Droite

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫اﻟﻘﺪرات اﻟﻤﻨﺘﻈﺮة‬ ‫*‪ -‬ﺗﺮﺟﻤﺔ ﻣﻔﺎهﻴﻢ و ﺧﺎﺻﻴﺎت اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﺘﺎﻟﻔﻴﺔ و اﻟﻬﻨﺪﺳﺔ اﻟﻤﺘﺠﻬﻴﺔ ﺑﻮاﺳﻄﺔ اﻻﺣﺪاﺛﻴﺎت‬ ‫*‪ -‬اﺳﺘﻌﻤﺎل اﻷداة اﻟﺘﺤﻠﻴﻠﻴﺔ ﻓﻲ ﺣﻞ ﻣﺴﺎﺋﻞ هﻨﺪﺳﻴﺔ‪.‬‬ ‫‪ -I‬ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺴﺘﻮى – اﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻧﻘﻄﺔ – ﺗﺴﺎوي ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ – ﺷﺮط اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫‪ -1‬ﻣﻌﻠﻢ – إﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻧﻘﻄﺔ‬ ‫ﻧﺸﺎط ﻟﺘﻜﻦ ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ O‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ و ‪ M‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻮى و ‪ P‬ﻣﺴﻘﻄﻬﺎ ﻋﻠﻰ‬ ‫) ‪ ( OI‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ ) ‪ ( OJ‬و ‪ Q‬ﻣﺴﻘﻄﻬﺎ ﻋﻠﻰ ) ‪ ( OJ‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ ) ‪( OI‬‬ ‫‪ -1‬أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ‬ ‫‪ -2‬ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر ‪ x‬أﻓﺼﻮل ‪ P‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ‪ ( O; I‬و ‪ y‬أﻓﺼﻮل ‪ Q‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ‪( O; J‬‬ ‫‪JJJJG‬‬ ‫‪JJJG JJG‬‬ ‫أآﺘﺐ ‪ OM‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ x‬و ‪ y‬و ‪ OI‬و ‪OJ‬‬ ‫‪-------------------------‬‬‫‪ -1‬اﻟﺸﻜﻞ‬

‫‪ -2‬ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ P‬ﻣﺴﻘﻂ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ) ‪ ( OI‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ ) ‪ ( OJ‬و ‪ Q‬ﻣﺴﻘﻂ ‪ M‬ﻋﻠﻰ ) ‪ ( OJ‬ﺑﺘﻮاز ﻣﻊ‬ ‫‪JJJJG JJJG JJJG‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ) ‪ ( OPMQ‬ﻣﺘﻮازي اﻷﺿﻼع و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪OM = OP + OQ‬‬

‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ‪( O; I‬‬

‫) ‪( O; J‬‬

‫و ﺣﻴﺚ أن ‪ x‬أﻓﺼﻮل ‪P‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪JJJG JJJG‬‬ ‫‪JJG‬‬ ‫ﻓﺎن ‪ OP = xOI‬و ‪OQ = yOJ‬‬ ‫‪JJJJG‬‬ ‫‪JJG‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪OM = xOI + yOJ‬‬ ‫و ﺑﻤﺎ أن ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ O‬ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ﻓﺎﻧﻨﺎ ﻧﻘﻮل ان اﻟﺰوج ) ‪ ( x; y‬زوج اﺣﺪاﺛﻴﺜﻲ ‪M‬‬ ‫‪JJG JJJG‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ) ‪ ( O; I ; J‬أو اﻟﻤﻌﻠﻢ ‪ O; OI ; OJ‬ﻧﻜﺘﺐ ) ‪M ( x; y‬‬

‫)‬

‫و ‪ y‬أﻓﺼﻮل ‪ Q‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ‬

‫) ‪( OI‬‬

‫(‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪1‬‬ ‫* آﻞ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ O‬ﺗﺤﺪد ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ) ‪ ( O; I ; J‬أو‬ ‫‪JJG JJJG‬‬ ‫‪O; OI ; OJ‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ﺗﺮﻣﻴﺰ و ﻣﺼﻄﻠﺤﺎت‬ ‫ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( OI‬ﻳﺴﻤﻰ ﻣﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬‫‬‫‬‫‪-‬‬

‫اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( OJ‬ﻳﺴﻤﻰ ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ‬ ‫‪JJG JJJG‬‬ ‫إذا آﺎن ) ‪ ( OI ) ⊥ ( OJ‬ﻓﺎن ‪ O; OI ; OJ‬ﻳﺴﻤﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪا‬ ‫‪JJG JJJG‬‬ ‫إذا آﺎن ) ‪ ( OI ) ⊥ ( OJ‬و ‪ OI = OJ‬ﻓﺎن ‪ O; OI ; OJ‬ﻳﺴﻤﻰ ﻣﻌﻠﻤﺎ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪا ﻣﻤﻨﻈﻤﺎ‪.‬‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‪2‬‬ ‫‪JJG JJJG‬‬ ‫ﻧﻘﻮل ان اﻟﺰوج ) ‪ ( x; y‬زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ‪ O; OI ; OJ‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬ ‫‪JJJJG‬‬ ‫‪JJG‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪OM = xOI + yOJ‬‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ ) ‪M ( x; y‬‬

‫)‬

‫اﻟﻌﺪد ‪ x‬ﻳﺴﻤﻰ أﻓﺼﻮل ‪M‬‬ ‫اﻟﻌﺪد ‪ y‬ﻳﺴﻤﻰ أرﺗﻮب ‪M‬‬

‫(‬

‫‪ -2‬إﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻣﺘﺠﻬﺔ – ﺗﺴﺎوي ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫أ‪ -‬اﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ﻣﺘﺠﻬﺔ‬ ‫ﻧﺸﺎط‬ ‫‪JJG JJJG‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻤﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O; OI ; OJ‬و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻌﻠﻮﻣﺔ ‪.‬‬ ‫‪G JJJJG‬‬ ‫أﻧﺸﺊ ‪ M‬ﺣﻴﺚ ‪u = OM‬‬ ‫‪JJG JJJG‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﺑﺎﻋﺘﺒﺎر ) ‪ M ( x; y‬ﺑﺎﻟﻨﺴﺒﺔ ﻟﻠﻤﻌﻠﻢ ‪ O; OI ; OJ‬أآﺘﺐ ‪ u‬ﺑﺪﻻﻟﺔ ‪ x‬و ‪y‬‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫‪-----------------------‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪JJG‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪JJJJG‬‬ ‫‪JJG‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪ OM = xOI + yOJ‬وﻣﻨﻪ ‪u = xOI + yOJ‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫اﻟﺰوج ) ‪ ( x; y‬زوج اﺣﺪاﺛﻴﺜﻲ ‪ u‬ﻧﻜﺘﺐ ) ‪u ( x; y‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫‪JJG JJJG‬‬ ‫‪JJG JJJG‬‬ ‫‪G‬‬ ‫زوج اﺣﺪاﺛﻴﺜﻲ ‪ u‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ‪ O; OI ; OJ‬هﻮ زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ‪O; OI ; OJ‬‬ ‫‪JJJJG G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪OM = u‬‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ ) ‪u ( x; y‬‬ ‫‪JJG JJJG‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫اذا آﺎن ) ‪ M ( x; y‬ﻓﻲ اﻟﻤﻌﻠﻢ ‪ O; OI ; OJ‬ﻓﺎن زوج اﺣﺪاﺛﻴﺜﻲ ‪ u‬هﻮ ) ‪ ( x; y‬ﻧﻜﺘﺐ ) ‪u ( x; y‬‬

‫)‬

‫)‬

‫)‬

‫(‬

‫(‬

‫(‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫‪JJG JJJG‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪. O; OI ; OJ‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫) ‪ u ( x; y‬و )' ‪ u ' ( x '; y‬ﻣﺘﺠﻬﺘﺎن و ‪ α‬و ‪ β‬ﻋﺪدان ﺣﻘﻴﻘﻴﺎن‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪ α u + β v‬هﻮ )' ‪(α x + β x ';α y + β y‬‬

‫(‬

‫)‬

‫ب‪ -‬ﺗﺴﺎوي ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫‪JJG JJJG‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪، O; OI ; OJ‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ u ( x; y‬و )' ‪ u ' ( x '; y‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫‪G G‬‬ ‫' ‪ u = u‬اذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎن ' ‪ x = x‬و ' ‪y = y‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫د‪ -‬اﺣﺪاﺛﻴﺘﺎ ‪AB‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪JJG JJJG‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪، O; OI ; OJ‬إذا آﺎن ) ‪ A ( x; y‬و ) ' ‪ B ( x '; y‬ﻓﺎن ) ‪AB ( x '− x; y '− y‬‬

‫(‬

‫)‬

‫)‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫(‬

‫‪G G‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪، O ; i ; j‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ) ‪ A (1; 2‬و )‪ B ( −3; −1‬و ) ‪ C ( 3; −2‬وﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ )‪ u ( −2;3‬و ) ‪.v ( 2; 4‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫‪ -1‬أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و اﻟﻤﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ‪ u‬و ‪v‬‬ ‫‪G 1 G JJJJG JJJG‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﺪد زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ آﻞ ﻣﻦ ‪ AB‬و ‪ AC‬و ‪2u − v‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪JJJG JJJJG‬‬ ‫‪ -3‬ﺣﺪد زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ D‬ﺣﻴﺚ ‪AB = BD‬‬ ‫‪ -4‬ﺣﺪد زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ] ‪[ AB‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪G G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻤﻴﺘﻴﻦ و ‪ i‬و ‪ j‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻤﻴﺘﻴﻦ ﺣﻴﺚ‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫و ‪v = −4i + 3 j‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ uG‬و ‪ vG‬ﻓﻲ اﻷﺳﺎس ) ‪( i ; j‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ i‬و ‪ j‬ﻓﻲ اﻷﺳﺎس ) ‪( u ; v‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪u = 3i − 2 j‬‬

‫‪ -3‬ﺷﺮط اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫أ‪ -‬ﻣﺤﺪدة ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( x ; y‬و ) ' ‪ v ( x '; y‬ﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ‬

‫'‪x x‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫اﻟﻌﺪد ‪ xy '− x ' y‬ﻳﺴﻤﻰ ﻣﺤﺪدة اﻟﻤﺘﺠﻬﻴﻦ ‪ u‬و ‪) v‬ﻓﻲ هﺬا اﻟﺘﺮﺗﻴﺐ( ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ ) ‪ det (u ;v‬أو‬ ‫'‪y y‬‬ ‫'‪x x‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫= ) ‪det (u ;v‬‬ ‫ﻧﻜﺘﺐ ‪= xy '− x ' y‬‬ ‫'‪y y‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻣﺜﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪ u ( −2;3‬و ) ‪ v ( 2; 4‬و ) ‪w ( −5;0‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﺣﺪد ) ‪ det (u ;v‬و ) ‪det (u ;w‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ب‪ -‬ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ u ( x ; y‬و ) ' ‪ v ( x '; y‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ‬ ‫‪G G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫* ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪u = kv‬‬ ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ' ‪ x = kx‬و ' ‪y = ky‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ‪xy '− x ' y = kx ' y '− kx ' y ' = 0‬‬ ‫ﻧﻔﺘﺮض ‪ xy '− x ' y = 0‬و ‪x ' ≠ 0‬‬ ‫‪x‬‬ ‫* ﻧﻀﻊ ‪= k‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ' ‪x = kx‬‬ ‫'‪x‬‬ ‫و ﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪ xy '− x ' y = 0‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ' ‪y = ky‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫إذن ‪u = kv‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫إذا آﺎن ‪ u‬أو ‪ v‬ﻣﻨﻌﺪﻣﺎ ﻓﺎن ‪xy '− x ' y = 0‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫‪G G‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪det (u ;v ) =0‬‬ ‫‪GG‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﺗﻜﻮن ‪ u‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪det (u;v ) ≠ 0‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u 2 + 1;1‬و ‪ v 1; 2 − 1‬و ‪w −1; 2‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫أدرس اﺳﺘﻘﺎﻣﻴﺔ ‪ u‬و ‪ v‬ﺛﻢ ‪ u‬و ‪w‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪، O ; i ; j‬‬

‫)‬

‫( )‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫‪G‬‬ ‫‪1 ‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ‪ A  ;3 ‬و )‪ B ( −2; −2‬و ) ‪ C (1; 4‬وﻣﺘﺠﻬﺔ )‪u (1;3‬‬ ‫‪2 ‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ -1‬أﻧﺸﺊ اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬و اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪u‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﺪد ‪ x‬ﺣﻴﺚ ‪ u‬و ) ‪ v ( x − 2;5‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬

‫‪ -3‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‬ ‫‪ -4‬ﻣﻨﻈﻢ ﻣﺘﺠﻬﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ -‬إذا آﺎن ) ‪ u ( x ; y‬ﻓﺎن ‪u = x 2 + y 2‬‬

‫‪-‬‬

‫إذا آﺎن ) ‪ A ( x A ; y A‬و ) ‪ B ( xB ; yB‬ﻓﺎن‬

‫‪( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2‬‬

‫= ‪AB‬‬

‫‪ -II‬اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى‬ ‫‪ -1‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻌﺮف ﺑﻨﻘﻄﺔ وﻣﺘﺠﻬﺔ‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ‬ ‫‪JJJJG G‬‬ ‫ﻧﺤﺪد ) ‪ ( D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﺣﻴﺚ ‪t ∈ \ ; AM = tu‬‬ ‫‪JJJG G‬‬ ‫ﻟﻨﻀﻊ ‪AB = u‬‬ ‫* ∅ ≠ ) ‪ ( D‬ﻻن ) ‪B ∈ ( D‬‬ ‫‪JJJJG JJJG‬‬ ‫* ﻧﻌﻠﻢ أن ‪ t ∈ \ ; AM = t AB‬ﺗﻜﺎﻓﺊ‬

‫) ‪M ∈ ( AB‬‬

‫) ‪( D ) = ( AB‬‬ ‫‪G‬‬ ‫) ‪ ( D‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ ‪u‬‬ ‫ﺗﻌﺮﻳﻒ‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ A‬ﻧﻘﻄﺔ و ‪ u‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ‬ ‫‪JJJJG G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ‪ M‬ﺣﻴﺚ ‪ t ∈ \ ; AM = tu‬هﻲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ ‪ u‬ﻧﺮﻣﺰ ﻟﻪ ﺑـ‬ ‫‪G‬‬ ‫) ‪D ( A ;u‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ u‬و ‪ v‬ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺘﻴﻦ‬ ‫‪G G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫* إذا آﺎن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﻴﻦ ﻓﺎن ) ‪D ( A ;u ) = D ( A ;v‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫* إذا آﺎن ) ‪ B ∈ D ( A ;u‬ﻓﺎن ) ‪D ( A ;u ) = D ( B ;u‬‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫* ‪ AB‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( AB‬‬ ‫‪ -2‬ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ ، O ; i ; j‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ ( D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻣﺎر ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ A ( x 0 ; y 0‬و ) ‪ u (α ; β‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻪ‬

‫)‬

‫(‬

‫‪JJJJG‬‬ ‫‪G‬‬ ‫) ‪ M ∈ ( D‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ﺗﻮﺟﺪ ‪ t‬ﻣﻦ \ ﺣﻴﺚ ‪AM = tu‬‬

‫‪x = x 0 + tα‬‬ ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ \ ∈ ‪t‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y = y 0 + t β‬‬ ‫‪x = x 0 + tα‬‬ ‫‪ ‬ﺗﺴﻤﻰ ﺗﻤﺘﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي‬ ‫اﻟﻨﻈﻤﺔ \ ∈ ‪t‬‬ ‫‪β‬‬ ‫‪y‬‬ ‫=‬ ‫‪y‬‬ ‫‪+‬‬ ‫‪t‬‬ ‫‪0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ) ‪ A ( x 0 ; y 0‬واﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ ) ‪u (α ; β‬‬

‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ وﺗﻌﺮﻳﻒ‬

‫‪G G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب اﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O ; i ; j‬و ) ‪ u (α ; β‬ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪﻣﺔ و ) ‪ A ( x 0 ; y 0‬ﻧﻘﻄﺔ‪.‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪G‬‬ ‫آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻣﺎر ﻣﻦ ) ‪ A ( x 0 ; y 0‬وﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ) ‪ u (α ; β‬ﻟﻪ ﻧﻈﻤﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ \ ∈ ‪t‬‬ ‫اﻟﻨﻈﻤﺔ \ ∈ ‪t‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﺑـ ) ‪u (α ; β‬‬

‫‪x = x 0 + t α‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪y = y 0 + t β‬‬

‫‪x = x 0 + t α‬‬ ‫‪ ‬ﺗﺴﻤﻰ ﺗﻤﺘﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ) ‪ A ( x 0 ; y 0‬واﻟﻤﻮﺟﻪ‬ ‫‪y = y 0 + t β‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪، O ; i ; j‬‬

‫(‬

‫)‬

‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ )‪ A ( −2;1‬و ) ‪ B ( 0; −2‬و ) ‪ C (1; 4‬وﻣﺘﺠﻬﺘﻴﻦ )‪ u ( −2;3‬و )‪.v ( 4; −6‬‬ ‫‪x = 2 − t‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ \ ∈ ‪t‬‬ ‫‪ ‬ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫‪ y = 1+t‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ -1‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ ‪ u‬و اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫)∆(‬

‫‪-2‬‬

‫)∆(‬

‫أ‪ -‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( D‬‬ ‫ب‪ -‬أﻋﻂ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﺗﻨﺘﻤﻲ إﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( D‬‬ ‫‪ C‬ﺗﻨﺘﻤﻴﺎن اﻟﻰ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( D‬‬

‫ج‪ -‬هﻞ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ ‪ B‬و‬ ‫‪G G‬‬ ‫‪ -3‬أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ‪ u‬و ‪ v‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬ ‫‪G‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟـ ) ‪ . D (C ;v‬ﻣﺎذا ﺗﻼﺣﻆ‬ ‫‪ -4‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫) ‪( AC‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻳﻘﺒﻞ ﻣﺎ ﻻ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﺘﻤﺜﻴﻼت اﻟﺒﺎراﻣﺘﺮﻳﺔ‬ ‫‪ -3‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫أ‪ -‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻌﺮف ﺑﻨﻘﻄﺔ و ﻣﺘﺠﻬﺔ‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ) ‪ ( P‬ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪، O ; i ; j‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ ) ‪ ( D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎر ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ) ‪ A ( x 0 ; y 0‬و ) ‪ u (α ; β‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻪ‪.‬‬

‫)‬

‫(‬

‫) ‪(P‬‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ M ( x ; y‬ﻧﻘﻄﺔ ﻣﻦ‬ ‫‪G JJJJG‬‬ ‫) ‪ M ∈ ( D‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ AM‬و ‪ u‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬ ‫‪x −x0 α‬‬ ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪= 0‬‬ ‫‪y − y0 β‬‬

‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪β x − α y + α y 0 − β x 0 = 0‬‬ ‫ﻧﻀﻊ ‪c = α y 0 − β x 0 ; β = a ; −α = b‬‬ ‫) ‪ M ∈ ( D‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ ax + by + c = 0‬ﺣﻴﺚ ) ‪(a;b ) ≠ ( 0;0‬‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬ ‫آﻞ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻟﻪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪ax + by + c = 0‬‬ ‫* اﻟﻌﻜﺲ‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ a‬و ‪ b‬و ‪ c‬اﻋﺪاد ﺣﻘﻴﻘﻴﺔ ﺣﻴﺚ‬

‫ﺣﻴﺚ ) ‪. ( a; b ) ≠ ( 0;0‬‬

‫) ‪(a;b ) ≠ ( 0;0‬‬

‫ﻟﻨﺤﺪد ) ‪ ( D‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ) ‪ M ( x ; y‬ﺣﻴﺚ ‪ax + by + c = 0‬‬ ‫ﻟﻨﻔﺮض أن ‪a ≠ 0‬‬

‫‪ −c ‬‬ ‫) ‪ ( D‬ﻏﻴﺮ ﻓﺎرﻏﺔ ﻷن ) ‪C  ;0  ∈ ( D‬‬ ‫‪ a ‬‬ ‫ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ A ( x 0 ; y 0‬ﺗﻨﺘﻤﻲ اﻟﻰ ) ‪ ( D‬وﻣﻨﻪ ‪ax 0 + by 0 + c = 0‬‬ ‫وﺑﺎﻟﺘﺎﻟﻲ ‪c = −ax 0 − by 0‬‬

‫) ‪ M ( x ; y ) ∈ ( D‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ax + by + c = 0‬‬ ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ax + by − ax 0 − by 0 = 0‬‬

‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪a ( x − x 0 ) + b ( y − y 0 ) = 0‬‬ ‫‪x − x 0 −b‬‬ ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪= 0‬‬ ‫‪y − y0 a‬‬

‫‪JJJJG‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ AM‬و ) ‪ u ( −b ; a‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺘﺎن‬ ‫‪G‬‬ ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ) ‪M ∈ D ( A ;u‬‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ‬

‫) ‪M (x ; y‬‬ ‫‪G‬‬ ‫و ) ‪ ( a; b ) ≠ ( 0;0‬هﻲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑـ ) ‪u ( −b ; a‬‬

‫ﺣﻴﺚ‬

‫‪ax + by + c = 0‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ ax + by + c = 0‬ﺣﻴﺚ ) ‪ ( a; b ) ≠ ( 0;0‬ﺗﺴﻤﻰ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﻮﺟﻪ‬ ‫‪G‬‬ ‫ﺑـ ) ‪u ( −b ; a‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪G G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪ ، O ; i ; j‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ A ( −2;1‬و ) ‪. u (1; 2‬‬

‫)‬

‫ﻟﺘﻜﻦ ‪ 2x − 3 y + 1 = 0‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫) ‪(D‬‬

‫(‬

‫و\∈ ‪t‬‬

‫‪ x = 1 + 5t‬‬ ‫‪ ‬ﺗﻤﺜﻴﻞ ﺑﺎراﻣﺘﺮي‬ ‫‪ y = 2 − 2t‬‬

‫ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫)' ‪( D‬‬

‫‪G‬‬ ‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( ﻣﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ ‪u‬‬

‫‪ -2‬أﻋﻂ ﺛﻼث ﻧﻘﻂ ﻣﻦ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬و ﻣﺘﺠﻬﺔ ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻪ‪.‬‬ ‫‪ -3‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ' ‪ . ( D‬أﻧﺸﺊ اﻟﺸﻜﻞ‪.‬‬ ‫ﻣﻼﺣﻈﺔ‬ ‫* ﻟﻜﻞ ﻋﺪد ﺣﻘﻴﻘﻲ ﻏﻴﺮ ﻣﻨﻌﺪم ‪ ، k‬اﻟﻤﻌﺎدﻟﺘﺎن ‪ ax + by + c = 0‬و ‪ akx + bky + kc = 0‬ﻣﺘﻜﺎﻓﺌﻴﻦ‪ ،‬ﻓﻬﻤﺎ‬ ‫ﻣﻌﺎدﻟﺘﺎن‬ ‫ﻟﻨﻔﺲ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫* ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎﻻ ﻧﻬﺎﻳﺔ ﻣﻦ اﻟﻤﻌﺎدﻻت اﻟﻤﺘﻜﺎﻓﺌﺔ‪.‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﺎﻻت ﺧﺎﺻﺔ‬ ‫* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻘﺎﻃﻊ ﻟﻤﺤﻮري اﻟﻤﻌﻠﻢ‬ ‫ﻳﻘﻄﻊ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻣﺤﻮري ﻣﻌﻠﻢ ﻓﻲ ﻧﻘﻄﺘﻴﻦ ﻣﺨﺘﻠﻔﺘﻴﻦ ) ‪ A ( a;0‬و ) ‪ B ( 0; b‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫‪x y‬‬ ‫ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ ‪+ = 1‬‬ ‫‪a b‬‬ ‫* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ اذا و ﻓﻘﻂ آﺎن ﻟﻪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع ‪x = c‬‬ ‫ﺣﻴﺚ ‪ a ≠ 0‬و ‪b ≠ 0‬‬

‫ﻣﻼﺣﻈﺔ ﻟﻴﻜﻦ‬

‫) ‪(a;b ) ≠ ( 0;0‬‬

‫ﺗﻜﻮن ‪ ax + by + c = 0‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر‬ ‫اﻷراﺗﻴﺐ إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪b = 0‬‬ ‫* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ اﻟﻤﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷﻓﺎﺻﻴﻞ‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻳﻜﻮن ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ اذا و ﻓﻘﻂ آﺎن ﻟﻪ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ﻣﻦ ﻧﻮع ‪. y = c‬‬

‫* اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻏﻴﺮ اﻟﻤﻮازي ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ‬ ‫‪G G‬‬ ‫) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪O ; i ; j‬‬

‫)‬

‫‪+ by + c = 0‬‬

‫(‬

‫‪( D ) : ax‬‬

‫) ‪ ( D‬ﻏﻴﺮ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪b ≠ 0‬‬

‫‪−b‬‬ ‫‪c‬‬ ‫إذن ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( D‬ﺗﺼﺒﺢ ‪x −‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪a‬‬ ‫‪−c‬‬ ‫‪−a‬‬ ‫ﻧﻀﻊ‬ ‫=‪; m‬‬ ‫= ‪ p‬إذن ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( D‬ﺗﻜﺘﺐ ‪y = mx + p‬‬ ‫‪b‬‬ ‫‪b‬‬ ‫ﺑﺎﻟﻌﻜﺲ ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪ y = mx + p‬ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ‪( D‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫وﻣﻨﻪ ) ‪ u (1; m‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟـ ) ‪ ( D‬و ﻟﺪﻳﻨﺎ ‪det u ; j ≠ 0‬‬ ‫= ‪y‬‬

‫(‬

‫)‬

‫إذن ) ‪ ( D‬ﻻ ﻳﻮازي ﻣﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ‪.‬‬ ‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ‬ ‫ﻳﻜﻮن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬ﻏﻴﺮ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎﻧﺖ ﻣﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( D‬ﻋﻠﻰ ﺷﻜﻞ‬ ‫‪y = mx + p‬‬ ‫اﻟﻌﺪد ‪ m‬ﻳﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻮﺟﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫‪G‬‬ ‫اﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ) ‪ u (1; m‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪( D‬‬

‫) ‪(D‬‬

‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = mx + p‬ﺗﺴﻤﻰ اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺨﺘﺰﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬

‫)‪( D‬‬

‫ﻣﻼﺣﻆة‬ ‫‪G‬‬ ‫‪β‬‬ ‫اذا آﺎن ) ‪ u (α ; β‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ﻏﻴﺮ ﻣﻮاز ﻟﻤﺤﻮر اﻷراﺗﻴﺐ ﻓﺎن اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻮﺟﻪ ﻟﻪ هﻮ اﻟﻌﺪد‬

‫‪α‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪، O ; i ; j‬‬

‫)‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺔ )‪ A ( −2;1‬و \ ∈ ‪t‬‬

‫(‬

‫‪ x = 1 + 3t‬‬ ‫‪. (∆) : ‬‬ ‫‪ y = −2 + t‬‬

‫‪−1‬‬ ‫‪ -1‬ﺣﺪد اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ اﻟﻤﺨﺘﺰﻟﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( D‬اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ﻣﻌﺎﻣﻠﻪ اﻟﻤﻮﺟﻪ‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬ﺣﺪد اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ اﻟﻤﻮﺟﻪ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( ﺛﻢ ﻣﻌﺎدﻟﺘﻪ اﻟﻤﺨﺘﺰﻟﺔ‪.‬‬

‫‪.‬‬

‫‪ - III‬اﻷوﺿﺎع اﻟﻨﺴﺒﻴﺔ ﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ‬ ‫‪ -1‬اﻟﺘﻮازي‬ ‫‪+‬‬ ‫‪+‬‬ ‫=‬ ‫‪+‬‬ ‫‪D‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪ax‬‬ ‫‪by‬‬ ‫‪c‬‬ ‫‪0‬‬ ‫;‬ ‫‪D‬‬ ‫‪:‬‬ ‫‪a‬‬ ‫'‬ ‫‪x‬‬ ‫‪b‬‬ ‫'‬ ‫‪y +c ' = 0‬‬ ‫)‪( 1‬‬ ‫)‪( 2‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪G‬‬ ‫) ‪ u ( −b ; a‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟـ ) ‪ ( D1‬و )' ‪ u ' ( −b '; a‬ﻣﻮﺟﻬﺔ ﻟـ ) ‪( D 2‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫) ‪ ( D1 ) // ( D 2‬ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪det (u ;u ') = 0‬‬ ‫ﺗﻜﺎﻓﺊ ‪ab '− a 'b = 0‬‬

‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‪1‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O ; i ; j‬و‬

‫(‬

‫)‬

‫) ‪ ( a; b ) ≠ ( 0;0‬و ) ‪. ( a '; b ') ≠ ( 0;0‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬ ‫‪( D2 ) : a ' x + b ' y + c ' = 0‬‬ ‫) ‪ ( D1 ) // ( D 2‬اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن ‪ab '− a 'b = 0‬‬ ‫;‬

‫‪( D1 ) : ax + by + c = 0‬‬

‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‪2‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O ; i ; j‬و‬

‫)‬

‫) ‪ ( D1 ) // ( D 2‬اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن ' ‪m = m‬‬

‫(‬

‫' ‪( D2 ) : y = m ' x + p‬‬

‫; ‪= mx + p‬‬

‫‪( D1 ) : y‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬ ‫‪( D1 ) : 2x − 3y + 4 = 0 ; ( D2 ) : −4x + 6y + 1 = 0‬‬ ‫هﻞ ) ‪ ( D1‬و ) ‪ ( D 2‬ﻣﻨﻔﺼﻼ أم ﻣﻨﻄﺒﻘﺎن‬ ‫‪ -2‬اﻟﺘﻘﺎﻃﻊ‬ ‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‪1‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O ; i ; j‬و‬

‫)‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬

‫‪( D2 ) : a ' x + b ' y + c ' = 0‬‬ ‫) ‪ ( D 2‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن‬ ‫;‬

‫) ‪ ( D1‬و‬

‫(‬

‫) ‪ ( a; b ) ≠ ( 0;0‬و ) ‪. ( a '; b ' ) ≠ ( 0;0‬‬

‫‪( D1 ) : ax + by + c = 0‬‬ ‫‪ab '− a 'b ≠ 0‬‬

‫و زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ هﻮ ﺣﻞ اﻟﻨﻈﻤﺔ‬

‫‪ ax + by + c = 0‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪a ' x + b ' y + c ' = 0‬‬

‫ﻣﺒﺮهﻨﺔ‪2‬‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O ; i ; j‬و ' ‪( D1 ) : y = mx + p ; ( D2 ) : y = m ' x + p‬‬

‫(‬

‫)‬

‫) ‪ ( D1‬و ) ‪ ( D 2‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن اذا و ﻓﻘﻂ اذا آﺎن ' ‪m ≠ m‬‬

‫ﻣﺜﺎل‬

‫‪ y = mx + p‬‬ ‫و زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ هﻮ ﺣﻞ اﻟﻨﻈﻤﺔ‬ ‫‪‬‬ ‫' ‪y = m 'x + p‬‬ ‫‪( D1 ) : x + 3y − 5 = 0 ; ( D2 ) : 2x + y −1 = 0‬‬

‫ﺗﺄآﺪ أن ) ‪ ( D1‬و ) ‪ ( D 2‬ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن وﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ‬ ‫‪ -3‬اﻟﺘﻌﺎﻣﺪ‬ ‫ﻧﺸﺎط‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ‬

‫‪G G‬‬ ‫) ‪ ( P‬ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪ O ; i ; j‬و‬

‫(‬

‫)‬

‫) ‪ ( a; b ) ≠ ( 0;0‬و ) ‪. ( a '; b ') ≠ ( 0;0‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬ ‫‪( D1 ) : ax + by + c = 0 ; ( D2 ) : a ' x + b ' y + c ' = 0‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ) ‪ ( ∆1‬اﻟﻤﻮازي ﻟـ ) ‪ ( D1‬و اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ O‬و ) ‪ ( ∆ 2‬اﻟﻤﻮازي ﻟـ ) ‪ ( D2‬و اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪O‬‬ ‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﻦ ) ‪ ( ∆1‬و ) ‪ ( ∆ 2‬ﺛﻢ ﺗﺄآﺪ أن ) ‪ A ( −b; a ) ∈ ( ∆1‬و ) ‪A ' ( −b '; a ' ) ∈ ( ∆ 2‬‬ ‫‪ -2‬اذا آﺎن ) ‪ ، ( D1 ) ⊥ ( D2‬ﻣﺎ ﻃﺒﻴﻌﺔ اﻟﻤﺜﻠﺚ ' ‪OAA‬‬ ‫‪ -3‬ﺑﻴﻦ أن ) ‪ ( D1 ) ⊥ ( D2‬إذا وﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪aa '+ bb ' = 0‬‬ ‫ﺗﺬآﻴﺮ *‬

‫‪( xB − x A ) 2 + ( y B − y A ) 2‬‬

‫= ‪AB‬‬

‫* ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ‬ ‫‪ ABC‬ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ ﻓﻲ ‪ A‬اذا وﻓﻘﻂ اذا آﺎن ‪BC = AB + AC‬‬ ‫‪2‬‬

‫ﺧﺎﺻﻴﺔ‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ م‪.‬م ﻧﻌﺘﺒﺮ‬ ‫‪( D ) : ax + by + c = 0‬‬ ‫‪( D ') : a ' x + b ' y + c ' = 0‬‬

‫ﺣﻴﺚ‬

‫‪2‬‬

‫‪2‬‬

‫) ‪(a ';b ') ≠ ( 0;0‬‬

‫;‬

‫) ‪(a;b ) ≠ ( 0;0‬‬

‫)' ‪ ( D ) ⊥ ( D‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن ‪aa '+ bb ' = 0‬‬

‫ﻧﺘﻴﺠﺔ‬ ‫‪( D ') : y = m ' x + p ' mm ' = −1‬‬

‫‪= mx + p‬‬

‫‪(D ) : y‬‬

‫) ' ‪ ( D ) ⊥ ( D‬إذا و ﻓﻘﻂ إذا آﺎن‬

‫ﻣﺜﺎل ﻧﻌﺘﺒﺮ ‪( D ') : 3x + 2 y + 5 = 0‬‬ ‫ﺑﻴﻦ أن )' ‪( D ) ⊥ ( D‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬

‫‪( D ) : −2 x + 3 y − 1 = 0‬‬

‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪A ( 2;1‬‬

‫و )‪B ( −1;3‬‬

‫‪G‬‬ ‫و ) ‪ ( D‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻢ ﻣﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و ﻣﻮﺟﻪ ﺑـ )‪u ( 2;3‬‬

‫ﺑﻴﻦ أن‬

‫) ‪( D ) ⊥ ( AB‬‬ ‫‪------------------------------------------------------------------------‬‬

‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪JJJG‬‬ ‫‪JJJG 3 JJJG‬‬ ‫‪1 JJJJG‬‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺜﺎ و ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ K‬ﻧﻘﻂ ﺣﻴﺚ ‪ I‬ﻣﻨﺘﺼﻒ ] ‪ [ BC‬و ‪. CK = − AC ; AJ = AB‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪JJJG JJJJG‬‬ ‫ﻧﻨﺴﺐ اﻟﻤﺴﺘﻮى إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ‪A ; AB ; AC‬‬

‫)‬

‫(‬

‫‪ -1‬ﺣﺪد إﺣﺪاﺛﻴﺎت اﻟﻨﻘﻂ ‪ I‬و ‪ J‬و ‪K‬‬ ‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻂ ‪ I‬و ‪ J‬و ‪ K‬ﻣﺴﺘﻘﻴﻤﻴﺔ‬ ‫‪ -3‬ﺣﺪد ﺗﻤﺜﻴﻼ ﺑﺎراﻣﺘﺮﻳﺎ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ‪ ( IJ‬ﺛﻢ ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻪ‪.‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫‪G G‬‬ ‫ﻓﻲ ﻣﺴﺘﻮى ﻣﻨﺴﻮب إﻟﻰ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ‪ ، O ; i ; j‬ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻄﺘﻴﻦ )‪ A ( −2;1‬و ) ‪ B ( 2; 4‬و‬ ‫‪G‬‬ ‫) ‪u ( 5; 2‬‬

‫)‬

‫(‬

‫و ‪ ( D ) : 2x − 3 y + 1 = 0‬و ‪( Dm ) : ( m −1) x − 2my + 3 = 0‬‬ ‫‪G‬‬ ‫‪ -1‬ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ) ∆ ( اﻟﻤﺎر ﻣﻦ ‪ A‬و اﻟﻤﻮﺟﻪ ﺑﺎﻟﻤﺘﺠﻬﺔ ‪u‬‬ ‫‪ -2‬ﺗﺄآﺪ أن ) ‪ ( D‬و ) ∆ ( ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺎن و ﺣﺪد ﺗﻘﺎﻃﻌﻬﻤﺎ‪.‬‬ ‫‪ -3‬أ‪ -‬ﺣﺪد ‪ m‬ﺣﻴﺚ ) ‪( D ) // ( D m‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﺪد ‪ m‬ﺣﻴﺚ ) ‪( D ) ⊥ ( Dm‬‬ ‫‪ -4‬أ‪ -‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ) ‪( D 2 ) ; ( D1 ) ; ( D 0‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫ب – ﺑﻴﻦ أن ﺟﻤﻴﻊ اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ﺗﻤﺮ ﻣﻦ اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪C  3; ‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻧﻌﺘﺒﺮ )‪C ( 0; 2 ) ; B ( 6.7 ) ; A (10;3‬‬ ‫ﺣﺪد ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻜﻞ ﻣﺘﻮﺳﻂ ﻟﻠﻤﺜﻠﺚ ‪ABC‬‬ ‫ﺣﺪد زوج إﺣﺪاﺛﻴﺘﻲ ‪ G‬ﻣﺮآﺰ ﺛﻘﻞ ‪. ABC‬‬ ‫ﺗﻤﺮﻳﻦ‬ ‫ﻟﻴﻜﻦ ‪ ABCD‬و ‪ EFGH‬ﻣﺘﻮازﻳﻲ اﻷﺿﻼع ﺣﻴﺚ‬

‫)‬

‫) ‪ E ∈ [ AB‬و ) ‪G ∈ [ AD‬‬

‫أﺛﺒﺖ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻤﺎت ) ‪ ( BG‬و ) ‪ ( ED‬و ) ‪ (CF‬اﻣﺎ ﻣﺘﻮازﻳﺔ إﻣﺎ ﻣﺘﻘﺎﻃﻌﺔ ) ﻳﻤﻜﻦ اﻋﺘﺒﺎر اﻟﻤﻌﻠﻢ‬ ‫‪JJJG JJJJG‬‬ ‫‪( A ; AB ; AD‬‬

‫(‬