Ds Loi Binomiale&poisson Groupe A

BTS 2ème Année Groupe A – 14/01/2009 Problème 1 Une usine fabrique des " robinets - vannes " pour le bâtiment. Deux défauts de fabrication seulement sont possibles, un défaut noté « a » et un défaut noté « b ». 1° Une étude statistique a montré que, pour un robinet tiré au hasard dans la production d'une journée, la probabilité de l'événement A : « le robinet présente le défaut " a " » est P(A) = 0,01 et la probabilité de l'événement B : « le robinet présente le défaut " b " » est P(B) = 0,05 . Dans cette question on donnera la valeur exacte de chaque probabilité. On admet que les événements A et B sont indépendants. Calculer la probabilité des événements suivants. a) C : « le robinet présente les deux défauts » ; b) D : « le robinet présente au moins un défaut ( et peut être les deux ) » ; c) E : « le robinet ne présente aucun des deux défauts » ; d) F : « le robinet présente un et un seul des deux défauts » . 2° Dans la production d'une journée on prélève un robinet au hasard en supposant que chaque robinet a la même probabilité d'être choisi. On admet que la probabilité que le robinet ne présente aucun des deux défauts « a » et « b » est 0,9405. On prélève ainsi cinq robinets avec remise, de telle façon que les cinq tirages d'un robinet soient indépendants. Soit X la variable aléatoire qui à un tel prélèvement de cinq robinets, associe le nombre de robinets ne présentant aucun des deux défauts « a » et « b » . a) Expliquer pourquoi X suit une loi binomiale. Donner les paramètres de cette loi. b) Déterminer la probabilité de l'événement G : « quatre robinets au moins n'ont aucun des deux défaut ». On donnera une valeur approchée à 10 −4  près du résultat.

BTS 2ème Année Groupe A – 14/01/2009

Problème 2 A - Une usine fabrique en grande série des pièces susceptibles de présenter un défaut A dans 3% des cas, ou un défaut B dans 7% des cas. L'apparition d'un défaut est indépendante de l'apparition de l'autre. Calculer la probabilité qu'une pièce tirée au hasard : a) présente les deux défauts ; b) présente au moins l'un des deux défauts ; c) présente un seul défaut ; d) ne présente aucun défaut. B - On prélève au hasard 250 pièces dans la production. La production étant importante le tirage peut être assimilé à un tirage avec remise. 1° Soit X la variable aléatoire qui, à tout prélèvement aléatoire de 250 pièces, fait correspondre le nombre de pièces présentant le défaut A. a) Quelle est la loi de probabilité de X ? b) On admet que la loi de X peut être approchée par une loi de Poisson. En déterminer le paramètre λ. Calculer alors la probabilité que, parmi 250 pièces, il y en ait au plus 3 présentant le défaut A.