Dsp Carlos Arredondo

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________

PROCESAMIENTO DIGITAL DE SEÑALES Nombre del alumno: Carlos Arredondo Monsiváis Matrícula: 1100115 Hora: N6 Día: 1-3-5 Instructor: M.C. Saúl Cantú Temario: 1. Introducción • Elementos básicos del procesamiento digital. • Ventajas/desventajas de un sistema digital. • Clasificación de las señales. 2. Conversión analógica a digital • Muestreo de una señal analógica. • Teorema del muestreo. • Cuantización de señales. • Codificación de muestras. 3. Señales y sistemas en tiempo discreto • Clasificación de las señales en tiempo discreto. • Clasificación de los sistemas discretos. • Representación de una señal en impulsos. • Sistemas Lineales Invariantes en el Tiempo (LTI). • Propiedades de los sistemas LTI. • Autocorrelación. 4. Transformada Z • Directa. • Inversa. • Propiedades. Texto: Tratamiento Digital de Señales John G. Proakis Dimitris G. Manolakis Prentice Hall

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ÍNDICE DEL CONTENIDO 1. Introducción……………………………………………………………………… Procesamiento de Señales…………………………………………………... Ventajas/Desventajas de un Sistema Digital………………………………... Clasificación de las señales…………………………………………………. Señales senoidales en tiempo continuo…………………………….. Señales senoidales en tiempo discreto………………………………

3 3 3 3 6 8

2. Conversión Analógico a Digital…………………………………………………. Muestreo de señales analógicas……………………………………………..

11 1 2 2 1

Teorema del muestreo………………………………………………………. 3. Señales y Sistemas en tiempo discreto…………………………………………... Señales Básicas……………………………………………………………... Señales Periódicas y Aperiódicas…………………………………………... Energía y Potencia en Señales Discretas…………………………………… Señal Par y Señal Impar…………………………………………………….. Parte par y parte impar de una señal discreta……………………….. Operaciones básicas en señales discretas…………………………………… Descripción Entrada-Salida de Sistemas…………………………………… Representación a bloques de sistemas……………………………………… Características y propiedades de los sistemas discretos……………………. Invarianza en el tiempo……………………………………………... Propiedad de la linealidad…………………………………………... Causalidad…………………………………………………………... Memoria……………………………………………………………. Proceso de Convolución……………………………………………………. Correlación de una señal discreta…………………………………………... Correlación Cruzada y autocorrelación……………………………...

2 5 2 5 2 7 2 7 2 7 2 8 2 9 3 4 3 5 3 7 3 7 3 8 4 0 4 0 4 1 4 8 4 9

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Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ 4. Transformada Z………………………………………………………………….. Sumas y sumatorias…………………………………………………………. Propiedades de la transformada Z…………………………………………... Linealidad………………………………………………………….... Desplazamiento en tiempo………………………………………….. Escalado en el dominio de Z………………………………………... Inversión en tiempo (Temporal)…………………………………….. Diferenciación en el dominio de Z…………………………………..

5 4 5 7 5 8 5 8 6 0 6 2 6 3 6 3

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1. INTRODUCCIÓN PROCESAMIENTO DE SEÑALES Sistema Analógico

Sistema Digital

VENTAJAS/DESVENTAJAS DE UN SISTEMA DIGITAL Sistema Analógico Ventajas: • Sistema simple. • Costo razonable.

Sistema Digital Ventajas: • Mayor Calidad de la señal. • Control total de la trama de la información.

Desventajas: • Susceptible al ruido (baja calidad). • Control limitado de la señal.

Desventajas: • Requiere de mucho ancho de banda. • Costoso.

CLASIFICACIÓN DE LAS SEÑALES • • • • • •

Señales continuas (Analógicas). Señales discretas (Digitales). Señales determinísticas. Señales aleatorias. Señales reales. Señales complejas.

Señal continua: Para cada instante de tiempo hay un valor.

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Señal discreta: En un intervalo discreto de muestras tengo un número finito de valores.

Señal discreta digital

Señal discreta continua en el tiempo Las señales continuas dependen de una ó más variables independientes. Por ejemplo: x1(t)=5t x2(t)=20t2 s(x,y)=3x+2xy+10y2 La señal de voz no se puede describir funcionalmente mediante alguna expresión anterior. En general, un segmento de voz puede representarse con un alto grado de exactitud mediante la suma de senoidales de diferente amplitud y frecuencia.

x(t)=Asen(2πFt+θ) 5

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ Ω=2πF=Frecuencia Angular en rad/seg Si el procesamiento de una señal es lineal, entonces el sistema es lineal; si el procesamiento es no lineal entonces el sistema es no lineal.

donde: x(t)= Señal de entrada h(t)= Respuesta al impulso del sistema. Representación matemática. y(t)= Señal de salida Señal digital

x[n]= Acos(ωn+θ) Señales reales x(t)= Asen(3πt)

xa(t)= Acos(Ωt+ θ)

Señales complejas x(t)= Aej3πt

xa(t)=Aej(Ωt+θ)

Armónica: Es un múltiplo de la frecuencia fundamental. Señal armónica: Es aquella que contiene una frecuencia múltiplo de la frecuencia de la señal original. Señal digital: Tiene valores de tiempo finitos con valores de amplitud finitos. Grafique la señal x(t)= (0.8)t (t>0) a) Forma analógica. b) Forma digital. t 0 1 2 3 4 5

xa(t)=(0.8)t 1 0.8 0.64 0.51 0.4 0.32

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a)

b)

SEÑALES SENOIDALES EN TIEMPO CONTINUO xa(t)= Acos(Ωt+θ) Ω= 2πF= radianes/seg

-∞
Las señales analógicas senoidales poseen las siguientes propiedades: a) Para todo valor fijo de frecuencia F, xa(t) es periódica xa(t)=xa(t+Tp)

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Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ b) Las señales en tiempo continuo con frecuencias diferentes son diferentes. 1. cos(6πt) 2. cos(12πt)

ωo=2πfo

ωo1t= 6πt ωo2t= 12πt 2πFo1t= 6πt 2πFo2t= 12πt

2Fo1=6 2Fo2=12

Fo1= 3 Hz Fo2= 6 Hz Son diferentes c) El aumento de la frecuencia F resulta en aumento de la tasa de oscilación.

Esto también aplica para las señales complejas.

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xa(t)= Aej(Ωt+θ)

SEÑALES SENOIDALES EN TIEMPO DISCRETO x(n)= Acos(ωn+θ)

-∞
n=…,-3,-2,-1,0,1,2,3…(entero)

ω= 2πf=radianes/muestra Propiedades de una senoide digital: 1) Una senoide en tiempo discreto es periódica solo si su frecuencia f es un número racional. fo=K/N N= período fundamental= Muestras/ciclo x(n)= x(n+N) 2) Las senoides de tiempo discreto separadas por un múltiplo de 2π, son idénticas Cos[(ωo+2π)n+θ]= cos(ωon+θ) 3) La tasa de oscilación mayor en una senoide en tiempo discreto se alcanza cuando ω=π (ó ω=-π) f= Frecuencia digital S= frecuencia de muestreo= muestras/seg ciclos F ciclos seg f = = = muestras S muestra seg N= período de la señal digital=muestras/ciclo K= entero f= K/N= Número racional (debe ser entero con valores enteros para que tenga período) Ej. Determine si x(n)= Acos(2πfn) es periódica. Si: a) f= .32= 32/100= si es periódica 32/100=K/N b) f= √3= 1.732658… No es periódica. Ej. Determine el período común de la señal.

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Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ x(n)= ej0.2πn+e-j0.3πn e j 0.3πn = e ω 2 n

e jω1n = e j 2πfn jω1n = j 0.2π (n)

e j 0.3πn = e j 2πf 2 n j 0.3π (n) = j 2πf 2 n

2 f1 = 0.2 f1 =

0.2 ciclos 1 K = 0.1 = = 1 2 muestra 10 N1

N1 = 10 muestras

ciclo

0.3 = 2 f 2 f 2 = 0.15 f 2 = 0.15 =

15 100

=

N 2 = 20 muestras

3 20

=

K2 N2

ciclo

NCOMÚN=20 muestras/ciclo Ej. Grafique la señal x(n)=5cos(ωn+θ) a) ω=π/6; θ=0 b) ω=π/6; θ= π/3 π  π  x(n) = 5 cos n + 0  = 5 cos n  6  6  π a) ωo = = 2πf o 6 1 f o = ciclos ← EsPeriódica muestra 12

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b)

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2. CONVERSIÓN ANALÓGICO A DIGITAL El proceso de conversión de una señal analógica (como la voz, audio, señales sísmicas, biológicas, meteorológicas, etc.) a señal digital se realiza en tres pasos fundamentales: 1. Muestreo 2. Cuantización ó cuantificación. 3. Codificación. Muestreo: Es la conversión de una señal de tiempo continuo en una señal de tiempo discreto. Se toman “muestras” de la señal analógica en espacios de tiempo constante. Cuantificación: Es la conversión de una señal de tiempo discreto con valores de amplitud continuos a una señal de tiempo discreto con valores de amplitud discretos. Codificación: Cada valor cuantizado se le asigna una cadena binaria de ceros y unos.

Señal analógica

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Señal muestreada

Señal cuantizada 000 110 101 010 001 000… Codificación Valor Secuencia 0 000 -7.5 001 -5 010 -2.5 011 2.5 100 5 101 7.5 110 10 110 Señal codificada MUESTREO DE SEÑALES ANALÓGICAS

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En el proceso de muestreo, una señal analógica se pasa a través de un muestreador (switch) que toma ciertas muestras en intervalos de tiempo constantes. A este tiempo se le conoce como período de muestreo (T). La velocidad a la que se toman las muestras se conoce como velocidad ó frecuencia de muestreo (Fs). S = Fs =

1 muestras = ( Hz ) T seg

Xa(t)= Acos (2πFt + θ) x(n)= Acos(2πFnT + θ) x(n)=Acos[2πn(F/Fs) + θ) La frecuencia digital f se puede obtener como: F ciclos = muestra Fs donde f es un valor que debe oscilar entre -1/2 y ½ f =

-1/2
ó

-π<ω<π

Ej. Analice y grafique las señales analógicas x1(t) y x2(t) si se muestrean a una velocidad de Fs= 40 Hz a) x1(t)=cos(10πt) F1= 5 Hz Fs=40 Hz b) x2(t)=cos(100πt) F2= 50 Hz F1 5 1 ciclos = = muestra Fs 40 8 N1 = 8 muestras ciclo f1 =

f2 =

F2 50 5 ciclos = = muestra Fs 40 4

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Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ GRAFICAS a)

Señal analógica

Señal muestreada b)

Señal analógica

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Señal muestreada (se obtiene el mismo muestreo que la primera señal, aunque esta no corresponde a su señal original) Ej. La señal x(t)=2cos(40πt) + sen(60πt) se muestrea a 75 Hz. ¿Cuál es el período común de la señal muestreada x[n]? ¿Cuántos períodos completos de x(t) se requieren para un ciclo de x[n]? Fs= 75 Hz

N=? x1(t)= 2cos(40πt) F1= 20 Hz

K1 F 20 Hz ⇔ 1 = muestras N1 Fs 75

f1 =

K1 = 4; N1 = 15 muestras

f2 =

F2 30 Hz = Fs 75 muestras

= seg

x2(t)= sen(60πt) F2= 30 Hz 4 ciclos muestra 15

ciclo =

seg K 2 = 2; N 2 = 5 muestras ciclo

2 ciclos muestra 5

M.C.M= Mínimo Común Múltiplo a) M.C.M. (15,5)= 15 muestras/ciclo MCD= Máximo Común Divisor b) MCD(4,2)=2 períodos de la señal analógica x(t) para formar un ciclo de x[n]

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Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ Ej. Una senoide x(t) de 100 Hz se muestrea a 240 Hz. ¿Cuántos períodos de x(t) se requieren para obtener un período de la señal muestreada? F= 100 Hz

f =

F 100 Hz 5 = = ciclos muestra Fs 240 Hz 12

Fs=240 Hz K= 5 períodos de x(t) Ej. Las señales x1(t)= cos(20πt) y x2(t)= cos(100πt) se muestrean a 40 Hz. Analice las señales muestreadas x1[n] y x2[n]. F1= 10 Hz F2= 50 Hz F   x1 (n) =  2πn  Fs   10 Hz 1 ciclos f1 = = muestras 40 Hz 4 10   x1 (n) = cos 2πn  40    nπ  x1 (n) = cos   2  x2 (t ) = cos(100πt ) 50   x2 (n) = cos 2πn  40    5πn  x2 (n) = cos   2  nπ   x2 (n) = cos 2πn +  2    nπ  x2 (n) = cos   2  x2(n) es un alias de x1(n)

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Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ Ej. Considere la señal analógica xa(t)= 3cos(100πt) a) Determine la velocidad de muestreo mínima para evitar el aliasing (réplicas). b) Suponga que la señal se muestrea a una velocidad Fs=200 Hz. ¿Cuál es la señal en tiempo discreto obtenida tras el muestreo? c) Si Fs= 75 Hz ¿Cuál es la señal discreta obtenida? d) ¿Cuál es la frecuencia 0
c)  F   x(n) = 3 cos 2π  n    Fs     50   2 x(n) = 3 cos 2π  n ; f = 3   75  

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Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________  100nπ   4 nπ  x(n) = 3 cos  ⇒ x(n) = 3 cos   75   3  2  2  6  x(n) = 3 cos nπ − nπ  = 3 cos 2nπ − nπ  3  3  3  cos(2nπ − θ ) = cos(θ ) 2  ∴ x(n) = 3 cos nπ  3  d) ó f =

2 1 −1 = − 3 3

  1  x(n) = 3 cos(2nπf ) = 3 cos 2π  − n    3   2  x(n) = 3 cos − πn   3  cosθ = cos(−θ )  2πn  ∴ x(n) = 3 cos   3  F f = ⇒ F = Fsf Fs 1 F = (75 Hz )   3 F = 25 Hz 0 < F < 75

2

x(t ) = 3 cos(50πt )

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Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ Ej. Analice las señales x1(t) y x2(t) si se muestrean a 1 Hz y las frecuencias F1=1/8 Hz y F2=-7/8 Hz respectivamente. Ambas son senoidales.

 1  x1 (t ) = sen(2πF1t ) = sen 2π  t   8  π  x1 (t ) = sen t  4 

  7  x2 (t ) = sen(2πF2t ) = sen 2π  − t    8   7π   7π  x2 (t ) = sen − t  = − sen t  4   4 

 F   x1 (n) = sen 2π  1 n    Fs    1   x1 (n) = sen 2π  8 n   1 

 F   x2 (n) = sen 2π  2 n   Fs    −7   x2 (n) = sen 2π  8 n   1  

 1  x1 (n) = sen 2π  n   8   nπ  x1 (n) = sen   4 

 7  x2 (n) = sen − nπ   4  7  x2 (n) = − sen nπ  4  1  8 x2 (n) = − sen nπ − nπ  4  4 nπ   x2 (n) = − sen 2nπ −  4    nπ  x2 (n) = − sen −   4   nπ  x2 (n) = sen   4 

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Señal x1(n) y x2(n) muestreadas (x2(n) es alias de x1(n) por eso es la misma señal muestreada) Ej. Si x(t)= 3cos(50πt) + 10sen(300πt) – cos(100πt) a) ¿Cuál sería la tasa de Nyquist? b) Ncomún (MCM) c) ¿Cuántos períodos de x(t) se requieren para formar un período de x(n)? (MCD) F1= 25 Hz

F2= 150 Hz

F3= 50 Hz

Fs≥ 2Fmax Fs≥ 2(150 Hz) a) Fs> 300 Hz Fs= 400 Hz F1 25 Hz 1 = = ciclos muestra Fs 400 Hz 16 K1 = 1; N1 = 16 f1 =

F2 150 Hz 3 ciclos = = muestra Fs 400 Hz 8 K 2 = 3; N 2 = 8 f2 =

F3 50 Hz 1 = = ciclos muestra Fs 400 Hz 8 K 3 = 1; N 3 = 8 f3 =

b)

MCM (16, 8, 8) Ncomún= 16

c)

MCD (1, 3, 1) Kcomún= 3

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Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ TEOREMA DEL MUESTREO Dada una señal cualquiera. ¿Cómo se debe elegir el período de muestreo T ó la velocidad de muestreo Fs? Se debe conocer cierta información de la señal, por ejemplo: la frecuencia. Frecuencia Máxima 3.4 kHz 5 MHz

Señal de voz Señal de TV

Si se concoe la frecuencia máxima de la señal, se puede especificar la velocidad de muestreo necesaria para convertir las señales analógicas a digitales. Una señal analógica cualquiera se puede representar como una suma de senoides de diferentes amplitudes, frecuencias y fases, es decir: Xa(t ) = ∑i =1 Ai cos(2πFi t + θi ) N

N= Número de componentes de frecuencia. Se supone que una señal no debe contener componentes de frecuencia mayores a Fmax. Si la señal excede a Fmax, entonces se pasa por un filtro que atenúe esas componentes de frecuencia.

El filtrado se realiza ANTES del muestreo. Para evitar el ALIASING, se debe seleccionar una velocidad de muestreo lo suficientemente alta. Fs ≥ 2 F max Fs Fs − ≤ F max ≤ 2 2 Fmax→frecuencia más alta de la señal analógica. La condición Fs≥2Fmax garantiza que todas las componentes de la señal analógica corresponderán a una frecuencia en tiempo discreto. − π < ω < π ;ϖ = 2πf −

1 1 F max < f < ;f = 2 2 Fs 22

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ Si la frecuencia más alta contenida en una señal analógica Xa(t) es Fmax= B y la señal se muestrea a Fs≥ 2Fmax= 2B, entonces Xa(t) se puede recuperar totalmente a partir de sus muestras mediante la siguiente función de interpolación: sen(2πBt ) 2πBt ∞ n   n   Xa(t ) = ∑ Xa g  t −   Fs   Fs  n = −∞ donde g (t ) =

 n  Xa  = Xa (nT ) = X ( n)  Fs  son las muestras de Xa(t) Cuando el muestreo de Xa(t) se realiza a la tasa mínima de muestreo Fs= 2B, la fórmula de reconstrucción se transforma en:  n   sen 2πB t −   n   2 B   Xa(t ) = ∑ Xa   2 B  2πB t − n  n = −∞    2B  ∞

Tasa de Nyquist→ FN= 2B= 2Fmax Ej. Considere la señal analógica Xa(t)= 3cos(50πt) + 10sen(300πt) – cos(100πt) a) ¿Cuál es la tasa de Nyquist para esta señal? b) Analice la señal x(n) F1= 25 Hz F2= 150 Hz←Fmax F3= 50 Hz FN≥ 2Fmax FN≥ 300 muestras/seg 25  50    150   x(n) = 3 cos 2π n  + 10sen 2π n  − cos 2π n  300   300   300   nπ   nπ  x(n) = 3 cos  + 10 sen(nπ ) − cos   6   3  La componente 10sen(nπ) se cancela dando cualquier valor de π por lo que la señal original no pude ser recuperada. Hay que muestrear a una frecuencia mayor y procurar que FN> 2Fmax

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Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ Ej. Considere la señal analógica Xa(t)= 3cos(2000πt)+ 5sen(6000πt)+ 10cos(12000πt) a) ¿Cuál es la tasa de Nyquist para esta señal? Grafique x(n) b) Suponga que muestreamos ahora a una velocidad Fs= 5000 muestras/seg. ¿Cuál es la señal en tiempo discreto? c) ¿Cuál es la señal analógica que obtendríamos al reconstruir la señal por interpolación? a)

FN≥ 2Fmax F1= 1 kHZ F2= 3 kHz F3= 6 kHz←Fmax FN≥ 12 kHz 1  3  6     x(n) = 3 cos 2π n  + 5sen 2π n  + 10 cos 2π n   12   12   12   nπ   nπ  x(n) = 3 cos  + 5sen  + 10 cos(nπ )  6   2 

b)  1kHz   3kHz   6kHz  x(n) = 3 cos 2π n  + 5sen 2π n  + 10 cos 2π n  5kHz   5kHz   5kHz   1    3   6  x(n) = 3 cos 2π  n  + 5sen 2π  n  + 10 cos 2π  n   5   5   5   1   5 3   5 1  x(n) = 3 cos 2π  n  + 5sen 2π  − n  + 10 cos 2π  + n   5   5 5   5 5   1   2   1  x(n) = 3 cos 2π  n  − 5sen 2π  n  + 10 cos 2π  n   5   5   5   2nπ   4nπ  x(n) = 13 cos  − 5sen   5   5 

24

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ c) 1 2 f1 = ciclos ; f 2 = ciclos muestra muestra 5 5 1  F1 = f1Fs =   5000 muestras seg   5   F1 = 1kHz 2  F2 = f 2 Fs =   5000 muestras seg   5   F2 = 2kHz x(t ) = 13 cos(2000πt ) − 5sen(4000πt )

25

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3. SEÑALES Y SISTEMAS EN TIEMPO DISCRETO SEÑALES BÁSICAS Impulso

∞; n = 0 δ ( n) =  0; n ≠ 0 Impulso unitario

1; n = 0 δ ( n) =  0; n ≠ 0 Escalón unitario

Rampa discreta unitaria 26

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{

}

x(n) = 3,5,1,−2, 4,−1,6,0 ↑

0
SEÑALES PERIÓDICAS Y APERIÓDICAS 27

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ Una señal discreta es periódica si: x(n)= x(n+N) N= Período digital ó número de muestras. Si la señal discreta proviene del muestreo de la señal analógica: x(n)=Acos(2πfn+θ) F K f = = Fs N ENERGÍA Y POTENCIA EN SEÑALES DISCRETAS E=

∞

∑ x ( n)

2

(Joules)

n = −∞

La energía de una señal continua es finita si posee un número finito de muestras. P=

N 1 2 x(n) (Watts) ∑ 2N + 1 n=− N

La potencia promedio se calcula en las señales periódicas. En una señal continua la energía es finita y la potencia es cero. En una señal periódica, la energía es infinita y la potencia promedio es finita. SEÑAL PAR Y SEÑAL IMPAR Señal par x(n)= x(-n)

Señal impar

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Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ x(n)= -x(-n)

PARTE PAR Y PARTE IMPAR DE UNA SEÑAL DISCRETA Toda señal se forma de la suma de una señal discreta par y otra impar. x(n)= xe(n)+ xo(n) Parte par

x(n) = xe (n) + xo (n) x(− n) = xe ( n) − xo (n) x(n) + x (−n) = 2 xe xe ( n) =

1 1 x ( n) + x ( − n) 2 2

Parte impar x(n) = xe (n) + xo (n) x(−n) = xe (n) + xo (−n) x(n) = xe (n) + xo (n) − x(−n) = − xe (n) + xo (n) x(n) − x(− n) = 2 xo ( n) xo (n) =

1 1 x ( n) − x ( − n) 2 2

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Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ OPERACIONES BÁSICAS EN SEÑALES DISCRETAS • • •

Reflexión [x(n)→x(-n)] Escalamiento (Compresión/Expansión) Desplazamiento (Adelanto/Retraso) x(n)

x(-n) n -4 -3 -2 -1

x(-n) x[-(-4)]= x(4) x[-(-3)]= x(3) x[-(-2)]= x(2) x[-(-1)]= x(1)

x(n+2) n -6 -5 0 1

x(n+2) x(-6+2)= x(-4) x(-5+2)= x(-3) x(0+2)= x(2) x(1+2)= x(3)

x(n-3) 30

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ n -1 2 3 6

{

x(n-3) x(-1-3)= x(-4) x(2-3)= x(-1) x(3-3)= x(0) x(6-3)= x(3)

}

x(n) = 0,2,2,2, 0,1,2,3,4,0.. ↑

x(n)

x(-n+2) n -2 -1 1 2

x(-n+2) x[-(-2)+2]= x(4) x[-(-1)+2]= x(3) x(-1+2)= x(1) x(-2+2)= x(0)

x(-n)

31

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ n -4 -3 -2 -1

x(-n) x(4) x(3) x(2) x(1)

x(n)

x(2n) n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

x(2n) x[2(-4)]= x(-8) x(-6) x(-4) x(-2) x(0) x(2) x(4) x(6) x(8)

Orden de operaciones con señales a) Reflexiones b) Escalamiento c) Desplazamiento

32

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________  n ;−3 ≤ n ≤ 3 Ej. Si x(n) =  0; enOtroSitio

a) b) c) d) e)

Determine y(n)= x(n) y(n)= x(n-1) y(n)= x(n+1) y(n)= 1/3 {x(n+1)+ x(n)+ x(n-1)} y(n)=max{x(n+1), x(n), x(n-1)}

f)

y ( n) =

n

∑ x(k )

k = −∞

a)

b)

c)

{

}

y (n) = ...0,3,2,1, 0,1,2,3

{

↑

}

y ( n) = 0,3,2,1,0,1,2,3,0

{

↑

}

y ( n) = 0,3,2,1,0,1,2,3,0 ↑

d)  5 2 5  y (n) = 1, ,2,1, ,1,2, ,1 3 3   3 ↑  n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y(n) 1 5/3 2 1 2/3 1 2 5/3 1

33

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ e)

{

}

y ( n) = 3,3,3,2,1,2,3,3,3 ↑

n -3 -2 -1 0 1 2 3

y(n) 3 3 2 1 2 3 3

f) y ( n) =

∞

∑ x(k ) = x(−∞) + x(−∞ + 1) + ... + x(n − 1) + x(n)

{

k = −∞

}

y ( n) = 3,5,6, 6,7,9,12,12,12,... ↑

n -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

y(n) 0 3 5 6 6 7 9 12 12

DESCRIPCIÓN ENTRADA-SALIDA DE SISTEMAS Un sistema es aquel que procesa una señal de entrada y se obtiene una respuesta de salida.

x(n)= Señal discreta de entrada. h(n)= Respuesta al impulso. y(n)= Respuesta de salida discreta. Los sistemas discretos se representan en forma de señal a través de la respuesta al impulso h(n).

34

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ El acumulador Es un sistema que suma el valor presente de la señal discreta x(n) más todos los anteriores. y ( n) =

n

∑ x(k ) = x(−∞) + x(−∞ + 1)... + x(−3) + x(−2) + ... + x(1) + x(2) + ...x(n)

k = −∞

y ( n) =

n −1

∑ x ( k ) + x ( n)

k = −∞

n −1

∑ x(k ) ⇐ CondicionesIniciales

∴ y ( n − 1) =

k = −∞

y (n + 1) =

n

∑ x(k ) + x(n + 1) = y (n) + x(n + 1)

k = −∞

Ej. El acumulador y ( n) =

n

∑ x(k )

k = −∞

Se excita por medio de una señal x(n)= nu(n) Obtenga la salida y(n) si: a) y(-1)= 0 b) y(-1)= 1

a) y ( n) =

−1

n

∑ x(k ) + ∑ x (k )

k = −∞

k =0

n

y ( n) = y (−1) + ∑ x( k ) k =0

n

y ( n) = 0 + ∑ x ( k ) k =0

x(n) = { 0,1,2,3,4...., n} n(n + 1) y ( n) = 2 35

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ b) y ( n) =

−1

n

∑ x(k ) + ∑ x(k )

k = −∞

k =0

n

y (n) = y (−1) + ∑ x(k ) k =0

n

y ( n) = 1 + ∑ x( k ) k =0

y ( n) = 1 +

n2 n + 2 2

REPRESENTACIÓN A BLOQUES DE SISTEMAS Sumador: Es un sistema que suma dos señales discretas. No tiene memoria.

Multiplicador • De constante

•

De señales: Es un sistema que multiplica dos señales discretas. No tiene memoria.

36

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ Retardador de señal: Es un sistema que retarda en una ó “n” posiciones una señal de entrada. Es un sistema que tiene memoria.

Adelantador de señal: Al contrario que el retardador es un sistema que adelanta una posición la señal de entrada.

Ej. Represente a manera de bloques el siguiente sistema: y ( n) =

1 1 1 y (n − 1) + x(n) + x(n − 1) 4 2 2

37

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ CARACTERÍSTICAS Y PROPIEDADES DE LOS SISTEMAS DISCRETOS INVARIANZA EN EL TIEMPO Los sistemas pueden clasificarse como variantes ó invariantes en el tiempo. Un sistema es invariante en el tiempo si su salida no cambia respecto a la entrada al desplazarla ciertas muestras k en el tiempo. x(n)→y(n) x(n-k)→y(n-k) Ej. Determine si los siguientes sistemas son variantes ó invariantes en el tiempo. a) Diferenciador

b) Multiplicador de tiempo

c) Espejo

d) Modulador

a) y(n)= x(n)-x(n-1) 1. x(n-k)-x(n-1-k) 2. y(n-k)= x(n-k)-x(n-k-1) ¿Son 1y 2 iguales?: Sí El sistema invariante en el tiempo.

38

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ b) y(n)= nx(n) 1. nx(n-k) 2. y(n-k)= (n-k)x(n-k) y(n-k)= nx(n-k)-kx(n-k) ¿Son 1y 2 iguales?: No El sistema es variante en el tiempo. c) y(n)= x(-n) 1. x(-n-k) 2. y(n-k)= x[-(n-k)] y(n-k)= x(-n+k) ¿Son 1 y 2 iguales?: No El sistema es variante en el tiempo. d) y(n)= x(n)cosωon 1. x(n-k)cosωon 2. y(n-k)= x(n-k)cos[ωo(n-k)] ¿Son iguales?: No El sistema es variante en el tiempo. PROPIEDAD DE LA LINEALIDAD Los sistemas discretas pueden clasificarse en lineales y no lineales. El sistema es lineal si cumple con el teorema de superposición que involucra a la suma ponderada de la señal de salida igual a la suma de señales individuales en la entrada. SUPERPOSICIÓN

Τ[ a1 x1 (n) + a2 x2 (n)] = a1Τ[ x1 (n)] + a2Τ[ x2 (n)]

Ej. Determine si los siguientes sistemas de entrada-salida son lineales ó no lineales. a) b) c) d) e)

y(n)= nx(n) y(n)= x(n2) y(n)= x2(n) y(n)= Ax(n)+ B y(n)= ℮x(n)

39

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ SUPERPOSICIÓN

y1 (n) ↔ x1 ( n)

y2 (n) ↔ x2 (n)

y3 (n) ↔ x3 (n) y3 (n) ↔ x1 (n) + x2 (n) y3 (n) ↔ y1 (n) + y2 (n) x3 (n) ↔ x1 (n) + x2 (n) a) y(n)=nx(n) 1. y1(n)= nx1(n) 2. y2(n)= nx2(n) 3. y3(n)= nx3(n)= n[x1(n)+x2(n)]= nx1(n)+nx2(n) x3(n)= x1(n)+x2(n) El sistema es lineal b) y(n)= x(n2) 1. y1(n)= x1(n2) 2. y2(n)= x2(n2) 3. y3(n)= x3(n2)= x1(n2)+x2(n2) x3(n)= x1(n)+x2(n) El sistema es lineal c) y(n)= x2(n) 1. y1(n)= x12(n) 2. y2(n)= x22(n) 3. y3(n)= x32(n)= [x1(n)+x2(n)]2

40

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ y3(n)= x12(n)+2x1(n)x2(n)+x22(n) x3(n)= x1(n)+x2(n) El sistema no es lineal d) y(n)= Ax(n)+B 1. y1(n)= Ax1(n)+B 2. y2(n)= Ax2(n)+B 3. y3(n)= Ax3(n)+B y3(n)= A[x1(n)+x2(n)]+B y3(n)= Ax1(n)+Ax2(n)+B El sistema es no lineal e) y(n)= ℮x(n) 1. y1 (n) = e x1 ( n ) 2. y2 ( n) = e x 2 ( n ) 3. y3 (n) = e x3 ( n ) = e[ x1 ( n ) + x 2 ( n ) ] = e x1 ( n ) • e x 2 ( n ) El sistema es no lineal CAUSALIDAD Un sistema puede ser causal ó no causal. Cuando un sistema depende de los valores en el presente y en el pasado, el sistema es causal, si no cumple con lo anterior, es no causal. y(n)= F[x(n), x(n-1), x(n-2),…] Ej. Determine la causalidad de los siguientes sistemas: a) b) c) d) e) f) g)

y(n)= x(n)-x(n-1) y(n)= 2x(n)+3x(n-1)+4x(n-2) y(n)= ax(n) y(n)= x(n)+3x(n+4) y(n)= x(n2) y(n)= x(2n) y(n)= x(-n)

Causal Causal Causal No Causal No Causal No Causal No Causal

MEMORIA Los sistemas se pueden clasificar en estáticos (sin memoria) ó dinámicos (con memoria). Un sistema sin memoria es aquél que depende solo de los instantes presentes de la señal de entrada. Un sistema con memoria es aquél que depende de muestras en el pasado.

41

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ Ej. Determine si los siguientes sistemas son sin memoria (estáticos) ó con memoria (dinámicos). a) y(n)= x(n) b) y(n)= x(n)+2x(n-1) c) y(n)= ax(n)

Sin memoria Con memoria Sin memoria

n

d) y ( n) = ∑ x(n − k )

Con memoria

e) y ( n) = ∑ x(n − k )

Con memoria

f) y(n)= nx(n)+bx3(n)

Sin memoria

k =0 ∞ k =0

PROCESO DE CONVOLUCIÓN La convolución es la operación que se realiza cuando una señal x(n) es procesada en un sistema, que para nuestro estudio será LINEALMENTE INVARIANTE EN EL TIEMPO (LTI). La operación genera una respuesta de salida y(n) que puede expresarse de la siguiente forma: y ( n) =

∞

∑ x ( k ) h( n − k )

k = −∞

Sumatoria de Convolución Un sistema que puede ser un circuito eléctrico, electrónico, en general, una “caja negra” es representada por una señal h(n) que será la respuesta del sistema cuando se le aplica un impulso.

Pasos para realizar la convolución 1. 2. 3. 4.

Graficar x(k), h(k). Reflejar h(k). Desplazar h(-k) hacia la derecha e izquierda. Multiplicar muestra a muestra x(k)h(n-k)

Ej. Determine la salida del sistema representado por: h(n) = 1, 2,1,−1

{

} cuando tiene una entrada representada por: x(n) = {1,2,3,1} ↑

↑

42

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ x(k)

h(n-k)= h(-k)

n= 0 y(0)= (0)(-1)+(0)(1)+(1)(2)+(2)(1)+(3)(0)+(1)(0) y(0)= 4 n= -1 h(-1-k)

y(-1)= (0)(-1)+(0)(1)+(0)(2)+(1)(1) y(-1)= 1

43

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ n= -2 h(-2-k)

y(-2)= 0 n= 1 h(1-k)

y(1)= (0)(-1)+(1)(1)+(2)(2)+(3)(1)+(1)(0) y(1)= 8 n= 2 h(2-k)

44

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________

y(2)= (-1)(1)+(2)(1)+(2)(3)+(1)(1) y(2)= 8 n=3 h(3-k)

y(3)= (0)(1)+(-1)(2)+(1)(3)+(2)(1)+(1)(0) y(3)= 3 n= 4 h(4-k)

y(4)= (0)(1)+(0)(2)+(3)(-1)+(1)(1)+(2)(0)+(1)(0) y(4)= -2

45

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ n= 5 h(5-k)

y(5)= (-1)(1) n=6 h(6-k)

y(6)= 0

46

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________

{

}

y (n) = ...,0,1, 4,8,8,3,−2,−1,0,0,... ↑

y(n) Ejercicio: x ( n) = u ( n) h( n) = a nu ( n) a <1 y ( n) = ? Ley Conmutativa y ( n) =

∞

∑ x ( n − k ) h( k )

k = −∞

x(k)= u(k)

h(k)

47

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ x(-k)

x(1-k)

x(2-k)

y(n)

y(0)= (1)(1)= 1 y(1)= (1)(1)+(1)(a)= 1+a y(2)= (1)(1)+(1)(a)+(1)(a2)= 1+a+a2 y(3)= (1)(1)+(1)(a)+(1)(a2)+(1)(a3)= 1+a+a2+a3 y(n)= 1+a+a2+a3+…+an 1 − a n +1 y ( n) = 1− a y ( n) =

∞

∑ x ( k ) h( n − k ) =

k = −∞

∞

∑ u (k )a

n−k

u (n − k )

k = −∞

n

y ( n) = ∑ a n − k = a n + a n −1 + a n − 2 + ... + a 0 = k =0

1 − a n +1 1− a

Ej. Determine la salida y(n) cuando: n

1 x ( n) =   u ( n) 2 1 h(n) =  u (n) 4 48

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ x(n)

y ( n) =

h(n)

∞

∑ x ( k ) h( n − k )

k = −∞

k

∞

1 1 y ( n ) = ∑   u ( k )  4 k = −∞  2  1 y ( n) = ∑   k =0  2  n

1 y ( n) =   4

n n

k

1   4

n

1   4

n−k

u (n − k )

−k

n

[

1 =  4

( 12 ) ∑1 ( 4)

n n

k =0

k k

1 =  4

1 2 =   2o + 21 + 22 + 23 + ... + 2n ∑ 4 k =0

n

k

[

]

n

n

1   2 ∑ 1  k =0   4

n n

k

]

1 y ( n) =   2 n +1 − 1 4 n   1 n  n 1  y ( n) = 2    2 −     4    2   n n 1  1  y ( n) =    2 −     2    2   1 1 y ( n) = 2  −   2 4

CORRELACIÓN DE UNA SEÑAL DISCRETA La correlación es una operación muy semejante a la convolución. La correlación nos indica el parecido que tiene una señal con otra desplazada ó el parecido contra sí misma desplazada. Esta propiedad nos permitirá filtrar ruido aleatorio de nuestra señal de información. y(n)= ax(n-D)+ω(n)

49

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ y(n)= Señal recibida ó señal de salida de un sistema. ax(n-D)= Es la señal original modificada por un factor “a” y desplazada D unidades. ω(n)= Señal de ruido. CORRELACIÓN CRUZADA Y AUTOCORRELACIÓN Cuando una señal se correlaciona con otra diferente, entonces se le llama CORRELACIÓN CRUZADA. rxy (l ) =

∞

∑ x ( n) y ( n − l )

n = −∞

l = 0,±1,±2,±3... Cuando la señal se correlaciona contra sí misma se llama AUTOCORRELACIÓN. rxx (l ) =

∞

∑ x ( n) x ( n − l )

n = −∞

Ej. Determine la correlación de las siguientes secuencias

{ } y (n) = {...,0,0,1,−1,2,−2, 4,1,−2,5,0,0,...}

x(n) = ...,0,0,0,−1,3,7,1,2,−3,0,0,... ↑

↑

rxy (l ) =

∞

∑ x ( n) y ( n − l )

n = −∞

l= 0 rxy (0) =

∞

∑ x ( n) y ( n )

n = −∞

rxy (0) = (2)(1) + (−1)(−1) + (3)(2) + (7)(−2) + (1)(4) + (2)(1) + (−3)(−2) + (0)(5) rxy (0) = 7 l= 1 rxy (1) =

∞

∑ x(n) y(n − 1)

n = −∞

rxy (1) = (2)(0) + (−1)(1) + (3)(−1) + (7)(2) + (1)(−2) + (2)(4) + (−3)(1) rxy (1) = 13 l= -1 rxy (−1) =

∞

∑ x(n) y(n + 1)

n = −∞

rxy (−1) = (2)(−1) + (−1)(2) + (3)(−2) + (7)(4) + (1)(1) + (2)(−2) + (−3)(5) rxy (−1) = 0

50

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ l= 2 rxy (2) =

∞

∑ x ( n ) y ( n − 2)

n = −∞

rxy (2) = (2)(0) + (−1)(0) + (3)(1) + (7)(−1) + (1)(2) + (2)(−2) + ( −3)(4) + (0)(1) rxy (2) = −18 l= -2 rxy (−2) =

∞

∑ x(n) y(n + 2)

n = −∞

rxy (−2) = (0)(−1) + ( 2)(2) + (−1)(−2) + (3)(4) + (7)(1) + (1)(−2) + (2)(5) + (−3)(0) rxy (−2) = 33 l= 3 rxy (3) =

∞

∑ x(n) y(n − 3)

n = −∞

rxy (3) = (2)(0) + (−7)(0) + (3)(0) + (7)(1) + (1)(−1) + (2)(2) + (−3)(−2) + (0)(4) + (0)(1) rxy (3) = 16 l= -3 rxy (−3) =

∞

∑ x(n) y(n + 3)

n = −∞

rxy (−3) = (2)(−2) + (−1)(4) + (3)(1) + (7)(−2) + (1)(5) + (2)(0) rxy (−3) = 14 l= 4 rxy (4) =

∞

∑ x(n) y(n − 4)

n = −∞

rxy (4) = (2)(0) + (−1)(0) + (3)(0) + (7)(0) + (1)(1) + (2)(−1) + (−3)(2) + (0)(2) rxy (4) = −7 l= -4 rxy (−4) =

∞

∑ x(n) y(n + 4)

n = −∞

rxy (−4) = (2)(4) + (−1)(1) + (3)(−2) + (7)(5) + (1)(0) rxy (−4) = 36

51

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ l= 5 rxy (5) =

∞

∑ x(n) y(n − 5)

n = −∞

rxy (5) = ( 2)(0) + (−1)(0) + (3)(0) + (7)(0) + (1)(0) + (2)(1) + (−3)(−1) rxy (5) = 5 l= -5 rxy (−5) =

∞

∑ x(n) y(n + 5)

n = −∞

rxy (−5) = (2)(1) + (−1)(−2) + (3)(5) + (7)(0) + (1)(0) + (2)(0) + (−3)(0) rxy (−5) = 19 l= 6 ∞

∑ x(n) y(n − 6)

rxy (6) =

n = −∞

rxy (6) = (2)(0) + (−1)(0) + (3)(0) + (7)(0) + (2)(0) + ( −3)(1) rxy (6) = −3 l= -6 rxy (−6) =

∞

∑ x(n) y (n + 6)

n = −∞

rxy (−6) = (2)(−2) + (−1)(5) + (3)(0) + (7)(0) + (1)(0) + (2)(0) + (−3)(0) rxy (−6) = −9 l= 7 rxy (7) =

∞

∑ x ( n) y ( n − 7)

n = −∞

rxy (7) = (2)(0) + (−1)(0) + (3)(0) + (7)(0) + (1)(0) + (2)(0) + (−3)(0) rxy (7) = 0 l= -7 rxy (−7) =

∞

∑ x ( n) y ( n + 7)

n = −∞

rxy (−7) = (2)(5) + (1)(0) + (3)(0) + (7)(0) + (1)(0) + (2)(0) + (3)(0) rxy (−7) = 10

{

}

rxy (l ) = ...,0,10,−9,19,36,14,33,0, 7,13,−18,16,−7,5,−3,0,.. ↑

52

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ Ej. Determine la autocorrelación para x(n) = ...,0,1,1,1,1,1,0,...

{

rxx (l ) =

↑

}

∞

∑ x ( n) x ( n − l )

n = −∞

l= 0 rxx (0) =

∞

∑ x ( n) x ( n)

n = −∞

rxx (0) = (0)(0) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (0)(0) rxx (0) = 5 l= 1 ∞

∑ x(n) x(n − 1)

rxx (1) =

n = −∞

rxx (1) = (0)(0) + (1)(0) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (0)(1) rxx (1) = 4 l= -1 rxx (−1) =

∞

∑ x(n) x(n + 1)

n = −∞

rxx (−1) = (0)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(0) rxx (−1) = 4 l= 2 rxx (2) =

∞

∑ x(n) x(n − 2)

n = −∞

rxx (2) = (0)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (0)(1) rxx (2) = 3 l= -2 rxx (−2) =

∞

∑ x(n) x(n + 2)

n = −∞

rxx (−2) = (0)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(0) rxx (−2) = 3 l= 3 rxx (3) =

∞

∑ x(n) x(n − 3)

n = −∞

rxx (3) = (0)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(1) + (1)(1) + (0)(1) rxx (3) = 2

53

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ l= -3 ∞

∑ x(n) x(n + 3)

rxx (−3) =

n = −∞

rxx (−3) = (0)(1) + (1)(1) + (1)(1) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) rxx (−3) = 2 l= 4 rxx (4) =

∞

∑ x(n) x(n − 4)

n = −∞

rxx (4) = (0)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(1) + (0)(1) rxx (4) = 1 l= -4 rxx (−4) =

∞

∑ x(n) x(n + 4)

n = −∞

rxx (−4) = (0)(1) + (1)(1) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) rxx (−4) = 1 l= 5 rxx (5) =

∞

∑ x(n) x(n − 5)

n = −∞

rxx (5) = (0)(1) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) rxx (5) = 0 l= -5 rxx (−5) =

∞

∑ x(n) x(n + 5)

n = −∞

rxx (−5) = (0)(1) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) + (1)(0) rxx (−5) = 0

{

}

rxx (l ) = ...,0,1,2,3,4, 5,4,3,2,1,0,... ↑

54

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________

4. TRANSFORMADA Z La transformada Z es una herramienta que nos permite realizar el estudio de una señal ó sistema discreto de forma similar a como lo hace la transformada de Laplace para señales y sistemas en el tiempo continuo. La transformada Z se emplea para caracterizar señales mediante diagramas de polos y ceros. X ( z) =

∞

∑ x ( n) z

−n

n = −∞ z

x ( n) ↔ X ( z )

La tranformada Z es una serie infinita de potencias que converge en una región (ROC= Region Of Convergente). La ROC es el conjunto de valores de z para los cuales X(z) es finita.

{ } b) x (n) = {1,2, 5,7,0,1}

Ej. Determine la transformada Z de las siguientes señales a ) x1 (n) = 1,2,5,7,0,1 ↑

2

↑

c) x3 (n) = { 0,0,1,2,5,7,0,1} d ) x4 (n) = { 2,4,5,7,0,1}

e) x5 (n) = δ (n)

f ) x6 (n) = δ ( n − k ) ; k rel="nofollow"> 0

g ) x7 (n) = δ ( n + k ) ; k > 0

z

x ( n) ↔ X ( z ) a)

5

X 1 ( z ) = ∑ x(n) z − n = 1z 0 + 2 z −1 + 5 z − 2 + 7 z − 3 + z −5 n=0

X1( z) = 1 +

2 5 7 1 + 2+ 3+ 5 z z z z

55

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ b) X 2 (z) =

3

∑ x ( n) z

−n

= z 2 + 2 z + 5 + 7 z −1 + z − 3

n = −2

c) X 3 (n) = z −2 + 2 z −3 + 5 z −4 + 7 z −5 + z −7 d) X 4 (n) = 2 + 4 z −1 + 5 z −2 + 7 z −3 + z −5 e) X 5 ( n) =

∞

∑ x ( n) z

−n

= 1z 0 = 1

n = −∞

z

f)

δ ( n ) ↔1

X 6 ( z) =

∞

∑ x ( n) z

−n

= z −k

n = −∞ z

δ (n − k ) ↔ z − k g)

X 7 (z) =

∞

∑ x ( n) z

−n

= 1z − ( − k ) = z k

n = −∞ z

δ (n + k ) ↔ z k 56

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ Ej. ∞

∑a

n

=

n=0

a=

1 1− a

1 2 n

1 x ( n) =   u ( n) 2 X ( z) =

∞

∑ x ( n) z

−n

n = −∞ ∞

n

n

n

n

∞ ∞ ∞ 1 1 1  1  1  X ( z ) = ∑   z − n = ∑     = ∑   = ∑  z −1   n=0  2  n =0  2   z  n=0  2z  n =0  2 1 X ( z) = 1 1 − z −1 2

n

n

z 1 1   u ( n) ↔ 1 2 1 − z −1 2

57

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ SUMAS Y SUMATORIAS Serie Aritmética N ( N + 1) 2 n =1 N

∑

Serie Geométrica 1 − r N +1 1− r n=0 Para : 0 < r < 1 N

∑rn = ∞

∑r n=0

n

=

1 1− r

Serie Trigonométrica senx = x −

x3 x5 x 7 + − + ... 3! 5! 7!

x 2 x 4 x6 cos x = 1 − + − + ... 2! 4! 6! tgx = x +

x3 2 x5 3x 7 + + + ... 3 15 75

Serie Logarítmica ln(1 + x) = x −

x 2 x3 x 4 + − + ... 2 3 4

Serie Exponencial x 2 x3 x4 e = 1+ x + + + + ... 2! 3! 4! x

Serie Binomial (1 + x) n = 1 + nx +

n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2) 3 x + x + ... 2! 3!

Para : nx < 1

58

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ PROPIEDADES DE LA TRANSFORMADA Z LINEALIDAD Si z

x1 (n) ↔ X 1 ( z )

y

z

x2 (n) ↔ X 2 ( z ) Entonces z

x(n) = a1 x1 (n) + a2 x2 (n) ↔ a1 X 1 ( z ) + a2 X 2 ( z ) X ( z) =

∞

∑ x ( n) z

−n

n = −∞

Ej. Determine la transformada Z de: x(n)=[3(2n)-4(3n)]u(n) Converge en ∞

∑a

=

n

n=0

1 1− a

ROC ‌ z >a x(n) = 3(2 n )u (n) − 4(3n )u ( n) z

x1 (n) = 2 n u (n) ↔

∞

∞

n = −∞

n =0

∑ 2 n u ( n) z − n = ∑ 2 n z − n =

1 ; ROC = z > 2 1 − 2 z −1

1 ; ROC = z > 3 1 − 3z −1 4 − 1 − 3z −1 z

x2 (n) = 3n u (n) ↔ X ( z) =

3 1 − 2 z −1

59

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ Ej. Determine la transformada Z de: 1. cos(ωon)u(n) 2. sen(ωon)u(n) z

x1 (n) ↔ X 1 ( z ) ∞

∑a

n

=

n=0

X1( z) =

1 1− a ∞

∑ cos(ω n)u (n) z

n = −∞

e

cos ωo n =

−n

o

jω o n

+e 2

∞

= ∑ cos(ωo n)u (n) z − n n=0

− jω o n

(

)

1 ∞ jω o n ∑ e + e− jωo n z − n 2 n=0 1 ∞ 1 ∞ X 1 ( z ) = ∑ e jω o n z − n + ∑ e − jω o n z − n 2 n=0 2 n=0 ∞ n 1 1 ∞ X 1 ( z ) = ∑ e jω o z −1 + ∑ e − jω o z −1 2 n=0 2 n=0 X1( z) =

(

X1( z) =

)

(

)

n

1 1 1  1  +   − jω o −1  jωo −1  2 1− e z  2 1− e z 

1 1 − e − jω o z −1 + 1 − e jω o z −1  X1( z) =   2  1 − e jω o z −1 1 − e − jω o z −1 

(

)(

)

(

)

 1 2 − e − jω o + e jω o X1( z) =  − jω o −1 jω o −1 jω o − jω o − 2  2 1 − e z −e z +e e z  X1( z) =

1 − z −1Cosωo 1 − 2 z −1Cosωo + z − 2

z

x2 (n) ↔ X 2 ( z ) Senωo n =

e jω o n − e − jω o n 2j

∞

X 2 ( z ) = ∑ Sen( ωo n ) z −1 n =0

X 2 (z) =

1 ∞ jω o n − n 1 ∞ − jω o n − n e z ∑e z − 2 j ∑ 2 j n=0 n =0

X 2 (z) =

1 ∞ jω o −1 n 1 ∞ − jω o −1 e z ∑ e z − 2j∑ 2 j n=0 n=0

X 2 (z) =

1  1 1  1   −   jω o −1  − jω o −1  2 j 1− e z  2 j 1− e z 

(

)

(

)

n

60

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ X 2 (z) =

1 1 − e − jω o z −1 − 1 + e jω o z −1    2 j  1 − e jω o z −1 1 − e − jω o z −1 

X 2 (z) =

z −1Senωo 1 − 2 z −1Cosωo + z − 2

(

)(

)

DESPLAZAMIENTO EN TIEMPO z

x ( n) ↔ X ( z ) z

x(n − k ) ↔ z − k X ( z ) Ej. Determine la transformada z para: 1.

x1 (n + 2);

{

}

z

x1 (n) = 1,2, 5,7,0,1 ↔ X 1 ( z ) = z 2 + 2 z + 5 + 7 z −1 + z − 3 ↑

x(n)

X ( z) =

x(n+2)

∞

∑ x ( n) z

n = −∞

−n

= z 4 + 2 z 3 + 5 z 2 + 7 z + z −1

[

]

x(n + 2) ↔ z 2 z 2 + 2 z + 5 + 7 z −1 + z − 3 = z 4 + 2 z 3 + 5 z 2 + 7 z + z −1 2.

x2 (n − 2) z

x2 (n) = { 0,0,1,2,5,7,0,1} ↔ X 2 ( z ) = z − 2 + 2 z − 3 + 5 z − 4 + 7 z − 5 + z − 7

61

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ x(n)

x(n-2)

X ( z ) = z −4 + 2 z −5 + 5 z −6 + 7 z −7 + z −9

[

z

]

x(n − 2) ↔ z − 2 z − 2 + 2 z − 3 + 5 z − 4 + 7 z − 5 + z − 7 = z − 4 + 2 z −5 + 5 z − 6 + 7 z − 7 + z − 9 Ej. Determine la transformada z de : 0 ≤ n ≤ N −1 en otro sitio

1; x(t ) =  0;

X ( z) =

∞

∑ x ( n) z

−n

n = −∞

X ( z) =

N −1

∑1.z

−n

n =0

X ( z) =

=

∑(z ) N −1 n=0

−1 n

( )

N −1+1

1 − z −1 = 1 − z −1

−N

1− z 1 − z −1

62

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ x ( n) = u ( n) − u ( n − N ) X ( z ) = U ( z ) − z − NU ( z ) z

U (n) ↔? U ( z) =

∞

∞

n = −∞

n=0

n =0

( )

0

∑ u(n) z − n = ∑1 • z − n = ∑ z −1

n

=

1 1 − z −1

X ( z) =

1 1  1 z−N −N  − z = −  −1  −1 1 − z −1 1 − z −1 1− z  1− z

X ( z) =

1 − z−N 1 − z −1

ESCALADO EN EL DOMINIO DE Z z

x ( n) ↔ X ( z )

(

z

a n x( n) ↔ X a −1 z X ( z) =

∞

∑ x ( n) z

−n

=

n = −∞

∞

∑a

n

∑ x ( n )( a z ) ∞

x ( n) z − n =

n = −∞

)

n = −∞

−1

−n

(

= X a −1 z

)

Ej. Determine la transformada z de: 1. a n ( cos ωo n ) u ( n)

2. a n ( senωo n ) u ( n)

1. 1 − z −1 cos ωo (cos ωo n)u (n) ↔ 1 − 2 z −1 cos ωo + z − 2 z

z

a (cos ωo n)u (n) ↔ n

X ( z) =

(

(

1 − a −1 z −1

1− 2 a z

)

−1

)

−1

cos ωo

(

cos ωo + a −1 z

)

−2

1 − az −1 cos ωo 1 − 2az −1 cos ωo + a 2 z − 2

2. z

a n ( senωo n)u (n) ↔

( a z ) senω 1 − 2( a z ) cos ω + ( a z ) −1

−1

−1

o

−1

−1

−2

o

X ( z) =

az −1senωo 1 − 2az −1 cos ωo + a 2 z − 2

63

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ INVERSIÓN EN TIEMPO (TEMPORAL) z

x ( n) ↔ X ( z )

( )

z

x(− n) ↔ X z −1 X ( z) =

∞

∑ x(−n)z

−n

n = −∞

Si l = −n X ( z) =

∑ x(l )( z ) ∞

−1 − l

( )

= X z −1

l = −∞

Ej. Determine la transformada z de: x ( n) = u ( − n) 1 1 − z −1 z 1 u ( − n) ↔ 1 − z −1 1 X ( z) = 1− z z

u ( n) ↔

( )

−1

DIFERENCIACIÓN EN EL DOMINIO DE Z z

x ( n) ↔ X ( z ) z

nx(n) ↔ − z X ( z) =

∞

∑ nx(n) z

n = −∞

−n

dX ( z ) dz

= Z { nx(n)}

∞ dX ( z ) d ∞ − n −1 = x ( n )( − n ) z = x (n)(−n) z − n • z −1 ∑ ∑ dz dz n = −∞ n = −∞

∞ dX ( z ) = − z −1 ∑ nx (n) z −1 dz n = −∞ ∞ z zdX ( z ) − = ∑ nx(n) z − n ↔ nx(n) dz n = −∞

64

Procesamiento Digital de Señales ______________________________________________________________________ Ej. Determine la transformada z de y ( n) = na nu (n) z

y ( n) = na nu (n) ↔ − z

dX ( z ) dz

1 1 − az −1 d  1  Y ( z) = − z  dz 1 − az −1   1 − az −1 (0) − (1)( az − 2 )   − az − 2  Y ( z) = − z   = −z  2 −1 2 1 − az −1     1 − az  az −1  Y ( z) =  2  1 − az −1  z

a n u ( n) ↔

(

)

(

(

)

(

)

)

Ej. Determine la transformada z de r(n) Donde r(n)= Rampa unitaria r(n)=nu(n) R( z ) = − z R( z ) =

 0 − (1)( z − 2 )  d  1  = − z   −1 2 dz 1 − z −1   1 − z 

(

z

)

−1

(1 − z )

−1 2

Ej. Determine la señal x(n) a partir de su transformada z X(z)=ln(1+az-1)

[

]

z dX ( z ) d = −z ln(1 + az −1 ) ↔ nx( n) dz dz  − az − 2    dX ( z ) az −1 1  1  −z = −z = = az −1  = az −1  −1  −1 −1  −1  dz 1 + az  1 − (−a ) z  1 + az  1 + az

−z

nx(n) = a ( − a ) x ( n) =

a( − a )

n −1

u (n − 1)

n −1

u (n − 1) n

65