅ 𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡 𝜕∅ 𝑑𝑄1∅ = −

𝜕𝑞̇ ∅ 𝑟 sin ∅ 𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡 − 𝑞̇ ∅ 𝑟 cos ∅ 𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡 𝜕∅

Luego reemplazando todo en la formula (II): 𝑑𝑄1 = 𝑑𝑄1𝑟 + 𝑑𝑄1𝜃 + 𝑑𝑄1∅ 𝜕𝑞̇ 𝑟 𝜕𝑞̇ 𝜃 ] r sin ∅ 𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝑡 − 𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑡 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕𝑞̇ ∅ +− 𝑟 sin ∅ 𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡 − 𝑞̇ ∅ 𝑟 cos ∅ 𝑑∅𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑𝑡 𝜕∅ 𝜕𝑞̇ 𝑟 𝜕𝑞̇ 𝜃 𝜕𝑞̇ ∅ 𝑑𝑄1 = − [2𝑞̇ 𝑟 sin ∅ + 𝑟 sin ∅ + + sin ∅ + 𝑞̇ ∅ cos ∅] r𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑡 𝜕𝑟 𝜕𝜃 𝜕∅ 𝑑𝑄1 = − [2𝑞̇ 𝑟 + 𝑟

𝜕𝑇

Pero: 𝑞̇ = −𝑘 𝜕𝑛 En los tres ejes: 𝜕𝑇

𝜕𝑇

𝜕𝑇

𝑞̇ 𝑟 = −𝑘 𝜕𝑟 , 𝑞̇ 𝜃 = −𝑘 𝜕(𝑟 sin ∅𝜃), 𝑞̇ ∅ = −𝑘 𝜕(𝑟∅) Pero el diferencial de volumen es: 𝑑𝑉 = 𝑟 2 sin ∅ 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅ Reemplazando: 𝜕𝑇 𝜕 2𝑇 1 𝜕 2 𝑇 sin ∅ 𝜕 2 𝑇 + 𝑟 sin ∅ . 2 + . 2+ . 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 sin ∅ 𝜕𝜃 𝑟 𝜕∅2 cos ∅ 𝜕𝑇 + ]𝑟𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑡 𝑟 𝜕∅

𝑑𝑄1 = 𝑘[2 sin ∅

Ing. Mecánica

Ing. ELI GUAYAN H. 2 𝜕𝑇 𝜕 2 𝑇 1 𝜕 2𝑇 1 𝜕 2𝑇 + 2 + 2 2 . 2 + 2. 2 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝑠𝑖𝑛 ∅ 𝜕𝜃 𝑟 𝜕∅ cos ∅ 𝜕𝑇 2 + ]𝑟 sin ∅ 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅𝑑𝑡 sin ∅ 𝜕∅

𝑑𝑄1 = 𝑘[

𝑑𝑄1 = 𝑘 [

2 𝜕𝑇 𝜕 2 𝑇 1 𝜕 2 𝑇 1 𝜕 2 𝑇 cos ∅ 𝜕𝑇 + 2 + 2 2 . 2 + 2. 2 + ] 𝑑𝑉𝑑𝑡 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝑠𝑖𝑛 ∅ 𝜕𝜃 𝑟 𝜕∅ sin ∅ 𝜕∅

𝑑𝑄1 = 𝑘 [

1 𝜕 2 𝜕𝑇 1 𝜕 2𝑇 1 𝜕 𝜕 2𝑇 (𝑟 ) + . + (sin ∅ )] 𝑑𝑉𝑑𝑡 𝑟 2 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 2 𝑠𝑖𝑛2 ∅ 𝜕𝜃 2 𝑟 2 sin ∅ 𝜕∅ 𝜕∅2

CALOR DEBIDO O GENERADO POR LAS FUENTES INTERNAS DE CALOR DURANTE dt: 𝑑𝑄2 = 𝑞̇ 𝑓 𝑑𝑉. 𝑑𝑡 , donde: 𝑑𝑉 = 𝑟 2 sin ∅ 𝑑𝑟𝑑𝜃𝑑∅ PARA EL dU: 𝑑𝑈 = 𝑑𝑚. 𝐶. 𝑑𝑇 = 𝜌. 𝑑𝑉. 𝐶. 𝑑𝑇 𝜕𝑇 𝑑𝑈 = 𝜌. 𝐶. 𝑑𝑉. 𝑑𝑡 𝜕𝑡

Reemplazando en la ecuación general (I): 𝑑𝑄1 + 𝑑𝑄2 = 𝑑𝑈 1 𝜕 𝜕𝑇 1 𝜕 2𝑇 1 𝜕 𝜕 2𝑇 𝑘 [ 2 (𝑟 2 ) + 2 2 . 2 + 2 (sin ∅ 2 )] 𝑑𝑉𝑑𝑡 + 𝑞̇ 𝑓 𝑑𝑉. 𝑑𝑡 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝑠𝑖𝑛 ∅ 𝜕𝜃 𝑟 sin ∅ 𝜕∅ 𝜕∅ 𝜕𝑇 = 𝜌. 𝐶. 𝑑𝑉. 𝑑𝑡 𝜕𝑡 1 𝜕 2 𝜕𝑇 1 𝜕 2𝑇 1 𝜕 𝜕 2𝑇 𝜕𝑇 𝑘 [ 2 (𝑟 )+ 2 2 . 2 + 2 (sin ∅ 2 )] + 𝑞̇ 𝑓 = 𝜌. 𝐶. 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝑠𝑖𝑛 ∅ 𝜕𝜃 𝑟 sin ∅ 𝜕∅ 𝜕∅ 𝜕𝑡 𝑞̇ 𝑓 𝜕𝑇 𝑘 1 𝜕 2 𝜕𝑇 1 𝜕 2𝑇 1 𝜕 𝜕 2𝑇 [ 2 (𝑟 )+ 2 2 . 2 + 2 (sin ∅ 2 )] + = 𝜌𝐶 𝑟 𝜕𝑟 𝜕𝑟 𝑟 𝑠𝑖𝑛 ∅ 𝜕𝜃 𝑟 sin ∅ 𝜕∅ 𝜕∅ 𝜌𝐶 𝜕𝑡 𝒒̇ 𝒇 𝝏𝑻 𝟏 𝝏 𝟐 𝝏𝑻 𝟏 𝝏𝟐 𝑻 𝟏 𝝏 𝝏𝟐 𝑻 𝒂[ 𝟐 (𝒓 )+ 𝟐 . + (𝐬𝐢𝐧 ∅ )] + = 𝒓 𝝏𝒓 𝝏𝒓 𝒓 𝒔𝒊𝒏𝟐 ∅ 𝝏𝜽𝟐 𝒓𝟐 𝐬𝐢𝐧 ∅ 𝝏∅ 𝝏∅𝟐 𝝆𝑪 𝝏𝒕

Ing. Mecánica

Ing. ELI GUAYAN H.