Ecuacion Calor

ETSIT. Ecuaciones Diferenciales. Curso 2007-08 Lecci´ on 6: La ecuaci´ on del calor multidimensional 1.

Origen de la ecuaci´ on

Sea un medio conductor del calor que ocupa una regi´on Ω ⊂ Rd , d = 2 ´o 3. Denotamos por u(r, t) la temperatura del punto r ∈ Ω en el instante t ≥ 0. La transferencia de calor de unas zonas a otras se describe mediante el flujo calor´ıfico. Dada γ ⊂ Ω curva (d = 2) o superficie (d = 3), nos gustar´ıa medir la cantidad de calor que atraviesa γ por unidad de tiempo, esto es, el flujo calor´ıfico a trav´es de γ. Tenemos que fijar una orientaci´on: en cada punto r seleccionamos un vector normal unitario n(r) de forma que n(r) var´ıe continuamente con el punto r ∈ γ. La selecci´on de un vector normal en un punto de partida induce la de los restantes (algunas superficies pueden no ser orientables globalmente, pero siempre lo son en trozos peque˜ nos). La formulaci´on matem´atica m´as conveniente para medir dicho flujo se basa en la introducci´on de cierto campo vectorial q(r, t), definido para r ∈ Ω y t ≥ 0, mediante la siguiente propiedad: Dada cualquier γ orientada por n, se cumple que hq(r, t), n(r)i es la densidad de flujo sobre γ, es decir, que la integral Z hq(r, t), n(r)i dγ(r) γ

mide la cantidad de calor que atraviesa γ en el instante t, por unidad de tiempo, en el sentido de la orientaci´on convenida. El campo q es independiente de la γ particular. La existencia de q se puede postular, aunque tambi´en es posible establecerla bajo condiciones muy generales. q se llama vector flujo. Imaginemos que en un punto dado r ∈ Ω hacemos variar un peque˜ no trozo de recta (d = 2) o de plano (d = 3) orientado por n. Imaginemos que movemos el trozo, sin cambiar sus dimensiones. El flujo se hace m´aximo para cierta direcci´on n∗ de n y nulo para las direcciones ortogonales. En las direcciones intermedias el flujo es proporcional al coseno entre la elecci´on de n y n∗ ; el vector n∗ define la direcci´on de m´axima propagaci´on que ser´a la de q. Por otra parte, sea F (r, t) la cantidad de calor suministrada desde el exterior (F < 0 se entiende como calor cedido al exterior) por unidad de tiempo y de ´area (d = 2) o bien de volumen (d = 3). La ley de la conservaci´on del calor (no consideramos otras formas de energ´ıa) se traduce en el balance (1)

c(r)ρ(r)ut (r, t) = −div q(r, t) + F (r, t).

´ 1 ORIGEN DE LA ECUACION

Lecci´ on 6

Esta f´omula se obtiene como sigue. Dado cualquier subabierto Ω0 ⊂ Ω, con frontera regular Γ0 , el calor contenido en dicho conjunto ser´a Z ρcu dΩ0 . Ω0

Por lo tanto,

Z

d dt

Z ρcu Ω0 = Ω0

ρcut dΩ0 Ω0

es la variaci´on por unidad de tiempo del calor contenido en Ω0 . Est´a variaci´on ser´a la suma de dos contribuciones: la del flujo entrante por la frontera Γ0 m´as el calor aportado desde el exterior por unidad de tiempo. Si la frontera Γ0 tiene la orientaci´on exterior, la variaci´on se escribir´a Z Z − hq, ni dΓ0 + F dΩ0 . Γ0

Ω0

Se deduce pues que Z

Z

Z

ρcut Ω0 = − Ω0

hq, ni dΓ0 +

F dΩ0 .

Γ0

Ω0

Ahora bien, por el teorema de la divergencia Z Z hq, ni dΓ0 = div q dΩ0 Γ0

y as´ı

Z

Ω0

Z

Z

ρcut dΩ0 = − Ω0

div q dΩ0 + Ω0

F dΩ0 . Ω0

Finalmente, al ser Ω0 ⊂ Ω arbitrario, se deduce la igualdad entre los integrandos anteriores, esto es, la ecuaci´on (1). La ecuaci´on de conservaci´on (1) es muy general y se aplica en multitud de situaciones. En nuestro caso, el estudio de la propagaci´on del calor, se completa con la llamada ley de transmisi´ on de Fourier que establece q(r, t) = −k(r)∇u(r, t), siendo k(r) > 0 el denominado coeficiente de transmisi´ on del calor (depende del material y puede cambiar de valor de un punto a otro). Llevando esta relaci´on a la ecuaci´on de conservaci´on (1) se obtiene finalmente la ecuaci´on del calor (2)

ρ(r)c(r)ut (r, t) = div (k(r)∇u(r, t)) + F (r, t). 2

Lecci´ on 6

2 CONDICIONES DE CONTORNO

Cuando el material sea homog´eneo, tanto ρ como D y k son constantes. En este caso, denotando D = k/(ρc), se llega a la forma habitual ut (r, t) = D∆u(r, t) +

1 F (r, t), ρc

que es la que adoptaremos en el resto de la lecci´on. Por sencillez, el t´ermino complementario (tambi´en llamado fuente) F/(ρc) se denotar´a por f . La ecuaci´on del calor tambi´en rige los llamados procesos de difusi´on. En estos casos se estudia la evoluci´on de la densidad u(r, t) de cierta substancia (por ejemplo los protones de un transistor, la concentraci´on de una especia qu´ımica, la densidad de una poblaci´on, etc.). Junto con el flujo q, tambi´en consideramos el aporte de substancia f desde el exterior, por unidad de tiempo y ´area (d = 2) o volumen (d = 3). El balance de materia lleva a la ecuaci´on de conservaci´on ut (r, t) = −q(r, t) + f (r, t). En los llamados procesos de difusi´on tiene lugar la ley de Fick, an´aloga a la ley de Fourier, q(r, t) = −D(r)∇q(r, t), donde D > 0 es el llamado coeficiente de difusi´on. Combinando lo anterior, encontramos la ecuaci´on de difusi´on ut (r, t) = div (D∇u(r, t)) + f (r, t), que, cuando D(r) sea constante, se escribe como la ecuaci´on del calor ut (r, t) = D∆u(r, t) + f (r, t), si bien ahora se denomina ecuaci´ on de difusi´on.

2.

Condiciones de contorno

Para centrar ideas, consideramos la ecuaci´on del calor. En la mayor parte de las aplicaciones encontraremos alguna de las condiciones de contorno siguientes: • Dirichlet: Cuando se prescribe la temperatura en la frontera del dominio, tendremos u(r, t) = U (r, t), r ∈ Γ, t ≥ 0, siendo U la temperatura prescrita en la frontera. 3

Lecci´ on 6

2 CONDICIONES DE CONTORNO

• Neumann: Cuando se prescribe el flujo calor´ıfico sobre Γ, entonces hq(r, t), n(r)i = Φ(r, t),

r ∈ Γ,

t ≥ 0,

siendo Φ el flujo prescrito. Ahora bien, seg´ un la ley de Fourier, q = −k∇u, y como h∇u, ni = Dn u, llegamos a la formulaci´on habitual −k(r)Dn u(r, t) = Φ(r, t),

r ∈ Γ,

t ≥ 0.

• Robin: En otras ocasiones se considera que hay un flujo de calor espont´aneo. Si Ue (r, t) es la temperatura exterior en un punto r ∈ Γ en el instante t, muchas veces se acepta la ley de enfriamiento de Newton: el flujo es proporcional a la diferencia de temperaturas interior y exterior. Razonando como en las condiciones Neumann, resultar´a −k(r)Dn u(r, t) = h(r)(u(r, t) − Ue (r, t)), o bien h(r)u(r, t) + k(r)Dn u(r, t) = h(r)Ue (r, t),

r ∈ Γ,

t ≥ 0,

siendo h > 0 el coeficiente de proporcionalidad de la ley de Newton. Es interesante observar que cuando h = 0 la condici´on de Robin se convierte en la Neumann homog´enea. Por otra parte, dividiendo por h encontramos u(r, t) +

k(r) Dn u(r, t) = Ue (r, t), h(r)

r ∈ Γ,

t ≥ 0,

de suerte que cuando h → +∞ la condici´on de Robin se convierte en la condici´on Dirichlet. Con frecuencia se dan diversas condiciones de contorno del tipo anterior sobre distintas zonas de la frontera. Son las denominadas condiciones mixtas. Todas estas situaciones quedan inclu´ıdas en la formulaci´on que introdujimos en la lecci´on anterior: (3) h(r)u(r, t) + k(r)Dn u(r, t) = g(r, t), r ∈ Γ, t ≥ 0, donde h ≥ 0 y k ≥ 0 son coeficientes conocidos, continuos a trozos, y tales que h(r) + k(r) > 0 en todo punto de Γ, y donde g es un dato conocido. En las condiciones habituales tendr´ıamos: • Dirichlet: h > 0, k = 0, g = hU , o bien h = 1, k = 0, g = U , • Neumann: h = 0, k > 0, g = Φ, o bien h = 0, k = 1, g = −Φ/k, • Robin: h > 0, k > 0, g = hUe . 4

´ 4 PRINCIPIO DEL MAXIMO

Lecci´ on 6

3.

Problema de valores iniciales y de contorno

Fijados como datos: • una condici´on inicial u0 : Ω → R, • un t´ermino complementario f : Ω × [0, T ] → R, • valores de la condici´on de contorno g : Γ × [0, T ] → R, planteamos el problema de valores iniciales y de contorno  r ∈ Ω, 0 ≤ t ≤ T,   ut (r, t) = D∆u(r, t) + f (r, t), u(r, 0) = u0 (r), r ∈ Ω, (4)   h(r)u(r, t) + k(r)Dn u(r, t) = g(r, t), r ∈ Γ, 0 ≤ t ≤ T. Se supone que el par´ametro D > 0 es conocido, as´ı como los coeficientes h y k (que han de satisfacer las condiciones habituales). La ecuaci´on (4) es el prototipo de las llamadas ecuaciones parab´olicas. En el resto de la lecci´on vamos a estudiar las propiedades de las soluciones y explicaremos la resoluci´on de la misma mediante el m´etodo de separaci´on de variables.

4.

Principio del m´ aximo

Teorema 1 Supongamos que f ≤ 0 en (4). Entonces, para cualquier punto (r∗ , t∗ ) ∈ Ω × [0, T ], se cumple ½ ¾ ∗ ∗ u(r , t ) ≤ m´ax m´ax u0 (r), m´ax ∗ u(r, t) . r∈Ω

r∈Γ,0≤t≤t

El significado del principio es muy interesante: permite estimar el comportamiento en el interior del dominio (zona generalmente no accesible) mediante estimaciones de la condici´on inicial y medidas en la frontera (accesible). El teorema se demuestra como para el caso de una u ´nica variable espacial. B´asicamente hay que utilizar que en todo punto de m´aximo (r, t) ∈ Ω × [0, t∗ ], por una parte ∆u ≤ 0 y por otra ut ≤ 0. Por descontado, si f ≥ 0 entonces tiene lugar el principio del m´ınimo. Notemos que, en particular, si f ≥ 0, u0 ≥ 0 y es conocido que u ≥ 0 sobre la frontera Γ para 0 ≤ t ≤ t∗ , entonces u ≥ 0 sobre Ω, para 0 ≤ t ≤ t∗ . Volviendo a la situaci´on general del problema (4), este principio permite demostrar f´acilmente la unicidad de soluciones. Por sencillez nos vamos a restringir al caso de las condiciones Dirichlet. Es importante observar que estos principios s´olo son v´alidos para t ≥ 0, por lo que la unicidad s´olo est´a garantizada para los valores futuros (caracter irreversible, flecha del tiempo de la ecuaci´on del calor). 5

´ 5 METODO DE LA ENERG´IA

Lecci´ on 6

Corolario 1 Supongamos que la condici´ on de contorno en (4) es de tipo Dirichlet. Entonces dicho problema admite a lo sumo una soluci´on (para datos generales). Demostraci´ on. Sean uI y uII son dos soluciones para un mismo sistema de datos. La funci´on diferencia δ = uII −uI ser´a soluci´on para los datos homog´eneos (t´ermino complementario, condici´on inicial y valores en la frontera nulos). El principio del m´aximo, aplicado a δ, muestra que δ ≤ 0 y el principio del m´ınimo, que δ ≥ 0. Entonces δ = 0, luego uI = uII .

5.

M´ etodo de la energ´ıa

Dada una soluci´on u de (4), que tome valores reales (por sencillez), vamos a definir su “energ´ıa.en el instante t como Z 2 E(t) = ku(·, t)k = u(r, t)2 dΩ(r). Ω

Hay que notar que no se trata de la energ´ıa calor´ıfica, pues ´esta es m´as bien Z c(r)ρ(r)u(r, t) dΩ(r), Ω

sino que E(t) es una mera expresi´on matem´atica. Teorema 2 Supongamos que f y g son nulas. Entonces la energ´ıa es decreciente en 0 ≤ t ≤ T . Demostraci´ on. Usando la ecuaci´on (4) y la integraci´on por partes (ver la lecci´on anterior), encontramos Z Z Z Z 0 E (t) = 2 ut u dΩ = 2D ∆u u dΩ = 2D uDn u dΓ − 2D k∇uk2 dΩ, Ω

Ω

Γ

Ω

una expresi´on que, como tambi´en probamos en dicha lecci´on, es ≤ 0 (lo vimos al probar la negatividad de los autovalores). De hecho, recordando los comentarios de aquella lecci´on, lo que sucede simplemente es que, sobre Γ, u · Dn u ≤ 0 y as´ı claramente E 0 (t) ≤ 0. El teorema anterior permite establecer la unicidad en (4), para condiciones de contorno generales. Es importante se˜ nalar de nuevo que la unicidad s´olo est´a garantizada para tiempos futuros. 6

´ 6 PRINCIPIO DE SUPERPOSICION

Lecci´ on 6

Corolario 2 El problema (4) admite a lo sumo una soluci´on, cualquiera que sean f , u0 y g. Demostraci´ on. Procedemos como en el corolario de la secci´on anterior. Dadas dos posibles soluciones uI y uII para un mismo sistema de datos, formemos la funci´on diferencia δ = uII − uI , que es soluci´on para los datos homog´eneos. La energ´ıa E(t) de δ ser´a decreciente, por tanto 0 ≤ E(t) ≤ E(0) = 0, luego E(t) = 0. Entonces δ(t) = 0 y uI = uII , al ser 0 ≤ t ≤ T arbitrario.

6.

Principio de superposici´ on

La naturaleza lineal del problema se refleja en el llamado principio de superposici´on. Supongamos que los datos del problema se pueden escribir como “combinaci´on lineal”de otros datos en el sentido de que f (r, t) =

+∞ X

µk fk (r, t),

u0 (r) =

+∞ X

µk u0,k (r),

k=1

k=1

as´ı como g(r, t) =

+∞ X

µk gk (r, t).

k=1

Las series anteriores se suponen convergentes para r ∈ Ω ∪ Γ y 0 ≤ t ≤ T . Hay que resaltar que los coeficientes escalares µk , k ≥ 1, son los mismos en los cuatro desarrollos. Supongamos ahora que para cada valor de k ≥ 1 es posible resolver el problema con datos fk , u0,k , gk y llamemos uk (r, t) a la correspondiente soluci´on. Formemos la serie +∞ X u(r, t) = µk uk (r, t), k=1

que supondremos convergente para r ∈ Ω ∪ Γ y 0 ≤ t ≤ T . Si dicha serie se puede derivar t´ermino a t´ermino (una vez respecto de t y hasta dos veces respecto de r), encontramos que ut =

+∞ X k=1

µk (uk )t =

+∞ X

µk (∆uk + fk ) = ∆u + f,

k=1

7

´ POR SEPARACION ´ DE VARIABLES 7 SOLUCION

Lecci´ on 6 as´ı como u(r, 0) =

+∞ X

µk uk (r, 0) =

k=1

+∞ X

µk u0,k (r) = u0 (r),

k=1

y sobre la frontera h(r)u(r, t) + k(r)Dn u(r, t) = =

+∞ X k=1 +∞ X

µk (h(r)uk (r, t) + k(r)Dn uk (r, t)) µk gk (r, t) = g(r, t).

k=1

En resumen, u(r, t) ser´ıa una soluci´on de la ecuaci´on con los datos de partida. Por la unicidad, u(r, t) ser´ıa la soluci´on del problema. Por descontado, el principio de superposici´on se aplica sin m´as a sumas finitas. Si la soluci´on se interpreta como la “respuesta.a los datos y ´estos como las “entradas ”, el principio de superposici´on afirma que el sistema es lineal: a una combinaci´on lineal de entradas le corresponde la combinaci´on lineal de las respuestas correspondientes a cada una de las entradas, incluso para combinaciones infinitas. Hay que tener cuidado pues, mientras que las respuestas son funciones u(r, t), las entradas son triplas de la forma [f (r, t), u0 (r), g(r, t)]T que deben manipularse como vectores de tres componentes. La aplicaci´on rigurosa del principio pasa por comprobar que las series convergen adecuadamente, lo que puede ser dif´ıcil en muchos casos.

7.

Soluci´ on por separaci´ on de variables

El m´etodo de separaci´on de variables tiene su origen, como en los problemas unidimensionales, en la posibilidad de construir soluciones de la ecuaci´on del calor de variables separadas T (t)U (r),

t ≥ 0,

r ∈ Ω.

Adoptamos T (0) = 1, con lo cual U (r) es el dato inicial. Llevando esta expresi´on a la ecuaci´on (con f = 0, g = 0), obtenemos T 0 (t)U (r) = DT (t)∆U (r), 8

r ∈ Ω,

t ≥ 0,

Lecci´ on 6 o bien

´ POR SEPARACION ´ DE VARIABLES 7 SOLUCION

T 0 (t) ∆U (r) = , DT (t) U (r)

r ∈ Ω,

t ≥ 0.

Como ya sabemos, la u ´nica posibilidad es T 0 (t) = λDT (t),

t≥0

y ∆U (r) = λU (r),

r ∈ Ω,

para cierto λ ∈ C. Como U ha de cumplir adem´as la condici´on de contorno h(r)U (r) + k(r)Dr U (r) = 0,

r ∈ Γ,

nos encontramos ante un problema de Sturm-Liuoville ya estudiado. Finalmente, la soluci´on es eDλt · U (r), con λ un autovalor del operador laplaciano en Ω con las condiciones de contorno dadas y U (r) una autofunci´on asociada. Estas soluciones se llaman modos propios (o normales, o de Fourier). Como λ ≤ 0, los modos propios describen una amortiguaci´on exponencial de un perfil inicial dado por una autofunci´on. A medida que λ se hace m´as negativo, las autofunciones se hacen m´as oscilantes y la amortiguaci´on es m´as r´apida. Esto es f´ısicamente aceptable, pues los gradientes, y por ende los flujos, aumentan al hacerse λ m´as negativo, alcanz´andose el equilibrio m´as deprisa. La presencia de D hace que la f´ormula sea dimensionalmente correcta. De nuevo observamos que un aumento de D (que conlleva una mayor conductividad t´ermica) implica una mayor velocidad en la b´ usqueda del equilibrio. Superponiendo modos propios podemos resolver f´acilmente problemas con u0 arbitrario. Con m´as generalidad, por superposici´on, podemos resolver problemas con u0 y f arbitrarios, pero con g = 0. Esto no es p´erdida de generalidad, pues si los valores de contorno g no fueran nulos, construir´ıamos primero una funci´on w tal que hw + kDn w = g sobre Γ y buscar´ıamos la soluci´on en la forma u = v + w, donde v cumple un problema (4) con nuevos t´ermino fuente y dato inicial, modificaci´on de los originales. Obviamente v satisface las condiciones de contorno homog´eneas. As´ı pues, por sencillez, en el resto de la secci´on supondremos que g = 0. 9

Lecci´ on 6

´ POR SEPARACION ´ DE VARIABLES 7 SOLUCION

Sea (Uα )α∈A un sistema ortogonal y completo formado por autofunciones del laplaciano en Ω para las condiciones de contorno en consideraci´on. Los autovalores se denotar´an por (λα )α∈A . La soluci´on u(r, t) (para u0 y f arbitrarios, g = 0) admite un desarrollo en el sistema de de autofunciones X u(r, t) = Tα (t)Uα (r) α∈A

(para cada 0 ≤ t ≤ T , se debe entender que la serie converge en media cuadr´atica), donde para cada α ∈ A fijo, R u Uα dΩ hu(·, t), Uα i Ω (5) Tα (t) = = . kUα k2 kUα k2 Vamos a demostrar que Tα (t) es soluci´on del problema de Cauchy ( Tα0 (t) = Dλα Tα (t) + Fα (t), 0 ≤ t ≤ T, (6) Tα (0) = cα siendo cα la componente α-´esima del dato inicial cα =

hu0 , Uα i kUα k2

y Fα (t) la componente α-´esima del t´ermino complementario f (t, ·) Fα (t) =

hf (·, t), Uα i kUα k2

Tomando la derivada respecto de t en (5) y usando la ecuaci´on (4), encontramos R ut Uα dΩ h∆u(·, t), Uα i hf (·, t), Uα i 0 Tα (t) = Ω = D + . kUα k2 kUα k2 kUα k2 Recordando ahora que ∆ es sim´etrico (tanto u como Uα cumplen las condiciones de contorno homog´eneas) y las expresiones de Tα y de Fα , podemos escribir Tα0 (t) = D

hu(·, t), Uα i hu(·, t), ∆Uα i + Fα (t) = Dλα + Fα (t) = Dλα Tα (t) + Fα (t), 2 kUα k kUα k2

10

Lecci´ on 6

8 PROBLEMA PURO DE VALORES INICIALES

que es la ecuaci´on diferencial en (6). En cuanto a la condici´on inicial, tenemos directamente hu0 , Uα i hu(·, 0), Uα i Tα (0) = = = cα , 2 kUα k kUα k2 de donde resulta el problema de Cauchy (6) para Tα (t). Notemos que si f = 0 entonces Tα (t) = eDλα t cα , con lo que la soluci´on ser´a X u(r, t) = cα eDλα t Uα (r), α∈A

es decir, una superposici´on de modos propios con pesos dados por los coeficientes del desarrollo de la condici´on inicial. Como los λα tienden a −∞, la serie anterior converge muy bien, pero s´olo para t > 0. De nuevo encontramos el caracter irreversible de la ecuaci´on. En realidad, la convergencia para t > 0 es tan buena, que la convergencia de la serie es incluso uniforme, la soluci´on pasa a ser indefinidamente derivable y las derivadas se pueden obtener derivando t´ermino a t´ermino en la serie.

8.

Problema puro de valores iniciales

Supongamos que Ω = Rd . Por sencillez, tomemos f = 0. Queremos resolver el problema ½ ut (r, t) = D∆u(r, t), r ∈ Rd , t ≥ 0, u(r, 0) = u0 (r), r ∈ Rd . Aunque no aparece condici´on de contorno, en la pr´actica se pide que u est´e acotada o bien que tenga energ´ıa (matem´atica) finita, que es una forma de pedir una condici´on de contorno en el infinito. En este contexto se pueden utilizar las t´ecnicas del an´alisis de Fourier: la soluci´on se escribe como una superposici´on continua de ondas arm´onicas simples cuyos coeficientes viene dados por la transformada de Fourier. No vamos a entrar en detalles y simplemente indicamos que finalmente la soluci´on viene dada por la convoluci´on del dato inicial con el n´ ucleo gaussiano, Z u(r, t) = Gt,d (r − s)u0 (s) ds, Rd

siendo Gt,d (r) =

1 exp(−krk2 /(4Dt)) d/2 (4πDt)

11

Lecci´ on 6

9 PUNTOS ESENCIALES

y ds denota el elmento de ´area (dx · dy si d = 2) o de volumen (dx · dy · dz, si d = 3). Observemos que las dimensiones de ds son Ld , por lo que es f´acil comprobar que la f´ormula de convoluci´on anterior es dimensionalmente correcta ([D] = L2 /T ). El n´ ucleo Gt,d (r) es la multiplicaci´on de los n´ ucleos unidimensionales actuando sobre cada coordenada cartesiana (esto es, se trata de una funci´on de variables separadas), lo que permite comprobar la validez de la representaci´on de la soluci´on, partiendo de que es cierta para d = 1. F´ısicamente, Gt,d (r) es la soluci´on que corresponde al dato inicial “delta de Dirac concentrada en el origen”, esto es, cuando inicialmente tenemos una unidad de calor concentrada en el origen (suponiendo que ρc = 1). En el instante inicial la temperatura tendr´ıa que ser infinita en el origen y nula en los restantes puntos. La soluci´on para t > 0 es ya una funci´on regular y con simetr´ıa radial (la rotaci´on de la campana de Gauss). La integral de esta soluci´on es igual a uno y, mientras los valores en el origen decrecen seg´ un el factor t−d/2 , en otros puntos puede aumentar ligeramente a medida que crece t. La integral del n´ ucleo se mantiene constante e igual a la unidad para todo tiempo t > 0. Un hecho sorprendente es que, para cualquier t > 0, la soluci´on se hace > 0 en todos los puntos. Esto implica una propagaci´on a velocidad infinita de la causa, en clara contradicci´on con la f´ısica. La explicaci´on s´olo puede ser ´esta: cuando los gradientes de temperatura son muy elevados deja de ser v´alida la ley de Fourier. Si f 6= 0, la soluci´on se expresa mendiante el principio de Duhamel o f´ormula de variaci´on de las constantes como ¶ Z Z t µZ u(r, t) = Gt,d (r − s)u0 (s) ds + Gt−τ,d (r − s) f (s, τ ) ds dτ. Rd

9.

0

Rd

Puntos esenciales El origen de la ecuaci´on. La ley de Fourier. El significado f´ısico de las condiciones de contorno. Principio del m´aximo. El truco del m´etodo de la energ´ıa. La unicidad. El car´acter irreversible. Visualizar los modos propios. Entender su comportamiento. Manejo del m´etodo de separaci´on de variables. Idea del empleo de la transformada de Fourier y de la soluci´on fundamental. 12

Lecci´ on 6

9 PUNTOS ESENCIALES

La coherencia dimensional de todas las expresiones.

13