Duong Thang Simson Va Steiner

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, TP.HCM. Điện thoại: 088491485 CÁC ĐỊNH LÝ HÌNH HỌC PHẲNG (tt) 3. Đường thẳng Simson Bài toán 3. Cho tam giác ABC. P là một điểm trong mặt phẳng tam giác không trùng với các đỉnh của tam giác. Gọi P1, P2, P3 là hình chiếu của P trên các cạnh BC, AC và AB. Khi đó P thuộc đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC khi và chỉ khi P1, P2, P3 thẳng hàng. (Đường thẳng đi qua 3 điểm P1, P2, P3 được gọi là đường thẳng Simson của tam giác ABC ứng với điểm P) Hướng dẫn: ⇒)

Ta có tứ giác AP3PP2 và CP1P2P nội tiếp, suy ra ∠AP2P3 = ∠ APP3 và ∠P1P2C = ∠P1PC. (1)

Mặt khác ta có ∠ P3PP1 = ∠APC (cùng bù với ∠ ABC) Suy ra ∠APP3 = ∠P1PC (2) Từ (1) và (2) ta có ∠AP2P3 = ∠P1P2C, suy ra P1, P2, P3 thẳng hàng. @ ⇐ ) Dành cho bạn đọc. Sau đây là một số tính chất liên quan đến đường thẳng Simson

Chú ý: Vì muốn các bạn THCS cũng có thể hiểu được các chứng minh nên người viết không dùng góc định hướng và tất nhiên việc chứng minh phụ thuộc vào hình vẽ.

Sau đây là một số tính chất liên quan đến đường thẳng Simson, xem như bài tập.

Bài toán 3.1. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), P là một điểm thuộc đường tròn, lấy Q thuộc (O) sao cho đường thẳng CQ và CP đối xứng nhau qua phân giác góc C. Khi đó CQ vuông góc với đường thẳng simson của tam giác ABC ứng với điểm P. Hướng dẫn: Ta có ∠P2P1P = ∠P2CP = ∠BCQ3, suy ra P1P2 ⊥ CQ3 @

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu

1

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, TP.HCM. Điện thoại: 088491485 Bài toán trên tuy khá đơn giản nhưng có các hệ quả khá thú vị, sau đây là một số hệ quả của bài toán 3.1.

Bài toán 3.1.1. Nếu hai điểm đối xứng nhau qua tâm thì đường thẳng simson ứng với hai điểm đó vuông góc với nhau. Tổng quát hơn góc giữa hai đường thẳng bất kì dựng trên hai điểm P, Q bằng nửa số đo cung nhỏ PQ. Bài toán 3.1.2. Tam giác tạo bởi 3 đường thẳng simson dựng trên 3 điểm thì đồng dạng với tam giác tạo thành từ 3 điểm đó.

Bài toán 3.2. Đường thẳng simson ứng với một điểm chia đôi đoạn thẳng nối từ điểm đó đến trực tâm của tam giác. Hơn nữa trung điểm của đoạn thẳng đó thuộc đường tròn Euler. Bài toán 3.2.1. Đường thẳng simson ứng với hai điểm đối xứng nhau qua tâm thì cắt nhau tại một điểm thuộc đường tròn Euler.

Bài toán 3.3. Cho tứ giác ABCD, gọi dA, dB, dC, dD là đường thẳng simson ứng với các điểm A, B, C, D của các tam giác BCD, ACD, ABD và ABC. Chứng minh rằng dA, dB, dC, dD đồng quy. Hướng dẫn. Chứng minh đoạn thẳng nối từ 1 đỉnh đến trực tâm của tam giác với 3 đỉnh còn lại cùng đi qua trung điểm I. Sau đó chứng minh đường thẳng simson đi qua I. Theo bài toán 3.2.@

Một số bài toán liên quan tới đường thẳng simson Bài toán 3.2.(Chuyên Toán PTNK 2007). Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O). Một điểm M thay đổi trên cung BC không chứa A. Gọi P, Q là hình chiếu của A trên MB và MC. Chứng minh rằng PQ luôn đi qua một điểm cố định. Bài toán 3.3. Cho hai đường tròn (1) và (2) cắt nhau tại A và B. Một cát tuyến thay đổi qua A cắt (1) tại C và (2) tại D. Tiếp tuyến tại C của (1) và tiếp tuyến tại D của (2) cắt nhau tại P. Gọi K, H là hình chiếu của B trên PC và PD. Chứng minh HK tiếp xúc với một đường tròn cố định. Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu

2

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, TP.HCM. Điện thoại: 088491485 Bài toán 3.4. (Vulalach) Cho tam giác ABC, M là điểm thay đổi trên BC. Gọi D, E là điểm đối xứng của M qua AB và AC. Chứng minh rằng trung điểm PQ luôn thuộc một đường cố định khi M thay đổi trên BC. Bài toán 3.5. (IMO 2007) Xét 5 điểm A, B, C, D, E sao cho ABCD là hình bình hành và B, C, D, E là một tứ giác nội tiếp. Gọi d là một đường thẳng qua A. Giả sử d cắt đoạn DC ở F và BC ở G. Giả sử EF = EG = EC. Chứng minh rằng d là phân giác góc ∠ DAB. Bài toán 3.6. Trên đường tròn (O) cho 6 điểm A, B, C, D, E, F. Ta gọi dE, dD, dF là đường thẳng simson ứng với các điểm D,E, F của tam giác ABC. Chứng minh rằng giao điểm các đường thẳng trên tạo thành tam giác đồng dạng với tam giác DEF.

1. Đường thẳng Steiner Bài toán 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O), M là một điểm thay đổi trên đường tròn. Gọi D, E , F là điểm đối xứng của M qua AB, AC và BC. Chứng minh rằng D, E, F cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó luôn qua trực tâm H của tam giác ABC (Đường thẳng này được gọi là đường thẳng Steiner). Hướng dẫn: Ta chỉ cần chứng minh DE đi qua H. Gọi H1 là giao điểm của CH và (O), H2 là giao điểm của BH và (O). Khi đó ta có H và H1 đối xứng nhau qua AB; H và H2 đối xứng nhau qua AC. Ta có D đối xứng với P qua AB, H đối xứng với H1 qua AB, suy ra ∠AHD = ∠AH1P. Tương tự ta cũng có ∠AHE = ∠AH2P. Do đó ∠DHE = ∠AHD + ∠AHE = ∠AH1P + ∠ AH2P = 1800. Suy ra D, H, E thẳng hàng. Chứng minh tương tự ta cũng có D, H, F thẳng hàng. Vậy D, E, F cùng thuộc một đường thẳng và đường thẳng đó luôn đi qua trực tâm H của tam giác ABC.

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu

3

Trung tâm bồi dưỡng kiến thức QUANG MINH 423/27/15 Lạc Long Quân, P.5, Q.11, TP.HCM. Điện thoại: 088491485 Bài toán 4.1 (Lê Bá Khánh Trình) Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn (O) và hai điểm P, Q trên (O). Kí hiệu Pa là điểm đối xứng của P qua BC và A’ là giao điểm của QPa và BC. Tương tự xác định B’, C’. Chứng minh rằng A’, B’, C’ thẳng hàng. (Hết phần 2) TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Trần Văn Tấn (Chủ biên), Các chuyên đề hình học bồi dưỡng học sinh giỏi THCS, NXB Giáo dục [2] Roger A.Jonhson, Advanced Euclidean Geometry, Dover Publication, INC. NewYork [3] Po-Shen Loh, Collinearity and Concurrence, Internet resources [4] Cosmin Pohoata, Harmonic Division and its Applications, Internet resources [5] Internet, các website www.mathlinks.ro , http://diendantoanhoc.net và http://mathscope.org

Nguyễn Tăng Vũ – Trường Phổ Thông Năng Khiếu

4