Introdu¸c˜ao `a Teoria de Probabilidade. Inform´ atica Biom´ edica. Departamento de F´ısica e Matem´atica. USP-RP. Prof. Rafael A. Rosales
30 de maio de 2007.
Lista de Exerc´ıcios 4 † s˜ao dif´ıceis, †† s˜ao bem mais dif´ıceis. Fa¸cam os exerc´ıcios do livro de C. Dantas antes de fazer esta lista. (†† ´e material avan¸cado e s´o devera ser estudado depois de uma primeira revis˜ao. De qualquer maneira, a maioria dos problemas †† est˜ao resolvidos no gabarito “Respostas”.)
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Vari´ aveis Aleat´ orias
54. Considere a v.a. discreta X com distribui¸c˜ao de probabilidade P (X = 2) = 1/10, P (X = 3) = 1/10, P (X = 4) = 4/10, P (X = 5) = 2/10, P (X = 6) = 1/10, P (X = 7) = 1/10. Determine (i) P (X ≥ 6); (ii) P (|X − 4| > 2); (iii) P (X = a), a ´e um n´ umero primo. 55. Seja X uma v.a. discreta com distribui¸c˜ao de probabilidade dada por ( c2−x , x ∈ N, P (X = x) = ¯ 0, x ∈ N. ¯ ´e o complemento de N. Determine: (i) O valor da onde N = {0, 1, 2, . . .}, e N constante c; (ii) P (X ≤ 2); (iii) P (X > 5); (iv) P (X ser ´ımpar). 56. Considere o lan¸camento de dois dados simultaneamente. Para cada um dos items a seguir determine Im(X), e P (X = x), ∀ x ∈ Im(X): (i) X: maior valor observado no lan¸camento dos sois dados. (ii) X ´e a soma dos valores observados. (iii) X ´e o produto dos valores observados. (iv) X ´e a diferen¸ca entre o maior valor observado e o menor valor observado. 57. Seja X uma v.a. cuja fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao ´e dada por 0, x < 0, 1/3, 0 ≤ x < 1, F (x) = 1/2, 1 ≤ x < 2, 1, x ≥ 2. 1
Calcular: P ( 12 ≤ X ≤ 32 ), P ( 21 ≤ X < 32 ), P ( 12 ≤ X ≤ 1), P ( 12 ≤ X < 1), P (1 < X < 2), P (1 ≤ X ≤ 2) e P (X > 1). 58. Cinco bolas s˜ao selecionadas aleatoriamente sem reposi¸c˜ao de uma urna contendo N bolas numeradas de 1 at´e N , N > 5. Seja X a v.a. que denota o maior valor selecionado, determine a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de X. 59. Quais s˜ao os valores da constante C para que as seguintes fun¸c˜oes sejam distribui¸c˜oes nos enteiros positivos 1, 2, . . .? (i) Geom´etrica: P (X = x) = C2−x . (ii) Logar´ıtmica: P (X = x) = C2−x /x. (iii) Quadr´atica inversa: P (X = x) = Cx−2 . (iv) Poisson “modificada”: P (X = x) = C2x /x!. 60. Seja Ω = {ω1 , ω2 , ω3 }, com P(ω1 ) = P(ω2 ) = P(ω3 ) = 31 . Defina X, Y, Z : Ω → R tal que X(ω1 ) = 1, X(ω2 ) = 2, X(ω3 ) = 3, Y (ω1 ) = 2, Y (ω2 ) = 3, Y (ω3 ) = 1, Z(ω1 ) = 2, Z(ω2 ) = 2, Z(ω3 ) = 1. Mostrar que X e Y tem as mesmas distribui¸c˜oes. Encontra a fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao de X + Y , XY , e X/Y . 61.† Seja X uma v.a. definida em (Ω, A , P), e a uma constante. Mostrar que (i) aX ´e uma vari´avel aleat´oria, (ii) X − X = 0 ´e uma vari´avel aleat´oria sempre igual a cero, e X + X = 2X. 62. Seja X uma v.a. com fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao F . Qual ´e a distribui¸c˜ao de Y = aX + b, onde a e b s˜ao constantes (∈ R)? 63.† Seja X uma v.a. e seja g : R → R uma fun¸c˜ao continua e estritamente crescente. Mostrar que Y = g(X) ´e uma v.a. 64. O lan¸camento de uma moeda resulta em cara com probabilidade p. A moeda e lan¸cada at´e aparecer a primeira cara. Seja X o n´ umero total de lan¸camentos, qual ´e a probabilidade P (X > m)? Encontrar a fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao de X. 65. Expressar as fun¸c˜oes de distribui¸c˜ao de X + = max{0, X},
X − = min{0, X},
|X| = X + + X − ,
em termos da fun¸c˜ao de distribui¸c˜ao F da v.a. X. 2
−X,
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Esperan¸ca matem´ atica e variˆ ancia
66. Para cada uma das v.a. no exerc´ıcio ** encontrar: (i) P (X > 1), (ii) E[X], (iii) P (X ´e par). 67. Mostre, para toda vari´avel aleat´oria X discreta, que: (i) Se existe uma constante α tal que P (X ≥ α) = 1, ent˜ao E[X] ≥ α. (ii) Se existe uma constante β tal que P (X ≤ β) = 1, ent˜ao E[X] ≤ β. Se X ≤ Y , isto ´e, {w ∈ Ω : X(w) ≤ Y (w)}, ent˜ao E[X] ≤ E[Y ]. 68. Seja X uma vari´avel aleat´oria com E[X 2 ] < ∞ e sejam a e b constantes reais. Mostrar que Var(aX + b) = a2 Var(X). [pode come¸car mostrando que Var(X + b) = Var(X).] 69. Considere dois lan¸camentos consecutivos de um dado. Sejam X: n´ umero de vezes em que ´e obtida a face 1, x = 0, 1, 2. Y : n´ umero de vezes em que ´e obtida a face 6, y = 0, 1, 2. Z = X + Y : n´ umero de vezes em que aparece ou uma face 1 ou uma face 6, z = 0, 1, 2. Determine Var(X), Var(Y ), Var(Z). ´ verdade que Var(X + Y ) = Var(Y ) + Var(Z)? E 70. Para um grupo de n pessoas, determine o n´ umero esperado de dias do ano que s˜ao anivers´ario de exatamente k pessoas, k ≤ n. [Suponha que o ano tem 365 dias e que todos os arranjos s˜ao equiprov´aveis.] 71. Um homem possui em seu chaveiro n chaves e deseja abrir a porta de sua casa experimentando as chaves ao acaso e independentemente. Determine a m´edia e a variˆancia do n´ umero de tentativas se (i) as chaves incorretas s˜ao descartadas e, conseq¨ uentemente, n˜ao mais selecionadas; (ii) as chaves incorretas n˜ao s˜ao separadas, podendo ser escolhidas novamente. Admita que apenas uma chave consegue abrir a porta. 72. Uma urna cont´em bolas numeradas de 1 a N . Uma pessoa retira uma bola e a devolve, retira uma segunda bola e a devolve, e procede desta forma at´e obter uma bola pela segunda vez, isto ´e, at´e obter uma bola j´a retirada anteriormente. Seja X o n´ umero total de extra¸c˜oes necess´arias para obter esta repeti¸c˜ao, (i) obtenha a distribui¸c˜ao de X [calcule P (X > k)], (ii) Mostre que 1 2 1 2 n − 1 1 + 1− 1− +...+ 1− 1− ··· 1− E[X] = 2 + 1 − n n n n n n 73.†† Cada membro de um grupo de n jogadores lan¸ca um dado (s´o uma vez). (i) Se o grupo ganha um ponto por cada par de jogadores cujo la¸camento tem o mesmo resultado, encontrar a m´edia e a variˆancia do total de pontos do grupo. (ii) Encontrar a m´edia e a variˆancia dos pontos totais do grupo se qualquer par de 3
jogadores que lan¸cam o mesmo n´ umero k (k = 1, 2, . . . , 6), ganham k pontos. 74. Das 2n pessoas de um grupo de n cassais, morem exatamente m. Se as m pessoas s˜ao selecionadas ao acaso, calcule o n´ umero m´edio de cassais sobreviventes. [Este problema foi formulado por Daniel Bernoulli em 1768.] 75. Mostrar que se Var(X) = 0 ent˜ao X ´e constante; isto ´e, existe a ∈ R tal que P (X = a) = 1. [Mostrar primeiro que se E[X 2 ] = 0 ent˜ao P (X = 0) = 1.] 76. Seja X uma v.a. discreta e g : R → R. Mostrar que X E[g(X)] = g(x)P (X = x) x
se a soma existe.
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Esperan¸ca condicionada
Defini¸ c˜ ao. Seja X e Y duas vari´aveis aleat´orias definidas em (Ω, A , P). A esperan¸ca condicional de X dado o evento {Y = y} ´e definida por X E[X|Y = y] = xP (X = x, Y = y)/P (Y = y), (1) x
sempre e quando P (Y = y) > 0. Observamos que a medida que y varia sobre os poss´ıveis valores de Y , E[X|Y = y] define uma fun¸c˜ao de Y , denotada por E[X|Y ]. Dado que Y ´e uma vari´avel aleat´oria, Y (ω), a fun¸c˜ao assim definida tamb´em ´e uma vari´avel aleat´oria, isto ´e Y (ω) 7→ E[X|Y ](ω), e portanto faz sentido calcular o seu valor esperado E[E[X|Y ]]. 77. Mostrar as seguintes propriedades da esperan¸ca condicionada. (i) E[aY + bZ|X = x] = aE[Y |X = x] + bE[Z|X = x], a, b ∈ R. (ii) E[Y |X = x] ≥ 0 se Y ≥ 0. (iii) E[1|X = x] = 1. (iv) Se X e Y s˜ao independentes, ent˜ao E[Y |X = x] = E[Y ]. (vi) E[Y g(X)|X = x] = g(x)[Y |X = x] para qualquer fun¸c˜ao continua g. (v) E{E[Y |X, Z]|X} = E[Y |X].
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Independˆ encia de vari´ aveis aleat´ orias
78. Sejam X e Y v.a. independentes, cada uma com valores -1 ou 1 com probabilidade 1/2. Seja Z = XY . Mostrar que X, Y e Z s˜ao independentes a pares. Ser˜ao as trˆes independentes? 79.† Sejam X e Y v.a. independentes com valores nos enteiros positivos e com a mesma distribui¸c˜ao P (X = x) = 2−x , x = 1, 2, . . .. Encontrar (i) P (min{X, Y } ≤ x). (iii) P (X = Y ). (v) P (X divide Y ).
(ii) P (Y > X). (iv) P (X ≥ kY ), k enteiro positivo. (vi) P (X = rY ), r racional positivo.
80.† Trˆes jogadores A, B e C se revezam para jogar um dado de acordo a ordem ABC, ABC, A . . . (i) Mostrar que a probabilidade de que A seja o primeiro em lan¸car um 6, logo B e finalmente tamb´em C ´e 216/1001. (ii) Mostrar que a probabilidade de que o primeiro 6 seja lan¸cado por A, o segundo por B, e o terceiro por C ´e 46656/753571. 81.†† (a) Sejam X e Y v.a. discretas e independentes. Sejam g, h : R → R. Mostrar que g(X) e h(Y ) s˜ao independentes. (b) Mostrar que duas v.a. X e Y s˜ao independentes se, e somente se, P (X = x, Y = y) = P (X = x)P (Y = y) para todo x ∈ Im(X), y ∈ Im(Y ). (c) Mais geralmente, mostrar que X e Y s˜ao independentes se, e somente se, P (X = x, Y = y) pode ser fatorada como o produto g(x)h(y) de uma fun¸c˜ao de x e outra de y. 82.†† Sejam X, Y duas vari´aveis aleat´orias independentes as quais podem assumir unicamente os valores {−1, 1}, de tal maneira que P(X = 1) = a, P(Y = 1) = γ. Uma terceira vari´avel aleat´oria, Z, ´e definida por Z = cos((X + Y ) π2 ). Se 0 < a, γ < 1, mostre que existem valores u ´nicos de a e γ tais que X e Z s˜ao independentes, e Y e Z s˜ao independentes. Neste caso, ser˜ao X, Y e Z independentes?
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