Ecuac Cuadretica Teoria.docx

1 ECUACION DE 2º GRADO CON UNA INCÓGNITA 1-Definición: Una ecuación de segundo grado con una incógnita es toda ecuación que se puede transformar en otra equivalente del tipo:

con donde: ax2 es el término cuadrático bx es el término lineal c es el término independiente

Observación: (Si a = 0, la ecuación resultante sería bx + c = 0, que no es una ecuación de segundo grado.) Por ejemplo: Ecuaciones de segundo grado con una incógnita son:

Esta última ecuación parece, a simple vista, de primer grado, pero si se opera en ella, x + 1 = 2x (x - 1) x + 1 = 2x2 - 2x 2𝑥 2 -2x-x-1=0 2x2-3x-1=0 se observa que es una ecuación de segundo grado. Cualquier ecuación de segundo grado puede, mediante transformaciones, expresarse en la forma ax2 + bx + c= 0, donde a, y b son los coeficientes de los términos x2 y x respectivamente y c es el término independiente. 1.1. Ecuación de segundo grado completa Una ecuación de segundo grado es completa cuando los tres coeficientes a, b, y c son distintos de cero. La expresión de una ecuación de segundo grado completa es ax2 + bx + c = 0. 1.2. Ecuación de segundo grado incompleta Una ecuación de segundo grado es incompleta cuando los términos b ó c, o ambos, son cero. La expresión de una ecuación de segundo grado incompleta es: ax2 = 0; si b = 0 y c = 0. ax2 + bx = 0; si c = 0. ax2 + c = 0; si b = 0. 2. RESOLUCIÓN DE ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO. Las ecuaciones de segundo grado incompletas son de tres tipos: A. ax2 = 0; si b = 0 y c = 0.

Por lo tanto, las ecuaciones de la forma ax2 = 0 tienen como solución x 1= x2 =0. Por ejemplo: 3x 0 x 0 x = ±0  x1= x2= 0 2

Se divide por 3: Se extrae la raíz cuadrada:

2

B. ax2 + bx = 0; si c = 0. Sacando factor común x en el primer miembro, resulta: x (ax + b) = 0. Para que un producto de dos factores x y (ax + b), dé como resultado cero, uno de ellos o ambos debe ser cero: ( propiedad del producto nulo: a .b = 0  a = 0 o b = 0 )

2

En consecuencia, las ecuaciones de la forma ax2 + bx = 0 tienen dos soluciones:

Por ejemplo.

3x 12x 0 Se extrae 3x como factor  3x(x 4) 0 Se igualan a 0 ambos factores  3x 0 x1 0 x 4 0 x2 4 2

C.

ax2 + c = 0; si

b = 0.

Entonces, las ecuaciones de la forma ax2 + c = 0 tienen dos soluciones:

Por ejemplo:

2x 8 0 2x 8 x 4 x 4 x1 2, x2 2 2

Se suma 8  Se divide por 2  Se extrae la raíz cuadrada 

2

2

3. RESOLUCION DE ECUACIONES DE 2º GRADO COMPLETAS 3.1- Por factorización: A-

TRINOMIO CUADRADO PERFECTO: Por ejemplo: x2+ 8x + 16 = 0 (x + 4)2 = 0

( x  4) 2  0 x + 4= 0 x = - 4  x1 = x2 = -4 B-

FALSO TRINOMIO:

Por Ejemplo: x2 + 6x + 5 = 0 x2 + 6x +(3)2 -(3)2 +5 = 0 x2 + 6x + +(3)2 -9 +5 = 0 (x +3)2 – 4 = 0 (x +3)2 = 4 √(𝑥 + 3) = ±√4 (x+3)= ±2 x+3=2  x1 = -1 x+3=-2  x2 = -5 3.2-POR FÓRMULA: Sea ax2 + bx + c = 0, donde a, b y c son números distintos de cero. Para resolver una ecuación de segundo grado se aplica la fórmula:

3

Demostración: La ecuación:

Sumando

, con a

0 ,es equivalente a la ecuación :

,en ambos miembros de la igualdad anterior, se obtiene:

O equivalentemente,

Extrayendo la raíz cuadrada en ambos miembros de la última igualdad se obtiene:

De donde :

De esta fórmula se deduce que una ecuación de segundo grado tiene dos soluciones, llamadas x1 y x2, dependiendo del signo + ó - que se toma delante de la raíz:

Observación: Esta fórmula se utiliza también para resolver las ecuaciones de segundo grado incompletas, sin más que poner un cero en el coeficiente correspondiente. NOTA: Como regla general, una ecuación cuadrática se puede resolver de la manera más rápida y simple si primero se intenta factorizar la ecuación. Si no se puede factorizar con facilidad, la fórmula cuadrática es la siguiente mejor opción. La fórmula es aplicable no sólo si a, b y c son enteros, sino cualesquiera números reales. De hecho, es aplicable aun en el caso de que los coeficientes sean números complejos. 4 .Naturaleza de las raíces de una ecuación de segundo grado La expresión b2 - 4ac que aparece en la raíz se llama discriminante, se representa por la letra griega delta mayúscula,  . y su valor nos permite saber el número y la naturaleza de las soluciones de la ecuación. a)  > 0

Dos soluciones reales y distintas

b)  = 0

Solución única doble real o reales e iguales.

c)  < 0

Solución complejas conjugadas

Por Ejemplo: Dada la siguiente ecuación: 5x2+2x-9 =0 determinar la naturaleza de sua raíces o soloción

4

 = b2 - 4ac = 22- 4.( -9).5 = 184>0  son reales y distintas 41. Propiedades de las raíces de una ecuación de segundo grado Dada la ecuación de segundo grado ax2 + bx + c = 0, y x1 y x2 sus soluciones, se cumplen las siguientes propiedades: Propiedad Nº1: Suma de las raíces de una ecuación de segundo grado. La suma de las dos raíces de una ecuación de segundo grado, x1 + x2, es el cociente entre el opuesto del coeficiente del termino lineal con el coeficiente del termino cuadrático Es decir:

Demostración:

Propiedad Nº 2: Producto de las raíces de una ecuación de segundo grado. El producto de las dos raíces de una ecuación de segundo grado, x1 × x2, es el cociente entre el coeficiente del termino independiente con el coeficiente del termino cuadrático Es decir:

Demostración:

El numerador es una suma por una diferencia. Su resultado es la diferencia de cuadrados:

4.2. Determinación de una ecuación de segundo grado a partir de la suma y producto de sus soluciones

Conociendo la suma y el producto de las soluciones de una ecuación de segundo grado, se puede determinar la ecuación correspondiente. Sea : a x2+b x+c =0 con 𝑏 𝑐 Si dividimos miembro a miembro por a tenemos: 𝑥 2 + 𝑎 𝑥 + 𝑎= 0 𝑏

Como - 𝑎 = x1+x2=S  𝑐 𝑎

= x1 .x2= P 

𝑏 =-S 𝑎 𝑐 = P 𝑎

Entonces: la ecuación buscada es: x2 - Sx + P = 0 La ecuación de segundo grado de soluciones x1 y x2 se puede expresar de la forma x2 - Sx + P = 0, siendo S = x1 + x2 y P = x1 × x2.

5 Por ejemplo: 1. Reconstruir la ecuación cuadrática, sabiendo que: S = 5; P = 6 La ecuación es x2 - Sx + P = 0. Sustituyendo S y P por sus valores, se obtiene: x2 - 5x + 6 = 0 Para comprobar que la suma y el producto de las soluciones de la ecuación son 5 y 6 respectivamente, basta con resolver la ecuación.

S = x1 + x2 = 3 + 2 = 5 P = x1 × x2 = 3 × 2 = 6 Luego, efectivamente la ecuación es x2 - 5x + 6 = 0. 2. Determinar una ecuación de segundo grado que tenga por soluciones x1 = - 2, x2 = 3. Resolución: 1. S = x1 + x2 = -2 + 3 = 1 P = x1 × x2 = -2 × 3 = -6 Sustituyendo los valores de S y P en la ecuación x2 - Sx + P = 0 se obtiene la ecuación x2 - x - 6 = 0. Para comprobarlo basta con resolver la ecuación y observar que sus raíces son -2 y 3.

5. Factoreo de un trinomio de segundo grado hallando las raíces Para factorizar un trinomio de segundo grado P(x) = ax + bx + c, se resuelve la ecuación de segundo grado asociada ax2 + bx + c = 0 y se obtienen sus raíces x1 y x2. Dicho trinomio queda factorizado de la forma P(x) = a(x - x1)(x - x2). 2

Por ejemplo: Factorear el polinomio 2 x2- 32x + 126 Resolución: Resolviendo la ecuación asociada 2 x2- 32x + 126 =0 obtenemos que las raíces son: x1= 9 y x2 = 7 De esta forma 2 x2- 32x + 126 = 2.(x-9) . (x- 7) = ( 2x – 18). (2x -14)

6-Ecuaciones Bicuadráticas Una ecuación bicuadrada es una ecuación que se puede expresar en la forma: ax4 + bx2 +c =0, donde a, b y c  y a = 0 y b = 0 y es de cuarto grado que carece de términos de grado impar. 2 Para resolver una ecuación bicuadrada se hace el cambio de variable y = x , por lo tanto,

6 4

2 2

2

x = (x ) = y . 2 La ecuación expresada en función de y es: ay + by + c = 0. Una vez resuelta esta ecuación se sustituyen sus 2 soluciones en y = x , obteniéndose así las soluciones para x. Pasos a seguir para resolver una ecuación bicuadrada 1. Hacer el cambio x2 = y, obteniendo la ecuación ay2 + by + c = 0. 2. Resolver la ecuación ay2 + by + c = 0, obteniéndose las soluciones y1, y2.

ax4

 Si la ecuación ay2 + by + c = 0 tiene dos soluciones positivas, la ecuación inicial + bx2 + c = 0 tiene cuatro soluciones.

ax4

 Si la ecuación ay2 + by + c = 0 tiene una solución positiva, la ecuación inicial + bx2 + c = 0 tiene dos soluciones.

 Si la ecuación ay2 + by + c = 0 no tiene soluciones positivas, la ecuación inicial ax4 + bx2 + c = 0 no tiene solución.

Por ejemplo: 1- Resolver la ecuación x4 - 29x2 + 100 = 0. Resolución: 1. Haciendo el cambio x2 = y, se tiene la ecuación y2 - 29y + 100 = 0. 2. Resolviendo esta ecuación se tienen las soluciones:

3. Las soluciones de la ecuación x4 - 29x + 100 = 0 son:

Las soluciones son 5, -5, 2, y -2. 2. Resolver la ecuación x4 - 4x2 - 12 = 0. Resolución: 1. Haciendo el cambio x2 = y, se tiene la ecuación y2 - 4y - 12 = 0. 2. Las soluciones de esta ecuación son:

Las soluciones de la ecuación de partida son:

7

OBSERVACIÖN: El método anterior de cambio de variable se puede aplicar a otras muchas ecuaciones, llamadas bicúbicas, bicuartas, …

Para resolver la ecuación bicúbica x6 7x3 8 0, hacemos el cambio de variable z x3, y pasamos así a la ecuación de segundo grado z2 7z 8 0. Una vez resuelta, se deshace el cambio de variable y hallamos el valor de x.

7. ECUACIONES IRRACIONALES SON AQUELLAS EN QUE LA INCOGNITA FIGURA DENTRO DE UN RADICAL. Para resolver estas ecuaciones debemos aislar en uno de los miembros el término que tiene la raíz y se elevan los dos miembros de la ecuación a la potencia que resulte conveniente según el índice del radical y se procede a resolver con los métodos habituales Un caso simplificado de este tipo de ecuaciones se obtiene cuando sólo existen raíces cuadradas en uno o ambos miembros de la ecuación. Nota: al resolver una ecuación irracional pueden aparecer soluciones no validas entonces siempre deben comprobar las soluciones obtenidas. Por ejemplo: 

2 x 57 3 2 x  4 3x  2  5 x  3

 Para resolver una ecuación irracional debemos elevar cada miembro de ella una o más veces a las potencias que correspondan para eliminar sucesivamente las raíces que contienen a la incógnita. Ejemplo 1 :



2x  5  7



/( )2

2

2 x  5  49 2x  5  49 2x = 54 x = 27

Nota: Toda ecuación irracional debe comprobarse porque al elevar la ecuación a una potencia par, la ecuación se transforma en otra, por lo que en algunos casos su solución no satisface la ecuación original. Comprobemos en la ecuación original:

2·27  5  7 54  5  7 49  7 7=7 Por lo tanto x = 27 satisface la ecuación, es decir, es su raíz o solución. Ejemplo 2 :

Resolver

x  5  x  2  6 aquí conviene aislar las raíces: x5 6 x2



x5

  6  2

x2



2

x  5  36  12 x  2  x  2 12 x  2  36  x  2  x  5 /( )2

8

12



x  2  33 144(x+2) = 1089 144x+288 = 1089 89 x = 16 2

2

Comprobemos usando este valor en la ecuación original: 8-Sistemas de ecuaciones no lineales Un sistema no lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas es un sistema formado por dos ecuaciones en el que al menos una ecuación no es de primer grado. La resolución de estos sistemas suele hacerse por el método de sustitución, a no ser que se crea conveniente utilizar otras estrategias para sistemas particulares. Por ejemplo: 𝑥+𝑦 =4 Sistema formado por una ecuación de primer grado y una ecuación de segundo grado: { 2 𝑥 + 𝑦 2 = 40