E1_243005_9.pdf

Etapa 1 – Modelar el sistema dinámico en el dominio del tiempo

Presentado por: Eduardo Rojas Murcia. Código: Camilo Andrés Leon. Código: 1010168496. Diego Alejandro Romero. Código: Andrés Felipe Norera. Código: 1015423347. Deivy Faviany Vanegas Vásquez. Código: 80829122.

Curso: 243005_9.

Presentado a: Ing. Santiago Rua.

Universidad Nacional Abierta y a Distancia “UNAD”. Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería. CEAD José Acevedo y Gómez. Ingeniería Electrónica. Sistemas Dinámicos. 14/03/2019.

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Tabla de contenidos Introducción ................................................................................................................................... iii Objetivos ........................................................................................................................................ iv 1.

Desarrollo de la actividad ........................................................................................................ 1

Conclusiones ................................................................................................................................. 49 Referencias Bibliográficas ............................................................................................................ 50

iii

Introducción Con el desarrollo de la presente actividad Etapa 1 Modelar el sistema dinámico en el dominio del tiempo se pretende aplicar los principios de modelamiento de un sistema dinámico en el dominio del tiempo para determinar las ecuaciones diferenciales y variables de estado que lo representan. Para analizar cualquiera sistema es necesario tener un modelo matemático y se define como Modelo Matemático la representación matemática de un proceso. El concepto de sistemas, es el primer paso crítico en la construcción de un modelo físico. Un sistema puede definirse a través de sus componentes e interconexiones, el modelo físico puede construirse representando de manera gráfica a los componentes que conforman el sistema y sus interacciones, una vez que se deducen del comportamiento global observadas del sistema, ya sea el real o el deseado. La dinámica de sistemas trata del modelado matemático y el análisis de la respuesta de los sistemas dinámicos.

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Objetivos •

Aplicar los principios de modelamiento de un sistema dinámico en el dominio del tiempo para determinar las ecuaciones diferenciales y variables de estado que lo representan.

•

Aplicar las técnicas de análisis de circuitos y de resolución de ecuaciones lineales para obtener las ecuaciones diferenciales que describen los sistemas dinámicos.

•

Identificar diferentes tipos de sistemas y modelos para reconocer los sistemas físicos existentes en procesos industriales.

1

1. Desarrollo de la actividad Estudiante: Deivy Faviany Vanegas Vásquez 1.1. Listado de conceptos desconocidos: Sistema: Proceso (físico o no) que transforma entradas (causas) en salidas (efectos). Un sistema es una combinación de componentes que actúan conjuntamente para alcanzar un objetivo específico. Un componente es una cantidad particular en su función en un sistema. SISO: Una entrada, una salida. MIMO: Múltiples entradas múltiples salidas. Señal: Es una función que representa el comportamiento de un sistema; es la salida de un sistema cuya excitación no se conoce. Sistema dinámico: Un sistema se llama dinámico si su salida en el presente depende de una entrada en el pasado; en un sistema dinámico la salida cambia con el tiempo cuando no está en su estado de equilibrio. Sistema estático: Un sistema se llama estático si su salida en curso depende solamente de la entrada en curso; en un sistema estático la salida permanece constante si la entrada no cambia y cambia solo cuando la entrada cambia. Linealización: es el proceso matemático que permite aproximar un sistema no-lineal a un sistema lineal. Modelo matemático: Descripción matemática de las características dinámicas del sistema basada en una predicción de su funcionamiento antes de que el sistema pueda diseñarse en detalle o construirse físicamente.

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Sistemas lineales: Las ecuaciones que constituyen al modelo son lineales; a estos sistemas se les puede aplicar el principio de superposición (la respuesta producida por la aplicación simultánea de dos funciones de excitación diferentes o entradas, es la suma de las dos respuestas individuales). Como resultado del principio de superposición, las complicadas soluciones de las ecuaciones diferenciales lineales se pueden obtener de la suma de soluciones simples. Sistemas no lineales: Son aquellos que se representan mediante ecuaciones no lineales, la característica más importante es que el principio de superposición no es aplicable. A causa de la dificultad matemática que representan los sistemas no lineales, con frecuencia es necesario linealizarlos alrededor de una condición de operación. Estado: Es la caracterización interna del sistema en cada instante de tiempo. En él se resume la historia del sistema. Las salidas de los sistemas dependen de los estados y de las entradas. El comportamiento dinámico del sistema, representado por su razón de cambio o derivada es una función de los estados y de las entradas. Variables de estado: Son las variables que expresan el estado dinámico de un sistema. Estas variables de estado pueden ser o no magnitudes físicas. Vector de estado: Es la agrupación de variables de estado en forma de vector que representa un punto en el espacio. Ecuaciones de estado: Son las ecuaciones matriciales que representan el comportamiento dinámico y las salidas del sistema. Son ecuaciones cuyas variables son el vector de estado y el vector de entrada.

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La controlabilidad: Es la propiedad que indica si el comportamiento de un sistema se puede controlar actuando sobre sus entradas. La observabilidad: Es la propiedad que indica si el comportamiento interno de un sistema puede detectarse desde sus salidas. 1.2.Resultado de las consultas realizadas para dar solución a las actividades planteadas. •

Noguera, A. (2018). Modelado de sistemas en el dominio del tiempo. [Archivo de video]. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/22255

•

Noguera, A. (2018). Modelamiento de sistemas dinámicos en el dominio del tiempo. [OVA]. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/22323

•

Cos, R.S. (2013) Realimentación del estado. Culiacán Sinaloa. Recuperado de https://es.slideshare.net/euch00/realimentacion-del-estado/5

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5

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8

•

Universidad de Valencia (2015). Linealización de modelos de sistemas físicos. Valencia. Recuperado de: https://alojamientos.uva.es/guia_docente/uploads/2013/512/46642/1/Documento3.pdf

9

•

Arnáez, B. E. (2014). Enfoque práctico del control moderno: con aplicaciones en matlab. (pp. 117-146 y 185-198). Recuperado de: https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=118&docID=418 4877&tm=1541606552060

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1.3. Etapa 1 – Modelar el sistema dinámico en el dominio del tiempo La compañía donde usted trabaja ha realizado la adquisición de un nuevo equipo industrial que permitirá incrementar los niveles de producción de la empresa. Con el fin de prevenir fallas y proteger la alta inversión realizada, el presidente de la compañía ha ordenado la creación de un sistema de monitoreo que permita supervisar el buen funcionamiento de la máquina y diagnosticar la existencia de alguna falla. Para el diseño del sistema de monitoreo y diagnóstico de fallas se requiere conocer de forma precisa el modelo matemático del equipo industrial; de esta manera se dice que la máquina está funcionando correctamente si la salida real es similar a la salida de su modelo matemático; en caso contrario es posible que la máquina esté presentando fallas. Sistemas Eléctricos A continuación, se presenta un diagrama simplificado del nuevo equipo industrial, en el cual se tiene como variable de entrada el voltaje de alimentación 𝑉(𝑡) y como variable de salida el voltaje en la bobina L 𝑉𝐿.

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1. Circuito Mixto RLC. Responsable: Deivy Faviany Vanegas Vásquez.

Para el circuito seleccionado del Anexo 1, desarrollar las siguientes actividades teóricas para encontrar el modelo matemático del sistema en el dominio del tiempo:

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1. Hallar el modelo matemático del sistema dinámico mediante una ecuación diferencial:

Definimos las variables de estado: 𝑒𝐶 (𝑡) = 𝑋1 (𝑡) 𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑋2 (𝑡) De la malla 1 decimos que: 𝑒𝐶 = 𝑒𝑅1

𝑒𝐶 =

Reemplazamos el valor de C

1 ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡 𝐶

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1 𝑒𝐶 = ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡 2 Como la ecuación de 𝑒𝑐 queda expresada en términos de integral, se elimina aplicando la derivada en términos de la expresión. 1 𝑑𝑒𝐶 𝑑(2 ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡) 1 = = 𝑖𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑒𝐶 1 = 𝑖𝐶 𝑑𝑡 2 Ecuación 1: 𝑑𝑒𝐶 1 = 𝑖𝐶 𝑑𝑡 2 De la malla 2 decimos que: −𝑒(𝑡) + 𝑒𝐶 + 𝑒𝑅1 + 𝑒𝑅2 = 0 𝑒(𝑡) = 𝑒𝐶 + 𝑒𝑅1 + 𝑒𝑅2 𝑒𝐿 = 𝑒𝑅2

𝑒𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

𝑒𝐿 = 2

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

Reemplazamos el valor de L:

𝑒(𝑡) = 𝑒𝐶 + 𝑒𝑅1 + 2

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

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2

𝑑𝑖𝐿 = 𝑒(𝑡) − 𝑒𝐶 − 𝑒𝑅1 𝑑𝑡

𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑒𝑅1 = − − 𝑑𝑡 2 2 2 𝑒𝑅1 = 𝑖𝑅1 ∗ 𝑅1 = 𝑖𝑅1 ∗ 2 = 2𝑖𝑅1 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 − 𝑖𝑅1 = 0 𝑖𝑅1 = 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 2𝑖𝑅1 = − − 𝑑𝑡 2 2 2 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 = − − 𝑖𝑅1 𝑑𝑡 2 2 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 = − − (𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 ) 𝑑𝑡 2 2 Reemplazamos 𝑖𝑅 =

1𝑒𝐶 3 8

: 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 1𝑒𝐶 3 = − −( + 𝑖𝐶 ) 𝑑𝑡 2 2 8

Ecuación 2: 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 1𝑒𝐶 3 = − −( + 𝑖𝐶 ) 𝑑𝑡 2 2 8 De la malla 3 decimos que: 𝑒𝐿 = 𝑒𝑅2

𝑒𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

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𝑒𝐿 = 2

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

𝑒𝑅2 = 𝑖𝑅2 ∗ 𝑅2 = 𝑖𝑅2 ∗ 1 = 𝑖𝑅2 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 − 𝑖𝑅1 = 0 𝑖𝑅1 = 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 𝑖𝑅1 − 𝑖𝑅2 − 𝑖𝐿 = 0 𝑖𝑅1 = 𝑖𝑅2 + 𝑖𝐿 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 = 𝑖𝑅2 + 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 𝑑𝑖𝐿 + 𝑖𝐶 = 2 + 𝑖𝐿 8 𝑑𝑡

𝑖𝐶 = 2

𝑑𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 + 𝑖𝐿 − 𝑑𝑡 8

Ecuación 3: 𝑑𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 𝑖𝐶 = 2 + 𝑖𝐿 − 𝑑𝑡 8 Reemplazamos 𝑖𝐶 en la Ecuación 1: 𝑑𝑒𝐶 1 = 𝑖𝐶 𝑑𝑡 2 𝑑𝑒𝐶 1 𝑑𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = (2 + 𝑖𝐿 − ) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 8 𝑑𝑒𝐶 2 𝑑𝑖𝐿 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 =( + − ) 𝑑𝑡 2 𝑑𝑡 2 16

18

𝑑𝑒𝐶 𝑑𝑖𝐿 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = + − 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 16 Ecuación 3: 𝑑𝑒𝐶 𝑑𝑖𝐿 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = + − 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 16 Reemplazamos 𝑖𝐶 en la Ecuación 2: 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 1𝑒𝐶 3 𝑑𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = − −( + (2 + 𝑖𝐿 − )) 𝑑𝑡 2 2 8 𝑑𝑡 8 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 1𝑒𝐶 3 𝑑𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = − − − 2 − 𝑖𝐿 + 𝑑𝑡 2 2 8 𝑑𝑡 8 𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 + 2 = − − 𝑖𝐿 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 2

3

𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 = − − 𝑖𝐿 𝑑𝑡 2 2

𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = − − 𝑑𝑡 6 6 3 Ecuación 4: 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = − − 𝑑𝑡 6 6 3 Reemplazamos ecuación 4 en 3:

𝑑𝑒𝐶 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 =( − − )+ − 𝑑𝑡 6 6 3 2 16

19

𝑑𝑒𝐶 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = − + − 𝑑𝑡 6 6 6 16 Ecuación 5: 𝑑𝑒𝐶 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = − + − 𝑑𝑡 6 6 6 16 Ecuaciones diferenciales sistema no lineal: 𝑑𝑒𝐶 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = − + − 𝑑𝑡 6 6 6 16 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = − − 𝑑𝑡 6 6 3 Linealización: La ecuación diferencial 1 tiene un elemento que la hace no lineal: 𝑑𝑒𝐶 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 1𝑒𝐶 3 = − + − 𝑑𝑡 6 6 6 16 La función a linealizar es:

𝑓(𝑒𝐶̇ , 𝑒𝐶 , 𝑒, 𝑖𝐿 ) = 𝑒𝐶̇ −

𝑒 𝑒𝐶 𝑖𝐿 𝑒𝐶 3 + − + 6 6 6 16

𝑓(𝑒𝐶̇ , 𝑒𝐶 , 𝑒, 𝑖𝐿 ) = 0 𝑓(𝑒𝐶̇ , 𝑒𝐶 , 𝑒, 𝑖𝐿 ) +

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 | (𝑒̇𝐶 − 𝑒̇𝐶 0 ) + | (𝑒𝐶 − 𝑒𝐶 0 ) + | (𝑒 − 𝑒0 ) + | (𝑖 − 𝑖𝐿 0 ) = 0 𝜕𝑒̇𝐶 0 𝜕𝑒𝐶 0 𝜕𝑒 0 𝜕𝑖𝐿 0 𝐿

𝑓(𝑒𝐶̇ , 𝑒𝐶 , 𝑒, 𝑖𝐿 ) +

𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 𝜕𝑓 | (𝑒̇𝐶 − 𝑒̇𝐶 0 ) + | (𝑒𝐶 − 𝑒𝐶 0 ) + | (𝑒 − 𝑒0 ) + | (𝑖 − 𝑖𝐿 0 ) = 0 𝜕𝑒̇𝐶 0 𝜕𝑒𝐶 0 𝜕𝑒 0 𝜕𝑖𝐿 0 𝐿

Como

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𝑓(𝑒𝐶̇ , 𝑒𝐶 , 𝑒, 𝑖𝐿 ) = 0 𝜕𝑓 𝜕𝑓 3𝑒𝐶 2 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 1 | = 1; | = + ; | =− ; | = 𝜕𝑒̇𝐶 0 𝜕𝑒𝐶 0 16 16 𝜕𝑒 0 6 𝜕𝑖𝐿 0 6 Variables de desviación: ∆𝑒𝐶 = 𝑒𝐶 − 𝑒𝐶 0 ∆𝑒 = 𝑒 − 𝑒0 ∆𝑖𝐿 = 𝑖𝐿 − 𝑖𝐿 0 Entonces: 𝜕𝑓 𝜕𝑓 3𝑒𝐶 2 1 𝜕𝑓 1 𝜕𝑓 1 | = 1; | = + ; | =− ; | = 𝜕𝑒̇𝐶 0 𝜕𝑒𝐶 0 16 16 𝜕𝑒 0 6 𝜕𝑖𝐿 0 6 1𝑑∆𝑒𝐶 3𝑒𝐶 2 1 1 1 + + ∆𝑒𝐶 − ∆𝑒 − ∆𝑖𝐿 = 0 𝑑𝑡 16 16 6 6 𝑑∆𝑒𝐶 1 3𝑒𝐶 2 1 1 = ∆𝑒 − ( + ) ∆𝑒𝐶 + ∆𝑖𝐿 𝑑𝑡 6 16 16 6 𝑑∆𝑒𝐶 1 3𝑒𝐶 2 1 1 = ∆𝑒 − ( ∆𝑒𝐶 + ∆𝑒𝐶 ) + ∆𝑖𝐿 𝑑𝑡 6 16 16 6 𝑑∆𝑒𝐶 1 1 1 3𝑒𝐶 2 = ∆𝑒 − ∆𝑒𝐶 + ∆𝑖𝐿 − ∆𝑒𝐶 𝑑𝑡 6 16 6 16 evalúa 𝑒𝐶 = 0

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Ecuaciones diferenciales linealizadas 𝑑∆𝑒𝐶 1 1 1 3𝑒𝐶 2 = ∆𝑒 − ∆𝑒𝐶 + ∆𝑖𝐿 − ∆𝑒𝐶 𝑑𝑡 6 16 6 16 Ecuaciones diferenciales linealizadas 𝑑𝑒𝐶 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = − + 𝑑𝑡 6 6 6 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = − − 𝑑𝑡 6 6 3 Ecuaciones diferenciales linealizadas: 𝑑𝑒𝐶 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = − + 𝑑𝑡 6 6 6 𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = − − 𝑑𝑡 6 6 3 Ecuación de salida:

𝑌 = 𝑒𝐿 = 𝐿

𝑌 = 𝑒𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 = 2( − − ) 𝑑𝑡 6 6 3

𝑑𝑖𝐿 𝑒(𝑡) 𝑒𝐶 𝑖𝐿 2𝑒(𝑡) 2𝑒𝐶 2𝑖𝐿 1𝑒(𝑡) 1𝑒𝐶 2𝑖𝐿 = 2( − − )=( − − )= − − 𝑑𝑡 6 6 3 6 6 3 3 3 3

𝑌 ==

1𝑒(𝑡) 1𝑒𝐶 2𝑖𝐿 − − 3 3 3

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2. Representar el modelo matemático en el espacio de estados mediante variables de estados: Variables de estado 𝑒𝐶 (𝑡) = 𝑋1 (𝑡) 𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑋2 (𝑡) Derivadas 𝑒𝐶 ′(𝑡) = 𝑋1̇ (𝑡) 𝑖𝐿 ′(𝑡) = 𝑋2̇ (𝑡) Entrada 𝑒(𝑡) = 𝑢(𝑡) 𝐴(𝑡) = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜 𝐵(𝑡) = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝐶(𝑡) = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝐷(𝑡) = 𝑚𝑎𝑡𝑟𝑖𝑧 𝑑𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑠𝑚𝑖𝑠𝑖ó𝑛 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑐𝑡𝑎 Ecuaciones de estado linealizadas: 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢

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𝑋̇1(𝑡) [ ]=[ 𝑋̇2(𝑡)

][

𝑋1(𝑡) ]+[ 𝑋2(𝑡)

] [𝑢(𝑡)]

𝑑𝑒𝐶 (𝑡) 1 1 1 − 𝑒 (𝑡) [ 𝑑𝑡 ] = [ 6 6 ] [ 𝐶 ] + [6] [𝑒(𝑡)] 1 1 𝑖𝐿 (𝑡) 1 𝑑𝑖𝐿 (𝑡) − − 6 3 6 𝑑𝑡 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢

𝑌=[

𝑌 = [−

][

1 3

−

𝑋1(𝑡) ]+[ 𝑋2(𝑡)

] [𝑢(𝑡)]

1 2 𝑒 (𝑡) ] [ 𝐶 ] + [ ] [𝑢(𝑡)] 𝑖𝐿 (𝑡) 3 3 Ecuaciones de estado linealizadas 1 1 1 − 𝑥̇ = [ 6 6 ] 𝑥 + [6] 𝑢 1 1 1 − − 6 3 6 𝑌 = [−

1 3

−

1 2 ]𝑥 + [ ] 𝑢 3 3

3. Determinar las matrices de controlabilidad y observabilidad del sistema linealizado: Controlabilidad: 𝑥̇ = 𝐴𝑥 + 𝐵𝑢 𝑦 = 𝐶𝑥 + 𝐷𝑢

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25

1 1 1 − 𝑥̇ = [ 6 6 ] 𝑥 + [6] 𝑢 1 1 1 − − 6 3 6 𝑌 = [−

1 3

−

1 2 ]𝑥 + [ ] 𝑢 3 3

𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = [𝐵 𝐴𝐵] 1 1 𝐴=[ 6 6 ] 1 1 − − 6 3 −

1 𝐵 = [6] 1 6

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𝐴∗𝐵 = [

0 1] − 12

1 0 6 1 ] 𝑪𝒐𝒏𝒕𝒓𝒐𝒍𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 = [ 1 − 12 6 det(C) = −

1 72

det(C) ≠ 0 Es sistema es totalmente controlable. Observabilidad:

27

1 1 1 − 𝑥̇ = [ 6 6 ] 𝑥 + [6] 𝑢 1 1 1 − − 6 3 6 𝑌 = [−

1 3

−

1 2 ]𝑥 + [ ] 𝑢 3 3

𝑂𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑏𝑖𝑙𝑖𝑑𝑎𝑑 = [𝐶𝐴] 1 1 𝐴=[ 6 6 ] 1 1 − − 6 3 −

𝐶 = [−

1 2 − ] 3 3

1 2 − − 3 ] 𝑶𝒃𝒔𝒆𝒓𝒗𝒂𝒃𝒊𝒍𝒊𝒅𝒂𝒅 = [ 3 1 1 6 6

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det(O) =

1 18

det(O) ≠ 0 El sistema es totalmente observable. 4. Generar el diagrama de bloques que representa el modelo matemático del sistema:

5. Utilice MATLAB® para simular el diagrama de bloques y grafique la salida del sistema cuando se aplica una entrada constante 𝑉(𝑡) = 5 𝑉 durante los primeros 5 segundos y en ese momento se aplica una entrada escalón unitario durante 5 segundos más, de manera que la simulación dura 10 segundos:

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6. Direcciones de los videos realizados por cada integrante del grupo colaborativo para el desarrollo de las actividades prácticas: Link: https://youtu.be/XgOb5poIbgs

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Estudiante: Eduardo Rojas Murcia. 1.1. Listado de conceptos desconocidos: •

Estado: Caracterización interna del sistema en el tiempo que define su comportamiento

•

Variables de Estado: Variables que expresan el estado de un sistema. Pueden ser magnitudes físicas, adimensionales o cualquier tipo de variable

•

Vector de Estado: Agrupación de variables de estado en forma de vector.

•

Ecuaciones de Estado: Ecuaciones matriciales que representan el comportamiento del sistema. Sus variables son los vectores de estados y vectores de entrada

•

Espacio de Estados: Espacio n-dimensional donde las variables de estado son los ejes de este y cada punto es la representación de un vector de estado

Las ecuaciones de estado y de salida linealizadas son de la forma 𝑥̇ = 𝐴(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐵(𝑡)𝑢(𝑡) (Ecuación de Estado) 𝑦 = 𝐶(𝑡)𝑥(𝑡) + 𝐷(𝑡)𝑢(𝑡) (Ecuación de Salida)

Donde x(t) = Vectores de estado (n x 1) y(t) = Vectores de salida (p x 1) u(t) = Vectores de entrada (m x 1)

A(t) = Matriz de estado (n x n) B(t) = Matriz de entrada (n x m) C(t) = Matriz de salida (p x n) D(t) = Matriz de transmisión directa (p x m) Pasos básicos para el modelamiento matemático 1. Identificar el tipo de sistema 2. Plantear las ecuaciones integro-diferenciales que rigen al sistemas. Tener en cuenta las ecuaciones existentes. 3. Plantear las ecuaciones que caracterizan al sistemas. 4. Identificar las entradas y salidas del sistemas y las variables de estado y su cantidad. 5. Determinar las variables de mayor orden (n+1) de cada estado.

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6. Establecer los vectores de estado, de entrada y de salidas. 7. Definir la derivada del vector de estado. 8. Visualizar las ecuaciones de estado y salida linealizadas y matricialmente (soluciones generales). 9. Remplazar los coeficientes de las variables de las ecuaciones diferenciales en las matrices para obtener las ecuaciones de estado especificas (soluciones específicas). 1.2.Etapa 1 – Modelar el sistema dinámico en el dominio del tiempo 2. Circuito Mixto RLC. Responsable: Eduardo Rojas Murcia.

𝐸𝑛𝑡𝑟𝑎𝑑𝑎 𝑉(𝑡) 𝑣𝑜𝑙𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑑𝑜

Nodo A

𝑆𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑉𝑙 (𝑡)𝑣𝑜𝑡𝑎𝑗𝑒 𝑠𝑎𝑙𝑖𝑑𝑎 𝑅1 = 2 Ω

𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠

𝐿 =3𝐻

𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑏𝑜𝑏𝑖𝑛𝑎

𝐶 =3𝐹

𝑖𝑅 (𝑡) = 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑟𝑒𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎

𝑖𝑅 = 2𝑉𝑐 3

𝑖𝐶 (𝑡) = 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑑𝑒𝑛𝑠𝑎𝑑𝑜𝑟

SOLUCION 𝑆𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑖𝑛𝑒𝑛 𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑠𝑒𝑟𝑖𝑎𝑛 𝑙𝑎𝑠 𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜: 𝑣𝐶 (𝑡) = 𝑋1 (𝑡) 𝒎𝒂𝒍𝒍𝒂 𝟐: 𝑹 𝒚 𝑪 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏 𝒆𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐, 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐:

,

𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑋2 (𝑡)

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𝑒𝐶 = 𝑒𝑅

𝑒𝐶 =

1 1 ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡 = ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡 𝐶 3

𝑐𝑜𝑚𝑜 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑉 𝑒𝑛 𝐶 𝑞𝑢𝑒𝑑𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙, 𝑠𝑒 𝑝𝑟𝑜𝑐𝑒𝑑𝑒 𝑎 𝑒𝑙𝑖𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑙𝑎 𝑖𝑛𝑡𝑒𝑔𝑟𝑎𝑙 𝑐𝑜𝑛 𝑠𝑢 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑟𝑖𝑎, 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑑𝑒𝑟𝑖𝑣𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑙𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑥𝑝𝑟𝑒𝑠𝑖𝑜𝑛. 𝑑𝑒𝐶 𝑑𝑡

1

=

𝑑( ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡) 3 𝑑𝑡

1

= 3 𝑖𝐶

=≫

𝑑𝑒𝐶 𝑑𝑡

1

= 3 𝑖𝐶

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟏

𝑚𝑎𝑙𝑙𝑎 1: 𝑓𝑢𝑒𝑛𝑡𝑒, 𝑅1 𝑦 𝑅 − 𝑝𝑜𝑟 𝐿𝑉𝐾 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒:

𝑉𝑅 + 𝑉𝑅1 − 𝑉(𝑡) = 0

=≫

𝑉𝑅 + 𝑉𝑅1 = 𝑉(𝑡)

𝑅 𝑦 𝐶 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑛 𝑒𝑛 𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑒𝑙𝑜, 𝑝𝑜𝑟 𝑙𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑡𝑜 𝑒𝑙 𝑉 𝑒𝑠 𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜: 𝑉𝐶 = 𝑉𝑅 𝑉𝑅1 + 𝑉𝐶 = 𝑉(𝑡) 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟐

𝒎𝒂𝒍𝒍𝒂 𝟑: 𝑪 𝒚 𝑳 𝒆𝒔𝒕𝒂𝒏 𝒆𝒏 𝒑𝒂𝒓𝒂𝒍𝒆𝒍𝒐, 𝒑𝒐𝒓 𝒍𝒐 𝒕𝒂𝒏𝒕𝒐 𝒆𝒍 𝒗𝒐𝒍𝒕𝒂𝒋𝒆 𝒆𝒔 𝒆𝒍 𝒎𝒊𝒔𝒎𝒐

𝑉𝐿 = 𝑉𝐶 𝑉𝐿 = 𝐿 3

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑖𝐿 =3 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑖𝐿 = 𝑉𝐶 𝑑𝑡

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟑

𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑟 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑖𝐶 𝑠𝑒 𝑢𝑡𝑖𝑙𝑖𝑧𝑎 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑜𝑑𝑜 𝐴 𝑖𝑅1 = 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 + 𝑖𝐿 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑙𝑎𝑠 𝑐𝑜𝑟𝑟𝑖𝑒𝑛𝑡𝑒𝑠 𝑖𝑅 𝑒 𝑖𝐶 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 𝑖𝑅1 = 2𝑉𝐶3 + 𝐶

𝑑𝑉𝐶 + 𝑖𝐿 𝑑𝑡

𝑖𝑅1 = 2𝑉𝐶3 + 3

𝑑𝑉𝐶 + 𝑖𝐿 𝑑𝑡

𝑅𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑖𝑅𝑖 𝑠𝑒 ℎ𝑎𝑙𝑙𝑎 𝑒𝑙 𝑒𝑞𝑢𝑖𝑣𝑎𝑙𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑉𝑅1 :

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𝑉𝑅1 = 𝑅1 ∗ 𝑖𝑅1 𝑉𝑅1 = 2 ∗ (2𝑉𝐶3 + 3 𝑉𝑅1 = 4𝑉𝐶3 + 6

𝑑𝑉𝐶 + 𝑖𝐿 ) 𝑑𝑡

𝑑𝑉𝐶 + 2𝑖𝐿 𝑑𝑡

𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑉𝑅1 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2 𝑠𝑒 𝑜𝑏𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 4𝑉𝐶3 + 6

𝑑𝑉𝐶 + 2𝑖𝐿 + 𝑉𝐶 = 𝑉(𝑡) 𝑑𝑡

𝑑𝑒𝑠𝑝𝑒𝑗𝑎𝑚𝑜𝑠 6

𝑑𝑉𝐶 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 𝑑𝑡

𝑑𝑉𝐶 = 𝑉(𝑡) − 4𝑉𝐶3 − 2𝑖𝐿 − 𝑉𝐶 𝑑𝑡

𝑑𝑉𝐶 𝑉(𝑡) 2 3 1 1 = − 𝑉𝐶 − 𝑖𝐿 − 𝑉𝐶 𝑑𝑡 6 3 3 6

𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟒

𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑉𝑅1 𝑒𝑛 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 3, 𝑦 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 3 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑛𝑑𝑜

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑉𝐶 = 4𝑉𝐶3 + 6 + 2𝑖𝐿 + 𝑉𝐶 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑𝑣𝐶 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 4 𝑠𝑒 𝑡𝑖𝑒𝑛𝑒: 𝑑𝑡 3

𝑑𝑖𝐿 𝑉(𝑡) 2 3 1 1 = 4𝑉𝐶3 + 6 ( − 𝑉𝐶 − 𝑖𝐿 − 𝑉𝐶 ) + 2𝑖𝐿 + 𝑉𝐶 𝑑𝑡 6 3 3 6 3

𝑑𝑖𝐿 = 4𝑉𝐶3 + 𝑉(𝑡) − 4𝑉𝐶3 − 3𝑖𝐿 − 𝑉𝐶 + 2𝑖𝐿 + 𝑉𝑐 𝑑𝑡 3

𝑑𝑖𝐿 = 𝑉(𝑡) − 𝑖𝐿 𝑑𝑡

𝑑𝑖𝐿 𝑉(𝑡) 1 = − 𝑖𝐿 𝑬𝒄𝒖𝒂𝒄𝒊ó𝒏 𝟓 𝑑𝑡 3 3

𝑙𝑎𝑠 𝐸𝐷𝑂 𝑛𝑜 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑠𝑜𝑛 𝑑𝑉𝐶 𝑉(𝑡) 2 3 1 1 = − 𝑉𝐶 − 𝑖𝐿 − 𝑉𝐶 𝑑𝑡 6 3 3 6

(4)

𝑑𝑖𝐿 𝑉(𝑡) 1 = − 𝑖𝐿 𝑑𝑡 3 3

(5)

38

𝑦 = 𝑉𝐿 = 3

𝑑𝑖𝐿 = 𝑉(𝑡) − 𝑖𝐿 𝑑𝑡

𝑦 = 𝑉(𝑡) − 𝑖𝐿

(6)

𝑑𝑖𝐿 𝑉(𝑡) 1 = − 𝑖𝐿 𝑑𝑡 3 3

(8)

𝑙𝑎𝑠 𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑒𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑒𝑎𝑙𝑒𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑠𝑜𝑛: 𝑑𝑉𝐶 𝑉(𝑡) 1 1 = − 𝑖𝐿 − 𝑉𝐶 𝑑𝑡 6 3 6

(7)

𝑦 = 𝑉(𝑡) − 𝑖𝐿

(9)

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎𝑏𝑙𝑒 𝑑𝑒 𝑒𝑠𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑆𝐿 𝑉𝐶 (𝑡) = 𝑋1 (𝑡) 𝑖𝐿 (𝑡) = 𝑋2 (𝑡)

𝑋̇ (𝑡) [ 1 ]=[ 𝑋̇2 (𝑡)

[𝑦] = [

𝑋 (𝑡) ][ 1 ]+ [ 𝑋2 (𝑡)

][

][𝑢(𝑡)]

𝑋1 (𝑡) ] + [ ][𝑢(𝑡)] 𝑋2 (𝑡)

𝑑𝑉𝐶 (𝑡) = 𝑋1̇ (𝑡) 𝑑𝑡 𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 𝑖𝐿′ (𝑡) = = 𝑋2̇ (𝑡) 𝑑𝑡

𝑉𝐶′ (𝑡) =

𝑑𝑣𝐶 (𝑡) 1 − [ 𝑑𝑡 ] = [ 6 𝑑𝑖𝐿 (𝑡) 0 𝑑𝑡

1 1 𝑉 (𝑡) 3] [ 𝐶 ] + [6] [𝑉(𝑡)] 1 𝑖𝐿 (𝑡) 1 − 3 3 −

[𝑦] = [0 −1] [

𝑣𝐶 (𝑡) ] + [1][𝑉(𝑡)] 𝑖𝐿 (𝑡)

39

Estudiante: Andrés Felipe Noreña Riaño. 2.1. Listado de conceptos desconocidos: CONCEPTOS DESCONOCIDOS •

Discretización del estado continuo.

•

Controlabilidad.

•

Observabilidad.

•

Espacio de estado.

•

Principio de Dualidad.

•

Observador del estado completo.

•

Observador de orden común.

•

Observador de orden reducido.

•

Observador de orden mínimo.

Consultas en la web http://www.esi2.us.es/~danirr/apuntesIC4.pdf http://www.ehu.eus/izaballa/Control/Transparencias/trans4-1x2.pdf • 1.2 Etapa 1 – Modelar el sistema dinámico en el dominio del tiempo •

Circuito Mixto RLC.

Responsable: Camilo Andrés León.

40

1 (1) 𝑖𝑅 = 𝑉𝑐 4 2 1 𝑡 (2) 𝑉𝐶 = ∫ 𝑖𝐶 𝑑𝑡 𝑐 0 𝑑 𝑉𝑐 (3) 𝑖𝐶 = 𝑐 𝑑𝑡 1 𝑡 (4) 𝑖𝐿 = ∫ 𝑉𝐿 𝑑𝑡 𝐿 0 𝑑 𝑖𝐿 (5) 𝑉𝐿 = 𝐿 𝑑𝑡 VARIABLES DE ESTADO 𝑉𝑐 = 𝑥1 (𝑡) 𝑖𝐿 = 𝑥2 (𝑡) MALLA 1 −𝑉 + 𝑖𝑅1 𝑅1 + 𝑖𝐿 𝑅3 + 𝑉𝐿 = 0 −𝑉 + 𝑖𝑅1 𝑅1 + 𝑖𝐿 𝑅3 + 𝒅𝒊𝑳 𝑽 𝒊𝑹𝟏 𝒊𝑳 = − − 𝒅𝒕 𝟐 𝟐 𝟐

𝑑𝑖𝐿 𝑑𝑡

= 0 Reemplazando (5) [𝟏]

MALLA 2 −𝑉 + 𝑖𝑅1 + 𝑖𝐿 𝑅2 + 𝑉𝐶 = 0 4𝑑𝑉

−𝑉 + 𝑖𝑅1 + 𝑑𝑡 𝐶 + 𝑉𝑐 = 0 Reemplazando (3) 𝒅𝑽𝒄 𝑽 𝒊𝑹𝟏 𝑽𝒄 = − − [𝟐] 𝒅𝒕 𝟒 𝟒 𝟒

41 NODO A 𝑖𝑅1 = 𝑖𝑅 + 𝑖𝐶 + 𝑖𝐿 𝑖𝑅1 =

1 4 𝑉𝑐 + 𝑖𝐶 + 𝑖𝐿 [3] 2

Remplazando [3] en [1] 𝑑𝑖𝐿 𝑉 1 1 𝑖𝐿 = − ( 𝑉𝑐 4 + 𝑖𝐶 + 𝑖𝐿 ) − 𝑑𝑡 2 2 2 2 𝑑𝑖𝐿 𝑉 1 1 𝑑𝑉𝑐 1 = − 𝑉𝑐 4 − 2 − 𝑖𝐿 𝑑𝑡 2 4 2 𝑑𝑡 4 𝑑𝑖𝐿 𝑉 1 𝑑𝑉𝑐 1 = − 𝑉𝑐 4 − − 𝑖𝐿 𝑑𝑡 2 4 𝑑𝑡 4

[4]

Remplazando [3] en [2] 𝑑𝑉𝑐 𝑉 1 1 𝑉𝑐 = − ( 𝑉𝑐 4 + 𝑖𝐶 + 𝑖𝐿 ) − 𝑑𝑡 4 4 2 4 𝑑𝑉𝑐 𝑉 1 1 𝑑𝑉𝑐 𝑖𝐿 𝑉𝑐 = − 𝑉𝑐 4 − 2 − − 𝑑𝑡 4 8 4 𝑑𝑡 4 4 𝑑𝑉𝑐 𝑉 1 1 𝑑𝑉𝑐 𝑖𝐿 𝑉𝑐 = − 𝑉𝑐 4 − − − 𝑑𝑡 4 8 2 𝑑𝑡 4 4 3 𝑑𝑉𝑐 𝑉 1 𝑖𝐿 𝑉𝑐 = − 𝑉𝑐 4 − − 2 𝑑𝑡 4 8 4 4 𝑑𝑉𝑐 𝑉 1 𝑖𝐿 𝑉𝑐 = − 𝑉𝑐 4 − − 𝑑𝑡 6 12 6 6

[5]

Ecuación de salida 𝑉𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖 𝑑𝑖 = 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

[6]

Ecuaciones del sistema 𝑑𝑖 𝐿 𝑑𝑡

=

𝑉

− 2

1 4

𝑉𝑐 4 −

𝑑𝑉𝑐 𝑑𝑡

1

− 4 𝑖𝐿 [4]

𝑑𝑉𝑐 𝑉 1 𝑖𝐿 𝑉𝑐 = − 𝑉𝑐 4 − − 𝑑𝑡 6 12 6 6 𝑑𝑖

𝑉𝐿 = 2 𝑑𝑡 Reemplazando [5] en [4]

[6]

[5]

42 Remplazando [7] en [6] 𝑉𝐿 =

2𝑉 𝑉𝑐 4 𝑖𝐿 𝑉𝐶 − − + 3 3 6 3

[8]

𝑑𝑉𝑐 𝑉 1 𝑖𝐿 𝑉𝑐 = − 𝑉𝑐 4 − − 𝑑𝑡 6 12 6 6 𝑑𝑖𝐿 𝑉 𝑉𝑐 4 𝑖𝐿 𝑉𝑐 = − − + 𝑑𝑡 3 6 12 6 2𝑉 𝑉𝑐 4 𝑖𝐿 𝑉𝐶 𝑉𝐿 = − − + 3 3 6 3

[5] [7]

[8]

Linealización de 𝒊𝑹 𝑖𝑅 =

1 𝑉𝑐 4 2

𝑉𝑐 4 𝑑 2 = 2 𝑉𝑐 3 𝑑𝑡 𝑉𝑐 4 𝑑 2 = 0 𝑑𝑡 3 2 𝑉𝑐 = 0 𝑉𝑐 = 0 Representación en espacio de estados

𝑉𝑐 =

𝑖𝐿 = 𝑋2 (𝑡)

𝑑𝑖𝐿 𝑖𝐿 = 𝑑𝑡

𝑋1 =

1 1 1 𝜇(𝑡) − 𝑋2 (𝑡) − 𝑋1 (𝑡) 6 6 6

𝑋2 =

1 1 1 𝜇(𝑡) − 𝑋 (𝑡) + 𝑋1 (𝑡) 3 12 2 6

𝑦=

𝑑𝑉𝐶 𝑑𝑡

𝑉𝑐 = 𝑋1 (𝑡)

2 1 1 𝜇(𝑡) − 𝑋2 (𝑡) + 𝑋1 (𝑡) 3 6 3

𝑥1 −1/6 −1/6 𝑥1 1/6 [𝑥 ] = [ ] [𝑥 ] + [ ] 𝜇(𝑡) −1/12 1/6 1/3 2 2 𝑥1 𝑦(𝑡) = [1/3 −1/6] [𝑥 ] + [1/3] 𝜇(𝑡) 2 Controlabilidad

𝑉 = 𝜇 (𝑡) 𝑦 = 𝑉𝐿

43

[𝐵

1 𝐴𝐵] = [6 1 3

⋮

[𝐵 ⋮ 𝐴𝐵] =

−

1 12]

0

1 𝑁𝑜 𝑒𝑠 𝑠𝑖𝑛𝑔𝑢𝑙𝑎𝑟 𝑒𝑛𝑡𝑜𝑛𝑐𝑒𝑠 𝑒𝑠 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑏𝑙𝑒 36

Observabilidad 𝐶∗ = [

1/3 ] −1/6

[𝐶 ∗ ⋮ 𝐴∗ 𝐶 ∗ ] = [

−1/6 −1/12 1/3 −1/12 𝐴∗ 𝐶 ∗ = [ ][ ]= [ ] −1/6 1/6 −1/6 −1/24 1/3 −1/12 ] 𝑅𝑎𝑛𝑔𝑜 2 𝑒𝑙 𝑠𝑖𝑠𝑡𝑒𝑚𝑎 𝑒𝑠 𝑜𝑏𝑠𝑒𝑟𝑣𝑎𝑏𝑙𝑒 −1/6 −1/24

Controlabilidad de la salida ℂ𝔹 = [1/3 −1/6] [

1/6 ]=0 1/3

−1/6 −1/6 1/6 ℂ𝔸𝔹 = [1/3 −1/6] [ ][ ] = [−1/36] 1/6 −1/12 1/3 [ℂ𝔹 ⋮ ℂ𝔸𝔹] = [0

−1/36] 𝐶𝑜𝑛𝑡𝑟𝑜𝑙𝑎𝑏𝑙𝑒

-NOTA: ESTE SISTEMA ES TOTALMENTE CONTROLABLE DIAGRAMA DE BLOQUES

𝔸= [

−1/6 −1/6 ] −1/12 1/6

𝔹=[

1/6 ] 1/3

ℂ = [1/3 −1/6]

𝔻 = [2/3]

44 ATLAB Y SIMULINK

Diagrama de bloques en Simulink.

A)

B)

Salida del scope donde: A) es las respuestas de las variables de estado en azul la X2 ó iL y en amarillo X1 ó Vc. B) la salida vs la entrada donde la azul es el step y la amarilla es la salida de Vc.

45

Estudiante: Camilo Andrés León 1.1. Listado de conceptos desconocidos: CONCEPTOS CONOCIDOS Derivadas. Matlab. Simulación. Resistencia. Capacitor. Circuito. Corriente. Nodo. Diagrama. Voltaje. Ley de ohm. Ley de Kirchhoff. Circuito serie circuito paralelo. CONCEPTOS DESCONOCIDOS •

Diagrama de estado: es la forma de plasmar gráficamente las ecuaciones diferenciales de un sistema para ver el estado.

•

Sistema multivariable: es un sistema con gran cantidad de entradas y salidas en un programa.

•

Linealización: es un proceso en el cual los sistemas no lineales se transforman en lineales para poder encontrar in modelo más fácil de entender.

46

•

Observabilidad: es un sistema el cual tiene la función de determinar un valor en un vector determinado de estados.

•

Espacios de estado: son representaciones sistemas lineales invariante en el tiempo el cual es un sistema de conjunto de ecuaciones.

1.3 Etapa 1 – Modelar el sistema dinámico en el dominio del tiempo •

Circuito Mixto RLC.

Responsable: Camilo Andrés León.

𝑅1 = 1 Ω 𝑅2 = 1 Ω 𝑅3 = 2 Ω 𝐿 = 2𝐻 𝐶 = 2𝐹 3 𝑖𝑅 = 𝑉 𝑐 3 2

Solución

Variables de estado 𝑽𝒄, 𝒊𝟑

Paso 1 Se elimina la integral para que C quede en términos de una derivada

47

𝑉𝑐 =

1 1 ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡 = ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡 𝑐 2

1 𝑑𝑉𝑐 𝑑 (2 ∫ 𝑖𝑐 𝑑𝑡) 1 = = 𝑖𝑐 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑑𝑉𝑐 1 = 𝑖𝑐 𝑑𝑡 2

𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 1

Paso 2

𝑉𝑐 + 𝑉𝑙 = 𝑒(𝑡) 𝑉𝑙 = 𝐿

𝑑𝑖𝑙 𝑑𝑖𝑙 =2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑉𝑐 + 2 2

𝑑𝑖𝑙 𝑒(𝑡) 𝑑𝑡

𝑑𝑖𝑙 = 𝑒(𝑡) − 𝑉𝑐 𝑑𝑡

𝑑𝑖𝑙 𝑒(𝑡) 𝑉𝑐 = − −𝑣𝑐 𝑑𝑡 2 2

𝑒𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 2

Paso 3 𝑉𝐿 = 𝑉𝑅1 𝑉𝐿 = 𝐿

𝑑𝑖𝑙 𝑑𝑖𝑙 =2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑉𝑅1 = 𝑖𝑅1 ∗ 𝑅1 = 𝑖𝑅1 ∗ 1𝛺 = 𝑖𝑅1

𝑑𝑉𝑐 1 𝑒(𝑡) 𝑒𝑐 3 = (2 ( − ) + 𝑖𝐿 − 𝑒𝑐 3 ) 𝑑𝑡 2 2 2 2

48

=

1 𝑑 𝑒(𝑡) 𝑒𝑐 3 ( (2 ( − ) + 𝑖𝐿 − 𝑒𝑐 3 )) 2 𝑑𝑡 2 2 2

1 𝑑 𝑒(𝑡) 𝑒𝑐 𝑑 𝑑3 3 = ( (2 ( − ) + 𝑖𝐿 − 𝑒 )) 2 𝑑𝑡 2 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 2 𝑐 𝑑 𝑒(𝑡) 𝑒𝑐 2( − )=𝑒 𝑑𝑡 2 2 𝑑 𝑖 =0 𝑑𝑡 𝐿 𝑑3 3 𝑒 =0 𝑑𝑡 2 𝑐 1 (𝑒 + 0 − 0) 2 𝑒 2

49

Conclusiones Con el desarrollo de la actividad Etapa 1 se aplicó los principios de modelamiento de un sistema dinámico en el dominio del tiempo, determinando las ecuaciones diferenciales y variables de estado que lo representan, al igual que el modelamiento mediante Simulink para observar el comportamiento del modelo hallado. Para analizar cualquiera sistema es necesario tener un modelo matemático y se define como Modelo Matemático la representación matemática de un proceso. El concepto de sistemas, es el primer paso crítico en la construcción de un modelo físico. Un sistema puede definirse a través de sus componentes e interconexiones, el modelo físico puede construirse representando de manera gráfica a los componentes que conforman el sistema y sus interacciones, una vez que se deducen del comportamiento global observadas del sistema, ya sea el real o el deseado. La dinámica de sistemas trata del modelado matemático y el análisis de la respuesta de los sistemas dinámicos.

50

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Hayt, W., Kemmerly, J., & Durbin, S. M. (2007). Análisis de circuitos en ingeniería (7a. ed.). (pp. 92-98). Recuperado de: https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=119&docID=4721666& tm=1529112613586 Roca, C. A. (2014). Control automático de procesos industriales: con prácticas de simulación y análisis por ordenador pc. (pp. 62-127). Recuperado de: https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=77&docID=3226592&t m=1541556683501 García, I. (2005). Teoría de estabilidad y control. Lérida, ES: Edicions de la Universitat de Lleida. (pp. 23 - 64). Recuperado de https://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2538/lib/unadsp/reader.action?ppg=33&docID=3211033&t m=1541559112016 Amaya Diaz, J. (17,12,2016). Sistemas Dinámicos. [Archivo de video]. Recuperado de http://hdl.handle.net/10596/10806