Ecua Exponenciales

TEMA: ECUACIONES EXPONENCIALES CURSO: COMPLEMENTOS DE MATEMATICA-NEG. – HUM. SEMANA: 07 GUÍA DE ESTUDIO ECUACIÓN EXPONENCIAL Una ecuación exponencial es aquella ecuación donde la incógnita está como exponente y las bases son constantes positivas. Una ecuación exponencial tiene una de las formas:

Para resolver una ecuación exponencial se aplican las propiedades de exponentes. La resolución de ecuaciones exponenciales se basa en la siguiente propiedad de las potencias: “Dos potencias con una misma base positiva y distinta de la unidad son iguales, si y sólo si son iguales sus exponentes”. Teorema: Si 𝑎 > 0 y 𝑎 ≠ 1 entonces:

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1) 𝑎𝑃

𝑥

𝑎𝑄

𝑥

2) 𝑎𝑃

𝑥

1 ⇔ 𝑃 𝑥

3) 1𝑃

𝑥

1 para todo 𝑃 𝑥

⇔ 𝑃 𝑥

𝑄 𝑥 0

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PROBLEMAS CON ECUACIONES EXPONENCIALES La función exponencial sirve para describir cualquier proceso que evolucione de modo que el aumento (o disminución) en un pequeño intervalo de tiempo sea proporcional a lo que había al comienzo del mismo. Interés Compuesto En el interés compuesto los intereses producidos por un capital, se van acumulando a éste, de tiempo en tiempo, para producir nuevos intereses. Los intervalos de tiempo, al cabo de los cuales los intereses se acumulan al capital, se llaman periodos de capitalización o de acumulación.

𝐶𝑓

𝐶

1+

𝑟 𝑛. 100

𝑛𝑡

Donde: = Cantidad después de t años = Capital o valor actual r = tasa de interés por año n = número de veces que el interés se compone por año t = número de años EJEMPLO: Se deposita S/. 15 000 en un banco que ofrece el pago de una tasa de interés compuesto anual del 4,3%, capitalizable trimestralmente. ¿Cuál es el monto acumulado después de 6 años? DATOS

FÓRMULA

Co = 15 000 r = 4,3% ≈ 0,043 n = Trimestral ≈ 4 t =6

𝐶𝑓

𝐶

1+

𝑟 𝑛. 100

𝑛𝑡

SOLUCIÓN

𝐶𝑓

0,043 15 000 1 + 4

4𝑥6

𝐶𝑓

4,043 15 000 4

24

s/ 19 410

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Crecimiento Poblacional Si una población de tamaño inicial 𝑃_0 crece a una tasa relativa de 𝑘% en el tiempo 𝑡, entonces la población en el tiempo 𝑡 tiene como ecuación.

𝑃 𝑡

𝑃 . 𝑒 𝑘𝑡

Donde: Po es la población inicial.  El modelo es de crecimiento, si la tasa k > 0.  El modelo es de decrecimiento, si la tasa k < 0. EJEMPLO: En el año 2 000 la población del pueblo de San Juan era de 7 000 habitantes. Si la tasa relativa de crecimiento es de 5% al año, ¿cuál fue la población aproximada en el año 2 006?

DATOS

FÓRMULA

Po = 7 000 hab. k = 5% ≈ 0,05 t = 2 000 ≈ t= 0 t = 2 006 ≈ t= 6

𝑃 𝑡

𝑃 . 𝑒 𝑘𝑡

SOLUCIÓN

𝑃 6

000. 𝑒

𝑃 𝑡

, 5𝑥6

𝑃 6

000. 𝑒

,3

9 449 hab.

EJEMPLOS 1. 3 Solución:

3 7 x 8  3 6 7x  8  6 7 x  14 x2

C.S .2

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+

2.

+

Solución:

2x  28 21 21.2 x .21  21.2 x  2 x  28 21 2 x (4  2  1)  28.2 2 x .2 1  2 x 

56 7 x 2  8  2 x  23  x  3 2x 

C.S .3

3. 5

5 5

4

0

Solución:

5  24  0 5x 5 25 5 x  x  24  0 5 x x 5 .5  25  24.5 x  0 5x  m 5x 

Cambio de variable

m.m  24m  25  0 m 2  24m  25  0 5 +1

(m  25)(m  1)  0 m  25; m  1 5 x  25  x  2 C.S .2

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TEMA: ECUACIONES EXPONENCIALES CURSO: COMPLEMENTO MATEMÁTICO- NEG. HUM. SEMANA: 07 HOJA DE TRABAJO

CONOCIMIENTO / COMPRENSIÓN 1. Identifique cuál de estas ecuaciones son exponenciales.

5

a.

5

b.

5

c.

5

5 5 5

d. e.

52

f.

2

+1

2. Completa correctamente los espacios en blanco: a) b) c) d)

El interés compuesto se resuelve aplicando ecuaciones……………………… Todo número elevado a la…………. es uno; excepto el …………….. En un producto de bases iguales, sus exponentes se ……………. El valor de “e” equivale a …………….

APLICACIÓN / ANÁLISIS 2.1. Resuelva las siguientes ecuaciones: 56

a) b) 3

e) f)

c) 10

3

0.00001

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3

d)

g)

2

4

163 16 2

3

4

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2.2. Halle el conjunto solución de las ecuaciones por cambio de variable: 𝑥

𝑎

5 3𝑥

2.3 Resuelve: 3

36 𝑥+1

+ 3

0 𝑥+

𝑥

𝑏

+ 3

𝑥

+ 3

𝑥 1

. 3𝑥

2

+ 1

40 y calcula:

0

𝑥+3

2.4 Resolver las siguientes ecuaciones: 𝑎

3𝑥

𝑥 2

𝑥 5

𝑏

+

𝑥 4

+

𝑥 3

4

2.5 Completa la fórmula de interés compuesto y resuelve el siguiente problema: 1+ 2.6. Se deposita $12 000 en un banco que ofrece el pago de una tasa de interés compuesto anual del 4,5%, capitalizable bimestralmente. ¿Cuál es el interés obtenido después de 6 años?

SÍNTESIS / EVALUACIÓN 3.1 El valor de un reloj está dado por:

00

.2

(dólares), donde “t” es el tiempo en

años, contado desde que el reloj era nuevo. a)

¿Cuánto costó un reloj cuando era nuevo?

b)

¿Cuánto costará 20 años después?

3.2 Juan, abogado en la consultora J & R desea depositar en el banco $10 000 y dejar ese depósito por 10 años. Se le presentan dos opciones: 5% de interés anual compuesto semestralmente, y 4.5 % de interés anual compuesto trimestralmente. ¿Qué opción debe elegir el empresario?

3.3 En el año 2 000 la población del pueblo de San Juan era de 7 000 habitantes. Si la tasa relativa de crecimiento es de 5% al año, ¿cuál fue la población aproximada en el año 2 006? 3.4 Se tiene un cultivo de bacterias en un laboratorio y se sabe que su crecimiento es de acuerdo a la siguiente fórmula P(t)=P0

, donde P es el número de bacterias después de t horas. Si el

número de bacterias inicial es 1000, y 4 000 después de 2 horas. ¿Cuántas bacterias habrán cuando t vale 5?

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REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS

CÓDIGO UPN 510 HAEU/M 2008 510 MILL/M 2006 515 STEW/P 2012

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AUTOR

TÍTULO

Ernest, Haeussler. Richard, Paul

“Matemática para Administración y Economía”

Miller / Heeren / Hornsby

“Matemática: Razonamiento y Aplicaciones”

Stewart, James

Precálculo : matemáticas para el cálculo

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