Ec Cu Der Part Alfabetic

y z , η = , ζ = z− y x x să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u x 2 2 + 2 xy + y 2 2 + 2 yz + z 2 2 + 2 zx =0 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y∂z ∂z ∂z∂x  y z y z ( a.) u ( x, y , z ) = ( z − y ) ϕ  ,  + ψ  ,  , unde ϕ ( ⋅, ⋅) şi ψ ( ⋅, ⋅)  x x  x x

Utizând schimbarea de variabile independente : ξ =

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

( a.)

c.

b.

d.

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este ( a.)

c.

b.

d.

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Ecuatia 2 caracteristicilor asociata acestei ecuatii este sinx⋅ y' − 2 cosx⋅ y'− sinx = 0 . Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip ( a.)

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este ( a.)

c.

b.

d.

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii . Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca , . Se integreaza aceste ecuatii si se gaseste . Daca ecuatia cu derivate partiale este de tip hiperbolic pe D atunci schimbarea de variabile pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei este ( a.)

d.

niciuna din variantele de mai sus

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii . cu . Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale ( d. )

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este De aici rezulta ca ( d. )

unde f,g sunt functii de clasa

.

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este De aici rezulta ca

unde f,g sunt functii ce admit primitive cel putin local.

( b.)

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este De aici rezulta ca ( b. )

unde f este functie ce admite primitive cel putin local.

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este De aici rezulta ca ( b. )

unde f,g sunt functii de clasa

.

Solutiile generale ale ecuatiei caracteristicilor asociate ecuatiei unde c este o constanta , sunt ( a. )

unde

Se aplica metoda separarii variabilelor ecuatiei cu derivate partiale Se cauta o solutie de forma . Rezulta atunci ca X,T satisfac ecuatia ( c. )

numere reale

Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + − + − = 0, 4 5 ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ∂x ∂y 5 u ( x, y ) = f ( x + y ) + e 6

( c.)

(

)

u y =1 = ϕ0 ( x ) ,

 3 1 u ( x, y ) = ϕ 0 x 3 y + yϕ 0  4 4 

x y

u ( x, y ) =

y =0

∂u ∂y

= ϕ1 ( x ) y =1 x y

7 − x 3 4 3 34 3 x y ∫ ϕ 0 ( x ) x dx − x y ∫ ϕ1 ( x ) x 4 dx + y  16 4 3 x y x3 y

Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic: ∂ 2u ∂ 2u 2 2 + x − + y 1 1 ( ) ∂x2 ( ) ∂y 2 + x ∂∂ux − y ∂∂uy = 0 , ( a.)

= F ( x)

y x−  x − 5y z  5 z   6 ′ 6  ∫ e f ( z ) dz − ∫ e F ( z ) dz  x+ y  x + y 

x+ y − 6

Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic: 2 2 ∂ 2u 2 ∂ u 2 ∂ u x − 2 xy − 3y =0, ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2 ( d.)

∂u ∂y

u y =0 = f ( x ) ,

−

7 4

u y = 0 = ϕ0 ( x ) ,

∂u ∂y

= ϕ1 ( x ) y =0

1   α − 1   β − 1  1 β 1  z − 1  ϕ1  ϕ0   ϕ0   −  dz 2   2α   2 β   2 ∫α z  2 z  2

(

unde, α = x + 1 + x 2

2

)(

2

)

y + 1+ y2 ,

β=

x + 1 + x2 y + 1 + y2

Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 + 2 cos x − sin x − sin x =0, 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y

( b.)

u ( x, y ) =

u y =sin x = ϕ0 ( x ) , x −sin x + y

∂u ∂y

1 1 ϕ1 ( z ) dz ϕ0 ( x − sin x + y ) + ϕ0 ( x + sin x − y )  + 2 2 x +sin∫x − y

= ϕ1 ( x ) y =sin x

Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: u ( x, y ) =

( b.)

ϕ ( x − y ) +ψ ( x + y )

2 ∂  2 ∂u  2 ∂ u = x x   ∂x  ∂x  ∂y 2

x

Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ( x − y ) ( c.)

u ( x, y ) =

X ( x) − Y ( y) x− y

∂ 2u ∂u ∂u − + =0 ∂x∂y ∂x ∂y

, unde X ( x ) şi Y ( y ) sunt funcŃii arbitrare

2 Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ∂ u + y ∂u + x ∂u + xyu = 0 ∂x∂y ∂x ∂y

( d.)

u ( x, y ) = e

−

x2 + y 2 2

ϕ ( x ) + ψ ( y ) 

Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u a 2 a a a11a22 = a122 = + + 11 12 22 2 2 2 ∂t ∂x ∂x∂y ∂y

(

(

) (

)

u ( x, y, t ) = ϕ x + a11t , y + a22t + ψ x − a11t , y − a22t

( b.)

unde ϕ şi ψ sunt funcŃii arbitrare.

)

Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, 2 ∂ 2u precizând transformarea făcută: ∂ u x 2 + y 2 =0 ∂x ∂y ( d.) ecuaŃia este de tip eliptic pe exteriorul cercului x + y = 1 , iar forma canonică 2

2

este:

1 − x2 − y 2 ∂ 2 u ∂ 2u y + = = = 0 , , ξ η ∂ξ 2 ∂η 2 x −1 x −1 Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u 1 − x2 2 xy 1 y − − + − 2x − 2 y =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2 2 ( a.) pentru 1 − x + y > 0 ecuaŃia este de tip hiperbolic, iar, forma canonică este:

(

)

∂ 2 u ∂ 2u − =0, ∂ξ 2 ∂η 2

(

)

ξ=

y , 1+ x

η=

1 − x2 + y 2 1+ x

Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: 2 2 ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u 2 ∂ u − + + + =0 x 2 xy y x y 2 2 a. u x , y = x ⋅ y ln y + x ⋅ y ϕ ψ ( ) ( ) ( ) ( ) ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 4 4 4 Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ∂ u4 − 2 ∂2 u 2 + ∂ u4 = 0 ∂x ∂x ∂y ∂y

u ( x, y ) = ( x − y ) f1 ( x + y ) + ( x + y ) f 2 ( x − y ) + f3 ( x − y ) + f 4 ( x + y )

( c.)

unde f k ( ⋅)

( k = 1, 4 ) sunt funcŃii arbitrare

2 2 2 Să se rezolve ecuaŃia de tip hiperbolic: ∂ u + 2 ∂ u − 3 ∂ u = 0 , ∂x 2 ∂x∂y ∂y 2

( d.)

∂u ∂y

u y =0 = 3x 2 ,

u ( x, y ) = 3x 2 + y 2

2 2 Să se rezolve problema Cauchy pentru ecuaŃia: ∂ u − ∂ u = 0 cu condiŃiile iniŃiale: ∂t 2 ∂x 2 2 2 ( a.) u ( x, t ) = t + x

u

Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 1 ∂u 2 + − + cos x + sin 2 x = 0. x x 2sin cos 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x 2 ∂y ∂ 2u 1 ξ + η ∂u + cos =0 , ∂ξ∂η 2 2 ∂η

( c.)

ξ = x + y + cos x ,

η = x − y − cos x

Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u x + 2 xy − 3y − 2 x + 4 y + 16 x 4u = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2

∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + ⋅ − +u = 0 , ∂ξ∂η 4η ∂ξ ξ ∂η

( d.)

ξ = xy ,

η=

x3 y

Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 2 ∂u ∂u 2 ∂ u 2 ∂ u 1+ x + 1+ y +x +y = 0. 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

(

( a.)

)

=0 y =0

(

∂ 2u ∂ 2u + =0, ∂ξ 2 ∂η 2

)

(

)

ξ = ln x + 1 + x 2 ,

(

η = ln y + 1 + y 2

)

t =0

= x2 ,

∂u ∂t

t =0

=0

Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2u ∂u + y 2 +α = 0 , unde α = constant 2 ∂x ∂y ∂y ( b.) ecuaŃia este de tip hiperbolic dacă y < 0 , iar forma canonică este: 1 α −  2  ∂u 2 ∂u − ∂u  = 0 , ξ = x − 2 − y ( y < 0 ) −    ∂ξ∂η ξ − η  ∂ξ ∂η  η = x + 2 − y Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi y, apoi să se aducă la forma canonică, precizând transformarea făcută: ∂ 2u ∂ 2u y 2 +x 2 =0 ∂x ∂y ( c.) ecuaŃia este de tip eliptic dacă x > 0 , y > 0, iar, forma canonică este: 3  x = − ξ ( )2   3 η = ( − y ) 2 

∂ u ∂ u 1 ∂u 1 ∂u + + + =0 , ∂ξ 2 ∂η 2 3ξ ∂ξ 3η ∂η 2

2

Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − − − cos x =0 2sin x cos x 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ( b.)

u ( x, y ) = ϕ ( x + y − cos x ) +ψ ( x − y + cos x )

Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: ∂ 2u ∂ 2u 1  ∂u ∂u  a. x 2 − y 2 +  −  = 0 , ( x > 0, y > 0 ) . ∂x ∂y 2  ∂x ∂y  ( c.)

u ( x, y ) = ϕ

(

) (

x − y +ψ

x+ y

)

x, y > 0

2 2 Să se rezolve ecuaŃii diferenŃiale cu derivate parŃiale de ordinul doi: x 2 ∂ u − y 2 ∂ u − 2 y ∂u = 0 ∂x 2 ∂y 2 ∂y x  y ( d.) u ( x, y ) = ϕ ( x, y ) + ψ   y x

Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 ∂ u xy x 2 2 + + +y = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ∂ 2 u ∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + 2+ ⋅ + ⋅ =0, ( a.) 2 ∂ξ ∂η ξ − η ∂ξ 2η ∂η

y2

ξ = x2 − y 2 ,

η = x2

Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u tg 2 x 2 − 2 y tgx + y 2 2 + tg 3 x = 0. ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ( b.)

∂ 2u 2ξ ∂u − ⋅ =0 , ∂η 2 η 2 ∂ξ

ξ = y sin x ,

η=y

Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u + y 2 2 = 0. sin 2 x 2 − 2 y sin x ∂x ∂x∂y ∂y ( b.)

∂ 2u 2ξ ∂u − 2 ⋅ =0, 2 2 ∂η ξ + η ∂ξ

ξ = ytg

x , 2

η=y

Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u cth 2 x 2 − 2 y cthx + y2 2 + 2 y = 0. ∂x ∂x∂y ∂x ∂y ( c.)

∂ 2u ∂u  1  ∂u + +η ξ =0 , 2 2  ∂η 1 + η  ∂ξ ∂η 

ξ = y chx ,

η = shx

Să se stabilească tipul ecuaŃiei în funcŃie de x şi apoi să se aducă la forma canonică, precizând ∂ 2u ∂ 2 u transformarea făcută: y 2 + 2 = 0. ∂x ∂y ( a.) ecuaŃia este de tip eliptic dacă y > 0 ,iar, forma canonică este:

∂ 2u ∂ 2u 1 ∂u + + =0, ∂ξ 2 ∂η 2 3η ∂η

ξ=x,

η=

2 32 y 3

( y > 0)

O conditie de tipul ( a.)

b.

...................................

O conditie la limita

c.

pentru orice

. reprezinta

Niciuna din variantele de mai sus

O conditie initiala

si

pentru

Se considera ecuatia O conditie de tipul

, pentru

...................................

( b.)

si

pentru

Se considera ecuatia

. reprezinta

O conditie initiala

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + 2 − 3 + 2 + 6 = 0. Să se aducă la forma canonică indicând transformările de variabile: 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ( a.)

∂ 2u 1 ∂u + =0 , ∂ξ∂η 2 ∂ξ

ξ = x+ y ,

η = 3x − y

Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u + 4 + 5 + +2 =0 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ( b.)

∂ 2u ∂ 2u ∂u + + =0 , ∂ξ 2 ∂η 2 ∂η

ξ = 2x − y ,

η=x

Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u −2 + 2 +α +β + cu = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y ∂ 2u ∂u ∂u + (α + β ) +β + cu = 0 , ξ = x + y , η = y 2 ∂η ∂ξ ∂η Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 2 − − + −y =0 2 cos x 3 sin x ( ) 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂y ( c. )

( d.)

∂ 2u η − ξ  ∂u ∂u  + −  =0, ∂ξ∂η 32  ∂ξ ∂η 

ξ = 2 x + sin x + y ,

η = 2 x - sin x - y

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei forma canonica este Atunci ecuatia este de tip a.

hiperbolic

( c.)

b.

parabolic

d.

eliptic niciuna din variantele de mai sus

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei Atunci ecuatia este de tip

forma canonica este ( a.)

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

Se considera o ecuatie liniara si omogena de ordinul al doilea cu coeficienti constanti a carei Atunci ecuatia este de tip

forma canonica este a.

hiperbolic

c.

eliptic

( b.)

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

Se da ecuatia diferentiala Sa se identifice intre ecuatiile cu derivatele partiale de mai jos acea ecuatie care admite ecuatia de mai sus ca ecuatie a caracteristicilor:

( a.)

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu

. Ecuatia

caracteristicilor asociata acestei ecuatii este . Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca

functii complex conjugate asa ca in fiecare punct Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip a.

hiperbolic

( c.)

b.

parabolic

d.

cu

, ,

nu este reala.

eliptic niciuna din variantele de mai sus

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii . cu . Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale a.

c.

b.

( d.)

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii . cu . Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale a.

( c.)

b.

d.

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 cu ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii . cu . Sa se identifice mai jos schimbarea de variabile potrivita pentru reducerea la forma canonica a ecuatiei cu derivate partiale. a.

( c.)

b.

d.

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este a.

c.

( b.)

d.

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este ( a.)

c.

b.

d.

Se da ecuatia cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2

Ecuatia caracteristicilor asociata acestei ecuatii este

( F) =========

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu

cu ecuatie

a caracteristicilor asociata . Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca functii reale si distincte in fiecare punct Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip ( a.)

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

,

cu .

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu

. Ecuatia

caracteristicilor asociata acestei ecuatii este Se rezolva ecuatia caracteristicilor si se gaseste ca

functie reala in

cu

. Atunci pe D ecuatia de mai sus este de tip

fiecare punct a.

hiperbolic

c.

eliptic

( b.)

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate:

∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u ∂u 1 ∂u 2 + 2sin x − cos x 2 + cos x + sin 2 x = 0. 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x 2 ∂y ( c.)

∂ 2u 1 ξ + η ∂u + cos =0 , ∂ξ∂η 2 2 ∂η

ξ = x + y + cos x ,

η = x − y − cos x

Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 ∂ 2u ∂ 2u ∂u ∂u 2 ∂ u x + 2 xy − 3y − 2 x + 4 y + 16 x 4u = 0. 2 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y 2

( d.)

∂ 2u 1 ∂u 1 ∂u + ⋅ − +u = 0 , ∂ξ∂η 4η ∂ξ ξ ∂η

ξ = xy ,

η=

x3 y

Să se aducă la forma canonică şi să se indice transformările de variabile efectuate: 2 2 ∂u ∂u 2 ∂ u 2 ∂ u 1+ x + 1+ y +x +y = 0. 2 2 ∂x ∂y ∂x ∂y

(

( a.)

)

(

∂ 2u ∂ 2u + =0, ∂ξ 2 ∂η 2

)

(

)

ξ = ln x + 1 + x 2 ,

(

η = ln y + 1 + y 2

)

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe asociata acestei ecuatii este

. Ecuatia caracteristicilor

. Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip (a. )

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe asociata acestei ecuatii 2

cu ecuatia caracteristicilor

y' − cos x ⋅ y'+ 3 = 0

Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip a.

hiperbolic

( c.)

b.

parabolic

d.

eliptic niciuna din variantele de mai sus

Se da o ecuatie cvasiliniara cu derivate partiale de ordin 2 pe asociata acestei ecuatii 2

cu ecuatia caracteristicilor

y' − 2cos x ⋅ y'+ 4 = 0

Atunci aceasta ecuatie cvasiliniara este de tip a.

hiperbolic

( c.)

b.

parabolic

d.

eliptic niciuna din variantele de mai sus

Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de . Notam

variabile

Atunci este adevarat ca

( b.)

Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile

. Notam

Atunci

contine (cu + sau - in fata) termenul ( b. )

Pentru ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare conditiile sunt ( a. )

conditii initiale

Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile

. Notam

Atunci este adevarat ca

( b. )

Pentru a reduce la forma canonica o ecuatie cu derivate partiale se utilizeaza schimbarea de variabile

. Notam

Atunci

contine (cu + sau - in fata) termenul ( b.)

Pentru rezolvarea problemei Dirichlet pentru disc se trece la coordonate polare dupa care se aplica metoda separarii variabilelor

( a.)

Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie: Folosim schimbarea de variabila : ( b.)

ξ=y-x; η =2x

Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie :

Folosim schimbarea de variabila ξ =3y-x ; η =x+y. ( F ) =========

Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabila ξ=y-x; η =2x. ( F )

=========

Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabila ξ=2x-y; η =3x. ( A ) =========

Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=x+2y; η =2x-y. ( F ) =========

Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-y; η =3x. ( F ) =========

Pentru rezolvarea ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare, cu constanta c=1 se aduce ecuatia la forma canonica si apoi se rezolva ecuatia care rezulta. Se obtine ( d.)

unde f,g sunt functii de clasa

.

Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile............................. ξ=x+y; η =x. ( A ) Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ............................. ξ=2x-3y; η=3x-y. ( F ) Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ............................. ξ=x+3y; η =x. ( A ) Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y. ( F ) ............................. Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=2x-3y; η =x-y. ( F ) .............................

Pentru a aduce la forma canonica urmatoarea ecuatie:

Folosim schimbarea de variabile ξ=-x+y; η =-x+2y. ( A ) .............................

Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip eliptic. este c.

a.

Forma canonica a ecuatiei

este

c.

( a.)

este

c.

b.

( d.)

este

Forma canonica a ecuatiei

( c.)

b.

a.

d.

este

Forma canonica a ecuatiei

a.

d.

b.

Forma canonica a ecuatiei

a.

( d.)

b.

c.

b.

(d.)

Forma canonica a ecuatiei coardei vibrante fara forte perturbatoare este c.

( a. )

b.

d.

Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip hiperbolic. este c.

( a.)

b.

d.

Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti de tip parabolic. este ( c.)

a.

b.

d.

Forma canonica a unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti . este De aici rezulta ca a.

b. c.

d.

unde f este functie de clasa

.

unde f,g sunt functii de clasa unde f este functie de clasa unde f,g sunt functii de clasa

(e ) Niciuna din variantele de mai sus

. . .

Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip hiperbolic este c.

( a.)

d.

b.

Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip parabolic este a.

c.

( b.)

d.

Forma canonica a ecuatiei este

a.

b.

( c. )

d.

Forma canonica a unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 de tip eliptic este

a.

b.

c.

( d.)

Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu este . Atunci daca

pe D ecuatia de mai sus este de tip

a.

hiperbolic

c.

eliptic

( b.)

parabolic

d.

nu putem decide tipul ecuatiei

Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un este domeniu . Atunci daca

pe D ecuatia de mai sus este de tip

a.

hiperbolic

( c.)

b.

parabolic

d.

eliptic criteriul nu decide tipul ecuatiei

Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii cvasiliniare cu derivate partiale de ordin 2 pe un domeniu . Atunci daca

este pe D ecuatia de mai sus este de tip

( a.)

hiperbolic

c.

eliptic

b.

parabolic

d.

nu putem decide tipul ecuatiei

Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare si omogene in raport cu derivatele de ordinul al doilea cu coeficienti constanti are forma unde a,b,c sunt niste numere reale constante.

(F ) =========

Ecuatia

unde c>0 este o constanta , reprezinta

a.

ecuatia propagarii caldurii

d.

ecuatia neomogena a coardei vibrante

b.

problema Dirichlet pentru disc

e.

Niciuna din variantele de mai sus

ecuatia coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare

( c.)

reprezinta o forma particulara a

Ecuatia

ecuatiei propagarii caldurii

b.

problemei Dirichlet pentru disc

( c.)

ecuatiei neomemogene a coardei vibrante

d.

a.

e.

Niciuna din variantele de mai sus

ecuatiei coardei vibrante in absenta fortelor perturbatoare

Ecuatia caracteristicilor asociata unei ecuatii liniare omogene cu derivate partiale de ordin 2 este unde c este o constanta . Care este schimbarea de variabile potrivita pentru aducerea ecuatiei cu derivate partiale la forma canonica? c.

( a. )

b.

DeterminaŃi forma unei coarde la momentul t =

π 2a

2 ∂ 2u 2 ∂ u a − şi de condiŃiile iniŃiale u ∂t 2 ∂x 2

a. b.

u ( x, t ) = sin ax cos t + t

u ( x, t ) = sin x cos t + t

d.

2

( c.)

dacă mişcarea ei este definită de ecuaŃia: t =0

= sin x,

u ( x, t ) =

π 2a

∂u ∂t d.

t =0

= 1.

u ( x, t ) =

1 sin x cos at 2a

∂ 2u ∂ 2u  2 − 2 =0 ∂x  ∂t DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:  u = x, ∂u = − x t =0  t = 0 ∂t 2 ∂ 2u 2 ∂ u − =0 a  2 ∂x 2  ∂t DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:  u = 0, ∂u = cos x t =0  t =0 ∂t

 ∂ 2u ∂ 2u 4 − =0  ∂x 2 DeterminaŃi soluŃia ecuaŃiei:  ∂t 2  u = 0, ∂u = x t =0  t = 0 ∂t

( d.)

( a.)

( b.)

u ( x, t ) = x (1 − t )

u ( x, t ) =

1 cos x sin at a

u ( x, t ) = xt

Consideram ecuatia coardei vibrante fara forte perturbatoare cu conditiile initiale

si conditiile la limita si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma ( a.)

c.

b.

d.

cu conditia initiala

Consideram urmatoarea ecuatie si conditiile pe frontiera

si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma . Rezulta atunci ca exista un numar constant k asa ca X,T satisfac ecuatia a.

b.

c.

( d. )

Consideram urmatoarea ecuatie

a>0. Aceasta este

a.

ecuatia omogena a coardei vibrante

b.

ecuatia neomogena a coardei vibrante d.

Consideram urmatoarea ecuatie

( c.)

ecuatia propagarii caldurii ecuatia lui Laplace

a>0. Aceasta este o ecuatie de tip

a.

hiperbolic

c.

eliptic

( b.)

parabolic

d.

niciuna din variantele de mai sus. Aceasta este

Consideram urmatoarea ecuatie a.

ecuatia omogena a coardei vibrante

b.

ecuatia neomogena a coardei vibrante (d. ) ecuatia lui Laplace

hiperbolic

b.

parabolic

ecuatia caldurii

Aceasta este o ecuatie de tip

Consideram urmatoarea ecuatie a.

c.

c. ( d.)

eliptic nicuna din variantele de mai sus

Consideram ecuatia propagarii caldurii cu conditia initiala si conditiile pe frontiera si incercam sa o rezolvam cu metoda separarii variabilelor. La primul pas cautam o solutie particulara a ecuatiei initiale de forma ( a.)

c.

b.

d.