Doi Xung Truc

Ngày 29 tháng 9 năm 2009 1. Tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Gọi E và F theo thứ tự là các điểm đối xứng của H qua AB và AC. a) Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn EF . b) Chứng minh rằng BC = BE + CF . 2. Cho tam giác ABC, các phân giác BM và CN cắt nhau tại I. Từ A hạ các đường vuông góc với BM và CN , chúng cắt BC theo thứ tự tại E và F . Gọi I 0 là hình chiếu của I trên BC. Chứng minh rằng E và F đối xứng nhau qua trục II 0 . 3. Cho tam giác ABC cân tại A. Điểm M bất kì thuộc cạnh BC. Hạ M E, M F lần lượt vuông góc với AB và AC. Gọi E 0 là điểm đối xứng của E qua BC. a) Chứng minh rằng E 0 , M, F thẳng hàng. b) Gọi BH là đường cao của tam giác ABC. Chứng minh BH = E 0 F . c) Chứng minh rằng BH = M E + M F . 4. Cho 4ABC cân tại A. Trên cạnh AB lấy điểm E. Trên tia đối của tia CA lấy điểm F sao cho CF = BE. Vẽ tia Bx⊥AB và tia Cy⊥AC. Gọi I là giao điểm của Bx và Cy. a) Chứng minh 4IEF cân. b) Qua E vẽ đường thẳng song song với BC cắt AC tại D. Chứng minh rằng CD = CF . c) Gọi H là giao điểm của EF và BC. Chứng minh E, F đối xứng qua IH. 5. Cho 4ABC, gọi Cx là phân giác ngoài của góc C. Trên tia Cx lấy điểm M (M 6= C). Chứng minh rằng M A + M B > CA + CB. 6. a) Cho hai điểm A, B nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ là đường thẳng d. Tìm trên d một điểm P sao cho P A + P B bé nhất. b) Cho hai điểm A, B nằm về hai phía của đường thẳng d. Tìm trên d một điểm P sao cho |P A − P B| lớn nhất. d và một điểm A nằm trong góc đó. Hãy tìm điểm 7. Cho góc nhọn xOy B trên Ox, điểm C trên Oy sao cho 4ABC có chu vi nhỏ nhất.

1

d và hai điểm A, B nằm trong góc đó. Hãy tìm điểm 8. Cho góc nhọn xOy M trên Ox, điểm N trên Oy sao cho tổng các độ dài AM + M N + N B nhỏ nhất.

9. Cho 4ABC và điểm M nằm trong tam giác. Gọi M1 , M2 , A0 lần lượt là các điểm đối xứng của M qua AB, AC và đường phân giác AN của góc A. a) Chứng minh rằng AA0 là đường trung trực của đoạn M1 M2 . b) Gọi B 0 , C 0 lần lượt là các điểm đối xứng của M qua các đường phân giác của góc B và C, Chứng minh rằng các đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 đồng quy. 10. Cho 4ABC. Trên cạnh AC, dựng điểm M sao cho chu vi 4ABM bằng độ dài cạnh BC.

2