Download File (1).pdf

Univerzitet u Sarajevu

Odsjek za fiziku, Prirodno-matematički fakultet

Matematičke metode fizike I 07.09.2015.

ZADACI

1. Koristeći generalisane sferne koordinate x = ar sin ϕ sin θ, y = br cos ϕ sin θ i z = cr cos θ ZZZ r x2 y 2 z 2 x2 izračunati integral 1 − 2 − 2 − 2 dxdydz ako je V unutrašnjost elipsioda 2 + a b c a V y2 z2 + 2 = 1. (20%) b2 c 2. Naći veličinu površine koju ograničavaju površi (x2 + y 2 )z = x + y za 1 < x2 + y 2 < 4, x > 0, y > 0. (25%) 3. Čestica se kreće po pravoj liniji između tačaka (1, 0, −2) i (4, 6, 3) pod djelovanjem sile F~ = yz~i + xz~j + (xy + 2z)~k. Odrediti rad sile. (15%) ~ = x2~i + y 2~j + z 2~k kroz vanjsku stranu površi 4. Izračunati fluks (tok) vektorskog polja A x2 y 2 z2 + 2 = 2 , (0 ≤ z ≤ b), i površi z = b, 2 a a b a) direktnom metodom, (15%) b) pomoću Gaussove teoreme. (10%) √ 5. Naći rješenje diferencijalne jednačine xy 0 − 4y − x2 y = 0 za y(1) = 1 . (15%) NAPOMENA: svaki zadatak treba uraditi detaljno bez preskakanja koraka u računu. Pisanje komentara i crtanje skice pri izradi je obavezno.

1

Univerzitet u Sarajevu

Odsjek za fiziku, Prirodno-matematički fakultet

I parcijalni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I 06.12.2013. godine

1. Pod pretpostavkom da je funkcija ϕ diferencijabilna dokazati jednakost: (x2 − y 2 ) y



ako je u = e ϕ ye

x2 2y 2

∂u ∂u + xy = xyu ∂x ∂y

 . (15%)

2. Izračunati integral ZZ S

dS (1 + z)2

ako je S sfera x2 + y 2 + z 2 = 1 (z ≥ 0). (25%) 3. Izračunati površinu koja je ograničena funkcijama y 2 = a2 −ax i y = a+x (a>0). (25%) p 4. Tijelo ograničeno sferom x2 + y 2 + z 2 = 4 i konusom z = 4(x2 + y 2 ) ima zapreminsku gustoću koja je proporcionalna z−koordinati. Skicirati dato tijelo u xyz koordinatnom sistemu i odrediti: a) zapreminu tijela, (12,5%) b) masu tijela, (12,5%) c) položaj centra mase tijela. (10%)

1

Univerzitet u Sarajevu

Odsjek za ziku, PMF Sarajevo

Prvi parcijalni ispit iz predmeta Matemati£ke metode zike I 21.11.2012. godine

ZADACI

1. Pod pretpostavkom da su Φ i Ψ dovoljno puta diferencijabilne funkcije dokazati jednakost x2

2 ∂2u ∂2u 2∂ u + 2xy + y =0 , ∂x2 ∂x∂y ∂y 2

ako je u = Φ

2. Na¢i maksimalnu zapreminu kvadra upisanog u elipsoid

y x

+ xΨ

y

.(

x

25%)

25%)

x2 y 2 z 2 + 2 + 2 = 1. ( a2 b c

3. Izra£unati integral ZZ

dxdy p

D

2y − y 2

,

gdje je D oblast u prvom kvadrantu koja je ograni£ena funkcijom y = 2 −

20%)

x2 , x i y−osom. ( 2

4. Tijelo ograni£eno povr²inama z = 2 i z = x2 + y 2 ima zapreminsku gusto¢u koja je proporcionalna kvadratu rastojanja od ishodi²ta koordinatnog sistema. Skicirajte ovo tijelo u xyz koordinatnom sistemu i odredite: p

(a) zapreminu tijela, (b) masu tijela, (c) moment inercije u odnosu na z−osu. (

30%)

1

Ispitni zadaci iz predmeta

MATEMATIČKE METODE FIZIKE I

29. kolovoza 2012.

Benjamin Fetić Prirodno-matematički fakultet, Sarajevo Odsjek za fiziku

Prvi parcijalni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I (16.11.2012. godine) STUDENT: (PREZIME I IME)

ZADACI 1. Van der Waalsova jednačina stanja realnog gasa CO2 je data izrazom p=

3, 6 0, 08T − 2 V − 0, 00427 V

,

gdje je p pritisak, T termodinamička temperatura, a V zapremina gasa. Naći brzinu promjene pritiska u trenutku kada je V = 1, 5 m3 i T = 200 K ako se temperatura gasa 3 smanjuje brzinom 10 Ks dok se zapremina povećava brzinom 2 ms . 2. Zgrada u obliku kvadra je dizajnirana na takav način da minimizira gubitak toplote. Istočni i zapadni zidovi gube toplotu brzinom 10 jedinica toplote po m2 u toku jednog dana, dok južni i sjeverni zidovi gube 8 jedinica toplote po m2 u toku jednog dana. Baza zgrade gubi toplotu brzinom 1 jedinice toplote po m2 u toku jednog dana, a krov brzinom 5 jedinica toplote u toku jednog dana. Koristeći se metodom Lagrangeovih multiplikatora odredi dužinu stranica zgrade ako je zapremina zgrade V = 4000 m3 . 3. Pod pretpostavkom da su Φ i Ψ dovoljno puta diferencijabilne funkcije dokazati jednakost y y ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u x2 2 + 2xy + y 2 2 = 0 , ako je u = Φ + xΨ . ∂x ∂x∂y ∂y x x 4. Gustina tijela nastalog presjekom sfere x2 + y 2 + z 2 = 16 i cilindra x2 + y 2 = 4x je proporcionalna rastojanju od z-ose. Skicirati ovo tijelo u XY Z koordinatnom sistemu i odrediti: (a) Ukupnu zapreminu tijela. (b) Ukupnu površinu tijela. (c) Ukupnu masu tijela. (d) Moment inercije tijela u odnosu na z-osu. (e) Koordinate centra mase tijela.

2

Prvi parcijalni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I (21.12.2012. godine) STUDENT: (PREZIME I IME)

ZADACI 1. Dato je vektorsko polje ~ y, z) = (y + z)~i + (x + z)~j + (x + y)~k A(x,

.

(a) Ispitati da li je vektorsko polje potencijalno polje i ako jeste naći potencijal polja. (b) Koliki rad izvrši vektorsko polje duž krive C koja je data u parametarskom obliku x(t) = 2 sin t ,

y(t) = 4 cos t ,

z = 5t ,

0 ≤ t ≤ 2π

.

~ ~ ~ ~ 2. Izračunati fluks p vektorskog polja A(x, y, z) = xi + 2y j − z k kroz spoljnu stranu dijela 2 2 konusa z = x + y ograničenog ravnima z = 0 i z = 1. Zadatak riješiti na dva načina. 2 ~ 3. Čestica pod uticajem sile F~ (x, y) = x~i + (x3 + 3xy √ )j kreće se duž x−ose od tačke (−2, 0) do tačke (2, 0), a zatim duž polukruga y = 4 − x2 do početne tačke. Odrediti rad sile duž ove krive.

4. Naći opšte rješenje nehomogene linearne jednačine drugog reda y 00 + y 0 − 2y = 6x2

3

.

Završni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I (16.01.2012. godine)

STUDENT: (PREZIME I IME)

ZADACI

1. Ako je z =

xy x−y

dokažite da vrijedi ∂ 2z ∂ 2z 2 ∂ 2z + 2 + = ∂x2 ∂x∂y ∂y 2 x−y

.

2. Uvodeći generalisane polarne koordinate x = ar cosn ϕ ,

y = br sinn ϕ ,

naći zapreminu ograničenu površinama x2 y 2 + = 2z, p q

x2 y 2 + 2 = 1, a2 b

z = 0.

3. Materijalna tačka kreće se duž krive ~r(t) = cos t~i + sin t~j + t~k od tačke (1, 0, 0) do tačke (−1, 0, 3π) pod uticajem sile F~ = − 12 x~i − 12 y~j + 14 ~k. Naći dužinu putanje i rad sile duž krive.
4. Kroz pravolinijski provodnik teče struja promjenljivog intenziteta i(t) = 28 cos 30 t π ampera stvarajući magnetno polje jačine B=

µ0 i , 2πr

µ0 = 4π · 10−7 Tm/A ,

na rastojanju r od provodnika (pogledati sliku). (a) Naći magnetni fluks Φ(t) kroz žičani okvir ako je L = 1, 2 m, H = 0, 7 m, i d = 0, 1 m. (b) Koristeći se Faradayevim zakonom naći pad napona (indukovanu elektromotornu silu) koja nastaje u žičanom okviru. 4

Slika 1: Promjenom magnetnog fluksa kroz žičani okvir nastaje protok električne struje. 5. Naći u obliku potencijalnog reda rješenje diferencijalne jednačine: y 00 − 2xy 0 + y = 0 .

5

Popravni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I (30.01.2012. godine)

STUDENT: (PREZIME I IME)

ZADACI

1. Ako je u = f (x, y) gdje je x = es cos t i y = es sin t, pokazati da vrijedi jednakost:  2  ∂ u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u −2s + =e + 2 . ∂x2 ∂y 2 ∂s2 ∂t 2. (a) Naći zapreminu tijela ograničenog površinama x2 + y 2 + z 2 = 3a2 i x2 + y 2 = 2az, (z ≥ 0). (b) Odredite moment inercije tijela u odnosu na z−osu ako je gustina tijela direktno proporcionalna rastojanju od z−ose. 3. Izračunati Z I=

(x + z)dS

,

S

ako je S cilindar y 2 + z 2 = 9 između x = 0 i x = 4 u prvom oktantu. 4. Riješite slijedeće diferencijalne jednačine: (a) y 0 x3 = 2y, (b) y 00 + y = ex + x3 uz početne uslove y(0) = 2 i y 0 (0) = 0.

6

Popravni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I (29.08.2012. godine)

STUDENT: (PREZIME I IME)

ZADACI

1. Ako je u = f (x, y) gdje je x = es cos t i y = es sin t, pokazati da vrijedi jednakost:  2  ∂ u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u −2s + =e + 2 . ∂x2 ∂y 2 ∂s2 ∂t (25%) 2. Površinska gustoća površi u obliku konusa p z = 4 − 2 x2 + y 2 ,

0≤z≤4 ,

je proporcionalna rastojanju od z-ose. (a) Odrediti ukupnu masu date površi. (b) Odrediti momente inercije površi u odnosu na z, x i y−osu. (25%) 3. (a) Ispitati da je vektorsko polje F~ = (2xz 3 + 6y)~i + (6x − 2yz)~j + (3x2 z 2 − y 2 )~k konzervativno polje? Z (b) Izračunati F~ · d~r, gdje je C proizvoljna kriva koja spaja tačke (1, −1, 1) i C

(2, 1, −1). Koji je fizikalni smisao dobijenog rezultata? (25%) 4. Primjenom metode varijacije konstante riješiti diferencijalnu jednačinu y 00 + y 0 − 2y = sin x . (25%)

7

Univerzitet u Sarajevu

Odsjek za fiziku, Prirodno-matematički fakultet

Popravni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I 29.08.2013. godine

ZADACI

1. Pod pretpostavkom da su φ i ψ diferencijabilne funkcije dovoljan broj puta, dokazati jednakost ∂2u ∂2u ∂2u −2 + 2 =0 , 2 ∂x ∂x∂y ∂y ako je u = xφ(x + y) + yψ(x + y).(15%) p 2. Tijelo ograničeno površinama z = 0 i z = 4 − x2 − y 2 (x > 0, y > 0) ima zapreminsku gustoću koja je proporcionalna rastojanju od z−ose. Skicirajte ovo tijelo u xyz koordinatnom sistemu i odrediti: a) zapreminu tijela, b) masu tijela, c) moment inercije u odnosu na z−osu. (30%) Z p 3. Izračunati linijski integral x2 + y 2 ds ako je C kružnica x2 + y 2 = ax. (15%) C

4. Toplotni izvor malih dimenzija postavljen u ishodištu koordinatnog sistema uzrokuje temperaturni gradijent u prostoru u neposrednoj blizini tako je temperatura u tački sa koordinatama (x, y, z) data sa T (x, y, z) =

x2

C + y2 + z

,

gdje je C pozitivna konstanta. Naći toplotni fluks Φ, tj. količinu toplote Q koja u jedinici vremena prođe kroz površinu paraboloida z = 4 − x2 − y 2 . (20%) 5. Riješiti diferencijalnu jednačinu d2 y dy + tgx = sin(2x) . 2 dx dx (20%)

1

Univerzitet u Sarajevu

Odsjek za fiziku, Prirodno-matematički fakultet

Popravni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I 19.12.2012. godine

1. Izvesti izraz za Laplaceov operator ∆ =

∂2 ∂2 ∂2 + + u sfernim koordinatama. (20%) ∂x2 ∂y 2 ∂z 2

2. Tanki metalni lim savijen u obliku paraboloida y = x2 + z 2 između ravni y = 1 i y = 4. ima površinsku gustoću koja je obrnuto proporcionalna rastojanju od y−ose. (a) Odrediti masu lima. (b) Odrediti položaj centra mase lima. (30%) 2 ~ 3. Čestica pod uticajem sile F~ (x, y) = x~i + (x3 + √3xy )j kreće se duž x−ose od tačke (−2, 0) do tačke (2, 0), a zatim duž polukruga y = 4 − x2 do početne tačke. Odrediti rad sile duž ove krive. (15%)

~ y, z) = (y + z)~i + (x + z)~j + (x + y)~k kroz površinu 4. Naći fluks vektorskog polja A(x, paraboloida z = 9 − x2 − y 2 (z > 0). (20%) 5. Naći opšte rješenje nehomogene linearne jednačine drugog reda y 00 +3y 0 −4y = x2

1

. (15%)

Univerzitet u Sarajevu

Odsjek za fiziku, PMF Sarajevo

Prva zadaća iz predmeta Matematičke metode fizike I 1. Pokazati da funkcija F (x + y − z, x2 + y 2 ) = 0 zadovoljava jednačinu x

∂z ∂z −y =x−y ∂y ∂x

.

2. Tri vrste alela1 A, B i O određuju četiri krvne grupe tipa A (AA ili AO), B (BB ili BO), O (OO) i AB. Osoba čija grupa je AA, BB ili OO je homozigot, dok osoba sa krvnom grupom AB, AO, ili BO je heterozigot. Prema Hardy - Weinbergovom zakonu udio heterzigota u ljudskoj populaciji je dat formulom P = 2pq + 2pr + 2rq

,

gdje su p, q, i r udjeli alele A, B i O u populaciji, respektivno. Koristeći se uslovom p + q + r = 1 dokazi da je najveća moguća vrijednost koju može imati veličina P jednaka 23 . 3. Izračunati integral ZZ (x − y)dxdy

,

D

ako je oblast integracije D ograničena funkcijama y 2 = 3x i y 2 = 4 − x. √

y=

y

3x

3 2 y=

1

√

4−x x

1 1

2

3

4

Alele su grupe gena koje formiraju krvnu grupu kod čovjeka.

1

Univerzitet u Sarajevu

Odsjek za fiziku, PMF Sarajevo

4. Tijelo nastalo presjekom površine z = x2 + y 2 i cilindra x2 + y 2 = a2 ima zapreminsku gustoću koja zavisi od prostornih koordinata, ρ = xy. Odrediti: (a) Ukupnu masu tijela. (b) Koordinate centra mase. (c) Momente inercije u odnosu na x, y i z osu.

2

Završni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I (09.01.2013. godine)

STUDENT: (PREZIME I IME)

ZADACI

1. Pod pretpostavkom da je funkcija z = f (x, y) dovoljno puta diferencijabilna i ako su ∂z ∂ 2 z varijable x i y date funkcije x = r2 + s2 i y = 2rs, naći i . (10%). ∂r ∂r2 2. Odrediti veličinu osjenčene površine koja je ograničena kardioidom r = 2(1 + cos ϕ) i kružnicom r = 2 (pogledati sliku) (10%). y 2 1 −2

x

−1

1

2

3

4

1 2

3. (a) Odrediti zapreminu tijela koje je s gornje strane ograničeno sferom x2 +y 2 +z 2 = 3a2 , a s donje strane paraboloidom x2 + y 2 = 2az (z ≥ 0) . (20%) (b) Odrediti masu ovakvog tijela ako je gustina tijela direktno proporcionalna rastojanju od z−ose. (10%) Z x2 y2 + = 1 od tačke (5, 0) do 4. Izračunati 2xydx + (x2 + y 2 )dy ako je C dio elipse 25 16 C tačke (0, 4). (20%) 5. (a) Riješiti diferencijalnu jednačinu y 00 − 4y 0 + 4y = e2x . (15%) (b) Naći rješenje diferencijalne jednačine (x2 + 1)y 00 − 2y = 0 u obliku beskonačnog reda. (15%)

Univerzitet u Sarajevu

Odsjek za fiziku, Prirodno-matematički fakultet

Završni ispit iz predmeta Matematičke metode fizike I 27.01.2014.

1. Ako je u = f (x, y) gdje je x = es cos t i y = es sin t, pokazati da vrijedi jednakost:  2  ∂ u ∂ 2u ∂ 2u ∂ 2u −2s . + =e + 2 ∂x2 ∂y 2 ∂s2 ∂t (15%) 2. Gustina tijela nastalog presjekom sfere x2 + y 2 + z 2 = 16 i cilindra x2 + y 2 = 4x je proporcionalna rastojanju od z-ose. Skicirati ovo tijelo u xyz koordinatnom sistemu i odrediti: a) Ukupnu površinu tijela. (15%) b) Ukupnu masu tijela. (15%) c) Naći položaj centra mase tijela. (10%) Z x2 y2 2xydx + (x2 + y 2 )dy ako je C dio elipse 3. Izračunati + = 1 od tačke (5, 0) 25 16 C do tačke (0, 4). (20%) 4. Na linearni harmonijski oscilator mase m i vlastite frekvencije ω0 djeluje periodična sila F = F0 cos(ωt) i sila otpora −cv. Naći rješenje odgovarajuće Newtonove jednačine kretanja za slučaj kada je c < 2mω0 uz početne uslove x(0) = 0 i v(0) = v0 . (25%) NAPOMENA: svaki zadatak treba uraditi detaljno bez preskakanja koraka u računu. Pisanje komentara i crtanje skice pri izradi je obavezno.

1

Univerzitet u Sarajevu

Odsjek za fiziku, PMF Sarajevo

Prva zadaća iz predmeta Matematičke metode fizike I 1. Naći maksimalnu i minimalnu vrijednost funkcije f (x, y, z) = 3x + 2y + 4z tako da su zadovoljene jednačine x − y + 2z = 1 i x2 + y 2 = 4. ZZ (x2 +y 2 )dxdy ako je D oblast koja je ograničena 2. Izračunati integral D

funkcijama y = x2 , y = 1 i x = 0. Zadatak uraditi na dva načina. √ 3. Izračunati površinu koja je ograničena funkcijama y = x2 i y = 2 − x. 4. Bespilotna letjelica prati kretanje ratnog broda duž obale Afrike. Letjelica se kreće po putanji koja je određena sa x1 = 20 sin(12t),

y1 = 20 sin(12t),

z1 = 3 .

Brod plovi po putanji koja je određena sa x2 = 30 + 20t,

y2 = 40 + 10t2 ,

z2 = 0 .

Koordinate x, y i z su izražene u kilometrima, a vrijeme t u satima. Odrediti brzinu promjene rastojanja između letjelice i broda nakon t = 1h. 5. Izračunati zapreminu tijela koje je ograničeno plohom x2/3 + y 2/3 + z 2/3 = a2/3 . Zadatak riješiti pomoću poopštenih polarnih koordinata x = r cos3 ϕ i y = r sin3 ϕ. Napomena: pri prelasku na poopštene polarne koordinate potrebno je izračunati Jacobijan transformacije.

1