E. Keterbagian Bilangan Bulat.pptx

KETERBAGIAN BILANGAN BULAT DINAWATI T

Definisi 2.1 Suatu bilangan bulat q habis dibagi oleh suatu bilangan bulat p ≠ 0 jika ada suatu bilangan bulat x sehingga q = px Notasi p | q dibaca p membagi q, p faktor dari q, q habis dibagi p, atau q kelipatan dari p p  q dibaca p tidak membagi q, p bukan faktor dari q, q tidak habis dibagi p, atau q bukan kelipatan dari p Contoh 2.1 1. 6 | 18 sebab ada bilangan bulat 3 sehingga 18 = 6.3

2. 12 ǀ 15 sebab tidak ada bilangan bulat x sehingga 15 = 12.x 3. 5 |-30 sebab ada bilangan bulat -6 sehingga -30 = 5.(-6)

Beberapa sifat sederhana keterbagian : 1. 1 | p untuk setiap p  Z 2. p | 0 untuk setiap p  Z dan p ≠ 0 3. p | p untuk setiap p  Z dan p ≠ 0 4. Jika p | q, maka kemungkinan hubungan antara p dan q adalah p < q, p = q, atau p > q (misalnya 3 | 6, 3 | 3, atau 3 | -3) Teorema 2.1 Jika p, q  Z dan p | q, maka p | qr untuk semua r  Z Teorema 2.2 Jika p , q, r  Z, p | q, dan q | r , maka p | r

Teorema 2.3 Jika p, q  Z, p | q dan q | p, maka p =  q

Teorema 2.4 Jika p, q, r  Z, p | q dan p | r, maka p | q + r Teorema 2.4 dapat diperluas tidak hanya berlaku untuk q, r tetapi untuk q, r, s, t,.., artinya jika p | q, p | r, p | s, p | t, dan…, maka p | q + r + s + t +… Selanjutnya, teorema 2.4 tetap berlaku jika operasi penjumlahan (+) diganti dengan operasi pengurangn (–), buktikan ! Teorema 2.5 Jika p, q, r  Z, p|q dan p|r, maka p|qx + ry untuk semua x, y  Z qx + ry disebut kombinasi linear dari q dan r) Teorema 2.6 Jika p, q, r  Z, p > 0, q > 0, dan p | q, maka p  q

Teorema 2.7 Jika p, q, r  Z, p > 0, q > 0, p | q dan q | p, maka p = q Teorema 2.8 p | q jika dan hanya jika kp | kq untuk semua k  Z dan k ≠ 0 Teorema 2.9 Jika p, q, r  Z, p ≠ 0, p | q + r, dan p | q, maka p | r

Teorema 2.10 : Algoritma Pembagian Jika p, q  Z dan p > 0, maka ada bilangan-bilangan r, s  Z yang masingmasing tunggal sehingga q = rp + s dengan 0  s < p. Jika p tidak membagi q, maka s memenuhi ketidaksamaan 0 < s < p. Catatan Dari pernyataan q = rp + s, 0 ≤ s < p, r disebut hasil bagi (quotient), s disebut sisa (remainder), q disebut yang dibagi (dividend) dan p disebut pembagi (divisor).

Contoh : Ditentukan dua bilangan bulat 4 dan 7 dengan 4 | 7, maka dapat dibuat barisan aritmetika 𝑠𝑟 = 7 - (r.4) dengan r  Z untuk r = 3, maka : untuk r = 2, maka : untuk r = 1, maka : untuk r = 0, maka : untuk r = -1, maka: dan seterusnya

𝑠3 = 7 - (r.4) = 7 – 12 = -5 𝑠2 = 7 - (r.4) = 7 – 8 = -1 𝑠1 = 7 - (r.4) = 7 – 4 = 3 𝑠0 = 7 - (r.4) = 7 – 0 = 7 𝑠−1 = 7 - (r.4) = 7 – (-4)= 11

sehingga diperoleh barisan …, -5, -1, 3, 7, 11, … Barisan ini mempunyai suku-suku yang negatif, dan suku-suku yang tidak negatif sebagai unsur-unsur himpunan T. Karena T  N dan N adalah himpunan yang terurut rapi, maka menurut prinsip urutan rapi, T mempunyai unsur terkecil.

Perhatikan bahwa unsur terkecil T adalah 3. Karena 3  T, maka 3 = 7 – (4.r) untuk suatu r  Z. dalam hal ini r = 1, sehingga 3 = 7 - (4.1), atau 7 = 1.4 + 3 Dengan demikian dapat ditentukan bahwa: 7 = 1.4 + 3 dengan 0  3 < 4 Karena 4 │ 7, maka 7 = r.4 + s dengan r = 1 dan s = 3 Perhatikan bahwa untuk 4, 7  Z, ada r, s  Z sehingga 7 = r.4 + s dengan 0 ≤s< 4 Contoh 2.1 Tunjukkan: 1. Jika p | q, maka p2 | q2 2. Jika p | q, maka p | 3q2

Contoh Diketahui: t= (a1a0) = a1.10 + a0 dan 3 | t Tunjukkan bahwa 3 | a1 + a0

Contoh Diketahui t = (a4 a3 a2 a1 a0) = a4.104 + a3.103 + a2.102 + a1.10 + a0 dan 11 | t Tunjukkan bahwa 11| a0 – a1 + a2 – a3 + a4

Contoh 2.2 Menurut teorema algoritma pembagian, nyatakan sebagai q = rp + s, 0 ≤ s < p, jika: a. p = 7 dan q = - 100 b. p = 12 dan q = - 150 Teorema algoritma pembagian dapat digunakan untuk memilahkan atau memisahkan himpunan bilangan bulat menjadi n himpunan bagian yang saling lepas (disjoint) dengan n  {2, 3, 4,…}

Jika p = 2 dan q sembarang bilangan bulat, maka akan terdapat q = 2p dengan p  Z , disebut bilangan bulat genap (even integer) dan q = 2p + 1 dengan p  Z disebut bilangan bulat ganjil atau gasal (odd integer). Dengan demikian himpunan bilangan bulat dapat dipisahkan menjadi dua himpunan bagian yang lepas, yaitu himpunan bilangan bulat genap dan himpunan bilangan bulat ganjil.

Bagaimana jika p = 3 dan q sembarang bilangan bulat??

Contoh 2.3 Buktikan: 2 | n3 – n untuk sebarang n  Z

Teorema 2.11 : Representasi Bilangan Bulat Jika q  z dan q > 1, maka setiap n  Z+ dapat dinyatakan secara tunggal dalam bentuk n = pkqk + pk-1qk-1 + ….. + p2q2 + p1q1 + p0q0 untuk k  Z, k ≥ 0, pt  Z, 0  pt < q – 1, t = 0, 1,…, k dan pk ≠ 0 Contoh Ambil n = 985 dan q = 6 985 = 6.164 + 1 ; (n= qr0 + p0, r0 = 164, p0 = 1)

164 = 6.27 + 2 ; (r0 = qr1 + p1, r1 = 27, p1 = 2) 27 = 6.4 + 3 4 = 6.0 + 4

; (r1 = qr2 + p2, r2 = 4, p2 = 3) (r2 = qr3 + p3, r3 = 0, p3 = 4)

Dengan demikian dapat ditentukan bahwa:

985

= 6.164 + 1 = 6(6.27 + 2) + 1 = 62.27 + 6.2 + 1 = 62(6.4 + 3) + 6.2 + 1 = 63.4 + 62.3 + 6.2 + 1

Jadi: (985)10 = (4321)6

Perhatikan pola yang terdapat pada lambang bilangan basis 6 yang dicari. Angka-angka pada lambang bilangan basis 6 yang dicari merupakan sisa dari masing-masing algoritma pembagian.

Contoh Tuliskan (985)10 dalam lambang bilangan basis 4 dan basis 3.

Corollary Setiap bilangan bulat dapat dinyatakan sebagai penjumlahan perpangkatan yang berbeda dari bilangan dua. Catatan  Cara yang biasa digunakan untuk menyatakan suatu bilangan, disebut notasi basis 10 atau decimal notation  Bilangan berbasis dua, disebut binary expansions  Bilangan berbasis delapan disebut octal expansions  Bilangan berbasis 16 disebut hexadecimal expansions Untuk membedakan representasi bilangan bulat dengan basis yang berbeda, digunakan notasi khusus berikut : 𝑎𝑘 𝑎𝑘−1 … 𝑎1 𝑎0 𝑏 = 𝑎𝑘 𝑏𝑘 + 𝑎𝑘−1 𝑏𝑘−1 + ⋯ 𝑎1 𝑏+𝑎0 Pada bilangan basis 16, bilangan-bilangan yang biasa digunakan adalah : 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D E, F

BILANGAN PRIMA Definisi Bilangan prima adalah bilangan bulat positif yang lebih besar dari 1 yang hanya habis dibagi oleh bilangan itu sendiri dan 1 Definisi Bilangan bulat positif lebih besar dari 1 yang bukan merupakan bilangan prima disebut bilangan komposit

Lemma Setiap bilangan bulat positif yang lebih dari satu selalu mempunyai pembagi prima

1. Temukan semua bilangan prima diantara bilangan 1 s.d 100 ! 2. Tunjukkan bahwa tidak ada tiga bilangan prima berurutan, yaitu bilangan-bilangan prima p, p+2, p+4 selain 3, 5, 7

TUGAS KELOMPOK 1. a) Jumlahkan : 1234321 5 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 2030104 5 b) Jika a merupakan bilangan bulat, tunjukkan bahwa : 3│𝑎3 − 𝑎 2. a) Kurangkan : 𝐹𝐸𝐸𝐷 16 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 𝐶𝐴𝐹𝐸 16 b) Tentukan representasi decimal dari : 101001

−2

dan 12012

−3

3. a) tentukan banyak bilangan bulat yang kurang dari atau sama dengan 1000 dan tidak habis dibagi oleh 3 maupun 5? b) Jumlahkan : 1101 2 𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 1001 2 4. a) Kalikan : 1234

5

𝑑𝑒𝑛𝑔𝑎𝑛 3002

5

b)Tentukan basis -2 dari bilangan-bilangan : -7, 17 dan 61 5. a) Tunjukkan bahwa jumlah dua bilangan genap atau dua bilangan ganjil adalah genap, sedangkan jumlah bilangan genap dan bilangan ganjil adalah ganjil b) Tentukan hasil bagi dan sisanya, apabila 14321 5 dibagi oleh 334 5

Maju 26/3/19 Nim 73 66 67 44