E....cuacion Diferencial Bernoulli 1111.docx

Introducción

La ecuación diferencial de Bernoulli es una ecuación diferencial ordinaria de primer orden, formulada por Jacob Bernoulli. Esta ecuación fue transformada, por Gottfried Leibniz en 1693 y por Johann Bernoulli en 1697, en una ecuación diferencial lineal de primer orden, mediante la sustitución y1-α = v,1 que se caracteriza por adoptar la forma:

Donde

y

son funciones continuas en un intervalo abierto

α es un número real cualquiera.

y

ECUACION DE BERNOULLI

Nicolaus Bernoulli padre de Jacob Bernoulli, era un importante ciudadano de Basilea, miembro del consejo de la ciudad y magistrado. La madre de Jacob Bernoulli también procedía de una importante familia de Basilea de banqueros y consejeros locales. Jacob Bernoulli era el hermano de Johann Bernoulli y el tío de Daniel Bernoulli. Fue obligado a estudiar filosofía y teología por sus padres, a los que guardó resentimiento, Las primeras contribuciones importantes de Jacob Bernoulli fueron unos documentos sobre los paralelismos entre la lógica y el álgebra publicados en 1685, un trabajo sobre probabilidad2 en 1685 y otro sobre geometría en 1687. Sus resultados en geometría proporcionaron un sistema para dividir cualquier triángulo en cuatro partes iguales con dos líneas perpendiculares.

Descripción de la ecuación En mayo de 1960, publicado en un documento de Acta Eruditorum, demostró que el problema de determinar el isocrono es equivalente a resolver una ecuación diferencial3 no lineal de primer orden. El isocrono, o curva de descenso constante, es la curva junto a la que una partícula descenderá bajo el efecto de la gravedad desde cualquier punto hasta el fondo en exactamente el mismo tiempo, sea cual sea el punto inicial. Había sido estudiado por Huygens en 1687 y por Leibniz en 1689. Tras encontrar la ecuación diferencial, Bernoulli la resolvió mediante lo que hoy llamamos separación de variables. El documento de Bernoulli de 1690 es importante para la historia del cálculo, porque el

término integral aparece por primera vez con su significado de integración. En 1696 Bernoulli resolvió la ecuación que hoy llamamos 'Ecuación de Bernoulli'

y' = p(x)y + q(x)yn donde n es cualquier numero real. NOTA: observe que para n=0 y n=1, la ecuación es lineal. Para n≠0 y n≠1 la sustitución u=𝑦1−𝑛 reduce cualquier ecuación de la forma anterior a una ecuación lineal.

Pasos de resolución

1.

confirmar la forma de Bernoulli

2.

Identificar P(x), f(x), n

3.

Si n ≠ 0, n ≠ 1, la sustitución

4.

Cambio de variable

5.

Realizar la sustitución, dejando la ecuación en la forma lineal.

Solución de una ecuación diferencial de Bernoulli.

Veremos un método de solución por medio de un ejemplo: Dada la ecuación 𝑥

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+ 𝑦 = 𝑥 2𝑦2

primero reescribimos la ecuación como

𝑑𝑦 𝑑𝑥

1

+ 𝑦 = 𝑥𝑦 2 𝑥

por medio de una división de toda la ecuación entre x. Con 𝑛 = 2 tenemos 𝑢 = 𝑦 −1 o 𝑦 = 𝑢−1 . Entonces sustituimos: 𝑑𝑦 𝑑𝑥

=

𝑑𝑦 𝑑𝑢 𝑑𝑢 𝑑𝑥

= −𝑢

𝑑𝑢 𝑑𝑥

←Regla de la cadena

en la ecuación dada y simplificando el resultado es: 𝑑𝑢 1 − 𝑢 = −𝑥 𝑑𝑥 𝑥 Después para obtener el factor integrante para esta ecuación lineal tomamos en, (0,∞), siendo lo siguiente: 𝑑𝑥

𝑒 − ∫ 𝑥 = 𝑒 − ln 𝑥 = 𝑒 ln 𝑥

−1

= 𝑥 −1

Integrando: 𝑑 = [𝑥 −1 𝑢] = −1 𝑑𝑥 1

Se obtiene 𝑥 −1 𝑢 = −𝑥 + 𝑐 o 𝑢 = −𝑥 2 + 𝑐𝑥. Puesto que 𝑢 = 𝑦 −1 , tenemos que 𝑦 = 𝑢 así una solución de la ecuación dada es 𝑦 = 1/(−𝑥 2 + 𝑐𝑥). Nota: no hemos obtenido una solución general de la ecuación diferencial

Conclusión

Para resolver estas ecuaciones debemos tener en cuenta que sean lineal y de primer orden y que su coeficiente es decir el P(x) va a depender de la variable independiente. Y sus pasos correspondientes .GRACIAS