Dz Parcderiv

Domáce zadanie

1. ročník Bc.

Funkcia viac premenných Parciálne derivácie Vypočítajte parciálne derivácie funkcií podľa jednotlivých premenných: 1. z = x4 + y 2 + 2xy − 5x + 6y − 1 [zx0 = 4x3 + 2y − 5, zy0 = 2y + 2x + 6]

2. z = x3 + 6x2 y + 5xy 2 + 4y 3 − 7 [zx0 = 3x2 + 12xy + 5y 2 , zy0 = 6x2 + 10xy + 12y 2 ]

3. z =

3y 4

+

2x2 y 2 5

+

5x+2y 3 3

[zx0 =

4. z =

6y x

+

5 3x3 y

+

3x y

+

4y x

−

12x y2

−

y x3

3 4

+

4x2 y 5

+ 2y 2 ]

5 x4 y

+

8x , 3y 2

zy0 =

6 x

−

5 3x3 y 2

−

8x2 ] 3y 3

y2 x2

[zx0 =

6. z =

+ 53 , zy0 =

4x2 3y 2

[zx0 = − x6y2 −

5. z =

4xy 2 5

+

3 y

−

4y x2

+

2y 2 , x3

zy0 = − y3x2 +

4 x

−

2y ] x2

4x2 y

[zx0 =

12 y2

+

3y x4

+

8x , y

zy0 = − 24x − y3

1 x3

−

4x2 ] y2

7. z = (x2 + 7y 3 )5 [zx0 = 10x(x2 + 7y 3 )4 , zy0 = 105y 2 (x2 + 7y 3 )4 ]

8. z = (x + xy 2 )4 [zx0 = 4(x + xy 2 )3 (1 + y 2 ), zy0 = 8xy(x + xy 2 )3 ]

9. z = (3x + 4y) · cos2 3x [zx0 = 3 cos2 3x − 3(3x + 4y) sin 6x, zy0 = 4 cos2 3x ]

10. z = x3 · arctg(3y) [zx0 = 3x2 · arctg(3y), zy0 =

3x3 ] 1+9y 2

11. z = xy [zx0 = y · xy−1 , zy0 = xy · ln x]

12. z = (3y + 5)4x [zx0 = 4(3y + 5)4x · ln(3y + 5), zy0 = 12x(3y + 5)4x−1 ]

13. z = (4x + 7)3y [zx0 = 12y(4x + 7)3y−1 , zy0 = 3(4x + 7)3y · ln (4x + 7)]

14. z =

x2 y 2 3+x3 y

[zx0 =

1

xy 2 (6−x3 y) , (3+x3 y)2

zy0 =

x2 y(6+x3 y) ] (3+x3 y)2

15. z =

x+y x2 +y 2 +1 y 2 −x2 −2xy+1 , (x2 +y 2 +1)2

[zx0 =

16. z =

p

zy0 =

x2 −y 2 −2xy+1 ] (x2 +y 2 +1)2

x · cos(3 + 2y) [zx0 = √cos(3+2y) 2

x·cos(3+2y)

−x·sin(3+2y) , zy0 = √ ] x·cos(3+2y)

17. z = ex+4y [zx0 = ex+4y , zy0 = 4ex+4y ]

18. z = ex·sin(5y−x) [zx0 = ex·sin(5y−x) [sin(5y − x) − x · cos(5y − x)], zy0 = ex·sin(5y−x) · 5x · cos(5y − x)]

19. z = e4x+y · cos(x2 y) [zx0 = 4e4x+y · cos(x2 y) − 2xy · e4x+y · sin(x2 y), zy0 = e4x+y · cos(x2 y) − x2 · e4x+y · sin(x2 y)]

20. z =

√

xy · e4y [zx0 =

√ y √ 2 x

· e4y , zy0 =

√ x · e4y ·

1+8y √ ] 2 y

21. z = 4x · tg (xy) [zx0 = 4 tg (xy) +

4xy , zy0 cos2 (xy)

4x2 cos2 (xy)

=

]

22. z = (x + 4) · ln(y 2 − 1) [zx0 = ln(y 2 − 1), zy0 =

23. z =

2y(x+4) ] y 2 −1

p x2 + y 2 [zx0 = √

x

x2 +y 2

24. z = arctg

y

x2 +y 2

]

x y

[zx0 =

25. z = arcsin y−x x ,

y , zy0 x2 +y 2

=

−x ] x2 +y 2

x>0 [zx0 = √ −y x

26. z = ln tg

, zy0 = √

2xy−y 2

, zy0 = √

1

2xy−y 2

]

x y

[zx0 =

1 y sin x ·cos x y y

, zy0 =

−x y 2 sin x ·cos x y y

]

27. z = y · ln x+4 y [zx0 =

y , x+4

zy0 = ln

x+4 y

− 1]

x 28. z = arccos y+1

[zx0 = − √

|y+1|

y 2 +2y−x2 +1

29. z = arctg

·

1 , zy0 y+1

= √

x|y+1|

y 2 +2y−x2 +1

1 ] (y+1)2

x−y 1+xy

[zx0 = 2

·

1 , zy0 1+x2

=

−1 ] 1+y 2

2

) √ +5y 30. z = ln (x 2 2 x +y

[zx0 =

x3 −3xy 2 , zy0 (x2 +5y 2 )(x2 +y 2 )

=

9x2 y+5y 3 ] (x2 +5y 2 )(x2 +y 2 )

31. u = arctg (x − y)z [u0x =

z(x−y)z−1 , 1+(x−y)2z

2

u0y =

−z(x−y)z−1 , u0z 1+(x−y)2z

=

1 1+(x−y)2z

· (x − y)z · ln(x − y)]

32. u = y · ln(z − x2 − 4y 2 ) [u0x =

−2xy , u0y z−x2 −4y 2

= ln(z − x2 − 4y 2 ) −

8y 2 , u0z z−x2 −4y 2

=

y ] z−x2 −4y 2

33. u = cos (xy) · arctg (xz) [u0x = −y sin (xy) · arctg (xz) + cos (xy) 1+xz2 z2 , u0y = −x sin (xy) · arctg (xz), u0z = cos (xy) 1+xx2 z2 ] 2

34. u = ex

+z 2

· sin x · cos y

[u0x

= 2xex

2

+z 2

2

· sin x · cos y + ex

+z 2

2

· cos x · cos y, u0y = −ex

+z 2

2

· sin x · sin y, u0z = 2zex

+z 2

· sin x · cos y]

V úlohách 35. - 38. vypočítajte hodnotu parciálnych derivácií v danom bode. q y+3x 35. z = 2y+5x , A = [0, 2] [zx0 (A) =

36. z =

1 x2 −y 2 +1 ,

√ 2 , zy0 (A) 16

= 0]

A = [3, 2] [zx0 (A) = − 16 , zy0 (A) = 19 ]

37. z = xy(4x + 2y − 1),

A = [1, −2] [zx0 (A) = −6, zy0 (A) = −5]

2

38. u = ex

+y 2

· sin2 z,

√ √ A = [ 2, − 2, π4 ] [u0x (A) =

39. Dokážte, že funkcia

z = ln (ex + ey ) vyhovuje rovnici zx0 + zy0 = 1.

40. Dokážte, že funkcia

1

u = e x+y vyhovuje rovnici u0x − u0y = 0.

41. Dokážte, že funkcia

z = y 2 · sin(x2 − y 2 ) vyhovuje rovnici y 2 · zx0 + xy · zy0 = 2xz.

42. Dokážte, že funkcia

u=

y x

vyhovuje rovnici x · u0x + y · u0y = 0.

43. Dokážte, že funkcia

z = xy · y x

vyhovuje rovnici x · zx0 + y · zy0 = (x + y + ln z) · z.

44. Dokážte, že funkcia

u=

2xy x2 +y 2

vyhovuje rovnici x · u0x + y · u0y = 0.

3

√ √ 4 0 2e , uy (A) = − 2e4 , u0z (A) = e4 ]

Parciálne derivácie vyšších rádov Vypočítajte parciálne derivácie druhého rádu funkcie: 1. z = xy 3 + x2 · sin y 00 00 00 [zxx = 2 sin y, zxy = 3y 2 + 2x cos y, zyy = 6xy − x2 sin y]

2. z =

x2 y

+

y2 x 00 [zxx =

2 y

+

2y 2 , x3

00 zxy = − y2x2 −

2y , x2

00 zyy =

2x2 y3

+ x2 ]

3. z = (3x2 y − 2xy 2 )4 00 00 [zxx = 12(3x2 y − 2xy 2 )2 · (6xy − 2y 2 )2 + 24y(3x2 y − 2xy 2 )3 , zxy = 12(3x2 y − 2xy 2 )2 · (3x2 − 4xy) · (6xy − 2y 2 ) + 2 2 3 00 2 2 2 2 2 4(3x y − 2xy ) (6x − 4y), zyy = 12(3x y − 2xy ) · (3x − 4xy) − 16x(3x2 y − 2xy 2 )3 ]

4. z = xy 00 00 00 [zxx = y(y − 1)xy−2 , zxy = xy−1 + yxy−1 ln x, zyy = xy (ln x)2 ]

5. z =

2 x

−

4 y

√ + 2x y 00 [zxx =

6. z = y ·

p

00 4 , zxy x3

=

1 √ , y

00 zyy = − y83 − √x 3 ] 2

y

6 − x2 − y 2 00 [zxx = √−y(6−y 2

2

)

(6−x −y 2 )3

00 , zxy = √

x(x2 −6)

(6−x2 −y 2 )3

00 √ , zyy = y(2y

2

+3x2 −18)

(6−x2 −y 2 )3

]

7. z = arcsin xy 00 [zxx = √

xy 3

(1−x2 y 2 )3

00 , zxy = √

00 1 , zyy (1−x2 y 2 )3

= √

x3 y

(1−x2 y 2 )3

8. Dokážte, že funkcia z = x2 + a2 t2 , kde a je kladná konštanta, vyhovuje vlnovej rovnici 00 00 a2 zxx − ztt = 0.

9. Dokážte, že funkcia z = (x − at)4 , kde a je kladná konštanta, vyhovuje vlnovej rovnici 00 00 a2 zxx − ztt = 0.

10. Dokážte, že funkcia z = ex+at + cos(x − at), kde a je kladná konštanta, vyhovuje vlnovej rovnici a2

∂2z ∂2z = 2. 2 ∂x ∂t

11. Dokážte, že funkcia z = ex+4t · ln(x + 4t) vyhovuje vlnovej rovnici 16

∂2z ∂2z = . ∂x2 ∂t2

12. Dokážte, že funkcia z = 4x3 − 6x2 y − 12xy 2 + 2y 3 + 3xy − 3x + 2y − 5 vyhovuje Laplaceovej rovnici 00 00 zxx + zyy = 0.

13. Dokážte, že funkcia z = e−2x cos 2y vyhovuje Laplaceovej rovnici 00 00 zxx + zyy = 0.

4

]

14. Dokážte, že funkcia z = arctg

y x

vyhovuje Laplaceovej rovnici ∂2z ∂2z + = 0. ∂x2 ∂y 2

15. Dokážte, že funkcia z = ln

p x2 + y 2 vyhovuje Laplaceovej rovnici ∂2z ∂2z + = 0. ∂x2 ∂y 2

000 16. Vypočítajte fxxx

pre funkciu f (x, y) = x4 + 3x3 y 3 + x2 y − 2xy. [24x + 18y 3 ]

000 17. Vypočítajte fxxy

pre funkciu f (x, y) = y · sin xy. [−3y 2 · sin xy − xy 3 · cos xy]

000 18. Vypočítajte fxyy

pre funkciu f (x, y) = exy + y · cos x. [exy (2x + x2 y)]

000 19. Vypočítajte fzyz

pre funkciu f (x, y, z) = cos(xyz). [x3 y 2 z sin (xyz) − 2x2 y cos (xyz)]

00 20. Vypočítajte fyz

pre funkciu f (x, y, z) = arcsin xy z , z > 0. −xz ] (z 2 −x2 y 2 )3

[√

5