Draganaknezevic.pdf

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET DEPARTMAN ZA MATEMATIKU I INFORMATIKU

Dragana Knežević

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima -Master rad-

Mentor: Prof. dr Ljiljana Gajić

Novi Sad, 2015.

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

oznake: Neka je ( , ) metrički prostor, tada je 2 = {C | C je neprazan podskup od X }, ℬ ( ) = {A | A je neprazan ograničen podskup od X}, ℬ ( ) = {A | A je neprazan, zatvoren i ograničen podskup od X}, ( ) = {A | A je neprazan kompaktan podskup od X}, ℱ ( ) = {A | A je neprazan zatvoren podskup od X}, ( ) = { | A je neprazan, kompaktan i konveksan podskup od X}, ( ) = {A | A je podskup od X}, ={ ∈

∶ ∈

( ) = {( , ) ∶

} (skup svih nepokretnih tačaka preslikavanja T), ∈ ,

∈

} (graf višeznačnog operatora T).

2

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Sadržaj:

Predgovor ...................................................................................................................................4 1.

2.

Uvod ....................................................................................................................................5 1.1

Osnovni pojmovi i definicije .........................................................................................5

1.2

Metrička teorija nepokretne tačke za jednoznačna preslikavanja ................................. 14

Višeznačna preslikavanja ................................................................................................... 17 2.1

3.

Definicija i osnovne osobine ....................................................................................... 17

Metrička teorija nepokretne tačke za višeznačna ................................................................ 24 3.1

Nadlerova Teorema ..................................................................................................... 24

3.2

Uopštenje Ćirićeve generalizovane kontrakcije ........................................................... 27

3.3

Preslikavanje Zamfirescua .......................................................................................... 34

3.4

Reichov problem ......................................................................................................... 42

3.5

Lokalne kontrakcije..................................................................................................... 48

3.6

Kontrakcije sa uslovom na rubu .................................................................................. 51

3.7

„Weakly inward“ preslikavanje ................................................................................... 55

3.8

Neekspanzivna preslikavanja ...................................................................................... 61

Literatura .................................................................................................................................. 72 Biografija .................................................................................................................................. 74

3

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Predgovor

Teorija nepokretne (fiksne) tačke je jedna od važnijih grana nelinearne analize. Ova teorija povezana je sa mnogim oblastima matematike kao što su klasična analiza, funkcionalna analiza, numerička analiza... Bavi se problemima egzistencije, jedinstvenosti i konstrukcije nepokretne tačke preslikavanja. Osim što se primenjuje u matematici, primenjuje se i u mnogim drugim naukama: fizika, hemija, biologija, kao i u statistici i ekonomiji. Polazni rezultat, metričke teorije nepokretne tačke, slavni Banachov princip kontrakcije iz 1922. godine, do danas je uopšten u raznim pravcima među kojima je pitanje nepokretne tačke za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima. Značajne rezultate u ovoj oblasti dali su S.B Nadler, S.Reich, Lj.Ćirić, O.Hadžić... U ovom radu su dati dokazi egzistencije nepokretne tačke, prikazane su osnovne i najjednostavnije metode za pronalaženje nepokretne tačke za višeznačna preslikavanja. Rad se satoji iz tri poglavlja. U uvodnom delu rada su obuhvaćene osnovne osobine topoloških i metričkih prostora, kao i neki rezultati metričke teorije nepokretne tačke za jednoznačna preslikavanja. U drugom poglavlju su dati osnovni pojmovi: definicije višeznačnog preslikavanja, Lipšicovog višeznačnog preslikavanja i kontraktivnog višeznačnog preslikavanja kao i njihove osobine. U trećem poglavlju su predstavljeni rezultati S. B. Nadlera, koji je prvi dokazao egzistenciju nepokretne tačke za klasu kontrakcija, višeznačnih preslikavanja u kompletnim metričkim prostorima. Razmatrano je uopštenje Ćirićeve generalizovane kontrakcije, kao i višeznačno Zamfirescu preslikavanje u kome je prezentovan i rezultat o nizu – Pikardovih projekcionih iteracija (Pickard projection iteration). Prikazani su rezultati o egzistenciji nepokretne tačke za vrlo važnu klasu preslikavanja „non-self mappings“ tj. funkcija koje ne preslikavaju ceo skup u samog sebe, nego samo rub. Dati su delimični odgovori na Reichov problem koji je ostao „otvoren“. Za „weakly inward“ preslikavanja prikazani su rezultati u Banachovim prostorima. Uveden je pojam -lančastog metričkog prostora i posmatrana je lokalna kontrakcija na takvim prostorima. U poslednjem delu ovog poglavlja dati su i neki rezultati iz teorije nepokretne tačke neekspanzivnih višeznačnih preslikavanja.

4

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

1. Uvod 1.1 Osnovni pojmovi i definicije Metrički prostor predstavlja neprazan skup na kome je definisano rastojanje između svaka dva elemenata tog skupa. Osobine rastojanja između dve tačke, date su u sledećoj definiciji. U ovom poglavlju korišćena je literatura ([17], [11]) . Definicija 1.1.1: Neka je ≠ Ø i ∶ × → [0, ∞) tako da važe sledeći uslovi: 

( , ) ≥ 0 (nenegativnost)



( , ) = 0 ⇔ =



∀ , ∈ , ( , ) = ( , ) (simetričnost),



∀ , , ∈ , ( , ) ≤ ( , ) + ( , ) (nejednakost trougla)

Tada kažemo da je preslikavanje metrika na skupu i , a uređeni par ( , ) je metrički prostor.

, broj ( , ) je rastojanje tačaka

Navedeni uslovi govore da je rastojanje između dve tačke uvek nenegativno, rastojanje između tačaka x i y je isto kao i rastojanje između tačaka y i x, rastojanje između tačaka x i y nije veće od zbira rastojanja tačaka x i i rastojanja i . Primeri: [17] 1. Na skupu R: ( , ) = | − | 2. Na skupu

:

( , ) = ∑



( , ) = ∑



( , )=

(

(

,..,

−

) ;

−

)

, 1≤

|

−

|.

≤ ∞

5

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Sledeće tvrđenje predstavlja još jednu važnu osobinu rastojanja, koja sledi iz navedena četiri uslova. Tvrđenje 1.1.1: | ( , ) − ( , )| ≤ ( , ), , , ∈ . Definicija 1.1.2: Neka je ( , ) metrički prostor. Otvorena lopta sa centrom poluprečnikom > 0 se definiše : ( , ) = { ∶ ∈ ,

( , ) <

0 ,

) = { ∶ ∈ ,

i

∈

i

}.

Definicija 1.1.3: Neka je ( , ) metrički prostor. Zatvorena lopta sa centrom poluprečnikom > 0 se definiše : (

∈

( , ) ≤

}.

Definicija 1.1.4: U metričkom prostoru otvoreni skup O je unija lopti, tj. = ⋃

∈

(

) je otvoren skup.

,

U ℝ su otvoreni skupovi unije intervali. Teorema 1.1.1: Neka je familija svih otvorenih skupova u metričkom prostoru ( , ). Tada važi: 1. ∅ ∈ , ∈ 2. Ako

,

(prazan skup i skup ∈ ⇒

∩

∈

su otvoreni) (presek svaka dva otvorena skupa je otvoren

skup) 3. Ako je ∈ , ∈ ⇒ ⋃ je otvoren skup).

∈

∈

(unija proizvoljno mnogo otvorenih skupova

Lako se matematičkom indukcijom pokazuje da osobina 2. važi i za svaki konačan presek otvorenih skupova. Definicija 1.1.5: Neka je osobinama: [

≠∅ i

neka familija podskupova skupa

sa sledećim

] ∈ , ∅ ∈ , 6

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

[

]





∈ (

)



∈



∈ . ∈

[

]





,

∈ (

,…,



)





∈ .

Tada je uređeni par ( , ) topološki prostor, a elementi familije zove topologija na prostoru X.

su otvoreni skupovi,

Definicija 1.1.6: Neka je ( , ) metrički prostor. Familiju definišemo na sledeći način ∅ ∈ ∈ ako i samo ako važi sledeći uslov:

=

(∀ ∈ )(∃ Prepoznajemo da je

se

podskupova od

> 0)( ( , ) ⊂ ).

= , pa na osnovu Teoreme 1.1.1, dobija se sledeći rezultat.

Teorema 1.1.2: [17] Familija

definiše topologiju u metričkom prostoru ( , ).

Definicija 1.1.7: Neka je ( , ) metrički proctor. Skup je za neko > 0 ( , ) ⊂ .

⊂

je okolina tačke

∈ ako

Definicija 1.1.8: U topološkom prostoru ( , ) familija ℬ ( ) nekih okolina tačke ∈ je baza okolina tačke ako za svaku okolinu tačke postoji ∈ ℬ( ) takvo da je ∈ ⊂ . Teorema 1.1.3: [17] U ( , ) skup

je otvoren ako i samo ako je okolina svake svoje tačke.

Definicija 1.1.9: Neka je ( , ) topološki prostor. Ako je skupa ⊂ kažemo da je skup zatvoren.

⊂

komplement otvorenog

Teorema 1.1.4: [17] Za zatvorene skupove važi: 

, ∅ su zatvoreni i otvoreni (jer su jedan drugom komplementi) 7

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima



ako su

i



Ako su

,

zatvoreni tada je ∈

∪

zatvoreni, onda je

zatvoren

∩

zatvoren.

Definicija 1.1.10: Neka je ( , ) metrički proctor i 1. Tačka

je unutrašnja tačka za

( . ∈

⊂ . Tada: ) ako postoji

> 0 tako da je

( , )⊂ ; 2. Tačka

je adherentna tačka za

( . ∈ ̅) ako je za svako ( , )∩

3. Tačka x je tačka nagomilavanja za

≠ ∅;

ako je za svako

( , ) ∩

>0

>0

∖ { } ≠ ∅.

Definicija 1.1.11: Neka je ( , ) metrički prostor. Skup iz adherentna za , tj. ̅ = .

⊂

je gust u , ako je svaka tačka

Definicija 1.1.12: Metrički prostor ( , ) je separabilan ako postoji prebrojiv gust skup . Neka je ( , ) metrički prostor i ⊂ i ∈ . Rastojanje tačke od skupa definiano sa ( , ) = inf{ ( , ); ∈ }. Definicija 1.1.13: Neka je ( , ) metrički prostor i neka je dato ∈ , rastojanje od podskupa C je dato sa:

⊆

u je

neprazan i zatvoren. Za

( , ) = ( ) = inf ( , ). ∈ Ako postoji

∈ , gde je ( )= ( , )

kažemo da

ima najbližu tačku koja pripada C.

Teorema 1.1.5: [17] Neka je ( , ) metrički prostor i

⊂ . Tada je

8

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

̅ = { ; ∈ , ( , ) = 0}. Definicija 1.1.14: U metričkom prostoru ( , ) kažemo da niz { } ∈ iz konvergira ka ∈ , što označavamo sa lim → = , ako je lim → ( , ) = 0 odnosno lim →

= ⟺ (∀ > 0)(∃

Definicija 1.1.15: Niz { (∀ > 0)(∃

}

∈

iz

( )∈

Teorema 1.1.6: [17] Ako je niz {

( ) ∈ ℕ)(∀ ∈ ℕ) ( >

( )⇒ (

, )< )

je Košijev ako važi: )(∀ , }

∈

∈ iz

)( ,



( )⇒ (

>

,

)< )

konvergentan onda je Košijev.

Teorema 1.1.7: [17] Neka je ( , ) metrički prostor, . Tada postoji niz { } ∈ u takav da je lim

⊂

i

tačka nagomilavanja skupa

= .

→

Definicija 1.1.16: Topološki prostor je Hauzdorfov ako za svake dve različite tačke , ∈ postoje disjunktni otvoreni skupovi i u takvi da je ∈ ∈ . Teorema 1.1.8: [17] Metrički prostor je Hauzdorfov. Definicija 1.1.17: Neka je ( , ) metrički prostor i familije otvorenih skupova { } ∈ , za koju važi ⊂

⊂ . Skup A je kompaktan ako iz svake

, ∈

može da se izdvoji konačna familija skupova

,

⊂

Ako je

=

,…,

tako da je

.

kažemo da je ( , ) kompaktan metrički prostor.

Teorema 1.1.9: [17] Sledeći uslovi su ekvivalentni: a) ( , ) je kompaktan metrički prostor. 9

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

b) Svaki niz iz

ima konvergentan podniz.

c) Svaki beskonačan podskup od

ima tačku nagomilavanja.

Teorema 1.1.10: [17] Neka je ( , ) metrički prostor i zatvoren i ograničen.

kompaktan podskup od . Tada je

Definicija 1.1.18: Ako u metričkom prostoru ( , ) za svaki Košijev niz { lim → = ∈ kažemo da je ( , ) kompletan metrički prostor.

}

∈

postoji

Teorema 1.1.11: [17] Zatvoren podskup kompletnog metričkog prostora je kompletan. Teorema 1.1.12: [17] Potreban i dovoljan uslov da je metrički prostor ( , ) kompletan je da proizvoljan niz zatvorenih lopti { ( , ) } ∈ u takvih da je (

,

)⊂ (

, ), za sve

∈

,

i lim →

=0

ima neprazan presek. Definicija 1.1.19: Neka su ( , ) i ( , ) metrički prostori, : → , ∈ i ( ) = . Funkcija je neprekidna u tački ako za svako > 0 postoji ( ) > 0 tako da je , ( )

⊂

( , ).

Tvrđenje 1.1.2: [17] Neka je ( , ) metrički prostor. Tada je preslikavanje neprekidno. Definicija 1.1.20: Neka je ( , ) metrički prostor, : je :

→

i neka

∶

×

→ℝ

∈ . Tada kažemo da



odole poluneprekidna u tački ako za svako > 0 postoji okolina U tačke da je ( ) < ( ) + , ∀ ∈ ;



odgore poluneprekidna u tački ako za svako > 0 postoji okolina U tačke tako da je ( ) > ( ) − , ∀ ∈ .

tako

10

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Pretpostavićemo sada da posmatrani skup ima algebarsku strukturu. Definicija 1.1.21: Neka je vektorski prostor nad poljem ∥∙∥ ∶ → [0, ∞) za koje važe sledeći uslovi: 1. ∥ 2. ∥ 3. ∥

= {ℝ, ℂ}. Preslikavanje

∥= 0 ⇔ = 0; ∥= | | ∥ +

∥≤∥

∥ za sve ∈ i sve ∈ ; ∥ +∥

∥ za sve ,

∈ ;

nazivamo norma nad , a uređeni par ( , ∥∙∥) normiran prostor. Svaki normiran prostor ( , ∥∙∥) je i metrički prostor ( , ) sa metrikom definisana na sledeći način: ( , ) =∥

−

∥,

za sve ,

koja je

∈ .

Ako je normiran prostor ( , ∥∙∥) kompletan metrički prostor kažemo da je Banahov prostor. Definicija 1.1.22: Neka je ( , ) metrički prostor. Kažemo da niz {x } konvergira ka ∗ , ( → ∗ ) ako ∥ − ∗ ∥→ 0 kada → ∞.

∈

iz X jako

Definicija 1.1.23: Neka su ( , ∥∙∥ ) i ( , ∥∙∥ ) normirani prostori nad istim poljem {ℝ, ℂ}. Preslikavanje ∶ → je linearno ako je za sve , ∈ i sve , ∈ (

+

)=

Skup svih neprekidnih linearnih preslikavanja iz

( )+ u

Definicija 1.1.24: Neka je vektorski prostor nad naziva linearna funkcionela nad .

=

( ). označava se ℒ ( , ).

. Linearno preslikavanje

∶

→

se

Definicija 1.1.25: Neka su ( , ∥∙∥ ) i ( , ∥∙∥ ) normirani prostori. Linearno preslikavanje je ograničeno ako postoji > 0 tako da je ∥ ( )∥ ≤

∥

∥ ,

za sve ∈ . 11

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Teorema 1.1.13: [17] Neka su ( , ∥∙∥ ) i ( , ∥∙∥ ) normirani prostori i preslikavanje. Tada su sledeći uslovi ekvivalentni: 1.

je neprekidno,

2.

je neprekidno u tački 0 ∈ ,

3.

je ograničeno.

∶

→

linearno

Teorema 1.1.14: [17] Neka je ( , ∥∙∥ ) normiran prostor, a ( , ∥∙∥ ) Banahov prostor. Tada je ℒ ( , ) Banahov prostor. Ako je = {ℝ, ℂ} tada je prostor ℒ ( , ) Banahov prostor i on se naziva dual prostora obeležava se sa ∗ .

i

Definicija 1.1.26: Neka je ( , ∥∙∥) normirani prostor. Topologija indukovana normom na zove se jaka topologija na . Za svako ∈ ∗ funkcionela ( ) = |( , )|, ∈ je seminorma na . Topologija indukovana familijom seminormi

∈ ∗

je slaba topologija na

i označavamo

je sa ( , Definicija 1.1.27: Neka je zapisujemo

∗)

.

Banahov prostor. Niz {

}∈

∈ ,

slabo konvergira ka

⇀ , ako ako niz {

} konvergira ka

u slaboj topologiji, tj.

(

) ⟶ ( ) za svako

∈

∗

;

Definicija 1.1.28: Skup koji je kompaktan u slaboj topologiji naziva se slabo kompaktan skup. Definicija 1.1.29: Neka je ⊂ , gde je , ∈ i za sve ∈ (0,1) važi:

vektorski prostor. Skup

je konveksan ako za sve

12

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

+ (1 − ) ∈ . Definicija 1.1.30: Neka je dato

, , … ,

tačaka

vektorskog prostora . Tačka

=

je konveksna kombinacija tačaka

, , … ,

, ako je

≥ 0 za sve

= 1, … ,

,i

= 1.

Skup svih konveksnih kombinacija skupa označava se sa .

⊂

naziva se konveksna obvojnica skupa S i

13

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

1.2 Metrička teorija nepokretne tačke za jednoznačna preslikavanja Definicija 1.2.1: Neka je : važi:

→ . Elemenat

∈

je nepokretna tačka preslikavanja ako

( )= . Definicija 1.2.2: Neka je ( , ) metrički prostor, Ako je ∈ ⦋0,1) takvo da je ( ( ), ( )) ≤ ( , ), tada je

i :

neprazan podskup od



,

∈

→ .

,

–kontrakcija nad M.

Preslikavanje

je kontrakcija ako je λ – kontrakcija za neko λ ∈ [0,1).

Stefan Banach (1892-1945) je poljski matematičar koji se generalno smatra jednim od najznačajnih i najuticajnijih matematičara 20. veka. On je bio jedan od osnivača moderne funkcionalne analize. 1922. godine objavio je teoremu koja je poznata kao Banachov princip kontrakcije, koji je jedna od najvažnijih rezultata analize i smatra se glavnim izvorom metričke teorije nepokretne tačke. Teorema 1.2.1: (Banahov princip kontrakcije) [14] Neka je ( , ) kompletan metrički prostor, neprazan i zatvoren podskup od i : → –kontrakcija nad . Tada postoji ∗ jedinstvena nepokretna tačka ∈ preslikavanja i važi relacija ∗

= lim →

gde je

proizvoljan elemanat iz ( ∗,

( )

. Šta više, pri tome je )≤

1−



, ( ) ,

∈ ℕ.

Kao posledica ovog tvrđenja lako se dobija sledeći rezultat, lokalna verzija Banahovog principa kontrakcije. Teorema 1.2.2: [3] Neka je ( , ) kompletan metrički prostor i kontrakcija u lopti ( 0 , ) tako da je

: (

0 ,

)→

je

–

14

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

( (

0 ), 0 )

Tada postoji jedinstvena nepokretna tačka

∗

≤ (1 − ) .

∈ (

0 ,

) preslikavanja .

T. Zamfirescu je 1972. godine objedinio Banachovu, Kannanovu i Chatterjeovu teoremu. Definicija 1.2.3: [1] Neka je ( , ) metrički prostor. Funkcija : → je Zamfirescu preslikavanje ako postoje realni brojevi , i , za koje važi 0 ≤ < 1, 0 ≤ < i 0 ≤ < tako da je za svako ,

∈

bar jedan od sledećih uslova tačan:

( ) (

,

)≤ ( , )

( ) (

,

) ≤ [ ( ,

)+ ( ,

)]

(Kannanova kontrakcija)

( ) (

,

) ≤ [ ( ,

)+ ( ,

)] .

(Chatterjeova kontrakcija)

(Banachova kontrakcija)

Teorema 1.2.3: [1] Neka je ( , ) kompletan metrički prostor i Zamfirescu preslikavanje, tada ima jedinstvenu nepokretnu tačku.

:

→ . Ako je

Lj. Ćirić je 1971. godine definisao i izučavao genaralizovane kontrakcije, funkcije koje uopštavaju Banachovu kontrakciju i Kannanovu kontrakciju. Definicija 1.2.4: Funkcija : ( , ) → ( , ) je generalizovana kontrakcija ako i samo ako postoji konstanta ℎ, 0 ≤ ℎ < 1, tako da je za svako , ∈ , (

,

) ≤ ℎ max

( , ), ( ,

), ( ,

Definicija 1.2.5: Neka je ( , ) metrički prostor, ( , )={

:

), →

( ,

)+ ( , 2

i

∈ . Skup

−orbitalno kompletan ako

Teorema 1.2.4: [3] Neka je : → − generalizovana kontrakcija na kompletnom metričkom prostoru . Tada, preslikavanje

.

( ) ∶ = 0,1,2, … }

naziva se orbita elementa u odnosu na . Metrički prostor je svaki Košijev niz sadržan u ( , ) konvergira u .

i.

)

ima jedinstvenu nepokretnu tačku

− orbitalno

∈ , 15

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

→

ii. iii.

(

∈

i

( ,

).

za svako

, )≤

Definicija 1.2.6 : Neka je dato > 0. Metrički prostor ( , ) je − lančast, ako za svaki par , ∈ postoji konačno mnogo tačaka = , , … , = tako da je ( , )< = 1,2, … , . Teorema 1.2.5: [6] Neka je ( , ) kompletan − lančast metrički prostor i zadovoljava sledeći uslov: ∀ , 0 < < postoji > 0 takvo da , Tada

≤ ( , )<

∈ ,

+ ⇒ (

,

∶

⟶

)< .

ima nepokretnu tačku.

U daljem radu koristićemo i sledeći važan rezultat. Teorema 1.2.6: (Caristi) [9] Neka je ( , ) kompletan metrički prostor i neka : Ako postoji odole poluneprekidna funkcija : → [0, ∞) tako da je

, ( ) ≤ ( )−

( ) , ∈

→

.

,

tada f ima nepokretnu tačku.

16

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

2. Višeznačna preslikavanja 2.1 Definicija i osnovne osobine Definicija 2.1.1: Neka su , proizvoljni neprazni skupovi. Funkcija višeznačno preslikavanje skupa u skup .

:

→ 2 naziva se

Definicija 2.1.2: Neka je ( , ) metrički prostor. Na skupu ℬ( ) Hauzdorfova metrika H definiše se na sledeći način: ( , )= {

( , ), sup ( , )} ,

∈ ℬ( )

∈ ∈

gde je ( , ) = Funkcija

( , )=

a) preslikavanje b)

( ), ∋

∈

{ ( , )∶

∈ },

⊆ .

ima sledeće osobine:

→ ( , ) ∈ [0, ∞) je neprekidno,

̅ = { ∈ ; ( , ) = 0}.

Napomena: Neka , ( , ), postoji ∈

∈ ℬ( ) i neka takvo da je

∈ . Za proizvoljno

( , )≤ Ako je skup

kompaktan onda postoji

∈

> 0, po definiciji rastojanja

( , )+ . takvo da je

( , )≤

( , ).

U opštem slučaju to ne važi, što ilustruje sledeći primer. Primer: [19] Neka je = (Hilbertov prostor svih = −1, − , … , − , … i neka je { }

kvadratno sumabilnih nizova realnih brojeva), ∈ℕ niz sa nulama na svim koordinatama sem n-te,

koja je jednaka 1. 17

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Neka je

={ ,

∥

∥=

∥

∥ +1+

ali ne postoji

u

takvo da je ∥

−

,

,…,

,…} i

={ ,

, ∈ ℕ; −

∥≤

,…,

, … }. Pošto je

( , )=

(∥

∥ + 1)

( , )..

Lema 2.1.1: [8] Neka je ( , ) metrički prostor, , ∈ ℬ( ) ∈ ℝ, ( , ). svako ∈ postoji ∈ tako da je ( , ) ≤ Definicija 2.1.3: Neka je dat metrički prostor ( , ) i skup ℬ( ) definišemo: ( ) = sup{ ( , ): , Neka je ,

⊂ . Funkcija

⊆ . Dijametar skupa

∈

∈ } ∈ ⦋0, ∞)

∶ ℬ ( ) × ℬ( ) → ⦋0, ∞) je definisana na sledeći način: ( , )=

Ako je

> 1 dato. Tada za

{ ( , ) | ∈ , ∈ }.

= { } jednočlan skup, pišemo da je ( , ) = ( , ),

ako je i

= { }, tada je ( , ) = ( , ).

Za svako

, ,

∈ ℬ( ) važi: ( , ) = ( , ) ≥ 0, ( , ) ≤ ( , ) + ( , ), ( , )=

Za

∈ ,

∈

, ( , ) = 0 ⟺

=

= { }.

( ) neka je ( , ) = sup{ ( , ), ∈ }.

Treba primetiti da je ( , )≤ ( , )

18

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Lema 2.1.2: [4] Neka je ( , ) metrički prostor, , Tada važi: 1. Ako je

⊆ , tada je ( , ) ≤ ( , ) i ( , ) ≥ ( , ).

2.

( , ) ≤ ( , ) + ( , ).

3.

( , ) ≤ ( , ) + ( , ) + ( , ).

4.

( , ) ≤ ( , ) + ( , ).

Napomena: Ako je

( , ) ( , ) ne mogu porediti.

⊆ , tada se

Definicija 2.1.4: Neka je : ⟶ 2 , tačka višeznačnog preslikavanja ako ∈ . Definicija 2.1.5: Višeznačno preslikavanje : 

−kontrakcija ako postoji konstanta (



Lipšicovo ako postoji



zove se nepokretna (fiksna) tačka

⟶ ℬ( ) je ∈ [0,1) tako da važi:

) ≤ ( , ), ,

,

∈ .

> 0 ako je (



∈ i , i su podskupovi skupa .

,

) ≤ ( , ), ,

∈ .

neekspanzivno ako je (

,

) ≤ ( , ), ,

∈ .

(

,

) < ( , ), ,

∈ , ≠ .

kontaktivno ako je

Tvrđenje 2.1.1: [19] Neka je : ⟶ Lipšicovom konstantom . Za proizvoljno , ( ), ∈

( ) Lipšicovo višeznačno preslikavanje sa ∈ ( ) važi da je ( ) ≤

( , ), tj.

∈

19

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

( ), ( ) ≤ Dokaz: Pošto je po pretpostavci

( , ).

Lipšicovo preslikavanje za sve

∈ ,

∈

važi da je

( ), ( ) ≤ ( , ) odakle sledi da je ( ), ( ) ≤ inf ( , ) ∈ i

( ), ( ) ≤ sup inf ( , ) ≤ ( , ). ∈ ∈

Analogno ( ), ( ) ≤ sup inf ( , ) ≤ ( , ) ∈ ∈ pa je ( ), ( ) ≤

( , ). ∎

Kao posledica ovog rezultata dobijaju se sledeća tvrđenja. Tvrđenje 2.1.2: [19] Neka je : ⟶ ( ) Lipšicovo preslikavanje sa Lipšicovom konstantom , a : ⟶ ( ) Lipšicovo preslikavanje sa konstantom . Preslikavanje ∘ definisano sa ( ∘ )( ) =

( ), ∈ , ∈ ( )

je Lipšicovo preslikavanje sa konstantom

∙ .

Tvrđenje 2.1.3: [19] Neka je : ⟶ ( ) Lipšicovo preslikavanje sa Lipšicovom konstantom i neka je : ( ) ⟶ ( ) definisana sa ( )=

( ) , ∈

( ).

∈

Tada je i

Lipšicovo sa Lipšicovom konstantom .

20

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Neka je ( , ) kompletan metrički prostor i : ⟶ ( ) višeznačna kontrakcija. Na osnovu Tvrđenja 2.1.3 i je višeznačna kontrakcija pošto je i prostor ( ( ), ) kompletan [3] ima nepokretn tačku tj. postoji ∈ ( ) takvo da je = ( ). Međutim, kao što ćemo ilustrovati primerom ta dva skupa su u slaboj vezi. Pokažimo pre toga tvrđenje koje će nam olakšati ispitivanje da li je neko preslikavanje višeznačna kontrakcija i dati neograničene mogućnosti za konstrukciju višeznačnih kontrakcija koristeći uobičajene (jednoznačne) kontrakcije. Tvrđenje 2.1.4: [19] Neka je : ⟶ ℬ( ) višeznačno Lipšicovo preslikavanje sa Lipšicovom konstantom i : ⟶ ℬ( ) višeznačno Lipšicovo preslikavanje sa konstantom . Funkcija ∪ ∶ ⟶ ℬ( ) definisana sa ( ∪ )( ) = ( ) ∪ ( ),

∈ ,

je višeznačno Lipšicovo preslikavanje sa Lipšicovom konstantom

= max{ , }.

Dokaz: Po definiciji Hausdorfove metrike sledi da je sup i analogno

∈ ( )

sup

∈ ( )

, ( ) ∪ ( ) ≤ sup inf ( , ) ≤ ∈ ( ) ∈ ( )

( ), ( )

, ( ) ∪ ( ) ≤ sup inf ( , ) ≤ ∈ ( ) ∈ ( )

( ), ( ) .

Odavde sledi da je sup tj. da je

∈ ( )∪ (

, ( ) ∪ ( ) ≤ max )

( ), ( ) ,

( ), ( )

( ) ∪ ( ), ( ) ∪ ( ) ≤ max

( ), ( ) ,

( ), ( ) ,

( ) ∪ ( ), ( ) ∪ ( ) ≤ max

( ), ( ) ,

( ), ( ) .

isto tako je i

Tada se može zaključiti da je

21

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

( ) ∪ ( ), ( ) ∪ ( ) ≤ max

( ), ( ) ,

( ), ( )

≤ max{ ( , ), ( , )} ≤ max{ , } ∙ ( , ). Što je i trebalo dokazati. ∎ Primer :[19] Neka je = = [0,1] jedinični interval u ℝ sa uobičajenom metrikom i neka je definisana na sledeći način: 1 1 + , 0 ≤ 2 2 ( )= 1 1 − + 1, ≤ 2 2

≤

: →

1 2

≤ 1.

Definišimo sada (višeznačno) preslikavanje : → 2 sa ( ) = {0} ∪ { ( )} , ∈ . Pošto je funkcija

=

kontrakcija sa konstantom kontrakcije

direktnom proverom) dobija se da je ima nepokretnu tačku nepokretna tačka funkcije

∗

višeznačna kontrakcija sa konstantom

= . Višeznačno preslikavanje je skup

koristeći Tvr]enje 2.1.4 (ili

=

, 0, (0),

ima dve nepokretne tačke 0 i , a

(0) ,

(0)

,…

Tvrđenje 2.1.5: [19] Neka je ( , ‖ ‖) Banahov prostor. Funkcija : ℬ( ) je neekspanzivno preslikavanje tj, za sve , ∈ ℬ( ) važi da je

( ),

( ) ≤

= . Funkcija

→

,

∈

( , ).

Kao direktna posledica ovog tvrđenja dobija se sledeći rezultat. Tvrđenje 2.1.6: [19] Neka je zatvoren konveksan podskup Banahovog prostora ( , ‖ ‖) i neka je : → ℬ ( ) višeznačno Lipšicovo preslikavanje sa Lipšicovom konstantom . Preslikavanje : → ℬ( ) definisano sa

22

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

( )=

( ),

∈ ,

je Lipšicovo preslikavanje sa istom konstantom. Napomena: Ovo tvrđenje nam daje tehniku za konstruisanje višeznačnih Lipšicovih (kontraktivnih) preslikavanja polazeći od konačno mnogo jednoznačnih Lipšicovih (kontraktivnih) preslikavanja. Definicija 2.1.6: Neka je ( , ) metrički prostor, a : preslikavanja T u tački je svaki niz { } za koji je Označimo je sa ( , ).

⟶ 2 . Orbita višeznačnog ∈ za svako ∈ ℕ.

Napomena: Ako je ( , ) kompletan metrički prostor, onada je ( ℬ ( ), ) kompletan metrički prostor.

23

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

3. Metrička teorija nepokretne tačke za višeznačna preslikavanja 3.1 Nadlerova Teorema S.B Nadler je 1969. u [19] prvi objavio uopštenje Banachovog principa kontrakcije, dokazujući egzistenciju nepokretne tačke višeznačne kontrakcije : ⟶ ℬ( ). Teorema 3.1.1: [19] Neka je ( , ) kompletan metrički prostor i neka je : ⟶ ℬ( ) kontrakcija. Tada postoji ∗ ∈ tako da ∗ ∈ ( ∗ ), tj. postoji nepokretna tačka preslikavanja . Dokaz: Neka je konstanta kontrakcije i neka je proizvoljna tačka iz , a Kako ( ), ( ) ∈ ℬ( ), a ∈ ( ) te postoji ∈ ( ) tako da važi ( ,

)≤

( ), ( ) +

)≤

( ), ( ) +

∈ ( ) tako da je

Takođe postoji

( ,

Nastavljajući ovaj postupak dobijamo niz { 1. 2.

∈ ( ).

}

sa sledećim osobinama:

∈ ( ) = 0,1,2, … ( ,

(

)≤

), ( ) +

Odavde sledi: ( ,

)≤

(

), ( ) + (

≤ = ≤ ⋯ ≤

(

), ( ), ( ( ,

≤ ) +

) +2 )+

(

, )+ +

≤

(

,

) + 2

. 24

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Sada je za sve ∈ ℕ ( ,

)≤

(

= (

}

)≤

) ( ,

≤(

Odavde sledi da je niz {

,

( ,

)+

) ( ,

∈

(

)+



)+

.

Košijev, te iz kompletnosti prostora ∗

= lim →

)

sledi da postoji

∈ .

( ), ( ∗ ) ≤ ( , ∗ ) sledi da je lim → ( ) = ( ∗ ) u smislu metrike . Iz ( ), ( ∗ ) i zatvorenosti skupa ( ∗ ) sledi da ∗ ∈ ∗ što Sada iz , ( ∗) ≤ je i trebalo dokazati. ∎ Sledeća teorema predstavlja proširenu varijantu Nadlerove teoreme. Teorema 3.1.2: [16] Neka je ( , ) kompletan metrički prostor i neka ∶ kontraktivno preslikavanje. Tada ima nepokretnu tačku i za svako dato postoji orbita { } preslikavanja gde { } konvergira ka uz uslov ( =

Dokaz: Označimo sa ∈

,

, )≤

( ,

1−

⟶ ℬ ( ) − i , < <1

), ≥ 0. (1)

> 1. Izaberemo neko

∈

i rekurzivno definišemo

≥ 2 tako da važi: (

,

)≤ (

,

)≤ (

,

).

To nam osigurava i Lema 2.1.1. Kako je

(

(

, ,

)≤ (

,

), dobijamo da važi:

) ≤ (

,

)≤⋯≤

( ,

),

≥ 0. 25

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Odatle dobijamo da je :

(

,

)≤

(

,

)≤

1−

( ,

), ,

≥ 0. (2)

Zbog toga { } je Košijev i konvergentan jer je kompletan metrički prostor. Neka je limes niza { }. Kao i u prethodnoj teoremi dobija se da ∈ . Kada → ∞ iz (2) dobijamo (1). ∎

26

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

3.2

Uopštenje Ćirićeve generalizovane kontrakcije

Definicija 3.2.1: [16] Preslikavanje ∶ ⟶ ℬ( ) je uopštena višeznačna kontrakcija, gde je ( , ) metrički prostor, ako postoji q, 0 < < 1, tako da je: (

,

)≤

( , ), ( ,



), ( ,

) ,

( ,

Teorema 3.2.1: [16] Neka je ( , ) metrički prostor, a prostor -orbitalno kompletan prostor. Tada: i.

Za svako

∈

postoji orbita {

}

lim

→

je nepokretna tačka preslikavanja ;

iii.

Za svako

∈ ℕ zadovoljena je jednakost:

gde je

∈ .

u tački

i

∈

tako da je :

= ;

Elemenat

, )≤

) , ,

⟶ ℬ( ) uopštena kontrakcija,

preslikavanja

ii.

(

∶

)+ ( , 2

( 1−

)

( ,

)

∈ (0,1) proizvoljan fiksiran broj.

) = 0, ∈ Dokaz: Neka je proizvoljan elemenat iz i ∈ . Za ( , pa ) > 0. Neka je ∈ (0,1) proizvoljno dato. Tada zbog se može pretpostaviti da je ( , > 1, na osnovu Leme 2.1.1 postoji ∈ tako da je : ( ,

)≤

(

,

)

Nastavljajući dalje na isti način dolazimo do niza { } elemenata iz tako da je za svako ). ∈ ℕ: ∈ i ( , )≤ ( , { } Sada treba pokazati da je niz Košijev. Kako je preslikavanje uopštena kontrakcija sledi da je za sve ∈ ℕ: (

,

)≤

(

,

)

27

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

≤



(

≤

,

(

,

(

,

), (

,

), (

), (

,

), (

)≤ (

,

1 ), ( 2

, ,

,

)

)

jer je

(

,

)≤ (

) i

,

).

Ako bi za neko ∈ ℕ bilo ( , ) ≤ ( , ) to bi značilo da je ( , )= 0 i tada bi elemenat bio nepokretna tačka preslikavanja . Zato možemo pretpostaviti da je ≠ . Dakle, važi da je (

,

)≤

(

,

), (

,

) (3)

Iz

(

,

), (

,

) = (

,

)

iz (3) sledi da je (

,

)≤

,

1 ), ( 2

(

,

)

Ako bi bilo da je (

,

) =

1 ( 2

,

)

tada bi važilo: (

,

1 ( 2

)≤

,

1 ( ( 2

)≤

,

)+ (

,

))

a odavde da je (

,

)≤

(

Prema tome u oba slučaja sledi da je za svako

,

) ≤

(

,

) (4)

∈ℕ

28

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

( Koristeći ovu nejednakost ( Dakle za svako

,

) ≤

(

,

)

puta dobija se da je

,

) ≤

(

,

)≤⋯≤(

) ( ,

).

∈ ℕ važi nejednakost:

(

,

)≤

(

,

)≤

( 1−

)

Time je dokazano da je niz { } Košijev. Koristeći može se zaključiti da postoji elemenat ∈ takav da je lim

( ,

) (5)

− orbitalnu kompletnost prostora

= .

→

Time je dokazano da važi (i). Iz (5) za → ∞ sledi (iii). Treba još pokazati da ∈ . Polazimo od nejednakosti: ( ,

)≤

≤ ( ,

)+ (

)≤ ( ,

≤ ( ,

)+

(

, ), (

,

), ( ,

),

≤ ( ,

)+

(

, ), (

,

), ( ,

),

,

)+ (

)

,

(

,

)+ ( , 2

(

, )+ ( ,

)



)+ ( ,

)

2

Odavde zaključujemo da je zadovoljena jedna od sledećih nejednakosti: a)

( ,

)≤ ( ,

)+ (

b)

( ,

)≤ ( ,

)+ (

c)

( ,

)≤ ( ,

)+ ( ,

, ) ,

) )

29

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

) ( ,

)≤ ( ,

)+

(

, )+ ( ,

)+ ( ,

)

2

.

Iz (c) sledi da je ( ,

)≤

1 1−

( ,

)

Iz (d) sledi da je ( , Kada skup

)≤

1 1−

(2 + ) ( ,

)+ (

→ ∞ u svakom od tih slučajeva sledi da je ( , zatvoren skup, dobija se da je ∈ .

, )

) = 0. Koristeći pretpostavku da je ∎

Posledica 3.2.1: [16] Neka je ( , ) kompletan metrički prostor i je za sve , ∈ zadovoljena nejednakost: ( gde su , , ≥ 0 i

,

)≤

)+

( ,

+ + < 1. Tada preslikavanje

Dokaz: Primetimo da je tada za sve , (

( ,

,

)+

∶

⟶ ℬ( ) tako da

( , )

ima nepokretnu tačku.

∈

) ≤ ( + + ) max{ ( , ), ( ,

Primenom prethodne teoreme dobijamo da

), ( ,

)}. ∎

ima nepokretnu tačku.

Teorema 3.2.2: [16] Neka je preslikavanje ∶ ⟶ ℬ( ) definisano nad − orbitalno kompletnim metričkim prostorom ( , ). Ako preslikavanje zadovoljava uslov: (

,

)≤

za sve ,

∈

gde je

i.

Preslikavanje

ii.

Za svako ∈ lim → = .

( , ), ( ,

), ( ,

),

( ,

)+ ( , 2

)

(6)

∈ (0,1) tada: ima jedinstvenu nepokretnu tačku u postoji orbita {

}

i

preslikavanja

={ } u tački

tako da je

30

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

iii.

Za svako

∈ ℕ zadovoljena je nejednakost: (

, )≤

( 1−

)

( ,

),

∈ (0,1) proizvoljan fiksiran broj.

gde je

) = 0, { } = Dokaz: Neka je proizvoljan element iz i ∈ (0,1). Za ( , možemo pretpostaviti da je ( , ) > 0. Neka je ∈ pri čemu je: ( ,

)≤

( ,

pa

)

Nastavljajući dalje tako može se konstruisati orbita { } preslikavanja u tački osobinom: ( , ) , za sve ∈ ∪ {0} ( , )≤ Tada je za proizvoljno (

∈ℕ

)≤ (

,

sa

)

,

≤

(

,

), (

≤

(

,

),

≤

(

≤

(

,

,

),

,

(

,

), (

,

1 ( 2

), (

,

),

(

1 ( 2 ),

,

1 ( 2

),

,

),

,

, 1 ( 2

)

,

)

)

) .

Za (

,

),

1 ( 2

,

) =

1 ( 2

,

)

dobija se da je (

,

)≤

2−

(

,

)

31

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Te je u svakom slučaju (

,

)≤

(

,

).

Lako se sada dobija da je (

,

)≤

( 1−

)

( ,

) . (7)

Dakle niz { } je Košijev. Neka je lim → = . Nejednakost (iii) sledi iz (7) kada → ∞. Zbog ∈ Treba još pokazati da je = { }. Ako bi važilo da je ≠ { } to bi značilo da je (

,

)≤

( ,

, ∈ ℕ, je ∈

.

) > 0. Tada iz (6) sledi:

max{ ( , ), ( ,

)} = ( ,

)

a to je nije moguće zbog načina na koji je definisano ( , ). Pretpostavimo da postoji ∈ takvo da je { } = . Tada važi da je ( , )= ( , )= ( ≤

)

,

( , ), ( ,

max

), ( ,

) ,

( ,

< 1 sledi da je ( , ) = 0, tj. = . Tačka

Pošto je

Ako uočimo da je ( , ) ≤ ( , ) ≤ posledice ove teoreme.

)+ ( , 2

)

= ( , ).

je i jedinstvena nepokretna tačka. ∎

( ∪ ) dobijaju se sledeća dva tvrđenja kao

Posledica 3.2.2: [16] Neka je ∶ ⟶ ℬ( ) preslikavanje definisano nad −orbitalno kompletnim metričkim prostorom ( , ). Ako preslikavanje zadovoljava nejednakost: ( za sve ,

∈

∪ gde je

)≤

( , ), ( ,

), ( ,

),

1 ( , 2

)+

1 ( , 2

)

∈ (0,1) tada:

1) Postoji jedinstvena nepokretna tačka

preslikavanja

i

= { }; 32

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

postoji orbita {

2) Za svako ∈ lim → = ; 3) Za svako

∈

preslikavanja T u tački

tako da je

je zadovoljena nejednakost: (

gde je

}

, )≤

( 1−

)

( ,

) ,

∈ (0,1) proizvoljan fiksiran broj.

Posledica 3.2.3: [21] Neka je ∶ ⟶ ℬ( ) preslikavanje definisano nad kompletnim metričkim prostorom ( , ) i za sve , ∈ je: (

,

)≤

( ,

)+

( ,

)+

( , )

gde je , , ≥ 0 i + + < 1. Tada postoji jedna i samo jedna nepokretna tačka u preslikavanja T i = { }. Dokaz: Primetimo da je tada zadovoljen uslov (

,

) ≤ ( + + ) max{ ( ,

Primenom Posledice 3.2.2 dobijamo da preslikavanje

), ( ,

), ( , )} .

ima jedinstvenu nepokretnu tačku. ∎

33

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

3.3 Preslikavanje Zamfirescua U [1] autori su koncept Zamfirescuove jednoznačne funkcije proširili na višeznačna preslikavanja i dobili neka interesantna uopštenja. Definicija 3.3.1: [1] Neka je ( , ) metrički prostor i neka je ∶ ⟶ ℬ( ). se naziva višeznačno preslikavanje Zamfirescu-a ako postoje realni brojevi , i za koje važi 0 ≤ < 1, 0 ≤ < i 0 ≤ < tako da je za svako , ∈ bar jedan od sledećih uslova tačan: ( ) (

,

)≤ ( , )

( ) (

,

) ≤ [ ( ,

)+ ( ,

)]

( ) (

,

) ≤ [ ( ,

)+ ( ,

)] .

Definicija 3.3.2: [1] Neka je ( , ) metrički prostor i neka je : ⟶ kažemo da je MWP (Multi-valued Picard) operator ako za svako ∈ postoji niz { } tako da je: = ,

1. 2.

3. niz {

∈ }

( ). Tada za i neko ∈ ,

= ; za sve = 0,1,2 … i je konvergentan i njegova granica je nepokretna tačka preslikavanja .

Napomena: Niz { } koji zadovoljava prva dva uslova u prethodnoj definiciji se naziva niz sukcesivnih aproksimacija od počevši od ( , ). Definicija 3.3.3: [1] Neka je ( , ) metrički prostor i ∶ ⟶ ( ) MWP operator. Tada definišemo višeznačni operator : ( ) → ( ), na sledeči način: ( , ) = { ∈ ∶ postoji niz sukcesivnih aproksimacija od počevši od ( , ) koji konvergira ka }.

34

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Definicija 3.3.4: [1] Neka je ( , ) metrički prostor i ∶ ⟶ ( ) MWP operator i > 0. Tada se T naziva c-MWP operator ako za svako ( , ) ∈ ( ) postoji ( , )u ( , ) tako da je , ( , ) ≤ ( , ). Da je ova klasa operatora interesantna za ispitivanje pokazuju sledeći primeri [1]: 1. Neka je ( , ) metrički prostor i ∶ ⟶ ℬ( ) višeznačna -kontrakcija (0 < 1). Tada je T c-MWP operator, gde je = (1 − ) .

<

2. Neka je ( , ) metrički prostor i ∶ ⟶ ℬ( ) višeznačni operator za koji postoje pozitivni realni brojevi , tako da je + + < 1 i ( za svako ,

∈ . Tada je

,

)≤

( , )+ ( ,

c-MWP operator, gde je

)+ ( ,

),

= (1 − )[1 − ( +

+ )] .

3. Neka je ( , ) metrički prostor i ∶ ⟶ ℬ( ) zatvoren višeznačni operator za koji postoje pozitivni realni brojevi i tako da je + < 1 i ( za svako

∈ i ∈

. Tada je

)≤

,

( , )+ ( ,

c-MWP operator, gde je

), = (1 − )[1 − ( + )] .

( ), gde 4. Neka je ( , ) metrički prostor, ∈ i > 0. Neka je ∶ ℬ ( , ) ⟶ je ℬ ( , ) = { ∈ ∶ ( , ) ≤ } višeznačni operator za koji postoje , , ∈ ℝ i + + < 1 tako da je i.

(

ii.

( ,

Tada je

,

)≤

( , )+ ( ,

) < [1 − ( +

c-MWP operator, gde je

)+ ( ,

+ )](1 − )

), ∀ ,

∈ ℬ ( , );

.

= (1 − )[1 − ( +

+ )] .

Sledeća teorema pokazuje ako je svako višeznačno preslikavanje Zamfirescua MWP operator, štaviše, ono je c−MWP operator. Teorema 3.3.1: [1] Neka je ( , ) kompletan metrički prostor i preslikavanje Zamfirescu. Tada:

∶

⟶ ℬ( ) višeznačno

35

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

a)

je MWP operator;

b) za svako ∈ , postoji orbita { } preslikavanja u tački koja konvergira ka ∗ nepokretnoj tački preslikavanja , za koje sledeće procene važe: (

,

∗)

≤

(

,

∗)

≤

za neku konstantu Dokaz: Neka je Ako je ( , Neka je ( , ∈ Ako

( ,

1− 1−

(

), = 1,2,3, …

,

< 1.

∈ i ∈ . ) = 0 tada je = ) > 0. Biramo , 1 <

.

(npr. < min

∈ , to znači da je ≠ ∅. ) , , . Na osnovu Leme 2.1.1 postoji

). tako da je ( , ) ≤ ( , , zadovoljavaju ( ̃ ), tada imamo da je ( ,

Ako

), = 0,1,2, …

,

)≤

( ,

)

zadovoljavaju ( ̃ ), tada imamo ( ,

)≤

[ ( ,

≤

[ ( ,

)+ ( , )+ ( ,

)] )]

odakle dobijamo da je ( , Ako

,

)≤

1−

( ,

).

zadovoljavaju ( ̃ ), tada imamo ( ,

)≤

[ ( ,

)+ ( ,

=

( ,

)≤

[ ( ,

)+ ( ,

≤

)]

( ,

)

)]

36

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

a, odatle je ( ,

Za α = max

,

,

1−

)≤

, imamo 0 ≤

1−

( , Ako je ( Neka je (

, ,

( ,

1−

)≤

).

< 1, ( ,

i ).

) = 0 tada je = , (npr. ∈ , to znači da je ≠ ∅. ) ) > 0. Opet, na osnovu Lema 2.1.2, postoji ∈ tako da je ( ,

Na ovaj način dobijamo orbitu {

}

(

)≤

,

)≤

( ,

u tački

preslikavanja (

,

). koja zadovoljava

), = 1,2,3, … (8)

i na osnovu (8) induktivno dobijamo (

)≤

,

( ,

), (9)

i, respektivno, ( Tako, za svako ,

,

)≤

(

,

), ∈

∪ {0}. (10)

∈ ℕ, na osnovu (9) sledi da je

(

,

)≤

(

,

)≤

( ,

)≤

(11) ≤

(1 − 1−

)

( ,

)≤

1−

( ,

)

na osnovu (10) dolazimo do 37

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

(

,

)≤( +

+ ⋯+

) (

)≤

,

(

1−

). (12)

,

→ 0, kada → ∞. Zajedno sa (11), ovo pokazuje da je { } konvergira ka nekom ∗ ∈ jer je ( , ) kompletan metrički prostor.

Kako je 0 ≤ < 1, Košijev niz, pa { }

Iz Leme 2.1.2 (2.) dobijamo da je ( ∗, Ako

,

∗

∗)

≤ ( ∗,

,

∗

,

∗)

≤ ( ∗,

)+ (

,

∗)

.

zadovoljavaju ( ̃ ), tada je

( ∗ , Ako

)+ (

∗)

≤ ( ∗,

)+

(

,

∗)

. (13)

zadovoljavaju ( ̃ ), tada je ( ∗,

∗)

≤ ( ∗,

)+ [ (

≤ ( ∗ ,

)+ [ (

,

≤ ( ∗,

)+ [ (

,

≤ ( ∗ ,

)+ [ (

,

,

) + ( ∗,

∗ )]

≤ (14)

Ako

,

∗

) + ( ∗,

∗ )]

∗)

+ ( ∗,

)] ≤

∗)

+ ( ∗,

)].

.

zadovoljavaju ( ̃ ), tada je ( ∗,

∗)

(15)

Dakle, kada → ∞ u (13), (14) i (15), dobijamo da je ( ∗ , ∗ ) = 0. Kako je ∗ zatvoren, sledi da ∗ ∈ ∗ . Da bismo dokazali tvrđenje pod (b), koristimo (11) i (12) i neprekidnost metrike, pa uzimajući da → ∞, dokaz je kompletiran. ∎ Za datu tačku ∈ i kompaktan skupa ⊂ , znamo da uvek postoji ∗ ∈ tako da je ( , ∗ ) = ( , ). Tada ∗ zovemo projekcija tačke na skupu i označavamo ∗ = . ∗ Tačka ne mora biti jedinstvena, ali biramo jednu. Definicija 3.3.5: Neka je ∶ ⟶ ( ) ( je kompaktan skup za svako ∈ ). Definišemo projekciju povezanu sa višeznačnim preslikavanjem pomoću = ( ). Za { } ∈ definišemo = , = 0,1,2, … Niz konstruisan na ovaj način nazivamo Pikardova projekciona iteracija (Picard projection iteration) preslikavanja .

38

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Teorema 3.3.2: [1] Neka je ( , ) kompletan metrički prostor i ∶ ⟶ ℬ( ) višeznačno Zamfiresku preslikavanje takvo da je kompaktan skup za svako ∈ . Tada je: ≠ ∅;

1.

∈ , Pikardova projekciona iteracija {

2. za proizvoljno ∗ ∈ ;

}

konvergira ka nekom

3. važe sledeće procene (

,

∗)

≤

(

,

∗)

≤

za neku konstantu

( ,

1− 1−

(

), = 0,1,2, … ), = 1,2,3, …

,

< 1.

Dokaz: Neka je višeznačno Zamfiresku preslikavanje (to jest, za svako , ∈ je bar jedan od uslova ( ̃ ), ( ̃ ) ili ( ̃ ), i je kompaktan za svako ∈ .) { } Neka je ∈ proizvoljno i neka je Pikardova projekciona iteracija. Za , ∈ vidimo da je ( , Ako

,

)= ( ,

)= ( ,

,

)≤

,

(

,

).

zadovoljavaju ( ̃ ), tada je ( ,

Ako

)≤ (

zadovoljen

)≤

( ,

).

zadovoljavaju ( ̃ ), tada je ( ,

)≤ [ ( ,

= [ ( ,

)+ ( , )+ ( ,

)] )]

odatle dobijamo ( , Ako

,

)≤

1−

( ,

).

zadovoljavaju ( ̃ ), tada imamo

39

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

( ,

)≤ [ ( ,

)+ ( ,

= ( ,

)]

)

≤ [ ( ,

)+ ( ,

)]

= [ ( ,

)+ ( ,

)]

a, odatle je ( ,

Za α =

,

1−

,

1−

)≤

, imamo 0 ≤ ( ,

Štaviše, za svako

( ,

1−

).

< 1, i pri tome je

)≤

( ,

).

∈ ℕ imamo da je

(

)≤

,

(

,

). (16) ∎

Dalje dokazujemo koristeći iste argumente kao u prethodnoj teoremi.

Posledica 3.3.1: [1] Neka je ( , ) kompletan metrički prostor. Ako je višeznačno Zamfiresku preslikavanje, je tada − operator, gde je = za neku konstantu < 1. ∎

Dokaz: Sledi direktno iz teoreme 3.3.1 (b). Teorema 3.3.3: [1] Neka je ( , ) kompletan metrički prostor. Ako je Zamfiresku preslikavanje, tada je kompletan skup. Dokaz: Neka je { } Košijev niz u ( , ) → 0 kada → ∞. Na osnovu leme 2.1.2 (3) imamo ( ,

. Kako je

kompletan, postoji

)≤ ( ,

)+ (

,

)+ (

,

)

≤ ( ,

)+ (

,

)+ (

,

)

= ( ,

)+ (

,

višeznačno

∈

tako da

). 40

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Ako

,

zadovoljavaju ( ̃ ), tada je

( , Ako

,

)≤ ( ,

,

(

, ). (17)

zadovoljavaju ( ̃ ), tada je

( , ) ≤ ( , Ako

)+

)+ [ (

)+ ( ,

,

)] (18)

zadovoljavaju ( ̃ ), tada je ( ,

)≤ ( ,

)+ [ (

,

)+ ( ,

≤ ( ,

)+ [ (

,

)+ ( ,

)]

Otuda, kada → ∞ u (17), (18) i (19), dobijamo da je ( , skup, ∈ . Time je dokaz završen.

)] (19) ) = 0. Kako je

zatvoren ∎

Sledeći primer pokazuje da se za dato preslikavanje ne može primeniti Nadlerova teorema o nepokretnoj tački, dok možemo koristiti Teoremu 3.3.2. što znači da se radi o pravom uopštenju. Primer: [1] Neka je

= [0,1] i preslikavanje

:

⟶ ℬ( ) definisano

1 ∶ 4 = 1 0, ∶ 2 0,

Ako izaberemo preslikavanje

= , tada

∈ [0,1) = 1.

zadovoljava ( ̃ ). Dakle, na osnovu Teoreme 3.3.2,

ima nepokretnu tačku. Za

= 1,

∈ [ , 1) je | − | ≤ =

(

,

).

Ovo znači da nije višeznačna kontrakcija, pa ne možemo primeniti Nadlerovu teoremu u ovom primeru.

41

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

3.4

Reichov problem

Jedan od pravaca generalizacije Banahovog principa, odnosno Nadlerovog rezultata, jeste da se konstanta zameni funkcijom koja zavisi od rastojanja tačaka i . Neka je : (0, ∞) → [0,1) funkcija sa osobinom lim sup ( ) < 1 , ∀ > 0. (∗) → Teorema 3.4.1: [20,21] Neka je ( , ) kompletam metrički prostor i neka zadovoljava uslov: (

,

)≤

( , ) ( , ), ,

∶

⟶

( )

∈ , ≠ , (20)

gde : (0, ∞) → [0,1) ima osobinu (*). Tada T ima nepokretnu tačku. Reich je postavio sledeći problem: Da li T ima nepokretnu tačku ako : ⟶ ℬ( ) zadovoljava uslov (20) i k ima osobinu (*)? Iako Rajhov problem ostaje nerešen, dati su neki delimični odgovori. Teorema 3.4.2: [5,15] Neka je ( , ) kompletan metrički prostor i zadovoljava uslov: ( gde je

,

)≤

( , ) ( , ), ,

:

⟶ ℬ( )

∈ , ≠ , (21)

: (0, ∞) → [0,1) funkcija. Ako k ima svojstvo



sup ( ) < 1 ∀ ≥ 0. (∗∗) →

tada T ima nepokretnu tačku. U dokazu ove teoreme, koristimo lemu:

42

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Lema 3.4.1: [6] Pretpostavimo da ∶ ⟶ ℬ( ) zadovoljava uslov (21) gde k ima svojstvo (∗). Tada za svako ∈ postoji orbita { } preslikavanja u tački tako da )} opadajući teži ka 0. niz { ( , ∈

Dokaz: Biramo proizvoljno tako da važi (

i

∈

, a zatim izaberemo

,

))]

) ≤ [ ( (

,

/

(

,

∈

za = 1,2 …

). (22)

(Pretpostavljamo bez umanjenja opštosti, jer u suprotnom ≠ tačka preslikavanja T.) Kako je (

,

)≤

(



(

)≤

,

(

,

) (

je nepokretna

),

,

sledi iz (22) da je (

,

)≤

,

) (

,

)< (

,

). (23)

Tako je niz { ( , )} opadajući. Neka je b limes od { ( , )}. Za → ∞ iz (23) dobijamo da je ≤ √ , gde je = lim sup ( ) < 1, što je kontradikcija. Te sledi da je = 0. → ∎ Sada se vraćamo na dokaz Teoreme 3.4.2. Dokaz: Neka je { ∈ (0,1) tako da

}

definisano kao u Lemi 3.4.1. Iz svojstva (∗∗) imamo ( )<

Neka je sledi

takvo da je (

(

, ,



za ∈ (0, ).

) < , za ≥ )≤ (

>0 i

,

. Iz prve nejednakosti u (23) za

)≤⋯≤

(

,

≥

).

Ovo implicira da je { } Košijev niz, a otuda i konvergentan. Neka je = lim ∈ , za svako , kada → ∞ granica ∈ i je nepokretna tačka od T.

. Kako ∎

Drugi delimičan odgovor na Rajhov problem, dao je Y.Q. Chen [27].

43

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Teorema 3.4.3: [27] zadovoljava uslov: (

Neka je ( , ) kompletan metrički proctor i

)≤

,

( , ) ( , ), ,

Za svaki zatvoren podskup od ( ,

∩ )= ( ,

⟶ ℬ( )

∈ , ≠

: (0, ∞) → [0,1) ima svojstvo (∗). Pretpostavimo da

gde je

∶

ima osobinu (◊):

≠ ∅, ∀ ∈ , važi da je ), ∀ ∈ . (◊) takav da je

∩

Tada T ima ima nepokretnu tačku. Za dokaz ove teoreme u dva koraka koristimo sledeće dve leme. Pre svega uočimo sledeće: Neka je dato > 0. Neka je ( ), takvo da je ( ) < ( ) < 1 gde je : (0, ∞) → [0,1) definisano : ( ) ≔ lim sup ( ), > 0. → Iz svojstva (*) sledi da postoji = ( ) ∈ (0,1) tako da je ( ) < ( ) za ≤ < + . Lema 3.4.2: [6] Pretpostavimo da je ∩ Tada je inf{ ( ,

)∶

zatvoren podskup od ≠ ∅,

tako da važi

∀ ∈ .

∈ } = 0.

Dokaz: Biramo neko ∈ i ∈ ∩ . Zatim rekurzivno definišemo (možemo pretpostaviti da je ≠ za sve ∈ ℕ) na sledeći način : )< ( , ) + , gde je izabran tako da važi ( , 0<

< min

(

,

) 1−

(

Ovo je moguće, s obzirom na pretpostavku imamo da je za sve ∈ ℕ. Odatle sledi (

,

)≤

(

,

)+

≤

(

,

) (

) ,

, (

1

)+

≥1 ∩ je

∈

. )= (

,

,

za

< (

∩ ) ,

,

,

).

44

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Neka je lim ( , ) = . Ako je > 0, zaključujemo na osnovu svojstva (*) da je ≤ ( ) < , što je kontradikcija. Dakle = 0, odakle sledi da je inf{ ( , ) ∶ ∈ } = 0. ∎ Lema 3.4.3: [6] Pretpostavimo da je

zatvoren podskup od

∩ > 0 postoji

Tada za

∈

≠ ∅,

tako da važi

∀ ∈ . ∩

≔{ ∈

tako da je

≠ ∅, ∀ ∈ , gde je ) ≤ ̌},

∶ ( ,

za 4 ̌ = + . Dokaz: Pretpostavimo da ne postoji ∈ . Tada za svako ∈ postoji neko ∈ , ( , ) ≤ , tako da je ( , ) > , za svako ∈ i specijalno ( , ) ≥ . Razlikujemo dva slučaja: 1. slučaj: ( , ) < ̌ − 4/ ; ( ,

)≥ ( ,

)− (

,

)≥ ̌−

( , )

( , )≥ ̌− ( , )≥

4

;

2. slučaj: ( , ) ≥ ̌ − 4/ ; Tada je ( ,

≤ ( , ) < ̌ te je )≥ ( ,

)− (

,

Odavde zaključujemo da je inf{ ( ,

)≥ ̌− )∶

( , )

( , ) ≥ ̌− ( ) ̌= ̌ 1− ( ) .

∈ } > 0. Ovo je kontradikcija sa Lemom 3.4.2. ∎

Sada se vraćamo na dokaz Teoreme 3.4.3. Dokaz: Biramo niz { } koji je strogo opadajući ka 0. Neka je = ( ), = ( ) i neka je ̌ definisano na isti način kao i ranije. Tada na osnovu Leme 3.4.3 možemo definisati niz lopti { } tako da je:

45

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

1.

∩

≠ ∅, ∀ ∈

2.

je podskup od

= 1,2,3 … ; i poluprečnik od

je

.

( ) = 2 → 0, (prečnik) zbog kompletnosti prostora Kako je imamo da je = { } za neko ∈ . Na osnovu osobine 1. ovo je nepokretna tačka od T. ⋂ ∎ Napomena: Chenov uslov (◊) je veoma restriktivan. Zaista, čak i konstantno preslikavanje ne zadovoljava uvek uslov (◊), a to je pokazano u sledećem primeru: Primer:[6] Neka je

= [0,5] sa uobičajenom metrikom u ℝ. Definišemo konstantno preslikavanje F: ≔ [0,1] ∪ [4,5],

∈ .

Neka je = [1,3]. tada imamo ∩ ≠ ∅, ∀ ∈ . Ali za dok je ( , ∩ ) = 2. Te je ( , ) ≠ ( , ∩ ).

=3∈

imamo

( ,

)=1

Evo još jednog parcijalnog odgovora na Reichovo pitanje. Teorema 3.4.4: [18] Neka je ( , ) kompletan, metrički prostor i zadovoljava uslov (

)≤

,

( , ) ( , ) ,

∶

⟶ ℬ( )

∈ , ≠ , (24)

gde : (0, ∞) → [0,1) ima osobinu (*). Ako je ( ) ≤ 1 − za neku konstantu > 0 i / ∈ (0,1) i svako > 0 dovoljno malo: 0 < ≤ za neko 0 < < , tada ima nepokretnu tačku. Dokaz: Možemo da pretpostavimo da je nejednakost (24) stroga. (u suprotnom, možemo zameniti sa drugom funkcijom > koja i dalje zadovoljava svojstvo (*) i koja nejednakost (24) pravi strogom. Na primer, birajući neko takvo da je 0 < < , imamo da je 1− <1− za > 0.) Zatim za proizvoljno ∈ i definišemo orbitu { } od T u tački tako da je (

,

)<

(

,

) , ≥ 1, (25)

46

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

gde je ( ) ≔ ( ), > 0. )≤ ( )< ( Ovo je moguće jer je ( , , , ) . (Kada smo definisali { } pretpostavli smo da je , za svako ≥ 1. Zaista, ako je za neko ≠ = ≥ 1, tada je za nepokretna tačka od T i to bi bio kraj dokaza.) Kako je ( ) < { ( )} > 0, niz , je opadajući. (U dokazu Leme 3.5.1 pokazali smo da je lim ( , ) = 0.) Ali to još nije dovoljno da pokažemo konvergenciju reda ∑ ). Tada je ( ) ≤ ( ) za ∈ (0, ]. Za svako ( , +1 ). Neka je ( ) = (1 − fiksno ∈ (0, ], koristeći Lemu 4 [18], ( ) < ∞.

−ta iteracija od .) Neka je dovoljno veliko tako da važi ( . Iz monotonosti funkcije i (25) sledi da je

,

(Ovde je

≥

(

,

)≤ ≤

(

,

) ≤

( ), ∈

(

,

) ≤⋯≤

(

,

)<

za

)

.

Ovo pokazuje da je (

,

) < ∞.

Dakle, niz { } je konvergentan, i lim → = ∗ ∈ . Kako ∈ ∗ ∗ ∗ kada → ∞ sledi da ∈ , te je nepokretna tačka preslikavanja T.

za svako , ∎

47

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

3.5

Lokalne kontrakcije

Korišćena literature za ovo poglavlje je ([6], [16]). Definicije -lančastog metričkog prostora data je u uvodnom poglavlju (Definicija 1.2.6). Teorema 3.5.1: [6] Ako je ( , ) -lančast metrički prostor, tada je i ( ( ), ) -lančast metrički prostor. Dokaz: Fiksiramo ∈ i neka je = { } ∈ ( ). Kako je osobina − lančasto tranzitivna, dovoljno je pokazati da je svako ∈ ( ) − lančast u ( ) do . (postoji − lanac u ( ) koji povezuje i .) Prvo pokazujemo da ovo važi za konačan skup , koristeći matematičku indukciju po n, gde je n broj elemenata koje sadrži . 1) Za = 1 je jednočlani skup. Pošto je i jednočlan tvrđrnje je tačno jer je ( , ) − lančast. 2) Pretpostavimo da tvrdjenje važi za sve konačne podskupove iz , koji sadrže ne više od elemenata. }. Kako je 3) Neka je sada podskup od koji sadrži + 1 element, = { , … , −lančast, postoji − lanac = ,…, = u koji povezuje i . Lako se uočava da konačan skup ,{

,

,…,

}, … , {

,

,…,

}, { , … ,

}

}. Ali na osnovu indukcijske formira − lanac u ( ) koji povezuje i , = { , … , pretpostavke, je − lancem povezan u ( ) sa , te sledi da je − lancem povezan u ( ) sa . Sada za proizvoljan kompaktan skup , nađimo konačnu familiju podskupova { } od tako da je = ⋃ i svako ima prečnik < . Biramo za svako k neko ∈ i stavimo u skup = { , … , }. Nije teško primetiti da je za svako ∈ , ( , ) ≤ ( ) za neko k, 1 ≤ ≤ . Iz toga sledi ( , ) = max{sup ( , ) , sup ( , )} = sup ( , ) ≤ max ( )< , ∈ ∈ ∈ što pokazuje da je − lancem povezan u ( ) sa . Međutim, time smo pokazali i da je − lancem povezan u ( ) sa . Otuda je − lancem povezan u ( ) sa . ∎ Definicija 3.5.1: Neka je ( , ) −lančast metrički prostor. Za preslikavanje ( ) kažemo da je lokalna kontrakcija Reichove vrste ako je:

∶

⟶

48

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

(

,

)≤

( , ) ( , ) za ,

∈ i pri čemu je 0 < ( , ) < ,

gde : (0, ∞) → [0,1) ima svojstvo

sup ( ) < 1 ∀ > 0. (∗) →

Teorema 3.5.2: [7] Neka je ( , ) − lančast metrički proctor i kontrakcija Reich-ove vrste. Tada T ima nepokretnu tačku.

∶

⟶

( ) je lokalna

Napomena: Prethodna teorema je delimičan odgovor na Reichovo pitanje kao i specijalni slučaj sledeće teoreme. Teorema 3.5.3: [7] Neka je ( , ) kompletan − lančast metrički prostor i zadovoljava sledeći uslov: ∀ , 0 < < postoji takvo da iz ≤ ( , ) < Tada

+ ⟹ (

,

∶

⟶

( )

) < .

ima nepokretnu tačku.

Dokaz: Neka je

∶

( )⟶

( ) definisano na sledeći način ( )=

( ), ∈

( ).

∈

Primetimo da

ima svojstvo: ∀ , 0 < ≤

( , )<

<

tada postoji

+ ⟹

> 0 takvo da je

( ), ( ) <

Otuda ima nepokretnu tačku ∈ ( ) na osnovu Teoreme 1.2.7. Sada, kako je = ( ), preslikava u samog sebe. Lako se uočava da uslov kontrakcije preslikavanja implicira da je inf{ ( , ) ∶ ∈ } = 0. Kompaktnost skupa obezbeđuje da postoji tačka ∈ za koju je ( , ) = 0, tj. da ∈ . ∎ Definicija 3.5.2: [16] Preslikavanje ∶( , )⟶ ( ) je uniformna lokalna ( , ) − kontrakcija ako za svako , ∈ važi implikacija: ( , )≤

⇒

(

,

)≤

( , ) , ∈ [0,1).

49

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Teorema 3.5.5: [16] Neka je ( , ) kompletan −lančast metrički proctor, a : ⟶ ℬ( ) uniformna lokalna ( , ) − kontrakcija takva da je skup kompaktan za svako ∈ ∗ ∗ ∗ . Tada postoji ∈ tako da je ∈ . Dokaz: Neka su

i

proizvoljni elementi iz

i

( , )=

(

{ , gde je = , = , ( Može se lako pokazati da je

)

}⊂

, ) < = 1,2, … . metrika sa sledećim osobinama: ( , ) ≥ ( , ) i

1) 2)

,…,

,

( , )=

( , ) ako je ( , ) ≤ .

Takođe ( , ) je kompletan metrički prostor. Pri tome , ∈ ( ), ( , ) < ⟹ ( , ) = ( , ). Neka je sada { , , … , } −lanac koji spaja tačke i . Tada je : (

)≤ ( ,

,

) ≤ < , ∀ = 1,2, … ,

te je: (

,

)≤

(

,

)=

(

,

)≤

(

,

)

odakle sledi: (

,

) ≤ ( , ) ∀ ,

Prema tome, je kontrakcija u odnosu na tačku, tj. postoji ∗ ∈ takvo da ∗ ∈ ∗ .

i

∈ .

pa na osnovu Teoreme 3.1.1

ima fiksnu ∎

50

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

3.6 Kontrakcije sa uslovom na rubu

U ovom poglavlju posmatraćemo funkcije koje ne preslikavaju ceo skup u samog sebe već samo rubne tačke. Ta preslikavanja pripadaju klasi „non-self“ preslikavanja. Pri tome neophodno je obogatiti strukturu metričkog prostora. Korišćena je literatura [16]. Definicija 3.6.1: Ako za proizvoljne dve tačke , ≠ tako da važi

∈ ,

≠

postoji tačka

∈ ,

≠

( , )= ( , )+ ( , ) Tada kažemo da je ( , ) konveksan metrički prostor. Skup svih takvih tačaka, zajedno sa i označavamo sa [ , ]. U kompletnom metrički konveksnom prostoru svake dve tačke su krajevi metričkog interval. Ako je metrički konveksan prostor, a zatvoren podskup od , iz ∈ i ∉ sledi da postoji elemanat ∈ tako da je ( , ) = ( , ) + ( , ). Napomena: Svaki Banachov prostor je metrički konveksan. Teorema 3.6.1: [16] Neka je ( , ) kompletan metrički konveksan prostor, zatvoren podskup od i ∶ ⟶ ℬ( ) tako da je: a) Za sve ,

∈

važi nejednakost: (

b) Ako je

∈

je neprazan i

, tada

,

)≤

( , ), ∈ [0,1);

⊆ .

Tada postoji nepokretna tačka preslikavanja T. Dokaz: Posmatramo slučaj kada postoji tačka ∈ takva da važi ⊄ . Ako bi važilo da ⊆ , za svako ∈ tada iz Teoreme 3.1.1 sledi egzistencija nepokretne tačke preslikavanja T.

51

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

∈

Dakle, postoji elemenat

=

( , ) ( , )

∉

takav da

∈ [ , ] tako da

. Neka je

∈

. Ako je

, elemenat z označavamo sa ( , , ).

Neka je ∈ . Kako je ⊂ , za sve ∈ postoji ∈ ćemo matematičkom indukcijom pokazati da postoje dva niza { }

∈

= (

,

,

tako da je ∈ . Sada i{ } takva da je:

, )

)≤ ( gde je ∈ [0,1] najveći broj za koji ∈ i ( , , ) za neko fiksirano za koje važi < < 1. Pretpostavimo da su za neko ≥ 1 nađeni elementi , , … , sa gornjim osobinama. Za = 1 to su elementi i . Koristeći definiciju funkcije zaključujemo da postoji elemenat takav da je: ( za

=(

− ) ( (

,

,

∈

)≤

,

(♠)

(

) +

). Tada je:

)≤ (

)+(

, (

Sada treba proceniti veličinu

− ) (



1. Pretpostavimo da je Ako je tada



=

(

,



≠

(

,

2. Pretpostavimo sada da je

)=

(

,

).

= ≠

.

=



,

) pri čemu razlikujemo dva slučaja:

,



Ako je je

,

sledi da je )= (

,

)≤

(

,

).

,

)≤

(

,

).

. Tada je )≤ (

≠

.

52

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Tada je ∈ te je ⊆ odakle je ⊆ , a odavde = sledi da ∉ Dakle, u ovom slučaju važi da je:



= .

∈

. Kako iz

sledi da je

= =

te je: (

,

)≤ (

,

)+ (

≤ (

,

)+

= (

,

)

,

(

)≤

= (

,

)≤ (

(

1. Za Za

)≤( )

,

/

,

)

,

)

).

,

≥ 0 zadovoljena nejednakost:

Matematičkom indukcijom dokazujemo da je za svako (

)+ (

,

( ,

) (26)

= 0 to je očigledno =1 i a za

∈

( ,

)= ( ,

) ≤

( ,

∉

( ,

)≤ ( ,

)= ( ,

)

)≤

( ,

)

i gornja nejednakost je zadovoljena. 2. Pretpostavimo sada da je nejednakost (26) zadovoljena za neko . 3. Pokažimo sada da iz te pretpostavke sledi da je (26) tačna za + 1 Posebno se razmatraju slučajevi kada je U prvom slučaju je: (

,

)≤

(

, /

≤( ) Pretpostavimo da je (



,

≠

=



odnosno kada je

)≤

( )

( ,

).

)≤

( )(

/



≠

( ,

)

( ,

)=

.

. Tada je: )≤

(

,

)/

53

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

= ( )(

)/

( ,

).

Na osnovu principa matematičke indukcije zaključujemo da je nejednakost (26) tačna za svako ≥ 0. Niz { } je Košijev, te iz kompletnosti prostora sledi egzistencija elementa ∈ takvog da je lim → = . Treba još pokazati da ∈ . Primetimo da postoji podniz niza { }, za koji važi = , = 1,2, … Na osnovu (♠), ∈ , = 1,2, … Kako → , kada → ∞, dobijamo da → , kada → ∞ u Hauzdorfovoj metrici. Dakle ∈ . ∎

54

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

3.7 „Weakly inward“ preslikavanje Nastavljamo sa ispitivanjem „non-self“ preslikavanja još opširnijeg tipa. Neka je C neprazan, zatvoren podskup Banahovog prostora i ∶ ⟶ ( ). Definicija 3.7.1: [6] T je „weakly inward“ (slabo unutrašnje) preslikavanje na C ako je gde je ( )=

⊂

( ),

∈ , (27)

+ { ( − ): ≥ 1, ∈ }

slaba unutrašnjost skupa C u x (sa ̅ označavamo zatvaranje podskupa

⊂ ).

Napomena: Postoji još jedan koncept definisanja slabe unutrašnjosti (Demling [12]) T je slabo unutrašnje preslikavanje na ( )=

⊂

ako je ∈

∶ lim inf



→

+

( +

( ), , )

∈

gde je





Ako je konveksan, tada se oba koncepta poklapaju, međutim, ako se razlikuju i u opštem slučaju je ( ) šire od + ( ).

nije konveksan, tada

Teorema 3.7.1: [12] Neka je C zatvoren podskup Banahovog prostora X i ∶ → ( ) kontrakcija tako da svako ∈ ima najbližu tačku koja pripada Tx. Pretpostavimo da je T slabo unutašnje preslikavanje, u smislu da je ⊂ + ( ), ∈ . Tada T ima nepokretnu tačku. Teorema 3.7.2: [6] Neka je C zatvoren podskup Banahovog prostora i : ⟶ ( ) je kontrakcija tako da svako ∈ ima najbližu tačku koja pripada Tx. Pretpostavimo da je T slabo unutašnje preslikavanje, u smislu da je ⊂ ( ), ∈ . Tada T ima nepokretnu tačku. Dokaz: Prvo uočimo da je uslov (27) ekvivalentan uslovu: Zatim izaberemo

⊆

+{ ( − )∶

> 1, ∈ } , ∀ ∈ . (28)

∈ (0,1) i ∈ (0,1) tako da 55

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

<

<

1− . 1+

Neka je 1 −

( ) = gde je Za

( ,

),

∈

konstanta kontrakcije.

∈ , po pretpostavci, imamo da postoji neko

( )∈

tako da je

− ( ) ∥= ( , ) = inf ( , ). ∈ > 1 i ∈ takvi da

∥ Iz (28) sledi da postoje

∥ ( ) − Pretpostavimo suprotno tvrđenju, da ≥ 1 dovoljno veliki tako da je ∥ ( )−

(

+

− ) ∥→ 0, kada → ∞. . Tada postoji ceo broj

nema nepokretnu tačku u

(

+

− ) ∥<

( ,

).

Neka je ≝ 1−

1

1

+

( )

i ( )≝ Time je definisano preslikavanje ∥

∶

.

→ . Pokazaćemo da

− ( ) ∥< ( ) −

zadovoljava uslov

( ) , ∀ ∈ . ( 29)

Iz Teoreme 1.2.6 sledi da u tom slučaju ima nepokretnu tačku, što je kontradikcija sa gore strogom nejednakosti. Dakle, ostaje da se dokaže (29). Kako ( ) ∈ ( ) imamo ( ),

( )

≤∥ ( ) −

∥+ ( ,

)+ (

,

≤∥ ( ) − ∥ +∥ − ( ) ∥ + ∥

( ) )

− ( )∥ 56

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

≤∥

∥ +∥ − ( ) ∥ + ∥

−

− ( ) ∥.

Kako je ∥ ( )−

(

+

− ) ∥<

( ,

),

dobijamo da je ∥

− ∥=∥

−

1

( )+ 1−

1

( ,

∥<

).

Takođe je 1

∥ − ( ) ∥= 1 −

1

− ( ) ∥= 1 −

∥

( ,

).

Odatle dalje sledi ( ) =

1 −

( ),

−1 ( , ( − )

≤ ( ) +

= ( ) −

( )

1− −

∥ −

)+

∥+

−

− ( )∥

− ( ) ∥.

∥

−

∥

Ostaje da se pokaže −

1− −

∥ −

∥+

∥

−

− ( ) ∥< −∥

− ( )∥

ili ekvivalentno ∥ − ( ) ∥<

1−

∥

−

∥=

1−

( ,

).

S obzirom na izbor celog broja N, vidimo da je ( ,

) >∥ ( ( ) − ) −

(

− )∥

≥∥

(

− ) ∥ −∥ ( ) −

=

∥

−

∥− ( ,

∥

).

Tako s obzirom na izbor broja q imamo

57

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

∥ ( )−

∥=∥

−

∥<

1+

( ,

)<

1−

( ,

). ∎

Uslov kompaktnosti slika može se odbaciti ali uz novi dodatni uslov. Teorema 3.7.3: [6] Neka je E zatvoren podskup Banahovog prostora X i kontrakcija. Ako, za neko ∈ , (1 − ) +

lim inf



→

,

= 0 , uniformno po ∈

∶

⟶ ( ) je

, (30)



tada T ima nepokretnu tačku. Dokaz: Uzimamo neko

∈ (0,1) dovoljno malo tako da je (1 − )/(1 + ) > 1− − 1+

( )≝

( ,

), ∈ .

Pretpostavimo da T nema nepokretnu tačku u E. Tada je ( , ) > 0 za svako Iz pretpostavke (30) sledi da postoji = ( ) ∈ (0, ) tako da je (1 − ) + Sada biramo

∈

1 < 2

( ,

), ∀ ∈

∈ .

.

tako da

∥

Zatim uzimamo

,

i neka je

∈

− ∥<

1 1−

( ,

). (31)

tako da je

∥ (1 − ) + Definišimo preslikavanje

:

−

1 ∥< 2

( ,

). (32)

→ , ( )≝ .

Lako se uočava da f nema nepokretnu tačku na . U stvari, ako bi bilo ( ) = ∈ tada iz (32) sledi

za neko

58

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

( ,

) ≤∥

−

1 ∥< 2

( ,

). ∈ (0,1).

Dakle tada je > 2. Dobijamo kontradikciju sa pretpostavkom Sada pokazujemo da je zadovoljen uslov − ( ) ∥ ≤ ( ) −

∥

= (1 − ) +

Zaista, ako stavimo da je

( , Kako je

) ≤∥

( ) , ∀ ∈ , (33)

, imamo ∥+ ( ,

−

)+ (

).

,

kontrakcija, dobijamo

( ,

) ≤∥

∥+ ( ,

−

)+

∥

−

∥ . (34)

Na osnovu (32), ∥

−

1 2

∥<

( ,

1 )≤ 2

1 − ∥= ∥ 2

∥

−

∥

i ( ,

) ≤∥

∥= (1 − ) ∥

−

− ∥=∥

− ∥− ∥

− ∥=∥

− ∥ −∥

−

∥

te je ∥

−

∥≤∥

−

∥ +∥

−

∥≤ 1 +

1 2

∥

−

∥< (1 + ) ∥

−

∥,

iz (34) i (31) sledi da je ( ,

1 )≤ ∥ 2

−

∥ +∥

− ∥ −∥

−

∥+ ∥

= − (1 − ) ∥

−

≤−

1− − 1+

∥

−

1 ∥+ 1− 2

≤ −

1− − 1+

∥

−

∥+ ( ,

∥+ ∥

−

∥ +∥

−

∥

1 − ∥− ∥ 2 ∥

−

∥

− ∥

),

59

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

što implicira (33). Sada iz Teoreme 1.2.6 sledi da f ima nepokretnu tačku u E, a to je kontradikcija. ∎ Napomena: T.C Lim izostavio je uslov da svako uopštio prethodnu teoremu.

ima najbližu tačku u

i time značajno

Teorema 3.7.4: [23] Neka je C zatvoren podskup Banahovog prostora X i ∶ ⟶ ℱ( ) kontraktivno preslikavanje. Neka je slabo unutašnje preslikavanje, u smislu da je ⊂ ( ), ∈ . Tada T ima nepokretnu tačku.

60

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

3.8

Neekspanzivna preslikavanja ∶

→ 2 je neekspanzivno ako za sve ,

(

,

Da se podsetimo: preslikavanje

∈

važi da

je )≤ ( , )

Neka je slabo kompaktan i konveksan podskup Banahovog prostora ( , ∥ ∥) i { ograničen niz iz , definisaćemo funkciju na , na sledeći način:

}

( ) = lim sup ∥ − ∥ , ∈ . → Neka je ≡

({

}) =

{ ( ): ∈

({

}) = { ∈

}

i ≡

∶ ( ) = }.

Definicija 3.8.1: [6] Kažemo da su i asimptotski poluprečnik i centar od { } koji se odnose na , respektivno. ({ }) je neprazan, slabo kompaktan i Kako je slabo kompaktan i konveksan, konveksan. Definicija 3.8.2: [6] Neka je { } ograničen niz u , a slabo kompaktan i konveksan podskup Banahovog prostora. Tada se { } zove regularan u odnosu na ako ({ }) = , za sve podnizove od { }. Niz, { } se naziva asimptotski ravnomeran ako je ({ }) = za sve podnizove od { }. Lema 3.8.1: [13,24] Neka je { } ograničen niz iz podskup Banahovog prostora. Tada 1. uvek postoji podniz od { 2. ako je na .

,a

slabo kompaktan i konveksan

} koji je regularan u odnosu na

separabilan, tada {

;

} sadrži podniz koji je asimptotski ravnomeran u odnosu

({ }) sastoji od tačno jedne tačke, Napomena: Ako je ravnomerno konveksan, tada se pa je svaki regularan niz u prostoru asimptotski ravnomeran u odnosu na . Podsetimo se da je Banahov prostor ravnomerno konveksan ako je

61

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

( ) = inf 1 − gde je

∥

+ 2

∥

∶ ,

∈

, ∥

∥≥ > 0 ∀ ∈ (0,2]

−

zatvorena jedinična lopta u X.

Tvrđenje 3.8.1: [6] Neka je ( , ∥ ∥) Banahov prostor i > 0 je dat broj. Tada je ravnomerno konveksan ako i samo ako je norma ∥∙∥ od ravnomerno konveksna na zatvorenoj lopti = { ∈ ∶ ∥ ∥≤ }. To znači da postoj neprekidno, strogo rastuća funkcija : [0, ∞) → [0, ∞), koja zavisi od , gde je ( ) = 0 ako i samo ako je = 0, tako da važi : + (1 − ) ∥≤ ∥

∥

∥ +(1 − ) ∥

Lako se zaključuje da za konveksan skup

∥ − (1 − ) (∥

−

∥), ,

∈

,

∈ [0,1].

važi:

( ) = { + ( − ) ∶ ≥ 0,

∈ }.

Tvrđenje 3.8.2 : [6] Neka je ravnomerno konveksan Banahov prostor i neka je zatvoren konveksan podskup od . Pretpostavimo da je { } ograničen niz u i da je = ({ }). Tada je ( ) ({ }) = ({ }) = ( ) ({ }). Dokaz: Neka je ( ) = lim sup ∥ − ∥, → = inf{ ( ): ∈ } = ({ }), = inf ( ): ∈

( ) ({

( ) =

Dovoljno je pokazati da je = . Očigledno je da je ≤ . Primenom Tvrđrnja 3.8.1 dobijamo, za neko funkciju (koja zavisi od ) tako da je: (

+ (1 − ) ) ≤

( ) + (1 − ) ( ) − (1 − ) (∥

−

}).

≤ . Ostaje da se pokaže da je > 0 i neprekidnu strogo rastuću

∥), ,

∈

, ∈ [0,1]. (35)

Jasno je da je = inf{ ( ): ∈ ( )}; Dakle, imamo niz = + ( − ), gde je ≥0i ∈ , tako da ( ) → . Ako je ≤ 1, za beskonačno mnogo n, tada ∈ , a ( ) tako je ≥ za to n. Kada → ∞ dobijamo da je ≤ , a to je trebalo da pokažemo. Prepostavimo da je > 1, ∀ . Ako { } ima ograničen podniz, isto označen sa { }, možemo pretpostaviti da → ≥ 1. Kako je { } ograničen, možemo takođe pretpostaviti 62

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

da

⇀ ̃ ∈ . (Ovde znak " ⇀ " označava slabu konvergenciju.) Kada ⇀ = + ( ̃ − ). Drugim rečima, možemo zapisati 1

̃= Kako je

+ 1−

1

→ ∞ dobijamo

.

slabo sa donje strane poluneprekidno, dobijamo ( ) ≤ lim inf (

Sa druge strane, na osnovu konveksnosti funkcije 1

( ̃) ≤ Kako je ( ̃ ) ≥

,

( )=

dobijamo

( )+ 1−

i ( ) ≤ ≤

)= .

1

( ).

, iz poslednje nejednakosti sledi da je 1

+ 1−

1

i tako je ≤

→ ∞. U ovom slučaju možemo pisati

Konačno, pretpostavimo da

= Neka je sada dobijamo da je

Kako je ( ) ≥

1

(

)+ 1−

i ( )=

+ 1−

1

1

.

⊃{

( )−

1

} ∪ { }. Koristeći nejednakost (35)

1−

1

(∥

− ∥).

, iz poslednje nejednkaosti sledi da je

1− Neka sada

1

dovoljno veliko tako da je

( )≤

.

1

(∥

− ∥) ≤ (

)−

.

→ ∞. Dobijamo lim sup (∥

− ∥) ≤

−

≤ 0. 63

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Otuda,

→

i

= lim (

)= ( )=

. ∎

Ako je ∶ → ( ), tada ne možemo da pretpostavimo da je separabilan, time Lema 3.8.1 (2) nije primenljiva. Zbog toga je potrebno da definišemo univerzalnu mrežu. Definicija 3.8.3: Ako je neprazan skup, onda svako preslikavanje proizvoljno usmerenog skupa u skup zovemo mreža u skupu . Pišemo da je ( ) = , za svako ∈ . Mrežu označavamo sa { }. Definicija 3.8.4: Mreža { } u prostoru S zove se univerzalna mreža ako je za svaki potprostor prostora S , { } u ili je { } u ∖ . Sledeće činjenice su značajne: [10] a) Svaka mreža u prostoru ima univerzalnu podmrežu. b) Ako je : → preslikavanje i ako je { univerzalna mreža u . c) Ako je S kompaktan i ako je {

} univerzalna mreža u

, tada je { (

} univerzalna mreža u S, tada postoji

)}

.

Neka je konveksan i slabo kompaktan podskup Banahovog prostora ( , ∥ ∥) i : → ( ) neekspanzivno preslikavanja. Za fiksiran elemenat ∈ i proizvoljan ceo broj ≥ 1, kontrakcija ∶ → ( ) definisana sa: ( )= ima nepokretnu tačku

1

+ 1−

1

(

∈ . Lako se uočava da

, ∈ , ,

)≤

( ) → 0,

→ ∞.

Neka su i asimptotski poliprečnik i centar od { } respektivno, koji se odnose na . Pošto ima kompaktne slike, možemo izabrati ∈ tako da ∥

−

∥= (

,

), ≥ 1.

Kako je preslikavanje skupa u samog sebe, možemo pretpostaviti da je separabilan (ako nije, možemo konstruisati zatvoren, konveksan podskup od koji je invarijantan u odnosu na

64

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

, vidi [25]). Na osnovu Leme 3.8.1 možemo pretpostaviti da je { Biramo proizvoljno ∈ . Kako je kompaktan, postoji ∈ ∥

∥= (

−

,

)≤

(

) ≤∥

,

} asimptotski ravnomeran.

− ∥.

Zbog kompaktnosti skupa , možemo takođe pretpostaviti da { } (jako) kovergira ka nekom ̃ ∈ . Odatle sledi da je: lim sup ∥

− ̃ ∥ = lim sup ∥

−

∥≤ lim sup ∥

Ovo pokazuje da ̃ ∈ . Dakle, možemo definisati preslikavanje :

=

∩

,

− →

∥. ( )

∈

Ovo generalno, nije ni neekspanzivno ni sa donje strane poluneprekidno preslikavanje, međutim, jeste sa gornje strane poluneprekidno, a to su primetili Kirk i Massa [26]. Oni su dokazali sledeću teoremu, koristeći Bohenblust-Karlin teoremu o nepokretnoj tački, koja je više topološke nego metričke prirode. U ovom radu biće naveden dokaz koji koristi princip višeznačne kontrakcije Nadlera. Lema 3.8.2: [6] Ako je kompaktan i konveksan podskup Banahovog prostora : → ( ) je neekspanzvno preslikavanje koje zadovoljava (granični) uslov ( ) ≠ ∅,

∩

i

∀ ∈ .

Tada T ima nepokretnu tačku. Dokaz: Fiksiramo neko ( ) na sledeću način:

∈ i definišemo za svaki ceo broj

( )=

1

+ 1−

1

≥ 1 kontrakciju

∶

→

, ∈ .

Tada je kontrakcija koja zadovoljava isti (granični) uslov koji zadovoljava T, tj: ( )∩

( ) ≠ ∅,

∀ ∈ .

Tada, na osnovu teoreme Deimlinga (Teorema 11.5 [12]), ima nepokretnu tačku ∈ . Kako je C kompaktan skup, možemo pretpostaviti → ∈ . Takođe, lako se uočava da je 65

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

( Dobijamo ( ,

1

)≤

,

) = 0, dakle ∈

→ 0, kada → ∞.

. ∎

Teorema 3.8.1: (Kirk-Massa) [27] Neka je neprazan, zatvoren, ograničen i konveksan podskup Banahovog prostora i ∶ → ( ) neekspanzivno preslikavanje. Pretpostavimo da je asimptotski centar u svakog ograničenog niza u neprazan i kompaktan. Tada ima nepokretnu tačku. Dokaz: Kako je preslikavanje u samog sebe, možemo pretpostaviti da je separabilan. ) = 0. Takođe Dakle, imamo asimptotski ravnomeran niz { } u tako da je lim ( , imamo i niz { } za koji važi da ∈ i ∥

∥= (

−

), ∀ ∈

,

.

Neka je ({

=

}) i =

({

}).

Već smo pokazali da je ∩

≠ ∅, ∀ ∈ . (36)

Ideja je da ne posmatramo preslikavanje u samog sebe = ∩ , ∈ , kako gubi ( ). Prednost ove ne-ekspanzivnost. Umesto toga, posmatramo preslikavanje ∶ → ideje je u tome da je neekspanzivnost preslikavanja sačuvana, šta više, (rubni) uslov, (36) je zadovoljen, iako više nije „self-mapping“. Sada, za svaki ceo broj

≥ 1, definišemo kontrakciju

gde je

∈

( )≝

fiksirano. Tada svako

1

+ 1−

1

∶ ,

→

( ) pomoću:

∈ , (37)

je kontrakcija koja zadovoljava uslov ( )∩

≠ ∅,

∀ ∈ .

66

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Kako tačku

ima kompaktne i konveksne vrednosti, na osnovu Leme 3.8.2, ∈ . Niz { } zadovoljava

lim (

) = 0 . (38)

,

Kako je kompaktan, { } ⊂ , { } ima konvergentan podniz važi lim = ∈ . Na osnovu (38) lim odakle dobijamo da

∈

ima nepokretnu

,

. Za podniz

=0

. ∎

Neka je Banahov prostor i neprazan, zatvoren i konveksan podskup prostora Podsetimo se da je tada unutrašnjost prostora u tački data sa: ( ) = { + ( − ): ≥ 0, a višeznačno preslikavanje : ⊂ ( ) za ∈ .

.

∈ },

→ ℱ( ) je unutrašnje (slabo unutrašnje) ako je

⊂

( ),

Teorema 3.8.2: [6] Neka je neprazan, zatvoren, ograničen i konvekan podskup Banahovog prostora i : → ( ) je neekspanzivno preslikavanje, koje zadovoljava uslov unutrašnjosti: ⊂ ( ), za ∈ . Pretpostavimo da je asimptotski centar u , svakog ograničenog niza u , neprazan i kompaktan. Tada ima nepokretnu tačku. Dokaz: Fiksiramo neko ∈ : → ( ) na sledeći način:

i definišemo za svaki ceo broj

( )=

1

+ 1−

1

, ∈ .

Tada zadovoljava uslov unutrašnjosti tj. ⊂ ( Teoreme 3.7.2, ima nepokretnu tačku ∈ . { } pretpostaviti je da je niz regularan. Neka je ). Neka je ∥ − ∥= ( , univerzalna definisana: ( ) = lim ∥

−

≥ 1 kontrakciju

∥,

), za svako ∈ . Tako, na osnovu Na osnovu Leme 3.8.1, možemo ∈ definisano kao i ranije tj.: podmreža od { } i funkcija

∈ .

Neka je 67

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

={ ∈

∶ ( ) = },

( ). Tada (propozicija 6, [26]), C je neprazan i kompaktan. Ključ ovog gde je = ∈ dokaza leži u tome da uslov unutrašnjost preslikavanja na implicira da je Zaista, ako da je

∈

( ) ≠ ∅,

∩

∈ . (39)

, iz kompaktnosti, imamo da za svako

∥ Neka je = lim

∥= (

− ∈

)≤

,

(

,

≥ 1, postoji neko

) ≤∥

−

∈

tako

∥.

. Odatle sledi da je

( ) = lim ∥

− ∥ = lim ∥

−

∥≤∥

−

∥.

Dakle, ( ) ≤ ( ) = . (40) Ostaje još da se pokaže

( ). Kako je

∈

=

⊂

( ), imamo neko

≥0i

+ (1 − ) , gde je =

Na osnovu konveksnosti funkcije

tako da je

+ ( − ).

Ako je ≤ 1, tada ∈ na osnovu konveksnosti , stoga, na osnovu (40), to je trebalo pokazati. Pretpostavimo da je > 1. Tada je =

∈

1

∈

⊂

( ), a

∈ (0,1).

i (45), imamo

( )≤

( ) + (1 − ) ( ) ≤ .

Kako ∈ , odatle sledi da ∈ i važi = + ( − ) pripada ( ). Sada imamo neekspanzivno preslikavanje ∶ → ( ) koje zadovoljava (granični) uslov (39). Na osnovu Leme 3.8.2 ima nepokretnu tačku. ∎

68

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Teorema 3.8.3: [6] Pretpostavimo da je ravnomerno konveksan Banahov prostor, je zatvoren, ograničen i konveksan podskup od , i : → ( ) neekspanzivno preslikavanje koje zadovoljava uslov slabe unutrapnjosti: ⊂ Tada

( ),

za

∈ .

ima nepokretnu tačku.

Dokaz: Fiksiramo ∈ , zatim definišemo, za svaki ceo broj : → ( ) na sledeći način: ( )=

1

+ 1−

1

≥ 1, kontrakciju

, ∈ .

Lako se uočava da zadovoljava uslov slabe unutrašnjosti, ⊂ ( ) za svako ∈ , zaključujemo, na osnovu Teoreme 3.6.2 da ima nepokretnu tačku, označenu sa . Takođe, lako se uočava da je (

)≤

,

1

→ 0, kada → ∞.

Možemo da pretpostavimo da je { } regularan i odatle asimptotski ravnomeran jer prostor je ravnomerno konveksan. Neka je jedini element asimptotskog centra od { } ; Tada je ∈ jedini minimizer u funkcije: ( ) = lim sup ∥ − →

∥.

Neka je = ( ) = inf ( ). ∈ Biramo ∈ koje zadovoljava ∥ − ∥= ( , ). Iz neekspanzivnosti preslikavanja sledi da je ∥ Kako je da je

−

∥≤

(

,

) ≤∥

− ∥.

kompaktan, možemo pretpostaviti da { } jako konvergira ka tački ̃ ∈

( ̃ ) = lim sup ∥

− ̃ ∥ = lim sup ∥

−

∥≤ lim sup ∥

−

. Sledi

∥;

69

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

te je ( ̃ ) ≤ ( ). (41) Sada ćemo pokazati da je ̃ = , čime završavamo dokaz. Prvo ćemo primetiti da je ̃ ∈ ( ). Tada, na osnovu Tvrđenja 3.8.2 i (41) dobijamo da je ( ̃ ) = ( ). To znači da su i ̃ minimizeri funkcije na ( ), odakle je ̃ = i je nepokretna tačka od . H.K.Xu daje dokaz, da se ̃ i poklapaju, koji koristi nejednakost ravnomerne konveksnosti, tj. Tvrđenje 3.8.1. Kako ̃ ∈ ( ), postoji niz { } nenegativnih brojeva i niz { } elemanata potprostora E tako da je: = + ( − ) → ̃ . (42) Ako je ≤ 1 za beskonačno mnogo , tada ∈ za te -ove i odatle ̃ ∈ . Za ovo, (41) pokazuje da ̃ ∈ je takođe minimizer od u odakle je ̃ = na osnovu jdinstvenosti. Neka je sada > 1, za svako . Ako { } ima ograničen podniz, tada je { } ograničen, imamo, za neki podniz { } pozitivnih celih brojeva da → i ⇀ ∈ . Odatle sledi da je ̃= + ( − ) smanjujući slučaj na slučaj unutrašnjosti koji je objašnjen u [2,12,22, ]. Pretpostavimo da → ∞. Tada (42) pišemo =

+ (1 −

) , gde je

=

1

→ 0.

Sada, neka je dovoljno velik broj tako da zatvorena lopta sadrži nizove { { − }. Primenjujemo Tvrđenje 3.8.1 i dobijamo da dok ∈ : ( )≤ (

)= (

+ (1 −

−

} i

) )

= lim sup ∥ ( − ) + (1 − )( − ) ∥ → ( ) + (1 − ) ( ) − (1 − ) (∥ ≤ − ∥). Dakle, (1 −

) (∥

− ∥) ≤ (

) − ( ). 70

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

→∞

Uzimajući limes kada

(∥ ̃ − ∥) ≤ ( ̃ ) − ( ) ≤ 0 jer je ( ̃ ) ≤ ( ). strogo rastuća funkcija i (0) = 0, mora biti ̃ = .

Kako je

∎

Teorema Downing-Kirk 3.8.4: [6] Neka je neprazan, zatvoren, konveksan podskup Banahovog prostora i ∶ → ( ) je sa donje strane poluneprekidno preslikavanje koje zadovoljava uslove: ∈

1. Za

postoji ∈

2. Tada

( )∩

= ( ) > 0 tako da za ( ) ∩ ⟹ ( ,

( ) ≠ ∅ za

∈ , gde je

∈ (0,1)

)+

∥

−

( )={ ∈

∥. ∶ ∥

−

∥= ( ,

)}

ima nepokretnu tačku.

Postavlja se pitanje: Ako se pretpostavka (2) u prethodnoj teoremi promeni u ( )∩

( ) ≠ ∅ za ∈

da li preslikavanje ima nepokretnu tačku? Daćemo primer, koji daje negativan odgovor na ovo pitanje. Primer :[6] Neka je

= ℝ i = [0,1]. Definišemo :

→

( )

( ) = {−1,2} za svako

∈ .

Tada je konstantno preslikavanje i ∩ ( ) ≠ ∅ za svako za ∈ (0,1), (−∞, 1] za = 1 i [0, ∞) za = 0.

∈ , pošto je

( ) = ℝ,

71

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Literatura [ 1]

A.Kaewkhao, K.Neammanee, Fixed point theorem of multi-valued Zamfirescu Mapping. J. Math. Res., Vol.2, No.2, 2010.

[ 2]

D.Downing ,W. A. Kirk, Fixed point theorems for set-valued mappings in metric Banach space, Math. Japon. 22 (1977)

[ 3]

D.Ilić, V.Rakočević, Kontraktivna preslikavanja na metričkim prostorima i uopštenja, Univerzitet u Nišu, Niš 2014

[ 4]

H.E. Kunze, D. La Torre, E.R. Vrscay,Contractive multifunctions, fixed point inclusions and iterated multifunction systems, J.Math. Appl. ,330, 2007

[ 5]

H.K.Xu, Fixed point theorems for single-valued and set-valued mappings, thesis, Zhejiang Univ.,1985.

[ 6]

H.K.Xu, Metric fixed point theory for multivalued mappings, Disert. Math., 2000.

[ 7]

H.K.Xu, − chainability and fixed points of set-valued mappings, Math. Japon. 39 (1994)

[ 8]

I.A. Rus, Generalized contractions, Cluj University Press: Cluj-Napoca, 2001

[ 9]

J. Caristi, Fixed point theorems for mappings satisfying inwardness conditions, Trns. Amer. Math. Soc. Vol. 215, 1976

[10] J.L. Kelley, General Topology, Van Nostrand, Princeton, NJ, 1955 [11] J. M. Borwein, O. Giladi, Nearest points and delta convex functions in Banach space [12] K. Deimling, Multivalued Differential Equations, Walter de Gruyter, Berlin and New York, 1992

72

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

[13] K. Goebel, On a fixed point theorem for multivalued nonexpansive mappings, Ann. Univ. Mariae Curie-Sklodowska 1975 [14] Lj.Gajić, M.Kurilić, S.Pilipović, B.Stanković, Zbirka zadataka iz funkcionalne analize, Univerzitet u Novom Sadu, Novi Sad, 2000 [15] N.Mizoguchi , W. Takahashi, fixed point theorems for multivalued mappings on complete metric space, J.Math. Anal. Appl. 141 (1989) [16] O. Hadžić, Osnovi teorije nepokretne tačke, Institut za matematiku, Novi Sad, 1978 [17] O. Hadžić, S. Pilipović, Uvod u funkcionalnu analizu, Novi Sad, 1996. [18] P. D. Daffer, H. Kaneko, W. Li, On a conjecture of S.Reich, Proc.Amer. Math. Soc. Vol. 124, 1996. [19] S.B. Nadler, JR., Multi-valued contraction mappings, Pacific J. Math. 30, 1969 [20] S.Reich, A fixed point theorem for locally contractive multivalued functions, Rev.Roumaine Math. Pures Appl. Vol. 17, 1992 [21] S.Reich, Fixed points of contractive functions, Boll. Un. Math. Ital., 1972 [22] S. Reich, Some fixed point theorems, Atti. Accad. Naz. Lincei Rend. Cl. Sci. Fis. Mat. Natur. (8) 57 (1974) [23] T. C. Lim, A fixed point theorem for weakly inward multivalued contractions, J. Math. Anal. Appl., to appear [24] T. C. Lim, Remarks on some fixed point theorems, Proc. Amer. Math. Soc. Vol.60, 1976 [25] T. Kuczumow, S. Prus, Compact asymptotic centers and fixed points of multivalued nonexpansive mappings, ibid., 465–468 [26] W. A. Kirk, S.Massa, Remarks on asymptotic centers and Chebyshev centers, Houston J. Math. Vol. 16, 1990 [27] Y. Q. Chen, On a fixed point problem of Reich, Proc. Amer. Math. Soc. Vol. 124, 1996 73

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Biografija

Dragana Knežević je rođena 05.03.1990. u Bihaću, Bosna i Hercegovina. Završila je 2005. godine osnovnu školu „20. oktobar“ u Vrbasu. Potom je upisala Gimnaziju „Žarko Zrenjanin“, u Vrbasu, prirodno matematički smer, koju je završila 2009. godine. Iste godine je upisala osnovne akademske studije Primenjene matematike na Prirodno-matematičkom fakultetu u Novom Sadu, modul Matematika finansija. U oktobru 2013. godine Dragana upisuje master studije na istom usmerenju. Položila je sve ispite predviđene nastavnim planom i programom i stekla uslov za odbranu master rada.

74

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

UNIVERZITET U NOVOM SADU PRIRODNO – MATEMATIČKI FAKULTET KLJUČNA DOKUMENTACIJSKA INFORMACIJA Redni broj: RBR Identifikacioni broj: IBR Tip dokumentacije: Monografska dokumentacija TD Tip zapisa: Tekstualni štampani materijal TZ Vrsta rada: Master rad VR Autor: Dragana Knežević AU Mentor: dr Ljiljana Gajić MN Naslov rada: Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima NR Jezik publikacije: srpski (latinica) JP Jezik izvoda: s/en JI Zemlja publikovanja: Republika Srbija ZP Uže geografsko područje: Vojvodina UGP Godina: 2015. GO Izdavač: Autorski reprint IZ Mesto i adresa: Novi Sad, Departman za matematiku i informatiku, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Novom Sadu, Trg Dositeja Obradovića 4 MA Fizički opis rada: (3/74/0/0/0/0/0) (broj poglavlja/strana/literalnih citata/tabela/grafika/priloga) FO Naučna oblast: Matematika NO 75

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

Naučna disciplina: Nelinearna analiza ND Predmetna odrednica/ključne reči: višeznačno preslikavanje, kontrakcija, nepokretna tačka, metrički prostor PO UDK: Čuva se: Biblioteka Departmana za matematiku i informatiku, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Novom Sadu ČU Važna napomena: VN Izvod: IZ Datum prihvatanja teme od strane NN veća: Jun 2015. DP Datum odbrane: Oktobar 2015. DO Članovi komisije: KO Predsednik: dr Zagorka Lozanov-Crvenković, redovni profesor, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Novom Sadu Član: dr Ivana Štajner-Papuga, vanredni profesor, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Novom Sadu Mentor: dr Ljiljana Gajić, redovni profesor, Prirodno-matematički fakultet, Univerzitet u Novom Sadu

76

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

UNIVERSITY OF NOVI SAD FACULTY OF SCIENCE KEY WORDS DOCUMENTATION ANO Identification number: INO Document type: Monograph type DT Type of record: Printed text TR Contents code: Master’s thesis CC Author: Dragana Knežević AU Mentor: Ljiljana Gajić, PhD MN Title: Fixed point theorems for multi-valued mappings in metric spaces TI Language of text: Serbian (Latin) LT Language of abstract: s/en LA Country of publication: Serbia CP Locality of publication: Vojvodina LP Publication year: 2015 PY Publisher: Author’s reprint PU Publ.Place: Novi Sad, Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad, Trg Dositeja Obradovića 4 PP Physical description: (3/74/0/0/0/0/0) PD Scientific field: Mathematics SF Scientific discipline: Nonlinear Analysis SD Subject/Key words: multivalued mappings, contraction, fixed point, metric space 77

Teoreme o nepokretnoj tački za višeznačna preslikavanja u metričkim prostorima

SKW UC: Holding data: The library of the Department of Mathematics and Informatics, Faculty of Science, University of Novi Sad HD Note: N Abstract: AB Accepted by the Scientific Board on: June 2015 ASB Defended: October 2015 DE Thesis defend board: DB President: Zagorka Lozanov-Crvenković, PhD, full professor, Faculty of Sciences, University of Novi Sad Member: Ivana Štajner-Papuga, PhD, associate professor, Faculty of Sciences, University of Novi Sad Mentor: Ljiljana Gajić, PhD, full professor, Faculty of Sciences, University of Novi Sad

78