Ec. En Diferencia

Ecuaciones en Diferencias

Los procesos económicos se desarrollan en el tiempo. La vida cotidiana ofrece una evidencia sencilla: depositar dinero en el banco. El cálculo de los intereses toma como variable fundamental el tiempo. De allí por ejemplo, los depósitos a plazo fijo a 30, 60, 90 y 120 días. O bien, los intereses por mora en un crédito: mientras más días se tarde en cancelar la cuota, los intereses crecen. Otro ejemplo se obtiene de la oferta de un producto en el mercado y su respectiva demanda. Describir lo que ocurre con estas dos funciones lleva implícita la consideración del tiempo. Ahora bien. Los fenómenos económicos se describen con ecuaciones. Cuando se está considerando cambios o tasas de variación, se piensa inmediatamente en las derivadas. Para este tipo de funciones, se considera el cambio continuo del tiempo. Así, las expresiones

dy d 2 y matemáticas utilizadas serán , , etc. Al volver al ejemplo de los depósitos bancarios, sin dx dt 2 embargo no se puede tomar el cambio del tiempo de forma continua. Allí es preciso considerar cambios discretos del tiempo. Esta nueva forma de trabajar los cambios de una función en términos de variaciones discretas del tiempo introduce las ecuaciones en diferencias finitas, o bien, ecuaciones en diferencias. Considerar el tiempo en forma discreta sólo va a introducir cambios en la forma de escribir las expresiones matemáticas, porque en el fondo, considerar continuo o discreto el tiempo no va a alterar el análisis dinámico.

Definición de diferencias Sea y(x) una función definida en un dominio determinado y h una constante tal que x + h pertenece al dominio de la función. Se llama diferencia de y(x) o primera diferencia de y(x) a la función definida ∆y(x) = y(x +h) – y(x). El símbolo ∆ se denomina operador diferencia y la constante h, período o intervalo de diferencia. Se define segunda diferencia de y(x) a la función diferencia de la primera diferencia. Esto es,

∆2y(x) = ∆(∆y(x)) = ∆(x + h) - ∆y(x) = y(x + 2h) – y(x + h) – (y(x + h) – y(x)) = y(x + 2h) –2y(x + h) + y(x). Generalizando se tiene que la n-ésima diferencia de y(x) será la función diferencia de la (n –1)-ésima diferencia de y(x), la cual se denota n n k ∆ny(x) = ∆(∆n-1y(x)) = ∆n-1y(x + h) - ∆n-1y(x) = ∑  ( − 1) y ( x + (n − k )h) . k =0  k 

Para hacer la notación más funcional, en lugar de escribir y(x) se usará yx, y, sin pérdida de generalidad, la constante t se considerará igual a 1.

Notación usada habitualmente en economía En el contexto económico, el problema dinámico consiste en encontrar una trayectoria temporal a partir de un modelo de cambio dado de una variable y a través del tiempo. Este modelo de cambio se plantea como un cociente de diferencias. Dado que t sólo puede tomar valores enteros, al considerar los valores de y en dos períodos consecutivos, se tendrá que ∆t =

1. Esto significa que el cociente

∆y se transforma en ∆y, que corresponde a la primera ∆t

diferencia de y. Como se había dicho antes, el símbolo ∆ se denomina operador diferencia. En este contexto entonces, la primera diferencia se escribe

∆yt ≡ yt+1 - yt. Aquí yt representa

el valor de y en el t-ésimo período, yt+1 su valor en el período inmediatamente siguiente.

Definición de ecuación en diferencias Una ecuación en diferencias finitas, relativa a un conjunto S de valores de una variable independiente x, es una ecuación que relaciona la variable x, una función de dicha variable, que es la incógnita, y diferencias sucesivas de esta función, para cada

x ∈ S.

Se considerará S = ℵ ∪ {0}, lo cual no resta generalidad. Para el caso de economía, en lugar de x se usará t. Ejemplos. a)

∆3yt - 5∆yt + 2yt = x2. Al desarrollar los operadores diferencias se tiene:

yt+3 – 3yt+2 –2yt+1 + 6yt = x2 b)

∆yt = -0,1yt. Al desarrollar, queda lo siguiente: yt+1 – yt = -0,1yt. Simplificando da yt+1 – 0,9yt = 0, o bien, yt+1 = 0,9yt

c)

∆yt = 2. Al desarrollar queda yt+1 – yt = 2, que también se puede escribir yt+1 = yt + 2

Definición de solución de una ecuación en diferencias Dada una ecuación en diferencias finitas F(t, yt, yt+1,..., yt+n) = 0 relativa a un conjunto S, se dice que una función es solución de la ecuación si al sustituirla en la misma la convierte en una identidad en S. El conjunto de todas las soluciones de una ecuación en diferencias finitas lineal de orden n se le llama solución general, y en su expresión aparecen n constantes reales arbitrarias. A cada una de esas soluciones se le llama solución particular.

Teorema de existencia y unicidad Considérese la ecuación F(t, yt, yt+1,..., yt+n) = 0, una ecuación en diferencias finitas lineal de orden n, donde F está definida para todos los valores de las variables. Si y0, y1,..., yn-1, son números arbitrarios pero fijos, existe entonces una función unívocamente determinada yt que es una solución de la ecuación y que vale y0 en t = 0.

Ecuaciones lineales de primer orden con coeficientes constantes Sea la ecuación en diferencias lineal yt+1 = ayt + bt+1. Si se fija el valor y0, es posible calcular algebraicamente yt para valores pequeños de t. Así,

y1 = ay0 + b1,

(t = 0)

y2 = ay1 + b2 = a(ay0 + b1) + b2 = a2y0 + ab1 + b2 ,(t = 1) y3 = ay2 + b3 = a(a2y0 + ab1 + b2) + b3 = a3y0 + a2b1 + ab2 + b3, (t = 2)

Al generalizar las expresiones anteriores queda lo siguiente: t

∑a

yt+1 = aty0 + t

yt = a y0 +

t +k

k =1

t

∑a k =1

t +k

bk , (t = 0,1,2,...), o bien,

bk , (t =, 1,2...)

El proceso de encontrar la solución de una ecuación en diferencias en esta manera, se denomina método iterativo. Este método servirá para dar la forma general de la solución de una ecuación en diferencias.

Método general de resolución Resolver una ecuación en diferencias a través del método iterativo resulta engorroso. Preciso es buscar una forma más directa. Suponga que se tiene la ecuación yt+1 + ayt = c, donde a y c son constantes, a la cual se le quiere dar solución. La solución tendrá dos componentes: una función particular o integral particular yp, que será cualquier solución de la ecuación completa, no homogénea, y una función complementaria yc. Puede verse en este momento que existe una semejanza con las ecuaciones diferenciales en cuanto a los elementos de la solución. La suma de la integral particular y la función complementaria origina la solución general de la ecuación en diferencias. Para hallar la función complementaria se hará de la siguiente manera. De acuerdo con la solución encontrada por el método iterativo, se puede suponer la forma de la solución de esta manera: yt = Abt (con Abt ≠ 0, para evitar que y sea una recta horizontal situada en el eje t). Entonces yt+1 = Abt+1. Sustituyendo en la ecuación queda:

Abt+1 + a Abt = 0. Al sacar como factor común Abt queda b + a = 0, por lo tanto, b = -a. Esto quiere decir, al sustituir b por su valor, que yt = A(-a)t, que será la forma de la función complementaria. Para hallar la solución particular, se supondrá yt = k. Esto da que yt+1 = k. Sustituyendo en la ecuación queda k + ak = c,

k=

c , con a ≠ −1. Esta forma de la solución particular indica que el a +1

equilibrio es estacionario. Si se da el caso que a = −1, entonces se toma como solución yt = kt. Entonces, al escribir yt+1 = k(t + 1).Sustituyendo queda k(t + 1).+ akt = c. Se desarrolla y queda kt + k + akt = c; k(t + 1 + at) = c. Como a = -1, al sustituir solo queda 1, y por tanto k = c. Al unir las dos soluciones queda: y = A(-a)t +

c , con a ≠ −1, o bien, y = A(-a)t + c, con a = -1. a +1

Significado de las componentes de la solución Igual que en ecuaciones diferenciales, la integral particular yp representa el nivel de equilibrio intertemporal de y, y la función complementaria yc representa la desviación de la trayectoria temporal respecto al equilibrio.

Estabilidad dinámica del equilibrio La estabilidad dinámica del equilibrio en ecuaciones en diferencias viene dada por el término Abt. Significado de b. Que el equilibrio sea dinámicamente estable depende de que la función tienda o no a cero cuando t tiene a infinito. Esto significa que se debe analizar la trayectoria temporal del término Abt cuando t aumenta indefinidamente. La base de este exponente, b, es importante. Véase la figura 1:

Explosiva oscilante −∞

Oscilante

Valor de b Convergente Constante Convergente Constante Divergente oscilante

-1

0

en uno 1

∞

Figura 1. Comportamiento de la función según el valor de b

Resumiendo, si b > 0 será no oscilante, y si b< 0 será oscilante. Será divergente si b > 1, y si b < 1 será convergente. En el caso de b = 1 será divergente. Función de A. La función de A es de dos tipos. Dependiendo de la magnitud de A, hará un efecto de escala, esto es, aumentar o disminuir los valores de bt. Dependiendo del signo, generará un efecto de simetría, es decir, si A es negativo, cambiará la posición de la trayectoria temporal.

Ecuaciones en diferencias de segundo orden Una ecuación en diferencias de segundo orden es aquella que se expresa de la siguiente manera: ∆2yt, que se denomina diferencia segunda de yt, y no contiene diferencias de orden superior a dos. El símbolo ∆2 significa “tomar la diferencia segunda de”, en esta forma:

∆2yt, = ∆(∆yt) = ∆(yt+1 – yt) = (yt+2 – yt+1) – (yt+1 – yt) = yt+2 – 2yt+1 + yt. Una diferencia segundo orden significa que existe un retraso de dos períodos.

Método de resolución Sea la ecuación yt+2 + a1yt+1 + a2yt = c. Igual que en el caso de la ecuación de primer orden, hay dos términos en la solución: la solución particular yp y la función complementaria. yc. Función particular. Suponga yt = k. Entonces, yt+1 = k y yt+2 = k. Sustituyendo en la

ecuación queda: k + a1k + a2k = c. Sacando k factor común, queda: k =

+ a2) ≠ 0. Por lo que la integral particular yp será igual a y p =

c , con (1 + a1 1 + a1 + a2

c con 1 + a1 + a2

a1 + a2 ≠ -1.

Si se da el caso que a1 + a2 = -1 hay que suponer yt = kt. Entonces yt + 1 = k(t + 1), yt + 2 = k(t + 2).Al sustituir en la ecuación queda k(t + 2) + a1 k(t + 1) + a2 kt = c. Al

hacer los cálculos y simplificar queda k =

particular será entonces yt =

c , con a1 + a2 = -1. Por lo que la solución a1 + 2

c t . Aquí se necesita que a1≠ -2. a1 + 2

Finalmente, si a1 + a2 = -1 y a1= -2, se tiene que suponer como solución particular yt = kt2. Entonces yt + 1 = k(t + 1)2, yt + 2 = k(t + 2)2. Al sustituir en la ecuación y resolver

queda yp = kt2 =

c 2 t , con a1= -2 y a2 = 1. 2

Función complementaria Para hallar la función complementaria, se resuelve la ecuación homogénea yt+2 + a1yt+1 + a2yt = 0. Para ello se supondrá una solución de la forma: yt = Abt. De aquí se tiene que yt + 1 = Abt + 1, yt + 2 = Abt + 2. Al sustituir en la ecuación queda lo siguiente: Abt + 2 + a1 Abt + 1 + a2 Abt = 0. Se extrae como factor común, el cual es distinto de cero, Abt, y calculando resulta la ecuación cuadrática b2 + a1b + a2 = 0. Esta ecuación recibe el nombre de ecuación característica. Al resolver esta ecuación característica, por ser cuadrática, tendrá tres posibles resultados, dependiendo del comportamiento del discriminante. Sea entonces el planteamiento

de la solución: b1 , b2 =

− a1 ± a12 − 4a2 . Los casos son: raíces reales distintas, raíz real doble, 2

raíces complejas. Caso raíces reales distintas. Cuando a12 − 4a2 > 0, el discriminante es mayor que cero y el resultado serán dos raíces reales distintas. Esto significa que bt1 y bt2 son linealmente independientes y la función complementaria se escribirá como una combinación lineal de esos dos términos: yc = A1 bt1 + A2 bt2. Caso raíz real doble. Si a12 − 4a2 = 0, el discriminante es cero, por lo que queda como raíz doble. La función complementaria quedará yc = A1 bt1 + A2 bt1 = (A1 + A2)bt ≡ A3bt. Si bien esto es correcto, hace falta una componente en la función complementaria, dado que es una ecuación de segundo orden. Se necesita una expresión que sea linealmente independiente, y para hallarla, se multiplicará por t la expresión Abt, para que quede A4tbt, que será el término faltante. Entonces, la solución complementaria adoptará la forma yc = A3bt + A4tbt. Caso raíces complejas. Si a12 − 4a2 < 0, las raíces características serán conjugadas complejas. La forma de las mismas será b1, b2 = h ± ωi. Aquí. La función complementaria será entonces yc = A1 bt1 + A2 bt2. = A1(h + ωI)t + A2(h - ωI)t. Con el uso del teorema de Moivre, se hacen las transformaciones correspondientes para que finalmente quede la forma de la función complementaria así:

yc =Rt(A5cosθt + A6senθt), donde

cosθ =

h − a1 = , R 2 a2

senθ =

R = h +ω = 2

2

a12 + 4a2 − a12 = a2 , 4

ω a2 = 1 − 1 . Asimismo, A5 = A1 + A2, R 4a2

A6 = (A1 – A2)i.

Convergencia de la solución La convergencia de la solución yt, depende de su tendencia a cero cuando t tienda a infinito. El comportamiento de b, visto en la Figura 1, se aplica al caso de las ecuaciones de segundo orden, con el cuidado que ahora hay dos valores de b. Quiere decir que, si ambos valores de b son mayores que uno, el comportamiento será explosivo; si ambos valores son menores que uno, el comportamiento será convergente. Si uno de los valores es menor que uno y el otro valor es mayor que uno, la trayectoria será explosiva. Raíz dominante. Se define raíz dominante a la raíz con mayor valor absoluto. De acuerdo con esta definición, se afirma que una trayectoria temporal será convergente, independientemente de las condiciones iniciales, si y sólo si la raíz dominante es menor que uno en valor absoluto. En el caso de la raíz doble, se tiene una componente de la función complementaria que está multiplicada por t. Lo que ocurrirá será lo siguiente: si b es mayor que uno en valor absoluto, el efecto multiplicativo de t lo que hará será disparar la explosión de la función. Si b es menor que uno en valor absoluto, el efecto de t será nivelar al término bt. Sin embargo, la

amortiguación de este último término será mayor que la explosión de t, y por tanto, la trayectoria será convergente.