Document Inhoud 00_introductiecursus_a4 Def3.pdf
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Document Inhoud 00_introductiecursus_a4 Def3.pdf as PDF for free.
More details
- Words: 36,570
- Pages: 174
FACULTEIT INDUSTRIËLE INGENIEURSWETENSCHAPPEN CAMPUS GROEP T LEUVEN
INTRODUCTIECURSUS BASISWETENSCHAPPEN WISKUNDE & CHEMIE
Inhoud Algebra 1. Reële getallen
2
1.1
Machten van een reëel getal met gehele exponent
2
1.2
Een n-de machtswortel uit een reëel getal
3
1.3
Machten met rationale exponent
4
1.4
Eigenschappen van de worteltrekking
5
1.5
Het wortelvrij maken van de noemer
6
1.6
Logaritmen van een reëel getal
6
1.7
Oefeningen
7
2. Veeltermen met reële coëfficiënten in 1 onbepaalde x
9
2.1
Definitie
9
2.2
Nulpunt
9
2.3
Merkwaardige producten
9
2.4
Deling
10
2.5
Oefeningen
13
3. Vergelijkingen en ongelijkheden
14
3.1
Vergelijkingen in IR
14
3.2
Ongelijkheden in IR
17
3.3
Oefeningen
23
4. Absolute waarde van een reëel getal
25
4.1
Definitie
25
4.2
Eigenschap
26
4.3
Bewerkingen
26
4.4
Toepassing: verloop van een functie gedefinieerd met modulus-tekens
26
4.5
Oefeningen
28
5. Matrices en determinanten
29
5.1
Matrices
29
5.2
Determinanten
34
5.3
Oefeningen
38
6. Stelsels
40
6.1
Stelsels van n vergelijkingen en n onbekenden
40
6.2
Stelsels lineaire ongelijkheden met 1 onbekende
42
6.3
Oefeningen
43
Analytische meetkunde 1. Vectoren en rechten
2
1.1
Vectoren
2
1.2
Rechten
3
1.3
Evenwijdige rechten
6
1.4
Het Euclidisch vectorvlak
7
1.5
Hoeken
8
1.6
Loodrechte stand van 2 rechten
9
1.7
Afstand van een punt tot een rechte
10
1.8
Oefeningen
11
2. Kegelsneden
16
2.1
Inleiding
16
2.2
De cirkel
16
2.3
De parabool
17
2.4
Oefeningen
19
Analyse 1. Relaties, functies, afbeeldingen, bijecties
2
2. Uitgebreide verzameling der reële getallen: IR
2
3. Continuïteit van een functie in IR
4
3.1
Voorbeelden
4
3.2
ε − δ - definitie
5
4. Limiet van een functie in IR
5
4.1
Voorbeelden
5
4.2
ε − δ - definitie
7
4.3
Algemene stellingen
8
4.4
Onbepaaldheden
8
4.5
Opgaven
5. Afgeleiden
11 14
5.1
Afgeleide van een functie in een punt (x0 , y 0 )
14
5.2
Linker- en rechterafgeleide
15
5.3
Verticale raaklijn
16
5.4
Regels voor de berekening van de afgeleide functies
16
5.5
Opgaven
17
6. Onbepaalde integraal
20
6.1
Primitieve functies
20
6.2
Onbepaalde integraal
21
6.3
Eigenschappen
21
6.4
Fundamentele integralen
21
6.5
Substitutiemethode
21
6.6
Opgaven
22
6.7
Partiële integratie
25
6.8
Opgaven
25
7. Bepaalde integraal
26
7.1
Grondstelling
26
7.2
Integratiemethoden
26
7.3
Opgaven
28
Goniometrie 1. Hoeken
2
1.1
De goniometrische cirkel
2
1.2
Georiënteerde hoeken
2
1.3
Omzetting radialen naar graden en omgekeerd
3
2. De goniometrische getallen
4
2.1
Definities
4
2.2
Enkele bijzondere hoeken en hun goniometrische getallen
5
2.3
Tekenverloop van de goniometrische getallen
5
2.4
Hoofdformule en afgeleide formules
6
2.5
Voorbeelden
6
2.6
Goniometrische getallen van aanverwante hoeken
7
2.7
Oefeningen
9
3. De goniometrische functies
11
3.1
Periodieke functies
11
3.2
Even en oneven functies
11
3.3
Sinusfunctie
11
3.4
Cosinusfunctie
12
3.5
Tangensfunctie
12
3.6
Cotangensfunctie
12
3.7
De secansfunctie
13
3.8
De cosecansfunctie
13
3.9
Oefeningen
14
4. Rechthoekige driehoeken
15
4.1
Formules
15
4.2
Oefeningen
16
5. Willekeurige driehoeken
18
5.1
De sinusregel
18
5.2
De cosinusregel
18
5.3
Oplossen van een willekeurige driehoek
19
5.4
Oefeningen
20
6. Aanvullingen
22
6.1
Speciale lijnen in een driehoek
22
6.2
Gelijkbenige driehoeken
22
6.3
Gelijkzijdige driehoeken
23
6.4
Buitenhoeken
24
7. Goniometrisch rekenen
25
7.1
Som- en verschilformules
25
7.2
Verdubbelingsformules
26
7.3
Halveringsformules
26
7.4
Goniometrische getallen in functie van tan α/2
26
7.5
Omzettingen van som/verschil naar product en omgekeerd
27
7.6
Oefeningen
28
Chemie 1. Inleiding
2
1.
Praktische informatie
2
2.
Chemie en chemische technologie
2
3.
Materia
2
2. Het atoom
4
1.
Atomen en materie
4
2.
De bouw van het atoom
4
3.
Isotopen
5
4.
Voorstelling van een atoom
6
5.
Atoommassa
7
6.
Het begrip mol
8
7.
Molaire massa
9
8.
De periodieke tabel
10
9.
De elektronenstructuur van atomen
10
10.
Ionen
11
11.
Oefeningen
12
3. De molecule
14
1.
Inleiding
14
2.
De chemische binding
14
3.
De molecuulformule
17
4.
Moleculen en ionen
17
5.
Molecuulmassa
17
6.
Molaire massa van een molecule
18
7.
De oxidatietoestand van een atoom in een molecule
18
8.
Oefeningen
19
4. Soorten verbindingen en naamgeving
21
1.
Classificatie van chemische verbindingen
21
2.
Soorten chemische verbindingen
21
3.
Oefeningen
28
5. Het gedrag van verbindingen
29
1.
Inleiding
29
2.
Water
29
3.
Oplosbaarheid
29
4.
Elektrolytgedrag
30
6. Chemische reacties
32
1.
Definitie
32
2.
Wet van behoud van materie
32
3.
De reactievergelijking
32
4.
Soorten chemische reacties
33
5.
Oefeningen
38
Algebra
Dr. Caroline Danneels
1 Reële getallen 1.1 Machten van een reëel getal met gehele exponent ∀ a ∈ IR en ∀ n ∈ IN 0 : a n = a.a....a (n factoren) ∀ a ∈ IR 0 : a 0 = 1
( ) = (a )
∀ a ∈ IR 0 en ∀ n ∈ IN : a − n = a −1
n
n
−1
=
1 an
Eigenschappen: a, b ∈ IR en m, n ∈
a m ⋅ a n = a m+ n am
an
= a m−n
( ab )n = a n ⋅ bn n
an a = bn b
(a ) m
n
= a m⋅n
Voorbeeld:
(a ) −2
−3
( )
⋅ a 4 ab3
b 2 a
−5
−2
3
a ⋅ −2 = ab5 b
Tekenregel: als n even is, dan is ( − a ) = a n n
als n oneven is, dan is ( − a ) = − a n n
_____________________________________________________________________________ Algebra 2
1.2 Een n-de machtswortel uit een reëel getal Een n-de (n ∈ IN0 ) machtswortel uit een reëel getal a is elk reëel getal x waarvan de n-de macht gelijk is aan het gegeven getal.
of ∀ x, a ∈ IR, ∀ n ∈ IN 0 : x is de n-de machtswortel uit a ⇔ x n = a Is n oneven en a ∈ IR dan heeft a in IR één n-de machtswortel, genoteerd als:
n
a
Voorbeelden: 3
8 = 2 want 2 3 = 8
3
− 8 = − 2 want (− 2) = −8 3
Is n even en : +
a ∈ IR 0
dan heeft a in IR twee n-de machtswortels die elkaars tegengen n stelde zijn en genoteerd worden als a en − a . We maken hier de afspraak dat voorstelt; zo is 4 16 = 2 > 0.
n
a een positief geheel getal
Voorbeeld: 4 heeft 2 vierkantswortels 4 = 2 en − 4 = − 2 dan heeft a in IR één n-de machtswortel nl. 0
a=0 −
a ∈ IR 0
dan heeft a in IR geen n-de machtswortel.
Afspraak: n
an = a
− n an = − a
We beperken ons nu tot de vorm a waar a ∈ IR + , wat niet schaadt aan de algemeenheid van a < 0 en n even dan bestaat n a niet de regels, want als n + n a < 0 en n oneven dan schrijven we a als - a met a ∈ IR n
_____________________________________________________________________________ Algebra 3
1.3 Machten met rationale exponent Definitie: ∀ a ∈
IR 0+ ,
∀ m ∈ , ∀ n ∈ IN 0
m :an
= n am
Toepassingen: 1
1. a n = n a −
2. a
3.
np
m n
a
=
mp
1 n
am
=a
mp np
=
m an
= n am
Rekenregels: ∀ a, b ∈ IR 0+ en ∀ q, q' ∈ : a q ⋅ a q ' = a q+q '
aq
a
q'
= a q −q '
( ab )q
= aq ⋅ bq
q
aq a = q b b
(a ) q
q'
= a q⋅ q '
_____________________________________________________________________________ Algebra 4
1.4 Eigenschappen van de worteltrekking 1.4.1 Vermenigvuldiging en deling
∀ a, b ∈ IR + , ∀ n ∈ IN 0 : n ab = n a n b ∀ a ∈ IR + , ∀ b ∈ IR 0+ ; ∀ n ∈ IN 0 : n
a = b
n
a
n
b
Voorbeelden: 4
8 4 2 = 4 16 = 2
4
a3
3
=
a
12
a9
12
4
a
= 12 a 5
1.4.2 Machtsverheffing en worteltrekking
∀ a ∈ IR + , ∀ n ∈ IN 0 , ∀ m ∈ IN:
( a) n
∀ a ∈ IR + ; ∀ m,n ∈ IN 0 : m n a = mn a =
m
= n am
nm
a
Voorbeelden: 3
3
82 =
( 8) 3
8=
3
2
= 22 = 4
8= 2
1.4.3 Optelling en aftrekking
∀ a ∈ IR + , ∀ n ∈ IR 0 , ∀ p, q, r ∈ IR : p n a + q n a − r n a = ( p + q − r ) n a Voorbeeld: 3
3
3
3
3
3
3
24 + 5 3 − 81 = 2 3 + 5 3 − 3 3 = 4 3
_____________________________________________________________________________ Algebra 5
1.5 Het wortelvrij maken van de noemer a
=
a b b
1
=
b
a± b 1 3
a±3b
a∓ b a−b 3
=
a 2 ∓ 3 ab + 3 b 2 a±b
1.6 Logaritmen van een reëel getal Laat a het grondtal van een logaritmenstelsel zijn (a > 0, a ≠ 1), x ∈ IR 0+ , y ∈ IR dan y y = log a x ⇔ x = a We noemen y de logaritme van x t.o.v. het grondtal a ( of met basis a). Benamingen: •
Indien a = e (getal van Euler), dan spreken we van natuurlijke logaritme, notatie ln x. ln 1 = 0
•
ln e = 1
Indien a = 10, dan spreken we van de Briggse logaritme, notatie log x. log 1 = 0 log 10 = 1
Eigenschappen: 1. log a bewaart de orde als a > 1 en keert de orde om als 0 < a < 1 2. log a a = 1
log a 1 = 0
Bewerkingen: +
∀ x,y ∈ IR 0 :loga xy = loga x + loga y ∀ x, y ∈ IR +0 : log a ∀ x ∈ IR0 : loga (x +
+
x = loga x − log a y y
−1
∀ x ∈ IR 0 ; ∀ z ∈
)= − log a x : loga (xz ) = z . log a x
∀ x ∈IR +0 ; ∀ n ∈IN 0 : log a x = n
1 . log a x n
_____________________________________________________________________________ Algebra 6
1.7 Oefeningen 1.7.1 Vereenvoudig ( a,b,c ∈ IR 0+ )
1.
( ) ) (b c )
a −7 a 2 b 3 c 4
( abc
3
10
2.
3 19
( −2 )
2
+ ( −2 )
5.
n
2
4
2
opl.: 6
2n a n +1b n +2
1 18
2 a3
opl.:2ab n ab 2
32a 4 b5
4
a6
opl.:
( −2a b ) ( −4a ) ( −a ) ( −a )( −2ab ) 4
4.
−2
−2
3
b9 c16
opl.:
2−3 + 3−2
3 4
3.
2
opl.:
6 8
81c d
2 4 6. − (−25a) b
2ab 3cd
2
4
2b c2
a, b ∈ IR
1.7.2 Bereken
1.
8a 3b12
opl.:b 4 2a
a a a
opl.:8 a7
3 4
2. 4
3.
4.
4a 4
3
2a
3
5
×
5a
opl.:6 2a 4
a 30 3
5. 41,5
2 6. a 3
60a
2
opl.:6
3 2a
opl.:8 −
3 4
−
opl.:a
1 2
_____________________________________________________________________________ Algebra 7
1.7.3 Maak de noemer wortelvrij
1.
1 a −b
2.
3+ 5 5 −1
1
3.
3+ 7
1.7.4 Bereken, ook als de basis a niet gegeven is
1.
3 ⋅ log a 4 log a 2
2. log a
35 25 5 1 + log a − 3log a + log a 36 21 6 2
opl.: 6
opl.: 0
_____________________________________________________________________________ Algebra 8
2 Veeltermen met reële coëfficiënten in 1 onbepaalde x 2.1 Definitie n
a n x + a n−1 x
n −1
an , an−1 ,...., a1 , a0 ∈ IR is een veelterm van de graad n in x, + ... + a1 x + a 0 met n ∈ IN , an ≠ 0
notatie V(x).
2.2 Nulpunt a ∈ IR is een nulpunt van de geassocieerde veeltermfunctie f: IR → IR: x → V(x) als de getalwaarde van deze veelterm in a gelijk is aan nul.
In symbolen: a is een nulpunt van V(x) ⇔ V(a) = 0.
Voorbeeld: −
1 is een nulpunt van V(x) = 6x3 − 7x 2 − 7x − 1 2 3
2
1 1 1 1 want V − = 6 ⋅ − − 7 ⋅ − − 7 ⋅ − − 1 = 0 2 2 2 2
2.3 Merkwaardige producten A, B en C stellen veeltermen voor.
(A + B)( A − B) = A 2 − B2
(A + B) = A 2 + 2AB + B2
(A − B) = A 2 − 2AB + B2
2
2
2
(A + B + C) = A 2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC 3
(A + B) = A3 + 3A 2 B + 3AB2 + B3 3
(A − B) = A3 − 3A 2 B + 3AB2 − B3 A 3 − B3 = (A − B)(A 2 + AB + B2 ) A + B = ( A + B)(A − AB+ B 3
3
2
2
)
_____________________________________________________________________________ Algebra 9
2.4 Deling Bij twee gegeven veeltermen A(x) en B(x) ( B(x) ≠ 0, graad A(x) ≥ graad B(x) ) bestaat juist één veelterm Q(x) en juist één veelterm R(x), waarvoor A(x) = B(x)Q(x) + R(x) en graad R(x) < graad B(x).
2.4.1 Werkwijze A(x)(Deeltal)
B(x)(Deler) _______________
Q(x)(Quotiënt) ______ R(x)(Rest)
Als R(x) = 0 spreekt men van een opgaande deling.
Voorbeeld:
6x4 - 2x3 + -6x4
9x2 - 2x - 2
- 12x2
x2 + 2 _______________
_________________
6x2 - 2x - 3
- 2x3 -
3x2 - 2x - 2
2x3
+ 4x
_____________________ -
3x2 + 2x - 2 3x2
+ 6
_______________ 2x + 4
_____________________________________________________________________________ Algebra 10
2.4.2 Deling van een veelterm door een tweeterm van de vorm x-d met d ∈ IR : regel van Horner
Voorbeeld: (4x3 − 5x + 6): ( x + 2 )
0 −5
4
−2
−8 4 −8
6
16 − 22 11 − 16
Q(x) = 4 x² - 8x + 11 R(x) = - 16
2.4.3 Deelbaarheid door x-d met d ∈ IR 2.4.3.1 Reststelling De rest van de deling van V(x) door x - d is gelijk aan de getalwaarde V(d). Gevolg: V(x) is deelbaar door x-d ⇔ R = V(d ) = 0 Voorbeelden: V ( x) = 3x − 5x + 7 is niet deelbaar door x − 2 want V (2 ) = 9 ≠ 0 2
V ( x) = 2x + 3x − 5x + 12 is deelbaar door x + 3 want V (−3) = 0 3
2
2.4.3.2 Ontbinding in factoren van veeltermen Indien een veelterm in x deelbaar is door x - d geldt dat a0 = -d.q0. Indien V(x) een veelterm is met gehele coëfficiënten is d bijgevolg een gehele deler van a0 (let op: dit is een nodige voorwaarde, geen voldoende voorwaarde!) Om een veelterm met gehele coëfficiënten te ontbinden zoek je eerst de eventuele delers van de vorm x – d met d ∈ . Ga als volgt te werk: 1. zoek de gehele delers van a0 2. controleer voor welke delers de functiewaarde van V(x) 0 is. 3. vervolgens, indien zo een deler van a0 wordt gevonden, wordt het quotiënt berekend met de regel van Horner. Zo ga je verder tot de veelterm maximaal ontbonden is. _____________________________________________________________________________ Algebra 11
Voorbeeld: Ontbind x 3 − 4x2 − 17x + 60 Oplossing: We berekenen de functiewaarde van de corresponderende veeltermfunctie V(x) voor de opeenvolgende delers van 60: f (1) = 40 ≠ 0 f (− 1) = 72 ≠ 0 f ( 2) = 18 ≠ 0 f (− 2) = 70 ≠ 0 f (3) = 0
De gegeven veelterm is dus deelbaar door x - 3. Het quotiënt berekenen we met de regel van Horner.
1 −4 d =3 1
− 17
60
3 − 3 − 60 − 1 − 20 0
We vinden x 3 − 4x2 − 17x + 60 = (x − 3)(x2 − x − 20) We onderzoeken nu de deelbaarheid van x 2 − x − 20 door x-d, waarbij d een deler van 20 moet zijn die in absolute waarde ten minste 3 is. We vinden V(-4) = 0. Bijgevolg is x 2 − x − 20 = (x + 4)(x − 5) en dus is x 3 − 4x2 − 17x + 60 = (x − 3)(x + 4 )(x − 5)
2.4.3.3 Coëfficiëntenregels 1. Een veelterm van graad n is deelbaar door x-1 als de som van de coëfficiënten (inclusief de constante term) gelijk is aan nul. Voorbeeld: x − 2x + 2x − 1 is deelbaar door (x − 1) (controleer!) 5
3
2
2. Als de som van de coëfficiënten die bij de oneven machten van x staan gelijk is aan de som van de coëfficiënten die bij de even machten van x staan (inclusief de konstante term), dan is de veelterm deelbaar door (x + 1). Voorbeeld: x + x − x + x − x − 3 is deelbaar door ( x + 1) (controleer!) 5
4
3
2
_____________________________________________________________________________ Algebra 12
2.5 Oefeningen Werk uit (werk zo efficiënt mogelijk): 1.
( x + 2 )( x − 2 ) ( x 2 + 4 )
opl.: x 4 − 16
2.
( 3x + 2 ) ( 9 x 2 − 6 x + 4 )
opl.: 27 x3 + 8
3.
(9x
4.
( 20 x
5.
(8x -20x
+ x 3 + 1) : ( − x 2 + x + 1)
4
3
2
− 7 x 3 + 3 x − 2 ) : ( x − 3) met Horner 2
+2x-2 ) : ( 2x-1) met Horner
opl.: Q = -9 x 2 -10 x -19, R = 29 x + 20 opl.: Q = -7 x 2 − x, R = −2 opl.: Q = 4 x 2 − 8 x − 3, R = −5
6. Voor welke n ∈ IR is 3 x 3 + 2nx 2 − 5nx + 10 deelbaar door x + 1 ? Bepaal daarna, voor de gevonden n, het quotiënt. opl.: n = −1, Q = 3 x 2 − 5 x + 10
7. Ontbind in factoren: 8 x 4 − 20 x3 + 18 x 2 − 7 x + 1
opl.: ( x-1)( 2 x − 1)
3
_____________________________________________________________________________ Algebra 13
3 Vergelijkingen en ongelijkheden 3.1 Vergelijkingen in IR 3.1.1 Definitie Een vergelijking is een uitspraakvorm van de gedaante A = B. Hierbij zijn A en B twee uitdrukkingen waarvan er tenminste één een veranderlijke (de onbekende genoemd) bevat.
3.1.2 Oplossen van vergelijkingen Een vergelijking in IR oplossen betekent alle reële getallen bepalen waarvoor de uitspraakvorm een ware uitspraak wordt. Voorbeeld: 2 opl (7x 2 − 2 = 5x ) = 1, − 7
Twee vergelijkingen zijn gelijkwaardig als hun oplossingenverzameling dezelfde is. Voorbeeld:
( 4 x + 3 = 0 ) ⇔ −3x =
9 4
9 3 want opl(4 x + 3 = 0) = opl −3x = = − 4 4
Stellingen over gelijkwaardige vergelijkingen: 5. (A = B) ⇔ (A + C = B + C) de overbrengingsregel. 6. (A = B) ⇔ (mA = mB) met m ∈ IR 0 7. Is V de oplossingsverzameling van A.B.C = 0; V1, V2 en V3 de oplossingenverzameling resp. van A=0, B=0, C=0 dan is V = V1 ∪ V 2 ∪ V 3 8. (A.C = B.C) ⇔ (A = B ∨ C = 0)
_____________________________________________________________________________ Algebra 14
Belangrijke gevolgen: a) neemt men A = B ⇒ A.C.= B.C dan loopt men gevaar oplossingen in te voeren. Voorbeeld:
x2 4 +1 = + 2x x−2 x−2 ⇒ x2 + (x − 2 ) = 4 + 2x( x − 2) ⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ ( x − 3)(x − 2) = 0 ⇔ (x = 3 ∨ x = 2 ) ↓ ingevoerd dus los op als volgt: ⇔ x2 + (x − 2 ) = 4 + 2x(x − 2) ∧ x ≠ 2 ⇔ x =3 dus opl = {3}
Onthoud: voor we een noemer verdrijven die de onbekende bevat, moeten we vooraf als voorwaarde stellen dat deze noemer verschilt van nul.
b) Neemt men A.C = B.C ⇒ A = B dan loopt men gevaar oplossingen te verduisteren.
Voorbeeld:
(x − 1)(x + 2 ) = (3x + 2 )(x + 2 ) ⇔ x − 1 = 3x + 2 ⇔ 2x + 3 = 0 3 ⇔ x = − : 1 oplossing verloren 2 dus los op als volgt: ⇔ ( x + 2 )(2x + 3) = 0 ⇔ x + 2 = 0 ∨ 2x + 3 = 0 3 2 3 dus opl = − , − 2 2 ⇔ x = −2 ∨ x = −
_____________________________________________________________________________ Algebra 15
3.1.3 Bespreking van de lineaire vergelijking ax+b = 0; a,b ∈ IR (a en b hangen af van een parameter)
b (= enige oplossing) a 2. a = 0 0x + b = 0 ⇔ 0x = −b
1. a ≠ 0 ax + b = 0 ⇔ x = −
(een valse vergelijking ) (een identieke vergelijking )
als b ≠ 0 dan is opl = ∅ als b = 0 dan is opl = IR
Voorbeeld:
(eigenlijke oplossing )
2
px − m = 3x − 9 p en m parameters; p, m ∈ IR
⇔ (p - 3)x = m 2 - 9 m2 − 9 p−3
1. p ≠ 3
x=
2. p = 3
0x = m − 9
2
als m = 3 ∨ m = -3 dan is 0x = 0 ⇒ opl = IR als m ≠ 3 ∧ m ≠ -3 dan is opl = ∅
3.1.4 Oplossen van de tweedegraadsvergelijking in 1 onbekende Standaardvorm ax 2 + bx + c = 0 met a ∈ IR 0 ; b,c ∈ IR De discriminant opzoeken ∆ = b2 − 4ac Als
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0
dan heeft ax² + bx + c = 0 twee verschillende wortels −b − ∆ −b + ∆ en x 2 = 2a 2a dan heeft ax² + bx + c = 0 twee gelijke wortels -b x1 = x 2 = 2a dan heeft ax² + bx + c = 0 geen reële wortels x1 =
_____________________________________________________________________________ Algebra 16
Is b een even getal dan kan men gebruik maken van de vereenvoudigde formules. Als b = 2b' dan is ∆ = 4b' 2 − 4ac = 4(b' 2 − ac)= 4∆' en ∆' wordt de vereenvoudigde discriminant genoemd. De wortels zijn dan x1 =
− b' − ∆ ' −b' + ∆ ' , x2 = a a
3.2 Ongelijkheden in IR 3.2.1 Definitie Een ongelijkheid is een uitspraakvorm van de gedaante A < B (of A ≤ B, A > B, A ≥ B). Hierbij zijn A en B twee uitdrukkingen waarvan er tenminste één een veranderlijke bevat. 3.2.2 Oplossen van ongelijkheden Een ongelijkheid in IR oplossen betekent alle reële getallen bepalen waarvoor de uitspraakvorm een ware uitspraak wordt. Voorbeeld: opl (2x(x − 1) > 0 ) = ] − ∞ , 0 [ ∪ ]1, + ∞ [
Twee ongelijkheden zijn gelijkwaardig als hun oplossingenverzameling dezelfde is.
Stellingen over gelijkwaardige ongelijkheden. 1. (A < B) ⇔ (A + C < B + C)
mA < mB als m ∈ IR +0 2. (A < B) ⇔ mA > mB als m ∈ IR 0 In een ongelijkheid verdrijven we de onbekende nooit uit de noemer.
_____________________________________________________________________________ Algebra 17
3.2.3 Bespreking van de lineaire ongelijkheid ax + b > 0; a,b ∈ IR (a en b hangen af van een parameter)
ax + b > 0 ⇔ ax > - b 1. a > 0
ax > − b ⇔ x > −
b
2. a < 0
ax > −b ⇔ x < −
b
3. a = 0
ax > − b ⇔ 0x > − b
a
a
b opl = x ∈ IR x > − a
b opl = x ∈ IR x < − a
b > 0 opl = IR is b ≤ 0 opl = ∅
Voorbeeld: px − 2m + 3 < 2x − p
(p, m ∈ IR)
⇔ (p − 2 )x < 2m − p − 3
Bespreking: 2m − p − 3 1. p > 2 opl = x ∈ IR x < p −2 2m − p − 3 2. p < 2 opl = x ∈ IR x > p −2
3. p = 2
a) 2m − 5 > 0 opl = IR 0x < 2m − 5 b) 2m − 5 ≤ 0 opl = ∅
_____________________________________________________________________________ Algebra 18
3.2.4 Oplossen van kwadratische ongelijkheden in 1 onbekende 2
ax + bx + c ≥ 0 met a ∈ IR0 ; b,c ∈ IR We onderzoeken eerst het teken van het linkerlid en leiden daaruit de gepaste intervallen af waartoe x moet behoren. Daartoe bespreken we de grafiek van de functie y = ax 2 + bx + c . Deze stelt een parabool voor met as van symmetrie // y-as.
y = ax 2 + bx + c op De snijpunten van de parabool met y-as worden verkregen door het stelsel: x = 0 te lossen. Oplossing (S) = {(0,c )}
y = ax 2 + bx + c De snijpunten met de x-as door op te lossen: y = 0 ∆ >0
de parabool snijdt de x-as in de punten
−b − ∆ , 0 en −b + ∆ , 0 2a 2a
∆ =0
b de parabool raakt de x-as in − ,0 2a
∆ <0
de parabool snijdt of raakt de x-as niet.
Verder weten we dat als a > 0 , de parabool met haar holle zijde naar boven gericht ligt en als a < 0 de holle zijde naar onder gericht ligt.
_____________________________________________________________________________ Algebra 19
Samenvatting:
D>0
D=0
x
a>0
D<0
x 1
2
x =x 1 2
x =x 1 2
x
a<0
x
1
2
Uit deze tabel leiden we gemakkelijk het tekenverloop van y = ax 2 + bx + c af: x teken van ax 2 + bx + c
teken van a
x1 0
x2 0
tegengesteld teken van a
teken van a
1. Als a > 0 ⇒ opl(ax 2 + bx + c ≥ 0) =] − ∞, x1 ] ∪ [ x2 , +∞[ 2. Als a < 0 ⇒ opl(ax 2 + bx + c³ ≥ 0) = [ x1 , x2 ]
Voorbeeld: x 2 − 2x − 3 ≤ 0 ⇒ nulpunten zijn –1 , 3 ⇒ tekenonderzoek:
x x − 2x − 3 2
+
x1 0
-
x2 0
+
⇒ Opl = [-1,3]
_____________________________________________________________________________ Algebra 20
3.2.5 Oplossen van gebroken ongelijkheden Voorbeeld 1: Tekenonderzoek van een macht, een product of een quotient van lineaire factoren. x (1 − x) (x + 3) >0 (3 − x)2 (2x + 3) 3
f ( x) =
⇒ tekenonderzoek:
−
-3
x
3 2
0
1
3
x
-
-
-
-
-
0
+
+
+
+
+
1-x
+
+
+
+
+
+
+
0
-
-
-
-
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(3 − x )
+
+
+
+
+
+
+
+
+
0
+
(2x + 3)
-
-
-
0
+
+
+
+
+
+
+
f ( x)
-
0
+
-
0
+
0
-
3
(x + 3)
2
-
3 ⇒ opl ( f(x)>0 ) = −3, − ∪ ]0,1[ 2
Voorbeeld 2: Tekenonderzoek van een macht, een product of een quotiënt van lineaire en kwadratische factoren. f ( x) =
( x − 1) (2x 2 + x + 1) x2 + x − 6
≤0
⇒ nulpunten teller: 1; nulpunten noemer: -3, 2 ⇒ tekenonderzoek:
-3
x
1
2
x −1
-
-
-
0
+
+
+
2x2 + x + 1
+
+
+
+
+
+
+
x2 + x − 6
+
0
-
-
-
0
+
f ( x)
-
+
0
-
+
⇒ opl(f(x) ≤ 0) = ]−∞, −3[ ∪ ]1, 2[
Voorbeeld 3: Tekenonderzoek van een product of een quotiënt van veeltermen. _____________________________________________________________________________ Algebra 21
f (x) =
− x4 + x3 − x + 1 <0 x3 + x 2 + x
⇒ ontbinden ⇒
(x − 1) ( x + 1) (− x 2 + x − 1) x (x 2 + x + 1)
⇒ tekenonderzoek: x
-1
0
1
x −1
-
-
-
-
-
0
+
x +1
-
0
+
+
+
+
+
x
-
-
-
0
+
+
+
− x + x −1
-
-
-
-
-
-
-
x2 + x + 1
+
+
+
+
+
+
+
f ( x)
+
0
-
+
0
-
2
⇒ opl(f(x) < 0) = ]-1,0[ ∪ ]1, +∞[
Voorbeeld 4:
x +2 x+3 ≤ x + 1 x −1
⇔ ⇔
x +2 x+3 − ≤0 x + 1 x −1 −3x − 5 ≤0 (x + 1) ( x − 1)
⇒ tekenonderzoek: −
x
5 3
-1
1
- 3x - 5
+
0
-
-
-
-
-
x+1
-
-
-
0
+
+
+
x-1
-
-
-
-
-
0
+
f (x)
+
0
-
+
-
5 ⇒ opl(f(x) ≤ 0) = - , −1 ∪ ]−1, +∞[ 3
_____________________________________________________________________________ Algebra 22
3.3 Oefeningen 3.3.1 Los op
1.
( x − 5)( 3x + 7 ) = ( x − 5)( 5x + 3)
opl.:{2,5}
2.
( x − 5 )2 − 9 = 0
opl.:{2,8}
3.
6 1 2 − = 2 3x − 1 x 3x − x
4.
1 1 2 + = x−2 x+2 3
5.
12 x 2x − 3 120 = − 3x − 1 2 5 (1 − 3x )
opl.: ∅ opl.:{-1,4} 17 opl.: 3, 6
6. x 2 + 7 x + 3(11 − ax) + 8a = 0 als a ∈ en er 2 gelijke wortels zijn 7. 4 x − 3 >
3x 3 − 2 5
8.
4x − 3 x + 1 x − 5 − > 5 8 2
9.
(3x + 1) 2x < (3x + 2 ) 2x − 3
10.
1 2 3 + ≤ x −1 x − 2 x − 3
(
opl.: x >
24 25
opl.: x > −
71 7
2 3 3 opl.: − , − ∪ , +∞ 3 11 2
)(
opl.: ]−∞, −1[ ∪ [1, 2[ ∪ ]3, +∞[
)
11. ( x − 2 ) 2 x 2 + x − 3 x − 1 − 2 x 2 > 0
12.
opl.: a = -1, x = -5
x −1 x +1 < x +1 x −1
3 opl.: −∞, − ∪ ]1, 2[ 2
opl.: ]−1, 0[ ∪ ]1, +∞[
3.3.2 Los op en bespreek
1. m 2 x − 2 = 4x − m 2.
x x + −2 = 0 p+m p−m
_____________________________________________________________________________ Algebra 23
3.
(p
2
)
− p x = 2x − mp − 2
4. mx - 1 ≤ x + m 5. 2x + 4 > mx + 8 6. m 2 (x − 4) < 4 − x 7. px − 5m 2 + 2m < mx − mp
_____________________________________________________________________________ Algebra 24
4 Absolute waarde van een reëel getal 4.1 Definitie De absolute waarde (of modulus) x van een reëel getal x definiëren we als volgt: ∀ x ∈ IR : x = x als x ≥ 0 = − x als x ≤ 0
Merk op: 1) voor elk van 0 verschillend reëel getal is één van de 2 delen van de definitie van toepassing. Alleen voor 0 zijn beide delen toe te passen maar ze leveren hetzelfde resultaat want 0 = − 0 2) x ∈ IR+
Grafiek:
Men bekomt de grafiek van y = x door het deel van de grafiek van y = x dat onder de x-as ligt te spiegelen rond de x-as.
_____________________________________________________________________________ Algebra 25
4.2 Eigenschap +
∀ x ∈ IR, ∀a ∈ IR : x ≤ a −a≤ x≤a
4.3 Bewerkingen ∀ x,y ∈IR: xy = x. y x −1 = x −1 ,x ≠ 0 ⇓
x x = ,y ≠ 0 y y x+y ≤ x + y
4.4 Toepassing: verloop van een functie gedefinieerd met modulus-tekens Gegeven: f ( x) = x − 3 Gevraagd: schets de grafiek van f Oplossing: Methode 1: uitgaande van de definitie van f zonder modulusstrepen
= x − 3 als x − 3 ≥ 0 f (x) = = − (x − 3) als x − 3 ≤ 0
f (x) = x − 3 als x ≥ 3 = 3 − x als x ≤ 3
(1) (2)
(1) wordt grafisch een halfrechte (3, 0), (4, 1) (2) wordt grafisch een halfrechte (3, 0), (2, 1)
_____________________________________________________________________________ Algebra 26
Methode 2: uitgaande van de grafiek van y = x - 3 •
y = x - 3 wordt voorgesteld door een rechte (0, - 3), (3, 0)
•
om de grafiek van y = x − 3 te vinden, spiegelen we het deel van de grafiek van y = x - 3 dat onder de x-as ligt, rond de x-as.
_____________________________________________________________________________ Algebra 27
4.5 Oefeningen Teken de volgende grafieken in een rechthoekig assenkruis: 1. y = 2 x + 1 2. y = 2 x + 3 + 4 3. y = x 2 − 4 4. y = − 3x 2 + 4 x + 1 5. y = x 2 − 9 + 9 6. y = x − 2 + x + 2 7. y = x − 1 − x 2 − 4
_____________________________________________________________________________ Algebra 28
5 Matrices en determinanten 5.1 Matrices 5.1.1 Definitie
Een m x n matrix A is een rechthoekige tabel van m×n reële (of complexe) getallen, bestaande uit m rijen en n kolommen. Algemeen:
a11 ( a ij ) = a 21 A mxn ... a m1
a12
a13
a 22 ... a m2
a 23 ... a m3
... a1n ... a 2n ... ... ... a mn
De elementen a ij worden voorzien van dubbele indices. De eerste index wijst het rangnummer van de rij van het beschouwd element aan, de tweede het rangnummer van de kolom. Aldus staat a 23 op de tweede rij en in de derde kolom. De verzameling van alle m×n matrices wordt voorgesteld door IR m x n of door C m x n al naargelang de elementen a ij reële of complexe getallen zijn. m en n worden de dimensies van de matrix genoemd. 5.1.2 Gelijke matrices
Twee matrices A en B heten gelijk als en slechts als: •
ze gelijke dimensies hebben,
•
hun gelijkstandige elementen gelijk zijn.
i = 1, 2, 3, ...m A = (a ij )en B = (b ij ) dan is A = B ⇔ a ij = b ij met j = 1, 2, 3, ...n
(a ) = (b )⇔ a ij
ij
ij
= bij
_____________________________________________________________________________ Algebra 29
5.1.3 Optelling van matrices met gelijke dimensies
Gelijkstandige elementen worden opgeteld.
(a )+ (b ) = (a ij
ij
ij
+ b ij )
Voorbeeld:
2 4 6 1 4 0 2 + 1 4 + 4 6 + 0 3 8 6 3 5 7 + 0 2 −3 = 3 + 0 5 + 2 7 − 3 = 3 7 4
Eigenschappen: 1. een inwendige bewerking A, B ∈ IR m x n : A + B ∈ IRm x n 2. commutativiteit: A + B = B + A 3. associativiteit: (A + B) + C = A + (B + C) 4. de nulmatrix 0 (alle a ij = 0) is neutraal element. A + 0 = A 5. bij iedere matrix A = (a ij ) hoort een tegengestelde matrix − A = (− a ij )
IR mxn ,+ is een commutatieve groep
5.1.4 Vermenigvuldiging van een reëel getal en een matrix
∀ r ∈ IR: r (a ij )= (r.a ij ) Het reëel getal wordt scalair genoemd en de bewerking heet scalaire vermenigvuldiging.
Voorbeeld:
1 0 3 0 3 2 3 = 6 9 0 −1 0 −3
_____________________________________________________________________________ Algebra 30
Eigenschappen: 1. inwendige bewerking: ∀ r ∈ IR,∀ A ∈ IR m x n : r A ∈ IR m x n 2. de scalair 1 is neutraal element: ∀ A ∈ IR m x n :1.A = A 3. associativiteit: ∀ r, s ∈ IR, ∀ A ∈ IR m x n : (rs)A = r(sA ) 4. distributiviteit t.o.v. de optelling in IR m x n : r(A + B) = rA + rB 5. distributiviteit t.o.v. de optelling in IR : (r + s)A = rA + sA
Bovendien is IR m x n , + een communatieve groep; Besluit: IR, IR mxn ,+ is een reële vectorruimte
5.1.5 Getransponeerde matrix
Schrijft men de rijen van een matrix A als kolommen, zonder de volgorde van die rijen of van de elementen in iedere rij te wijzigen, dan ontstaat de getransponeerde matrix AT van A. De overgang van de ene naar de andere matrix heet transpositie. Merk op: als A ∈IR m x n ⇒ A T ∈IR n x m
a11 a A= 21 ... a m1
a12 a 22 ... a m2
... a1n ... a 2n ... ... ... a mn
a11 a T A = 12 ... a1n
a 21 a 22 ... a 2n
... a m1 ... a m2 ... ... ... a mn
5.1.6 Matrixvermenigvuldiging
( )
( )
Zij A = aij een m×p-matrix en B = bij een p×n-matrix, dan is het product van A en B een
( )
m×n-matrix C = cij waarbij p
cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + ... + aip b pj = ∑ aik bkj ,
i = 1...m, j = 1...n .
k =1
Opgelet: een matrix product A.B bestaat dus dan en alleen dan, als het aantal rijen van B gelijk is aan het aantal kolommen van A.
_____________________________________________________________________________ Algebra 31
Voorbeeld
a11 a 21 a 31 a 41
a12 a 22 b11 a 32 b 21 a 42
4x2 met
b12 b 22
c11 b13 c 21 = b 23 c31 c 41
2x3
c12 c 22 c32 c 42
c13 c 23 c33 c 43
4x3
c11 = a11 b11 + a12 b21 c 23 = a 21 b13 + a 22 b23
Eigenschappen: 1. associativiteit: (A.B).C = A.(B.C) 2. distributiviteit: A.(B + C) = A.B + A.C (A + B).C = A.C + B.C 3. Niet-commutativiteit
Voorbeeld:
1 1 1 2 3 [1 2 3] 1 = [9] terwijl 1 [1 2 3] = 1 2 3 2 2 2 4 6
5.1.7 Vierkante matrices Een vierkante matrix is een matrix met evenveel rijen als kolommen. Het is een matrix van orde n. De elementen a ii met i = 1, 2, 3, ..., n vormen de hoofddiagonaal.
_____________________________________________________________________________ Algebra 32
Bijzondere vierkante matrices: Eenheidsmatrix van de orde n:
a ii = 1 ∀ i, j = 1, 2, ..., n: a ij = 0 als i ≠ j
1 0 E2 = 0 1
1 0 0 E3 = 0 1 0 0 0 1
De eenheidsmatrix van de orde n speelt de rol van neutraal element voor de matrixvermenigvuldiging van matrices van de orde n: A.E = E.A = A.
a b 1 0 a b c d 0 1 = c d 1 0 a b a b 0 1 c d = c d
Nulmatrix 0 is een opslorpend element voor de matrixvermenigvuldiging A.0 = 0.A = 0
a b 0 0 0 0 c d 0 0 = 0 0 Opmerking: er bestaan matrices A en B waarvoor A.B = 0 en A ≠ 0 en B ≠ 0. Deze matrices noemt men nuldelers.
1 −1 1 2
0 0 0
Voorbeeld: = 1 −1 1 2 0
_____________________________________________________________________________ Algebra 33
5.2 Determinanten 5.2.1 Definities
a11
De determinant van een vierkante 2×2-matrix a21 a11 a12 door = a 11a 22 − a 12a 21 . a 21 a 22
a12 noemen we het reële getal gegeven a22
Notatie: det A of A of a ij determinant van de 2de orde.
a11 Stel in wat volgt A = a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
Rang van een element: De rijen van een determinant (of bijhorende matrix) worden genummerd van boven naar onder, de kolommen van links naar rechts. Staat een element in de rij met rangnummer i en in de kolom met rangnummer j, dan noemt men i + j de rang van dat element. Cofactor van een element: Schrapt men in een determinant van orde 3 de rij en de kolom van een element, dan ontstaat een determinant van orde 2. Deze determinant, voorafgegaan van het teken + of - , al naar gelang de rang van het beschouwde element even of oneven is, wordt cofactor van dit element genoemd. (minor als de determinant zonder teken beschouwd wordt.) Notatie: α ij : hangt dus niet af van de getallen uit de rij en kolom waarin het element zich bevindt
Voorbeeld: 2 +1
α 21 = (−1)
a 12 a 13 a 32 a 33
=−
a12
a 13
a 32 a 33
_____________________________________________________________________________ Algebra 34
Definitie: De determinant van een 3×3-matrix is het reële getal dat men vindt door de elementen van een rij of een kolom te vermenigvuldigen elk met hun cofactor en de bekomen producten bij elkaar op te tellen. Kiest men bv. de 1ste rij, dan zegt men dat men de determinant naar de eerste rij ontwikkelt.
Voorbeeld:
3 2 1 A = 2 1 2 3 −2 4
1+ 1
α 11 = (−1)
1
2
−2
4
= 4+ 4 =8
α 12 = (−1)
2 2 = − (8 − 6) = − 2 3 4
α 13 = (−1)
2
1
3
−2
1+2
1+3
= − 4 − 3 = −7
det A = 3.8 + (-2).2 + (-7).1 = 24 - 4 - 7 = 13 kan ook gemakkelijk teruggevonden worden met de Regel van Sarrus.
5.2.2 Eigenschappen van determinanten 1. Een vierkante matrix A en zijn getransponeerde AT hebben gelijke determinanten. det A = det AT 2. Worden twee rijen (kolommen) van een determinant verwisseld dan verandert die determinant van teken. Gevolgen:
•
een determinant met 2 gelijke rijen (kolommen) is nul.
•
de som van de producten van de elementen van een rij (kolom) met de overeenkomstige cofactoren van een andere rij (kolom) is nul. Zie voorbeeld hierboven: a 21α 11 + a 22 α12 + a 23α13 = 2.8 + 1(− 2) + 2.( −7) = 0
_____________________________________________________________________________ Algebra 35
3. Splitst men een rij (kolom) in een som van twee rijen (kolommen) dan is de determinant op overeenkomstige wijze te beschouwen als de som van twee determinanten. a1 + a1 ' a 2 + a 2' a 3 + a 3'
b1 b2 b3
c1 a1 c2 = a2 c3 a3
b1 b2 b3
c1 a1 ' c 2 + a 2' c 3 a 3'
b1 b2 b3
c1 c2 c3
2
1
Voorbeeld: 2 +1
2
1
2
2
1
1
0 + 2 1 2 = 0 1 2 + 2 1 2 = 13 −1 − 2 4 4 −2 4 −1 + 4 −2 4
4. Vermenigvuldigt men een rij (kolom) met een reëel getal k, dan wordt ook de determinant met k vermenigvuldigd. a1
kb1
c1
a1
b1
c1
a2 a3
kb2 kb 3
c2 = k a 2 c3 a3
b2 b3
c2 c3
Gevolgen:
•
bevatten alle elementen van een rij (kolom) eenzelfde factor, dan kan die factor voor de determinant worden geplaatst.
•
een determinant met 2 evenredige rijen (kolommen) is nul.
5. Als men bij een rij (kolom) een veelvoud van een andere rij (kolom) optelt, dan blijft de determinant gelijk. a1
b1
c1
a 1 + kb1
b1
c1
a2 a3
b2 b3
c 2 = a 2 + kb 2 a 3 + kb 3 c3
b2 b3
c2 c3
6. Det (A.B) = det A . det B
_____________________________________________________________________________ Algebra 36
7. Een determinant berekenen door verlaging van de orde. Elke determinant kan door toepassing van de eigenschappen herleid worden tot een determinant waarin een rij of een kolom op één element na alleen nullen bevat. Voorbeeld:
3 4 0 3 4 0 = = 3 4 2 3 1 2 3 1 = −1 = −1(−3 + 4) = −1 2 3 1 r1 − r 3 r 3 − 2r 2 −1 −1 3 5 2 − 1 −1 0 3 5 2 6 9 2
_____________________________________________________________________________ Algebra 37
5.3 Oefeningen x x2 y+5z = 0 2x+5 x+y+z
4 1. Bereken x, y, z als 2 y
Antwoord: x = 2, y = -3, z = 1 2. Vul de door een punt aangeduide plaatsen in:
2 . 5 1 . 6 . 3 + 2 3 . = 11 5 4 3 . 3 4 . 3. Als A een p×q-matrix is en B een r×s-matrix, onder welke voorwaarde bestaan dan de beide producten A.B en B.A ?
Antwoord: q = r en s = p 4. Men geeft de matrices:
0 1 A = 1 0 2 2
1 2 B= 3 4
1 0 1 C= 2 1 3
Bereken achtereenvolgens A.B, (A.B).C, B.C, A.(B.C) en verifieer aldus de associatieve eigenschap. 5. Bewijs dat (A.B)T = BT.AT als
a b c A= , d e f
g h B = i j k l
1 2 6. Bepaal al de matrices B waarvoor A.B = B.A. als A = 3 4 Antwoord: x z
2 z 3 x + z
7. Welk verband bestaat er tussen de matrices B (van de orde 3) en A.B als
1 0 0 1. A = 0 k 0 0 0 1
0 1 0 2. A = 1 0 0 0 0 1
_____________________________________________________________________________ Algebra 38
8. Bereken de volgende determinanten (pas ordeverlaging toe): 3
2
2 1 1 3
0
1. 4 − 2 1 1 3 −4
2.
0 0 3 1 2 3 4 1 1 1 0 1
opl.: 49 9 −5
1 0 0 0 3. 0 0 0 a a 1
4. 2 3 − 1 1 −6 2
5.
8 1
9 1
6 3 5 4 2 3
4 5 7 2 4 1
opl.: 10
opl.: 20
1 0 0 0 0 0
opl.: 1 + a5
opl.: -5
1
0 0 a 0 a 1 a 1 0
a
b c
6. c a b b c a
opl.: a3+b3+c3-3abc
9. Toon aan dat: a
b ck
p q x y
a
b
c
rk = p q r xk yk z z
_____________________________________________________________________________ Algebra 39
6 Stelsels 6.1 Stelsels van n vergelijkingen en n onbekenden 6.1.1 Matrixnotatie
a11 x1 + a12 x 2 +...+ a1n x n = b1 a x + a x +...+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ... a n1 x1 +a n2 x 2 +...+ a nn x n = b n a ij ∈ IR, b i ∈ IR
Stel
a11 a A = 21 ... a n1
a12 a 22 ... a n2
... a1n ... a 2n ∈ IR n x n ... ... ... a nn
x1 x X = 2 ∈ IR n x 1 , ... x n
b1 b B = 2 ∈ IR n x 1 ... b n
⇒ Matrixnotatie: A.X = B Voorbeeld:
-2x + 5y - z = 1 +z =0 x -2y + 3z = -2
⇒
-2 5 -1 A = 1 0 1 , 0 -2 3
x X = y , z
1 B = 0 -2
_____________________________________________________________________________ Algebra 40
6.1.2 Oplossen van een stelsel door eliminatie
Door opeenvolgende eliminaties wordt het gegeven stelsel vervangen door een gelijkwaardig stelsel waarin de eerste vergelijking n onbekenden bevat, de tweede n - 1, de derde n - 2, ... de voorlaatste 2 en de laatste 1. Uit de laatste vergelijking wordt de waarde van de onbekende afgeleid. Door substituties in de vergelijkingen met 2, 3, 4, ..., n onbekenden worden achtereenvolgens de andere onbekenden berekend. Voorbeeld:
−z = 9 x + y x + y − z = 9 x + y − z = 9 1 − 3 ⇒ = 1 −1 3y + 2z = 8 − 1 ⇒ 3y + 2z = 8 x − 2y − 3z 3x + 6y + z = 37 1 3y + 4z = 10 1 2z = 2 x + y = 9 + 1 x = 10 − 2 x = 8 ⇒ y = 2 ⇒ 3y = 8 − 2 ⇒ y = 2 z = 1 z = 1 z = 1 6.1.3 Oplossen van een stelsel met de methode van Cramer.
Zij gegeven een n x n stelsel: Het stelsel A.X = B heeft een unieke oplossing ⇔ A ≠ 0; de oplossing wordt gegeven door xi =
Ai A
waarbij de nxn-matrix Ai als volgt gedefinieerd wordt:
a11 a 21 Ai = ... a n1
a12
... a1 i-1
b1
a1 i+1
a 22 ...
... a 2 i-1 ... ...
b2 ...
a 2 i+1 ...
a n2
... a n i-1
bn
a n i+1
... a1n ... a 2n ... ... ... a nn
Voorbeeld: We hernemen het vb. van 6.1.2.
1 1 −1 A = 1 −2 −3 ⇒ |A| = - 6 3 6 1 9 1 −1 A1 = 1 −2 −3 ⇒ |A1| = - 48 3 6 1 _____________________________________________________________________________ Algebra 41
1 9 −1 A2 = 1 1 −3 ⇒ |A2| = - 12 3 37 1 1 1 9 A3 = 1 −2 1 ⇒ |A3| = - 6 3 6 37 ⇒ x=
A1 A
= 8, y =
A2 A
= 2, z =
A3 A
=1
6.2 Stelsels lineaire ongelijkheden met 1 onbekende Men lost ieder der ongelijkheden afzonderlijk op en de oplossing van het stelsel wordt gevormd door de waarden die aan al de ongelijkheden voldoen. Voorbeeld:
5 x −3 23 2 − 4 < 2 x − 3 − < x ⇔ 9 (S) = 2x − 1 < x − 2 x < 5 5 3 23 opl (S) = x ∈ IR − < x < 5 9
- 23/9
5
_____________________________________________________________________________ Algebra 42
6.3 Oefeningen 6.3.1 Los volgende stelsels op
− x + 2 y − 3 z = 2 1. 2 x + y + 3z = 1 4 x + 7 y + 3z = 7 − y + 3z = 1 2. 2 x + 2 y + z = 2 4 x + 5 y − z = 5 3 x − y + z = 16 3. x + 3 y + 4 z = 72 x − y + z = −8
9 3 opl.: − k ,1 + k , k 5 5
opl.: ∅
opl.: {(12,20,0)}
x + 2 y = 1 4. 3 y − 5 z = −11 2 z − 3 x = −13
opl.: {(5,-2,1)}
1 3 1 x + y = 2 1 1 =2 5. + y z 1 1 =1 + x z
4 4 opl.: 4, , 5 3
6.3.2 Los volgende stelsels ongelijkheden op
x 2 − 4 ≥ 0 1. ( x − 3)( x + 5) < 0 1 3 3x-2 < x 2. 1 <0 (4 x - 1)(x + 3) 3. −1 <
3 x − 17 <2 5
opl.: ]-5,-2[ ∪ [ 2,3[
1 opl.: 0, 4
opl.: ]4,9[
_____________________________________________________________________________ Algebra 43
Analytische Meetkunde
Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
1. VECTOREN EN RECHTEN 1.1. Vectoren 1.1.1.
Het vectorbegrip
De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast punt O, de oorsprong. Het vlak π waarin dit punt gekozen werd noemen wij het gepunte vlak πo. Elk ander punt P in het vlak kunnen we vanaf nu bekijken als het eindpunt van een vector namelijk OP . Het punt P = OP van πo noemen wij een gebonden vector, vaste vector of puntvector.
1.1.2.
Basis en assenstelsel
Wij kiezen 2 punten in πo E x en E y die samen met O een driehoek vormen. Voor elke P in πo bestaat er juist één (x, y) ∈IR 2 zodat P = x E x + yE y
.
Benamingen: Ex , E y is een basis van πo.
{
}
(x, y) zijn de carthesische coördinaten van P t.o.v. de basis {Ex , E y } .
Merk op: begrip coördinaat is basisgebonden. OEx is de x-as; OEy is de y-as; samen zijn het de coördinaatassen van het xy-assenstelsel of assenkruis.
1.1.3.
Bewerkingen met vectoren
In het gepunte vlak πo kunnen wij twee bewerkingen definiëren: 1) de som van 2 vectoren A en B van πo is een vector met als eindpunt de som van de 2 overeenkomstige vectoren OA en OB volgens de regel van het parallellogram.
Analytische meetkunde
2
y
C A
a2
B
b2
O
a1
b1
x 2) de uitwendige vermenigvuldiging van een vector A van πo en een getal k ∈ R is vector met als eindpunt het eindpunt op de rechte OA door k maal de vector OA op te tellen.
1.1.4.
Toepassing: midden van een lijnstuk
Gegeven: het lijnstuk [AB]; A (a1,a2) en B (b1,b2) Gevraagd: bepaal M het midden van het lijnstuk. A + B a + b a + b 1 1 , 2 2 M= 2 2 2
1.2. Rechten 1.2.1.
Vectoriële vergelijking
Beschouw een rechte e door de oorsprong. Elk punt S verschillend van de oorsprong is het eindpunt van een vector S die de richting van de rechte ondubbelzinnig bepaalt. Zo’n vector wordt een richtingsvector van e genoemd. Als S zo’n richtingsvector is, dan is elke k S met k ∈ R 0 opnieuw een richtingsvector van e . e
S
O Beschouw e1 een rechte evenwijdig met e en twee verschillende punten P en P0 op e1 .
Analytische meetkunde
3
P
e1
P0
e
S
P − P0
Als S een richtingsvector is van e , geldt P − P0 = k S of P = P0 + k S voor een k ∈ R . Omgekeerd ligt voor elke k , het eindpunt van de vector P0 + k S op de rechte e1 . We kunnen de vectoriële vergelijking P = P0 + k S dan ook beschouwen als de nodige en voldoende voorwaarde opdat een punt op de rechte e1 zou liggen (bepaald door het punt P0 en de richting S ). P = P0 + k S met k ∈ R is de vectoriële vergelijking van de rechte.
1.2.2.
Parametervergelijkingen
Overgang op de componenten in R 2 met P = ( x, y ) , P0 = ( x0 , y0 ) en S = (a , b ) levert ( x, y ) = ( x0 , y0 ) + k (a, b) met k ∈ R Verdere uitwerking levert
( x, y ) = ( x0 + ka, y0 + kb) met k ∈ R equivalent met
x = x0 + k a met k ∈ R y = y0 + kb Bovenstaande formules zijn een stel parametervergelijkingen van de rechte door een punt ( x0 , y0 ) met richtingsgetallen (a, b) , de coördinaten van de richtingsvector S . Merk op dat bovenstaande vergelijkingen niet uniek zijn. Zowel P0 als S kunnen gekozen worden.
Analytische meetkunde
4
1.2.3.
Cartesische vergelijking(en)
Wanneer we uit de parametervergelijkingen de parameter k elimineren krijgen we x − x0 y − y0 als ab ≠ 0 = a b
of y − y0 =
b ( x − x0 ) als a ≠ 0 a
Beide laatste vergelijkingen noemen we de cartesische vergelijking van de rechte. De b wordt de richtingscoëfficiënt genoemd. verhouding a Als a = 0 , dan worden de parametervergelijkingen met k ∈ R x = x0 y = y0 + kb De tweede vergelijking zegt dat y willekeurig is en kan dus worden weggelaten. We houden 1 (cartesische) vergelijking over.
x = x0 De rechte is evenwijdig met de y-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn (0,1); de richtingscoefficient bestaat niet! Analoog, als b = 0 , dan is y = y0 de cartesische vergelijking van de rechte; de rechte is dan evenwijdig met de x-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn nu (1,0); de richtingscoefficient is 0! Merk op dat ( a, b) = (0, 0) onmogelijk is. De nulvector is immers uitgesloten als richtingsvector van een rechte.
Als de rechte gegeven is door middel van 2 punten P0 ( x0 , y0 ) en P1 ( x1 , y1 ) volstaat het een richtingsverctor te vinden. Vermits P1 − P0 een geschikte vector is, krijgen we P = P0 + k ( P1 − P0 ) met k ∈ R als vectoriële vergelijking en
x = x0 + k ( x1 − x0 ) met k ∈ R y = y0 + k ( y1 − y0 ) als stel parametervergelijkingen; x − x0 y − y0 = x1 − x0 y1 − y0
als cartesische vergelijking als x1 ≠ x0 en y1 ≠ y 0 .
Als x1 = x0 dan is de vergelijking analoog aan a = 0; Analytische meetkunde
5
als y1 = y0 dan is de vergelijking even analoog aan b= 0. De algemene cartesische vergelijking van een rechte in R 2 is dus van de vorm Ax + By + C = 0
waarbij A en B niet terzelfdertijd nul zijn. Omgekeerd kan ook aangetoond worden dat elke vergelijking van deze vorm in R 2 een rechte voorstelt. Wat is de richtingscoëfficiënt van deze rechte? Vind een stel richtingsgetallen.
1.3. Evenwijdige rechten Als gegeven is de rechte e1 met r.v. S1 , r.g. (a1,b1), rico m1, vgl A1x+B1y+C1=0, de rechte e2 met r.v. S2 , r.g. (a2,b2), rico m2, vgl A2x+B2y+C2=0
e1 e2
O
S
S2
1
dan is e1 // e2
⇔ S2 = k S1 met k ∈ R 0 a = ka1 met k ∈ R 0 ⇔ 2 b kb = 1 2
⇔ m2 = m1 A = kA1 met k ∈ R 0 ⇔ 2 B2 = kB1
toepassing: gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C=0 en het punt P(x0,y0) gevraagd: construeer f // e en door P f heeft als vergelijking A(x- x0)+B(y- y0)=0 Analytische meetkunde
6
1.4. Het Euclidisch vectorvlak 1.4.1.
Definities
Als A(a1 , a2 ) en B(b1 , b2 ) in π 0 gegeven zijn, dan is het scalair product van deze 2 vectoren A . B = a1b1 + a 2 b 2 ∈ R
dan staan deze vectoren loodrecht of orthogonaal A ⊥ B⇔ A. B=0
dan is de norm van de vector A = A . A = a12 + a 2 2 > 0
dan is A een genormeerde vector als
A =1 dan is de afstand tussen A( a1 , a 2 ) en B(b1 , b2 )
d ( A, B) = A − B =
( a1 − b1 ) + ( a2 − b2 ) 2
2
B
A
O
A - B
Analytische meetkunde
7
1.4.2.
eigenschap
als A ≠ O dan is de genormeerde vector voortgebracht door A A Ea = A
waarbij a de rechte OA voorstelt.
Verklaar waarom Ea genormeerd is.
1.4.3.
{
Orthonormale basis (O.N.B.)
Ex ⊥ E y E x , E y is een orthonormale basis ⇔ E x = E y = 1
}
1.5. Hoeken Conventie: een hoek rekenen wij positief in tegenuurwijzerzin.
1.5.1.
De hoek van een rechte met de x-as
(Analytische uitdrukkingen t.o.v. O.N.B.) In onderstaande figuur zien we in de rechthoekige driehoek dat
tan α =
m =m 1
m.a.w. de richtingscoefficient van de rechte is gelijk aan de tangens van de hoek tussen de xas en de rechte.
y
e Ey
m α
1 Ex
x
0
Analytische meetkunde
8
1.5.2.
De hoek tussen 2 rechten
Gegeven:
de rechte e1 met r.v. S1 , r.g. (a1,b1), rico m1, α1 de hoek met de x-as de rechte e2 met r.v. S2 , r.g. (a2,b2), rico m2, α 2 de hoek met de x-as Definitie:
de hoek tussen de rechten e1 en e2 in die volgorde genomen, genoteerd (e1, e2), is de hoek met als hoekpunt het snijpunt van e1 en e2 ; het eerste been ligt op een halfrechte bepaald door e1 en het tweede been op een halfrechte bepaald door e2. e2
e2
(e 1 ,e2 ) e
(e1 ,e2 )
1
e
1
Merk op: een hoek is op π radialen na bepaald. Je kan dus altijd de kleinste (pos.) hoek kiezen. De hoek tussen twee rechten wordt ook bepaald door zijn tangens. (Dit is zinvol want de tangenten van anti-supplementaire hoeken zijn gelijk).
tan(α 2 − α1 ) =
m − m1 a1b2 − a2b1 tan α 2 − tan α1 = 2 = 1 + tan α 2 tan α1 1 + m2 m1 a1a2 + b1b2
1.6. Loodrechte stand van 2 rechten Als gegeven is
de rechte e1 met r.v. S1 , r.g. (a1,b1), rico m1, vgl A1x+B1y+C1=0, de rechte e2 met r.v. S2 , r.g. (a2,b2), rico m2, vgl A2x+B2y+C2=0 dan is (analytische uitdrukking t.o.v. O.N.B.)
Analytische meetkunde
9
e1
S1
e2
O
S2
e1 ⊥ e2 ⇔ S 2 ⊥ S1
⇔ a1a2 + b1b2 = 0 ⇔ m2 = −
1 m1
⇔ A1 A2 + B1 B2 = 0
toepassing: gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C=0 en het punt P0(x0,y0) gevraagd: construeer f ⊥ e en door P0 f heeft als vergelijking B(x- x0)-A(y- y0)=0
1.7. Afstand van een punt tot een rechte 1) definitie ( of constructieve methode) Beschouw in π 0 een punt P0 ( x0 , y0 ) en een rechte e : Ax + By + C = 0 . Om de (loodrechte) afstand van P0 tot de rechte e te vinden gaan we als volgt te werk. •
Construeer de rechte r door P0 loodrecht op e .
• •
Zoek het snijpunt S van r en e . De gezochte afstand is dan gelijk aan d ( P0 , S ) .
2) formule (via de normaalvgl. v.d. rechte e) (analytische vertolking t.o.v. O.N.B.) d ( P0 , e) = d ( P0 , S ) =
Ax0 + By0 + C A2 + B 2
Analytische meetkunde
10
1.8. Oefeningen 1. Gegeven: A(5, −1), B(−1,5), C (−7, 2) . a) Bepaal de coördinaten van de middens van de zijden van de driehoek ABC. 7 1 (2, 2); −4, ; −1, 2 2 b) Bepaal de coördinaten van het zwaartepunt van de driehoek ABC. (-1, 2) 2. Bepaal de richtingsgetallen en de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door volgende gegevens: a) gaande door (-2, 7), (1, -8) (3, -15) en m = -5 (k,0) en m = 0 b) de rechte x c) de rechte y (0,k) en m bestaat niet! d) de rechte met vergelijking: 2x - y + 4 = 0 (1, 2) en m = 2 3 3 e) de rechte met vergelijking: y = x (4, 3) en m = 4 4 f) de rechte met vergelijking: y = 2x + 3 (1, 2) en m = 2 3. Construeer de rechten met volgende vergelijkingen: e: y = 4x f: 2x + 3y = 0 g: 4x + 2y + 5 = 0 4. Bepaal de hoek die volgende rechten maken met de x-as in een orthonormaal assenstelsel. e: y - x + 5 = 0 α = 45°;α = 135° f: y − 3x − 5 = 0 α = 60°;α = 120°
5. Bewijs dat de figuur gevormd door A(−2,1), B (−1, 4), C (5, 6), D(4,3) een parallellogram is. 6. Gegeven een rechte e: x + 2y = 4 Gevraagd: a) behoort A(4, 1) tot e ? b) behoort B(4,0) tot e ? c) bepaal de abscis van het punt op e met als ordinaat -5 d) bepaal de ordinaat van het punt C met als abscis 1 e) construeer de rechte f) zoek de snijpunten met de x-as en de y-as 7. Gegeven een rechte e: ax + 3y + 2 = 0 met a ∈ IR Bepaal, indien mogelijk, a zodanig dat: a) de rechte door (2, 0) gaat b) de rechte die door 0 gaat c) de rechte e evenwijdig is met de rechte f: 3x - y - 5 = 0 d) e evenwijdig is met x-as e) e evenwijdig is met y-as f) e op de x-as een stuk + 3 afsnijdt g) e op de y-as een stuk +5 afsnijdt Analytische meetkunde
Neen Ja x = 14 3 y= 2 (4, 0) en ( 0, 2)
a = -1 onmogelijk a = -9 a=0 onmogelijk 2 a=− 3 onmogelijk 11
h) e op y een stuk −
2 afsnijdt 3
a ∈ IR
8. Stel de vergelijking op van een rechte met de volgende gegevens: a) m = -2 en door het punt (3, 4) y + 2x - 10 = 0 b) door de punten (2, 3) en (5, 1) 3y + 2x -13 = 0 c) door de oorsprong en het punt (2, 6) y - 3x = 0 d) door de punten (3, 5) en (7, 5) y=5 e) door de punten (-2, 4) en (-2, 1) x = -2 f) door de punten (1, 3) en (-2, -6) y - 3x = 0 g) m = 2 en die van y een stuk + 4 afsnijdt y - 2x - 4 = 0 h) die van y een stuk +3 en van x een stuk +2 afsnijdt 3x + 2y - 6 = 0 i) die van y een stuk -6 afsnijdt en door het punt (2, 4) gaat y - 5x + 6 = 0 j) die door het punt (-2, 6 )gaat en evenwijdig is met de rechte: e: 3x + 2y - 5 = 0 2y + 3x - 6 = 0 k) die door het punt (0, 3) gaat en evenwijdig is met de rechte door de punten (2,0) en (5, 2) 3y - 2x - 9 = 0 l) die door het punt (2, 3) gaat en evenwijdig is met de y-as x=2 m) die door het punt (-2, 4) gaat en evenwijdig is met de x-as y=4 9. Gegeven de rechte e: y = (a - 2)x + (a + b) met a,b ∈IR . Bepaal a en b zodanig dat: a) e door de punten (1, 3) en (3, 5) gaat a = 3 en b = -1 b) e door het punt (2, -3) gaat en evenwijdig is met f: x + y + 5 = 0 a = 1 en b = -2 c) e een stuk -2 op x afsnijdt en (2, -10) als richtingsgetallen heeft. a = -3 en b = -7 d) e door (0, 0) en (-2, -4) gaat a = 4 en b = -4 10. Bepaal t.o.v. een orthonormale basis de vergelijking van de rechte: a) door het punt (4, -3) en die met de x-as een hoek van 45° maakt. y - x + 7 = 0; y + x - 1 = 0 b) die op de y-as een stuk +3 afsnijdt en met de positieve x-as een hoek van 30° maakt. 3y − 3x − 9 = 0 ; 3y + 3x − 9 = 0 11. Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt A (2, 4): a) die op de positieve x-as een stuk afsnijdt dat het dubbel is van het stuk afgesneden op de positieve y-as x + 2y -10 = 0
b) die op de negatieve x-as en de positieve y-as gelijke stukken afsnijdt x-y+2=0 12. Bepaal a zodanig dat e en f evenwijdig zijn: e: (a - 1)x - (a+2)y + 1 = 0 f: (a + 1)x + (2 - 4a)y + a = 0 13. Onderzoek of volgende punten collineair zijn: a) (8, 3), (-6, -3), (15, 6) b) (1, 1), (4, -1), (-5, 5)
Analytische meetkunde
a = 0 of a = 3
Ja Ja
12
14. Bepaal a zodanig dat de punten (2, 3), (a, 2) en (a + 2, a - 3) collineair zijn. Bepaal de vergelijking van de rechte. a = 3 en y + x - 5 = 0 a = 4 en 2y + x - 8 = 0 15. Bepaal de snijpunten van volgende rechten: e : x + 2y = 4 a) f : 3x + y = 7 e : 5x + 3y - 1 = 0 b) f : 2x + 8 = 0 e : 6y - 3 = 4x c) 3 f : 2x − 3y + 2 = 0
(2, 1) (-4, 7)
samenvallende rechten
16. Geef de algemene vergelijking van de rechten door (2, 1) y -1 = m (x - 2) 17. Geef de algemene vergelijking van de rechten met richtingscoëfficient 2. y = 2x + q 18. Bewijs dat de 3 zwaartelijnen van een driehoek concurrent zijn.
19. Gegeven: A(2, 0), B(1,1), C (1, 2) t.o.v. een orthonormale basis. Bepaal: A.B A.C C.B A. A B.B
2 2 3 4 2 5
C .C
20. Bewijs dat de punten A(4, 6), B(2, -4), C(-2, 2) een rechthoekige driehoek vormen.
21. Bepaal de vergelijking van de loodlijn en ook het voetpunt. a) uit het punt (0, 0) op de rechte e: 5x + y - 6 = 0 b) uit het punt (2, -6) op de rechte f: 2x - y + 5 = 0
15 3 , 13 13 x + 2y + 10 = 0 en (-4, -3) x - 5y = 0 en
22. Bepaal de vergelijking van de loodlijn op de rechte met vergelijking: 2x + 5y + 4 = 0 in haar snijpunt met de x-as. 5x - 2y + 10 = 0
Analytische meetkunde
13
23. Een rechte heeft richtingscoëfficiënt 2. Bepaal de vergelijking van de loodlijn uit het punt (4,1) op die rechte. 2y + x - 6 = 0
24. Bepaal de vergelijking van de middelloodlijn van het lijnstuk [ab] als A(3, -1) en B(1, 3). 2y - x = 0 25. De vergelijkingen van de zijden van een driehoek zijn: 3x − 4y + 14 = 0 ; 4x + y − 13 = 0 ; x + 5y − 8 = 0 . Bepaal de vergelijkingen van de hoogtelijnen en de coördinaten van het hoogtepunt. y − 5x + 5 = 0 3y + 4x − 15 = 0 4y − x − 10 = 0 30 55 , 19 19
26. Gegeven: A(5, -3), B(-1, 5), C(-7, 2). Bepaal de lengte van de zijden van de driehoek gevormd door deze punten. 10; 13; 3 5 27. Bepaal de afstand van de oorsprong tot het punt A(-2, 4) en tot de rechte e: 3x - y = 5 2 5;
10 2
28. Bepaal de afstanden van de punten A(-3, 4), B(2, 1), C(-3, 2) tot de rechte e: x – y + 5 = 0 2; 3 2; 0
29. Bepaal de afstanden van het punt A(5, 1) tot de punten B(1, -2), C(-2, 2) en tot de rechte BC. 5; 5 2; 5 30. Bepaal de afstand van het punt A(-4, 4) tot de rechte e: 2x + y - 3 = 0 7 5 5
a) m.b.v. de formule b) m.b.v. de loodlijn
31. Bepaal de afstand van het punt A(3, -5) tot de loodlijn die uit het punt B(1, 1) op de rechte e : 2 x − y + 2 = 0 wordt neergelaten. 2 5 32. Hoe ver ligt de oorsprong van de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A(-9, 7), B(15, -3) 2
Analytische meetkunde
14
33. Bepaal de afstand tussen de evenwijdige rechten met vergelijkingen: 2x + y + 3 = 0 , 2x + y − 2 = 0 5
34. Gegeven: A(1, p), e: 2x + y + 1 = 0, f: x + 2y - 3 = 0. Bepaal p zodanig dat het punt A gelijke afstanden tot de rechten e en f heeft. 1 p=− en p = 5 3 35. Bepaal de vergelijking van de rechte door A(2, 3) en die op een afstand 3 ligt van de oorsprong. y = 3 en 5y + 12x - 39 = 0 36. Bepaal de vergelijking van de rechte door A(-5, 1) zodanig dat de rechte evenver verwijderd is van de punten B(3, -1) en C(-3, 2) 2y + x + 3 = 0 en 10y + x - 5 = 0 37. Bepaal de vergelijking van de rechte die evenwijdig is met de rechte e: 5x + 12y - 11 = 0 en die op een afstand 1 van het punt A(-2, 1) ligt. 5x + 12y - 15 = 0 5x + 12y + 11 = 0
Analytische meetkunde
15
2. KEGELSNEDEN 2.1. Inleiding Parabolen, ellipsen en hyperbolen zijn kegelsneden. Ze onstaan door de snijding van een kegel met een vlak. Cirkels zijn ook kegelsneden, het zijn speciale gevallen van ellipsen. Welk type van kegelsnede men bekomt, hangt af van de hoek waarmee het vlak de kegel snijdt.
Figuur 1 snijding van een kegel door een vlak
Links: bij de ellips is de hoek tussen het vlak en de as van de kegel groter dan de hoek tussen de as en de beschrijvende van de kegel. Midden: bij de parabool zijn de hoeken gelijk. Rechts: bij de hyperbool is de hoek met het vlak kleiner dan de hoek met de beschrijvende.
2.2. De cirkel Hoewel de cirkel "slechts" een speciaal geval van de ellips is, vermelden we toch eerst zijn definitie en zijn vergelijking. Een cirkel C bestaat uit de punten P die op een vaste afstand R van een vast punt M liggen. Deze vaste afstand R noemt men de straal, het vaste punt M het middelpunt.
P ∈ C ⇔ d ( P, M ) = R Indien het middelpunt M in de oorsprong ligt en (x,y) de coorinaat van P is ten opzichte van het orthonormaal assenkruis x y is, dan is de middelpuntsvergelijking van de cirkel
x2 + y 2 = R2 Verklaar!
Analytische meetkunde
16
Indien het middelpunt M de coördinaten ( x0 , y0 ) heeft, is de middelpuntsvergelijking
( x − x0 ) 2 + ( y − y0 )2 = R 2 De verklaring is analoog. De algemene vergelijking van de cirkel is x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
Opgelet, niet elke vergelijking van deze vorm stelt een cirkel voor!
2.3. De parabool Een parabool P bestaat uit de punten Q waarvoor de afstand tot een vaste rechte d gelijk is aan de afstand tot een vast punt F dat niet op d ligt. Het punt F noemt men het brandpunt van de parabool, de rechte d de richtlijn. Q ∈ P ⇔ d (Q, d ) = d (Q, F )
Als het brandpunt F ( p, 0) , richtlijn d : x = − p en (x,y) de coordinaat is van Q ten opzichte van het orthonormaal xy-assenkruis, dan is topvergelijking van de parabool P y2 = 4 p x
Dit kan op een eenvoudige manier worden afgeleid:
y
d
Q
x T F
Figuur 2 parabool
Q ∈ P ⇔ d (Q, d ) = d (Q, F )
⇔ ( x − p ) 2 + ( y − 0)2 = x + p ⇔ ( x − p) 2 + ( y − 0)2 = ( x + p ) 2 ⇔ y2 = 4 p x
De topvergelijking van deze parabool is dus y 2 = 4 p x . De x -as is de symmetrieas van de parabool. Het punt F is het brandpunt, de rechte d de richtlijn en het punt halfweg het brandpunt en de richtlijn is de top van de parabool.
Analytische meetkunde
17
Men dient goed te beseffen dat de bovenstaande vergelijking enkel geldig is met deze specifieke keuzes van de liggingen van het brandpunt en de richtlijn. Indien de parameter p negatief is,ligt het brandpunt links van de top en de richtlijn rechts. De vergelijking zelf blijft dezelfde. Indien de richtlijn horizontaal gelegd wordt, zal de parabool verticaal liggen, met zijn opening naar boven als de parameter p > 0 , en met de opening naar beneden als p < 0 . Er zijn dus vier mogelijkheden voor een parabool met top in de oorsprong en één van de coördinaatassen als symmetrieas.
y 2 = 4 p x met p > 0
y 2 = 4 p x met p < 0
x 2 = 4 p y met p > 0
x 2 = 4 p y met p < 0
Wanneer de parabool verschoven wordt naar een willekeurige ligging van de top T ( x0 , y0 ) vindt men op analoge manier twee topvergelijkingen Horizontale symmetrieas: ( y − y0 ) 2 = 4 p ( x − x0 ) met F ( x0 + p, y0 ) en d : x = x0 − p Verticale symmetrieas:
( x − x0 )2 = 4 p ( y − y0 ) met F ( x0 , y0 + p ) en d : y = y0 − p De algemene vergelijking van een parabool met symmetrieas evenwijdig aan een coordinaatas is Horizontale symmetrieas:
x = Ay 2 + By + C Verticale symmetrieas:
y = Ax 2 + Bx + C
Analytische meetkunde
18
2.4. Oefeningen (we werken in een O.N.B.) 1. Bepaal de vergelijking van de cirkel met middelpunt M(a, b) en straal R. 2 2 a) a = 0, b = 0, R = 5 x +y =5 2 2 (x − 4) + (y − 1) = 4 b) a = 4, b = 1, R = 2 2. Bepaal middelpunt en straal van de volgende cirkels a) x 2 + y 2 − 8x − 6y = 0 2
2
b) 3x + 3y − 2x + 3y + 1 = 0 2
2
c) 16x + 16y − 8x − 15 = 0 d) 36(x 2 + y 2 )− 48x + 36y − 227 = 0
M (4,3) en R = 5 1 1 1 M ,− en R = 6 3 2 1 M ,0 en R = 1 4 2 1 M ,− en R = 7 3 2
3. Onderzoek of de volgende vergelijkingen cirkels voorstellen. Zo ja, bepaal dan middelpunt en straal. 2 2 geen cirkel a) x + y − 6x + 14y + 59 = 0 2 2 cirkel C 1 b) 16x + 16y + 8x − 64y − 335 = 0 − ,2 ,5 4 2 2 c) 4x + 4y − 12x + 40y + 109 = 0 (punt) cirkel C 3 ,−5 ,0 2 4. Stel de vergelijking op van de cirkel door de punten (3, 3) en (5, 7) en het middelpunt op A:x − y = 5 2 2 x + y − 16x − 6y + 48 = 0
5. Stel de vergelijking op van de cirkel waarvan het lijnstuk bepaald door de punten van de cirkel (5, 6) en (-1, 0) een middellijn is. 2 2 x + y − 4x − 6y − 5 = 0 6. Stel de vergelijking op van de cirkel door het punt (-3, 4) en concentrisch met c: 2 2 x + y + 3x − 4y − 1 = 0 2 2 x + y + 3x − 4y = 0 7. Stel de vergelijking op van de cirkel omschreven aan driehoek ABC met A(2, 2); B(6, -2); C(-3, -5) 2 2 2x + 2y − 5x + 11y − 28 = 0 8. Een cirkel heeft zijn middelpunt in M(3, 0) en gaat door het punt P(1, 1). Bepaal: 2 (x − 3) + y 2 = 5 a) de vergelijking van de cirkel. b) de vergelijking van de cirkel met hetzelfde middelpunt en dubbele oppervlakte
( x − 3) Analytische meetkunde
2
+ y 2 = 10 19
9. Bepaal brandpunt en richtlijn van volgende parabolen en schets hun grafiek. 2 a) y − 8x = 0 2
b) y + 6x = 0 2
c) 2x + y = 0 2
d) 2x − y = 0
(2, 0); x = -2 3 3 − ,0 ; x = 2 2 1 1 0, − ; y = 8 8 1 1 0, ; y = − 8 8
10. Bepaal de topvergelijking van de parabool (met de x-as als symmetrie-as) en met als top (0, 0) en door het punt A(-1, 3): 2 y = −9x
1 1 11. Bepaal de topvergelijking van de parabool met als brandpunt 0, − en richtlijn d: y = 2 2 2 x + 2y = 0
12. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -2) en richtlijn d: x = 3 2 y + 4y − 8x + 44 = 0 13. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -2) en richtlijn d de bissectrice van het tweede kwadrant. 2 2 x + y − 2xy − 28x + 8y + 106 = 0 14. Schets de grafiek van: a) 3x 2 − 24x − 2y + 50 = 0
2 3 3 2 (y + 5) = x 4
(x − 4) = (y − 1) 2
b) 4y + 40y − 3x + 100 = 0 2
Analytische meetkunde
20
Analyse
Lieve Houwaer Dany Vanbeveren
1. Relaties, functies, afbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzamelingen A en B noemen we elke deelverzameling van de productverzameling A x B een relatie van A naar B. We noemen dom R = {x (x, y) ∈ R} het domein van de relatie R en bld R = {y (x, y) ∈ R} het beeld van de relatie R. Keert men de volgorde van de koppels van een relatie om, dan ontstaat een relatie van B naar A, de zgn. inverse relatie. Een functie van A naar B is een relatie van A naar B waarbij elk element van A hoogstens 1 beeld heeft. Een functie van A naar B noemt men een afbeelding van A in B als dom f = A. Een afbeelding van A in B noemt men een bijectie van A op B als de inverse relatie eveneens een afbeelding is.
2. Uitgebreide verzameling der reële getallen:
IR
De verzameling der reële getallen IR, aangevuld met de elementen - ∞ en + ∞ , noemt men de uitgebreide verzameling der reële getallen. Notatie: IR = IR U {− ∞ , + ∞} • De totale orde wordt als volgt uitgebreid: ∀ x ∈ IR:− ∞ < x < + ∞
Analyse
2
• De bewerkingen worden als volgt uitgebreid: 1) ∀ x ∈ IR: x + ( −∞ ) = −∞ = ( −∞ ) + x x + (+ ∞ ) = + ∞ = (+ ∞ ) + x ∀ x ∈ IR+0 : x. ( +∞ ) = +∞ = ( +∞ ). x x. ( −∞ ) = −∞ = ( −∞ ). x ∀ x ∈ IR−0 : x. (+ ∞ ) = −∞ = ( +∞ ). x x. ( −∞ ) = + ∞ = (−∞ ) .x
( +∞ ) + (+ ∞ ) = +∞ 2) ( −∞ ) + (− ∞) = −∞ (− ∞). (+∞ ) = −∞ = (+∞ ).(−∞ ) (+ ∞ ). (+∞ ) = +∞ = (−∞ ).(−∞ ) n +∞ = +∞ n −∞ = −∞ als n oneven is.
1 +∞
=0
1 −∞
=0
Dus de volgende uitdrukkingen hebben geen betekenis, zijn ONBEPAALDHEDEN:
( +∞ ) + ( −∞ ) ; ( −∞) + (+ ∞ ) ; 0.+ ∞ ; + ∞. 0 ; 0.−∞ ; − ∞.0 ;
Analyse
+∞ +∞
;
+∞ −∞
;
−∞ +∞
;
−∞ −∞
3
3. Continuïteit van een functie in IR 3.1. Voorbeelden Stel f: IR → IR en a ∈ dom f dan zegt men:
Y
Y f(a)
f(a)
b
a
a
X
f is continu in a
X
f is discontinu in a f is niet linkscontinu in a f is niet rechtscontinu in a
Y
Y c
f(a) f(a) b
b a
a
X
f is discontinu in a f is niet linkscontinu in a f is niet rechtscontinu in a
X
f is discontinu in a f is rechtscontinu in a
Y
b f(a)
a
X
f is discontinu in a f is linkscontinu in a
Analyse
4
3.2. ε − δ - definitie Beschouw een functie f: IR → IR en onderstel dat a ∈ dom f dan zegt men: f is continu in a c ∀ ε > 0, ∃ δ > 0:
x − a < δ ⇒ f ( x) − f (a ) < ε
Verder geldt:
f is rechtscontinu in a ⇔ ∀ε > 0, ∃ δ > 0: x ∈ [ a ,a + δ [ ⇒ f ( x ) − f ( a ) < ε f is linkscontinu in a ⇔ ∀ε > 0, ∃ δ > 0: x ∈ ] a − δ ,a ] ⇒ f (x ) − f (a ) < ε
4. Limiet van een functie in IR 4.1. Voorbeelden "via het begrip limiet, discontinuïteiten opheffen" stel a ∈ adh dom f . als f continu is in a dan lim a f ( x ) = f ( a ) als f discontinu is in a dan:
f (x) = f (x) x ≠ a 1) beschouw een functie f met f (a) = b (f = een uitbreiding van f in a )
2) als f continu is in a dan lim a f ( x ) = f ( a ) = b
"limiet"
als f rechtscontinu is in a dan lim a + f ( x) = f (a ) = b
"rechterlimiet"
als f linkscontinu is in a dan lim a − f ( x) = f (a ) = b
"linkerlimiet"
Analyse
5
Y
Y f(a)
f(a)
b
a
a
X
f is continu in a
X
f is discontinu in a f is niet linkscontinu in a f is niet rechtscontinu in a lim a f ( x ) = b
lim a f ( x ) = f ( a )
Y
Y c
f(a) f(a) b
b a
a
X
X
f is discontinu in a f is niet linkscontinu in a
f is discontinu in a f is rechtscontinu in a
f is niet rechtscontinu in a lim a + f ( x) = c ≠ lim a − f (x ) = b
lim a + f ( x) = f (a ) ≠ lim a − f (x ) = b
⇒ lim a f ( x ) bestaat niet.
⇒ lim a f ( x ) bestaat niet. Y
b f(a)
a
X
f is discontinu in a f is linkscontinu in a lim a + f ( x) = b ≠ lim a − f (x ) = f ( a )
⇒ lim a f ( x ) bestaat niet.
Analyse
6
4.2. ε − δ - definitie 4.2.1. limiet, rechterlimiet, linkerlimiet Als f: IR → IR dan is:
lim f ( x ) = b
x →a
c ∀ ε > 0, ∃ δ > 0:
0 < x − a < δ ⇒ f (x ) − b < ε
Verder geldt: lim f ( x ) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃ δ > 0: x ∈ ] a ,a + δ [ ⇒ f (x ) − b < ε
x →a >
lim f ( x ) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃ δ > 0: x ∈ ] a − δ , a [ ⇒ f ( x ) − b < ε
x →a <
4.2.2. Oneigenlijke limieten Het argument neemt onbeperkt toe of af:
lim f ( x ) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃ m > 0: x > m ⇒ f (x ) − b < ε
x →+ ∞
lim f ( x ) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃ m > 0: x < − m ⇒ f (x ) − b < ε
x →− ∞
Oneindige limieten
lim f ( x ) = + ∞ ⇔ ∀ n > 0, ∃ δ > 0: 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > n
x →a
lim f ( x ) = − ∞ ⇔ ∀ n > 0, ∃ δ > 0 : 0 < x − a < δ ⇒ f (x ) < − n
x →a
lim f ( x ) = − ∞ ⇔ ∀ n > 0, ∃ m > 0: x > m ⇒ f ( x ) < − n
x →+ ∞
Analyse
7
4.3. Algemene stellingen lim f (x ) = b (f + g)(x) = b + b' 1. Als ⇒ xlim →a lim g(x) = b' x→ a x→ a
2. Als lim f ( x ) = b ⇒ lim r.f (x ) = r. lim f ( x ) = r. b x →a
3. Als
x →a
x →a
lim f (x ) = b ⇒ lim f (x).g(x) = lim f (x).lim g(x ) = b.b' x→ a x→a x→a lim g(x) = b' x→ a x→ a
lim f (x ) = b f (x) b f (x ) xlim →a 4. Als = = ⇒ lim x → a g( x ) lim g(x) = b' lim g(x ) b' x→ a x→a x→ a
f (x ) =
5. Als lim
x →a
lim f ( x )
x→a
n 6. Als lim [f (x )] = lim f (x ) x→ a x → a
7. Als lim
x →a
n
n
f ( x ) = n lim f ( x ) x→a
8. Als lim k = k x →a
(deze stellingen zijn geldig op voorwaarde dat het rechterlid zin heeft)
4.4. Onbepaaldheden Onbepaalde vorm
0 0
- rationale functie
V( x ) W (x )
als lim V ( x ) = lim W ( x ) = 0 , dan betekent dit dat V(x) en W(x) x →a
x →a
beide deelbaar zijn door (x - a), nl. V ( x) = ( x − a ).Q1 ( x) , W ( x ) = ( x − a ).Q 2 ( x ) V (x ) Q (x ) = lim 1 Er geldt: lim x → a W(x ) x → a Q (x ) 2
Analyse
8
Voorbeeld.
lim
x →2
x2 − 4 x − 5x + 6 2
(x − 2 ) (x + 2 ) x+2 = lim = −4 x → 2 ( x − 2 ) (x − 3) x →2 x − 3
= lim
- irrationale breuk: teller en/of noemer rationaal maken. Voorbeeld.
x +1 − 2 x−3
lim
x →3
= lim
x →3
(
x + 1 − 2 ) ( x + 1 + 2)
( x − 3) ( x + 1 + 2 )
( x + 1− 4 ) x → 3 ( x − 3) ( x + 1 + 2 )
= lim = lim
x →3
Onbepaalde vorm
1 1 = x +1 + 2 4
∞ ∞
- rationale functie
lim
x →∞
a n xn + a n −1x n − 1 + ... + a 1x + a 0
= lim
a n xn
bp x p + b p −1x p −1 + ... + b1x + b0 x → ∞ bp x p = ∞ als n > p (teken van ∞ nader te bepalen) a = n als n = p bp = 0 als n < p
- irrationale breuk: zet in teller en noemer de hoogst mogelijke macht van x voorop.
let op:
x2 = x als x > 0 = −x als x < 0
Analyse
9
Voorbeeld
5 x2 1 + 2 + 2x x 3x
x + 5 + 2x = lim x→ ∞ 3x 2
lim
x→ ∞
5 x/ 1 + 2 + 2 x lim =1 x→ + ∞ 3x/ ⇒ 5 x/ − 1 + 2 + 2 1 x lim = 3x/ x → − ∞ 3 Onbepaalde vorm ∞ - ∞ irrationale functie: vermenigvuldig met en deel door de toegevoegde irrationale vorm. Voorbeeld. lim
x →∞
( 4x
2
+ 3x −1 + 2x
)
a. lim
( 4x
b. lim
( 4x + 3x − 1 + 2x )=
x →+ ∞
x →− ∞
= lim
x →− ∞
2
2
)
+ 3x − 1 + 2x = + ∞
( 4x + 3x − 1 + 2x )( 4x 2
lim
x →− ∞
2
+ 3x − 1 − 2x
)
4x 2 + 3x −1 − 2x
1 x 3 − 3x − 1 3 x = lim = − 4x 2 + 3x −1 − 2x x → − ∞ x − 4 + 3 − 1 − 2 4 2 x x
Analyse
10
4.5. Opgaven 1. lim
x →4
2. lim
x2 − 16
3x −12 x2 − 7x + 12
x →1
4. lim
x →a
5. lim
x2 − 1
x →1
2 3
x3 − 1 x4 − a 4
a −x 3
x3 − 3x + 2
(0)
2x3 − 2x2 + x − 2 2x 4 − 2x3 − 16x2 + 24x
(- 10)
x3 + x 2 − 6x
x →− 3
2x 4 − 2x 3 − 16x 2 + 24x
(- 4)
x 3 + x2 − 6x
x →0
9. lim
(2)
x2 + x − 2
7. lim
8. lim
− 4 a 3
3
x3 + 2x 2 − x − 2
x →1
6. lim
− 1 2
x 2 − 4x + 3
x →3
3. lim
8 3
xm − a m
x →a
10. lim
x →a
11. lim
x →2
12. lim
x →3 >
13. lim
x →0
(m.a m − 1 )
x−a xm − a m
x −a n
m a m − n n
n
x + 2 −2
1 4
x −2 x + 6 − 3x
(0)
x −3 x
(1)
x + 1 − 1− x
Analyse
11
x2 − 4x − 5 − x 2 − 25
14. lim >
6x − 3 − 4x + 1
15. lim
3
x →2
16. lim
(- ∞)
x−5
x →5
(0)
x−2
x−2 x+3 +3
(2)
x +3−2
x →1
3
17. lim
3
1 − x + 1+ 2x − x2
− 1 2
x 2 − 2x
x →2
4
18. lim
1 2
x − 2 −1 x − 2 −1
x →3
± 3 3
x−2 x−2 19. lim −3 3 3 2 x → 2 x − 4x x − 3x + 4 > <
20. Bepaal a zó dat: a x2 + 8ax − x 2 + 8a 2 lim = 2 2 x →a x + 2ax − 3a 12
(a = + 2)
3 2 21. lim 2 − 2 x → 1 x − 3x + 2 x − 1 >
(m ∞ )
6 x +8 − 2 22. lim 2 x → 2 x + x − 6 x − x − 2
7 15
x+1 x+3 23. lim x →− 3 x2 1+ 2 x + 4x + 3
4 9
<
2x +
2x + 3 − x 2 + 1
24. lim
3
25. lim
3
26. lim
x →∞
8x3 + 2x − x2 − 4 3
x →∞
(- 1)
x−2
x →+ ∞
(1; 3)
x +1 + x
1− 8x3
(- 2)
x +1 Analyse
12
(
27. lim 3x − x2 − x + 4 x→ ∞
28. lim
)
(± ∞)
( x + 3x + 1 − x ) 3
3
2
(1)
x→ ∞
(
29. lim x + 1 − 4x2 + x + 1 x →∞
30. lim
x
31. lim
(x
x →+ ∞
x →− ∞
( 2
)
(- ∞)
1 2
x + 1 − x)
)
+ 2x + 4 + 9x 2 − 1 − 4x
(+ ∞)
2x 3 − x 2 − 8x + 4 − 4x 2 + 5x −1 32. lim 2 x → ∞ x −4
(x
33. lim x x →∞
2
+ 5x + 8 − x2 + 5x − 4
)
− ∞, − 9 4
(± 6)
Analyse
13
5. Afgeleiden 5.1. Afgeleide van een functie in een punt (x0 , y 0 ) Y
y = f(x) b
f( x0 +D x )
Dy a b
a
f(x0 )
Dx
x0 + D x
x0
Beschouw:
lim
∆y
∆x → 0 ∆
= lim
X
f (x0 + ∆ x ) − f (x 0 )
x ∆ x →0 ∆x Als deze limiet bestaat, wordt hij de afgeleide genoemd van de functie in x 0 . ∆y Notatie: f' (x 0 ) = lim . ∆x→ 0 ∆x Meetkundige betekenis: Beschouw de kromme met vergelijking y = f(x), a (x 0 , f (x0 )) en b (x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x )) zijn 2 naburige punten van de kromme.Dan is de f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆ y y −y richtingscoëfficiënt van de koorde ab: m ab = b a = = = tg α ∆x x b − xa (x0 + ∆ x ) − x0 Laat men de rechte ab wentelen om a zodat het punt b onbeperkt tot a nadert, dan gaat de rechte ab over in de raaklijn in a (aan de kromme). ∆y = lim tg α = tg β , m.a.w. f' (x0 ) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het lim ∆x → 0 ∆x α →β b →a
punt (x0 , f (x 0 )) aan de kromme y = f(x).
Analyse
14
Voorbeeld.
y = x − 3x + 4 2
(x0 + ∆ x )
2
f' (x0 ) = lim
− 3(x 0 + ∆ x) + 4 − x20 + 3x 0 − 4 ∆x
∆ x →0
= lim (2x 0 + ∆ x − 3) = 2x0 − 3 ∆x →0
Zo is voor x 0 = 1; f' (1) = − 1 . Bijgevolg is b = 135°.
5.2. Linker- en rechterafgeleide Men noemt
lim
∆y
∆x → 0 ∆ >
x
, resp.
lim
∆y
∆x → 0 ∆ <
, de rechter-, resp. linkerafgeleide van f(x) in het
x
beschouwde punt, op voorwaarde dat de limiet bestaat. Het kan gebeuren dat linker- en rechterafgeleide in een punt verschillend zijn. Meetkundig betekent dit dat de kromme een hoekpunt (knik) heeft, zodat de kromme in dat punt 2 verschillende raaklijnen heeft. De functie is dan niet afleidbaar in dat beschouwde punt. Voorbeeld
y=
1 4
x2 − 1
is continu voor elke waarde van x, maar de rechterafgeleide voor x = 2, is lim f' ( x) = 1
x →2
verschillend van de linkerafgeleide in dat punt, nl.
>
lim f' ( x) = − 1
x →2 <
Besluit: f continu in x = x 0 ⇒ / f afleidbaar in x = x 0 . Maar men bewijst dat, f afleidbaar in x = x 0 ⇒ f continu in x = x 0
Analyse
15
5.3. Verticale raaklijn Voorbeeld. 3
De functie y = x is continu voor elke waarde van x. We berekenen de afgeleide voor x = 0 3 ∆x f (0 + ∆ x ) − f (0 ) 1 lim = lim = lim 3 = +∞ ∆ x →0 ∆ x→ 0 ∆ x ∆ x→ 0 ∆x ∆ x2 De functie is dus niet afleidbaar voor x = 0. Men spreekt van een oneigenlijke afgeleide. Meetkundig betekent dit dat tg a = + ∞, zodat a = 90°. De raaklijn valt dus samen met de y-as.
5.4. Regels voor de berekening van de afgeleide functies 1. afgeleide van een constante y = k ⇒ y' = 0 2. afgeleide van het argument y = x ⇒ y' = 1 3. afgeleide van een som van functies y = u + v + w ⇒ y' = u' + v' + w' 4. afgeleide van een product van functies y = u.v ⇒ y' = u' . v + u.v' 5. afgeleide van een quotiënt van functies u u' . v − u. v' y = ⇒ y' = v v2 6. afgeleide van een macht n n −1 y = u ⇒ y' = n. u .u' 7. afgeleide van de samengestelde van 2 functies D x [(g o f ) ( x )] = D z g (z ) . D x f ( x ) 8. afgeleide van goniometrische functies y = sin x ⇒ y' = cos x y = cos x ⇒ y' = − sin x 1 y = tg x ⇒ y' = cos 2 x −1 y = cotg x ⇒ y' = 2 sin x
Analyse
16
5.5. Opgaven 1. y = x 3 − x 2 − x + 1 2. y =
1 8
x + 3
3 4
x −4 2
(y' = 3x2 − 2x − 1) 3 3 y' = x2 + x 8 2
3. y = (x2 − 4x + 3)
(y' = 2 (x
4. y = x 3 ( x + 6 )2 ( x + 3)
(y' = 3x
2
5. y =
6. y =
7. y =
8. y =
9. y =
2, 5 −5+ 3x −
1 2 x 2
2x 2 − 3
x 2 − 2x + 2 x 2 − 5x + 7
x−2
x2 −1
3
10. y =
x +x+ 3
x3
x2 − 1
11. y = a 2 − x 2
2
− 4x + 3) ( 2x − 4)
) )
( x + 6) (2x2 + 13x + 18)
2,5x − 7,5 y' = 2 1 −5 + 3x − x2 2 −4x 2 + 14x − 6 y' = 2 2 (x − 2x + 2 ) 2 y' = x − 4x +2 3 (x − 2)
−2 (x2 + x + 1) y' = 2 (x 2 − 1)
x (x + 2)
1
2
2 x
2 y' = x 2 + 1 − 2 x
x 2 (x 2 − 3) y' = 2 (x 2 − 1)
y' =
−x
a −x
Analyse
2
2
17
12. y = x + 18 − x2
2 y' = 18 − x − x 18 − x 2
13. y = x3 + 3x 2
2 y' = 3x + 6x 3 2 2 x + 3x
14. y = 2x 3 + 5x − 5
6x 2 + 5 y' = 3 2 2x + 5x − 5
15. y = 4x −1 − x2 − x − 2
2x − 1 y' = 4 − 2 2 x −x− 2
16. y = ( 2x − 1) 4 − x2
y' = 2 4 − x2 − x (2x − 1) 4 − x2
17. y = ( x + 1)
(x + 1) (3x 2 − 9x + 4 ) y' = x 2 − 4x + 3
2
3
x − 4x + 3 2
2 (5x − 2) y' = 2 3 3 (5x 2 − 4x + 1)
18. y = 5x − 4x + 1 2
19. y = (5x 2 − 6x + 4 ) 4 (x2 + 2)
3
20. y =
21. y =
22. y =
x+5
x 2x 2 − 3x + 1 x2 − x + 1
3x
(1+ 2x )5
3 2 + 52x − 24 y' = 35x − 30x 4 2 x2 + 2
y' = − x + 10 2x 2 x + 5 4x3 − 6x2 + 9x − 5 y' = 2 (x2 − x + 1) x2 − x + 1 3 (1 − 3x) y' = (1 + 2x )7
Analyse
18
23. y =
( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4 )
2 − 3x2 ) ( 24. y =
x2 − 9
4x 2
y' =
(x − 1) (x − 2) (x − 3)3 (x − 4)3 −2x 2 + 10x − 11
4 2 y' = −3x − 2x + 36 3 2 4x x − 9
( 2x − 1) 2 x3 − 2 25. y = ( x + 2 )3
(2x − 1) (14x 3 − 2x 2 + 4x − 22 ) y' = 2 4 3 3 ( x + 2 ) x − 2 ( )
26. y = 4 sin 2 x
(y' = 4 sin 2x )
27. y = cos 2x − 5 cos x − 2
(y' = − 2 sin 2x + 5 sin x )
3
28. y = cos 2
29. y =
x 2
sin x + cos x sin x − cos x
x x y' = − sin . cos 2 2
−2 y' = 2 (sin x − cos x )
30. y = x − sin x
(y' = 1 − cos x)
31. y = sin 2x − 2 sin x
(y' = 2 cos 2x − 2 cos x )
32. y = cos x
y' = − sin x 2 cos x
Analyse
19
33. y = 3 cos 2 4x
y' = − 8 sin 4x 3 3 cos 4x
34. y = 4 cos 3x + 3 sin 4x
(y' = − 12 sin 3x + 12 cos 4x )
35. y = cos x + sec 2x
(y' = − sin x + 2tg 2x sec 2x )
36. y =
cos 2x
37. y =
sin x
sin x . cos x 3 cos 2 x − 2 sin2 x
−2 sinxsin 2x − cosxcos2x y' = 2 sin x
3 cos 4 x + 2 sin4 x y' = (3 cos2 x − 2 sin 2 x) 3 cos2 x − 2 sin 2 x
6. Onbepaalde integraal 6.1. Primitieve functies Definitie Een primitieve functie F(x) van de functie f(x) is elke functie met de eigenschap F'(x) = f(x). Eigenschap 1 Is F(x) een primitieve functie van f(x), dan is ook F(x) + k, k ∈ IR , een primitieve functie van f(x). Eigenschap 2 Als F1 (x) en F 2 (x) primitieve functies zijn van f(x) dan verschillen F1 (x) en F 2 (x) slechts door een constante term. Besluit Is F(x) een primitieve functie van f(x), dan worden alle primitieve functies van f(x) gevonden door bij F(x) een willekeurig reëel getal op te tellen.
Analyse
20
6.2. Onbepaalde integraal De onbepaalde integraal van een functie f(x) is de verzameling van alle primitieve functies van f(x). Notatie:
∫ f (x) dx = {F(x) + k
F' (x) = f(x) en k ∈IR}
kortweg noteert men ∫ f (x) dx = F(x) + k
6.3. Eigenschappen
∫ k f (x ) dx = k ∫ f (x) dx 2. ∫ (f ( x) + g(x)) dx = ∫ f (x ) dx + ∫ g(x ) dx 1.
6.4. Fundamentele integralen n ∫ x dx =
x n +1 + k, als n ≠ − 1 n +1
∫ sin x dx = − cos x + k ∫ cos x dx = sin x + k dx
∫ cos
2
x
dx
∫ sin
2
x
= tg x + k
= − cotg x + k
6.5. Substitutiemethode De substitutiemethode is gebaseerd op de formule: ∫ f (g(x )) g' (x) dx = ∫ f (t ) dt met g(x) = t
Analyse
21
6.6. Opgaven Bereken de onbepaalde integraal met integrand gelijk aan: 1.
3
2.
4
x
3 3 x x + k 4
x3
4 4 3 x x + k 7
3. x
x
5
4. x 3 x 2
5.
6.
7.
1 3
x
2 2 x 5 5 4 x 22 3 2
3
x + k 5
x2 + k
x2 + k
1 x9
1 − + k 8x8
4
12 12 x x + k 13
3
x3 x2
8. 2x + 7
(x
9. sin x + cos x
(- cos x + sin x + k)
2
+ 7x + k)
10.
7 2 cos2 x
7 tg x + k 2
11.
1 1 − cos 2x
1 − cotg x + k 2
12.
5x 2 − 8x + 3 x5
5 8 3 − + − + k 2x 2 3x3 4x 4
Analyse
22
13.
1 − cos3 x
tan x − sin x + k
cos2 x
14. 1 + cos 2x
(±
15. (x + 3)
6 (x + 3) + k 6
16. cos 2x
1 sin 2x + k 2
17. cos 2 x
1 1 x + sin 2x + k 2 4
18. sin 2 x
1 1 x − sin 2x + k 2 4
5
5 (x − 5) + k 5
19. (x − 5)
4
2 ( x + 6) x + 6 + k 3
x+6
20.
(8
4
21.
x−5
24.
3x + 4
25.
1 cos 2 4x
26.
3
x−5 + k
)
1 − cos 3x + k 3
22. sin 3x
23. (2x − 7)
2 sin x + k )
5
1 3x − 1
27. (x − 2) x − 2
6 (2x − 7) + k 12
2 (3x + 4 ) 3x + 4 + k 9 1 ( tan 4 x + k ) 4
1 3 2 (3x − 1) + k 2 2 2 ( x − 2) 5
Analyse
x − 2 + k
23
28. (x + 3) 2x + 6
2 ( x + 3)2 5
29. sin3 x
3 − cos x + cos x + k 3
30. cos3 x
3 sin x − sin x + k 3
31. sin 2x . cos x
2 − cos3 x + k 3
32. cos 4 x
3 1 1 x + sin 2x + sin 4x + k 8 4 32
33. sin 4 x
1 1 3 x − sin 2x + sin 4x + k 8 4 32
34.
1 1 + cos x x+3
35. x
36. x 2
x −1
37. (x + 3) x + 2 3
28.
x+2 3x − 1
(tan
2x + 6 + k
x + k) 2
2 2 x + x − 6 ) x + 3 + k 5( 2 (x − 1) (15x 2 + 12x + 8) x − 1 + k 105 3 (x + 2 ) (4x + 15) 3 x + 2 + k 28 2 (3x + 20) 3x − 1 + k 27
Analyse
24
6.7. Partiële integratie Vermits udv = d(uv) - (du)v is
∫ udv = uv − ∫ vdu. Deze formule ligt aan de basis van de partiële integratie.
6.8. Opgaven Bereken de onbepaalde integralen met integrand gelijk aan: 1. x 2 .cos x
(x
2. x. cos x
(x sin x + cos x + k )
3. x 3 sin x
(− x
4. cos 2 x
1 1 x + sin x. cos x + k 2 2
5. cos3 x
1 2 cos2 x. sin x + sin x + k 3 3
6. x.sin x. cos x
1 1 − x. cos 2x + sin 2x + k 4 8
7. x. cos2 x
1 1 2 1 x + x sin 2x + cos 2x + k 4 4 8
2
sin x + 2x cos x − 2 sin x + k )
3
cos x + 3x 2 sin x + 6x cos x − 6 sin x + k )
Analyse
25
7. Bepaalde integraal 7.1. Grondstelling Is
∫ f (x )dx = F (x ) + k , dan is
b
∫ f (x )dx = F (b) − F(a ) = F(x )
b a
.
a
Merk op de bepaalde integraal is een getal.
7.2. Integratiemethoden 7.2.1. Substitutiemethode Voorbeeld. π
I =
2
∫ sin 2x dx 0
- eerste methode: eerst de onbepaalde integraal oplossen
1
1
∫ sin 2x dx = 2 ∫ sin 2x d (2x ) = − 2 cos 2x + k zodat I = −
π 1 1 [cos 2x ] 0 2 = − (−1 − 1) = 1 2 2
- tweede methode: aanpassen van de integratiegrenzen, bij het doorvoeren van de substitutie π
I =
2
∫ sin 2x dx 0
stel 2x = t dan is 2dx =dt x = 0 is t = 0 en voor π x = is t = π 2 π 1 1 bijgevolg is: I = ∫ sin t. dt = − cos t 2 2 0
π
= − 0
Analyse
1 (cos π − cos 0 ) = 1 2
26
7.2.2. Partiële integratie b
∫
b
udv = uv
b a
−
a
∫ vdu a
Voorbeeld. 2
I =
∫x
x − 1 dx
1
u = x → du = dx
dv = x − 1 dx I =
2 3
x (x − 1)
2 2 (2 − 0 ) − . 3 5 3 2
2
−
3 1
v = ∫ (x − 1) d( x − 1) =
⇒ 2
2
3∫
2 (x − 1)3 3
(x − 1)3 dx
1
( x − 1)
2
=
5 1
4 3
−
4 15
(1 − 0 ) =
Analyse
16 15
27
7.3. Opgaven 3
1.
∫ x dx
(4)
1
2
2.
∫ (3x
− 2x + 4 ) dx
2
−2
(32)
π
3. ∫ sin x dx
(2)
0
2
4.
1
∫x
2
1 2
dx
1
2π
x dx
π 2
1 − x 2 dx
π 4
∫ cos
5.
2
π
1
6.
∫ 0
−1
7.
∫x
208 − 15
x + 5 dx
−5
2
8.
x
∫
dx
x +5 2
−2
(0)
π
4 15
9. ∫ cos 2 x sin 3 x dx 0
π
10.
1 4
2
∫ cosx sin
3
x dx
0
Analyse
28
Goniometrie
Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings
1 Hoeken 1.1 De goniometrische cirkel De goniometrische cirkel wordt steeds gedefinieerd in een orthonormaal assenkruis. Het is een cirkel met het middelpunt in de oorsprong en met de gebruikte lengte-eenheid als straal. Men definieert op deze cirkel de positieve zin als de tegenwijzerzin, en de negatieve zin als de wijzerzin (fig. 1).
1.2 Georiënteerde hoeken Een hoek wordt bepaald door 2 gesloten halfrechten met een zelfde beginpunt O. Beschouwen we bij deze hoek [OA als beginbeen en [OB als eindbeen, dan hebben we een georiënteerde hoek. We noteren ∠AOB en duiden de oriëntatie aan door een pijltje van begin- naar eindbeen. We kunnen het pijltje ook in de andere zin tekenen, steeds vertrekkend bij het beginbeen [OA. Het gaat in beide gevallen om dezelfde georiënteerde hoek ∠AOB. De hoek ∠BOA is een andere georiënteerde hoek die we de tegengestelde hoek van ∠AOB zullen noemen (fig. 2). Opmerking: een georiënteerde hoek is eigenlijk de verzameling van alle hoeken die door een rotatie en/of translatie in elkaar kunnen worden getransformeerd. y Z
+
α
B
B
x
O
O ∠AOB A
fig. 1 : de goniometrische cirkel
∠BOA A
fig. 2 : hoeken ∠AOB en ∠BOA
De invoering van de goniometrische cirkel maakt het mogelijk een waarde toe te kennen aan elke georiënteerde hoek ∠OAB, die we voortaan α zullen noemen. Stel de georiënteerde hoek voor in de goniometrische cirkel en laat het beginbeen samenvallen met de x-as (zie fig. 1). Dan snijdt het eindbeen de goniometrische cirkel in het punt Z. Z is dan de voorstelling van de georiënteerde hoek α op de goniometrische cirkel.
Goniometrie
2
Als Z ∈ I: hoek α behoort tot het eerste kwadrant. Als Z ∈ II: hoek α behoort tot het tweede kwadrant. Als Z ∈ III: hoek α behoort tot het derde kwadrant. Als Z ∈ IV: hoek α behoort tot het vierde kwadrant.
fig. 3 : de vier kwadranten
Praktisch worden twee hoekeenheden frequent gebruikt: de 60-delige graad en de radiaal. Enkel de radiaal heeft een wiskundige en reële basis: een hoek van 1 radiaal bepaalt op de cirkel een boog met als lengte 1 maal de straal. Omdat de lengte van de volledige cirkelomtrek 2πR bedraagt, zijn er in een volledige cirkel dus 2π radialen. Omgekeerd, tekent men in het middelpunt van een cirkel met straal R een hoek van θ radialen, dan bepaalt deze op de cirkel een boog met lengte θ.R. Onderverdelingen van radialen worden steeds in decimale vorm geschreven. In een volledige cirkelboog gaan ook 360 graden, elke graad verdeeld in 60 boogminuten en elke boogminuut in 60 boogseconden. De symbolen °, ' en " worden gebruikt voor resp. graden, boogminuten en boogseconden. Naast Z kan je oneindig veel waarden plaatsen, aan elkaar gelijk op een geheel veelvoud van 360° of 2π na, vermits je meerdere omwentelingen in de ene of de andere zin kan maken alvorens bij het eindbeen te eindigen. De verzameling van alle waarden wordt het maatgetal van de georiënteerde hoek α genoemd. De hoofdwaarde van α is die waarde van α welke behoort tot ]- 180°, 180°], resp. ]- π,π].
1.3 Omzetting radialen naar graden en omgekeerd Omdat 2π = 360° gelden de volgende omzettingsformules: °
360r r rad → 2π 2π g g° → rad 360
Opmerking: Bij een hoek uitgedrukt in radialen wordt enkel het maatgetal gegeven zonder de vermelding ‘rad’.
Goniometrie
3
2 De goniometrische getallen 2.1 Definities Beschouw de constructie van de georiënteerde hoek α zoals omschreven in de vorige paragraaf. Het eindbeen van de hoek α snijdt de goniometrische cirkel in het punt Z. Dan noemt men de xcoördinaat van Z de cosinus van α, of kortweg cos α, en de y-coördinaat de sinus van α of kortweg sin α. De keuze van een hoek legt dus ondubbelzinnig haar cosinus en sinus vast. Omgekeerd legt de selectie van een cosinuswaarde en een sinuswaarde de hoek slechts vast op een geheel veelvoud van 2π na. y
Z
sinα 1
x
α cosα
Fig. 4 : Sinus en cosinus op de goniometrische cirkel
Naast sinus en cosinus worden nog gedefinieerd : de tangens : tan α = de secans : sec α =
sin α cos α
de cotangens : cot α =
1 cos α
de cosecans : csc α =
cos α sin α
1 sin α
S1 cscα cotα
1
tanα
S2
sinα
α cosα
1
secα
Fig. 5 : de meetkundige definitie van de goniometrische getallen
Goniometrie
4
Als gevolg van hun definities kunnen de zes goniometrische getallen waarden aannemen in volgende gebieden : sin α ∈ [ -1,1 ]
cos α ∈ [ -1,1 ]
tan α ∈ ] -∞ , +∞ [
cot α ∈ ] -∞ , +∞ [
sec α ∈ ] -∞ , −1] ∪ [ 1, +∞ [
csc α ∈ ] -∞ ,−1] ∪ [ 1, +∞ [
2.2 Enkele bijzondere hoeken en hun goniometrische getallen α
0
30° = π/6
45° = π/4
sin α
0
1/2
2 /2
3 /2
1
cos α
1
3 /2
2 /2
1/2
0
tan α
0
1/ 3
3
∞
cot α
∞
sec α
1
csc α
∞
1
60° = π/3
90° = π/2
1
1/ 3
0
2/ 3
2
2
∞
2
2
2 /3
1
3
Goniometrische getallen van hoeken in het tweede, derde en vierde kwadrant zullen we vinden door herleiding van die hoeken naar het eerste kwadrant via de formules van aanverwante hoeken.
2.3 Tekenverloop van de goniometrische getallen Binnen een kwadrant behouden de goniometrische getallen eenzelfde teken (fig. 5).
+
-
-
-
+
+
sinus cosecans
cosinus secans
+ +
-
+ +
-
+
+
-
tangens cotangens
Fig.6 : tekenverloop van de goniometrische getallen volgens het kwadrant.
Goniometrie
5
2.4 Hoofdformule en afgeleide formules De formule van Pythagoras in de driehoek OPZ (zie fig. 7) levert ons :
OP
2
+ PZ
2
2
= OZ
= = α ; PZ sin = α ; OZ 1 Met OP cos
betekent dit :
cos 2 α + sin 2 α = 1 Dit is de hoofdformule van de goniometrie. Delen we deze formule respectievelijk door de twee termen van het linkerlid :
1 + tan 2 α = sec 2 α 1 + cot 2 α = csc 2 α y
Z
Q
α Ο
P
x
Fig. 7 : de driehoek OPZ
2.5 Voorbeelden 2.5.1 Berekening van goniometrische getallen Gegeven:
sin α = 5 13
Gevraagd:
alle andere goniometrische getallen
Uit het feit dat de sinus van deze hoek positief is volgt dat de hoek in het eerste of het tweede kwadrant ligt. We bepalen dus nu de andere getallen : • uit de hoofdformule : dus
cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 − 25 169 = 144 169
cos α = ± 144 169 = ± 12 13
• tan α = sin α cos α = ± 5 12 • cot α = 1 tan α = ± 12 5 • sec α = 1 cos α = ± 13 12
Goniometrie
6
•= csc α 1= sin α 13 5 De twee mogelijke oplossingen voor enkele van de goniometrische getallen stemmen overeen met de waarden van deze getallen volgens de beschouwde kwadranten. Samengevat : kwadrant
sin
cos
tan
cot
sec
csc
1ste
5/13
12/13
5/12
12/5
13/12
13/5
2de
5/13
-12/13
-5/12
-12/5
-13/12
13/5
2.5.2 Bewijs de volgende identiteit
sec2 α + csc2 α = sec 2 α csc 2 α Bewijs : sec2 α + csc2 α
= = =
1 2
+
1
cos α sin 2 α sin 2α + cos 2 α cos 2 α sin 2 α 1 cos 2 α sin 2 α
= sec 2α csc 2 α
2.6 Goniometrische getallen van aanverwante hoeken 2.6.1 Formules a. Supplementaire hoeken ( = som is π ) sin(π − α) = sin α
cos(π − α) = - cos α
tan(π − α) = - tan α
cot(π − α) = - cot α
b. Anti-supplementaire hoeken ( = verschil is π ) sin(π + α) = - sin α
cos(π + α) = - cos α
tan(π + α) = tan α
cot(π + α) = cot α
c. Tegengestelde hoeken ( = som is 2π ) sin(2π − α) = - sin α
cos( 2π − α) = cos α
tan(2π − α) = - tan α
cot(2π − α) = - cot α
Goniometrie
7
d. Complementaire hoeken ( = som is π / 2 ) sin(π/2 − α) = cos α
cos(π/2 − α) = sin α
tan(π/2 − α) = cot α
cot(π/2 − α) = tan α y
π-α
α x
-α
π+α
Fig. 8 : De aanverwante hoeken van α
De formules van de tegengestelde hoeken reduceren een hoek van vierde naar eerste kwadrant; de formules van anti-supplementaire hoeken van derde naar eerste kwadrant en de supplementaire hoeken van tweede naar eerste kwadrant. Met de formules van complementaire hoeken kunnen hoeken tussen 45° en 90° herleid worden naar hoeken tussen 0° en 45°. het volstaat dus in principe de goniometrische getallen daar te kennen. 2.6.2 Hoeken terugzoeken Wanneer men startend van een zeker goniometrisch getal de hoek terugzoekt die dit getal oplevert zijn er meestal twee oplossingen. Rekenmachines geven systematisch de meest voor de hand liggende oplossing, maar in een praktische situatie kan de tweede oplossing even correct zijn, of zelfs de enige correcte. Het antwoord van een rekenmachine moet dan door de gebruiker aangepast worden, zoniet rekent men met een fout resultaat verder! Onderstaande tabel geeft voor positieve en negatieve goniometrische getallen het kwadrant waarin de oplossing van de rekenmachine ligt, en daarnaast het kwadrant van de tweede oplossing: Invoer
Rekenmachine
Tweede oplossing
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Positieve sinus of cosecans
1
2
Negatieve sinus of cosecans
4
3
Positieve cosinus of secans
1
4
Goniometrie
8
Negatieve cosinus of secans
2
3
Positieve tangens of cotangens
1
3
Negatieve tangens of cotangens
4
2
2.7 Oefeningen 2.7.1 Bepaal voor de gegeven goniometrische getallen de overige goniometrische getallen (zonder vooraf de hoek te bepalen)
2.7.2
1. sin α = − 6 6
2. csc α = 4 3
3. cot α = −13 6
4. sec α = 25 24
Bewijs volgende identiteiten
1. csc 2 α + cot 2 β = csc 2 β + cot 2 α 2.
(1 − sin α ) (1 + sin α ) = cos 2 α cot 2 α ( sec α + 1) ( sec α − 1)
3.
sec α + tan α 1 + sin α 2 =( sec α + tan α ) = sec α − tan α 1 − sin α
4.
(1 + cot α ) ( sec α + 2 tan α ) = 2
2.7.3
(1 + tan α )3 tan α
Vereenvoudig volgende uitdrukkingen steunend op de formules voor aanverwante hoeken.
π cos + x cos (π − x ) sin (π − x ) cos (π + x ) 2 + 1. π π 3π sin − x sin ( x − 2π ) sin + x cos + x 2 2 2
2.
csc(2π + x) sec(π − x) sec(2π − x) csc(π − x) − π π 3π 3π + x csc − x csc − x sec x + sec 2 2 2 2
Goniometrie
9
2.7.4 Bepaal volgende goniometrische getallen: reduceer eerst de hoek naar het eerste kwadrant, gebruik makende van de formules van aanverwante hoeken (gebruik geen rekenmachine). 1. sin 120°
2. cos ( -135° )
3. tan 225°
4. cot − 3π
4
11π 5. tan 3
2.7.5 Los op in IR. Druk de oplossing(en) uit in radialen. 1. cos 5x = −
3. sin 2x =
5. sin x =
3 2
2. sin 5x = −
4. 1 + sin x = 3 sin x
3 sin x
1 π en x ∈ , π ; gevraagd: sin 2x 5 2
7. tan ( 3x + 2 ) =
3 2
6. 2 sin 2 x = 3 cos x
3
Goniometrie
10
3 De goniometrische functies 3.1 Periodieke functies Definitie :
een functie f : IR → IR is periodiek ⇔ ∃ p ∈ IRo : ∀ x ∈ dom f : x+p ∈ dom f ∧ f (x + p ) = f(x)
Indien p een getal is dat hieraan voldoet, dan voldoen ook alle positieve en negatieve veelvouden aan de definitie. We noemen daarom de kleinste positieve waarde p die voldoet de periode P van de functie. Grafisch betekent periodiciteit dat de vorm van de grafiek van f(x) zich herhaalt over opeenvolgende intervallen met lengte P.
3.2 Even en oneven functies Een functie f heet EVEN indien: ∀ x ∈ dom f :
- x ∈ dom f ∧ f (- x) = f(x)
Twee punten met tegengestelde x-waarden moeten dus steeds dezelfde y-waarden hebben. De grafiek is dus symmetrisch tegenover de y-as. Een functie f heet ONEVEN indien: ∀ x ∈ dom f :
- x ∈ dom f ∧ f (- x) = - f(x)
Twee punten met tegengestelde x-waarden moeten dus ook tegengestelde y-waarden hebben. De grafiek is dus symmetrisch tegenover de oorsprong.
3.3 Sinusfunctie sin : IR → [ -1,1 ] : x → sin x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De sinusfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde sinussen.
-π
π
Fig. 9 : de sinusoïde
Goniometrie
11
3.4 Cosinusfunctie cos : IR → [ -1,1 ] : x → cos x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De cosinusfunctie is even, want tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinussen.
-π
π
fig. 10 : de cosinusoïde
3.5 Tangensfunctie π tan : IR \ + kπ , k ∈ IR → IR : x → tan x 2
Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is π. De tangensfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde tangensen.
−π
−
π
π
2
2
π
fig. 11 : de tangensfunctie
3.6 Cotangensfunctie cot : IR \ {kπ , k ∈ IR} → IR : x → cot x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is π. De cotangensfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde cotangensen.
Goniometrie
12
π 2
−π
π
fig. 12 : de cotangensfunctie
3.7 De secansfunctie π sec : IR \ + kπ , k ∈ IR → ] −∞, −1] ∪ [1,+∞[ : x → sec x 2
Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De secansfunctie is even, want tegengestelde hoeken hebben ook gelijke cosinussen en dus gelijke secansen.
−π
−
π
π
2
2
π
fig. 13 : de secansfunctie
3.8 De cosecansfunctie csc : IR \ {kπ , k ∈ IR} → ] −∞,−1] ∪ [1,+∞[ : x → csc x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De cosecansfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben tegengestelde sinussen en dus tegengestelde cosecansen.
Goniometrie
13
−π
−
π 2
π 2
π
fig. 14 : de cosecansfunctie
3.9 Oefeningen 3.9.1 Bepaal de periode van volgende functies en teken hun grafiek 1. f(x) = sin 2x x 2. f(x) = cos 3
3. = f(x) cos π + 3 x
Goniometrie
14
4 Rechthoekige driehoeken 4.1 Formules
fig. 15 : rechthoekige driehoeken gebruikt bij de opstelling van de formules van deze paragraaf
In een rechthoekige driehoek met α als rechte hoek gelden steeds volgende formules: α=
π 2
β+γ =
π 2
a2 = b2 + c2
Tekenen we in bovenstaande driehoek een cirkelsegment met middelpunt in B en straal a (zie eerste driehoek in fig. 15), dan zien we hierin een deel van een cirkel met straal a. De aanliggende rechthoekzijde c en de overstaande rechthoekzijde hebben resp. de volgende lengten: c = a cos β en b = a sin β Op analoge wijze, nu d.m.v. een cirkelsegment met middelpunt in C en straal a (zie tweede driehoek in fig. 15), vinden we: b = a cos γ en c = a sin γ In woorden : De cosinus van een scherpe hoek is de lengte van de aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde De sinus van een scherpe hoek is de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde Delen wij de eerste twee formules dan vinden we : b = c tan β
of
c = b cot β
of
b = c cot γ
Analoog met de laatste twee formules : c = b tan γ
Goniometrie
15
In woorden : De tangens van een scherpe hoek is de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de aanliggende rechthoekzijde De cotangens van een scherpe hoek is de lengte van de aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde Voorbeeld :
Gegeven : α = 90° ; β = 13° ; b = 10 Gevraagd : alle ontbrekende hoeken en zijden
γ = 90° - β = 90° - 13° = 77° b 10 = 44.5 = sin β sin13°
a =
a 2 − b 2 = 43.5
c =
4.2 Oefeningen 1. Gegeven : ∆ABC met a = 45, α = 90° ; β = 40°10'35" Gevraagd : de overige zijden en hoeken 2. Een schuifladder staat schuin tegen een verticale muur op een horizontale grond. Helemaal uitgetrokken vormt hij met de vloer een hoek van 53°18' ; helemaal ingeschoven is de hoek 29°10', terwijl de top op dat moment op een hoogte van 5m tegen de muur leunt. In de veronderstelling dat de voet van de ladder op zijn plaats blijft, bereken : • •
de maximale hoogte die men kan bereiken de maximale lengte van de ladder
3. Een lichtstraal die schuin op het water invalt, ondergaat een breking die in de volgende formule wordt uitgedrukt: sin α 4 = . sin β 3 Een lichtstraal die loodrecht invalt, treft de bodem in het punt P. Op welke afstand van P treft de lichtstraal de bodem als de invalshoek 30° bedraagt en het water 1 m diep is. Opmerking: los deze oefening op zonder de hoek β te berekenen.
Goniometrie
16
In mechanica zal je te maken krijgen met oefeningen waarin krachten moeten berekend worden. In de volgende oefeningen worden dergelijke situaties geschetst. Hier beperken we ons tot het berekenen van hoeken tussen staven. 4. Bereken: • •
hoek tussen FE en het horizontaal vlak hoek tussen FC en het verticaal vlak
fig. 17 : illustratie bij oefening 4
5. Bereken hoek tussen CD en DF
fig. 18 : illustratie bij oefening 5
6. Bereken hoek tussen BC en CD
fig. 19 : illustratie bij oefening 6
Goniometrie
17
5 Willekeurige driehoeken Voor de volledigheid vermelden we eerst dat ook voor willekeurige driehoeken blijft gelden dat de som van de hoeken 180° is. Aan de hand van de formules voor rechthoekige driehoeken kan men formules opstellen voor willekeurige driehoeken. We beschouwen hiervoor een willekeurige driehoek ∆ABC met zijden a, b en c en hoeken α, β en γ.
5.1 De sinusregel De hoogtelijn uit A op de overstaande zijde a snijdt deze in het punt S. Op deze wijze wordt de driehoek verdeeld in twee rechthoekige driehoeken met een gemeenschappelijke zijde AS, met lengte d. De lengte d kan men nu beschrijven vanuit het punt B, in de driehoek ∆ΑΒS enerzijds, en vanuit het punt C in de driehoek ∆ASC anderzijds :
fig. 20 : Willekeurige driehoek
d = c sin β Dus bekomen we
en
d = b sin γ
sin β sin γ = b c
Een zelfde redenering met een andere hoogtelijn brengt ook nog de zijde a en haar overliggende hoek α in de gelijkheid. Dit geeft ons de SINUSREGEL :
sin α sin β sin γ = = a b c
5.2 De cosinusregel Deze regel kan op verschillende manieren worden afgeleid. In fig. 15 wordt de zijde a door S in twee stukken gedeeld met lengte a1 en a2. We kunnen dan a1 en d respectievelijk schrijven als a1 = b cos γ d = b sin γ In de rechterdriehoek ABS geldt volgens Pythagoras:
Goniometrie
18
c 2 = d 2 + a 22 = d 2 + (a-a1 ) 2 = b 2 sin 2 γ + a 2 + a12 - 2 a a1 = b 2 sin 2 γ + a 2 + b 2 cos 2 γ - 2 a b cos γ = b 2 + a 2 - 2 a b cos γ Dezelfde uitdrukking kan bekomen worden indien het voetpunt S buiten de zijde a valt. Vervolgens kunnen analoge uitdrukkingen worden afgeleid voor de andere hoeken. Samengevat krijgen we op die manier: COSINUSREGEL : a2 = b2 + c2 - 2 b c cos α b2 = a2 + c2 - 2 a c cos β c2 = a2 + b2 - 2 a b cos γ Merk op dat de cosinusregels in feite niets anders zijn dan de stelling van Pythagoras, uitgebreid met een bijkomende cosinusterm in een bepaalde hoek. Indien de driehoek in deze hoek rechthoekig is valt de cosinusterm weg en krijgen we zuiver de stelling van Pythagoras.
5.3 Oplossen van een willekeurige driehoek Met het oplossen van een willekeurige driehoek bedoelt men het berekenen van de ontbrekende zijden en hoeken van de driehoek, uitgaande van een minimum aantal gegevens. Hierbij wordt gebruik gemaakt van 3 soorten formules, die geldig zijn in alle driehoeken: • de som van de hoeken is 180° • de sinusregel: betrekkingen tussen 2 zijden en hun overstaande hoeken • de cosinusregel: betrekkingen tussen de 3 zijden en één hoek. Uiteraard moeten de gegevens zodanig zijn dat ze elementen van een driehoek kunnen zijn. De gegeven hoeken mogen samen niet meer dan 180° bedragen, en de zijden moeten voldoen aan de driehoeksongelijkheid, nl. de som van 2 zijden moet steeds groter zijn dan de derde zijde. a. Gegeven twee zijden a en b en hun tussenliggende hoek. Dan is er 1 oplossing: bepaal de derde zijde uit zijn cosinusregel, een andere hoek via de sinusregel en de derde hoek als 180° min de twee reeds gekende. Opgelet: de sinusregel geeft 2 oplossingen voor de tweede hoek (nl. supplementaire hoeken). Toets de oplossingen aan de driehoekseigenschappen. (Zie oefeningen)
Goniometrie
19
b. Gegeven één zijde en zijn twee aanliggende hoeken. Dan is er één oplossing: de derde hoek is onmiddellijk gekend als 180° min de twee gegeven hoeken, de twee overige zijden zijn gekend via de sinusregel. c. Gegeven de drie zijden. Dan is er één oplossing: bepaal een hoek uit een cosinusregel, de tweede eveneens of uit de sinusregel, de derde via de som van de hoeken die 180° moet zijn. d. Gegeven de zijden a en b en aanliggende hoek aan a. In dit geval kunnen er 0, 1 of 2 oplossingen zijn. Bepaal de hoek α uit de sinusregel. Dit levert 0 (indien sin α > 1) of 2 oplossingen (supplementaire hoeken hebben gelijke sinus) naar gelang de getalwaarden van de begingegevens. Voor elk van de oplossingen bepaal je de ontbrekende hoek γ, en dan de zijde c via de sinusregel. Tenslotte ga je na of elk van de gevonden oplossingen zinvol is: er mogen geen negatieve hoeken of zijden voorkomen. (Zie oefeningen)
5.4 Oefeningen 1. Een toren wordt vanop het grondoppervlak gezien onder een hoek van 21°. Gaat men 24 meter dichterbij, dan is die hoek 35°. Bepaal de hoogte van de toren. 2. Twee vliegtuigen vertrekken van éénzelfde punt elk in een andere richting. De richtingen maken onderling een hoek van 32°. De snelheid van het eerste vliegtuig is 600 km/u, van het tweede 900 km/u. Bepaal hun onderlinge afstand na anderhalf uur. 3. Een vlaggenstok steekt omhoog uit een gevel met een hoek van 45°. Vijf meter boven het steunpunt van de stok in de muur bevestigt men aan de muur een kabel van 3.60 meter. Op welke afstand van het steunpunt zal men het andere einde van de kabel aan de stok kunnen vastmaken.
fig. 21 : illustratie bij oefening 3
4. Los de vorige oefening ook op met een kabel van 2 meter, en daarna met een kabel van 8 meter. 5. Drie waarnemers bevinden zich op onderlinge afstanden van 2, 3 en 4 meter. Bepaal voor elke waarnemer de hoek waaronder hij de twee andere ziet.
Goniometrie
20
6. Een boot vaart pal noord en ziet een vuurtoren op 40° naar het oosten. Na 20 km te hebben gevaren is de hoek toegenomen tot 80°. Bepaal op beide punten de afstand van de boot tot de vuurtoren. 7. Hier volgt opnieuw een situatie uit mechanica. Bepaal de hoek tussen de touwen AC en AD.
Fig. 22 : illustratie bij oefening 7
Goniometrie
21
6 Aanvullingen 6.1 Speciale lijnen in een driehoek 6.1.1 Hoogtelijn = de loodlijn uit een hoekpunt op de overstaande zijde. Het voetpunt van de hoogtelijn kan buiten deze zijde liggen. Eigenschap : De hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, het hoogtepunt. Dit kan buiten de driehoek liggen.
Z
H
fig. 23 : hoogtelijnen
fig.24 : zwaartelijnen
6.1.2 Zwaartelijn = verbindingslijn tussen een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde. Eigenschap : De zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, het zwaartepunt. Dit ligt binnen de driehoek.
6.1.3 Andere lijnen Ook de bissectricelijnen snijden in één punt. Dit punt ligt binnen de driehoek. Ook de middelloodlijnen snijden in één punt. Dit punt kan buiten de driehoek liggen.
6.2 Gelijkbenige driehoeken α b
h
b
H β
β a
fig. 25 : gelijkbenige driehoek
Goniometrie
22
Indien een driehoek twee gelijke zijden heeft noemt men deze gelijkbenig. De twee gelijke zijden noemt men de opstaande zijden, de derde zijde is de basis. De hoek tegenover de basis is de tophoek. De twee andere hoeken zijn noodzakelijkerwijze gelijk en worden de basishoeken genoemd. Eigenschap : de hoogtelijn en de zwaartelijn uit de tophoek vallen samen. Noemen we deze hoogtelijn h, de opstaande zijde b, de basis a, de tophoek α en de basishoek β: dan : h = b sin β
en
a = b cos β 2
6.2.1 Oefeningen 1. Stel analoge formules op die de tophoek gebruiken. 2. Bepaal de grootte van de hoeken van een gelijkbenige driehoek met basis 8 en opstaande zijde 14. 3. Bepaal de lengte van de opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek met tophoek 42° en basis 12. 4. Bepaal de lengte van elke zijde van een gelijkbenige driehoek met tophoek 36° en tophoogtelijn 28. 5. In een gelijkbenige driehoek met tophoek 24° ligt het hoogtepunt op afstand 26 cm van de top. Bepaal alle hoeken en zijden.
6.3 Gelijkzijdige driehoeken 60°
a
a
H=Z
60°
60°
a fig. 25 : gelijkzijdige driehoek
Indien in een driehoek de drie zijden gelijke lengte hebben noemt men de driehoek gelijkzijdig. Als gevolg zijn ook de drie hoeken aan elkaar gelijk, en dus gelijk aan 60°. Eigenschap : de hoogtelijn uit een bepaalde hoek valt samen met de zwaartelijn uit deze hoek. Hoogtepunt en zwaartepunt vallen samen.
Goniometrie
23
6.3.1 Oefeningen 1. Bepaal de afstand van het zwaarte/hoogtepunt tot één van de hoekpunten in functie van de lengte van de zijde (gelijkzijdige driehoek) 2. Bepaal de lengte van een hoogtelijn in een gelijkzijdige driehoek met zijde 28 cm 3. De hoogtelijn van een gelijkzijdige driehoek heeft lengte 8 cm. Bepaal de lengte van de zijden.
6.4 Buitenhoeken De buitenhoek van een hoek in een driehoek is het supplement van deze hoek. Bijgevolg is elke buitenhoek gelijk aan de som van de twee andere hoeken. De som van de buitenhoeken is dus 360° of 2π .
Goniometrie
24
7 Goniometrisch rekenen De formules uit deze paragraaf behandelen de berekening van de goniometrische getallen van een som of verschil van twee hoeken, van een dubbele of halve hoek, de omzettingen tussen sommen en producten van sinussen en cosinussen... Minstens even belangrijk als de kennis van deze formules is hun onderlinge samenhang, de manier waarop de ene formule snel uit de andere kan worden afgeleid. Op die manier hoeven slechts enkele formules gememoriseerd te worden. Merk op dat volgende formules vaak worden gebruikt bij het oplossen van integralen.
7.1 Som- en verschilformules Startend vanaf één van de zes formules kunnen de andere eenvoudig worden afgeleid. Nemen we de somformule voor de sinus: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
(1)
Vervang hierin β door -β , met sin(-β) = - sin β, cos(-β) = cos β: sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
(2)
Voor de analoge cosinusformules: cos(α + β)
= sin[
π 2
= sin [( = sin(
- (α + β)]
π
π 2
2
- α ) - β]
- α) cos β - cos(
π 2
- α) sin β
of nog : cos(α+ β) = cos α cos β - sin α sin β
(3)
Wordt hierin opnieuw β vervangen door -β : cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
(4)
Merk op : de sinusformules behouden het plus- of minteken maar mengen de goniometrische functies. De cosinusformules wijzigen het teken maar houden de goniometrische functies bij elkaar. We delen vervolgens (1) lid aan lid door (3), en delen we vervolgens in het rechterlid teller en noemer door cos α cos β :
tan α + tan β tan(α + β ) = 1 − tan α tan β
(5)
Goniometrie
25
en vervangen we β door -β, dan bekomen we:
tan α − tan β tan(α − β ) = 1 + tan α tan β
(6)
7.2 Verdubbelingsformules Nemen we in de voorgaande somformules β gelijk aan α dan vinden we de formules voor dubbele hoeken : cos 2α = cos 2 α - sin 2 α sin 2α = 2 sin α cos α 2 tan α tan 2α = 1 − tan 2 α
(7) (8) (9)
Twee nuttige vormen van (7) krijgt men door cos2 α te vervangen door 1 - sin2 α, of sin2 α door 1 - cos2 α : cos 2α = 1 - 2 sin 2 α cos 2α = 2 cos 2 α - 1
(10) (11)
En dus: 1 2 ( 1 - cos 2α ) 1 cos 2 α = 2 ( 1 + cos 2α )
sin 2 α =
(12) (13)
7.3 Halveringsformules Vervang 2α door α in (10) en (11): α cos α = 1 - 2 sin 2 2 α cos α = 2 cos 2 2 - 1
(14) (15)
7.4 Goniometrische getallen in functie van tan α/2 In (8) delen en vermenigvuldigen we het rechterlid met sec 2 α . Door in de noemer 1 + tan 2 α = sec 2 α (zie $ 2.4.) te gebruiken en in de teller een secans weg te werken samen met de cosinus vinden we : sin 2α =
2 tan α 1 + tan 2 α
(16)
Goniometrie
26
Vervangen we α hierin door 2 tan
sin α =
1 + tan
α : 2
α 2 2
(17)
α
2 Door een zelfde operatie op (7) vinden we :
cos α =
1 − tan 2 1 + tan
α 2
(18)
2 α
2
en door in (9) α te vervangen door
tan α =
2 tan 1 − tan
α : 2
α 2 2
(19)
α 2
7.5 Omzettingen van som/verschil naar product en omgekeerd In de somformules (1) en (2) zit in het rechterlid als gemeenschappelijke factor het product sin α cos β. Door (1) en (2) lid aan lid op te tellen en vervolgens beide leden door 2 te delen bekomen wij : sin α cos β =
1 [ sin(α + β) + sin(α - β) ] 2
(20)
Op analoge manier vinden we door (1) en (2) lid aan lid af te trekken : 1 cos α sin β = [ sin(α + β) - sin(α - β) ] (21) 2 Door ook (3) en (4) eens bij elkaar op te tellen en eens van elkaar af te trekken bekomen we nu: 1 cos α cos β = 2 [ cos(α + β) + cos(α - β) ] (22) 1 (23) sin α sin β = 2 [ cos(α - β) - cos(α + β) ] Deze vier formules zetten een product van twee cosinussen en/of sinussen met verschillend 1 naar het argument om in een som. De omgekeerde formules bekomen we door de factor 2 andere lid te brengen en vervolgens : p+q 2
α:
te vervangen door
β:
p-q te vervangen door 2 Goniometrie
27
Dit geeft ons tenslotte de formules van Simpson: p+q p-q cos 2 2 p+q p-q sin 2 sin p - sin q = 2 cos 2 p+q p-q cos cos p + cos q = 2 cos 2 2 p+q p-q sin cos p - cos q = - 2 sin 2 2 sin p + sin q = 2 sin
(24) (25) (26) (27)
7.6 Oefeningen 1. In een driehoek geldt: sin 2 α + sin 2 β − sin 2 γ = 2sin α sin β cos γ
Bewijs.
2. Bereken en/of vereenvoudig: π π a. tan α − + cot α + 4 4 b.
sin α − cos α sin α + cos α
3. Schrijf in functie van machten van sin α en/of cos α: a. sin 3α b. cos 4α c. tan d.
sin
α 2
α
cos
2
α 2
+ cos − sin
α 2
α
2
4. Ontbind in factoren: a. sin 3α − sin α
( opl: 2 cos 2α sin α )
b. cos 4α + cos 5α + cos 6α
( opl: cos 5α (2 cos α + 1) ) 2 α opl: 2 tan α sin 2 ( opl: sin(α + β ) sin(α − β ) )
c. tan α − sin α d. cos 2 β − cos 2 α
Goniometrie
28
Chemie
A. Deschuytere S. De Jonge
Hoofdstuk 1. Inleiding 1. Praktische informatie. Het eerste jaar Bachelor in de Industriële Ingenieurswetenschappen bij KULeuven campus GroepT omvat verschillende opleidingsonderdelen waaronder het vak Chemie. In dit vak worden een aantal voor een ingenieur belangrijke aspecten van de Chemie behandeld. Daarbij veronderstellen we dat je als student reeds een zekere voorkennis van Chemie hebt. Vele studenten zullen de meeste onderdelen van deze basiskennis reeds in hun vorige opleidingen bestudeerd hebben. Andere daarentegen hebben maar weinig Chemie gehad. Daarom heeft de Eenheid Materie, die verantwoordelijk is voor alle opleidingsonderdelen die met Chemie te maken hebben, de hiernavolgende tekst opgesteld. Normaal gezien kan je deze gebruiken om zelfstandig de voorkennis Chemie in te studeren. Om je hierbij echter te begeleiden organiseren we een introductiecursus voor beginnende studenten. Voor het gedeelte Chemie is dit de cursustekst. Tijdens de cursus van het eerste bachelorjaar wordt een handboek gebruikt als cursustekst. Een aantal van de begrippen die hier besproken worden komen ook voor in dit handboek (General Chemistry, Chang, McGraw-Hill, 4de ed.).
2. Chemie en chemische technologie Chemische technologie omvat alle processen die de mens gebruikt om de structuur en de samenstelling van de materie te wijzigen. Vele van deze processen zijn even oud als de mens zelf, andere zijn slechts zeer recent ontwikkeld. Processen die in de voedselbereiding of in de metaalverwerkende industrie gebruikt worden behoren tot de oudste processen. De ontwikkeling van nieuwe geneesmiddelen, brandstofcellen en organische halfgeleiders zijn enkele voorbeelden van meer recente ontwikkelingen in de chemische technologie.
3. Materie Materie is alles wat ons omringt. De materie kan duidelijk zichtbaar zijn maar ook onzichtbaar (de gassen in de ons omringende atmosfeer bvb.). De materie kan van natuurlijke oorsprong zijn of door de mens gemaakt. De mens zelf is opgebouwd uit materie. We kunnen de materie bewerken om er nieuwe vormen van te maken. Materie kan gekleurd zijn of niet, doorzichtig of ondoorzichtig, inert of eerder reactief. Bij deze grote verscheidenheid in de ons omringende materie kunnen we ons afvragen waaruit de materie is opgebouwd, hoe de materie die in het universum aanwezig is, ontstaan is en wat de relatie is tussen materie en energie. De kennis van de samenstelling en de structuur van de materie laat ons ook toe ermee te werken. Onderzoek heeft aangetoond dat de materie, in al zijn vormen en verscheidenheid, opgebouwd is uit een aantal fundamentele bouwstenen, de atomen. De kennis van de atomen en de wijze waarop ze met elkaar binden laat ons toe toe vele eigenschappen van de materie te verklaren.
Chemie
2
Als toekomstige ingenieur is inzicht in de samenstelling en de eigenschappen van de materie bijzonder belangrijk. Vele functies die je als ingenieur kan uitvoeren hebben te maken met het werken met materie.
Chemie
3
Hoofdstuk 2. Het atoom 1. Atomen en materie. De atomen zijn de bouwstenen waaruit de materie is opgebouwd. In de natuur komen 92 verschillende atomen voor. Sommige daarvan zijn zeldzaam, andere komen in zeer grote hoeveelheden in het universum voor. Ook op aarde komen al deze atomen in meer of mindere mate voor (tabel 1). Tabel 1 Het voorkomen van atomen in de aardkorst Atoom Zuurstof Silicium Aluminium Ijzer Calcium Magnesium Alle andere atomen
Aanwezigheid in de aardkorst (in %) 45,5 27,2 8,3 6,2 4,7 2,8 5,3
De atomen worden gevormd in sterren. Naast de 92 zogenaamd natuurlijke atomen zijn er ook een aantal atomen die door de mens worden gemaakt. Het zijn de synthetische of transuraan atomen. Zij zijn het resultaat van reacties in kernreactoren of deeltjesversnellers.
2. De bouw van het atoom. A. Elementaire deeltjes. Atomen bestaan zelf uit nog kleinere deeltjes, die elementaire deeltjes genoemd worden. Verschillende atomen zijn dan opgebouwd uit een verschillend aantal van deze deeltjes. De deeltjes waaruit atomen zijn opgebouwd zijn de protonen, de elektronen en de neutronen. Tabel 2 geeft informatie over de massa en de lading van deze deeltjes. Tabel 2 De eigenschappen van de elementaire deeltjes in atomen Proton Neutron Elektron
Massa (in g) 1,67262 x 10-24 1,67493 x 10-24 9,10939 x 10-28
Lading (in C) + 1,6022 x 10-19 0 - 1,6022 x 10-19
B. De lading van de elementaire deeltjes. Uit tabel 2 blijkt dat protonen en elektronen geladen zijn. De protonen hebben een positieve lading, de elektronen een negatieve lading. De neutronen zijn neutrale deeltjes.
Chemie
4
Atomen bevatten evenveel elektronen als protonen zodat zij steeds neutraal zijn. Het atoom zuurstof bvb bevat 8 protonen in de kern en 8 elektronen daarrond. Atomen kunnen wel elektronen afgeven of opnemen zodat er geladen deeltjes, ionen, ontstaan (zie verder). De lading van het elektron (of proton) is de kleinste lading, waarvan alle andere ladingen (ook deze die in de elektriciteit gebruikt worden) veelvouden zijn. Daarom wordt deze waarde de elementaire ladingseenheid (ele) genoemd. Een elektron heeft dus een lading van –1 ele (of gewoon –1) het proton een lading van +1 ele (of +1). 1 ele komt (afgerond) overeen met 1,6 x 10-19 C
C. De massa van elementaire deeltjes. Wat massa betreft zijn protonen en neutronen ongeveer even zwaar, terwijl de elektronen een veel kleinere massa hebben. De massa van de elektronen zal slechts in heel beperkte mate bijdragen tot de massa van een atoom. Meestal wordt de massa van de elektronen dan ook verwaarloosd (zie verder voor een rekenvoorbeeld). De protonen en de neutronen (de zware deeltjes) vormen samen de kern (nucleus) van het atoom. Zij worden daarom ook de nucleonen genoemd. De kern bevat dus bijna alle materie van een atoom. De elektronen daarentegen vormen een soort ijle ruimte rond de kern. Alhoewel niet alle atomen even groot zijn kan men stellen dat de straal van een gemiddeld atoom ongeveer 100 pm bedraagt (een pm komt overeen met 10-12 m). De kern daarentegen meet gemiddeld 5 x 10-3 pm.
D. De samenstelling van de atomen De verschillende atomen waaruit de materie is opgebouwd, onderscheiden zich van elkaar door het aantal protonen in de kern. Dit aantal varieert van 1 tot 92 in de natuurlijke atomen en is hoger in de synthetische atomen. De atomen kunnen gerangschikt worden op basis van het aantal protonen in de kern. Dit aantal, voorgesteld met het symbool Z, is het atoomnummer. Het atoomnummer voor de natuurlijke atomen varieert van 1 tot 92 en is hoger dan 92 in de transuraan atomen. Alhoewel de atomen kunnen beschreven en gerangschikt worden op basis van hun atoomnummer is het om praktische redenen beter ze een naam en een symbool te geven. Zo wordt het atoom dat in zijn kern slechts één proton heeft (Z=1) waterstof genoemd. Het krijgt het symbool H. De volledige lijst van de atomen met hun atoomnummer, naam en symbool vind je terug in de periodieke tabel.
3. Isotopen. Van een atoom, gedefinieerd door zijn atoomnummer, kunnen verschillende isotopen bestaan. Dit zijn varianten van een atoom die hetzelfde atoomnummer hebben maar een verschillend aantal neutronen (in de kern). Het totaal aantal deeltjes in de kern van een atoom (protonen en neutronen) wordt het massagetal van een atoom genoemd. Het massagetal krijgt het symbool A. Isotopen van een atoom hebben dus hetzelfde atoomnummer maar een verschillend massagetal. Tabel 3 toont de isotopen van enkele atomen. Isotopen kunnen stabiel zijn of door radioactief verval verdwijnen. Dit verval kan snel of traag gebeuren. Chemie
5
Tabel 3 Isotopen van enkele atomen (niet alle bestaande isotopen zijn vermeld). Atoomnummer (Z)
Naam (Symbool)
Massagetal van de isotopen
Voorkomen (in %)
1
Waterstof (H)
1 2
99,985 0,015
6
Koolstof (C)
12 13
98,89 1,11
20
Calcium (Ca)
40 42 43 44 46 48
96,97 0,64 0,14 2,1 0,003 0,18
92
Uraan (U)
235 238
0,72 99,27
Men heeft vastgesteld dat het procentueel voorkomen van de isotopen een constante waarde is, onafhankelijk van de plaats waar men de atomen verzamelt. De isotopen van een atoom hebben dezelfde chemische eigenschappen. Dit heeft te maken met het feit dat de chemische eigenschappen van een atoom (hoe het bindingen vormt bvb.) afhangen van het aantal elektronen en niet van de kern. Isotopen hebben hetzelfde aantal elektronen daar zij hetzelfde atoomnummer hebben.
4. Voorstelling van een atoom. In de meeste gevallen wordt een atoom voorgesteld met behulp van zijn symbool. Dit is zeker zo wanneer men de formules van moleculen schrijft. Soms echter wenst men bijkomende informatie te vermelden. Wanneer het gaat om een specifieke isotoop kan men het massagetal toevoegen. Dit wordt dan links bovenaan naast het symbool vermeld zoals in volgende voorbeelden. Voorbeeld 1 De voorstelling van enkele isotopen Het uraan isotoop met massagetal 238: 238U (uitgesproken “uraan 238”) Het waterstofisotoop met massagetal 2: 2H. Het koolstofisotoop met massagetal 14: 14C Eventueel kan het atoomnummer vermeld worden en dan wordt dit links onderaan geschreven. De isotopen van waterstof krijgen eveneens een eigen naam. Tabel 4 De isotopen van waterstof Isotoop 1 H 2 H 3 H
Naam Waterstof Deuterium Tritium
Chemie
6
5. Atoommassa. A. Absolute atoommassa. De massa (gewicht) van een atoom is gelijk aan de som van de massa’s van de elementaire deeltjes waaruit het is opgebouwd. Het volstaat dus te weten hoeveel protonen en hoeveel neutronen het atoom bevat. Het aantal elektronen is gelijk aan het aantal protonen. Voorbeeld 2 Wat is de massa van het 2H waterstofisotoop? Wat is de bijdrage van het elektron tot deze massa? Dit isotoop bevat 2 nucleonen (1 proton, 1 neutron) en 1 elektron. Massa waterstof atoom 2H = massa proton + massa neutron + massa elektron. Massa 2H = 1,67262 x 10-24 g + 1,67493 x 10-24 g + 9,10939 x 10-28 g. Massa 2H = 3,34846 x 10-24 g De bijdrage van het elektron = (9,10939 x 10-28 g/ 3,34846 x 10-24 g) x 100% = 0,0272 % Zoals blijkt uit deze berekening draagt de massa van het elektron slechts in beperkte mate bij tot de totale massa van dit atoom. Daarom wordt deze massa meestal verwaarloosd.
B. De atomaire massa eenheid. De massa van een atoom uitgedrukt in gram is een bijzonder klein getal. Het gebruik van deze eenheid om de atoommassa uit te drukken is dan ook onpraktisch. Om die reden werd een nieuwe eenheid ingevoerd die toelaat op een eenvoudige manier zulke kleine massa’s weer te geven. Deze eenheid is de atomaire massa eenheid (ame). Deze wordt gedefinieerd als 1/12 van de massa van een 12C-isotoop. Vermist dit isotoop bestaat uit 6 protonen en 6 neutronen betekent dit dat de ame het gemiddelde is van de massa van een proton en een neutron. De waarde van de ame (afgerond) = 1,6 x 10-24 g . De massa van gelijk welk atoom (of isotoop) kan dan uitgedrukt worden als een veelvoud van de atomaire massa eenheid. Voorbeeld 3 Wat is de massa van het 2H-isotoop uitgedrukt in ame? De massa van dit isotoop (zie hoger) = 3,34846 x 10-24 g Massa 2H uitgedrukt in ame = 3,34846 x 10-24 g/1,6 x 10-24 g/ame = 2 ame (afgerond)
C. Gemiddelde atoommassa. Wanneer men spreekt over een bepaald atoom, zoals Chloor, dan heeft men het in werkelijkheid over een verzameling atomen bestaande uit verschillende isotopen met elk een andere massa. Rekening houdend met de massa van elk isotoop en met het Chemie
7
(constante) relatieve voorkomen van deze isotopen kan men voor een atoom een gemiddelde atomaire massa berekenen. Onderstaand voorbeeld toont dit aan. Voorbeeld 4 De berekening van de gemiddelde atoommassa van chloor. Chloor bestaat uit de volgende isotopen: 35
Cl: een atoommassa van 34,9688 ame en een procentueel voorkomen van 75,53 %
37
Cl: een atoommassa van 36,965 ame en een procentueel voorkomen van 24,47 %
De gemiddelde atoommassa van Chloor = 34,9688 ame x 75,53/100 + 36,965 ame x 24,47/100 = 35,45 ame Op deze wijze kan men voor elke atoomsoort een gemiddelde atoommassa berekenen.
D. Relatieve gemiddelde atoommassa. Zoals blijkt uit vorige berekeningen kan de massa van een gemiddeld atoom weergegeven worden als een veelvoud van de ame. Dit veelvoud wordt de relatieve (gemiddelde) atoommassa (Ar) genoemd. De relatieve atoommassa wordt gedefinieerd als een getal dat aangeeft hoeveel maal het gemiddeld atoom zwaarder is dan de ame. Het is dit getal (dat geen eenheid heeft) dat in de periodieke tabel samen met andere eigenschappen van het atoom vermeld wordt. Voorbeeld 5 Wat is de massa van een aluminiumatoom? In de periodieke tabel vindt men voor de relatieve atoommassa van aluminium de waarde 27 Een (gemiddeld) aluminiumatoom weegt dus: Massa Al-atoom = Ar(Al) x ame = 27 x 1,6 x 10-24 g = 4,32 x 10-24 g
6. Het begrip mol. De massa van de atomen is zeer klein. Dat betekent dat men in de praktijk steeds met zeer grote aantallen atomen zal werken. Een druppel water bvb met een volume van 0,05 ml (dit is ook 0,05 g) bevat ongeveer 5 x 1021 atomen (waterstof en zuurstof). Om met zulke grote aantallen te kunnen werken heeft men het begrip mol ingevoerd. Een mol wordt gedefinieerd als een aantal dat overeenkomt met 6,02 x 1023. Dit getal noemt met het getal van Avogadro (symbool NA). Het komt overeen met het aantal atomen aanwezig in 12 g van het 12C-isotoop. Het begrip mol is vergelijkbaar met andere begrippen die eveneens een aantal aangeven zoals paar (2), dozijn (12), honderd (100) enz. Gezien de waarde van mol heeft het gebruik ervan enkel zin bij het weergeven van de aantallen van zeer kleine deeltjes zoals elektronen, protonen, atomen of, zoals verder blijkt, moleculen.
Chemie
8
Voorbeeld 6 Hoeveel mol atomen zijn er in 0,05 g water? In 0,05 g water zijn er 5 x 1021 atomen. Het aantal mol atomen hierin = aantal atomen/NA Het aantal atomen in 0,05 g water = 5 x 1021 atomen/ 6,02 x 1023 atomen per mol = 0,00831 mol atomen
7. Molaire massa. De molaire massa van een deeltje (atoom, elektron e.d.) is de massa van 1 mol (6.02 x 1023 ) van deze deeltjes. De molaire massa (symbool MM) bekomt men door de massa van één deeltje te vermenigvuldigen met het getal van Avogadro. De eenheid van molaire massa is g/mol. Voorbeeld 7 Wat is de molaire massa van aluminium? De relatieve atoommassa van aluminium (uit periodieke tabel) = 27 De molaire massa van aluminium is: MM(Al) = aantal atomen in 1 mol x massa van 1 atoom MM(Al) = NA atomen/mol x Ar(Al) x ame MM(Al) = 6.02x1023 atomen/mol x 27 ame/atoom x 1,6 x 10-24 g/ame MM (Al) = 27 g/mol Zoals blijkt uit dit voorbeeld is de absolute waarde van de molaire massa van een atoom gelijk aan de relatieve atoommassa van dit atoom. Om de molaire massa van een atoom te kennen volstaat het dus de relatieve atoommassa uit een tabel af te lezen en de eenheid g/mol er aan toe te voegen. Onderstaande tabel geeft hiervan enkele voorbeelden. Tabel 5 Enkele voorbeelden van de molaire massa van atomen. Atoom O Al Si V U
Ar (afgerond, uit periodieke tabel) 16 27 28 89 238
1 mol van dit atoom weegt 16 g 27 g 28 g 89 g 238 g
Opmerking: de verschillende massa’s in tabel 5 bevatten allemaal hetzelfde aantal deeltjes (nl. 1 mol of 6,02 x 1023).
Chemie
9
8. De periodieke tabel. In de periodieke tabel worden de atomen gerangschikt op basis van hun atoomnummer. Bovendien is de tabel zodanig opgebouwd dat atomen die gelijkaardige eigenschappen hebben samen staan, hetzij vertikaal hetzij horizontaal. De kolommen in de periodieke tabel worden groepen genoemd. De rijen in de periodieke tabel worden perioden genoemd. De atomen die in eenzelfde groep voorkomen vertonen zeer gelijkaardige eigenschappen. Dit is de reden waarom deze groepen een nummer krijgen en ook een naam. De groep waar fluor (F) bovenaan staat krijgt nummer 7 en wordt de groep van de halogenen genoemd. In de periodieke tabel wordt een onderscheid gemaakt tussen de hoofdgroepen, genummerd van IA tot VIIA en VIII, en de nevengroepen, genummerd met het suffix B. Tabel 6 Informatie over de hoofdgroepen van de periodieke tabel. Nummer IA IIA IIIA IVA VA VIA VIIA VIII
Atoom dat bovenaan staat Waterstof Beryllium Boor Koolstof Stikstof Zuurstof Fluor Helium
Naam Alkalimetalen Aardalkalimetalen Boorgroep Koolstofgroep Stikstofgroep Zuurstofgroep Halogenen Edelgassen
De periodieke tabel wordt gebruikt om een grote hoeveelheid informatie over de atomen samen te brengen.
9. De elektronenstructuur van atomen. Atomen bestaan uit een kern die positief geladen is (hier bevinden zich de protonen) met daarrond een aantal elektronen. In een neutraal atoom is het aantal elektronen gelijk aan het aantal protonen. Alhoewel de beschrijving van de elektronen behoort tot het domein van de quantummechanica zullen hier toch enkele aspecten ervan besproken worden. Het aantal elektronen in een atoom varieert van 1 in waterstof (Z=1) tot 92 in uraan (Z=92). Deze elektronen hebben niet allemaal dezelfde energie. Sommige elektronen hebben een lagere energie en bevinden zich gemiddeld dichter bij de kern, andere hebben een hogere energie en bevinden zich gemiddeld verder van de kern. Deze verschillen in positie van de elektronen kunnen weergegeven worden door een model waarbij de elektronen in sferische schillen worden geplaatst. Elke schil komt dan overeen met een energieniveau. De elektronen op de schillen die dichter bij de kern liggen hebben een lagere energie, de elektronen op verder gelegen schillen hebben een hogere energie. De elektronen die zich op de buitenste schil bevinden worden valentieëlektronen genoemd. Het zijn deze elektronen die betrokken zijn bij de interacties (bindingen) tussen atomen. Chemie
10
Het aantal valentieëlektronen van een atoom kan afgeleid worden uit de positie van het atoom in de periodieke tabel en komt overeen met het nummer van de groep. Tabel 7 Het aantal valentieëlektronen(VE) van de atomen. Groep IA IIA IIIA IVA VA VIA VIIA VIII
Atoom dat bovenaan staat Waterstof Beryllium Boor Koolstof Stikstof Zuurstof Fluor Helium
Aantal VE 1 2 3 4 5 6 7 8
10. Ionen. Hierboven werd aangegeven dat atomen steeds neutraal zijn omdat ze evenveel elektronen als protonen bevatten. In vele gevallen echter zullen atomen tijdens hun interacties met elkaar elektronen afgeven of opnemen. Dit gebeurt o.a. bij de vorming van chemische bindingen (zie verder). Wanneer atomen elektronen afgeven of opnemen worden ionen gevormd. Positieve ionen (kationen) worden gevormd wanneer atomen één of meerdere elektronen afgeven (verliezen). Zulke ionen hebben minder elektronen dan protonen en hebben dus een netto positieve lading. De waarde van de positieve lading is gelijk aan het aantal elektronen dat verloren werd. Negatieve ionen worden gevormd wanneer atomen één of meerdere elektronen opnemen. Zulke ionen hebben meer elektronen dan protonen en krijgen een netto negatieve lading. De waarde van de negatieve lading is gelijk aan het aantal elektronen dat opgenomen werd. Atomen kunnen niet zomaar gelijk welk aantal elektronen verliezen of opnemen. Hoeveel elektronen kunnen worden afgegeven of opgenomen hangt o.a. af van het aantal valantieëlektronen en dus van de groep waarin het atoom zich bevindt.
A. Positieve ionen. Positieve ionen worden o.a. gevormd door atomen die behoren tot de groepen IA, IIA en IIIA. Zij vormen ionen met een lading van respectievelijk +1, +2, +3. Volgende tabel toont dit aan. Enkele ionen van de andere hoofdgroepen zijn eveneens vermeld.
Chemie
11
Tabel 8 Voorbeelden van positieve ionen van de atomen in de hoofdgroepen. Groep IA IIA IIIA IVA
Atoom H Li Na Be Mg Ca Al Pb Sn
Ion H+ Li+ Na+ Be+2 Mg+2 Ca+2 Al+3 Pb+2 en Pb+4 Sn+2 en Sn+4
Atomen van de nevengroepen vormen eveneens positieve ionen. Een aantal van deze ionen zijn in volgende tabel weergegeven. Merk op dat sommige atomen meerdere verschillend geladen ionen kunnen vormen. Tabel 9 Veel voorkomende ionen van de nevengroepen Groep IB IIB VIB VIIB VIIIb
Atoom Cu Ag Au Zn Cd Hg Cr Mn Fe Co Ni
Ion(en) Cu+ en Cu+2 Ag+ Au+ en Au+3 Zn+2 Cd+2 Hg2+2 en Hg+2 Cr+3 Mn+2 Fe+2 en Fe+3 Co+2 Ni+2
B. Negatieve ionen. Negatieve ionen worden voornamelijk gevormd door atomen van de groepen die rechts in de periodieke tabel staan. De belangrijkste daarvan zijn de atomen van groep VIIA (de halogenen). De negatieve ionen van deze atomen zijn in werkelijkheid de zuurresten van de overeenkomende binaire zuren (vb. Cl-)
11. Oefeningen. 1. Stel dat men een atoom zodanig zou vergroten dat de kern even groot is als een basketbal. Hoe groot zou dan het atoom zijn? 2. Stel dat deze basketbal dezelfde dichtheid zou hebben als de kern van een waterstofatoom. Bereken dan de massa van deze bal. 3. Vervolledig volgende tabel
Chemie
12
Tabel 10 Vervolledig. Symbool +
H Cs Bi
Sn Zn+2 238
U
Z
A
1
3 2 133 209 138
55 56
Aantal protonen
Aantal neutronen
70 34 37
17
Aantal elektronen
56 18
4. De constante van Faraday (F) geeft de lading weer van één mol elektronen. Bereken deze waarde. 5. Bereken de bijdrage van de massa van de elektronen tot de totale massa in een 203Hgatoom. 6. Hoeveel valentieëlektronen heeft het 12C-isotoop?
Chemie
13
Hoofdstuk 3. De molecule. 1. Inleiding. Een molecule is een deeltje dat bestaat uit meerdere atomen. Deze atomen zijn bij middel van chemische bindingen aan elkaar gebonden. In dit gedeelte van de cursus wordt besproken hoe deze chemische bindingen ontstaan en dus hoe moleculen gevormd worden. Een molecule wordt beschreven met een moleculeformule die aangeeft welke en hoeveel atomen deel uitmaken van de molecule.
2. De chemische binding. A. Definitie. De chemische binding is een interactie tussen atomen die tot gevolg heeft dat deze atomen aan elkaar gebonden worden om zo een min of meer permanente structuur (molecule) te vormen. Bindingen kunnen terug verbroken worden zodat chemische reacties mogelijk worden. Tijdens chemische reacties worden bestaande bindingen verbroken en ontstaan nieuwe bindingen met de oorspronkelijke atomen. Bij de vorming en het breken van de chemische binding spelen de valentieëlektronen van de bindende atomen een belangrijke rol. Op basis van het gedrag van de elektronen tijdens de vorming van de chemische binding kunnen twee soorten bindingen onderscheiden worden: de covalente binding en de ionbinding.
B. De covalente binding. De covalente binding kan het best begrepen worden wanneer men de vorming van diwaterstof (H2) uit twee individuele waterstofatomen bestudeert. Stel dat twee waterstofatomen (elk bestaande uit 1 proton en 1 elektron) zich op een oneindig grote afstand van elkaar bevinden. De enige interacties die dan bestaan zijn de aantrekkingskrachten tussen de kern(+) en het eigen elektron(-). Deze interacties definiëren een begin energie van het beschouwde systeem die we gelijk stellen aan nul (zie figuur). Wanneer deze atomen dichter naar elkaar gebracht worden ontstaan ook wederzijdse interacties. De kern van het ene atoom zal ook elektronen van het andere atoom beginnen aan te trekken. Deze aantrekkingskrachten verlagen de energie van het systeem en doen de atomen nog dichter naar elkaar toekomen. Wanneer de atomen te dicht genaderd zijn ontstaan er ook sterke afstotingen tussen de twee kernen, die allebei positief geladen zijn. Deze afstotingskrachten verhogen de energie van het systeem. Op de figuur is duidelijk te zien dat de energiecurve een minimum vertoont. Dit minimum komt overeen met een bepaalde afstand tussen de twee kernen waarbij de aantrekkingskrachten tussen kernen en elektronen de afstotingskrachten tussen de kernen optimaal compenseren. Wanneer twee waterstofatomen zich op deze afstand van elkaar Chemie
14
bevinden zijn ze aan elkaar gebonden. Men noemt deze afstand de bindingsafstand. De bindingsafstand in waterstof is gelijk aan 74 pm. Wanneer andere atomen met elkaar binden is deze afstand verschillend. Zoals uit het voorgaande blijkt binden twee waterstofatomen met elkaar omdat de elektronen van elk atoom door beide kernen worden aangetrokken. Deze elektronen vormen een paar en dit elektronenpaar wordt door de atomen gemeenschappelijk gebruikt. Men spreekt daarom van een gemeenschappelijk elektronenpaar of een bindend elektronenpaar. De chemische binding waarbij een elektronenpaar gemeenschappelijk gebruikt wordt door twee atomen noemt men een covalente binding. Het bindende elektronenpaar wordt in een tekening van een covalente binding met een horizontale streep weergegeven.
C. De polariteit van een covalente binding. Bij de vorming van de covalente binding tussen twee waterstofatomen wordt het bindend elektronenpaar door beide atomen (in feite de atoomkernen) even hard aangetrokken. Dit elektronenpaar zal dus op symmetrische wijze verdeeld zijn tussen de twee atomen. Wanneer echter twee verschillende atomen met elkaar binden (vb. waterstof en fluor) dan zullen de twee atomen een verschillende invloed uitoefenen op het elektronenpaar. Eén van beide atomen zal harder aan het paar trekken dan het andere atoom zodat de elektronen niet meer symmetrisch verdeeld zijn maar verschoven naar het atoom dat de sterkste aantrekking uitoefent. Het atoom dat de elektronen meer naar zich toetrekt zal daardoor een gedeeltelijk negatieve lading krijgen, het andere atoom een gedeeltelijk positieve lading. Deze ladingen zijn kleiner dan 1, omdat de elektronen slechts gedeeltelijk verschoven worden, en worden voorgesteld met het symbool δ- of δ+. Een covalente binding die op deze manier gevormd wordt noemt men een polaire covalente binding. Deze uitdrukking verwijst naar het feit dat er twee polen (een negatieve en een positieve pool) aanwezig zijn. Men zegt ook dat de binding een dipool is. De sterkte van de dipool wordt aangegeven met het dipoolmoment. Het dipoolmoment (µ) wordt berekend als het produkt van de absolute lading van één van de polen (beide polen hebben dezelfde absolute waarde voor de lading) vermenigvuldigd met de afstand tussen de twee polen (de bindingsafstand).
D. Elektronegativiteit. Om de polariteit van een covalente binding te kennen moet men weten welk van de twee atomen de elektronen van de binding sterker naar zich toe trekt. Dit wordt aangegeven door de elektronegativiteit (EN), ook elektronegatieve waarde genoemd. Deze waarde
Chemie
15
ligt tussen 0 en 4 en wordt meestal in een periodieke tabel naast andere informatie over atomen weergegeven. Tabel 7 geeft hiervan enkele voorbeelden. Tabel 1 De elektronegativiteit van enkele atomen. H 2,2 Li 1,0 Na 0,9 K 0,8
Be 1,5
B 2,0 Al 1,5
C 2,5 Si 1,8
N 3,0 P 2,1
O 3,5 S 2,5
F 4,0 Cl 3,0 Br 2,8
Hoe groter het verschil in elektronegativiteit (∆EN) tussen de twee atomen in een binding hoe meer de binding gepolariseerd is en hoe groter het dipoolmoment is. Wanneer twee identieke atomen met elkaar binden is ∆EN gelijk aan nul en is de binding niet polair of apolair.
E. De ionbinding. Een ionbinding is een extreem geval van een polaire binding. De ionbinding ontstaat wanneer het verschil in elektronegativiteit tussen de bindende atomen zo groot is dat de bindingselektronen volledig verschoven worden naar één van de twee atomen. Daardoor krijgt dit atoom een gehele negatieve lading terwijl het andere atoom een gehele positieve lading krijgt. De twee tegengesteld geladen deeltjes zijn dan gebonden door elektrische aantrekking, ook Coulombse aantrekking genoemd. De binding tussen natrium en chloor toont dit aan. Voorbeeld 1 Hoe ontstaat de ionbinding tussen natrium en chloor? Natrium is een atoom met 1 valentieëlektron en met een lage elektronegativiteit. Chloor is een atoom met zeven valentieëlektronen en een hoge elektronegativiteit. Het chlooratoom onttrekt 1 elektron aan het natriumatoom en krijgt daardoor een lading van –1. Het natriumatoom krijgt een lading van +1. Het Cl- ion en het Na+ ion trekken elkaar aan omdat ze tegengesteld geladen zijn. Over het algemeen stelt men dat wanneer het verschil in elektronegativiteit tussen twee atomen groter is dan 1,7 de binding als een ionbinding kan beschouwd worden. De ionbinding komt dus vooral voor tussen atomen met een lage EN (links in de tabel) en atomen met een hoge EN (rechts in de tabel).
Chemie
16
Voorbeeld 2 Wat voor een binding bestaat er tussen H en O? De elektronegativiteit van deze elementen is (zie tabel): EN(H) = 2,2 EN(O) = 3,5 Het verschil in elektronegativiteit ∆EN = 1,3 ∆EN is groter dan nul maar kleiner dan 1,7. De binding tussen H en O is dus een polaire covalente binding.
3. De molecuulformule. De molecuulformule beschrijft de samenstelling van de molecule door aan te geven hoeveel atomen van elke soort in de molecule aanwezig zijn. Voorbeeld 3 Hoe is een molecule zwavelzuur (H2SO4) opgebouwd? Eén molecule zwavelzuur bestaat uit twee atomen waterstof, één zwavelatoom en vier zuurstofatomen. Deze zijn bij middel van chemische bindingen aan elkaar gebonden. Merk op dat de molecuulformule niets zegt over de volgorde of de ruimtelijke structuur van de chemische bindingen, zij geeft enkel de samenstelling van de molecule weer.
4. Moleculen en ionen. Water (H2O) en keukenzout(NaCl) zijn zeer verschillende verbindingen. Water bestaat uit een groot aantal afzonderlijke deeltjes (moleculen) die elk bestaan uit twee waterstofatomen die covalent gebonden zijn aan een zuurstofatoom. Keukenzout daarentegen bestaat uit vele postief geladen natriumionen en negatief geladen chloorionen die in een kristalrooster aan elkaar gebonden zijn bij middel van elektrische aantrekkingskrachten (Coulombse krachten). In dat opzicht is H2O een echte voorstelling van een watermolecule terwijl NaCl enkel de verhouding van de ionen in keukenzout weergeeft. Wij zullen echter verder de formule NaCl behandelen alsof het een echte molecuulformule is.
5. Molecuulmassa. A. Absolute molecuulmassa. De massa van een molecule is gelijk aan de som van de massa’s van de atomen waaruit deze molecule is opgebouwd.
Chemie
17
Voorbeeld 4 Wat is de massa van een watermolecule? Een watermolecule (H2O) bestaat uit een zuurstofatoom en twee waterstofatomen. Massa watermolecule = massa zuurstofatoom + 2x massa waterstofatoom. Massa watermolecule = Ar(O) x ame + 2 x Ar(H) x ame Massa watermolecule = 16 ame + 2 x 1 ame Massa watermolecule = 18 ame Massa watermolecule = 18 x 1,6 x 10-24 g = 2,88 x 10-23 g
B. Relatieve molecuulmassa. Net zoals bij atomen kan men de moleculaire massa ook weergeven met behulp van een getal dat aangeeft hoeveel maal de molecule zwaarder is dan de ame. Men noemt dit getal de relatieve molecuulmassa (Mr). De relatieve molecuulmassa is gelijk aan de som van de relatieve atoommassa’s van de atomen waaruit de molecule is opgebouwd. Het bovenstaande voorbeeld toont aan dat de massa van een watermolecule 18 maal zwaarder is dan de ame. Mr (H2O) = Ar(O) + 2 x Ar(H) = 18.
6. Molaire massa van een molecule. Net zoals bij atomen is de massa van een molecule zeer klein. Ook hier zal het begrip mol gebruikt worden om grote aantallen moleculen te beschrijven. Een mol moleculen komt overeen met 6,02x1023 moleculen. De molaire massa van een molecule is de massa van 1 mol van deze moleculen. De molaire massa kan, zoals bij atomen, berekend worden door aan het getal van de relatieve molecuulmassa de eenheid g/mol toe te voegen. Voorbeeld 5 Wat is de molaire massa van water? Massa van één molecule water = 18 ame. De massa van 1 mol water = massa van één molecule x NA Molaire massa (H2O) = 18 x ame x NA MM(H2O) = 18 g/mol
7. De oxidatietoestand van een atoom in een molecule. Wanneer atomen met elkaar binden om moleculen te vormen doen ze dat met hun valentieëlektronen. Zij geven elektronen (gedeeltelijk) af op nemen elektronen (gedeeltelijk) op. Om aan te geven wat het verschil is tussen het aantal elektronen van een niet gebonden (vrij) atoom en een gebonden atoom worden twee getallen gebruikt: de oxidatietoestand (OT) en de formele lading (FL). De formele lading wordt vooral gebruikt bij de gedetailleerde beschrijving van de elektronenverdeling in moleculen en zal later toegepast worden. De oxidatietoestand (ook oxidatietrap genoemd) is echter belangrijk bij de beschrijving van chemische reacties en zal hier besproken worden.
Chemie
18
De oxidatietoestand wordt normaal gezien berekend door het bindende elektronenpaar in een chemische binding toe te kennen aan één van beide atomen en vervolgens de bekomen toestand te vergelijken met deze die bestond in het vrije atoom. Om dit te kunnen heeft men echter informatie nodig over de wijze waarop de atomen aan elkaar gebonden zijn en het aantal elektronen dat hierbij betrokken is. In dit stadium van de cursus hebben we deze informatie nog niet (het enige dat we weten is de globale molecuulformule) en daarom worden, voor het bepalen van de oxidatietoestand een aantal regeltjes gebruikt. Deze worden in volgende tabel weergegeven. Merk op dat wij voor het schrijven van de oxidatietoestand romeinse cijfers gebruiken om deze te onderscheiden van de lading van ionen (en ook van de formele lading). Tabel 2 regels voor het bepalen van de oxidatietoestand van een atoom OT van atomen die niet aan andere (verschillende) atomen gebonden zijn = 0 OT van waterstof in een molecule is meestal +I OT van zuurstof in een molecule is meestal –II OT van de atomen van groepen IA, IIA en IIIA zijn +I, +II en +III resp. De som van de OT van de atomen in een molecule vermenigvuldigd met het aantal atomen = 0 De som van de OT van de atomen in een ion vermenigvuldigd met het aantal atomen = lading van het ion
Deze regels laten toe voor de atomen in de meeste van de verbindingen die in de cursus voorkomen de oxidatietoestanden te bepalen. Voorbeeld 6 Wat zijn de oxidatoetoestanden van de atomen in H2SO4? De oxidatietoestanden van H en O zijn resp +I en –II. De som van deze oxidatietoestanden is dus = 2 x (+I) + 4 x (-II) = -VI Omdat de som van de OT’s moet gelijk zijn aan nul (molecule) is de OT van S = +VI. Samengevat: OT(H) = +I, OT(O) = -II en OT(S) = +VI Voorbeeld 7 Wat zijn de oxidatietoestanden van de atomen in NH4+? De oxidatoetoestand van H = +I wat een totaal geeft van 4 x (+I) = +IV Omdat het deeltje een lading heeft van +1 moet de som van alle OT’s = +I De OT van N is dus = -III.
8. Oefeningen. 1. Zeg van de volgende bindingen tot welke categorie ze behoren: polaire covalente binding, apolaire covalente binding, ionbinding. H-Cl, N-H, O-O, K-Cl 2. Rangschik volgende bindingen volgens stijgende polariteit en geef met een pijl het dipoolmoment en de deelladingen aan. C-H, H-H, H-Br, H-F en B-H 3. Hoeveel atomen zijn er in een molecule Ca3(PO4)2? Chemie
19
4. Bereken de massa van een propaan molecule (C3H8) 5. Wat is de molaire massa van zwavelzuur (H2SO4)? 6. Met hoeveel mol komt 1 kg water overeen? 7. Hoeveel gram zwavelzuur moet men afwegen om evenveel moleculen te hebben als in 500 g propaan? 8. Hoeveel gram K is er in 150 g KNO3? 9. Bepaal de oxidatietoestand van elk atoom in de volgende verbindingen: K2SO4, HNO3, CrO4-2, KMnO4, HSO4-.
Chemie
20
Hoofdstuk 4. Soorten verbindingen en naamgeving 1. Classificatie van chemische verbindingen. Over het algemeen worden chemische stoffen (verbindingen, moleculen) ingedeeld op basis van hun chemische eigenschappen. Azijnzuur bvb wordt bij de zuren ingedeeld omdat het zuur smaakt, omdat het met basen reageert en omdat het metalen aantast in een typische reactie waarbij waterstofgas gevormd wordt. Om een chemische stof te kunnen bespreken en om de eigenschappen ervan te kennen zodat men ermee kan werken, moet men weten tot welke groep verbindingen deze stof behoort. In de meeste gevallen kan men dit afleiden uit de molecuulformule (en soms ook uit de naam). Het is dus van belang te weten welke soorten chemische verbindingen bestaan, welke eigenschappen ze hebben en hoe men ze kan herkennen aan de hand van de formule en/of de naam.
2. Soorten chemische verbindingen. De soorten chemische verbindingen die in deze cursus besproken worden zijn: - de zuren, - de basen en hydroxiden, - de zouten, - de oxiden. De verbindingen die behoren tot elk van deze groepen hebben karakteristieke eigenschappen die tot uiting komen in hun gedrag tijdens chemische reacties. Bij de hiernavolgende bespreking van deze groepen zal ook telkens worden aangegeven welke algemene formule ze hebben en hoe ze genoemd worden.
A. Zuren.
A.1. Eigenschappen van zuren. Zuren zijn verbindingen die de mens reeds lang kent al was het maar vanwege de typische smaak die zij hebben. Enkele voorbeelden zijn: - Azijnzuur dat gevormd wordt wanneer wijn verzuurt, - Melkzuur dat ontstaat bij de verzuring van melk, - Het zuur dat in de maag gevormd wordt en bij oprispingen in de mond kan terechtkomen. Zuren zijn verbindingen die in staat zijn een positief geladen waterstofion (H+, een proton) te vormen. In hun formule vinden we dus steeds één of meerdere waterstofatomen terug. Algemeen kan de formule als volgt voorgesteld worden:
HnA In deze formule is n meestal gelijk aan 1, 2 of 3 Wanneer n gelijk is aan 1 spreekt men van een monoprotisch zuur, wanneer n groter is dan 1 spreekt men van een polyprotisch zuur. In de formule van een zuur wordt A de zuurrest genoemd. Chemie
21
De classificatie van de zuren gebeurt op basis van de samenstelling van de zuurrest. De zuurrest bevat steeds minstens één niet-metaal zoals chloor, zwavel, forfor e.d. Daarnaast kunnen er al dan niet zuurstofatomen in voorkomen. Wanneer de zuurrest geen zuurstof bevat spreekt men van een binair zuur. Wanneer er wel zuurstof in voorkomt spreekt men van een oxozuur of ternair zuur. Opm.: er bestaan ook veel verbindingen die waterstof bevatten en die niet zuur zijn. Methaan (CH4) is hiervan een voorbeeld. Een waterstofatoom dat zich niet als zuur gedraagt, noemt men een niet-zure waterstof.
A.2. Binaire zuren Bij binaire zuren bestaat de zuurrest uit een niet-metaal. De naam van de binaire zuren wordt als volgt opgebouwd Naam van een binair zuur= waterstof + niet-metaal + -ide. De volgende binaire zuren en hun overeenkomende zuurresten moeten gekend zijn. Tabel 1 Enkele belangrijke binaire zuren en hun zuurrest. Formule HF HCl HBr HI H2S
Naam waterstoffluoride waterstofchloride waterstofbromide waterstofjodide waterstofsulfide
HCN
waterstofcyanide
Zuurrest FClBrIHSS2CN-
Naam zuurrest fluoride(ion) chloride(ion) bromide(ion) jodide(ion) waterstofsulfide(ion) sulfide(ion) cyanide(ion)
De naam van de negatief geladen zuurrest wordt gevormd door van de naam van het zuur de waterstof te verwijderen en eventueel de uitgang -ion toe te voegen. Indien niet alle waterstofatomen worden verwijderd, wordt het aantal waterstoffen dat overblijft in de naam aangegeven (zie HS- in bovenstaande tabel). Opm.: waterstofcyanide wordt soms een pseudo-binair zuur genoemd omdat het twee niet-metalen in de zuurrest bevat i.p.v. één.
A.3. Oxozuren. Deze zuren bestaan uit waterstof en een zuurrest die naast het niet-metaal één of meerdere zuurstofatomen bevat. Er zijn twee naamgevingen voor oxozuren in gebruik. Deze worden door elkaar gebruikt. Naamgeving a: naam van niet-metaal + zuur. (vb HClO3: chloorzuur). Naamgeving b: waterstof + niet-metaal + -aat. (vb HClO3: waterstofchloraat) Chemie
22
Indien van eenzelfde niet-metaal meerdere oxozuren gekend zijn moet de naamgeving duidelijk maken over welk zuur het gaat. Eén van de zuren (het referentiezuur) wordt benoemd volgens de regels die hierboven werden gegeven. Voor de andere zuren wordt de naam met behulp van voor- of achtervoegsels aangepast. Dit blijkt het best uit volgend voorbeeld: Voorbeeld 1 Hoe worden de verschillende oxozuren die chloor bevatten genoemd? Met chloor kunnen meerdere oxozuren gevormd worden. Deze zijn HClO, HClO2, HClO3, en HClO4. Het referentiezuur is HClO3, dat op de normale manier benoemd wordt (zie hierboven). HClO3 noemt men waterstofchloraat of chloorzuur. HClO4 bevat meer zuurstofatomen dan het referentiezuur en wordt waterstofperchloraat of perchloorzuur genoemd. HClO2 bevat één zuurstofatoom minder dan het referentiezuur en wordt waterstofchloriet of chlorigzuur genoemd. HClO bevat nog een zuurstofatoom minder en wordt waterstofhypochloriet of hypochlorigzuur genoemd. Het systeem dat in het voorbeeld wordt geïllustreerd gebruikt men ook voor de andere zuren. De keuze van het referentiezuur varieert sterk en is niet gebonden aan een bepaalde formule. Voor de naamgeving van de zuurresten wordt naamgeving b gebruikt. In volgende tabel worden de te kennen oxozuren opgesomd.
Chemie
23
Tabel 2 Lijst met belangrijke oxozuren. Het nietmetaal in de zuurrest Koolstof (C)
Formule Naam
Zuurrest Naam van de zuurrest
H2CO3
HCO3-
Waterstofcarbonaat(ion)
CO32NO3-
Carbonaat(ion) Nitraat(ion)
NO2-
Nitriet(ion)
H2PO4-
Diwaterstoffosfaat(ion)
HPO42PO43H2PO3-
Monowaterstofosfaat(ion) Fosfaat(ion) Diwaterstoffosfiet(ion)
HPO32PO33H2AsO4-
Monowaterstoffosfiet(ion) Fosfiet(ion) Diwaterstofarsenaat(ion)
HAsO42AsO43H2AsO3-
Monowaterstofarsenaat(ion) Arsenaat(ion) Diwaterstofarseniet(ion)
HAsO32AsO33HSO4-
Monowaterstofarseniet(ion) Arseniet(ion) Waterstofsulfaat(ion
SO42HSO3-
Sulfaat(ion) Waterstofsulfiet(ion)
SO32HS2O3-
Sulfiet(ion) Waterstofthiosulfaat(ion)
S2O32-
Thiosulfaat(ion)
Stikstof (N) HNO3 HNO2 Fosfor (P)
H3PO4
H3PO3
Arseen (As)
H3AsO4
H3AsO3
Zwavel (S)
H2SO4 H2SO3 H2S2O3
Koolzuur Waterstofcarbonaat Salpeterzuur Waterstofnitraat Salpeterigzuur Waterstofnitriet Fosforzuur Waterstoffosfaat Fosforigzuur Waterstoffosfiet Arseenzuur Waterstofarsenaat Arsenigzuur Waterstofarseniet Zwavelzuur Waterstofsulfaat Zwaveligzuur Waterstofsulfiet Thiozwavelzuur Waterstofthiosulfaat
Chemie
24
Chloor (Cl)
HClO4 HClO3 HClO2 HClO
Broom (Br)
HBrO4 HBrO3 HBrO2 HBrO
Iood (I)
HIO4 HIO3 HIO2 HIO
Perchloorzuur Waterstofperchloraat Chloorzuur Waterstofchloraat Chlorigzuur Waterstofchloriet Hypochlorigzuur Waterstofhypochloriet Perbroomzuur Waterstofperbromaat Broomzuur Waterstofbromaat Bromigzuur Waterstofbromiet Hypobromigzuur Waterstofhypobromiet Perioodzuur Waterstofperiodaat Ioodzuur Waterstofiodaat Iodigzuur Waterstofiodiet Hypoiodigzuur Waterstofhypoiodiet
ClO4-
Perchloraat(ion)
ClO3-
Chloraat(ion)
ClO2-
Chloriet(ion)
ClO-
Hypochloriet(ion)
BrO4-
Perbromaat(ion)
BrO3-
Bromaat(ion)
BrO2-
Bromiet(ion)
BrO-
Hypobromiet(ion)
IO4-
Periodaat(ion)
IO3-
Iodaat(ion)
IO2-
Iodiet(ion)
IO-
Hypoiodiet(ion)
Er bestaan ook enkele oxozuren die een metaal bevatten i.p.v. een niet-metaal. Deze staan in volgende tabel. Hieraan is ook azijnzuur toegevoegd dat een organisch zuur is, zodat de structuur enigszins afwijkt van de andere zuren Tabel 3 Oxozuren met afwijkende samenstelling. Atoom Formule in de zuurrest Mangaan HMnO4 (Mn) Chroom H2CrO4 (Cr)
Koolstof (C)
Naam
Zuurrest
Permangaanzuur MnO4Waterstofpermanganaat Chroomzuur HCrO4Waterstofchromaat CrO42H2Cr2O7 Dichroomzuur HCr2O7Waterstofdichromaat Cr2O72CH3COOH Azijnzuur CH3COOWaterstofacetaat
Chemie
Naam van de zuurrest Permanganaat(ion) Waterstofchromaat(ion) Chromaat(ion) Waterstofdichromaat(ion) Dichromaat(ion) Acetaat(ion)
25
B. Hydroxiden en basen.
B.1. Hydroxiden. Hydroxiden zijn verbindingen van een positief geladen metaalion en één of meerdere OH-groepen. De OH-groep noemt men de hydroxide-groep. Deze is éénwaardig negatief geladen (OH-). Naamgeving van de hydroxiden: naam van het metaal + hydroxide. Het aantal OH-groepen wordt bepaald door de lading van het metaalion. Indien meerdere hydroxiden van eenzelfde metaal bestaan (omdat er meerdere ladingen van dit metaal bestaan) moet ofwel de lading (oxidatietoestand) van het metaal of het aantal OH-groepen vermeld. Onderstaande tabel geeft enkele voorbeelden. Tabel 4 Enkele metaalhydroxiden. Formule NaOH Ba(OH)2 Fe(OH)2 Fe(OH)3 Al(OH)3
Naam Natriumhydroxide Bariumhydroxide Ijzer(II)hydroxide* Ijzerdihydroxide Ijzer(III)hydroxide Ijzertrihydroxide Aluminiumhydroxide
* uitgesproken: ijzertweehydroxide.
B.2. Verschil tussen base en hydroxide. Zoals hierboven aangegeven werd worden hydroxiden gekarakteriseerd door de aanwezigheid van de OH-groep in de formule. Basen daarentegen worden gedefinieerd op basis van hun scheikundige eigenschappen. Basen zijn in staat vetten te hydrolyseren, geven een bepaalde kleur aan zuur-baseindicatoren en verhogen de pH. Sommige hydroxiden gedragen zich als basen, andere niet. Er bestaan eveneens moleculen die basen zijn maar niet de typische formule van een hydroxide hebben. Ammoniak (NH3) is daarvan een voorbeeld. De hydroxiden van de metalen van de groepen I en II gedragen zich als basen, de andere niet. Tabel 5 Enkele voorbeelden van basen en hydroxiden. Verbinding Natriumhydroxide Ijzer(II)hydroxide Ammoniak Calciumhydroxide
Behoort tot… Basen Hydroxiden (is geen base) Basen Basen
Chemie
26
Met de meeste hydroxiden en basen kan een positieve groep geassocieerd worden, namelijk het positief geladen metaalion. Bij ammoniak (NH3) is dit het ammoniumion (NH4+). Dit is belangrijk bij de bespreking van de zouten.
B.3. Zouten. Zouten zijn samengesteld uit een positieve groep (metaal- of ammoniumion) en een negatieve groep (zuurrest). Het aantal van elk van deze groepen moet zodanig zijn dat de verbinding neutraal is. Men kan de vorming van de zouten beschrijven als het vervangen van één of meerdere zure waterstoffen van een zuur door een positieve groep. Zouten die zodanig gevormd zijn dat niet alle zure waterstofatomen uit het zuur vervangen zijn, noemt men zure zouten. Naamgeving: naam van de positieve groep + naam van de zuurrest. Indien nodig moet het aantal van de verschillende groepen aangegeven worden. Volgende tabel geeft een aantal voorbeelden. Tabel 6 Enkele voorbeelden van zouten met hun naam. Formule KCl Na2SO4 NaHSO4 Ca3(PO4)2 NH4Cl FeSO4 Fe2(SO4)3 NaH2PO4
Naam kaliumchloride natriumsulfaat natriumwaterstofsulfaat calciumfosfaat ammoniumchloride ijzer(II)sulfaat ijzer(III)sulfaat natriumdiwaterstoffosfaat
Alternatieve naam
monoijzermonosulfaat diijzertrisulfaat
B.4. Oxiden. Oxiden zijn verbindingen van een atoom met zuurstof. Van de meeste atomen bestaan één of meerdere oxiden. Zij ontstaan bvb. tijdens een verbranding. Naamgeving: naam van het atoom + oxide. Indien meerdere oxiden van eenzelfde atoom gekend zijn moet, bij middel van de oxidatietoestand van het atoom of de samenstelling van het oxide, aangegeven worden over welk oxide het gaat. Men maakt een onderscheid tussen metaaloxiden en niet-metaaloxiden. Voor de metaaloxiden is de formule gemakkelijk af te leiden uit de lading van het metaalion. Wat de niet-metalen betreft zullen we hier enkel de oxiden gebruiken waarin het nietmetaal dezelfde oxidatietoestand heeft als in de te kennen oxozuren
Chemie
27
Tabel 7 Enkele voorbeelden van metaaloxiden Groep groep I groep II groep III overgangsatomen
Formule Na2O MgO Al2O3 MnO2 FeO Fe2O3 HgO
Naam natriumoxide magnesiumoxide aluminiumoxide mangaan(IV)oxide ijzer(II)oxide ijzer(III)oxide kwik(II)oxide
mangaandioxide monoijzermonooxide diijzertrioxide monokwikmonooxide
Tabel 8 Enkele voorbeelden van niet-metaaloxiden met het overeenkomende oxozuur Groep groep IV groep V groep VI groep VII
Formule CO2 N2O5 SO2 SO3 Cl2O7
Naam koolstof(IV)oxide stikstof(V)oxide zwavel(IV)oxide zwavel(VI)oxide chloor(VII)oxide
Naam koolstofdioxide distikstofpentaoxide zwaveldioxide zwaveltrioxide dichloorheptaoxide
Oxozuur H2CO3 HNO3 H2SO3 H2SO4 HClO4
Tabel 9 Enkele andere bestaande niet-metaaloxiden. Groep
groep I groep IV groep V groep VIII
Formule H2O CO N2O XeO3
Naam
(waterstofoxide) koolstof(II)oxide stikstof(I)oxide xenon(VI)oxide
water koolstofmonooxide distikstofmonooxide xenontrioxide
3. Oefeningen 1. Geef de naam van de volgende verbindingen: FeO, K2Cr2O7, As2S3, Ba(NO3)2, KClO3, AgCl, LiOH, KNO2, H2S, KMnO4. 2. Geef de formule van de volgende verbindingen: Aluminiumoxide, koper(I)sulfaat, dikopersulfaat, natriumnitriet, ijzer(III)oxide, tin(IV)chloride, bariumcarbonaat, ammoniumchloride, distikstoftrioxide, kaliumwaterstofsulfaat. 3. Geef van elk van de vorige verbindingen aan tot welke groep ze behoren: binair zuur, oxozuur, metaaloxide, niet-metaaloxide, hydroxide, base, zout, zuur zout.
Chemie
28
Hoofdstuk 5. Het gedrag van verbindingen. 1. Inleiding. Bij de studie van het gedrag van verbindingen kunnen twee situaties beschreven worden, het gedrag van zuivere verbindingen (zuiver water, keukenzout, een staaf ijzer bvb.) of het gedrag van mengsels (een oplossing van zout in water, een legering van ijzer en zink enz.). Het gedrag van een zuivere stof gaat vooral over de aggregatietoestanden (vast, vloeibaar en gasvormig) en de overgangen ertussen (kookpunt, smeltpunt e.d.). Zo kan men bvb proberen te verklaren waarom water een veel hoger kookpunt heeft dan methaan. De bespreking van zulke problemen maakt deel uit van de stof die tijdens de cursus in het eerste jaar wordt gegeven en zal hier niet verder behandeld worden. Wat we in dit hoofdstuk zullen bespreken is wat er gebeurt wanneer chemische verbindingen in contact worden gebracht met water.
2. Water. Water is een belangrijke verbinding. In de natuur is water het oplosmiddel waarin veel chemische reacties gebeuren. Dit is niet alleen het geval in het water van rivieren en oceanen maar ook in het water dat deel uitmaakt van cellen, organen en weefsels. Ook in het chemisch laboratorium en in de industrie is water een veel gebruikt oplosmiddel. De chemie van het eerste jaar beperkt zich bijna volledig tot systemen waarbij water het oplosmiddel is. Organische solventen worden pas later gebruikt. Bij de studie van het gedrag van verbindingen in water zullen twee aspecten behandeld worden: de oplosbaarheid en het elektrolytgedrag. Deze twee begrippen zijn niet onafhankelijk. Het elektrolytgedrag gaat over het feit of een verbinding in een waterige oplossing al dan niet ionen vormt. Het is duidelijk dat om dit te kunnen doen de verbinding eerst in water moet kunnen opgelost worden.
3. Oplosbaarheid. De oplosbaarheid wordt gedefinieerd als de maximale hoeveelheid die men van een verbinding kan oplossen in een welbepaalde hoeveelheid oplosmiddel (water) bij een welbepaalde temperatuur. De oplosbaarheid kan uitgedrukt worden in gram per liter (g/l) of een andere concentratieëenheid. De waarde van de oplosbaarheid is voor elke verbinding anders en varieert van zeer kleine tot zeer grote waarden. Alhoewel in de cursus Chemie en Chemische technologie deze waarden zullen gebruikt worden, zullen hier de verbindingen ingedeeld worden in twee groepen: slecht oplosbare en goed oplosbare verbindingen. De slecht oplosbare verbindingen (soms ook onoplosbaar genoemd) zijn al die verbindingen waarvan de oplosbaarheid lager ligt dan een bepaalde waarde (bvb 1 g/l), de goed oplosbare verbindingen zijn deze waarvan de oplosbaarheid hoger ligt. Volgende tabel geeft de oplosbaarheden van de verbindingen die we het meest zullen gebruiken. In deze tabel hebben de hoger geplaatste regels voorrang op de lager geplaatste. Chemie
29
Tabel 1 Oplosbaarheid van verbindingen in water 1. Alle natrium, kalium en ammoniumzouten en alle nitraten zijn goed oplosbaar. 2. Alle zilver, lood(II) en Hg22+ zouten zijn weinig oplosbaar behalve de nitraten (hoger). 3. Alle (per)chloraten, acetaten, chloriden, bromiden en iodiden zijn goed oplosbaar behalve uitzonderingen (hoger). 4.Alle carbonaten, sulfiden en fosfaten zijn weinig oplosbaar behalve uitzonderingen (hoger). 5. Alle metaaloxiden en hydroxiden zijn slecht oplosbaar behalve die van natrium, kalium, lithium. 6. Alle sulfaten zijn oplosbaar behalve van calcium en barium en de hoger vermelde ionen.
4. Elektrolytgedrag. Een verbinding die oplost in water kan ofwel onder zijn moleculaire vorm blijven bestaan ofwel in ionen splitsen. Een molecule die niet in ionen splitst noemt men een nietelektrolyt. Suiker is daarvan een voorbeeld. Een verbinding die wel in ionen splitst noemt men een elektrolyt. Elektrolyten kunnen verder opgesplitst worden in zwakke elektrolyten en sterke elektrolyten. Bij zwakke elektrolyten zullen slechts enkele van de moleculen in ionen splitsen terwijl het grootste gedeelte (meer dan 90 % bvb.) onder moleculaire vorm blijft bestaan. Sterke elektrolyten zijn verbindingen die volledig in ionen splitsen zodat de concentratie van ionen in zulke oplossingen hoog kan zijn. Het verschil tussen deze situaties kan gemeten worden met de geleidbaarheid van de oplossing. Een oplossing van een niet-elektrolyt geleidt de elektrische stroom niet en een oplossing van een zwak elektrolyt slechts weinig. Een oplossing van een sterk elektrolyt geleidt de stroom bijzonder goed.
A. Elektrolytgedrag van zuren. Zuren zijn over het algemeen goed oplosbaar in water. De meeste zuren zijn zwakke elektrolyten. Zij worden daarom ook zwakke zuren genoemd. Slechts enkele zuren zijn sterke elektrolyten en deze worden sterke zuren genoemd. Volgende tabel geeft aan welke zuren sterk zijn. Alle andere zijn zwak. Tabel 2 De sterke zuren Volgende zuren zijn sterke zuren (sterke elektrolyten): HI, HBr, HClO4, HCl, H2SeO4, H2SO4, HMnO4, HNO3, H2CrO4, HClO3
Chemie
30
B. Elektrolytgedrag van hydroxiden en basen. De meeste metaalhydroxiden zijn slecht oplosbaar en kunnen daarom ook weinig ionen vormen in oplossing. De goed oplosbare hydroxiden (NaOH, LiOH, KOH) zijn dan ook sterke elektrolyten. Ammoniak (NH3) is een goed oplosbare verbinding maar is een zwak elektrolyt.
C. Elektrolytgedrag van zouten. Bij de zouten komt het elektrolygedrag overeen met de oplosbaarheid. Goed oplosbare zouten zijn sterke elektrolyten, slecht oplosbare zouten zijn zwakke elektrolyten.
D. Elektrolytgedrag van oxiden. Oxiden die in water oplossen reageren over het algemeen ook met water tot vorming van hydroxiden of zuren (zie volgend hoofdstuk). Hoeveel ionen er daarbij gevormd worden hangt af van het elektrolytgedrag van de gevormde verbinding.
Chemie
31
Hoofdstuk 6. Chemische reacties. 1. Definitie. Een chemische reactie is een proces waarbij uit één of meerdere deeltjes (moleculen of atomen) nieuwe deeltjes gevormd worden. Een chemische reactie kan eenvoudig zijn maar ook zeer complex. De deeltjes waarmee het proces start worden de reagentia genoemd (enkelvoud: reagens), de deeltjes die tijdens het proces ontstaan worden producten genoemd. Een chemisch proces wordt meestal als volgt weergegeven: Reagentia Produkten
2. Wet van behoud van materie. Tijdens een chemische reactie gaat geen materie verloren en wordt geen nieuwe materie gevormd. Men noemt dit de wet van behoud van materie. Dit betekent dat alle atomen die voor reactie aanwezig waren, na de reactie (meestal onder de vorm van andere verbindingen) teruggevonden worden.
3. De reactievergelijking. In de reactievergelijking wordt aangegeven welke deeltjes (verbindingen) met elkaar reageren, welke produkten gevormd worden en in welke verhouding dit gebeurt. De reactievergelijking moet zodanig geschreven worden dat ze voldoet aan de wet van behoud van materie. Het aantal atomen aanwezig onder de vorm van produkten moet gelijk zijn aan het aantal atomen in de reagentia. Wanneer dit zo is dan zegt men dat de reactievergelijking in balans is. Het in balans brengen van een reactievergelijking gebeurt door gebruik te maken van stoechiometrische coëfficiënten. Dit zijn de getallen die voor de molecuulformules geschreven worden in de reactievergelijking. Onderstaand voorbeeld illustreert dit. Voorbeeld 1 De reactievergelijking voor de synthese van ammoniak. Ammoniak is een belangrijke chemische verbinding die wordt gemaakt uit waterstofgas en stikstofgas in het zogenaamde Haber-proces. Het proces kan als volgt geschreven worden: N2 + H2 NH3 In deze vergelijking staan links en rechts niet evenveel waterstof- of stikstofatomen. Het toevoegen van de coëfficiënten brengt de vergelijking in balans: N2 + 3 H2 2 NH3
Chemie
32
4. Soorten chemische reacties. Algemeen kunnen chemische reacties onderverdeeld worden in twee belangrijke groepen: reacties waarbij de oxidatietoestand van de atomen niet verandert en reacties waarbij deze wel verandert. Reacties waarbij de oxidatietoestand van de atomen verandert worden oxidoreductiereacties of redoxreacties genoemd.
A. Reacties zonder verandering van oxidatietoestand.
A.1. Algemeen. Tijdens deze reacties veranderen de oxidatietoestanden van de betrokken atomen niet. Dit is een gegeven dat moet gebruikt worden om de correctheid van de reactievergelijking na te gaan. Bovendien laat het in een aantal gevallen toe te voorspellen welke verbindingen zullen gevormd worden tijdens de reactie. Bij de reacties met de oxiden bvb is dit heel duidelijk (zie verder).
A.2. Reacties met oxiden. (1)Algemeen
Bij de reacties met oxiden zijn geen geladen deeltjes (ionen) betrokken. In die zin zijn ze verschillend van de volgende reacties (zoals tussen zuren en basen) waarbij ionen met elkaar zullen reageren. (2)Oxiden met water (a)Metaaloxiden
Algemeen: oxiden van alkali- en aardalkalimetalen (groep IA en IIA) reageren met water tot vorming van hydroxiden. Men noemt ze basevormende oxiden. De andere oxiden reageren niet. Voorbeeld 2 Reacties van metaaloxiden met water. Na2O + H2O ⇒ 2 NaOH Fe2O3 + H2O ⇒ geen reactie. (b)Niet-metaaloxiden.
Algemeen: de reactie van een niet-metaaloxide met water levert een oxozuur op. Men noemt deze oxiden daarom zuurvormende oxiden. De oxidatoetoestand van het nietmetaal verandert niet tijdens de reactie. Dit maakt het mogelijk te kiezen tussen de verschillende oxozuren die van een niet-metaal kunnen bestaan. Voorbeeld 3 Reacties van niet-metaaloxiden met water. SO3 + H2O ⇒ H2SO4 (en niet H2SO3).
Chemie
33
P2O5 + H2O ⇒ 2 H3PO4 Zoals blijkt uit uit de vorige voorbeelden kunnen niet-metaaloxiden geassocieerd worden met een overeenkomend oxozuur. Voor de metaaloxiden kan met dat eveneens doen met hydroxiden, alhoewel sommige niet met water reageren. Men kan bvb. Fe2O3 (in gedachten) associëren met Fe(OH)3, ondanks het feit dat het niet met water reageert. Dit gegeven is belangrijk in de volgende reacties om te begrijpen hoe oxiden met andere verbindingen reageren. (3)Oxiden met oxiden.
Algemeen: metaaloxiden reageren met niet-metaaloxiden tot vorming van zouten. De zuurrest van het zout is afgeleid van de zuurrest van het oxozuur dat afkomstig is van het niet-metaaloxide. Voorbeeld 4 Reactie van oxiden onderling. Na2O + SO3 ⇒ Na2SO4 (4)Oxiden met zuren.
Algemeen: metaaloxiden reageren met een zuur tot vorming van een zout en water. Voorbeeld 5 Reactie van een oxide met een zuur. Na2O + 2 HCl ⇒ 2 NaCl + H2O Fe2O3 + 6 HCl ⇒ 2 FeCl3 + 3 H2O Opmerking: deze reactie gaat op voor alle metaaloxiden, in tegenstelling hun reactie met water. (5)Oxiden met hydroxiden.
Algemeen: niet-metaaloxiden reageren met hydroxiden tot vorming van zouten en water. De zuurrest van het zout is afgeleid van de zuurrest van het oxozuur dat afkomstig is van het niet-metaaloxide. Voorbeeld 6 Reacties van oxiden met hydroxiden. SO3 + Ca(OH)2 ⇒ CaSO4 + H2O
A.3. Thermolysereacties. Algemeen: Thermolysereacties zijn reacties waarbij verbindingen onder invloed van warmte ontbonden worden. Deze reacties mogen niet verward worden met verbrandingsreacties waarbij zuurstof een reagens is en waarbij warmte vrijkomt. De thermolyse van zouten, oxozuren en hydroxiden geeft de overeenkomende metaal- en/of niet-metaaloxiden en eventueel water. Deze reacties kunnen beschouwd worden als de Chemie
34
omgekeerde reacties van de hierboven beschreven reacties van oxiden met oxiden en oxiden met water. Voorbeeld 7 Thermolyse reacties CaCO3 + warmte ⇒ CaO + CO2 Cu(OH)2 +warmte ⇒ CuO + H2O H2CO3 + warmte ⇒ CO2 + H2O Opm.: de oxidatietoestanden van de betrokken atomen veranderen niet.
A.4. Metathesereacties. (1)Inleiding.
Metathesereacties zijn reacties die optreden omdat de ionen die in het reactiemidden (een waterige oplossing) gebracht worden met elkaar binden tot vorming van een nieuwe verbinding. Deze verbinding kan een neerslag zijn, een zwak elektrolyt of kan eventueel onder de vorm van een gas uit de oplossing verdwijnen. Zulke reacties gaan enkel op indien er inderdaad zo een nieuwe verbinding gevormd wordt. Indien dit niet gebeurt, is er geen reactie en blijven de ionen gewoon naast elkaar in de oplossing bestaan. Heel algemeen kunnen deze reacties als volgt geschreven worden:
AB + CD ⇒ AD + CB Zoals blijkt uit deze vergelijking worden de twee negatieve groepen, voorgesteld door B en D (t.t.z. zuurresten of OH--groepen) gewoon van plaats verwisseld. De reactie gaat op indien minstens één van de vermelde verbindingen (AD en/of CB) ook daadwerkelijk gevormd wordt. Wanneer dit niet het geval is wordt de reactie herschreven als:
AB + CD ⇒ geen reactie (2)Reacties waarbij een neerslag gevormd wordt.
Bij deze reacties worden meestal onoplosbare zouten gevormd. Deze zouten worden gevormd door het combineren van de ionen die voor de reactie aanwezig waren tot een onoplosbare verbinding.
Chemie
35
Voorbeeld 8 Reacties waarbij een neerslag gevormd wordt 1. Reactie van zilvernitraat met natriumchloride AgNO3 + NaCl ⇒ AgCl + NaNO3 Deze reactie gaat op omdat zilverchloride onoplosbaar is 1. Reactie van kaliumnitraat met natriumchloride KNO3 + NaCl ⇒ geen reactie want KCl en NaNO3 zijn beide goed oplosbaar 3. Reactie van kaliumhydroxide met ijzer(III)chloride. 3 KOH + FeCl3 ⇒ Fe(OH)3 + 3 KCl Deze reactie gaat op omdat ijzertrihydroxide onoplosbaar is
(3)Reacties waarbij een zwak elektrolyt gevormd wordt.
Zulke reacties gaan op omdat een zwak zuur of water gevormd wordt. Merk op dat de slecht oplosbare zouten in de vorige paragraaf ook zwakke elektrolyten zijn. Voorbeeld 9 Vorming van zwakke elektrolyten 1. Reactie van ijzer(II)sulfide met waterstofchloride FeS + 2 HCl ⇒ FeCl2 + H2S Deze reactie gaat op omdat waterstofsulfide een zwak elektrolyt is. 2. Reactie van natriumhydroxide met salpeterzuur NaOH + HNO3 ⇒ NaNO3 + H2O Deze reactie gaat op omdat water een zwak elektrolyt is (4)Reacties waarbij gassen gevormd worden.
Dit zijn reacties waarbij één van de gevormde produkten H2CO3 of H2SO3 is. Deze zuren zijn bijzonder onstabiel en zullen reeds bij kamertemperatuur ontbinden (thermolyseren). Zij vormen dan resp. CO2 + H2O en SO2 + H2O. Voorbeeld 10 Vorming van gassen. 1. Natriumcarbonaat met waterstofchloride Na2CO3 + 2 HCl ⇒ 2 NaCl + H2O + CO2↑ (en niet 2 NaCl + H2CO3) 2. Kaliumsulfiet met zwavelzuur. K2SO3 + H2SO4 ⇒ K2SO4 + H2O + SO2 ↑ Een bijzonder geval van deze reacties zijn de reacties met ammoniumzouten en basen. Bij zulke reacties wordt het gas ammoniak gevormd (en niet ammoniumhydroxide, dat niet bestaat). Chemie
36
Voorbeeld 11 De vorming van ammoniak Reactie van ammoniumchloride met kaliumhydroxide. NH4Cl + KOH ⇒ KCl + NH3 + H2O (en niet NH4OH). (5)De essentiële reactievergelijking.
Wanneer een metathesereactie opgaat zullen sommige ionen deelnemen aan de reactie om een neerslag, een zwak elektrolyt of een gas te vormen. Andere ionen die in de oplossing aanwezig zijn nemen niet deel aan de eigenlijke reactie. Dikwijls noemt men ze toeschouwerionen. De essentiële reactievergelijking is een vergelijking waarin de toeschouwerionen niet voorkomen. Het is een reactievergelijking waarin enkel de actief aan de reactie deelnemende ionen (of verbindingen) vermeld worden. Wanneer men aan de hand van bovenstaande regels de molecuulvergelijking heeft opgesteld kan men hieruit gemakkelijk de essentiële vergelijking bekomen. Men doet dit door alle moleculen die sterke elektrolyten zijn te splitsen in ionen en vervolgens de ionen die links en rechts voorkomen te schrappen. Molecuulformules van verbindingen die zwakke elektrolyten zijn of slecht oplosbaar, blijven gewoon staan (zowel links als rechts van de reactiepijl). Voorbeeld 12 Het schrijven van een essentiële vergelijking Reactie van zilvernitraat met natriumchloride Molecuulvergelijking: AgNO3 + NaCl ⇒ AgCl + NaNO3 Tussenstap: Ag+ + NO3- + Na+ + Cl- ⇒ AgCl + Na+ + NO3Essentiële vergelijking: Ag+ + Cl- ⇒ AgCl Merk op dat reacties die niet opgaan ook geen essentiële vergelijking hebben.
B. Reacties met verandering van oxidatietoestand.
B.1. Inleiding Van de chemische reacties waarbij een verandering van oxidatietoestand optreedt zijn de verbrandingsreacties en de reacties van onedele metalen met zuren, deze waarvan de reactievergelijking op een eenvoudige manier kan geschreven worden. Deze worden hier dan ook in de eerste plaats behandeld. Van andere oxidoreductiereacties vergt het bepalen van de reactievergelijking het gebruik van een techniek bestaande uit verschillende stappen. Dit wordt behandeld in de cursus zelf.
B.2. Verbrandingsreacties. Verbrandingsreacties zijn reacties van verbindingen of atomen met zuurstof (O2). Alhoewel in werkelijkheid verbrandingsreacties zeer complex kunnen zijn, zullen we hier veronderstellen dat bij deze reacties van elk atoom dat in de verbinding aanwezig was een oxide gevormd wordt. Indien verschillende oxiden van een atoom bestaan wordt steeds het oxide met de hoogst mogelijke oxidatoetoestand van het atoom gevormd.. Chemie
37
Voorbeeld 13 Enkele verbrandingsreacties. 1 Verbranding van ijzer 4 Fe + 3 O2 ⇒ 2Fe2O3 2. Verbranding van methaan (CH4) CH4 + 2 O2 ⇒ CO2 + 2 H2O 3 Verbranding van C6H5NO2Cl 4 C6H5NO2Cl + 37 O2 ⇒ 24 CO2 + 10 H2O + 2 N2O5 + 2 Cl2O7 Opmerking: omdat bij de verbranding geen ionen betrokken zijn, heeft deze reactie geen essentiële vergelijking.
B.3. Reacties van onedele metalen met een zuur. Onedele metalen reageren met een zuur tot vorming van een zout en waterstofgas (H2). Dit gas ontsnapt uit het reactiemengsel. Voorbeeld 14 Zink reageert met waterstofchloride Zn + 2 HCl ⇒ ZnCl2 + H2↑ De essentiële reactie is: Zn + 2 H+ ⇒ Zn2+ + H2↑ Opmerking: edele metalen (Au, Pt, Ag) en halfedele metalen (Cu, Hg) reageren op een andere manier met zuren. Deze reacties behoren tot de complexe oxidoreductiereacties (zie verder).
5. Oefeningen. Schrijf van de volgende reacties de reactievergelijking. Geef, indien van toepassing, ook de essentiële vergelijking. 1. Zwavelzuur met natriumsulfide. 2. Calciumoxide met zwaveltrioxide. 3. Lithiumoxide met zwavelzuur. 4. Thermolyse van aluminiumcarbonaat. 5. Ammoniumchloride met kaliumhydroxide. 6. Zilversulfiet met waterstofchloride. 7. Thermolyse van koper(I)sulfaat. 8. Aluminiumoxide met waterstofchloride. 9. Reactie van chloorzuur op zink. 10. Aluminiumoxide met waterstoffosfaat. 11. Reactie van perchloorzuur op magnesium. 12. Aluminiumcarbonaat met zwavelzuur. 13. Lood(II)nitraat met kaliumchloride. 14. Oplossen van zwaveldioxide in water. Chemie
38
15. Thermolyse van koper(II)fosfaat. 16. Het oplossen van koolstofdioxide in een oplossing kaliumhydroxide. 17. Reactie van natriumhydroxide met waterstofarsenaat. 18. Het oplossen van lithiumoxide in water. 19. De verbranding van C4H4S 20. De reactie van natriumsulfaat met bariumnitraat.
Chemie
39
INTRODUCTIECURSUS BASISWETENSCHAPPEN WISKUNDE & CHEMIE
Inhoud Algebra 1. Reële getallen
2
1.1
Machten van een reëel getal met gehele exponent
2
1.2
Een n-de machtswortel uit een reëel getal
3
1.3
Machten met rationale exponent
4
1.4
Eigenschappen van de worteltrekking
5
1.5
Het wortelvrij maken van de noemer
6
1.6
Logaritmen van een reëel getal
6
1.7
Oefeningen
7
2. Veeltermen met reële coëfficiënten in 1 onbepaalde x
9
2.1
Definitie
9
2.2
Nulpunt
9
2.3
Merkwaardige producten
9
2.4
Deling
10
2.5
Oefeningen
13
3. Vergelijkingen en ongelijkheden
14
3.1
Vergelijkingen in IR
14
3.2
Ongelijkheden in IR
17
3.3
Oefeningen
23
4. Absolute waarde van een reëel getal
25
4.1
Definitie
25
4.2
Eigenschap
26
4.3
Bewerkingen
26
4.4
Toepassing: verloop van een functie gedefinieerd met modulus-tekens
26
4.5
Oefeningen
28
5. Matrices en determinanten
29
5.1
Matrices
29
5.2
Determinanten
34
5.3
Oefeningen
38
6. Stelsels
40
6.1
Stelsels van n vergelijkingen en n onbekenden
40
6.2
Stelsels lineaire ongelijkheden met 1 onbekende
42
6.3
Oefeningen
43
Analytische meetkunde 1. Vectoren en rechten
2
1.1
Vectoren
2
1.2
Rechten
3
1.3
Evenwijdige rechten
6
1.4
Het Euclidisch vectorvlak
7
1.5
Hoeken
8
1.6
Loodrechte stand van 2 rechten
9
1.7
Afstand van een punt tot een rechte
10
1.8
Oefeningen
11
2. Kegelsneden
16
2.1
Inleiding
16
2.2
De cirkel
16
2.3
De parabool
17
2.4
Oefeningen
19
Analyse 1. Relaties, functies, afbeeldingen, bijecties
2
2. Uitgebreide verzameling der reële getallen: IR
2
3. Continuïteit van een functie in IR
4
3.1
Voorbeelden
4
3.2
ε − δ - definitie
5
4. Limiet van een functie in IR
5
4.1
Voorbeelden
5
4.2
ε − δ - definitie
7
4.3
Algemene stellingen
8
4.4
Onbepaaldheden
8
4.5
Opgaven
5. Afgeleiden
11 14
5.1
Afgeleide van een functie in een punt (x0 , y 0 )
14
5.2
Linker- en rechterafgeleide
15
5.3
Verticale raaklijn
16
5.4
Regels voor de berekening van de afgeleide functies
16
5.5
Opgaven
17
6. Onbepaalde integraal
20
6.1
Primitieve functies
20
6.2
Onbepaalde integraal
21
6.3
Eigenschappen
21
6.4
Fundamentele integralen
21
6.5
Substitutiemethode
21
6.6
Opgaven
22
6.7
Partiële integratie
25
6.8
Opgaven
25
7. Bepaalde integraal
26
7.1
Grondstelling
26
7.2
Integratiemethoden
26
7.3
Opgaven
28
Goniometrie 1. Hoeken
2
1.1
De goniometrische cirkel
2
1.2
Georiënteerde hoeken
2
1.3
Omzetting radialen naar graden en omgekeerd
3
2. De goniometrische getallen
4
2.1
Definities
4
2.2
Enkele bijzondere hoeken en hun goniometrische getallen
5
2.3
Tekenverloop van de goniometrische getallen
5
2.4
Hoofdformule en afgeleide formules
6
2.5
Voorbeelden
6
2.6
Goniometrische getallen van aanverwante hoeken
7
2.7
Oefeningen
9
3. De goniometrische functies
11
3.1
Periodieke functies
11
3.2
Even en oneven functies
11
3.3
Sinusfunctie
11
3.4
Cosinusfunctie
12
3.5
Tangensfunctie
12
3.6
Cotangensfunctie
12
3.7
De secansfunctie
13
3.8
De cosecansfunctie
13
3.9
Oefeningen
14
4. Rechthoekige driehoeken
15
4.1
Formules
15
4.2
Oefeningen
16
5. Willekeurige driehoeken
18
5.1
De sinusregel
18
5.2
De cosinusregel
18
5.3
Oplossen van een willekeurige driehoek
19
5.4
Oefeningen
20
6. Aanvullingen
22
6.1
Speciale lijnen in een driehoek
22
6.2
Gelijkbenige driehoeken
22
6.3
Gelijkzijdige driehoeken
23
6.4
Buitenhoeken
24
7. Goniometrisch rekenen
25
7.1
Som- en verschilformules
25
7.2
Verdubbelingsformules
26
7.3
Halveringsformules
26
7.4
Goniometrische getallen in functie van tan α/2
26
7.5
Omzettingen van som/verschil naar product en omgekeerd
27
7.6
Oefeningen
28
Chemie 1. Inleiding
2
1.
Praktische informatie
2
2.
Chemie en chemische technologie
2
3.
Materia
2
2. Het atoom
4
1.
Atomen en materie
4
2.
De bouw van het atoom
4
3.
Isotopen
5
4.
Voorstelling van een atoom
6
5.
Atoommassa
7
6.
Het begrip mol
8
7.
Molaire massa
9
8.
De periodieke tabel
10
9.
De elektronenstructuur van atomen
10
10.
Ionen
11
11.
Oefeningen
12
3. De molecule
14
1.
Inleiding
14
2.
De chemische binding
14
3.
De molecuulformule
17
4.
Moleculen en ionen
17
5.
Molecuulmassa
17
6.
Molaire massa van een molecule
18
7.
De oxidatietoestand van een atoom in een molecule
18
8.
Oefeningen
19
4. Soorten verbindingen en naamgeving
21
1.
Classificatie van chemische verbindingen
21
2.
Soorten chemische verbindingen
21
3.
Oefeningen
28
5. Het gedrag van verbindingen
29
1.
Inleiding
29
2.
Water
29
3.
Oplosbaarheid
29
4.
Elektrolytgedrag
30
6. Chemische reacties
32
1.
Definitie
32
2.
Wet van behoud van materie
32
3.
De reactievergelijking
32
4.
Soorten chemische reacties
33
5.
Oefeningen
38
Algebra
Dr. Caroline Danneels
1 Reële getallen 1.1 Machten van een reëel getal met gehele exponent ∀ a ∈ IR en ∀ n ∈ IN 0 : a n = a.a....a (n factoren) ∀ a ∈ IR 0 : a 0 = 1
( ) = (a )
∀ a ∈ IR 0 en ∀ n ∈ IN : a − n = a −1
n
n
−1
=
1 an
Eigenschappen: a, b ∈ IR en m, n ∈
a m ⋅ a n = a m+ n am
an
= a m−n
( ab )n = a n ⋅ bn n
an a = bn b
(a ) m
n
= a m⋅n
Voorbeeld:
(a ) −2
−3
( )
⋅ a 4 ab3
b 2 a
−5
−2
3
a ⋅ −2 = ab5 b
Tekenregel: als n even is, dan is ( − a ) = a n n
als n oneven is, dan is ( − a ) = − a n n
_____________________________________________________________________________ Algebra 2
1.2 Een n-de machtswortel uit een reëel getal Een n-de (n ∈ IN0 ) machtswortel uit een reëel getal a is elk reëel getal x waarvan de n-de macht gelijk is aan het gegeven getal.
of ∀ x, a ∈ IR, ∀ n ∈ IN 0 : x is de n-de machtswortel uit a ⇔ x n = a Is n oneven en a ∈ IR dan heeft a in IR één n-de machtswortel, genoteerd als:
n
a
Voorbeelden: 3
8 = 2 want 2 3 = 8
3
− 8 = − 2 want (− 2) = −8 3
Is n even en : +
a ∈ IR 0
dan heeft a in IR twee n-de machtswortels die elkaars tegengen n stelde zijn en genoteerd worden als a en − a . We maken hier de afspraak dat voorstelt; zo is 4 16 = 2 > 0.
n
a een positief geheel getal
Voorbeeld: 4 heeft 2 vierkantswortels 4 = 2 en − 4 = − 2 dan heeft a in IR één n-de machtswortel nl. 0
a=0 −
a ∈ IR 0
dan heeft a in IR geen n-de machtswortel.
Afspraak: n
an = a
− n an = − a
We beperken ons nu tot de vorm a waar a ∈ IR + , wat niet schaadt aan de algemeenheid van a < 0 en n even dan bestaat n a niet de regels, want als n + n a < 0 en n oneven dan schrijven we a als - a met a ∈ IR n
_____________________________________________________________________________ Algebra 3
1.3 Machten met rationale exponent Definitie: ∀ a ∈
IR 0+ ,
∀ m ∈ , ∀ n ∈ IN 0
m :an
= n am
Toepassingen: 1
1. a n = n a −
2. a
3.
np
m n
a
=
mp
1 n
am
=a
mp np
=
m an
= n am
Rekenregels: ∀ a, b ∈ IR 0+ en ∀ q, q' ∈ : a q ⋅ a q ' = a q+q '
aq
a
q'
= a q −q '
( ab )q
= aq ⋅ bq
q
aq a = q b b
(a ) q
q'
= a q⋅ q '
_____________________________________________________________________________ Algebra 4
1.4 Eigenschappen van de worteltrekking 1.4.1 Vermenigvuldiging en deling
∀ a, b ∈ IR + , ∀ n ∈ IN 0 : n ab = n a n b ∀ a ∈ IR + , ∀ b ∈ IR 0+ ; ∀ n ∈ IN 0 : n
a = b
n
a
n
b
Voorbeelden: 4
8 4 2 = 4 16 = 2
4
a3
3
=
a
12
a9
12
4
a
= 12 a 5
1.4.2 Machtsverheffing en worteltrekking
∀ a ∈ IR + , ∀ n ∈ IN 0 , ∀ m ∈ IN:
( a) n
∀ a ∈ IR + ; ∀ m,n ∈ IN 0 : m n a = mn a =
m
= n am
nm
a
Voorbeelden: 3
3
82 =
( 8) 3
8=
3
2
= 22 = 4
8= 2
1.4.3 Optelling en aftrekking
∀ a ∈ IR + , ∀ n ∈ IR 0 , ∀ p, q, r ∈ IR : p n a + q n a − r n a = ( p + q − r ) n a Voorbeeld: 3
3
3
3
3
3
3
24 + 5 3 − 81 = 2 3 + 5 3 − 3 3 = 4 3
_____________________________________________________________________________ Algebra 5
1.5 Het wortelvrij maken van de noemer a
=
a b b
1
=
b
a± b 1 3
a±3b
a∓ b a−b 3
=
a 2 ∓ 3 ab + 3 b 2 a±b
1.6 Logaritmen van een reëel getal Laat a het grondtal van een logaritmenstelsel zijn (a > 0, a ≠ 1), x ∈ IR 0+ , y ∈ IR dan y y = log a x ⇔ x = a We noemen y de logaritme van x t.o.v. het grondtal a ( of met basis a). Benamingen: •
Indien a = e (getal van Euler), dan spreken we van natuurlijke logaritme, notatie ln x. ln 1 = 0
•
ln e = 1
Indien a = 10, dan spreken we van de Briggse logaritme, notatie log x. log 1 = 0 log 10 = 1
Eigenschappen: 1. log a bewaart de orde als a > 1 en keert de orde om als 0 < a < 1 2. log a a = 1
log a 1 = 0
Bewerkingen: +
∀ x,y ∈ IR 0 :loga xy = loga x + loga y ∀ x, y ∈ IR +0 : log a ∀ x ∈ IR0 : loga (x +
+
x = loga x − log a y y
−1
∀ x ∈ IR 0 ; ∀ z ∈
)= − log a x : loga (xz ) = z . log a x
∀ x ∈IR +0 ; ∀ n ∈IN 0 : log a x = n
1 . log a x n
_____________________________________________________________________________ Algebra 6
1.7 Oefeningen 1.7.1 Vereenvoudig ( a,b,c ∈ IR 0+ )
1.
( ) ) (b c )
a −7 a 2 b 3 c 4
( abc
3
10
2.
3 19
( −2 )
2
+ ( −2 )
5.
n
2
4
2
opl.: 6
2n a n +1b n +2
1 18
2 a3
opl.:2ab n ab 2
32a 4 b5
4
a6
opl.:
( −2a b ) ( −4a ) ( −a ) ( −a )( −2ab ) 4
4.
−2
−2
3
b9 c16
opl.:
2−3 + 3−2
3 4
3.
2
opl.:
6 8
81c d
2 4 6. − (−25a) b
2ab 3cd
2
4
2b c2
a, b ∈ IR
1.7.2 Bereken
1.
8a 3b12
opl.:b 4 2a
a a a
opl.:8 a7
3 4
2. 4
3.
4.
4a 4
3
2a
3
5
×
5a
opl.:6 2a 4
a 30 3
5. 41,5
2 6. a 3
60a
2
opl.:6
3 2a
opl.:8 −
3 4
−
opl.:a
1 2
_____________________________________________________________________________ Algebra 7
1.7.3 Maak de noemer wortelvrij
1.
1 a −b
2.
3+ 5 5 −1
1
3.
3+ 7
1.7.4 Bereken, ook als de basis a niet gegeven is
1.
3 ⋅ log a 4 log a 2
2. log a
35 25 5 1 + log a − 3log a + log a 36 21 6 2
opl.: 6
opl.: 0
_____________________________________________________________________________ Algebra 8
2 Veeltermen met reële coëfficiënten in 1 onbepaalde x 2.1 Definitie n
a n x + a n−1 x
n −1
an , an−1 ,...., a1 , a0 ∈ IR is een veelterm van de graad n in x, + ... + a1 x + a 0 met n ∈ IN , an ≠ 0
notatie V(x).
2.2 Nulpunt a ∈ IR is een nulpunt van de geassocieerde veeltermfunctie f: IR → IR: x → V(x) als de getalwaarde van deze veelterm in a gelijk is aan nul.
In symbolen: a is een nulpunt van V(x) ⇔ V(a) = 0.
Voorbeeld: −
1 is een nulpunt van V(x) = 6x3 − 7x 2 − 7x − 1 2 3
2
1 1 1 1 want V − = 6 ⋅ − − 7 ⋅ − − 7 ⋅ − − 1 = 0 2 2 2 2
2.3 Merkwaardige producten A, B en C stellen veeltermen voor.
(A + B)( A − B) = A 2 − B2
(A + B) = A 2 + 2AB + B2
(A − B) = A 2 − 2AB + B2
2
2
2
(A + B + C) = A 2 + B2 + C2 + 2AB + 2BC + 2AC 3
(A + B) = A3 + 3A 2 B + 3AB2 + B3 3
(A − B) = A3 − 3A 2 B + 3AB2 − B3 A 3 − B3 = (A − B)(A 2 + AB + B2 ) A + B = ( A + B)(A − AB+ B 3
3
2
2
)
_____________________________________________________________________________ Algebra 9
2.4 Deling Bij twee gegeven veeltermen A(x) en B(x) ( B(x) ≠ 0, graad A(x) ≥ graad B(x) ) bestaat juist één veelterm Q(x) en juist één veelterm R(x), waarvoor A(x) = B(x)Q(x) + R(x) en graad R(x) < graad B(x).
2.4.1 Werkwijze A(x)(Deeltal)
B(x)(Deler) _______________
Q(x)(Quotiënt) ______ R(x)(Rest)
Als R(x) = 0 spreekt men van een opgaande deling.
Voorbeeld:
6x4 - 2x3 + -6x4
9x2 - 2x - 2
- 12x2
x2 + 2 _______________
_________________
6x2 - 2x - 3
- 2x3 -
3x2 - 2x - 2
2x3
+ 4x
_____________________ -
3x2 + 2x - 2 3x2
+ 6
_______________ 2x + 4
_____________________________________________________________________________ Algebra 10
2.4.2 Deling van een veelterm door een tweeterm van de vorm x-d met d ∈ IR : regel van Horner
Voorbeeld: (4x3 − 5x + 6): ( x + 2 )
0 −5
4
−2
−8 4 −8
6
16 − 22 11 − 16
Q(x) = 4 x² - 8x + 11 R(x) = - 16
2.4.3 Deelbaarheid door x-d met d ∈ IR 2.4.3.1 Reststelling De rest van de deling van V(x) door x - d is gelijk aan de getalwaarde V(d). Gevolg: V(x) is deelbaar door x-d ⇔ R = V(d ) = 0 Voorbeelden: V ( x) = 3x − 5x + 7 is niet deelbaar door x − 2 want V (2 ) = 9 ≠ 0 2
V ( x) = 2x + 3x − 5x + 12 is deelbaar door x + 3 want V (−3) = 0 3
2
2.4.3.2 Ontbinding in factoren van veeltermen Indien een veelterm in x deelbaar is door x - d geldt dat a0 = -d.q0. Indien V(x) een veelterm is met gehele coëfficiënten is d bijgevolg een gehele deler van a0 (let op: dit is een nodige voorwaarde, geen voldoende voorwaarde!) Om een veelterm met gehele coëfficiënten te ontbinden zoek je eerst de eventuele delers van de vorm x – d met d ∈ . Ga als volgt te werk: 1. zoek de gehele delers van a0 2. controleer voor welke delers de functiewaarde van V(x) 0 is. 3. vervolgens, indien zo een deler van a0 wordt gevonden, wordt het quotiënt berekend met de regel van Horner. Zo ga je verder tot de veelterm maximaal ontbonden is. _____________________________________________________________________________ Algebra 11
Voorbeeld: Ontbind x 3 − 4x2 − 17x + 60 Oplossing: We berekenen de functiewaarde van de corresponderende veeltermfunctie V(x) voor de opeenvolgende delers van 60: f (1) = 40 ≠ 0 f (− 1) = 72 ≠ 0 f ( 2) = 18 ≠ 0 f (− 2) = 70 ≠ 0 f (3) = 0
De gegeven veelterm is dus deelbaar door x - 3. Het quotiënt berekenen we met de regel van Horner.
1 −4 d =3 1
− 17
60
3 − 3 − 60 − 1 − 20 0
We vinden x 3 − 4x2 − 17x + 60 = (x − 3)(x2 − x − 20) We onderzoeken nu de deelbaarheid van x 2 − x − 20 door x-d, waarbij d een deler van 20 moet zijn die in absolute waarde ten minste 3 is. We vinden V(-4) = 0. Bijgevolg is x 2 − x − 20 = (x + 4)(x − 5) en dus is x 3 − 4x2 − 17x + 60 = (x − 3)(x + 4 )(x − 5)
2.4.3.3 Coëfficiëntenregels 1. Een veelterm van graad n is deelbaar door x-1 als de som van de coëfficiënten (inclusief de constante term) gelijk is aan nul. Voorbeeld: x − 2x + 2x − 1 is deelbaar door (x − 1) (controleer!) 5
3
2
2. Als de som van de coëfficiënten die bij de oneven machten van x staan gelijk is aan de som van de coëfficiënten die bij de even machten van x staan (inclusief de konstante term), dan is de veelterm deelbaar door (x + 1). Voorbeeld: x + x − x + x − x − 3 is deelbaar door ( x + 1) (controleer!) 5
4
3
2
_____________________________________________________________________________ Algebra 12
2.5 Oefeningen Werk uit (werk zo efficiënt mogelijk): 1.
( x + 2 )( x − 2 ) ( x 2 + 4 )
opl.: x 4 − 16
2.
( 3x + 2 ) ( 9 x 2 − 6 x + 4 )
opl.: 27 x3 + 8
3.
(9x
4.
( 20 x
5.
(8x -20x
+ x 3 + 1) : ( − x 2 + x + 1)
4
3
2
− 7 x 3 + 3 x − 2 ) : ( x − 3) met Horner 2
+2x-2 ) : ( 2x-1) met Horner
opl.: Q = -9 x 2 -10 x -19, R = 29 x + 20 opl.: Q = -7 x 2 − x, R = −2 opl.: Q = 4 x 2 − 8 x − 3, R = −5
6. Voor welke n ∈ IR is 3 x 3 + 2nx 2 − 5nx + 10 deelbaar door x + 1 ? Bepaal daarna, voor de gevonden n, het quotiënt. opl.: n = −1, Q = 3 x 2 − 5 x + 10
7. Ontbind in factoren: 8 x 4 − 20 x3 + 18 x 2 − 7 x + 1
opl.: ( x-1)( 2 x − 1)
3
_____________________________________________________________________________ Algebra 13
3 Vergelijkingen en ongelijkheden 3.1 Vergelijkingen in IR 3.1.1 Definitie Een vergelijking is een uitspraakvorm van de gedaante A = B. Hierbij zijn A en B twee uitdrukkingen waarvan er tenminste één een veranderlijke (de onbekende genoemd) bevat.
3.1.2 Oplossen van vergelijkingen Een vergelijking in IR oplossen betekent alle reële getallen bepalen waarvoor de uitspraakvorm een ware uitspraak wordt. Voorbeeld: 2 opl (7x 2 − 2 = 5x ) = 1, − 7
Twee vergelijkingen zijn gelijkwaardig als hun oplossingenverzameling dezelfde is. Voorbeeld:
( 4 x + 3 = 0 ) ⇔ −3x =
9 4
9 3 want opl(4 x + 3 = 0) = opl −3x = = − 4 4
Stellingen over gelijkwaardige vergelijkingen: 5. (A = B) ⇔ (A + C = B + C) de overbrengingsregel. 6. (A = B) ⇔ (mA = mB) met m ∈ IR 0 7. Is V de oplossingsverzameling van A.B.C = 0; V1, V2 en V3 de oplossingenverzameling resp. van A=0, B=0, C=0 dan is V = V1 ∪ V 2 ∪ V 3 8. (A.C = B.C) ⇔ (A = B ∨ C = 0)
_____________________________________________________________________________ Algebra 14
Belangrijke gevolgen: a) neemt men A = B ⇒ A.C.= B.C dan loopt men gevaar oplossingen in te voeren. Voorbeeld:
x2 4 +1 = + 2x x−2 x−2 ⇒ x2 + (x − 2 ) = 4 + 2x( x − 2) ⇔ x2 − 5x + 6 = 0 ⇔ ( x − 3)(x − 2) = 0 ⇔ (x = 3 ∨ x = 2 ) ↓ ingevoerd dus los op als volgt: ⇔ x2 + (x − 2 ) = 4 + 2x(x − 2) ∧ x ≠ 2 ⇔ x =3 dus opl = {3}
Onthoud: voor we een noemer verdrijven die de onbekende bevat, moeten we vooraf als voorwaarde stellen dat deze noemer verschilt van nul.
b) Neemt men A.C = B.C ⇒ A = B dan loopt men gevaar oplossingen te verduisteren.
Voorbeeld:
(x − 1)(x + 2 ) = (3x + 2 )(x + 2 ) ⇔ x − 1 = 3x + 2 ⇔ 2x + 3 = 0 3 ⇔ x = − : 1 oplossing verloren 2 dus los op als volgt: ⇔ ( x + 2 )(2x + 3) = 0 ⇔ x + 2 = 0 ∨ 2x + 3 = 0 3 2 3 dus opl = − , − 2 2 ⇔ x = −2 ∨ x = −
_____________________________________________________________________________ Algebra 15
3.1.3 Bespreking van de lineaire vergelijking ax+b = 0; a,b ∈ IR (a en b hangen af van een parameter)
b (= enige oplossing) a 2. a = 0 0x + b = 0 ⇔ 0x = −b
1. a ≠ 0 ax + b = 0 ⇔ x = −
(een valse vergelijking ) (een identieke vergelijking )
als b ≠ 0 dan is opl = ∅ als b = 0 dan is opl = IR
Voorbeeld:
(eigenlijke oplossing )
2
px − m = 3x − 9 p en m parameters; p, m ∈ IR
⇔ (p - 3)x = m 2 - 9 m2 − 9 p−3
1. p ≠ 3
x=
2. p = 3
0x = m − 9
2
als m = 3 ∨ m = -3 dan is 0x = 0 ⇒ opl = IR als m ≠ 3 ∧ m ≠ -3 dan is opl = ∅
3.1.4 Oplossen van de tweedegraadsvergelijking in 1 onbekende Standaardvorm ax 2 + bx + c = 0 met a ∈ IR 0 ; b,c ∈ IR De discriminant opzoeken ∆ = b2 − 4ac Als
∆ > 0 ∆ = 0 ∆ < 0
dan heeft ax² + bx + c = 0 twee verschillende wortels −b − ∆ −b + ∆ en x 2 = 2a 2a dan heeft ax² + bx + c = 0 twee gelijke wortels -b x1 = x 2 = 2a dan heeft ax² + bx + c = 0 geen reële wortels x1 =
_____________________________________________________________________________ Algebra 16
Is b een even getal dan kan men gebruik maken van de vereenvoudigde formules. Als b = 2b' dan is ∆ = 4b' 2 − 4ac = 4(b' 2 − ac)= 4∆' en ∆' wordt de vereenvoudigde discriminant genoemd. De wortels zijn dan x1 =
− b' − ∆ ' −b' + ∆ ' , x2 = a a
3.2 Ongelijkheden in IR 3.2.1 Definitie Een ongelijkheid is een uitspraakvorm van de gedaante A < B (of A ≤ B, A > B, A ≥ B). Hierbij zijn A en B twee uitdrukkingen waarvan er tenminste één een veranderlijke bevat. 3.2.2 Oplossen van ongelijkheden Een ongelijkheid in IR oplossen betekent alle reële getallen bepalen waarvoor de uitspraakvorm een ware uitspraak wordt. Voorbeeld: opl (2x(x − 1) > 0 ) = ] − ∞ , 0 [ ∪ ]1, + ∞ [
Twee ongelijkheden zijn gelijkwaardig als hun oplossingenverzameling dezelfde is.
Stellingen over gelijkwaardige ongelijkheden. 1. (A < B) ⇔ (A + C < B + C)
mA < mB als m ∈ IR +0 2. (A < B) ⇔ mA > mB als m ∈ IR 0 In een ongelijkheid verdrijven we de onbekende nooit uit de noemer.
_____________________________________________________________________________ Algebra 17
3.2.3 Bespreking van de lineaire ongelijkheid ax + b > 0; a,b ∈ IR (a en b hangen af van een parameter)
ax + b > 0 ⇔ ax > - b 1. a > 0
ax > − b ⇔ x > −
b
2. a < 0
ax > −b ⇔ x < −
b
3. a = 0
ax > − b ⇔ 0x > − b
a
a
b opl = x ∈ IR x > − a
b opl = x ∈ IR x < − a
b > 0 opl = IR is b ≤ 0 opl = ∅
Voorbeeld: px − 2m + 3 < 2x − p
(p, m ∈ IR)
⇔ (p − 2 )x < 2m − p − 3
Bespreking: 2m − p − 3 1. p > 2 opl = x ∈ IR x < p −2 2m − p − 3 2. p < 2 opl = x ∈ IR x > p −2
3. p = 2
a) 2m − 5 > 0 opl = IR 0x < 2m − 5 b) 2m − 5 ≤ 0 opl = ∅
_____________________________________________________________________________ Algebra 18
3.2.4 Oplossen van kwadratische ongelijkheden in 1 onbekende 2
ax + bx + c ≥ 0 met a ∈ IR0 ; b,c ∈ IR We onderzoeken eerst het teken van het linkerlid en leiden daaruit de gepaste intervallen af waartoe x moet behoren. Daartoe bespreken we de grafiek van de functie y = ax 2 + bx + c . Deze stelt een parabool voor met as van symmetrie // y-as.
y = ax 2 + bx + c op De snijpunten van de parabool met y-as worden verkregen door het stelsel: x = 0 te lossen. Oplossing (S) = {(0,c )}
y = ax 2 + bx + c De snijpunten met de x-as door op te lossen: y = 0 ∆ >0
de parabool snijdt de x-as in de punten
−b − ∆ , 0 en −b + ∆ , 0 2a 2a
∆ =0
b de parabool raakt de x-as in − ,0 2a
∆ <0
de parabool snijdt of raakt de x-as niet.
Verder weten we dat als a > 0 , de parabool met haar holle zijde naar boven gericht ligt en als a < 0 de holle zijde naar onder gericht ligt.
_____________________________________________________________________________ Algebra 19
Samenvatting:
D>0
D=0
x
a>0
D<0
x 1
2
x =x 1 2
x =x 1 2
x
a<0
x
1
2
Uit deze tabel leiden we gemakkelijk het tekenverloop van y = ax 2 + bx + c af: x teken van ax 2 + bx + c
teken van a
x1 0
x2 0
tegengesteld teken van a
teken van a
1. Als a > 0 ⇒ opl(ax 2 + bx + c ≥ 0) =] − ∞, x1 ] ∪ [ x2 , +∞[ 2. Als a < 0 ⇒ opl(ax 2 + bx + c³ ≥ 0) = [ x1 , x2 ]
Voorbeeld: x 2 − 2x − 3 ≤ 0 ⇒ nulpunten zijn –1 , 3 ⇒ tekenonderzoek:
x x − 2x − 3 2
+
x1 0
-
x2 0
+
⇒ Opl = [-1,3]
_____________________________________________________________________________ Algebra 20
3.2.5 Oplossen van gebroken ongelijkheden Voorbeeld 1: Tekenonderzoek van een macht, een product of een quotient van lineaire factoren. x (1 − x) (x + 3) >0 (3 − x)2 (2x + 3) 3
f ( x) =
⇒ tekenonderzoek:
−
-3
x
3 2
0
1
3
x
-
-
-
-
-
0
+
+
+
+
+
1-x
+
+
+
+
+
+
+
0
-
-
-
-
0
+
+
+
+
+
+
+
+
+
(3 − x )
+
+
+
+
+
+
+
+
+
0
+
(2x + 3)
-
-
-
0
+
+
+
+
+
+
+
f ( x)
-
0
+
-
0
+
0
-
3
(x + 3)
2
-
3 ⇒ opl ( f(x)>0 ) = −3, − ∪ ]0,1[ 2
Voorbeeld 2: Tekenonderzoek van een macht, een product of een quotiënt van lineaire en kwadratische factoren. f ( x) =
( x − 1) (2x 2 + x + 1) x2 + x − 6
≤0
⇒ nulpunten teller: 1; nulpunten noemer: -3, 2 ⇒ tekenonderzoek:
-3
x
1
2
x −1
-
-
-
0
+
+
+
2x2 + x + 1
+
+
+
+
+
+
+
x2 + x − 6
+
0
-
-
-
0
+
f ( x)
-
+
0
-
+
⇒ opl(f(x) ≤ 0) = ]−∞, −3[ ∪ ]1, 2[
Voorbeeld 3: Tekenonderzoek van een product of een quotiënt van veeltermen. _____________________________________________________________________________ Algebra 21
f (x) =
− x4 + x3 − x + 1 <0 x3 + x 2 + x
⇒ ontbinden ⇒
(x − 1) ( x + 1) (− x 2 + x − 1) x (x 2 + x + 1)
⇒ tekenonderzoek: x
-1
0
1
x −1
-
-
-
-
-
0
+
x +1
-
0
+
+
+
+
+
x
-
-
-
0
+
+
+
− x + x −1
-
-
-
-
-
-
-
x2 + x + 1
+
+
+
+
+
+
+
f ( x)
+
0
-
+
0
-
2
⇒ opl(f(x) < 0) = ]-1,0[ ∪ ]1, +∞[
Voorbeeld 4:
x +2 x+3 ≤ x + 1 x −1
⇔ ⇔
x +2 x+3 − ≤0 x + 1 x −1 −3x − 5 ≤0 (x + 1) ( x − 1)
⇒ tekenonderzoek: −
x
5 3
-1
1
- 3x - 5
+
0
-
-
-
-
-
x+1
-
-
-
0
+
+
+
x-1
-
-
-
-
-
0
+
f (x)
+
0
-
+
-
5 ⇒ opl(f(x) ≤ 0) = - , −1 ∪ ]−1, +∞[ 3
_____________________________________________________________________________ Algebra 22
3.3 Oefeningen 3.3.1 Los op
1.
( x − 5)( 3x + 7 ) = ( x − 5)( 5x + 3)
opl.:{2,5}
2.
( x − 5 )2 − 9 = 0
opl.:{2,8}
3.
6 1 2 − = 2 3x − 1 x 3x − x
4.
1 1 2 + = x−2 x+2 3
5.
12 x 2x − 3 120 = − 3x − 1 2 5 (1 − 3x )
opl.: ∅ opl.:{-1,4} 17 opl.: 3, 6
6. x 2 + 7 x + 3(11 − ax) + 8a = 0 als a ∈ en er 2 gelijke wortels zijn 7. 4 x − 3 >
3x 3 − 2 5
8.
4x − 3 x + 1 x − 5 − > 5 8 2
9.
(3x + 1) 2x < (3x + 2 ) 2x − 3
10.
1 2 3 + ≤ x −1 x − 2 x − 3
(
opl.: x >
24 25
opl.: x > −
71 7
2 3 3 opl.: − , − ∪ , +∞ 3 11 2
)(
opl.: ]−∞, −1[ ∪ [1, 2[ ∪ ]3, +∞[
)
11. ( x − 2 ) 2 x 2 + x − 3 x − 1 − 2 x 2 > 0
12.
opl.: a = -1, x = -5
x −1 x +1 < x +1 x −1
3 opl.: −∞, − ∪ ]1, 2[ 2
opl.: ]−1, 0[ ∪ ]1, +∞[
3.3.2 Los op en bespreek
1. m 2 x − 2 = 4x − m 2.
x x + −2 = 0 p+m p−m
_____________________________________________________________________________ Algebra 23
3.
(p
2
)
− p x = 2x − mp − 2
4. mx - 1 ≤ x + m 5. 2x + 4 > mx + 8 6. m 2 (x − 4) < 4 − x 7. px − 5m 2 + 2m < mx − mp
_____________________________________________________________________________ Algebra 24
4 Absolute waarde van een reëel getal 4.1 Definitie De absolute waarde (of modulus) x van een reëel getal x definiëren we als volgt: ∀ x ∈ IR : x = x als x ≥ 0 = − x als x ≤ 0
Merk op: 1) voor elk van 0 verschillend reëel getal is één van de 2 delen van de definitie van toepassing. Alleen voor 0 zijn beide delen toe te passen maar ze leveren hetzelfde resultaat want 0 = − 0 2) x ∈ IR+
Grafiek:
Men bekomt de grafiek van y = x door het deel van de grafiek van y = x dat onder de x-as ligt te spiegelen rond de x-as.
_____________________________________________________________________________ Algebra 25
4.2 Eigenschap +
∀ x ∈ IR, ∀a ∈ IR : x ≤ a −a≤ x≤a
4.3 Bewerkingen ∀ x,y ∈IR: xy = x. y x −1 = x −1 ,x ≠ 0 ⇓
x x = ,y ≠ 0 y y x+y ≤ x + y
4.4 Toepassing: verloop van een functie gedefinieerd met modulus-tekens Gegeven: f ( x) = x − 3 Gevraagd: schets de grafiek van f Oplossing: Methode 1: uitgaande van de definitie van f zonder modulusstrepen
= x − 3 als x − 3 ≥ 0 f (x) = = − (x − 3) als x − 3 ≤ 0
f (x) = x − 3 als x ≥ 3 = 3 − x als x ≤ 3
(1) (2)
(1) wordt grafisch een halfrechte (3, 0), (4, 1) (2) wordt grafisch een halfrechte (3, 0), (2, 1)
_____________________________________________________________________________ Algebra 26
Methode 2: uitgaande van de grafiek van y = x - 3 •
y = x - 3 wordt voorgesteld door een rechte (0, - 3), (3, 0)
•
om de grafiek van y = x − 3 te vinden, spiegelen we het deel van de grafiek van y = x - 3 dat onder de x-as ligt, rond de x-as.
_____________________________________________________________________________ Algebra 27
4.5 Oefeningen Teken de volgende grafieken in een rechthoekig assenkruis: 1. y = 2 x + 1 2. y = 2 x + 3 + 4 3. y = x 2 − 4 4. y = − 3x 2 + 4 x + 1 5. y = x 2 − 9 + 9 6. y = x − 2 + x + 2 7. y = x − 1 − x 2 − 4
_____________________________________________________________________________ Algebra 28
5 Matrices en determinanten 5.1 Matrices 5.1.1 Definitie
Een m x n matrix A is een rechthoekige tabel van m×n reële (of complexe) getallen, bestaande uit m rijen en n kolommen. Algemeen:
a11 ( a ij ) = a 21 A mxn ... a m1
a12
a13
a 22 ... a m2
a 23 ... a m3
... a1n ... a 2n ... ... ... a mn
De elementen a ij worden voorzien van dubbele indices. De eerste index wijst het rangnummer van de rij van het beschouwd element aan, de tweede het rangnummer van de kolom. Aldus staat a 23 op de tweede rij en in de derde kolom. De verzameling van alle m×n matrices wordt voorgesteld door IR m x n of door C m x n al naargelang de elementen a ij reële of complexe getallen zijn. m en n worden de dimensies van de matrix genoemd. 5.1.2 Gelijke matrices
Twee matrices A en B heten gelijk als en slechts als: •
ze gelijke dimensies hebben,
•
hun gelijkstandige elementen gelijk zijn.
i = 1, 2, 3, ...m A = (a ij )en B = (b ij ) dan is A = B ⇔ a ij = b ij met j = 1, 2, 3, ...n
(a ) = (b )⇔ a ij
ij
ij
= bij
_____________________________________________________________________________ Algebra 29
5.1.3 Optelling van matrices met gelijke dimensies
Gelijkstandige elementen worden opgeteld.
(a )+ (b ) = (a ij
ij
ij
+ b ij )
Voorbeeld:
2 4 6 1 4 0 2 + 1 4 + 4 6 + 0 3 8 6 3 5 7 + 0 2 −3 = 3 + 0 5 + 2 7 − 3 = 3 7 4
Eigenschappen: 1. een inwendige bewerking A, B ∈ IR m x n : A + B ∈ IRm x n 2. commutativiteit: A + B = B + A 3. associativiteit: (A + B) + C = A + (B + C) 4. de nulmatrix 0 (alle a ij = 0) is neutraal element. A + 0 = A 5. bij iedere matrix A = (a ij ) hoort een tegengestelde matrix − A = (− a ij )
IR mxn ,+ is een commutatieve groep
5.1.4 Vermenigvuldiging van een reëel getal en een matrix
∀ r ∈ IR: r (a ij )= (r.a ij ) Het reëel getal wordt scalair genoemd en de bewerking heet scalaire vermenigvuldiging.
Voorbeeld:
1 0 3 0 3 2 3 = 6 9 0 −1 0 −3
_____________________________________________________________________________ Algebra 30
Eigenschappen: 1. inwendige bewerking: ∀ r ∈ IR,∀ A ∈ IR m x n : r A ∈ IR m x n 2. de scalair 1 is neutraal element: ∀ A ∈ IR m x n :1.A = A 3. associativiteit: ∀ r, s ∈ IR, ∀ A ∈ IR m x n : (rs)A = r(sA ) 4. distributiviteit t.o.v. de optelling in IR m x n : r(A + B) = rA + rB 5. distributiviteit t.o.v. de optelling in IR : (r + s)A = rA + sA
Bovendien is IR m x n , + een communatieve groep; Besluit: IR, IR mxn ,+ is een reële vectorruimte
5.1.5 Getransponeerde matrix
Schrijft men de rijen van een matrix A als kolommen, zonder de volgorde van die rijen of van de elementen in iedere rij te wijzigen, dan ontstaat de getransponeerde matrix AT van A. De overgang van de ene naar de andere matrix heet transpositie. Merk op: als A ∈IR m x n ⇒ A T ∈IR n x m
a11 a A= 21 ... a m1
a12 a 22 ... a m2
... a1n ... a 2n ... ... ... a mn
a11 a T A = 12 ... a1n
a 21 a 22 ... a 2n
... a m1 ... a m2 ... ... ... a mn
5.1.6 Matrixvermenigvuldiging
( )
( )
Zij A = aij een m×p-matrix en B = bij een p×n-matrix, dan is het product van A en B een
( )
m×n-matrix C = cij waarbij p
cij = ai1b1 j + ai 2 b2 j + ... + aip b pj = ∑ aik bkj ,
i = 1...m, j = 1...n .
k =1
Opgelet: een matrix product A.B bestaat dus dan en alleen dan, als het aantal rijen van B gelijk is aan het aantal kolommen van A.
_____________________________________________________________________________ Algebra 31
Voorbeeld
a11 a 21 a 31 a 41
a12 a 22 b11 a 32 b 21 a 42
4x2 met
b12 b 22
c11 b13 c 21 = b 23 c31 c 41
2x3
c12 c 22 c32 c 42
c13 c 23 c33 c 43
4x3
c11 = a11 b11 + a12 b21 c 23 = a 21 b13 + a 22 b23
Eigenschappen: 1. associativiteit: (A.B).C = A.(B.C) 2. distributiviteit: A.(B + C) = A.B + A.C (A + B).C = A.C + B.C 3. Niet-commutativiteit
Voorbeeld:
1 1 1 2 3 [1 2 3] 1 = [9] terwijl 1 [1 2 3] = 1 2 3 2 2 2 4 6
5.1.7 Vierkante matrices Een vierkante matrix is een matrix met evenveel rijen als kolommen. Het is een matrix van orde n. De elementen a ii met i = 1, 2, 3, ..., n vormen de hoofddiagonaal.
_____________________________________________________________________________ Algebra 32
Bijzondere vierkante matrices: Eenheidsmatrix van de orde n:
a ii = 1 ∀ i, j = 1, 2, ..., n: a ij = 0 als i ≠ j
1 0 E2 = 0 1
1 0 0 E3 = 0 1 0 0 0 1
De eenheidsmatrix van de orde n speelt de rol van neutraal element voor de matrixvermenigvuldiging van matrices van de orde n: A.E = E.A = A.
a b 1 0 a b c d 0 1 = c d 1 0 a b a b 0 1 c d = c d
Nulmatrix 0 is een opslorpend element voor de matrixvermenigvuldiging A.0 = 0.A = 0
a b 0 0 0 0 c d 0 0 = 0 0 Opmerking: er bestaan matrices A en B waarvoor A.B = 0 en A ≠ 0 en B ≠ 0. Deze matrices noemt men nuldelers.
1 −1 1 2
0 0 0
Voorbeeld: = 1 −1 1 2 0
_____________________________________________________________________________ Algebra 33
5.2 Determinanten 5.2.1 Definities
a11
De determinant van een vierkante 2×2-matrix a21 a11 a12 door = a 11a 22 − a 12a 21 . a 21 a 22
a12 noemen we het reële getal gegeven a22
Notatie: det A of A of a ij determinant van de 2de orde.
a11 Stel in wat volgt A = a 21 a 31
a12 a 22 a 32
a13 a 23 a 33
Rang van een element: De rijen van een determinant (of bijhorende matrix) worden genummerd van boven naar onder, de kolommen van links naar rechts. Staat een element in de rij met rangnummer i en in de kolom met rangnummer j, dan noemt men i + j de rang van dat element. Cofactor van een element: Schrapt men in een determinant van orde 3 de rij en de kolom van een element, dan ontstaat een determinant van orde 2. Deze determinant, voorafgegaan van het teken + of - , al naar gelang de rang van het beschouwde element even of oneven is, wordt cofactor van dit element genoemd. (minor als de determinant zonder teken beschouwd wordt.) Notatie: α ij : hangt dus niet af van de getallen uit de rij en kolom waarin het element zich bevindt
Voorbeeld: 2 +1
α 21 = (−1)
a 12 a 13 a 32 a 33
=−
a12
a 13
a 32 a 33
_____________________________________________________________________________ Algebra 34
Definitie: De determinant van een 3×3-matrix is het reële getal dat men vindt door de elementen van een rij of een kolom te vermenigvuldigen elk met hun cofactor en de bekomen producten bij elkaar op te tellen. Kiest men bv. de 1ste rij, dan zegt men dat men de determinant naar de eerste rij ontwikkelt.
Voorbeeld:
3 2 1 A = 2 1 2 3 −2 4
1+ 1
α 11 = (−1)
1
2
−2
4
= 4+ 4 =8
α 12 = (−1)
2 2 = − (8 − 6) = − 2 3 4
α 13 = (−1)
2
1
3
−2
1+2
1+3
= − 4 − 3 = −7
det A = 3.8 + (-2).2 + (-7).1 = 24 - 4 - 7 = 13 kan ook gemakkelijk teruggevonden worden met de Regel van Sarrus.
5.2.2 Eigenschappen van determinanten 1. Een vierkante matrix A en zijn getransponeerde AT hebben gelijke determinanten. det A = det AT 2. Worden twee rijen (kolommen) van een determinant verwisseld dan verandert die determinant van teken. Gevolgen:
•
een determinant met 2 gelijke rijen (kolommen) is nul.
•
de som van de producten van de elementen van een rij (kolom) met de overeenkomstige cofactoren van een andere rij (kolom) is nul. Zie voorbeeld hierboven: a 21α 11 + a 22 α12 + a 23α13 = 2.8 + 1(− 2) + 2.( −7) = 0
_____________________________________________________________________________ Algebra 35
3. Splitst men een rij (kolom) in een som van twee rijen (kolommen) dan is de determinant op overeenkomstige wijze te beschouwen als de som van twee determinanten. a1 + a1 ' a 2 + a 2' a 3 + a 3'
b1 b2 b3
c1 a1 c2 = a2 c3 a3
b1 b2 b3
c1 a1 ' c 2 + a 2' c 3 a 3'
b1 b2 b3
c1 c2 c3
2
1
Voorbeeld: 2 +1
2
1
2
2
1
1
0 + 2 1 2 = 0 1 2 + 2 1 2 = 13 −1 − 2 4 4 −2 4 −1 + 4 −2 4
4. Vermenigvuldigt men een rij (kolom) met een reëel getal k, dan wordt ook de determinant met k vermenigvuldigd. a1
kb1
c1
a1
b1
c1
a2 a3
kb2 kb 3
c2 = k a 2 c3 a3
b2 b3
c2 c3
Gevolgen:
•
bevatten alle elementen van een rij (kolom) eenzelfde factor, dan kan die factor voor de determinant worden geplaatst.
•
een determinant met 2 evenredige rijen (kolommen) is nul.
5. Als men bij een rij (kolom) een veelvoud van een andere rij (kolom) optelt, dan blijft de determinant gelijk. a1
b1
c1
a 1 + kb1
b1
c1
a2 a3
b2 b3
c 2 = a 2 + kb 2 a 3 + kb 3 c3
b2 b3
c2 c3
6. Det (A.B) = det A . det B
_____________________________________________________________________________ Algebra 36
7. Een determinant berekenen door verlaging van de orde. Elke determinant kan door toepassing van de eigenschappen herleid worden tot een determinant waarin een rij of een kolom op één element na alleen nullen bevat. Voorbeeld:
3 4 0 3 4 0 = = 3 4 2 3 1 2 3 1 = −1 = −1(−3 + 4) = −1 2 3 1 r1 − r 3 r 3 − 2r 2 −1 −1 3 5 2 − 1 −1 0 3 5 2 6 9 2
_____________________________________________________________________________ Algebra 37
5.3 Oefeningen x x2 y+5z = 0 2x+5 x+y+z
4 1. Bereken x, y, z als 2 y
Antwoord: x = 2, y = -3, z = 1 2. Vul de door een punt aangeduide plaatsen in:
2 . 5 1 . 6 . 3 + 2 3 . = 11 5 4 3 . 3 4 . 3. Als A een p×q-matrix is en B een r×s-matrix, onder welke voorwaarde bestaan dan de beide producten A.B en B.A ?
Antwoord: q = r en s = p 4. Men geeft de matrices:
0 1 A = 1 0 2 2
1 2 B= 3 4
1 0 1 C= 2 1 3
Bereken achtereenvolgens A.B, (A.B).C, B.C, A.(B.C) en verifieer aldus de associatieve eigenschap. 5. Bewijs dat (A.B)T = BT.AT als
a b c A= , d e f
g h B = i j k l
1 2 6. Bepaal al de matrices B waarvoor A.B = B.A. als A = 3 4 Antwoord: x z
2 z 3 x + z
7. Welk verband bestaat er tussen de matrices B (van de orde 3) en A.B als
1 0 0 1. A = 0 k 0 0 0 1
0 1 0 2. A = 1 0 0 0 0 1
_____________________________________________________________________________ Algebra 38
8. Bereken de volgende determinanten (pas ordeverlaging toe): 3
2
2 1 1 3
0
1. 4 − 2 1 1 3 −4
2.
0 0 3 1 2 3 4 1 1 1 0 1
opl.: 49 9 −5
1 0 0 0 3. 0 0 0 a a 1
4. 2 3 − 1 1 −6 2
5.
8 1
9 1
6 3 5 4 2 3
4 5 7 2 4 1
opl.: 10
opl.: 20
1 0 0 0 0 0
opl.: 1 + a5
opl.: -5
1
0 0 a 0 a 1 a 1 0
a
b c
6. c a b b c a
opl.: a3+b3+c3-3abc
9. Toon aan dat: a
b ck
p q x y
a
b
c
rk = p q r xk yk z z
_____________________________________________________________________________ Algebra 39
6 Stelsels 6.1 Stelsels van n vergelijkingen en n onbekenden 6.1.1 Matrixnotatie
a11 x1 + a12 x 2 +...+ a1n x n = b1 a x + a x +...+ a x = b 21 1 22 2 2n n 2 ... a n1 x1 +a n2 x 2 +...+ a nn x n = b n a ij ∈ IR, b i ∈ IR
Stel
a11 a A = 21 ... a n1
a12 a 22 ... a n2
... a1n ... a 2n ∈ IR n x n ... ... ... a nn
x1 x X = 2 ∈ IR n x 1 , ... x n
b1 b B = 2 ∈ IR n x 1 ... b n
⇒ Matrixnotatie: A.X = B Voorbeeld:
-2x + 5y - z = 1 +z =0 x -2y + 3z = -2
⇒
-2 5 -1 A = 1 0 1 , 0 -2 3
x X = y , z
1 B = 0 -2
_____________________________________________________________________________ Algebra 40
6.1.2 Oplossen van een stelsel door eliminatie
Door opeenvolgende eliminaties wordt het gegeven stelsel vervangen door een gelijkwaardig stelsel waarin de eerste vergelijking n onbekenden bevat, de tweede n - 1, de derde n - 2, ... de voorlaatste 2 en de laatste 1. Uit de laatste vergelijking wordt de waarde van de onbekende afgeleid. Door substituties in de vergelijkingen met 2, 3, 4, ..., n onbekenden worden achtereenvolgens de andere onbekenden berekend. Voorbeeld:
−z = 9 x + y x + y − z = 9 x + y − z = 9 1 − 3 ⇒ = 1 −1 3y + 2z = 8 − 1 ⇒ 3y + 2z = 8 x − 2y − 3z 3x + 6y + z = 37 1 3y + 4z = 10 1 2z = 2 x + y = 9 + 1 x = 10 − 2 x = 8 ⇒ y = 2 ⇒ 3y = 8 − 2 ⇒ y = 2 z = 1 z = 1 z = 1 6.1.3 Oplossen van een stelsel met de methode van Cramer.
Zij gegeven een n x n stelsel: Het stelsel A.X = B heeft een unieke oplossing ⇔ A ≠ 0; de oplossing wordt gegeven door xi =
Ai A
waarbij de nxn-matrix Ai als volgt gedefinieerd wordt:
a11 a 21 Ai = ... a n1
a12
... a1 i-1
b1
a1 i+1
a 22 ...
... a 2 i-1 ... ...
b2 ...
a 2 i+1 ...
a n2
... a n i-1
bn
a n i+1
... a1n ... a 2n ... ... ... a nn
Voorbeeld: We hernemen het vb. van 6.1.2.
1 1 −1 A = 1 −2 −3 ⇒ |A| = - 6 3 6 1 9 1 −1 A1 = 1 −2 −3 ⇒ |A1| = - 48 3 6 1 _____________________________________________________________________________ Algebra 41
1 9 −1 A2 = 1 1 −3 ⇒ |A2| = - 12 3 37 1 1 1 9 A3 = 1 −2 1 ⇒ |A3| = - 6 3 6 37 ⇒ x=
A1 A
= 8, y =
A2 A
= 2, z =
A3 A
=1
6.2 Stelsels lineaire ongelijkheden met 1 onbekende Men lost ieder der ongelijkheden afzonderlijk op en de oplossing van het stelsel wordt gevormd door de waarden die aan al de ongelijkheden voldoen. Voorbeeld:
5 x −3 23 2 − 4 < 2 x − 3 − < x ⇔ 9 (S) = 2x − 1 < x − 2 x < 5 5 3 23 opl (S) = x ∈ IR − < x < 5 9
- 23/9
5
_____________________________________________________________________________ Algebra 42
6.3 Oefeningen 6.3.1 Los volgende stelsels op
− x + 2 y − 3 z = 2 1. 2 x + y + 3z = 1 4 x + 7 y + 3z = 7 − y + 3z = 1 2. 2 x + 2 y + z = 2 4 x + 5 y − z = 5 3 x − y + z = 16 3. x + 3 y + 4 z = 72 x − y + z = −8
9 3 opl.: − k ,1 + k , k 5 5
opl.: ∅
opl.: {(12,20,0)}
x + 2 y = 1 4. 3 y − 5 z = −11 2 z − 3 x = −13
opl.: {(5,-2,1)}
1 3 1 x + y = 2 1 1 =2 5. + y z 1 1 =1 + x z
4 4 opl.: 4, , 5 3
6.3.2 Los volgende stelsels ongelijkheden op
x 2 − 4 ≥ 0 1. ( x − 3)( x + 5) < 0 1 3 3x-2 < x 2. 1 <0 (4 x - 1)(x + 3) 3. −1 <
3 x − 17 <2 5
opl.: ]-5,-2[ ∪ [ 2,3[
1 opl.: 0, 4
opl.: ]4,9[
_____________________________________________________________________________ Algebra 43
Analytische Meetkunde
Lieve Houwaer, Unit informatie, team wiskunde
1. VECTOREN EN RECHTEN 1.1. Vectoren 1.1.1.
Het vectorbegrip
De verzameling punten van het vlak noteren we door π. Kies in het vlak π een vast punt O, de oorsprong. Het vlak π waarin dit punt gekozen werd noemen wij het gepunte vlak πo. Elk ander punt P in het vlak kunnen we vanaf nu bekijken als het eindpunt van een vector namelijk OP . Het punt P = OP van πo noemen wij een gebonden vector, vaste vector of puntvector.
1.1.2.
Basis en assenstelsel
Wij kiezen 2 punten in πo E x en E y die samen met O een driehoek vormen. Voor elke P in πo bestaat er juist één (x, y) ∈IR 2 zodat P = x E x + yE y
.
Benamingen: Ex , E y is een basis van πo.
{
}
(x, y) zijn de carthesische coördinaten van P t.o.v. de basis {Ex , E y } .
Merk op: begrip coördinaat is basisgebonden. OEx is de x-as; OEy is de y-as; samen zijn het de coördinaatassen van het xy-assenstelsel of assenkruis.
1.1.3.
Bewerkingen met vectoren
In het gepunte vlak πo kunnen wij twee bewerkingen definiëren: 1) de som van 2 vectoren A en B van πo is een vector met als eindpunt de som van de 2 overeenkomstige vectoren OA en OB volgens de regel van het parallellogram.
Analytische meetkunde
2
y
C A
a2
B
b2
O
a1
b1
x 2) de uitwendige vermenigvuldiging van een vector A van πo en een getal k ∈ R is vector met als eindpunt het eindpunt op de rechte OA door k maal de vector OA op te tellen.
1.1.4.
Toepassing: midden van een lijnstuk
Gegeven: het lijnstuk [AB]; A (a1,a2) en B (b1,b2) Gevraagd: bepaal M het midden van het lijnstuk. A + B a + b a + b 1 1 , 2 2 M= 2 2 2
1.2. Rechten 1.2.1.
Vectoriële vergelijking
Beschouw een rechte e door de oorsprong. Elk punt S verschillend van de oorsprong is het eindpunt van een vector S die de richting van de rechte ondubbelzinnig bepaalt. Zo’n vector wordt een richtingsvector van e genoemd. Als S zo’n richtingsvector is, dan is elke k S met k ∈ R 0 opnieuw een richtingsvector van e . e
S
O Beschouw e1 een rechte evenwijdig met e en twee verschillende punten P en P0 op e1 .
Analytische meetkunde
3
P
e1
P0
e
S
P − P0
Als S een richtingsvector is van e , geldt P − P0 = k S of P = P0 + k S voor een k ∈ R . Omgekeerd ligt voor elke k , het eindpunt van de vector P0 + k S op de rechte e1 . We kunnen de vectoriële vergelijking P = P0 + k S dan ook beschouwen als de nodige en voldoende voorwaarde opdat een punt op de rechte e1 zou liggen (bepaald door het punt P0 en de richting S ). P = P0 + k S met k ∈ R is de vectoriële vergelijking van de rechte.
1.2.2.
Parametervergelijkingen
Overgang op de componenten in R 2 met P = ( x, y ) , P0 = ( x0 , y0 ) en S = (a , b ) levert ( x, y ) = ( x0 , y0 ) + k (a, b) met k ∈ R Verdere uitwerking levert
( x, y ) = ( x0 + ka, y0 + kb) met k ∈ R equivalent met
x = x0 + k a met k ∈ R y = y0 + kb Bovenstaande formules zijn een stel parametervergelijkingen van de rechte door een punt ( x0 , y0 ) met richtingsgetallen (a, b) , de coördinaten van de richtingsvector S . Merk op dat bovenstaande vergelijkingen niet uniek zijn. Zowel P0 als S kunnen gekozen worden.
Analytische meetkunde
4
1.2.3.
Cartesische vergelijking(en)
Wanneer we uit de parametervergelijkingen de parameter k elimineren krijgen we x − x0 y − y0 als ab ≠ 0 = a b
of y − y0 =
b ( x − x0 ) als a ≠ 0 a
Beide laatste vergelijkingen noemen we de cartesische vergelijking van de rechte. De b wordt de richtingscoëfficiënt genoemd. verhouding a Als a = 0 , dan worden de parametervergelijkingen met k ∈ R x = x0 y = y0 + kb De tweede vergelijking zegt dat y willekeurig is en kan dus worden weggelaten. We houden 1 (cartesische) vergelijking over.
x = x0 De rechte is evenwijdig met de y-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn (0,1); de richtingscoefficient bestaat niet! Analoog, als b = 0 , dan is y = y0 de cartesische vergelijking van de rechte; de rechte is dan evenwijdig met de x-as. De eenvoudigste richtingsgetallen zijn nu (1,0); de richtingscoefficient is 0! Merk op dat ( a, b) = (0, 0) onmogelijk is. De nulvector is immers uitgesloten als richtingsvector van een rechte.
Als de rechte gegeven is door middel van 2 punten P0 ( x0 , y0 ) en P1 ( x1 , y1 ) volstaat het een richtingsverctor te vinden. Vermits P1 − P0 een geschikte vector is, krijgen we P = P0 + k ( P1 − P0 ) met k ∈ R als vectoriële vergelijking en
x = x0 + k ( x1 − x0 ) met k ∈ R y = y0 + k ( y1 − y0 ) als stel parametervergelijkingen; x − x0 y − y0 = x1 − x0 y1 − y0
als cartesische vergelijking als x1 ≠ x0 en y1 ≠ y 0 .
Als x1 = x0 dan is de vergelijking analoog aan a = 0; Analytische meetkunde
5
als y1 = y0 dan is de vergelijking even analoog aan b= 0. De algemene cartesische vergelijking van een rechte in R 2 is dus van de vorm Ax + By + C = 0
waarbij A en B niet terzelfdertijd nul zijn. Omgekeerd kan ook aangetoond worden dat elke vergelijking van deze vorm in R 2 een rechte voorstelt. Wat is de richtingscoëfficiënt van deze rechte? Vind een stel richtingsgetallen.
1.3. Evenwijdige rechten Als gegeven is de rechte e1 met r.v. S1 , r.g. (a1,b1), rico m1, vgl A1x+B1y+C1=0, de rechte e2 met r.v. S2 , r.g. (a2,b2), rico m2, vgl A2x+B2y+C2=0
e1 e2
O
S
S2
1
dan is e1 // e2
⇔ S2 = k S1 met k ∈ R 0 a = ka1 met k ∈ R 0 ⇔ 2 b kb = 1 2
⇔ m2 = m1 A = kA1 met k ∈ R 0 ⇔ 2 B2 = kB1
toepassing: gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C=0 en het punt P(x0,y0) gevraagd: construeer f // e en door P f heeft als vergelijking A(x- x0)+B(y- y0)=0 Analytische meetkunde
6
1.4. Het Euclidisch vectorvlak 1.4.1.
Definities
Als A(a1 , a2 ) en B(b1 , b2 ) in π 0 gegeven zijn, dan is het scalair product van deze 2 vectoren A . B = a1b1 + a 2 b 2 ∈ R
dan staan deze vectoren loodrecht of orthogonaal A ⊥ B⇔ A. B=0
dan is de norm van de vector A = A . A = a12 + a 2 2 > 0
dan is A een genormeerde vector als
A =1 dan is de afstand tussen A( a1 , a 2 ) en B(b1 , b2 )
d ( A, B) = A − B =
( a1 − b1 ) + ( a2 − b2 ) 2
2
B
A
O
A - B
Analytische meetkunde
7
1.4.2.
eigenschap
als A ≠ O dan is de genormeerde vector voortgebracht door A A Ea = A
waarbij a de rechte OA voorstelt.
Verklaar waarom Ea genormeerd is.
1.4.3.
{
Orthonormale basis (O.N.B.)
Ex ⊥ E y E x , E y is een orthonormale basis ⇔ E x = E y = 1
}
1.5. Hoeken Conventie: een hoek rekenen wij positief in tegenuurwijzerzin.
1.5.1.
De hoek van een rechte met de x-as
(Analytische uitdrukkingen t.o.v. O.N.B.) In onderstaande figuur zien we in de rechthoekige driehoek dat
tan α =
m =m 1
m.a.w. de richtingscoefficient van de rechte is gelijk aan de tangens van de hoek tussen de xas en de rechte.
y
e Ey
m α
1 Ex
x
0
Analytische meetkunde
8
1.5.2.
De hoek tussen 2 rechten
Gegeven:
de rechte e1 met r.v. S1 , r.g. (a1,b1), rico m1, α1 de hoek met de x-as de rechte e2 met r.v. S2 , r.g. (a2,b2), rico m2, α 2 de hoek met de x-as Definitie:
de hoek tussen de rechten e1 en e2 in die volgorde genomen, genoteerd (e1, e2), is de hoek met als hoekpunt het snijpunt van e1 en e2 ; het eerste been ligt op een halfrechte bepaald door e1 en het tweede been op een halfrechte bepaald door e2. e2
e2
(e 1 ,e2 ) e
(e1 ,e2 )
1
e
1
Merk op: een hoek is op π radialen na bepaald. Je kan dus altijd de kleinste (pos.) hoek kiezen. De hoek tussen twee rechten wordt ook bepaald door zijn tangens. (Dit is zinvol want de tangenten van anti-supplementaire hoeken zijn gelijk).
tan(α 2 − α1 ) =
m − m1 a1b2 − a2b1 tan α 2 − tan α1 = 2 = 1 + tan α 2 tan α1 1 + m2 m1 a1a2 + b1b2
1.6. Loodrechte stand van 2 rechten Als gegeven is
de rechte e1 met r.v. S1 , r.g. (a1,b1), rico m1, vgl A1x+B1y+C1=0, de rechte e2 met r.v. S2 , r.g. (a2,b2), rico m2, vgl A2x+B2y+C2=0 dan is (analytische uitdrukking t.o.v. O.N.B.)
Analytische meetkunde
9
e1
S1
e2
O
S2
e1 ⊥ e2 ⇔ S 2 ⊥ S1
⇔ a1a2 + b1b2 = 0 ⇔ m2 = −
1 m1
⇔ A1 A2 + B1 B2 = 0
toepassing: gegeven: de rechte e met vergelijking Ax+By+C=0 en het punt P0(x0,y0) gevraagd: construeer f ⊥ e en door P0 f heeft als vergelijking B(x- x0)-A(y- y0)=0
1.7. Afstand van een punt tot een rechte 1) definitie ( of constructieve methode) Beschouw in π 0 een punt P0 ( x0 , y0 ) en een rechte e : Ax + By + C = 0 . Om de (loodrechte) afstand van P0 tot de rechte e te vinden gaan we als volgt te werk. •
Construeer de rechte r door P0 loodrecht op e .
• •
Zoek het snijpunt S van r en e . De gezochte afstand is dan gelijk aan d ( P0 , S ) .
2) formule (via de normaalvgl. v.d. rechte e) (analytische vertolking t.o.v. O.N.B.) d ( P0 , e) = d ( P0 , S ) =
Ax0 + By0 + C A2 + B 2
Analytische meetkunde
10
1.8. Oefeningen 1. Gegeven: A(5, −1), B(−1,5), C (−7, 2) . a) Bepaal de coördinaten van de middens van de zijden van de driehoek ABC. 7 1 (2, 2); −4, ; −1, 2 2 b) Bepaal de coördinaten van het zwaartepunt van de driehoek ABC. (-1, 2) 2. Bepaal de richtingsgetallen en de richtingscoëfficiënt van de rechten bepaald door volgende gegevens: a) gaande door (-2, 7), (1, -8) (3, -15) en m = -5 (k,0) en m = 0 b) de rechte x c) de rechte y (0,k) en m bestaat niet! d) de rechte met vergelijking: 2x - y + 4 = 0 (1, 2) en m = 2 3 3 e) de rechte met vergelijking: y = x (4, 3) en m = 4 4 f) de rechte met vergelijking: y = 2x + 3 (1, 2) en m = 2 3. Construeer de rechten met volgende vergelijkingen: e: y = 4x f: 2x + 3y = 0 g: 4x + 2y + 5 = 0 4. Bepaal de hoek die volgende rechten maken met de x-as in een orthonormaal assenstelsel. e: y - x + 5 = 0 α = 45°;α = 135° f: y − 3x − 5 = 0 α = 60°;α = 120°
5. Bewijs dat de figuur gevormd door A(−2,1), B (−1, 4), C (5, 6), D(4,3) een parallellogram is. 6. Gegeven een rechte e: x + 2y = 4 Gevraagd: a) behoort A(4, 1) tot e ? b) behoort B(4,0) tot e ? c) bepaal de abscis van het punt op e met als ordinaat -5 d) bepaal de ordinaat van het punt C met als abscis 1 e) construeer de rechte f) zoek de snijpunten met de x-as en de y-as 7. Gegeven een rechte e: ax + 3y + 2 = 0 met a ∈ IR Bepaal, indien mogelijk, a zodanig dat: a) de rechte door (2, 0) gaat b) de rechte die door 0 gaat c) de rechte e evenwijdig is met de rechte f: 3x - y - 5 = 0 d) e evenwijdig is met x-as e) e evenwijdig is met y-as f) e op de x-as een stuk + 3 afsnijdt g) e op de y-as een stuk +5 afsnijdt Analytische meetkunde
Neen Ja x = 14 3 y= 2 (4, 0) en ( 0, 2)
a = -1 onmogelijk a = -9 a=0 onmogelijk 2 a=− 3 onmogelijk 11
h) e op y een stuk −
2 afsnijdt 3
a ∈ IR
8. Stel de vergelijking op van een rechte met de volgende gegevens: a) m = -2 en door het punt (3, 4) y + 2x - 10 = 0 b) door de punten (2, 3) en (5, 1) 3y + 2x -13 = 0 c) door de oorsprong en het punt (2, 6) y - 3x = 0 d) door de punten (3, 5) en (7, 5) y=5 e) door de punten (-2, 4) en (-2, 1) x = -2 f) door de punten (1, 3) en (-2, -6) y - 3x = 0 g) m = 2 en die van y een stuk + 4 afsnijdt y - 2x - 4 = 0 h) die van y een stuk +3 en van x een stuk +2 afsnijdt 3x + 2y - 6 = 0 i) die van y een stuk -6 afsnijdt en door het punt (2, 4) gaat y - 5x + 6 = 0 j) die door het punt (-2, 6 )gaat en evenwijdig is met de rechte: e: 3x + 2y - 5 = 0 2y + 3x - 6 = 0 k) die door het punt (0, 3) gaat en evenwijdig is met de rechte door de punten (2,0) en (5, 2) 3y - 2x - 9 = 0 l) die door het punt (2, 3) gaat en evenwijdig is met de y-as x=2 m) die door het punt (-2, 4) gaat en evenwijdig is met de x-as y=4 9. Gegeven de rechte e: y = (a - 2)x + (a + b) met a,b ∈IR . Bepaal a en b zodanig dat: a) e door de punten (1, 3) en (3, 5) gaat a = 3 en b = -1 b) e door het punt (2, -3) gaat en evenwijdig is met f: x + y + 5 = 0 a = 1 en b = -2 c) e een stuk -2 op x afsnijdt en (2, -10) als richtingsgetallen heeft. a = -3 en b = -7 d) e door (0, 0) en (-2, -4) gaat a = 4 en b = -4 10. Bepaal t.o.v. een orthonormale basis de vergelijking van de rechte: a) door het punt (4, -3) en die met de x-as een hoek van 45° maakt. y - x + 7 = 0; y + x - 1 = 0 b) die op de y-as een stuk +3 afsnijdt en met de positieve x-as een hoek van 30° maakt. 3y − 3x − 9 = 0 ; 3y + 3x − 9 = 0 11. Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt A (2, 4): a) die op de positieve x-as een stuk afsnijdt dat het dubbel is van het stuk afgesneden op de positieve y-as x + 2y -10 = 0
b) die op de negatieve x-as en de positieve y-as gelijke stukken afsnijdt x-y+2=0 12. Bepaal a zodanig dat e en f evenwijdig zijn: e: (a - 1)x - (a+2)y + 1 = 0 f: (a + 1)x + (2 - 4a)y + a = 0 13. Onderzoek of volgende punten collineair zijn: a) (8, 3), (-6, -3), (15, 6) b) (1, 1), (4, -1), (-5, 5)
Analytische meetkunde
a = 0 of a = 3
Ja Ja
12
14. Bepaal a zodanig dat de punten (2, 3), (a, 2) en (a + 2, a - 3) collineair zijn. Bepaal de vergelijking van de rechte. a = 3 en y + x - 5 = 0 a = 4 en 2y + x - 8 = 0 15. Bepaal de snijpunten van volgende rechten: e : x + 2y = 4 a) f : 3x + y = 7 e : 5x + 3y - 1 = 0 b) f : 2x + 8 = 0 e : 6y - 3 = 4x c) 3 f : 2x − 3y + 2 = 0
(2, 1) (-4, 7)
samenvallende rechten
16. Geef de algemene vergelijking van de rechten door (2, 1) y -1 = m (x - 2) 17. Geef de algemene vergelijking van de rechten met richtingscoëfficient 2. y = 2x + q 18. Bewijs dat de 3 zwaartelijnen van een driehoek concurrent zijn.
19. Gegeven: A(2, 0), B(1,1), C (1, 2) t.o.v. een orthonormale basis. Bepaal: A.B A.C C.B A. A B.B
2 2 3 4 2 5
C .C
20. Bewijs dat de punten A(4, 6), B(2, -4), C(-2, 2) een rechthoekige driehoek vormen.
21. Bepaal de vergelijking van de loodlijn en ook het voetpunt. a) uit het punt (0, 0) op de rechte e: 5x + y - 6 = 0 b) uit het punt (2, -6) op de rechte f: 2x - y + 5 = 0
15 3 , 13 13 x + 2y + 10 = 0 en (-4, -3) x - 5y = 0 en
22. Bepaal de vergelijking van de loodlijn op de rechte met vergelijking: 2x + 5y + 4 = 0 in haar snijpunt met de x-as. 5x - 2y + 10 = 0
Analytische meetkunde
13
23. Een rechte heeft richtingscoëfficiënt 2. Bepaal de vergelijking van de loodlijn uit het punt (4,1) op die rechte. 2y + x - 6 = 0
24. Bepaal de vergelijking van de middelloodlijn van het lijnstuk [ab] als A(3, -1) en B(1, 3). 2y - x = 0 25. De vergelijkingen van de zijden van een driehoek zijn: 3x − 4y + 14 = 0 ; 4x + y − 13 = 0 ; x + 5y − 8 = 0 . Bepaal de vergelijkingen van de hoogtelijnen en de coördinaten van het hoogtepunt. y − 5x + 5 = 0 3y + 4x − 15 = 0 4y − x − 10 = 0 30 55 , 19 19
26. Gegeven: A(5, -3), B(-1, 5), C(-7, 2). Bepaal de lengte van de zijden van de driehoek gevormd door deze punten. 10; 13; 3 5 27. Bepaal de afstand van de oorsprong tot het punt A(-2, 4) en tot de rechte e: 3x - y = 5 2 5;
10 2
28. Bepaal de afstanden van de punten A(-3, 4), B(2, 1), C(-3, 2) tot de rechte e: x – y + 5 = 0 2; 3 2; 0
29. Bepaal de afstanden van het punt A(5, 1) tot de punten B(1, -2), C(-2, 2) en tot de rechte BC. 5; 5 2; 5 30. Bepaal de afstand van het punt A(-4, 4) tot de rechte e: 2x + y - 3 = 0 7 5 5
a) m.b.v. de formule b) m.b.v. de loodlijn
31. Bepaal de afstand van het punt A(3, -5) tot de loodlijn die uit het punt B(1, 1) op de rechte e : 2 x − y + 2 = 0 wordt neergelaten. 2 5 32. Hoe ver ligt de oorsprong van de middelloodlijn van het lijnstuk [AB] met A(-9, 7), B(15, -3) 2
Analytische meetkunde
14
33. Bepaal de afstand tussen de evenwijdige rechten met vergelijkingen: 2x + y + 3 = 0 , 2x + y − 2 = 0 5
34. Gegeven: A(1, p), e: 2x + y + 1 = 0, f: x + 2y - 3 = 0. Bepaal p zodanig dat het punt A gelijke afstanden tot de rechten e en f heeft. 1 p=− en p = 5 3 35. Bepaal de vergelijking van de rechte door A(2, 3) en die op een afstand 3 ligt van de oorsprong. y = 3 en 5y + 12x - 39 = 0 36. Bepaal de vergelijking van de rechte door A(-5, 1) zodanig dat de rechte evenver verwijderd is van de punten B(3, -1) en C(-3, 2) 2y + x + 3 = 0 en 10y + x - 5 = 0 37. Bepaal de vergelijking van de rechte die evenwijdig is met de rechte e: 5x + 12y - 11 = 0 en die op een afstand 1 van het punt A(-2, 1) ligt. 5x + 12y - 15 = 0 5x + 12y + 11 = 0
Analytische meetkunde
15
2. KEGELSNEDEN 2.1. Inleiding Parabolen, ellipsen en hyperbolen zijn kegelsneden. Ze onstaan door de snijding van een kegel met een vlak. Cirkels zijn ook kegelsneden, het zijn speciale gevallen van ellipsen. Welk type van kegelsnede men bekomt, hangt af van de hoek waarmee het vlak de kegel snijdt.
Figuur 1 snijding van een kegel door een vlak
Links: bij de ellips is de hoek tussen het vlak en de as van de kegel groter dan de hoek tussen de as en de beschrijvende van de kegel. Midden: bij de parabool zijn de hoeken gelijk. Rechts: bij de hyperbool is de hoek met het vlak kleiner dan de hoek met de beschrijvende.
2.2. De cirkel Hoewel de cirkel "slechts" een speciaal geval van de ellips is, vermelden we toch eerst zijn definitie en zijn vergelijking. Een cirkel C bestaat uit de punten P die op een vaste afstand R van een vast punt M liggen. Deze vaste afstand R noemt men de straal, het vaste punt M het middelpunt.
P ∈ C ⇔ d ( P, M ) = R Indien het middelpunt M in de oorsprong ligt en (x,y) de coorinaat van P is ten opzichte van het orthonormaal assenkruis x y is, dan is de middelpuntsvergelijking van de cirkel
x2 + y 2 = R2 Verklaar!
Analytische meetkunde
16
Indien het middelpunt M de coördinaten ( x0 , y0 ) heeft, is de middelpuntsvergelijking
( x − x0 ) 2 + ( y − y0 )2 = R 2 De verklaring is analoog. De algemene vergelijking van de cirkel is x 2 + y 2 + Ax + By + C = 0
Opgelet, niet elke vergelijking van deze vorm stelt een cirkel voor!
2.3. De parabool Een parabool P bestaat uit de punten Q waarvoor de afstand tot een vaste rechte d gelijk is aan de afstand tot een vast punt F dat niet op d ligt. Het punt F noemt men het brandpunt van de parabool, de rechte d de richtlijn. Q ∈ P ⇔ d (Q, d ) = d (Q, F )
Als het brandpunt F ( p, 0) , richtlijn d : x = − p en (x,y) de coordinaat is van Q ten opzichte van het orthonormaal xy-assenkruis, dan is topvergelijking van de parabool P y2 = 4 p x
Dit kan op een eenvoudige manier worden afgeleid:
y
d
Q
x T F
Figuur 2 parabool
Q ∈ P ⇔ d (Q, d ) = d (Q, F )
⇔ ( x − p ) 2 + ( y − 0)2 = x + p ⇔ ( x − p) 2 + ( y − 0)2 = ( x + p ) 2 ⇔ y2 = 4 p x
De topvergelijking van deze parabool is dus y 2 = 4 p x . De x -as is de symmetrieas van de parabool. Het punt F is het brandpunt, de rechte d de richtlijn en het punt halfweg het brandpunt en de richtlijn is de top van de parabool.
Analytische meetkunde
17
Men dient goed te beseffen dat de bovenstaande vergelijking enkel geldig is met deze specifieke keuzes van de liggingen van het brandpunt en de richtlijn. Indien de parameter p negatief is,ligt het brandpunt links van de top en de richtlijn rechts. De vergelijking zelf blijft dezelfde. Indien de richtlijn horizontaal gelegd wordt, zal de parabool verticaal liggen, met zijn opening naar boven als de parameter p > 0 , en met de opening naar beneden als p < 0 . Er zijn dus vier mogelijkheden voor een parabool met top in de oorsprong en één van de coördinaatassen als symmetrieas.
y 2 = 4 p x met p > 0
y 2 = 4 p x met p < 0
x 2 = 4 p y met p > 0
x 2 = 4 p y met p < 0
Wanneer de parabool verschoven wordt naar een willekeurige ligging van de top T ( x0 , y0 ) vindt men op analoge manier twee topvergelijkingen Horizontale symmetrieas: ( y − y0 ) 2 = 4 p ( x − x0 ) met F ( x0 + p, y0 ) en d : x = x0 − p Verticale symmetrieas:
( x − x0 )2 = 4 p ( y − y0 ) met F ( x0 , y0 + p ) en d : y = y0 − p De algemene vergelijking van een parabool met symmetrieas evenwijdig aan een coordinaatas is Horizontale symmetrieas:
x = Ay 2 + By + C Verticale symmetrieas:
y = Ax 2 + Bx + C
Analytische meetkunde
18
2.4. Oefeningen (we werken in een O.N.B.) 1. Bepaal de vergelijking van de cirkel met middelpunt M(a, b) en straal R. 2 2 a) a = 0, b = 0, R = 5 x +y =5 2 2 (x − 4) + (y − 1) = 4 b) a = 4, b = 1, R = 2 2. Bepaal middelpunt en straal van de volgende cirkels a) x 2 + y 2 − 8x − 6y = 0 2
2
b) 3x + 3y − 2x + 3y + 1 = 0 2
2
c) 16x + 16y − 8x − 15 = 0 d) 36(x 2 + y 2 )− 48x + 36y − 227 = 0
M (4,3) en R = 5 1 1 1 M ,− en R = 6 3 2 1 M ,0 en R = 1 4 2 1 M ,− en R = 7 3 2
3. Onderzoek of de volgende vergelijkingen cirkels voorstellen. Zo ja, bepaal dan middelpunt en straal. 2 2 geen cirkel a) x + y − 6x + 14y + 59 = 0 2 2 cirkel C 1 b) 16x + 16y + 8x − 64y − 335 = 0 − ,2 ,5 4 2 2 c) 4x + 4y − 12x + 40y + 109 = 0 (punt) cirkel C 3 ,−5 ,0 2 4. Stel de vergelijking op van de cirkel door de punten (3, 3) en (5, 7) en het middelpunt op A:x − y = 5 2 2 x + y − 16x − 6y + 48 = 0
5. Stel de vergelijking op van de cirkel waarvan het lijnstuk bepaald door de punten van de cirkel (5, 6) en (-1, 0) een middellijn is. 2 2 x + y − 4x − 6y − 5 = 0 6. Stel de vergelijking op van de cirkel door het punt (-3, 4) en concentrisch met c: 2 2 x + y + 3x − 4y − 1 = 0 2 2 x + y + 3x − 4y = 0 7. Stel de vergelijking op van de cirkel omschreven aan driehoek ABC met A(2, 2); B(6, -2); C(-3, -5) 2 2 2x + 2y − 5x + 11y − 28 = 0 8. Een cirkel heeft zijn middelpunt in M(3, 0) en gaat door het punt P(1, 1). Bepaal: 2 (x − 3) + y 2 = 5 a) de vergelijking van de cirkel. b) de vergelijking van de cirkel met hetzelfde middelpunt en dubbele oppervlakte
( x − 3) Analytische meetkunde
2
+ y 2 = 10 19
9. Bepaal brandpunt en richtlijn van volgende parabolen en schets hun grafiek. 2 a) y − 8x = 0 2
b) y + 6x = 0 2
c) 2x + y = 0 2
d) 2x − y = 0
(2, 0); x = -2 3 3 − ,0 ; x = 2 2 1 1 0, − ; y = 8 8 1 1 0, ; y = − 8 8
10. Bepaal de topvergelijking van de parabool (met de x-as als symmetrie-as) en met als top (0, 0) en door het punt A(-1, 3): 2 y = −9x
1 1 11. Bepaal de topvergelijking van de parabool met als brandpunt 0, − en richtlijn d: y = 2 2 2 x + 2y = 0
12. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -2) en richtlijn d: x = 3 2 y + 4y − 8x + 44 = 0 13. Bepaal de vergelijking van de parabool met als brandpunt (7, -2) en richtlijn d de bissectrice van het tweede kwadrant. 2 2 x + y − 2xy − 28x + 8y + 106 = 0 14. Schets de grafiek van: a) 3x 2 − 24x − 2y + 50 = 0
2 3 3 2 (y + 5) = x 4
(x − 4) = (y − 1) 2
b) 4y + 40y − 3x + 100 = 0 2
Analytische meetkunde
20
Analyse
Lieve Houwaer Dany Vanbeveren
1. Relaties, functies, afbeeldingen, bijecties Voor niet-ledige verzamelingen A en B noemen we elke deelverzameling van de productverzameling A x B een relatie van A naar B. We noemen dom R = {x (x, y) ∈ R} het domein van de relatie R en bld R = {y (x, y) ∈ R} het beeld van de relatie R. Keert men de volgorde van de koppels van een relatie om, dan ontstaat een relatie van B naar A, de zgn. inverse relatie. Een functie van A naar B is een relatie van A naar B waarbij elk element van A hoogstens 1 beeld heeft. Een functie van A naar B noemt men een afbeelding van A in B als dom f = A. Een afbeelding van A in B noemt men een bijectie van A op B als de inverse relatie eveneens een afbeelding is.
2. Uitgebreide verzameling der reële getallen:
IR
De verzameling der reële getallen IR, aangevuld met de elementen - ∞ en + ∞ , noemt men de uitgebreide verzameling der reële getallen. Notatie: IR = IR U {− ∞ , + ∞} • De totale orde wordt als volgt uitgebreid: ∀ x ∈ IR:− ∞ < x < + ∞
Analyse
2
• De bewerkingen worden als volgt uitgebreid: 1) ∀ x ∈ IR: x + ( −∞ ) = −∞ = ( −∞ ) + x x + (+ ∞ ) = + ∞ = (+ ∞ ) + x ∀ x ∈ IR+0 : x. ( +∞ ) = +∞ = ( +∞ ). x x. ( −∞ ) = −∞ = ( −∞ ). x ∀ x ∈ IR−0 : x. (+ ∞ ) = −∞ = ( +∞ ). x x. ( −∞ ) = + ∞ = (−∞ ) .x
( +∞ ) + (+ ∞ ) = +∞ 2) ( −∞ ) + (− ∞) = −∞ (− ∞). (+∞ ) = −∞ = (+∞ ).(−∞ ) (+ ∞ ). (+∞ ) = +∞ = (−∞ ).(−∞ ) n +∞ = +∞ n −∞ = −∞ als n oneven is.
1 +∞
=0
1 −∞
=0
Dus de volgende uitdrukkingen hebben geen betekenis, zijn ONBEPAALDHEDEN:
( +∞ ) + ( −∞ ) ; ( −∞) + (+ ∞ ) ; 0.+ ∞ ; + ∞. 0 ; 0.−∞ ; − ∞.0 ;
Analyse
+∞ +∞
;
+∞ −∞
;
−∞ +∞
;
−∞ −∞
3
3. Continuïteit van een functie in IR 3.1. Voorbeelden Stel f: IR → IR en a ∈ dom f dan zegt men:
Y
Y f(a)
f(a)
b
a
a
X
f is continu in a
X
f is discontinu in a f is niet linkscontinu in a f is niet rechtscontinu in a
Y
Y c
f(a) f(a) b
b a
a
X
f is discontinu in a f is niet linkscontinu in a f is niet rechtscontinu in a
X
f is discontinu in a f is rechtscontinu in a
Y
b f(a)
a
X
f is discontinu in a f is linkscontinu in a
Analyse
4
3.2. ε − δ - definitie Beschouw een functie f: IR → IR en onderstel dat a ∈ dom f dan zegt men: f is continu in a c ∀ ε > 0, ∃ δ > 0:
x − a < δ ⇒ f ( x) − f (a ) < ε
Verder geldt:
f is rechtscontinu in a ⇔ ∀ε > 0, ∃ δ > 0: x ∈ [ a ,a + δ [ ⇒ f ( x ) − f ( a ) < ε f is linkscontinu in a ⇔ ∀ε > 0, ∃ δ > 0: x ∈ ] a − δ ,a ] ⇒ f (x ) − f (a ) < ε
4. Limiet van een functie in IR 4.1. Voorbeelden "via het begrip limiet, discontinuïteiten opheffen" stel a ∈ adh dom f . als f continu is in a dan lim a f ( x ) = f ( a ) als f discontinu is in a dan:
f (x) = f (x) x ≠ a 1) beschouw een functie f met f (a) = b (f = een uitbreiding van f in a )
2) als f continu is in a dan lim a f ( x ) = f ( a ) = b
"limiet"
als f rechtscontinu is in a dan lim a + f ( x) = f (a ) = b
"rechterlimiet"
als f linkscontinu is in a dan lim a − f ( x) = f (a ) = b
"linkerlimiet"
Analyse
5
Y
Y f(a)
f(a)
b
a
a
X
f is continu in a
X
f is discontinu in a f is niet linkscontinu in a f is niet rechtscontinu in a lim a f ( x ) = b
lim a f ( x ) = f ( a )
Y
Y c
f(a) f(a) b
b a
a
X
X
f is discontinu in a f is niet linkscontinu in a
f is discontinu in a f is rechtscontinu in a
f is niet rechtscontinu in a lim a + f ( x) = c ≠ lim a − f (x ) = b
lim a + f ( x) = f (a ) ≠ lim a − f (x ) = b
⇒ lim a f ( x ) bestaat niet.
⇒ lim a f ( x ) bestaat niet. Y
b f(a)
a
X
f is discontinu in a f is linkscontinu in a lim a + f ( x) = b ≠ lim a − f (x ) = f ( a )
⇒ lim a f ( x ) bestaat niet.
Analyse
6
4.2. ε − δ - definitie 4.2.1. limiet, rechterlimiet, linkerlimiet Als f: IR → IR dan is:
lim f ( x ) = b
x →a
c ∀ ε > 0, ∃ δ > 0:
0 < x − a < δ ⇒ f (x ) − b < ε
Verder geldt: lim f ( x ) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃ δ > 0: x ∈ ] a ,a + δ [ ⇒ f (x ) − b < ε
x →a >
lim f ( x ) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃ δ > 0: x ∈ ] a − δ , a [ ⇒ f ( x ) − b < ε
x →a <
4.2.2. Oneigenlijke limieten Het argument neemt onbeperkt toe of af:
lim f ( x ) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃ m > 0: x > m ⇒ f (x ) − b < ε
x →+ ∞
lim f ( x ) = b ⇔ ∀ε > 0, ∃ m > 0: x < − m ⇒ f (x ) − b < ε
x →− ∞
Oneindige limieten
lim f ( x ) = + ∞ ⇔ ∀ n > 0, ∃ δ > 0: 0 < x − a < δ ⇒ f ( x ) > n
x →a
lim f ( x ) = − ∞ ⇔ ∀ n > 0, ∃ δ > 0 : 0 < x − a < δ ⇒ f (x ) < − n
x →a
lim f ( x ) = − ∞ ⇔ ∀ n > 0, ∃ m > 0: x > m ⇒ f ( x ) < − n
x →+ ∞
Analyse
7
4.3. Algemene stellingen lim f (x ) = b (f + g)(x) = b + b' 1. Als ⇒ xlim →a lim g(x) = b' x→ a x→ a
2. Als lim f ( x ) = b ⇒ lim r.f (x ) = r. lim f ( x ) = r. b x →a
3. Als
x →a
x →a
lim f (x ) = b ⇒ lim f (x).g(x) = lim f (x).lim g(x ) = b.b' x→ a x→a x→a lim g(x) = b' x→ a x→ a
lim f (x ) = b f (x) b f (x ) xlim →a 4. Als = = ⇒ lim x → a g( x ) lim g(x) = b' lim g(x ) b' x→ a x→a x→ a
f (x ) =
5. Als lim
x →a
lim f ( x )
x→a
n 6. Als lim [f (x )] = lim f (x ) x→ a x → a
7. Als lim
x →a
n
n
f ( x ) = n lim f ( x ) x→a
8. Als lim k = k x →a
(deze stellingen zijn geldig op voorwaarde dat het rechterlid zin heeft)
4.4. Onbepaaldheden Onbepaalde vorm
0 0
- rationale functie
V( x ) W (x )
als lim V ( x ) = lim W ( x ) = 0 , dan betekent dit dat V(x) en W(x) x →a
x →a
beide deelbaar zijn door (x - a), nl. V ( x) = ( x − a ).Q1 ( x) , W ( x ) = ( x − a ).Q 2 ( x ) V (x ) Q (x ) = lim 1 Er geldt: lim x → a W(x ) x → a Q (x ) 2
Analyse
8
Voorbeeld.
lim
x →2
x2 − 4 x − 5x + 6 2
(x − 2 ) (x + 2 ) x+2 = lim = −4 x → 2 ( x − 2 ) (x − 3) x →2 x − 3
= lim
- irrationale breuk: teller en/of noemer rationaal maken. Voorbeeld.
x +1 − 2 x−3
lim
x →3
= lim
x →3
(
x + 1 − 2 ) ( x + 1 + 2)
( x − 3) ( x + 1 + 2 )
( x + 1− 4 ) x → 3 ( x − 3) ( x + 1 + 2 )
= lim = lim
x →3
Onbepaalde vorm
1 1 = x +1 + 2 4
∞ ∞
- rationale functie
lim
x →∞
a n xn + a n −1x n − 1 + ... + a 1x + a 0
= lim
a n xn
bp x p + b p −1x p −1 + ... + b1x + b0 x → ∞ bp x p = ∞ als n > p (teken van ∞ nader te bepalen) a = n als n = p bp = 0 als n < p
- irrationale breuk: zet in teller en noemer de hoogst mogelijke macht van x voorop.
let op:
x2 = x als x > 0 = −x als x < 0
Analyse
9
Voorbeeld
5 x2 1 + 2 + 2x x 3x
x + 5 + 2x = lim x→ ∞ 3x 2
lim
x→ ∞
5 x/ 1 + 2 + 2 x lim =1 x→ + ∞ 3x/ ⇒ 5 x/ − 1 + 2 + 2 1 x lim = 3x/ x → − ∞ 3 Onbepaalde vorm ∞ - ∞ irrationale functie: vermenigvuldig met en deel door de toegevoegde irrationale vorm. Voorbeeld. lim
x →∞
( 4x
2
+ 3x −1 + 2x
)
a. lim
( 4x
b. lim
( 4x + 3x − 1 + 2x )=
x →+ ∞
x →− ∞
= lim
x →− ∞
2
2
)
+ 3x − 1 + 2x = + ∞
( 4x + 3x − 1 + 2x )( 4x 2
lim
x →− ∞
2
+ 3x − 1 − 2x
)
4x 2 + 3x −1 − 2x
1 x 3 − 3x − 1 3 x = lim = − 4x 2 + 3x −1 − 2x x → − ∞ x − 4 + 3 − 1 − 2 4 2 x x
Analyse
10
4.5. Opgaven 1. lim
x →4
2. lim
x2 − 16
3x −12 x2 − 7x + 12
x →1
4. lim
x →a
5. lim
x2 − 1
x →1
2 3
x3 − 1 x4 − a 4
a −x 3
x3 − 3x + 2
(0)
2x3 − 2x2 + x − 2 2x 4 − 2x3 − 16x2 + 24x
(- 10)
x3 + x 2 − 6x
x →− 3
2x 4 − 2x 3 − 16x 2 + 24x
(- 4)
x 3 + x2 − 6x
x →0
9. lim
(2)
x2 + x − 2
7. lim
8. lim
− 4 a 3
3
x3 + 2x 2 − x − 2
x →1
6. lim
− 1 2
x 2 − 4x + 3
x →3
3. lim
8 3
xm − a m
x →a
10. lim
x →a
11. lim
x →2
12. lim
x →3 >
13. lim
x →0
(m.a m − 1 )
x−a xm − a m
x −a n
m a m − n n
n
x + 2 −2
1 4
x −2 x + 6 − 3x
(0)
x −3 x
(1)
x + 1 − 1− x
Analyse
11
x2 − 4x − 5 − x 2 − 25
14. lim >
6x − 3 − 4x + 1
15. lim
3
x →2
16. lim
(- ∞)
x−5
x →5
(0)
x−2
x−2 x+3 +3
(2)
x +3−2
x →1
3
17. lim
3
1 − x + 1+ 2x − x2
− 1 2
x 2 − 2x
x →2
4
18. lim
1 2
x − 2 −1 x − 2 −1
x →3
± 3 3
x−2 x−2 19. lim −3 3 3 2 x → 2 x − 4x x − 3x + 4 > <
20. Bepaal a zó dat: a x2 + 8ax − x 2 + 8a 2 lim = 2 2 x →a x + 2ax − 3a 12
(a = + 2)
3 2 21. lim 2 − 2 x → 1 x − 3x + 2 x − 1 >
(m ∞ )
6 x +8 − 2 22. lim 2 x → 2 x + x − 6 x − x − 2
7 15
x+1 x+3 23. lim x →− 3 x2 1+ 2 x + 4x + 3
4 9
<
2x +
2x + 3 − x 2 + 1
24. lim
3
25. lim
3
26. lim
x →∞
8x3 + 2x − x2 − 4 3
x →∞
(- 1)
x−2
x →+ ∞
(1; 3)
x +1 + x
1− 8x3
(- 2)
x +1 Analyse
12
(
27. lim 3x − x2 − x + 4 x→ ∞
28. lim
)
(± ∞)
( x + 3x + 1 − x ) 3
3
2
(1)
x→ ∞
(
29. lim x + 1 − 4x2 + x + 1 x →∞
30. lim
x
31. lim
(x
x →+ ∞
x →− ∞
( 2
)
(- ∞)
1 2
x + 1 − x)
)
+ 2x + 4 + 9x 2 − 1 − 4x
(+ ∞)
2x 3 − x 2 − 8x + 4 − 4x 2 + 5x −1 32. lim 2 x → ∞ x −4
(x
33. lim x x →∞
2
+ 5x + 8 − x2 + 5x − 4
)
− ∞, − 9 4
(± 6)
Analyse
13
5. Afgeleiden 5.1. Afgeleide van een functie in een punt (x0 , y 0 ) Y
y = f(x) b
f( x0 +D x )
Dy a b
a
f(x0 )
Dx
x0 + D x
x0
Beschouw:
lim
∆y
∆x → 0 ∆
= lim
X
f (x0 + ∆ x ) − f (x 0 )
x ∆ x →0 ∆x Als deze limiet bestaat, wordt hij de afgeleide genoemd van de functie in x 0 . ∆y Notatie: f' (x 0 ) = lim . ∆x→ 0 ∆x Meetkundige betekenis: Beschouw de kromme met vergelijking y = f(x), a (x 0 , f (x0 )) en b (x 0 + ∆ x, f (x 0 + ∆ x )) zijn 2 naburige punten van de kromme.Dan is de f ( x 0 + ∆ x ) − f ( x0 ) ∆ y y −y richtingscoëfficiënt van de koorde ab: m ab = b a = = = tg α ∆x x b − xa (x0 + ∆ x ) − x0 Laat men de rechte ab wentelen om a zodat het punt b onbeperkt tot a nadert, dan gaat de rechte ab over in de raaklijn in a (aan de kromme). ∆y = lim tg α = tg β , m.a.w. f' (x0 ) is de richtingscoëfficiënt van de raaklijn in het lim ∆x → 0 ∆x α →β b →a
punt (x0 , f (x 0 )) aan de kromme y = f(x).
Analyse
14
Voorbeeld.
y = x − 3x + 4 2
(x0 + ∆ x )
2
f' (x0 ) = lim
− 3(x 0 + ∆ x) + 4 − x20 + 3x 0 − 4 ∆x
∆ x →0
= lim (2x 0 + ∆ x − 3) = 2x0 − 3 ∆x →0
Zo is voor x 0 = 1; f' (1) = − 1 . Bijgevolg is b = 135°.
5.2. Linker- en rechterafgeleide Men noemt
lim
∆y
∆x → 0 ∆ >
x
, resp.
lim
∆y
∆x → 0 ∆ <
, de rechter-, resp. linkerafgeleide van f(x) in het
x
beschouwde punt, op voorwaarde dat de limiet bestaat. Het kan gebeuren dat linker- en rechterafgeleide in een punt verschillend zijn. Meetkundig betekent dit dat de kromme een hoekpunt (knik) heeft, zodat de kromme in dat punt 2 verschillende raaklijnen heeft. De functie is dan niet afleidbaar in dat beschouwde punt. Voorbeeld
y=
1 4
x2 − 1
is continu voor elke waarde van x, maar de rechterafgeleide voor x = 2, is lim f' ( x) = 1
x →2
verschillend van de linkerafgeleide in dat punt, nl.
>
lim f' ( x) = − 1
x →2 <
Besluit: f continu in x = x 0 ⇒ / f afleidbaar in x = x 0 . Maar men bewijst dat, f afleidbaar in x = x 0 ⇒ f continu in x = x 0
Analyse
15
5.3. Verticale raaklijn Voorbeeld. 3
De functie y = x is continu voor elke waarde van x. We berekenen de afgeleide voor x = 0 3 ∆x f (0 + ∆ x ) − f (0 ) 1 lim = lim = lim 3 = +∞ ∆ x →0 ∆ x→ 0 ∆ x ∆ x→ 0 ∆x ∆ x2 De functie is dus niet afleidbaar voor x = 0. Men spreekt van een oneigenlijke afgeleide. Meetkundig betekent dit dat tg a = + ∞, zodat a = 90°. De raaklijn valt dus samen met de y-as.
5.4. Regels voor de berekening van de afgeleide functies 1. afgeleide van een constante y = k ⇒ y' = 0 2. afgeleide van het argument y = x ⇒ y' = 1 3. afgeleide van een som van functies y = u + v + w ⇒ y' = u' + v' + w' 4. afgeleide van een product van functies y = u.v ⇒ y' = u' . v + u.v' 5. afgeleide van een quotiënt van functies u u' . v − u. v' y = ⇒ y' = v v2 6. afgeleide van een macht n n −1 y = u ⇒ y' = n. u .u' 7. afgeleide van de samengestelde van 2 functies D x [(g o f ) ( x )] = D z g (z ) . D x f ( x ) 8. afgeleide van goniometrische functies y = sin x ⇒ y' = cos x y = cos x ⇒ y' = − sin x 1 y = tg x ⇒ y' = cos 2 x −1 y = cotg x ⇒ y' = 2 sin x
Analyse
16
5.5. Opgaven 1. y = x 3 − x 2 − x + 1 2. y =
1 8
x + 3
3 4
x −4 2
(y' = 3x2 − 2x − 1) 3 3 y' = x2 + x 8 2
3. y = (x2 − 4x + 3)
(y' = 2 (x
4. y = x 3 ( x + 6 )2 ( x + 3)
(y' = 3x
2
5. y =
6. y =
7. y =
8. y =
9. y =
2, 5 −5+ 3x −
1 2 x 2
2x 2 − 3
x 2 − 2x + 2 x 2 − 5x + 7
x−2
x2 −1
3
10. y =
x +x+ 3
x3
x2 − 1
11. y = a 2 − x 2
2
− 4x + 3) ( 2x − 4)
) )
( x + 6) (2x2 + 13x + 18)
2,5x − 7,5 y' = 2 1 −5 + 3x − x2 2 −4x 2 + 14x − 6 y' = 2 2 (x − 2x + 2 ) 2 y' = x − 4x +2 3 (x − 2)
−2 (x2 + x + 1) y' = 2 (x 2 − 1)
x (x + 2)
1
2
2 x
2 y' = x 2 + 1 − 2 x
x 2 (x 2 − 3) y' = 2 (x 2 − 1)
y' =
−x
a −x
Analyse
2
2
17
12. y = x + 18 − x2
2 y' = 18 − x − x 18 − x 2
13. y = x3 + 3x 2
2 y' = 3x + 6x 3 2 2 x + 3x
14. y = 2x 3 + 5x − 5
6x 2 + 5 y' = 3 2 2x + 5x − 5
15. y = 4x −1 − x2 − x − 2
2x − 1 y' = 4 − 2 2 x −x− 2
16. y = ( 2x − 1) 4 − x2
y' = 2 4 − x2 − x (2x − 1) 4 − x2
17. y = ( x + 1)
(x + 1) (3x 2 − 9x + 4 ) y' = x 2 − 4x + 3
2
3
x − 4x + 3 2
2 (5x − 2) y' = 2 3 3 (5x 2 − 4x + 1)
18. y = 5x − 4x + 1 2
19. y = (5x 2 − 6x + 4 ) 4 (x2 + 2)
3
20. y =
21. y =
22. y =
x+5
x 2x 2 − 3x + 1 x2 − x + 1
3x
(1+ 2x )5
3 2 + 52x − 24 y' = 35x − 30x 4 2 x2 + 2
y' = − x + 10 2x 2 x + 5 4x3 − 6x2 + 9x − 5 y' = 2 (x2 − x + 1) x2 − x + 1 3 (1 − 3x) y' = (1 + 2x )7
Analyse
18
23. y =
( x − 1) ( x − 2 ) ( x − 3) ( x − 4 )
2 − 3x2 ) ( 24. y =
x2 − 9
4x 2
y' =
(x − 1) (x − 2) (x − 3)3 (x − 4)3 −2x 2 + 10x − 11
4 2 y' = −3x − 2x + 36 3 2 4x x − 9
( 2x − 1) 2 x3 − 2 25. y = ( x + 2 )3
(2x − 1) (14x 3 − 2x 2 + 4x − 22 ) y' = 2 4 3 3 ( x + 2 ) x − 2 ( )
26. y = 4 sin 2 x
(y' = 4 sin 2x )
27. y = cos 2x − 5 cos x − 2
(y' = − 2 sin 2x + 5 sin x )
3
28. y = cos 2
29. y =
x 2
sin x + cos x sin x − cos x
x x y' = − sin . cos 2 2
−2 y' = 2 (sin x − cos x )
30. y = x − sin x
(y' = 1 − cos x)
31. y = sin 2x − 2 sin x
(y' = 2 cos 2x − 2 cos x )
32. y = cos x
y' = − sin x 2 cos x
Analyse
19
33. y = 3 cos 2 4x
y' = − 8 sin 4x 3 3 cos 4x
34. y = 4 cos 3x + 3 sin 4x
(y' = − 12 sin 3x + 12 cos 4x )
35. y = cos x + sec 2x
(y' = − sin x + 2tg 2x sec 2x )
36. y =
cos 2x
37. y =
sin x
sin x . cos x 3 cos 2 x − 2 sin2 x
−2 sinxsin 2x − cosxcos2x y' = 2 sin x
3 cos 4 x + 2 sin4 x y' = (3 cos2 x − 2 sin 2 x) 3 cos2 x − 2 sin 2 x
6. Onbepaalde integraal 6.1. Primitieve functies Definitie Een primitieve functie F(x) van de functie f(x) is elke functie met de eigenschap F'(x) = f(x). Eigenschap 1 Is F(x) een primitieve functie van f(x), dan is ook F(x) + k, k ∈ IR , een primitieve functie van f(x). Eigenschap 2 Als F1 (x) en F 2 (x) primitieve functies zijn van f(x) dan verschillen F1 (x) en F 2 (x) slechts door een constante term. Besluit Is F(x) een primitieve functie van f(x), dan worden alle primitieve functies van f(x) gevonden door bij F(x) een willekeurig reëel getal op te tellen.
Analyse
20
6.2. Onbepaalde integraal De onbepaalde integraal van een functie f(x) is de verzameling van alle primitieve functies van f(x). Notatie:
∫ f (x) dx = {F(x) + k
F' (x) = f(x) en k ∈IR}
kortweg noteert men ∫ f (x) dx = F(x) + k
6.3. Eigenschappen
∫ k f (x ) dx = k ∫ f (x) dx 2. ∫ (f ( x) + g(x)) dx = ∫ f (x ) dx + ∫ g(x ) dx 1.
6.4. Fundamentele integralen n ∫ x dx =
x n +1 + k, als n ≠ − 1 n +1
∫ sin x dx = − cos x + k ∫ cos x dx = sin x + k dx
∫ cos
2
x
dx
∫ sin
2
x
= tg x + k
= − cotg x + k
6.5. Substitutiemethode De substitutiemethode is gebaseerd op de formule: ∫ f (g(x )) g' (x) dx = ∫ f (t ) dt met g(x) = t
Analyse
21
6.6. Opgaven Bereken de onbepaalde integraal met integrand gelijk aan: 1.
3
2.
4
x
3 3 x x + k 4
x3
4 4 3 x x + k 7
3. x
x
5
4. x 3 x 2
5.
6.
7.
1 3
x
2 2 x 5 5 4 x 22 3 2
3
x + k 5
x2 + k
x2 + k
1 x9
1 − + k 8x8
4
12 12 x x + k 13
3
x3 x2
8. 2x + 7
(x
9. sin x + cos x
(- cos x + sin x + k)
2
+ 7x + k)
10.
7 2 cos2 x
7 tg x + k 2
11.
1 1 − cos 2x
1 − cotg x + k 2
12.
5x 2 − 8x + 3 x5
5 8 3 − + − + k 2x 2 3x3 4x 4
Analyse
22
13.
1 − cos3 x
tan x − sin x + k
cos2 x
14. 1 + cos 2x
(±
15. (x + 3)
6 (x + 3) + k 6
16. cos 2x
1 sin 2x + k 2
17. cos 2 x
1 1 x + sin 2x + k 2 4
18. sin 2 x
1 1 x − sin 2x + k 2 4
5
5 (x − 5) + k 5
19. (x − 5)
4
2 ( x + 6) x + 6 + k 3
x+6
20.
(8
4
21.
x−5
24.
3x + 4
25.
1 cos 2 4x
26.
3
x−5 + k
)
1 − cos 3x + k 3
22. sin 3x
23. (2x − 7)
2 sin x + k )
5
1 3x − 1
27. (x − 2) x − 2
6 (2x − 7) + k 12
2 (3x + 4 ) 3x + 4 + k 9 1 ( tan 4 x + k ) 4
1 3 2 (3x − 1) + k 2 2 2 ( x − 2) 5
Analyse
x − 2 + k
23
28. (x + 3) 2x + 6
2 ( x + 3)2 5
29. sin3 x
3 − cos x + cos x + k 3
30. cos3 x
3 sin x − sin x + k 3
31. sin 2x . cos x
2 − cos3 x + k 3
32. cos 4 x
3 1 1 x + sin 2x + sin 4x + k 8 4 32
33. sin 4 x
1 1 3 x − sin 2x + sin 4x + k 8 4 32
34.
1 1 + cos x x+3
35. x
36. x 2
x −1
37. (x + 3) x + 2 3
28.
x+2 3x − 1
(tan
2x + 6 + k
x + k) 2
2 2 x + x − 6 ) x + 3 + k 5( 2 (x − 1) (15x 2 + 12x + 8) x − 1 + k 105 3 (x + 2 ) (4x + 15) 3 x + 2 + k 28 2 (3x + 20) 3x − 1 + k 27
Analyse
24
6.7. Partiële integratie Vermits udv = d(uv) - (du)v is
∫ udv = uv − ∫ vdu. Deze formule ligt aan de basis van de partiële integratie.
6.8. Opgaven Bereken de onbepaalde integralen met integrand gelijk aan: 1. x 2 .cos x
(x
2. x. cos x
(x sin x + cos x + k )
3. x 3 sin x
(− x
4. cos 2 x
1 1 x + sin x. cos x + k 2 2
5. cos3 x
1 2 cos2 x. sin x + sin x + k 3 3
6. x.sin x. cos x
1 1 − x. cos 2x + sin 2x + k 4 8
7. x. cos2 x
1 1 2 1 x + x sin 2x + cos 2x + k 4 4 8
2
sin x + 2x cos x − 2 sin x + k )
3
cos x + 3x 2 sin x + 6x cos x − 6 sin x + k )
Analyse
25
7. Bepaalde integraal 7.1. Grondstelling Is
∫ f (x )dx = F (x ) + k , dan is
b
∫ f (x )dx = F (b) − F(a ) = F(x )
b a
.
a
Merk op de bepaalde integraal is een getal.
7.2. Integratiemethoden 7.2.1. Substitutiemethode Voorbeeld. π
I =
2
∫ sin 2x dx 0
- eerste methode: eerst de onbepaalde integraal oplossen
1
1
∫ sin 2x dx = 2 ∫ sin 2x d (2x ) = − 2 cos 2x + k zodat I = −
π 1 1 [cos 2x ] 0 2 = − (−1 − 1) = 1 2 2
- tweede methode: aanpassen van de integratiegrenzen, bij het doorvoeren van de substitutie π
I =
2
∫ sin 2x dx 0
stel 2x = t dan is 2dx =dt x = 0 is t = 0 en voor π x = is t = π 2 π 1 1 bijgevolg is: I = ∫ sin t. dt = − cos t 2 2 0
π
= − 0
Analyse
1 (cos π − cos 0 ) = 1 2
26
7.2.2. Partiële integratie b
∫
b
udv = uv
b a
−
a
∫ vdu a
Voorbeeld. 2
I =
∫x
x − 1 dx
1
u = x → du = dx
dv = x − 1 dx I =
2 3
x (x − 1)
2 2 (2 − 0 ) − . 3 5 3 2
2
−
3 1
v = ∫ (x − 1) d( x − 1) =
⇒ 2
2
3∫
2 (x − 1)3 3
(x − 1)3 dx
1
( x − 1)
2
=
5 1
4 3
−
4 15
(1 − 0 ) =
Analyse
16 15
27
7.3. Opgaven 3
1.
∫ x dx
(4)
1
2
2.
∫ (3x
− 2x + 4 ) dx
2
−2
(32)
π
3. ∫ sin x dx
(2)
0
2
4.
1
∫x
2
1 2
dx
1
2π
x dx
π 2
1 − x 2 dx
π 4
∫ cos
5.
2
π
1
6.
∫ 0
−1
7.
∫x
208 − 15
x + 5 dx
−5
2
8.
x
∫
dx
x +5 2
−2
(0)
π
4 15
9. ∫ cos 2 x sin 3 x dx 0
π
10.
1 4
2
∫ cosx sin
3
x dx
0
Analyse
28
Goniometrie
Dr. Caroline Danneels Dr. Paul Hellings
1 Hoeken 1.1 De goniometrische cirkel De goniometrische cirkel wordt steeds gedefinieerd in een orthonormaal assenkruis. Het is een cirkel met het middelpunt in de oorsprong en met de gebruikte lengte-eenheid als straal. Men definieert op deze cirkel de positieve zin als de tegenwijzerzin, en de negatieve zin als de wijzerzin (fig. 1).
1.2 Georiënteerde hoeken Een hoek wordt bepaald door 2 gesloten halfrechten met een zelfde beginpunt O. Beschouwen we bij deze hoek [OA als beginbeen en [OB als eindbeen, dan hebben we een georiënteerde hoek. We noteren ∠AOB en duiden de oriëntatie aan door een pijltje van begin- naar eindbeen. We kunnen het pijltje ook in de andere zin tekenen, steeds vertrekkend bij het beginbeen [OA. Het gaat in beide gevallen om dezelfde georiënteerde hoek ∠AOB. De hoek ∠BOA is een andere georiënteerde hoek die we de tegengestelde hoek van ∠AOB zullen noemen (fig. 2). Opmerking: een georiënteerde hoek is eigenlijk de verzameling van alle hoeken die door een rotatie en/of translatie in elkaar kunnen worden getransformeerd. y Z
+
α
B
B
x
O
O ∠AOB A
fig. 1 : de goniometrische cirkel
∠BOA A
fig. 2 : hoeken ∠AOB en ∠BOA
De invoering van de goniometrische cirkel maakt het mogelijk een waarde toe te kennen aan elke georiënteerde hoek ∠OAB, die we voortaan α zullen noemen. Stel de georiënteerde hoek voor in de goniometrische cirkel en laat het beginbeen samenvallen met de x-as (zie fig. 1). Dan snijdt het eindbeen de goniometrische cirkel in het punt Z. Z is dan de voorstelling van de georiënteerde hoek α op de goniometrische cirkel.
Goniometrie
2
Als Z ∈ I: hoek α behoort tot het eerste kwadrant. Als Z ∈ II: hoek α behoort tot het tweede kwadrant. Als Z ∈ III: hoek α behoort tot het derde kwadrant. Als Z ∈ IV: hoek α behoort tot het vierde kwadrant.
fig. 3 : de vier kwadranten
Praktisch worden twee hoekeenheden frequent gebruikt: de 60-delige graad en de radiaal. Enkel de radiaal heeft een wiskundige en reële basis: een hoek van 1 radiaal bepaalt op de cirkel een boog met als lengte 1 maal de straal. Omdat de lengte van de volledige cirkelomtrek 2πR bedraagt, zijn er in een volledige cirkel dus 2π radialen. Omgekeerd, tekent men in het middelpunt van een cirkel met straal R een hoek van θ radialen, dan bepaalt deze op de cirkel een boog met lengte θ.R. Onderverdelingen van radialen worden steeds in decimale vorm geschreven. In een volledige cirkelboog gaan ook 360 graden, elke graad verdeeld in 60 boogminuten en elke boogminuut in 60 boogseconden. De symbolen °, ' en " worden gebruikt voor resp. graden, boogminuten en boogseconden. Naast Z kan je oneindig veel waarden plaatsen, aan elkaar gelijk op een geheel veelvoud van 360° of 2π na, vermits je meerdere omwentelingen in de ene of de andere zin kan maken alvorens bij het eindbeen te eindigen. De verzameling van alle waarden wordt het maatgetal van de georiënteerde hoek α genoemd. De hoofdwaarde van α is die waarde van α welke behoort tot ]- 180°, 180°], resp. ]- π,π].
1.3 Omzetting radialen naar graden en omgekeerd Omdat 2π = 360° gelden de volgende omzettingsformules: °
360r r rad → 2π 2π g g° → rad 360
Opmerking: Bij een hoek uitgedrukt in radialen wordt enkel het maatgetal gegeven zonder de vermelding ‘rad’.
Goniometrie
3
2 De goniometrische getallen 2.1 Definities Beschouw de constructie van de georiënteerde hoek α zoals omschreven in de vorige paragraaf. Het eindbeen van de hoek α snijdt de goniometrische cirkel in het punt Z. Dan noemt men de xcoördinaat van Z de cosinus van α, of kortweg cos α, en de y-coördinaat de sinus van α of kortweg sin α. De keuze van een hoek legt dus ondubbelzinnig haar cosinus en sinus vast. Omgekeerd legt de selectie van een cosinuswaarde en een sinuswaarde de hoek slechts vast op een geheel veelvoud van 2π na. y
Z
sinα 1
x
α cosα
Fig. 4 : Sinus en cosinus op de goniometrische cirkel
Naast sinus en cosinus worden nog gedefinieerd : de tangens : tan α = de secans : sec α =
sin α cos α
de cotangens : cot α =
1 cos α
de cosecans : csc α =
cos α sin α
1 sin α
S1 cscα cotα
1
tanα
S2
sinα
α cosα
1
secα
Fig. 5 : de meetkundige definitie van de goniometrische getallen
Goniometrie
4
Als gevolg van hun definities kunnen de zes goniometrische getallen waarden aannemen in volgende gebieden : sin α ∈ [ -1,1 ]
cos α ∈ [ -1,1 ]
tan α ∈ ] -∞ , +∞ [
cot α ∈ ] -∞ , +∞ [
sec α ∈ ] -∞ , −1] ∪ [ 1, +∞ [
csc α ∈ ] -∞ ,−1] ∪ [ 1, +∞ [
2.2 Enkele bijzondere hoeken en hun goniometrische getallen α
0
30° = π/6
45° = π/4
sin α
0
1/2
2 /2
3 /2
1
cos α
1
3 /2
2 /2
1/2
0
tan α
0
1/ 3
3
∞
cot α
∞
sec α
1
csc α
∞
1
60° = π/3
90° = π/2
1
1/ 3
0
2/ 3
2
2
∞
2
2
2 /3
1
3
Goniometrische getallen van hoeken in het tweede, derde en vierde kwadrant zullen we vinden door herleiding van die hoeken naar het eerste kwadrant via de formules van aanverwante hoeken.
2.3 Tekenverloop van de goniometrische getallen Binnen een kwadrant behouden de goniometrische getallen eenzelfde teken (fig. 5).
+
-
-
-
+
+
sinus cosecans
cosinus secans
+ +
-
+ +
-
+
+
-
tangens cotangens
Fig.6 : tekenverloop van de goniometrische getallen volgens het kwadrant.
Goniometrie
5
2.4 Hoofdformule en afgeleide formules De formule van Pythagoras in de driehoek OPZ (zie fig. 7) levert ons :
OP
2
+ PZ
2
2
= OZ
= = α ; PZ sin = α ; OZ 1 Met OP cos
betekent dit :
cos 2 α + sin 2 α = 1 Dit is de hoofdformule van de goniometrie. Delen we deze formule respectievelijk door de twee termen van het linkerlid :
1 + tan 2 α = sec 2 α 1 + cot 2 α = csc 2 α y
Z
Q
α Ο
P
x
Fig. 7 : de driehoek OPZ
2.5 Voorbeelden 2.5.1 Berekening van goniometrische getallen Gegeven:
sin α = 5 13
Gevraagd:
alle andere goniometrische getallen
Uit het feit dat de sinus van deze hoek positief is volgt dat de hoek in het eerste of het tweede kwadrant ligt. We bepalen dus nu de andere getallen : • uit de hoofdformule : dus
cos 2 α = 1 − sin 2 α = 1 − 25 169 = 144 169
cos α = ± 144 169 = ± 12 13
• tan α = sin α cos α = ± 5 12 • cot α = 1 tan α = ± 12 5 • sec α = 1 cos α = ± 13 12
Goniometrie
6
•= csc α 1= sin α 13 5 De twee mogelijke oplossingen voor enkele van de goniometrische getallen stemmen overeen met de waarden van deze getallen volgens de beschouwde kwadranten. Samengevat : kwadrant
sin
cos
tan
cot
sec
csc
1ste
5/13
12/13
5/12
12/5
13/12
13/5
2de
5/13
-12/13
-5/12
-12/5
-13/12
13/5
2.5.2 Bewijs de volgende identiteit
sec2 α + csc2 α = sec 2 α csc 2 α Bewijs : sec2 α + csc2 α
= = =
1 2
+
1
cos α sin 2 α sin 2α + cos 2 α cos 2 α sin 2 α 1 cos 2 α sin 2 α
= sec 2α csc 2 α
2.6 Goniometrische getallen van aanverwante hoeken 2.6.1 Formules a. Supplementaire hoeken ( = som is π ) sin(π − α) = sin α
cos(π − α) = - cos α
tan(π − α) = - tan α
cot(π − α) = - cot α
b. Anti-supplementaire hoeken ( = verschil is π ) sin(π + α) = - sin α
cos(π + α) = - cos α
tan(π + α) = tan α
cot(π + α) = cot α
c. Tegengestelde hoeken ( = som is 2π ) sin(2π − α) = - sin α
cos( 2π − α) = cos α
tan(2π − α) = - tan α
cot(2π − α) = - cot α
Goniometrie
7
d. Complementaire hoeken ( = som is π / 2 ) sin(π/2 − α) = cos α
cos(π/2 − α) = sin α
tan(π/2 − α) = cot α
cot(π/2 − α) = tan α y
π-α
α x
-α
π+α
Fig. 8 : De aanverwante hoeken van α
De formules van de tegengestelde hoeken reduceren een hoek van vierde naar eerste kwadrant; de formules van anti-supplementaire hoeken van derde naar eerste kwadrant en de supplementaire hoeken van tweede naar eerste kwadrant. Met de formules van complementaire hoeken kunnen hoeken tussen 45° en 90° herleid worden naar hoeken tussen 0° en 45°. het volstaat dus in principe de goniometrische getallen daar te kennen. 2.6.2 Hoeken terugzoeken Wanneer men startend van een zeker goniometrisch getal de hoek terugzoekt die dit getal oplevert zijn er meestal twee oplossingen. Rekenmachines geven systematisch de meest voor de hand liggende oplossing, maar in een praktische situatie kan de tweede oplossing even correct zijn, of zelfs de enige correcte. Het antwoord van een rekenmachine moet dan door de gebruiker aangepast worden, zoniet rekent men met een fout resultaat verder! Onderstaande tabel geeft voor positieve en negatieve goniometrische getallen het kwadrant waarin de oplossing van de rekenmachine ligt, en daarnaast het kwadrant van de tweede oplossing: Invoer
Rekenmachine
Tweede oplossing
--------------------------------------------------------------------------------------------------------Positieve sinus of cosecans
1
2
Negatieve sinus of cosecans
4
3
Positieve cosinus of secans
1
4
Goniometrie
8
Negatieve cosinus of secans
2
3
Positieve tangens of cotangens
1
3
Negatieve tangens of cotangens
4
2
2.7 Oefeningen 2.7.1 Bepaal voor de gegeven goniometrische getallen de overige goniometrische getallen (zonder vooraf de hoek te bepalen)
2.7.2
1. sin α = − 6 6
2. csc α = 4 3
3. cot α = −13 6
4. sec α = 25 24
Bewijs volgende identiteiten
1. csc 2 α + cot 2 β = csc 2 β + cot 2 α 2.
(1 − sin α ) (1 + sin α ) = cos 2 α cot 2 α ( sec α + 1) ( sec α − 1)
3.
sec α + tan α 1 + sin α 2 =( sec α + tan α ) = sec α − tan α 1 − sin α
4.
(1 + cot α ) ( sec α + 2 tan α ) = 2
2.7.3
(1 + tan α )3 tan α
Vereenvoudig volgende uitdrukkingen steunend op de formules voor aanverwante hoeken.
π cos + x cos (π − x ) sin (π − x ) cos (π + x ) 2 + 1. π π 3π sin − x sin ( x − 2π ) sin + x cos + x 2 2 2
2.
csc(2π + x) sec(π − x) sec(2π − x) csc(π − x) − π π 3π 3π + x csc − x csc − x sec x + sec 2 2 2 2
Goniometrie
9
2.7.4 Bepaal volgende goniometrische getallen: reduceer eerst de hoek naar het eerste kwadrant, gebruik makende van de formules van aanverwante hoeken (gebruik geen rekenmachine). 1. sin 120°
2. cos ( -135° )
3. tan 225°
4. cot − 3π
4
11π 5. tan 3
2.7.5 Los op in IR. Druk de oplossing(en) uit in radialen. 1. cos 5x = −
3. sin 2x =
5. sin x =
3 2
2. sin 5x = −
4. 1 + sin x = 3 sin x
3 sin x
1 π en x ∈ , π ; gevraagd: sin 2x 5 2
7. tan ( 3x + 2 ) =
3 2
6. 2 sin 2 x = 3 cos x
3
Goniometrie
10
3 De goniometrische functies 3.1 Periodieke functies Definitie :
een functie f : IR → IR is periodiek ⇔ ∃ p ∈ IRo : ∀ x ∈ dom f : x+p ∈ dom f ∧ f (x + p ) = f(x)
Indien p een getal is dat hieraan voldoet, dan voldoen ook alle positieve en negatieve veelvouden aan de definitie. We noemen daarom de kleinste positieve waarde p die voldoet de periode P van de functie. Grafisch betekent periodiciteit dat de vorm van de grafiek van f(x) zich herhaalt over opeenvolgende intervallen met lengte P.
3.2 Even en oneven functies Een functie f heet EVEN indien: ∀ x ∈ dom f :
- x ∈ dom f ∧ f (- x) = f(x)
Twee punten met tegengestelde x-waarden moeten dus steeds dezelfde y-waarden hebben. De grafiek is dus symmetrisch tegenover de y-as. Een functie f heet ONEVEN indien: ∀ x ∈ dom f :
- x ∈ dom f ∧ f (- x) = - f(x)
Twee punten met tegengestelde x-waarden moeten dus ook tegengestelde y-waarden hebben. De grafiek is dus symmetrisch tegenover de oorsprong.
3.3 Sinusfunctie sin : IR → [ -1,1 ] : x → sin x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De sinusfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde sinussen.
-π
π
Fig. 9 : de sinusoïde
Goniometrie
11
3.4 Cosinusfunctie cos : IR → [ -1,1 ] : x → cos x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De cosinusfunctie is even, want tegengestelde hoeken hebben gelijke cosinussen.
-π
π
fig. 10 : de cosinusoïde
3.5 Tangensfunctie π tan : IR \ + kπ , k ∈ IR → IR : x → tan x 2
Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is π. De tangensfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde tangensen.
−π
−
π
π
2
2
π
fig. 11 : de tangensfunctie
3.6 Cotangensfunctie cot : IR \ {kπ , k ∈ IR} → IR : x → cot x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is π. De cotangensfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben ook tegengestelde cotangensen.
Goniometrie
12
π 2
−π
π
fig. 12 : de cotangensfunctie
3.7 De secansfunctie π sec : IR \ + kπ , k ∈ IR → ] −∞, −1] ∪ [1,+∞[ : x → sec x 2
Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De secansfunctie is even, want tegengestelde hoeken hebben ook gelijke cosinussen en dus gelijke secansen.
−π
−
π
π
2
2
π
fig. 13 : de secansfunctie
3.8 De cosecansfunctie csc : IR \ {kπ , k ∈ IR} → ] −∞,−1] ∪ [1,+∞[ : x → csc x Het argument x wordt steeds geïnterpreteerd in radialen. De periode van deze functie is 2π. De cosecansfunctie is oneven, want tegengestelde hoeken hebben tegengestelde sinussen en dus tegengestelde cosecansen.
Goniometrie
13
−π
−
π 2
π 2
π
fig. 14 : de cosecansfunctie
3.9 Oefeningen 3.9.1 Bepaal de periode van volgende functies en teken hun grafiek 1. f(x) = sin 2x x 2. f(x) = cos 3
3. = f(x) cos π + 3 x
Goniometrie
14
4 Rechthoekige driehoeken 4.1 Formules
fig. 15 : rechthoekige driehoeken gebruikt bij de opstelling van de formules van deze paragraaf
In een rechthoekige driehoek met α als rechte hoek gelden steeds volgende formules: α=
π 2
β+γ =
π 2
a2 = b2 + c2
Tekenen we in bovenstaande driehoek een cirkelsegment met middelpunt in B en straal a (zie eerste driehoek in fig. 15), dan zien we hierin een deel van een cirkel met straal a. De aanliggende rechthoekzijde c en de overstaande rechthoekzijde hebben resp. de volgende lengten: c = a cos β en b = a sin β Op analoge wijze, nu d.m.v. een cirkelsegment met middelpunt in C en straal a (zie tweede driehoek in fig. 15), vinden we: b = a cos γ en c = a sin γ In woorden : De cosinus van een scherpe hoek is de lengte van de aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde De sinus van een scherpe hoek is de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de schuine zijde Delen wij de eerste twee formules dan vinden we : b = c tan β
of
c = b cot β
of
b = c cot γ
Analoog met de laatste twee formules : c = b tan γ
Goniometrie
15
In woorden : De tangens van een scherpe hoek is de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de aanliggende rechthoekzijde De cotangens van een scherpe hoek is de lengte van de aanliggende rechthoekzijde gedeeld door de lengte van de tegenoverliggende rechthoekzijde Voorbeeld :
Gegeven : α = 90° ; β = 13° ; b = 10 Gevraagd : alle ontbrekende hoeken en zijden
γ = 90° - β = 90° - 13° = 77° b 10 = 44.5 = sin β sin13°
a =
a 2 − b 2 = 43.5
c =
4.2 Oefeningen 1. Gegeven : ∆ABC met a = 45, α = 90° ; β = 40°10'35" Gevraagd : de overige zijden en hoeken 2. Een schuifladder staat schuin tegen een verticale muur op een horizontale grond. Helemaal uitgetrokken vormt hij met de vloer een hoek van 53°18' ; helemaal ingeschoven is de hoek 29°10', terwijl de top op dat moment op een hoogte van 5m tegen de muur leunt. In de veronderstelling dat de voet van de ladder op zijn plaats blijft, bereken : • •
de maximale hoogte die men kan bereiken de maximale lengte van de ladder
3. Een lichtstraal die schuin op het water invalt, ondergaat een breking die in de volgende formule wordt uitgedrukt: sin α 4 = . sin β 3 Een lichtstraal die loodrecht invalt, treft de bodem in het punt P. Op welke afstand van P treft de lichtstraal de bodem als de invalshoek 30° bedraagt en het water 1 m diep is. Opmerking: los deze oefening op zonder de hoek β te berekenen.
Goniometrie
16
In mechanica zal je te maken krijgen met oefeningen waarin krachten moeten berekend worden. In de volgende oefeningen worden dergelijke situaties geschetst. Hier beperken we ons tot het berekenen van hoeken tussen staven. 4. Bereken: • •
hoek tussen FE en het horizontaal vlak hoek tussen FC en het verticaal vlak
fig. 17 : illustratie bij oefening 4
5. Bereken hoek tussen CD en DF
fig. 18 : illustratie bij oefening 5
6. Bereken hoek tussen BC en CD
fig. 19 : illustratie bij oefening 6
Goniometrie
17
5 Willekeurige driehoeken Voor de volledigheid vermelden we eerst dat ook voor willekeurige driehoeken blijft gelden dat de som van de hoeken 180° is. Aan de hand van de formules voor rechthoekige driehoeken kan men formules opstellen voor willekeurige driehoeken. We beschouwen hiervoor een willekeurige driehoek ∆ABC met zijden a, b en c en hoeken α, β en γ.
5.1 De sinusregel De hoogtelijn uit A op de overstaande zijde a snijdt deze in het punt S. Op deze wijze wordt de driehoek verdeeld in twee rechthoekige driehoeken met een gemeenschappelijke zijde AS, met lengte d. De lengte d kan men nu beschrijven vanuit het punt B, in de driehoek ∆ΑΒS enerzijds, en vanuit het punt C in de driehoek ∆ASC anderzijds :
fig. 20 : Willekeurige driehoek
d = c sin β Dus bekomen we
en
d = b sin γ
sin β sin γ = b c
Een zelfde redenering met een andere hoogtelijn brengt ook nog de zijde a en haar overliggende hoek α in de gelijkheid. Dit geeft ons de SINUSREGEL :
sin α sin β sin γ = = a b c
5.2 De cosinusregel Deze regel kan op verschillende manieren worden afgeleid. In fig. 15 wordt de zijde a door S in twee stukken gedeeld met lengte a1 en a2. We kunnen dan a1 en d respectievelijk schrijven als a1 = b cos γ d = b sin γ In de rechterdriehoek ABS geldt volgens Pythagoras:
Goniometrie
18
c 2 = d 2 + a 22 = d 2 + (a-a1 ) 2 = b 2 sin 2 γ + a 2 + a12 - 2 a a1 = b 2 sin 2 γ + a 2 + b 2 cos 2 γ - 2 a b cos γ = b 2 + a 2 - 2 a b cos γ Dezelfde uitdrukking kan bekomen worden indien het voetpunt S buiten de zijde a valt. Vervolgens kunnen analoge uitdrukkingen worden afgeleid voor de andere hoeken. Samengevat krijgen we op die manier: COSINUSREGEL : a2 = b2 + c2 - 2 b c cos α b2 = a2 + c2 - 2 a c cos β c2 = a2 + b2 - 2 a b cos γ Merk op dat de cosinusregels in feite niets anders zijn dan de stelling van Pythagoras, uitgebreid met een bijkomende cosinusterm in een bepaalde hoek. Indien de driehoek in deze hoek rechthoekig is valt de cosinusterm weg en krijgen we zuiver de stelling van Pythagoras.
5.3 Oplossen van een willekeurige driehoek Met het oplossen van een willekeurige driehoek bedoelt men het berekenen van de ontbrekende zijden en hoeken van de driehoek, uitgaande van een minimum aantal gegevens. Hierbij wordt gebruik gemaakt van 3 soorten formules, die geldig zijn in alle driehoeken: • de som van de hoeken is 180° • de sinusregel: betrekkingen tussen 2 zijden en hun overstaande hoeken • de cosinusregel: betrekkingen tussen de 3 zijden en één hoek. Uiteraard moeten de gegevens zodanig zijn dat ze elementen van een driehoek kunnen zijn. De gegeven hoeken mogen samen niet meer dan 180° bedragen, en de zijden moeten voldoen aan de driehoeksongelijkheid, nl. de som van 2 zijden moet steeds groter zijn dan de derde zijde. a. Gegeven twee zijden a en b en hun tussenliggende hoek. Dan is er 1 oplossing: bepaal de derde zijde uit zijn cosinusregel, een andere hoek via de sinusregel en de derde hoek als 180° min de twee reeds gekende. Opgelet: de sinusregel geeft 2 oplossingen voor de tweede hoek (nl. supplementaire hoeken). Toets de oplossingen aan de driehoekseigenschappen. (Zie oefeningen)
Goniometrie
19
b. Gegeven één zijde en zijn twee aanliggende hoeken. Dan is er één oplossing: de derde hoek is onmiddellijk gekend als 180° min de twee gegeven hoeken, de twee overige zijden zijn gekend via de sinusregel. c. Gegeven de drie zijden. Dan is er één oplossing: bepaal een hoek uit een cosinusregel, de tweede eveneens of uit de sinusregel, de derde via de som van de hoeken die 180° moet zijn. d. Gegeven de zijden a en b en aanliggende hoek aan a. In dit geval kunnen er 0, 1 of 2 oplossingen zijn. Bepaal de hoek α uit de sinusregel. Dit levert 0 (indien sin α > 1) of 2 oplossingen (supplementaire hoeken hebben gelijke sinus) naar gelang de getalwaarden van de begingegevens. Voor elk van de oplossingen bepaal je de ontbrekende hoek γ, en dan de zijde c via de sinusregel. Tenslotte ga je na of elk van de gevonden oplossingen zinvol is: er mogen geen negatieve hoeken of zijden voorkomen. (Zie oefeningen)
5.4 Oefeningen 1. Een toren wordt vanop het grondoppervlak gezien onder een hoek van 21°. Gaat men 24 meter dichterbij, dan is die hoek 35°. Bepaal de hoogte van de toren. 2. Twee vliegtuigen vertrekken van éénzelfde punt elk in een andere richting. De richtingen maken onderling een hoek van 32°. De snelheid van het eerste vliegtuig is 600 km/u, van het tweede 900 km/u. Bepaal hun onderlinge afstand na anderhalf uur. 3. Een vlaggenstok steekt omhoog uit een gevel met een hoek van 45°. Vijf meter boven het steunpunt van de stok in de muur bevestigt men aan de muur een kabel van 3.60 meter. Op welke afstand van het steunpunt zal men het andere einde van de kabel aan de stok kunnen vastmaken.
fig. 21 : illustratie bij oefening 3
4. Los de vorige oefening ook op met een kabel van 2 meter, en daarna met een kabel van 8 meter. 5. Drie waarnemers bevinden zich op onderlinge afstanden van 2, 3 en 4 meter. Bepaal voor elke waarnemer de hoek waaronder hij de twee andere ziet.
Goniometrie
20
6. Een boot vaart pal noord en ziet een vuurtoren op 40° naar het oosten. Na 20 km te hebben gevaren is de hoek toegenomen tot 80°. Bepaal op beide punten de afstand van de boot tot de vuurtoren. 7. Hier volgt opnieuw een situatie uit mechanica. Bepaal de hoek tussen de touwen AC en AD.
Fig. 22 : illustratie bij oefening 7
Goniometrie
21
6 Aanvullingen 6.1 Speciale lijnen in een driehoek 6.1.1 Hoogtelijn = de loodlijn uit een hoekpunt op de overstaande zijde. Het voetpunt van de hoogtelijn kan buiten deze zijde liggen. Eigenschap : De hoogtelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, het hoogtepunt. Dit kan buiten de driehoek liggen.
Z
H
fig. 23 : hoogtelijnen
fig.24 : zwaartelijnen
6.1.2 Zwaartelijn = verbindingslijn tussen een hoekpunt en het midden van de overstaande zijde. Eigenschap : De zwaartelijnen van een driehoek snijden elkaar in één punt, het zwaartepunt. Dit ligt binnen de driehoek.
6.1.3 Andere lijnen Ook de bissectricelijnen snijden in één punt. Dit punt ligt binnen de driehoek. Ook de middelloodlijnen snijden in één punt. Dit punt kan buiten de driehoek liggen.
6.2 Gelijkbenige driehoeken α b
h
b
H β
β a
fig. 25 : gelijkbenige driehoek
Goniometrie
22
Indien een driehoek twee gelijke zijden heeft noemt men deze gelijkbenig. De twee gelijke zijden noemt men de opstaande zijden, de derde zijde is de basis. De hoek tegenover de basis is de tophoek. De twee andere hoeken zijn noodzakelijkerwijze gelijk en worden de basishoeken genoemd. Eigenschap : de hoogtelijn en de zwaartelijn uit de tophoek vallen samen. Noemen we deze hoogtelijn h, de opstaande zijde b, de basis a, de tophoek α en de basishoek β: dan : h = b sin β
en
a = b cos β 2
6.2.1 Oefeningen 1. Stel analoge formules op die de tophoek gebruiken. 2. Bepaal de grootte van de hoeken van een gelijkbenige driehoek met basis 8 en opstaande zijde 14. 3. Bepaal de lengte van de opstaande zijde van een gelijkbenige driehoek met tophoek 42° en basis 12. 4. Bepaal de lengte van elke zijde van een gelijkbenige driehoek met tophoek 36° en tophoogtelijn 28. 5. In een gelijkbenige driehoek met tophoek 24° ligt het hoogtepunt op afstand 26 cm van de top. Bepaal alle hoeken en zijden.
6.3 Gelijkzijdige driehoeken 60°
a
a
H=Z
60°
60°
a fig. 25 : gelijkzijdige driehoek
Indien in een driehoek de drie zijden gelijke lengte hebben noemt men de driehoek gelijkzijdig. Als gevolg zijn ook de drie hoeken aan elkaar gelijk, en dus gelijk aan 60°. Eigenschap : de hoogtelijn uit een bepaalde hoek valt samen met de zwaartelijn uit deze hoek. Hoogtepunt en zwaartepunt vallen samen.
Goniometrie
23
6.3.1 Oefeningen 1. Bepaal de afstand van het zwaarte/hoogtepunt tot één van de hoekpunten in functie van de lengte van de zijde (gelijkzijdige driehoek) 2. Bepaal de lengte van een hoogtelijn in een gelijkzijdige driehoek met zijde 28 cm 3. De hoogtelijn van een gelijkzijdige driehoek heeft lengte 8 cm. Bepaal de lengte van de zijden.
6.4 Buitenhoeken De buitenhoek van een hoek in een driehoek is het supplement van deze hoek. Bijgevolg is elke buitenhoek gelijk aan de som van de twee andere hoeken. De som van de buitenhoeken is dus 360° of 2π .
Goniometrie
24
7 Goniometrisch rekenen De formules uit deze paragraaf behandelen de berekening van de goniometrische getallen van een som of verschil van twee hoeken, van een dubbele of halve hoek, de omzettingen tussen sommen en producten van sinussen en cosinussen... Minstens even belangrijk als de kennis van deze formules is hun onderlinge samenhang, de manier waarop de ene formule snel uit de andere kan worden afgeleid. Op die manier hoeven slechts enkele formules gememoriseerd te worden. Merk op dat volgende formules vaak worden gebruikt bij het oplossen van integralen.
7.1 Som- en verschilformules Startend vanaf één van de zes formules kunnen de andere eenvoudig worden afgeleid. Nemen we de somformule voor de sinus: sin(α + β) = sin α cos β + cos α sin β
(1)
Vervang hierin β door -β , met sin(-β) = - sin β, cos(-β) = cos β: sin(α - β) = sin α cos β - cos α sin β
(2)
Voor de analoge cosinusformules: cos(α + β)
= sin[
π 2
= sin [( = sin(
- (α + β)]
π
π 2
2
- α ) - β]
- α) cos β - cos(
π 2
- α) sin β
of nog : cos(α+ β) = cos α cos β - sin α sin β
(3)
Wordt hierin opnieuw β vervangen door -β : cos(α - β) = cos α cos β + sin α sin β
(4)
Merk op : de sinusformules behouden het plus- of minteken maar mengen de goniometrische functies. De cosinusformules wijzigen het teken maar houden de goniometrische functies bij elkaar. We delen vervolgens (1) lid aan lid door (3), en delen we vervolgens in het rechterlid teller en noemer door cos α cos β :
tan α + tan β tan(α + β ) = 1 − tan α tan β
(5)
Goniometrie
25
en vervangen we β door -β, dan bekomen we:
tan α − tan β tan(α − β ) = 1 + tan α tan β
(6)
7.2 Verdubbelingsformules Nemen we in de voorgaande somformules β gelijk aan α dan vinden we de formules voor dubbele hoeken : cos 2α = cos 2 α - sin 2 α sin 2α = 2 sin α cos α 2 tan α tan 2α = 1 − tan 2 α
(7) (8) (9)
Twee nuttige vormen van (7) krijgt men door cos2 α te vervangen door 1 - sin2 α, of sin2 α door 1 - cos2 α : cos 2α = 1 - 2 sin 2 α cos 2α = 2 cos 2 α - 1
(10) (11)
En dus: 1 2 ( 1 - cos 2α ) 1 cos 2 α = 2 ( 1 + cos 2α )
sin 2 α =
(12) (13)
7.3 Halveringsformules Vervang 2α door α in (10) en (11): α cos α = 1 - 2 sin 2 2 α cos α = 2 cos 2 2 - 1
(14) (15)
7.4 Goniometrische getallen in functie van tan α/2 In (8) delen en vermenigvuldigen we het rechterlid met sec 2 α . Door in de noemer 1 + tan 2 α = sec 2 α (zie $ 2.4.) te gebruiken en in de teller een secans weg te werken samen met de cosinus vinden we : sin 2α =
2 tan α 1 + tan 2 α
(16)
Goniometrie
26
Vervangen we α hierin door 2 tan
sin α =
1 + tan
α : 2
α 2 2
(17)
α
2 Door een zelfde operatie op (7) vinden we :
cos α =
1 − tan 2 1 + tan
α 2
(18)
2 α
2
en door in (9) α te vervangen door
tan α =
2 tan 1 − tan
α : 2
α 2 2
(19)
α 2
7.5 Omzettingen van som/verschil naar product en omgekeerd In de somformules (1) en (2) zit in het rechterlid als gemeenschappelijke factor het product sin α cos β. Door (1) en (2) lid aan lid op te tellen en vervolgens beide leden door 2 te delen bekomen wij : sin α cos β =
1 [ sin(α + β) + sin(α - β) ] 2
(20)
Op analoge manier vinden we door (1) en (2) lid aan lid af te trekken : 1 cos α sin β = [ sin(α + β) - sin(α - β) ] (21) 2 Door ook (3) en (4) eens bij elkaar op te tellen en eens van elkaar af te trekken bekomen we nu: 1 cos α cos β = 2 [ cos(α + β) + cos(α - β) ] (22) 1 (23) sin α sin β = 2 [ cos(α - β) - cos(α + β) ] Deze vier formules zetten een product van twee cosinussen en/of sinussen met verschillend 1 naar het argument om in een som. De omgekeerde formules bekomen we door de factor 2 andere lid te brengen en vervolgens : p+q 2
α:
te vervangen door
β:
p-q te vervangen door 2 Goniometrie
27
Dit geeft ons tenslotte de formules van Simpson: p+q p-q cos 2 2 p+q p-q sin 2 sin p - sin q = 2 cos 2 p+q p-q cos cos p + cos q = 2 cos 2 2 p+q p-q sin cos p - cos q = - 2 sin 2 2 sin p + sin q = 2 sin
(24) (25) (26) (27)
7.6 Oefeningen 1. In een driehoek geldt: sin 2 α + sin 2 β − sin 2 γ = 2sin α sin β cos γ
Bewijs.
2. Bereken en/of vereenvoudig: π π a. tan α − + cot α + 4 4 b.
sin α − cos α sin α + cos α
3. Schrijf in functie van machten van sin α en/of cos α: a. sin 3α b. cos 4α c. tan d.
sin
α 2
α
cos
2
α 2
+ cos − sin
α 2
α
2
4. Ontbind in factoren: a. sin 3α − sin α
( opl: 2 cos 2α sin α )
b. cos 4α + cos 5α + cos 6α
( opl: cos 5α (2 cos α + 1) ) 2 α opl: 2 tan α sin 2 ( opl: sin(α + β ) sin(α − β ) )
c. tan α − sin α d. cos 2 β − cos 2 α
Goniometrie
28
Chemie
A. Deschuytere S. De Jonge
Hoofdstuk 1. Inleiding 1. Praktische informatie. Het eerste jaar Bachelor in de Industriële Ingenieurswetenschappen bij KULeuven campus GroepT omvat verschillende opleidingsonderdelen waaronder het vak Chemie. In dit vak worden een aantal voor een ingenieur belangrijke aspecten van de Chemie behandeld. Daarbij veronderstellen we dat je als student reeds een zekere voorkennis van Chemie hebt. Vele studenten zullen de meeste onderdelen van deze basiskennis reeds in hun vorige opleidingen bestudeerd hebben. Andere daarentegen hebben maar weinig Chemie gehad. Daarom heeft de Eenheid Materie, die verantwoordelijk is voor alle opleidingsonderdelen die met Chemie te maken hebben, de hiernavolgende tekst opgesteld. Normaal gezien kan je deze gebruiken om zelfstandig de voorkennis Chemie in te studeren. Om je hierbij echter te begeleiden organiseren we een introductiecursus voor beginnende studenten. Voor het gedeelte Chemie is dit de cursustekst. Tijdens de cursus van het eerste bachelorjaar wordt een handboek gebruikt als cursustekst. Een aantal van de begrippen die hier besproken worden komen ook voor in dit handboek (General Chemistry, Chang, McGraw-Hill, 4de ed.).
2. Chemie en chemische technologie Chemische technologie omvat alle processen die de mens gebruikt om de structuur en de samenstelling van de materie te wijzigen. Vele van deze processen zijn even oud als de mens zelf, andere zijn slechts zeer recent ontwikkeld. Processen die in de voedselbereiding of in de metaalverwerkende industrie gebruikt worden behoren tot de oudste processen. De ontwikkeling van nieuwe geneesmiddelen, brandstofcellen en organische halfgeleiders zijn enkele voorbeelden van meer recente ontwikkelingen in de chemische technologie.
3. Materie Materie is alles wat ons omringt. De materie kan duidelijk zichtbaar zijn maar ook onzichtbaar (de gassen in de ons omringende atmosfeer bvb.). De materie kan van natuurlijke oorsprong zijn of door de mens gemaakt. De mens zelf is opgebouwd uit materie. We kunnen de materie bewerken om er nieuwe vormen van te maken. Materie kan gekleurd zijn of niet, doorzichtig of ondoorzichtig, inert of eerder reactief. Bij deze grote verscheidenheid in de ons omringende materie kunnen we ons afvragen waaruit de materie is opgebouwd, hoe de materie die in het universum aanwezig is, ontstaan is en wat de relatie is tussen materie en energie. De kennis van de samenstelling en de structuur van de materie laat ons ook toe ermee te werken. Onderzoek heeft aangetoond dat de materie, in al zijn vormen en verscheidenheid, opgebouwd is uit een aantal fundamentele bouwstenen, de atomen. De kennis van de atomen en de wijze waarop ze met elkaar binden laat ons toe toe vele eigenschappen van de materie te verklaren.
Chemie
2
Als toekomstige ingenieur is inzicht in de samenstelling en de eigenschappen van de materie bijzonder belangrijk. Vele functies die je als ingenieur kan uitvoeren hebben te maken met het werken met materie.
Chemie
3
Hoofdstuk 2. Het atoom 1. Atomen en materie. De atomen zijn de bouwstenen waaruit de materie is opgebouwd. In de natuur komen 92 verschillende atomen voor. Sommige daarvan zijn zeldzaam, andere komen in zeer grote hoeveelheden in het universum voor. Ook op aarde komen al deze atomen in meer of mindere mate voor (tabel 1). Tabel 1 Het voorkomen van atomen in de aardkorst Atoom Zuurstof Silicium Aluminium Ijzer Calcium Magnesium Alle andere atomen
Aanwezigheid in de aardkorst (in %) 45,5 27,2 8,3 6,2 4,7 2,8 5,3
De atomen worden gevormd in sterren. Naast de 92 zogenaamd natuurlijke atomen zijn er ook een aantal atomen die door de mens worden gemaakt. Het zijn de synthetische of transuraan atomen. Zij zijn het resultaat van reacties in kernreactoren of deeltjesversnellers.
2. De bouw van het atoom. A. Elementaire deeltjes. Atomen bestaan zelf uit nog kleinere deeltjes, die elementaire deeltjes genoemd worden. Verschillende atomen zijn dan opgebouwd uit een verschillend aantal van deze deeltjes. De deeltjes waaruit atomen zijn opgebouwd zijn de protonen, de elektronen en de neutronen. Tabel 2 geeft informatie over de massa en de lading van deze deeltjes. Tabel 2 De eigenschappen van de elementaire deeltjes in atomen Proton Neutron Elektron
Massa (in g) 1,67262 x 10-24 1,67493 x 10-24 9,10939 x 10-28
Lading (in C) + 1,6022 x 10-19 0 - 1,6022 x 10-19
B. De lading van de elementaire deeltjes. Uit tabel 2 blijkt dat protonen en elektronen geladen zijn. De protonen hebben een positieve lading, de elektronen een negatieve lading. De neutronen zijn neutrale deeltjes.
Chemie
4
Atomen bevatten evenveel elektronen als protonen zodat zij steeds neutraal zijn. Het atoom zuurstof bvb bevat 8 protonen in de kern en 8 elektronen daarrond. Atomen kunnen wel elektronen afgeven of opnemen zodat er geladen deeltjes, ionen, ontstaan (zie verder). De lading van het elektron (of proton) is de kleinste lading, waarvan alle andere ladingen (ook deze die in de elektriciteit gebruikt worden) veelvouden zijn. Daarom wordt deze waarde de elementaire ladingseenheid (ele) genoemd. Een elektron heeft dus een lading van –1 ele (of gewoon –1) het proton een lading van +1 ele (of +1). 1 ele komt (afgerond) overeen met 1,6 x 10-19 C
C. De massa van elementaire deeltjes. Wat massa betreft zijn protonen en neutronen ongeveer even zwaar, terwijl de elektronen een veel kleinere massa hebben. De massa van de elektronen zal slechts in heel beperkte mate bijdragen tot de massa van een atoom. Meestal wordt de massa van de elektronen dan ook verwaarloosd (zie verder voor een rekenvoorbeeld). De protonen en de neutronen (de zware deeltjes) vormen samen de kern (nucleus) van het atoom. Zij worden daarom ook de nucleonen genoemd. De kern bevat dus bijna alle materie van een atoom. De elektronen daarentegen vormen een soort ijle ruimte rond de kern. Alhoewel niet alle atomen even groot zijn kan men stellen dat de straal van een gemiddeld atoom ongeveer 100 pm bedraagt (een pm komt overeen met 10-12 m). De kern daarentegen meet gemiddeld 5 x 10-3 pm.
D. De samenstelling van de atomen De verschillende atomen waaruit de materie is opgebouwd, onderscheiden zich van elkaar door het aantal protonen in de kern. Dit aantal varieert van 1 tot 92 in de natuurlijke atomen en is hoger in de synthetische atomen. De atomen kunnen gerangschikt worden op basis van het aantal protonen in de kern. Dit aantal, voorgesteld met het symbool Z, is het atoomnummer. Het atoomnummer voor de natuurlijke atomen varieert van 1 tot 92 en is hoger dan 92 in de transuraan atomen. Alhoewel de atomen kunnen beschreven en gerangschikt worden op basis van hun atoomnummer is het om praktische redenen beter ze een naam en een symbool te geven. Zo wordt het atoom dat in zijn kern slechts één proton heeft (Z=1) waterstof genoemd. Het krijgt het symbool H. De volledige lijst van de atomen met hun atoomnummer, naam en symbool vind je terug in de periodieke tabel.
3. Isotopen. Van een atoom, gedefinieerd door zijn atoomnummer, kunnen verschillende isotopen bestaan. Dit zijn varianten van een atoom die hetzelfde atoomnummer hebben maar een verschillend aantal neutronen (in de kern). Het totaal aantal deeltjes in de kern van een atoom (protonen en neutronen) wordt het massagetal van een atoom genoemd. Het massagetal krijgt het symbool A. Isotopen van een atoom hebben dus hetzelfde atoomnummer maar een verschillend massagetal. Tabel 3 toont de isotopen van enkele atomen. Isotopen kunnen stabiel zijn of door radioactief verval verdwijnen. Dit verval kan snel of traag gebeuren. Chemie
5
Tabel 3 Isotopen van enkele atomen (niet alle bestaande isotopen zijn vermeld). Atoomnummer (Z)
Naam (Symbool)
Massagetal van de isotopen
Voorkomen (in %)
1
Waterstof (H)
1 2
99,985 0,015
6
Koolstof (C)
12 13
98,89 1,11
20
Calcium (Ca)
40 42 43 44 46 48
96,97 0,64 0,14 2,1 0,003 0,18
92
Uraan (U)
235 238
0,72 99,27
Men heeft vastgesteld dat het procentueel voorkomen van de isotopen een constante waarde is, onafhankelijk van de plaats waar men de atomen verzamelt. De isotopen van een atoom hebben dezelfde chemische eigenschappen. Dit heeft te maken met het feit dat de chemische eigenschappen van een atoom (hoe het bindingen vormt bvb.) afhangen van het aantal elektronen en niet van de kern. Isotopen hebben hetzelfde aantal elektronen daar zij hetzelfde atoomnummer hebben.
4. Voorstelling van een atoom. In de meeste gevallen wordt een atoom voorgesteld met behulp van zijn symbool. Dit is zeker zo wanneer men de formules van moleculen schrijft. Soms echter wenst men bijkomende informatie te vermelden. Wanneer het gaat om een specifieke isotoop kan men het massagetal toevoegen. Dit wordt dan links bovenaan naast het symbool vermeld zoals in volgende voorbeelden. Voorbeeld 1 De voorstelling van enkele isotopen Het uraan isotoop met massagetal 238: 238U (uitgesproken “uraan 238”) Het waterstofisotoop met massagetal 2: 2H. Het koolstofisotoop met massagetal 14: 14C Eventueel kan het atoomnummer vermeld worden en dan wordt dit links onderaan geschreven. De isotopen van waterstof krijgen eveneens een eigen naam. Tabel 4 De isotopen van waterstof Isotoop 1 H 2 H 3 H
Naam Waterstof Deuterium Tritium
Chemie
6
5. Atoommassa. A. Absolute atoommassa. De massa (gewicht) van een atoom is gelijk aan de som van de massa’s van de elementaire deeltjes waaruit het is opgebouwd. Het volstaat dus te weten hoeveel protonen en hoeveel neutronen het atoom bevat. Het aantal elektronen is gelijk aan het aantal protonen. Voorbeeld 2 Wat is de massa van het 2H waterstofisotoop? Wat is de bijdrage van het elektron tot deze massa? Dit isotoop bevat 2 nucleonen (1 proton, 1 neutron) en 1 elektron. Massa waterstof atoom 2H = massa proton + massa neutron + massa elektron. Massa 2H = 1,67262 x 10-24 g + 1,67493 x 10-24 g + 9,10939 x 10-28 g. Massa 2H = 3,34846 x 10-24 g De bijdrage van het elektron = (9,10939 x 10-28 g/ 3,34846 x 10-24 g) x 100% = 0,0272 % Zoals blijkt uit deze berekening draagt de massa van het elektron slechts in beperkte mate bij tot de totale massa van dit atoom. Daarom wordt deze massa meestal verwaarloosd.
B. De atomaire massa eenheid. De massa van een atoom uitgedrukt in gram is een bijzonder klein getal. Het gebruik van deze eenheid om de atoommassa uit te drukken is dan ook onpraktisch. Om die reden werd een nieuwe eenheid ingevoerd die toelaat op een eenvoudige manier zulke kleine massa’s weer te geven. Deze eenheid is de atomaire massa eenheid (ame). Deze wordt gedefinieerd als 1/12 van de massa van een 12C-isotoop. Vermist dit isotoop bestaat uit 6 protonen en 6 neutronen betekent dit dat de ame het gemiddelde is van de massa van een proton en een neutron. De waarde van de ame (afgerond) = 1,6 x 10-24 g . De massa van gelijk welk atoom (of isotoop) kan dan uitgedrukt worden als een veelvoud van de atomaire massa eenheid. Voorbeeld 3 Wat is de massa van het 2H-isotoop uitgedrukt in ame? De massa van dit isotoop (zie hoger) = 3,34846 x 10-24 g Massa 2H uitgedrukt in ame = 3,34846 x 10-24 g/1,6 x 10-24 g/ame = 2 ame (afgerond)
C. Gemiddelde atoommassa. Wanneer men spreekt over een bepaald atoom, zoals Chloor, dan heeft men het in werkelijkheid over een verzameling atomen bestaande uit verschillende isotopen met elk een andere massa. Rekening houdend met de massa van elk isotoop en met het Chemie
7
(constante) relatieve voorkomen van deze isotopen kan men voor een atoom een gemiddelde atomaire massa berekenen. Onderstaand voorbeeld toont dit aan. Voorbeeld 4 De berekening van de gemiddelde atoommassa van chloor. Chloor bestaat uit de volgende isotopen: 35
Cl: een atoommassa van 34,9688 ame en een procentueel voorkomen van 75,53 %
37
Cl: een atoommassa van 36,965 ame en een procentueel voorkomen van 24,47 %
De gemiddelde atoommassa van Chloor = 34,9688 ame x 75,53/100 + 36,965 ame x 24,47/100 = 35,45 ame Op deze wijze kan men voor elke atoomsoort een gemiddelde atoommassa berekenen.
D. Relatieve gemiddelde atoommassa. Zoals blijkt uit vorige berekeningen kan de massa van een gemiddeld atoom weergegeven worden als een veelvoud van de ame. Dit veelvoud wordt de relatieve (gemiddelde) atoommassa (Ar) genoemd. De relatieve atoommassa wordt gedefinieerd als een getal dat aangeeft hoeveel maal het gemiddeld atoom zwaarder is dan de ame. Het is dit getal (dat geen eenheid heeft) dat in de periodieke tabel samen met andere eigenschappen van het atoom vermeld wordt. Voorbeeld 5 Wat is de massa van een aluminiumatoom? In de periodieke tabel vindt men voor de relatieve atoommassa van aluminium de waarde 27 Een (gemiddeld) aluminiumatoom weegt dus: Massa Al-atoom = Ar(Al) x ame = 27 x 1,6 x 10-24 g = 4,32 x 10-24 g
6. Het begrip mol. De massa van de atomen is zeer klein. Dat betekent dat men in de praktijk steeds met zeer grote aantallen atomen zal werken. Een druppel water bvb met een volume van 0,05 ml (dit is ook 0,05 g) bevat ongeveer 5 x 1021 atomen (waterstof en zuurstof). Om met zulke grote aantallen te kunnen werken heeft men het begrip mol ingevoerd. Een mol wordt gedefinieerd als een aantal dat overeenkomt met 6,02 x 1023. Dit getal noemt met het getal van Avogadro (symbool NA). Het komt overeen met het aantal atomen aanwezig in 12 g van het 12C-isotoop. Het begrip mol is vergelijkbaar met andere begrippen die eveneens een aantal aangeven zoals paar (2), dozijn (12), honderd (100) enz. Gezien de waarde van mol heeft het gebruik ervan enkel zin bij het weergeven van de aantallen van zeer kleine deeltjes zoals elektronen, protonen, atomen of, zoals verder blijkt, moleculen.
Chemie
8
Voorbeeld 6 Hoeveel mol atomen zijn er in 0,05 g water? In 0,05 g water zijn er 5 x 1021 atomen. Het aantal mol atomen hierin = aantal atomen/NA Het aantal atomen in 0,05 g water = 5 x 1021 atomen/ 6,02 x 1023 atomen per mol = 0,00831 mol atomen
7. Molaire massa. De molaire massa van een deeltje (atoom, elektron e.d.) is de massa van 1 mol (6.02 x 1023 ) van deze deeltjes. De molaire massa (symbool MM) bekomt men door de massa van één deeltje te vermenigvuldigen met het getal van Avogadro. De eenheid van molaire massa is g/mol. Voorbeeld 7 Wat is de molaire massa van aluminium? De relatieve atoommassa van aluminium (uit periodieke tabel) = 27 De molaire massa van aluminium is: MM(Al) = aantal atomen in 1 mol x massa van 1 atoom MM(Al) = NA atomen/mol x Ar(Al) x ame MM(Al) = 6.02x1023 atomen/mol x 27 ame/atoom x 1,6 x 10-24 g/ame MM (Al) = 27 g/mol Zoals blijkt uit dit voorbeeld is de absolute waarde van de molaire massa van een atoom gelijk aan de relatieve atoommassa van dit atoom. Om de molaire massa van een atoom te kennen volstaat het dus de relatieve atoommassa uit een tabel af te lezen en de eenheid g/mol er aan toe te voegen. Onderstaande tabel geeft hiervan enkele voorbeelden. Tabel 5 Enkele voorbeelden van de molaire massa van atomen. Atoom O Al Si V U
Ar (afgerond, uit periodieke tabel) 16 27 28 89 238
1 mol van dit atoom weegt 16 g 27 g 28 g 89 g 238 g
Opmerking: de verschillende massa’s in tabel 5 bevatten allemaal hetzelfde aantal deeltjes (nl. 1 mol of 6,02 x 1023).
Chemie
9
8. De periodieke tabel. In de periodieke tabel worden de atomen gerangschikt op basis van hun atoomnummer. Bovendien is de tabel zodanig opgebouwd dat atomen die gelijkaardige eigenschappen hebben samen staan, hetzij vertikaal hetzij horizontaal. De kolommen in de periodieke tabel worden groepen genoemd. De rijen in de periodieke tabel worden perioden genoemd. De atomen die in eenzelfde groep voorkomen vertonen zeer gelijkaardige eigenschappen. Dit is de reden waarom deze groepen een nummer krijgen en ook een naam. De groep waar fluor (F) bovenaan staat krijgt nummer 7 en wordt de groep van de halogenen genoemd. In de periodieke tabel wordt een onderscheid gemaakt tussen de hoofdgroepen, genummerd van IA tot VIIA en VIII, en de nevengroepen, genummerd met het suffix B. Tabel 6 Informatie over de hoofdgroepen van de periodieke tabel. Nummer IA IIA IIIA IVA VA VIA VIIA VIII
Atoom dat bovenaan staat Waterstof Beryllium Boor Koolstof Stikstof Zuurstof Fluor Helium
Naam Alkalimetalen Aardalkalimetalen Boorgroep Koolstofgroep Stikstofgroep Zuurstofgroep Halogenen Edelgassen
De periodieke tabel wordt gebruikt om een grote hoeveelheid informatie over de atomen samen te brengen.
9. De elektronenstructuur van atomen. Atomen bestaan uit een kern die positief geladen is (hier bevinden zich de protonen) met daarrond een aantal elektronen. In een neutraal atoom is het aantal elektronen gelijk aan het aantal protonen. Alhoewel de beschrijving van de elektronen behoort tot het domein van de quantummechanica zullen hier toch enkele aspecten ervan besproken worden. Het aantal elektronen in een atoom varieert van 1 in waterstof (Z=1) tot 92 in uraan (Z=92). Deze elektronen hebben niet allemaal dezelfde energie. Sommige elektronen hebben een lagere energie en bevinden zich gemiddeld dichter bij de kern, andere hebben een hogere energie en bevinden zich gemiddeld verder van de kern. Deze verschillen in positie van de elektronen kunnen weergegeven worden door een model waarbij de elektronen in sferische schillen worden geplaatst. Elke schil komt dan overeen met een energieniveau. De elektronen op de schillen die dichter bij de kern liggen hebben een lagere energie, de elektronen op verder gelegen schillen hebben een hogere energie. De elektronen die zich op de buitenste schil bevinden worden valentieëlektronen genoemd. Het zijn deze elektronen die betrokken zijn bij de interacties (bindingen) tussen atomen. Chemie
10
Het aantal valentieëlektronen van een atoom kan afgeleid worden uit de positie van het atoom in de periodieke tabel en komt overeen met het nummer van de groep. Tabel 7 Het aantal valentieëlektronen(VE) van de atomen. Groep IA IIA IIIA IVA VA VIA VIIA VIII
Atoom dat bovenaan staat Waterstof Beryllium Boor Koolstof Stikstof Zuurstof Fluor Helium
Aantal VE 1 2 3 4 5 6 7 8
10. Ionen. Hierboven werd aangegeven dat atomen steeds neutraal zijn omdat ze evenveel elektronen als protonen bevatten. In vele gevallen echter zullen atomen tijdens hun interacties met elkaar elektronen afgeven of opnemen. Dit gebeurt o.a. bij de vorming van chemische bindingen (zie verder). Wanneer atomen elektronen afgeven of opnemen worden ionen gevormd. Positieve ionen (kationen) worden gevormd wanneer atomen één of meerdere elektronen afgeven (verliezen). Zulke ionen hebben minder elektronen dan protonen en hebben dus een netto positieve lading. De waarde van de positieve lading is gelijk aan het aantal elektronen dat verloren werd. Negatieve ionen worden gevormd wanneer atomen één of meerdere elektronen opnemen. Zulke ionen hebben meer elektronen dan protonen en krijgen een netto negatieve lading. De waarde van de negatieve lading is gelijk aan het aantal elektronen dat opgenomen werd. Atomen kunnen niet zomaar gelijk welk aantal elektronen verliezen of opnemen. Hoeveel elektronen kunnen worden afgegeven of opgenomen hangt o.a. af van het aantal valantieëlektronen en dus van de groep waarin het atoom zich bevindt.
A. Positieve ionen. Positieve ionen worden o.a. gevormd door atomen die behoren tot de groepen IA, IIA en IIIA. Zij vormen ionen met een lading van respectievelijk +1, +2, +3. Volgende tabel toont dit aan. Enkele ionen van de andere hoofdgroepen zijn eveneens vermeld.
Chemie
11
Tabel 8 Voorbeelden van positieve ionen van de atomen in de hoofdgroepen. Groep IA IIA IIIA IVA
Atoom H Li Na Be Mg Ca Al Pb Sn
Ion H+ Li+ Na+ Be+2 Mg+2 Ca+2 Al+3 Pb+2 en Pb+4 Sn+2 en Sn+4
Atomen van de nevengroepen vormen eveneens positieve ionen. Een aantal van deze ionen zijn in volgende tabel weergegeven. Merk op dat sommige atomen meerdere verschillend geladen ionen kunnen vormen. Tabel 9 Veel voorkomende ionen van de nevengroepen Groep IB IIB VIB VIIB VIIIb
Atoom Cu Ag Au Zn Cd Hg Cr Mn Fe Co Ni
Ion(en) Cu+ en Cu+2 Ag+ Au+ en Au+3 Zn+2 Cd+2 Hg2+2 en Hg+2 Cr+3 Mn+2 Fe+2 en Fe+3 Co+2 Ni+2
B. Negatieve ionen. Negatieve ionen worden voornamelijk gevormd door atomen van de groepen die rechts in de periodieke tabel staan. De belangrijkste daarvan zijn de atomen van groep VIIA (de halogenen). De negatieve ionen van deze atomen zijn in werkelijkheid de zuurresten van de overeenkomende binaire zuren (vb. Cl-)
11. Oefeningen. 1. Stel dat men een atoom zodanig zou vergroten dat de kern even groot is als een basketbal. Hoe groot zou dan het atoom zijn? 2. Stel dat deze basketbal dezelfde dichtheid zou hebben als de kern van een waterstofatoom. Bereken dan de massa van deze bal. 3. Vervolledig volgende tabel
Chemie
12
Tabel 10 Vervolledig. Symbool +
H Cs Bi
Sn Zn+2 238
U
Z
A
1
3 2 133 209 138
55 56
Aantal protonen
Aantal neutronen
70 34 37
17
Aantal elektronen
56 18
4. De constante van Faraday (F) geeft de lading weer van één mol elektronen. Bereken deze waarde. 5. Bereken de bijdrage van de massa van de elektronen tot de totale massa in een 203Hgatoom. 6. Hoeveel valentieëlektronen heeft het 12C-isotoop?
Chemie
13
Hoofdstuk 3. De molecule. 1. Inleiding. Een molecule is een deeltje dat bestaat uit meerdere atomen. Deze atomen zijn bij middel van chemische bindingen aan elkaar gebonden. In dit gedeelte van de cursus wordt besproken hoe deze chemische bindingen ontstaan en dus hoe moleculen gevormd worden. Een molecule wordt beschreven met een moleculeformule die aangeeft welke en hoeveel atomen deel uitmaken van de molecule.
2. De chemische binding. A. Definitie. De chemische binding is een interactie tussen atomen die tot gevolg heeft dat deze atomen aan elkaar gebonden worden om zo een min of meer permanente structuur (molecule) te vormen. Bindingen kunnen terug verbroken worden zodat chemische reacties mogelijk worden. Tijdens chemische reacties worden bestaande bindingen verbroken en ontstaan nieuwe bindingen met de oorspronkelijke atomen. Bij de vorming en het breken van de chemische binding spelen de valentieëlektronen van de bindende atomen een belangrijke rol. Op basis van het gedrag van de elektronen tijdens de vorming van de chemische binding kunnen twee soorten bindingen onderscheiden worden: de covalente binding en de ionbinding.
B. De covalente binding. De covalente binding kan het best begrepen worden wanneer men de vorming van diwaterstof (H2) uit twee individuele waterstofatomen bestudeert. Stel dat twee waterstofatomen (elk bestaande uit 1 proton en 1 elektron) zich op een oneindig grote afstand van elkaar bevinden. De enige interacties die dan bestaan zijn de aantrekkingskrachten tussen de kern(+) en het eigen elektron(-). Deze interacties definiëren een begin energie van het beschouwde systeem die we gelijk stellen aan nul (zie figuur). Wanneer deze atomen dichter naar elkaar gebracht worden ontstaan ook wederzijdse interacties. De kern van het ene atoom zal ook elektronen van het andere atoom beginnen aan te trekken. Deze aantrekkingskrachten verlagen de energie van het systeem en doen de atomen nog dichter naar elkaar toekomen. Wanneer de atomen te dicht genaderd zijn ontstaan er ook sterke afstotingen tussen de twee kernen, die allebei positief geladen zijn. Deze afstotingskrachten verhogen de energie van het systeem. Op de figuur is duidelijk te zien dat de energiecurve een minimum vertoont. Dit minimum komt overeen met een bepaalde afstand tussen de twee kernen waarbij de aantrekkingskrachten tussen kernen en elektronen de afstotingskrachten tussen de kernen optimaal compenseren. Wanneer twee waterstofatomen zich op deze afstand van elkaar Chemie
14
bevinden zijn ze aan elkaar gebonden. Men noemt deze afstand de bindingsafstand. De bindingsafstand in waterstof is gelijk aan 74 pm. Wanneer andere atomen met elkaar binden is deze afstand verschillend. Zoals uit het voorgaande blijkt binden twee waterstofatomen met elkaar omdat de elektronen van elk atoom door beide kernen worden aangetrokken. Deze elektronen vormen een paar en dit elektronenpaar wordt door de atomen gemeenschappelijk gebruikt. Men spreekt daarom van een gemeenschappelijk elektronenpaar of een bindend elektronenpaar. De chemische binding waarbij een elektronenpaar gemeenschappelijk gebruikt wordt door twee atomen noemt men een covalente binding. Het bindende elektronenpaar wordt in een tekening van een covalente binding met een horizontale streep weergegeven.
C. De polariteit van een covalente binding. Bij de vorming van de covalente binding tussen twee waterstofatomen wordt het bindend elektronenpaar door beide atomen (in feite de atoomkernen) even hard aangetrokken. Dit elektronenpaar zal dus op symmetrische wijze verdeeld zijn tussen de twee atomen. Wanneer echter twee verschillende atomen met elkaar binden (vb. waterstof en fluor) dan zullen de twee atomen een verschillende invloed uitoefenen op het elektronenpaar. Eén van beide atomen zal harder aan het paar trekken dan het andere atoom zodat de elektronen niet meer symmetrisch verdeeld zijn maar verschoven naar het atoom dat de sterkste aantrekking uitoefent. Het atoom dat de elektronen meer naar zich toetrekt zal daardoor een gedeeltelijk negatieve lading krijgen, het andere atoom een gedeeltelijk positieve lading. Deze ladingen zijn kleiner dan 1, omdat de elektronen slechts gedeeltelijk verschoven worden, en worden voorgesteld met het symbool δ- of δ+. Een covalente binding die op deze manier gevormd wordt noemt men een polaire covalente binding. Deze uitdrukking verwijst naar het feit dat er twee polen (een negatieve en een positieve pool) aanwezig zijn. Men zegt ook dat de binding een dipool is. De sterkte van de dipool wordt aangegeven met het dipoolmoment. Het dipoolmoment (µ) wordt berekend als het produkt van de absolute lading van één van de polen (beide polen hebben dezelfde absolute waarde voor de lading) vermenigvuldigd met de afstand tussen de twee polen (de bindingsafstand).
D. Elektronegativiteit. Om de polariteit van een covalente binding te kennen moet men weten welk van de twee atomen de elektronen van de binding sterker naar zich toe trekt. Dit wordt aangegeven door de elektronegativiteit (EN), ook elektronegatieve waarde genoemd. Deze waarde
Chemie
15
ligt tussen 0 en 4 en wordt meestal in een periodieke tabel naast andere informatie over atomen weergegeven. Tabel 7 geeft hiervan enkele voorbeelden. Tabel 1 De elektronegativiteit van enkele atomen. H 2,2 Li 1,0 Na 0,9 K 0,8
Be 1,5
B 2,0 Al 1,5
C 2,5 Si 1,8
N 3,0 P 2,1
O 3,5 S 2,5
F 4,0 Cl 3,0 Br 2,8
Hoe groter het verschil in elektronegativiteit (∆EN) tussen de twee atomen in een binding hoe meer de binding gepolariseerd is en hoe groter het dipoolmoment is. Wanneer twee identieke atomen met elkaar binden is ∆EN gelijk aan nul en is de binding niet polair of apolair.
E. De ionbinding. Een ionbinding is een extreem geval van een polaire binding. De ionbinding ontstaat wanneer het verschil in elektronegativiteit tussen de bindende atomen zo groot is dat de bindingselektronen volledig verschoven worden naar één van de twee atomen. Daardoor krijgt dit atoom een gehele negatieve lading terwijl het andere atoom een gehele positieve lading krijgt. De twee tegengesteld geladen deeltjes zijn dan gebonden door elektrische aantrekking, ook Coulombse aantrekking genoemd. De binding tussen natrium en chloor toont dit aan. Voorbeeld 1 Hoe ontstaat de ionbinding tussen natrium en chloor? Natrium is een atoom met 1 valentieëlektron en met een lage elektronegativiteit. Chloor is een atoom met zeven valentieëlektronen en een hoge elektronegativiteit. Het chlooratoom onttrekt 1 elektron aan het natriumatoom en krijgt daardoor een lading van –1. Het natriumatoom krijgt een lading van +1. Het Cl- ion en het Na+ ion trekken elkaar aan omdat ze tegengesteld geladen zijn. Over het algemeen stelt men dat wanneer het verschil in elektronegativiteit tussen twee atomen groter is dan 1,7 de binding als een ionbinding kan beschouwd worden. De ionbinding komt dus vooral voor tussen atomen met een lage EN (links in de tabel) en atomen met een hoge EN (rechts in de tabel).
Chemie
16
Voorbeeld 2 Wat voor een binding bestaat er tussen H en O? De elektronegativiteit van deze elementen is (zie tabel): EN(H) = 2,2 EN(O) = 3,5 Het verschil in elektronegativiteit ∆EN = 1,3 ∆EN is groter dan nul maar kleiner dan 1,7. De binding tussen H en O is dus een polaire covalente binding.
3. De molecuulformule. De molecuulformule beschrijft de samenstelling van de molecule door aan te geven hoeveel atomen van elke soort in de molecule aanwezig zijn. Voorbeeld 3 Hoe is een molecule zwavelzuur (H2SO4) opgebouwd? Eén molecule zwavelzuur bestaat uit twee atomen waterstof, één zwavelatoom en vier zuurstofatomen. Deze zijn bij middel van chemische bindingen aan elkaar gebonden. Merk op dat de molecuulformule niets zegt over de volgorde of de ruimtelijke structuur van de chemische bindingen, zij geeft enkel de samenstelling van de molecule weer.
4. Moleculen en ionen. Water (H2O) en keukenzout(NaCl) zijn zeer verschillende verbindingen. Water bestaat uit een groot aantal afzonderlijke deeltjes (moleculen) die elk bestaan uit twee waterstofatomen die covalent gebonden zijn aan een zuurstofatoom. Keukenzout daarentegen bestaat uit vele postief geladen natriumionen en negatief geladen chloorionen die in een kristalrooster aan elkaar gebonden zijn bij middel van elektrische aantrekkingskrachten (Coulombse krachten). In dat opzicht is H2O een echte voorstelling van een watermolecule terwijl NaCl enkel de verhouding van de ionen in keukenzout weergeeft. Wij zullen echter verder de formule NaCl behandelen alsof het een echte molecuulformule is.
5. Molecuulmassa. A. Absolute molecuulmassa. De massa van een molecule is gelijk aan de som van de massa’s van de atomen waaruit deze molecule is opgebouwd.
Chemie
17
Voorbeeld 4 Wat is de massa van een watermolecule? Een watermolecule (H2O) bestaat uit een zuurstofatoom en twee waterstofatomen. Massa watermolecule = massa zuurstofatoom + 2x massa waterstofatoom. Massa watermolecule = Ar(O) x ame + 2 x Ar(H) x ame Massa watermolecule = 16 ame + 2 x 1 ame Massa watermolecule = 18 ame Massa watermolecule = 18 x 1,6 x 10-24 g = 2,88 x 10-23 g
B. Relatieve molecuulmassa. Net zoals bij atomen kan men de moleculaire massa ook weergeven met behulp van een getal dat aangeeft hoeveel maal de molecule zwaarder is dan de ame. Men noemt dit getal de relatieve molecuulmassa (Mr). De relatieve molecuulmassa is gelijk aan de som van de relatieve atoommassa’s van de atomen waaruit de molecule is opgebouwd. Het bovenstaande voorbeeld toont aan dat de massa van een watermolecule 18 maal zwaarder is dan de ame. Mr (H2O) = Ar(O) + 2 x Ar(H) = 18.
6. Molaire massa van een molecule. Net zoals bij atomen is de massa van een molecule zeer klein. Ook hier zal het begrip mol gebruikt worden om grote aantallen moleculen te beschrijven. Een mol moleculen komt overeen met 6,02x1023 moleculen. De molaire massa van een molecule is de massa van 1 mol van deze moleculen. De molaire massa kan, zoals bij atomen, berekend worden door aan het getal van de relatieve molecuulmassa de eenheid g/mol toe te voegen. Voorbeeld 5 Wat is de molaire massa van water? Massa van één molecule water = 18 ame. De massa van 1 mol water = massa van één molecule x NA Molaire massa (H2O) = 18 x ame x NA MM(H2O) = 18 g/mol
7. De oxidatietoestand van een atoom in een molecule. Wanneer atomen met elkaar binden om moleculen te vormen doen ze dat met hun valentieëlektronen. Zij geven elektronen (gedeeltelijk) af op nemen elektronen (gedeeltelijk) op. Om aan te geven wat het verschil is tussen het aantal elektronen van een niet gebonden (vrij) atoom en een gebonden atoom worden twee getallen gebruikt: de oxidatietoestand (OT) en de formele lading (FL). De formele lading wordt vooral gebruikt bij de gedetailleerde beschrijving van de elektronenverdeling in moleculen en zal later toegepast worden. De oxidatietoestand (ook oxidatietrap genoemd) is echter belangrijk bij de beschrijving van chemische reacties en zal hier besproken worden.
Chemie
18
De oxidatietoestand wordt normaal gezien berekend door het bindende elektronenpaar in een chemische binding toe te kennen aan één van beide atomen en vervolgens de bekomen toestand te vergelijken met deze die bestond in het vrije atoom. Om dit te kunnen heeft men echter informatie nodig over de wijze waarop de atomen aan elkaar gebonden zijn en het aantal elektronen dat hierbij betrokken is. In dit stadium van de cursus hebben we deze informatie nog niet (het enige dat we weten is de globale molecuulformule) en daarom worden, voor het bepalen van de oxidatietoestand een aantal regeltjes gebruikt. Deze worden in volgende tabel weergegeven. Merk op dat wij voor het schrijven van de oxidatietoestand romeinse cijfers gebruiken om deze te onderscheiden van de lading van ionen (en ook van de formele lading). Tabel 2 regels voor het bepalen van de oxidatietoestand van een atoom OT van atomen die niet aan andere (verschillende) atomen gebonden zijn = 0 OT van waterstof in een molecule is meestal +I OT van zuurstof in een molecule is meestal –II OT van de atomen van groepen IA, IIA en IIIA zijn +I, +II en +III resp. De som van de OT van de atomen in een molecule vermenigvuldigd met het aantal atomen = 0 De som van de OT van de atomen in een ion vermenigvuldigd met het aantal atomen = lading van het ion
Deze regels laten toe voor de atomen in de meeste van de verbindingen die in de cursus voorkomen de oxidatietoestanden te bepalen. Voorbeeld 6 Wat zijn de oxidatoetoestanden van de atomen in H2SO4? De oxidatietoestanden van H en O zijn resp +I en –II. De som van deze oxidatietoestanden is dus = 2 x (+I) + 4 x (-II) = -VI Omdat de som van de OT’s moet gelijk zijn aan nul (molecule) is de OT van S = +VI. Samengevat: OT(H) = +I, OT(O) = -II en OT(S) = +VI Voorbeeld 7 Wat zijn de oxidatietoestanden van de atomen in NH4+? De oxidatoetoestand van H = +I wat een totaal geeft van 4 x (+I) = +IV Omdat het deeltje een lading heeft van +1 moet de som van alle OT’s = +I De OT van N is dus = -III.
8. Oefeningen. 1. Zeg van de volgende bindingen tot welke categorie ze behoren: polaire covalente binding, apolaire covalente binding, ionbinding. H-Cl, N-H, O-O, K-Cl 2. Rangschik volgende bindingen volgens stijgende polariteit en geef met een pijl het dipoolmoment en de deelladingen aan. C-H, H-H, H-Br, H-F en B-H 3. Hoeveel atomen zijn er in een molecule Ca3(PO4)2? Chemie
19
4. Bereken de massa van een propaan molecule (C3H8) 5. Wat is de molaire massa van zwavelzuur (H2SO4)? 6. Met hoeveel mol komt 1 kg water overeen? 7. Hoeveel gram zwavelzuur moet men afwegen om evenveel moleculen te hebben als in 500 g propaan? 8. Hoeveel gram K is er in 150 g KNO3? 9. Bepaal de oxidatietoestand van elk atoom in de volgende verbindingen: K2SO4, HNO3, CrO4-2, KMnO4, HSO4-.
Chemie
20
Hoofdstuk 4. Soorten verbindingen en naamgeving 1. Classificatie van chemische verbindingen. Over het algemeen worden chemische stoffen (verbindingen, moleculen) ingedeeld op basis van hun chemische eigenschappen. Azijnzuur bvb wordt bij de zuren ingedeeld omdat het zuur smaakt, omdat het met basen reageert en omdat het metalen aantast in een typische reactie waarbij waterstofgas gevormd wordt. Om een chemische stof te kunnen bespreken en om de eigenschappen ervan te kennen zodat men ermee kan werken, moet men weten tot welke groep verbindingen deze stof behoort. In de meeste gevallen kan men dit afleiden uit de molecuulformule (en soms ook uit de naam). Het is dus van belang te weten welke soorten chemische verbindingen bestaan, welke eigenschappen ze hebben en hoe men ze kan herkennen aan de hand van de formule en/of de naam.
2. Soorten chemische verbindingen. De soorten chemische verbindingen die in deze cursus besproken worden zijn: - de zuren, - de basen en hydroxiden, - de zouten, - de oxiden. De verbindingen die behoren tot elk van deze groepen hebben karakteristieke eigenschappen die tot uiting komen in hun gedrag tijdens chemische reacties. Bij de hiernavolgende bespreking van deze groepen zal ook telkens worden aangegeven welke algemene formule ze hebben en hoe ze genoemd worden.
A. Zuren.
A.1. Eigenschappen van zuren. Zuren zijn verbindingen die de mens reeds lang kent al was het maar vanwege de typische smaak die zij hebben. Enkele voorbeelden zijn: - Azijnzuur dat gevormd wordt wanneer wijn verzuurt, - Melkzuur dat ontstaat bij de verzuring van melk, - Het zuur dat in de maag gevormd wordt en bij oprispingen in de mond kan terechtkomen. Zuren zijn verbindingen die in staat zijn een positief geladen waterstofion (H+, een proton) te vormen. In hun formule vinden we dus steeds één of meerdere waterstofatomen terug. Algemeen kan de formule als volgt voorgesteld worden:
HnA In deze formule is n meestal gelijk aan 1, 2 of 3 Wanneer n gelijk is aan 1 spreekt men van een monoprotisch zuur, wanneer n groter is dan 1 spreekt men van een polyprotisch zuur. In de formule van een zuur wordt A de zuurrest genoemd. Chemie
21
De classificatie van de zuren gebeurt op basis van de samenstelling van de zuurrest. De zuurrest bevat steeds minstens één niet-metaal zoals chloor, zwavel, forfor e.d. Daarnaast kunnen er al dan niet zuurstofatomen in voorkomen. Wanneer de zuurrest geen zuurstof bevat spreekt men van een binair zuur. Wanneer er wel zuurstof in voorkomt spreekt men van een oxozuur of ternair zuur. Opm.: er bestaan ook veel verbindingen die waterstof bevatten en die niet zuur zijn. Methaan (CH4) is hiervan een voorbeeld. Een waterstofatoom dat zich niet als zuur gedraagt, noemt men een niet-zure waterstof.
A.2. Binaire zuren Bij binaire zuren bestaat de zuurrest uit een niet-metaal. De naam van de binaire zuren wordt als volgt opgebouwd Naam van een binair zuur= waterstof + niet-metaal + -ide. De volgende binaire zuren en hun overeenkomende zuurresten moeten gekend zijn. Tabel 1 Enkele belangrijke binaire zuren en hun zuurrest. Formule HF HCl HBr HI H2S
Naam waterstoffluoride waterstofchloride waterstofbromide waterstofjodide waterstofsulfide
HCN
waterstofcyanide
Zuurrest FClBrIHSS2CN-
Naam zuurrest fluoride(ion) chloride(ion) bromide(ion) jodide(ion) waterstofsulfide(ion) sulfide(ion) cyanide(ion)
De naam van de negatief geladen zuurrest wordt gevormd door van de naam van het zuur de waterstof te verwijderen en eventueel de uitgang -ion toe te voegen. Indien niet alle waterstofatomen worden verwijderd, wordt het aantal waterstoffen dat overblijft in de naam aangegeven (zie HS- in bovenstaande tabel). Opm.: waterstofcyanide wordt soms een pseudo-binair zuur genoemd omdat het twee niet-metalen in de zuurrest bevat i.p.v. één.
A.3. Oxozuren. Deze zuren bestaan uit waterstof en een zuurrest die naast het niet-metaal één of meerdere zuurstofatomen bevat. Er zijn twee naamgevingen voor oxozuren in gebruik. Deze worden door elkaar gebruikt. Naamgeving a: naam van niet-metaal + zuur. (vb HClO3: chloorzuur). Naamgeving b: waterstof + niet-metaal + -aat. (vb HClO3: waterstofchloraat) Chemie
22
Indien van eenzelfde niet-metaal meerdere oxozuren gekend zijn moet de naamgeving duidelijk maken over welk zuur het gaat. Eén van de zuren (het referentiezuur) wordt benoemd volgens de regels die hierboven werden gegeven. Voor de andere zuren wordt de naam met behulp van voor- of achtervoegsels aangepast. Dit blijkt het best uit volgend voorbeeld: Voorbeeld 1 Hoe worden de verschillende oxozuren die chloor bevatten genoemd? Met chloor kunnen meerdere oxozuren gevormd worden. Deze zijn HClO, HClO2, HClO3, en HClO4. Het referentiezuur is HClO3, dat op de normale manier benoemd wordt (zie hierboven). HClO3 noemt men waterstofchloraat of chloorzuur. HClO4 bevat meer zuurstofatomen dan het referentiezuur en wordt waterstofperchloraat of perchloorzuur genoemd. HClO2 bevat één zuurstofatoom minder dan het referentiezuur en wordt waterstofchloriet of chlorigzuur genoemd. HClO bevat nog een zuurstofatoom minder en wordt waterstofhypochloriet of hypochlorigzuur genoemd. Het systeem dat in het voorbeeld wordt geïllustreerd gebruikt men ook voor de andere zuren. De keuze van het referentiezuur varieert sterk en is niet gebonden aan een bepaalde formule. Voor de naamgeving van de zuurresten wordt naamgeving b gebruikt. In volgende tabel worden de te kennen oxozuren opgesomd.
Chemie
23
Tabel 2 Lijst met belangrijke oxozuren. Het nietmetaal in de zuurrest Koolstof (C)
Formule Naam
Zuurrest Naam van de zuurrest
H2CO3
HCO3-
Waterstofcarbonaat(ion)
CO32NO3-
Carbonaat(ion) Nitraat(ion)
NO2-
Nitriet(ion)
H2PO4-
Diwaterstoffosfaat(ion)
HPO42PO43H2PO3-
Monowaterstofosfaat(ion) Fosfaat(ion) Diwaterstoffosfiet(ion)
HPO32PO33H2AsO4-
Monowaterstoffosfiet(ion) Fosfiet(ion) Diwaterstofarsenaat(ion)
HAsO42AsO43H2AsO3-
Monowaterstofarsenaat(ion) Arsenaat(ion) Diwaterstofarseniet(ion)
HAsO32AsO33HSO4-
Monowaterstofarseniet(ion) Arseniet(ion) Waterstofsulfaat(ion
SO42HSO3-
Sulfaat(ion) Waterstofsulfiet(ion)
SO32HS2O3-
Sulfiet(ion) Waterstofthiosulfaat(ion)
S2O32-
Thiosulfaat(ion)
Stikstof (N) HNO3 HNO2 Fosfor (P)
H3PO4
H3PO3
Arseen (As)
H3AsO4
H3AsO3
Zwavel (S)
H2SO4 H2SO3 H2S2O3
Koolzuur Waterstofcarbonaat Salpeterzuur Waterstofnitraat Salpeterigzuur Waterstofnitriet Fosforzuur Waterstoffosfaat Fosforigzuur Waterstoffosfiet Arseenzuur Waterstofarsenaat Arsenigzuur Waterstofarseniet Zwavelzuur Waterstofsulfaat Zwaveligzuur Waterstofsulfiet Thiozwavelzuur Waterstofthiosulfaat
Chemie
24
Chloor (Cl)
HClO4 HClO3 HClO2 HClO
Broom (Br)
HBrO4 HBrO3 HBrO2 HBrO
Iood (I)
HIO4 HIO3 HIO2 HIO
Perchloorzuur Waterstofperchloraat Chloorzuur Waterstofchloraat Chlorigzuur Waterstofchloriet Hypochlorigzuur Waterstofhypochloriet Perbroomzuur Waterstofperbromaat Broomzuur Waterstofbromaat Bromigzuur Waterstofbromiet Hypobromigzuur Waterstofhypobromiet Perioodzuur Waterstofperiodaat Ioodzuur Waterstofiodaat Iodigzuur Waterstofiodiet Hypoiodigzuur Waterstofhypoiodiet
ClO4-
Perchloraat(ion)
ClO3-
Chloraat(ion)
ClO2-
Chloriet(ion)
ClO-
Hypochloriet(ion)
BrO4-
Perbromaat(ion)
BrO3-
Bromaat(ion)
BrO2-
Bromiet(ion)
BrO-
Hypobromiet(ion)
IO4-
Periodaat(ion)
IO3-
Iodaat(ion)
IO2-
Iodiet(ion)
IO-
Hypoiodiet(ion)
Er bestaan ook enkele oxozuren die een metaal bevatten i.p.v. een niet-metaal. Deze staan in volgende tabel. Hieraan is ook azijnzuur toegevoegd dat een organisch zuur is, zodat de structuur enigszins afwijkt van de andere zuren Tabel 3 Oxozuren met afwijkende samenstelling. Atoom Formule in de zuurrest Mangaan HMnO4 (Mn) Chroom H2CrO4 (Cr)
Koolstof (C)
Naam
Zuurrest
Permangaanzuur MnO4Waterstofpermanganaat Chroomzuur HCrO4Waterstofchromaat CrO42H2Cr2O7 Dichroomzuur HCr2O7Waterstofdichromaat Cr2O72CH3COOH Azijnzuur CH3COOWaterstofacetaat
Chemie
Naam van de zuurrest Permanganaat(ion) Waterstofchromaat(ion) Chromaat(ion) Waterstofdichromaat(ion) Dichromaat(ion) Acetaat(ion)
25
B. Hydroxiden en basen.
B.1. Hydroxiden. Hydroxiden zijn verbindingen van een positief geladen metaalion en één of meerdere OH-groepen. De OH-groep noemt men de hydroxide-groep. Deze is éénwaardig negatief geladen (OH-). Naamgeving van de hydroxiden: naam van het metaal + hydroxide. Het aantal OH-groepen wordt bepaald door de lading van het metaalion. Indien meerdere hydroxiden van eenzelfde metaal bestaan (omdat er meerdere ladingen van dit metaal bestaan) moet ofwel de lading (oxidatietoestand) van het metaal of het aantal OH-groepen vermeld. Onderstaande tabel geeft enkele voorbeelden. Tabel 4 Enkele metaalhydroxiden. Formule NaOH Ba(OH)2 Fe(OH)2 Fe(OH)3 Al(OH)3
Naam Natriumhydroxide Bariumhydroxide Ijzer(II)hydroxide* Ijzerdihydroxide Ijzer(III)hydroxide Ijzertrihydroxide Aluminiumhydroxide
* uitgesproken: ijzertweehydroxide.
B.2. Verschil tussen base en hydroxide. Zoals hierboven aangegeven werd worden hydroxiden gekarakteriseerd door de aanwezigheid van de OH-groep in de formule. Basen daarentegen worden gedefinieerd op basis van hun scheikundige eigenschappen. Basen zijn in staat vetten te hydrolyseren, geven een bepaalde kleur aan zuur-baseindicatoren en verhogen de pH. Sommige hydroxiden gedragen zich als basen, andere niet. Er bestaan eveneens moleculen die basen zijn maar niet de typische formule van een hydroxide hebben. Ammoniak (NH3) is daarvan een voorbeeld. De hydroxiden van de metalen van de groepen I en II gedragen zich als basen, de andere niet. Tabel 5 Enkele voorbeelden van basen en hydroxiden. Verbinding Natriumhydroxide Ijzer(II)hydroxide Ammoniak Calciumhydroxide
Behoort tot… Basen Hydroxiden (is geen base) Basen Basen
Chemie
26
Met de meeste hydroxiden en basen kan een positieve groep geassocieerd worden, namelijk het positief geladen metaalion. Bij ammoniak (NH3) is dit het ammoniumion (NH4+). Dit is belangrijk bij de bespreking van de zouten.
B.3. Zouten. Zouten zijn samengesteld uit een positieve groep (metaal- of ammoniumion) en een negatieve groep (zuurrest). Het aantal van elk van deze groepen moet zodanig zijn dat de verbinding neutraal is. Men kan de vorming van de zouten beschrijven als het vervangen van één of meerdere zure waterstoffen van een zuur door een positieve groep. Zouten die zodanig gevormd zijn dat niet alle zure waterstofatomen uit het zuur vervangen zijn, noemt men zure zouten. Naamgeving: naam van de positieve groep + naam van de zuurrest. Indien nodig moet het aantal van de verschillende groepen aangegeven worden. Volgende tabel geeft een aantal voorbeelden. Tabel 6 Enkele voorbeelden van zouten met hun naam. Formule KCl Na2SO4 NaHSO4 Ca3(PO4)2 NH4Cl FeSO4 Fe2(SO4)3 NaH2PO4
Naam kaliumchloride natriumsulfaat natriumwaterstofsulfaat calciumfosfaat ammoniumchloride ijzer(II)sulfaat ijzer(III)sulfaat natriumdiwaterstoffosfaat
Alternatieve naam
monoijzermonosulfaat diijzertrisulfaat
B.4. Oxiden. Oxiden zijn verbindingen van een atoom met zuurstof. Van de meeste atomen bestaan één of meerdere oxiden. Zij ontstaan bvb. tijdens een verbranding. Naamgeving: naam van het atoom + oxide. Indien meerdere oxiden van eenzelfde atoom gekend zijn moet, bij middel van de oxidatietoestand van het atoom of de samenstelling van het oxide, aangegeven worden over welk oxide het gaat. Men maakt een onderscheid tussen metaaloxiden en niet-metaaloxiden. Voor de metaaloxiden is de formule gemakkelijk af te leiden uit de lading van het metaalion. Wat de niet-metalen betreft zullen we hier enkel de oxiden gebruiken waarin het nietmetaal dezelfde oxidatietoestand heeft als in de te kennen oxozuren
Chemie
27
Tabel 7 Enkele voorbeelden van metaaloxiden Groep groep I groep II groep III overgangsatomen
Formule Na2O MgO Al2O3 MnO2 FeO Fe2O3 HgO
Naam natriumoxide magnesiumoxide aluminiumoxide mangaan(IV)oxide ijzer(II)oxide ijzer(III)oxide kwik(II)oxide
mangaandioxide monoijzermonooxide diijzertrioxide monokwikmonooxide
Tabel 8 Enkele voorbeelden van niet-metaaloxiden met het overeenkomende oxozuur Groep groep IV groep V groep VI groep VII
Formule CO2 N2O5 SO2 SO3 Cl2O7
Naam koolstof(IV)oxide stikstof(V)oxide zwavel(IV)oxide zwavel(VI)oxide chloor(VII)oxide
Naam koolstofdioxide distikstofpentaoxide zwaveldioxide zwaveltrioxide dichloorheptaoxide
Oxozuur H2CO3 HNO3 H2SO3 H2SO4 HClO4
Tabel 9 Enkele andere bestaande niet-metaaloxiden. Groep
groep I groep IV groep V groep VIII
Formule H2O CO N2O XeO3
Naam
(waterstofoxide) koolstof(II)oxide stikstof(I)oxide xenon(VI)oxide
water koolstofmonooxide distikstofmonooxide xenontrioxide
3. Oefeningen 1. Geef de naam van de volgende verbindingen: FeO, K2Cr2O7, As2S3, Ba(NO3)2, KClO3, AgCl, LiOH, KNO2, H2S, KMnO4. 2. Geef de formule van de volgende verbindingen: Aluminiumoxide, koper(I)sulfaat, dikopersulfaat, natriumnitriet, ijzer(III)oxide, tin(IV)chloride, bariumcarbonaat, ammoniumchloride, distikstoftrioxide, kaliumwaterstofsulfaat. 3. Geef van elk van de vorige verbindingen aan tot welke groep ze behoren: binair zuur, oxozuur, metaaloxide, niet-metaaloxide, hydroxide, base, zout, zuur zout.
Chemie
28
Hoofdstuk 5. Het gedrag van verbindingen. 1. Inleiding. Bij de studie van het gedrag van verbindingen kunnen twee situaties beschreven worden, het gedrag van zuivere verbindingen (zuiver water, keukenzout, een staaf ijzer bvb.) of het gedrag van mengsels (een oplossing van zout in water, een legering van ijzer en zink enz.). Het gedrag van een zuivere stof gaat vooral over de aggregatietoestanden (vast, vloeibaar en gasvormig) en de overgangen ertussen (kookpunt, smeltpunt e.d.). Zo kan men bvb proberen te verklaren waarom water een veel hoger kookpunt heeft dan methaan. De bespreking van zulke problemen maakt deel uit van de stof die tijdens de cursus in het eerste jaar wordt gegeven en zal hier niet verder behandeld worden. Wat we in dit hoofdstuk zullen bespreken is wat er gebeurt wanneer chemische verbindingen in contact worden gebracht met water.
2. Water. Water is een belangrijke verbinding. In de natuur is water het oplosmiddel waarin veel chemische reacties gebeuren. Dit is niet alleen het geval in het water van rivieren en oceanen maar ook in het water dat deel uitmaakt van cellen, organen en weefsels. Ook in het chemisch laboratorium en in de industrie is water een veel gebruikt oplosmiddel. De chemie van het eerste jaar beperkt zich bijna volledig tot systemen waarbij water het oplosmiddel is. Organische solventen worden pas later gebruikt. Bij de studie van het gedrag van verbindingen in water zullen twee aspecten behandeld worden: de oplosbaarheid en het elektrolytgedrag. Deze twee begrippen zijn niet onafhankelijk. Het elektrolytgedrag gaat over het feit of een verbinding in een waterige oplossing al dan niet ionen vormt. Het is duidelijk dat om dit te kunnen doen de verbinding eerst in water moet kunnen opgelost worden.
3. Oplosbaarheid. De oplosbaarheid wordt gedefinieerd als de maximale hoeveelheid die men van een verbinding kan oplossen in een welbepaalde hoeveelheid oplosmiddel (water) bij een welbepaalde temperatuur. De oplosbaarheid kan uitgedrukt worden in gram per liter (g/l) of een andere concentratieëenheid. De waarde van de oplosbaarheid is voor elke verbinding anders en varieert van zeer kleine tot zeer grote waarden. Alhoewel in de cursus Chemie en Chemische technologie deze waarden zullen gebruikt worden, zullen hier de verbindingen ingedeeld worden in twee groepen: slecht oplosbare en goed oplosbare verbindingen. De slecht oplosbare verbindingen (soms ook onoplosbaar genoemd) zijn al die verbindingen waarvan de oplosbaarheid lager ligt dan een bepaalde waarde (bvb 1 g/l), de goed oplosbare verbindingen zijn deze waarvan de oplosbaarheid hoger ligt. Volgende tabel geeft de oplosbaarheden van de verbindingen die we het meest zullen gebruiken. In deze tabel hebben de hoger geplaatste regels voorrang op de lager geplaatste. Chemie
29
Tabel 1 Oplosbaarheid van verbindingen in water 1. Alle natrium, kalium en ammoniumzouten en alle nitraten zijn goed oplosbaar. 2. Alle zilver, lood(II) en Hg22+ zouten zijn weinig oplosbaar behalve de nitraten (hoger). 3. Alle (per)chloraten, acetaten, chloriden, bromiden en iodiden zijn goed oplosbaar behalve uitzonderingen (hoger). 4.Alle carbonaten, sulfiden en fosfaten zijn weinig oplosbaar behalve uitzonderingen (hoger). 5. Alle metaaloxiden en hydroxiden zijn slecht oplosbaar behalve die van natrium, kalium, lithium. 6. Alle sulfaten zijn oplosbaar behalve van calcium en barium en de hoger vermelde ionen.
4. Elektrolytgedrag. Een verbinding die oplost in water kan ofwel onder zijn moleculaire vorm blijven bestaan ofwel in ionen splitsen. Een molecule die niet in ionen splitst noemt men een nietelektrolyt. Suiker is daarvan een voorbeeld. Een verbinding die wel in ionen splitst noemt men een elektrolyt. Elektrolyten kunnen verder opgesplitst worden in zwakke elektrolyten en sterke elektrolyten. Bij zwakke elektrolyten zullen slechts enkele van de moleculen in ionen splitsen terwijl het grootste gedeelte (meer dan 90 % bvb.) onder moleculaire vorm blijft bestaan. Sterke elektrolyten zijn verbindingen die volledig in ionen splitsen zodat de concentratie van ionen in zulke oplossingen hoog kan zijn. Het verschil tussen deze situaties kan gemeten worden met de geleidbaarheid van de oplossing. Een oplossing van een niet-elektrolyt geleidt de elektrische stroom niet en een oplossing van een zwak elektrolyt slechts weinig. Een oplossing van een sterk elektrolyt geleidt de stroom bijzonder goed.
A. Elektrolytgedrag van zuren. Zuren zijn over het algemeen goed oplosbaar in water. De meeste zuren zijn zwakke elektrolyten. Zij worden daarom ook zwakke zuren genoemd. Slechts enkele zuren zijn sterke elektrolyten en deze worden sterke zuren genoemd. Volgende tabel geeft aan welke zuren sterk zijn. Alle andere zijn zwak. Tabel 2 De sterke zuren Volgende zuren zijn sterke zuren (sterke elektrolyten): HI, HBr, HClO4, HCl, H2SeO4, H2SO4, HMnO4, HNO3, H2CrO4, HClO3
Chemie
30
B. Elektrolytgedrag van hydroxiden en basen. De meeste metaalhydroxiden zijn slecht oplosbaar en kunnen daarom ook weinig ionen vormen in oplossing. De goed oplosbare hydroxiden (NaOH, LiOH, KOH) zijn dan ook sterke elektrolyten. Ammoniak (NH3) is een goed oplosbare verbinding maar is een zwak elektrolyt.
C. Elektrolytgedrag van zouten. Bij de zouten komt het elektrolygedrag overeen met de oplosbaarheid. Goed oplosbare zouten zijn sterke elektrolyten, slecht oplosbare zouten zijn zwakke elektrolyten.
D. Elektrolytgedrag van oxiden. Oxiden die in water oplossen reageren over het algemeen ook met water tot vorming van hydroxiden of zuren (zie volgend hoofdstuk). Hoeveel ionen er daarbij gevormd worden hangt af van het elektrolytgedrag van de gevormde verbinding.
Chemie
31
Hoofdstuk 6. Chemische reacties. 1. Definitie. Een chemische reactie is een proces waarbij uit één of meerdere deeltjes (moleculen of atomen) nieuwe deeltjes gevormd worden. Een chemische reactie kan eenvoudig zijn maar ook zeer complex. De deeltjes waarmee het proces start worden de reagentia genoemd (enkelvoud: reagens), de deeltjes die tijdens het proces ontstaan worden producten genoemd. Een chemisch proces wordt meestal als volgt weergegeven: Reagentia Produkten
2. Wet van behoud van materie. Tijdens een chemische reactie gaat geen materie verloren en wordt geen nieuwe materie gevormd. Men noemt dit de wet van behoud van materie. Dit betekent dat alle atomen die voor reactie aanwezig waren, na de reactie (meestal onder de vorm van andere verbindingen) teruggevonden worden.
3. De reactievergelijking. In de reactievergelijking wordt aangegeven welke deeltjes (verbindingen) met elkaar reageren, welke produkten gevormd worden en in welke verhouding dit gebeurt. De reactievergelijking moet zodanig geschreven worden dat ze voldoet aan de wet van behoud van materie. Het aantal atomen aanwezig onder de vorm van produkten moet gelijk zijn aan het aantal atomen in de reagentia. Wanneer dit zo is dan zegt men dat de reactievergelijking in balans is. Het in balans brengen van een reactievergelijking gebeurt door gebruik te maken van stoechiometrische coëfficiënten. Dit zijn de getallen die voor de molecuulformules geschreven worden in de reactievergelijking. Onderstaand voorbeeld illustreert dit. Voorbeeld 1 De reactievergelijking voor de synthese van ammoniak. Ammoniak is een belangrijke chemische verbinding die wordt gemaakt uit waterstofgas en stikstofgas in het zogenaamde Haber-proces. Het proces kan als volgt geschreven worden: N2 + H2 NH3 In deze vergelijking staan links en rechts niet evenveel waterstof- of stikstofatomen. Het toevoegen van de coëfficiënten brengt de vergelijking in balans: N2 + 3 H2 2 NH3
Chemie
32
4. Soorten chemische reacties. Algemeen kunnen chemische reacties onderverdeeld worden in twee belangrijke groepen: reacties waarbij de oxidatietoestand van de atomen niet verandert en reacties waarbij deze wel verandert. Reacties waarbij de oxidatietoestand van de atomen verandert worden oxidoreductiereacties of redoxreacties genoemd.
A. Reacties zonder verandering van oxidatietoestand.
A.1. Algemeen. Tijdens deze reacties veranderen de oxidatietoestanden van de betrokken atomen niet. Dit is een gegeven dat moet gebruikt worden om de correctheid van de reactievergelijking na te gaan. Bovendien laat het in een aantal gevallen toe te voorspellen welke verbindingen zullen gevormd worden tijdens de reactie. Bij de reacties met de oxiden bvb is dit heel duidelijk (zie verder).
A.2. Reacties met oxiden. (1)Algemeen
Bij de reacties met oxiden zijn geen geladen deeltjes (ionen) betrokken. In die zin zijn ze verschillend van de volgende reacties (zoals tussen zuren en basen) waarbij ionen met elkaar zullen reageren. (2)Oxiden met water (a)Metaaloxiden
Algemeen: oxiden van alkali- en aardalkalimetalen (groep IA en IIA) reageren met water tot vorming van hydroxiden. Men noemt ze basevormende oxiden. De andere oxiden reageren niet. Voorbeeld 2 Reacties van metaaloxiden met water. Na2O + H2O ⇒ 2 NaOH Fe2O3 + H2O ⇒ geen reactie. (b)Niet-metaaloxiden.
Algemeen: de reactie van een niet-metaaloxide met water levert een oxozuur op. Men noemt deze oxiden daarom zuurvormende oxiden. De oxidatoetoestand van het nietmetaal verandert niet tijdens de reactie. Dit maakt het mogelijk te kiezen tussen de verschillende oxozuren die van een niet-metaal kunnen bestaan. Voorbeeld 3 Reacties van niet-metaaloxiden met water. SO3 + H2O ⇒ H2SO4 (en niet H2SO3).
Chemie
33
P2O5 + H2O ⇒ 2 H3PO4 Zoals blijkt uit uit de vorige voorbeelden kunnen niet-metaaloxiden geassocieerd worden met een overeenkomend oxozuur. Voor de metaaloxiden kan met dat eveneens doen met hydroxiden, alhoewel sommige niet met water reageren. Men kan bvb. Fe2O3 (in gedachten) associëren met Fe(OH)3, ondanks het feit dat het niet met water reageert. Dit gegeven is belangrijk in de volgende reacties om te begrijpen hoe oxiden met andere verbindingen reageren. (3)Oxiden met oxiden.
Algemeen: metaaloxiden reageren met niet-metaaloxiden tot vorming van zouten. De zuurrest van het zout is afgeleid van de zuurrest van het oxozuur dat afkomstig is van het niet-metaaloxide. Voorbeeld 4 Reactie van oxiden onderling. Na2O + SO3 ⇒ Na2SO4 (4)Oxiden met zuren.
Algemeen: metaaloxiden reageren met een zuur tot vorming van een zout en water. Voorbeeld 5 Reactie van een oxide met een zuur. Na2O + 2 HCl ⇒ 2 NaCl + H2O Fe2O3 + 6 HCl ⇒ 2 FeCl3 + 3 H2O Opmerking: deze reactie gaat op voor alle metaaloxiden, in tegenstelling hun reactie met water. (5)Oxiden met hydroxiden.
Algemeen: niet-metaaloxiden reageren met hydroxiden tot vorming van zouten en water. De zuurrest van het zout is afgeleid van de zuurrest van het oxozuur dat afkomstig is van het niet-metaaloxide. Voorbeeld 6 Reacties van oxiden met hydroxiden. SO3 + Ca(OH)2 ⇒ CaSO4 + H2O
A.3. Thermolysereacties. Algemeen: Thermolysereacties zijn reacties waarbij verbindingen onder invloed van warmte ontbonden worden. Deze reacties mogen niet verward worden met verbrandingsreacties waarbij zuurstof een reagens is en waarbij warmte vrijkomt. De thermolyse van zouten, oxozuren en hydroxiden geeft de overeenkomende metaal- en/of niet-metaaloxiden en eventueel water. Deze reacties kunnen beschouwd worden als de Chemie
34
omgekeerde reacties van de hierboven beschreven reacties van oxiden met oxiden en oxiden met water. Voorbeeld 7 Thermolyse reacties CaCO3 + warmte ⇒ CaO + CO2 Cu(OH)2 +warmte ⇒ CuO + H2O H2CO3 + warmte ⇒ CO2 + H2O Opm.: de oxidatietoestanden van de betrokken atomen veranderen niet.
A.4. Metathesereacties. (1)Inleiding.
Metathesereacties zijn reacties die optreden omdat de ionen die in het reactiemidden (een waterige oplossing) gebracht worden met elkaar binden tot vorming van een nieuwe verbinding. Deze verbinding kan een neerslag zijn, een zwak elektrolyt of kan eventueel onder de vorm van een gas uit de oplossing verdwijnen. Zulke reacties gaan enkel op indien er inderdaad zo een nieuwe verbinding gevormd wordt. Indien dit niet gebeurt, is er geen reactie en blijven de ionen gewoon naast elkaar in de oplossing bestaan. Heel algemeen kunnen deze reacties als volgt geschreven worden:
AB + CD ⇒ AD + CB Zoals blijkt uit deze vergelijking worden de twee negatieve groepen, voorgesteld door B en D (t.t.z. zuurresten of OH--groepen) gewoon van plaats verwisseld. De reactie gaat op indien minstens één van de vermelde verbindingen (AD en/of CB) ook daadwerkelijk gevormd wordt. Wanneer dit niet het geval is wordt de reactie herschreven als:
AB + CD ⇒ geen reactie (2)Reacties waarbij een neerslag gevormd wordt.
Bij deze reacties worden meestal onoplosbare zouten gevormd. Deze zouten worden gevormd door het combineren van de ionen die voor de reactie aanwezig waren tot een onoplosbare verbinding.
Chemie
35
Voorbeeld 8 Reacties waarbij een neerslag gevormd wordt 1. Reactie van zilvernitraat met natriumchloride AgNO3 + NaCl ⇒ AgCl + NaNO3 Deze reactie gaat op omdat zilverchloride onoplosbaar is 1. Reactie van kaliumnitraat met natriumchloride KNO3 + NaCl ⇒ geen reactie want KCl en NaNO3 zijn beide goed oplosbaar 3. Reactie van kaliumhydroxide met ijzer(III)chloride. 3 KOH + FeCl3 ⇒ Fe(OH)3 + 3 KCl Deze reactie gaat op omdat ijzertrihydroxide onoplosbaar is
(3)Reacties waarbij een zwak elektrolyt gevormd wordt.
Zulke reacties gaan op omdat een zwak zuur of water gevormd wordt. Merk op dat de slecht oplosbare zouten in de vorige paragraaf ook zwakke elektrolyten zijn. Voorbeeld 9 Vorming van zwakke elektrolyten 1. Reactie van ijzer(II)sulfide met waterstofchloride FeS + 2 HCl ⇒ FeCl2 + H2S Deze reactie gaat op omdat waterstofsulfide een zwak elektrolyt is. 2. Reactie van natriumhydroxide met salpeterzuur NaOH + HNO3 ⇒ NaNO3 + H2O Deze reactie gaat op omdat water een zwak elektrolyt is (4)Reacties waarbij gassen gevormd worden.
Dit zijn reacties waarbij één van de gevormde produkten H2CO3 of H2SO3 is. Deze zuren zijn bijzonder onstabiel en zullen reeds bij kamertemperatuur ontbinden (thermolyseren). Zij vormen dan resp. CO2 + H2O en SO2 + H2O. Voorbeeld 10 Vorming van gassen. 1. Natriumcarbonaat met waterstofchloride Na2CO3 + 2 HCl ⇒ 2 NaCl + H2O + CO2↑ (en niet 2 NaCl + H2CO3) 2. Kaliumsulfiet met zwavelzuur. K2SO3 + H2SO4 ⇒ K2SO4 + H2O + SO2 ↑ Een bijzonder geval van deze reacties zijn de reacties met ammoniumzouten en basen. Bij zulke reacties wordt het gas ammoniak gevormd (en niet ammoniumhydroxide, dat niet bestaat). Chemie
36
Voorbeeld 11 De vorming van ammoniak Reactie van ammoniumchloride met kaliumhydroxide. NH4Cl + KOH ⇒ KCl + NH3 + H2O (en niet NH4OH). (5)De essentiële reactievergelijking.
Wanneer een metathesereactie opgaat zullen sommige ionen deelnemen aan de reactie om een neerslag, een zwak elektrolyt of een gas te vormen. Andere ionen die in de oplossing aanwezig zijn nemen niet deel aan de eigenlijke reactie. Dikwijls noemt men ze toeschouwerionen. De essentiële reactievergelijking is een vergelijking waarin de toeschouwerionen niet voorkomen. Het is een reactievergelijking waarin enkel de actief aan de reactie deelnemende ionen (of verbindingen) vermeld worden. Wanneer men aan de hand van bovenstaande regels de molecuulvergelijking heeft opgesteld kan men hieruit gemakkelijk de essentiële vergelijking bekomen. Men doet dit door alle moleculen die sterke elektrolyten zijn te splitsen in ionen en vervolgens de ionen die links en rechts voorkomen te schrappen. Molecuulformules van verbindingen die zwakke elektrolyten zijn of slecht oplosbaar, blijven gewoon staan (zowel links als rechts van de reactiepijl). Voorbeeld 12 Het schrijven van een essentiële vergelijking Reactie van zilvernitraat met natriumchloride Molecuulvergelijking: AgNO3 + NaCl ⇒ AgCl + NaNO3 Tussenstap: Ag+ + NO3- + Na+ + Cl- ⇒ AgCl + Na+ + NO3Essentiële vergelijking: Ag+ + Cl- ⇒ AgCl Merk op dat reacties die niet opgaan ook geen essentiële vergelijking hebben.
B. Reacties met verandering van oxidatietoestand.
B.1. Inleiding Van de chemische reacties waarbij een verandering van oxidatietoestand optreedt zijn de verbrandingsreacties en de reacties van onedele metalen met zuren, deze waarvan de reactievergelijking op een eenvoudige manier kan geschreven worden. Deze worden hier dan ook in de eerste plaats behandeld. Van andere oxidoreductiereacties vergt het bepalen van de reactievergelijking het gebruik van een techniek bestaande uit verschillende stappen. Dit wordt behandeld in de cursus zelf.
B.2. Verbrandingsreacties. Verbrandingsreacties zijn reacties van verbindingen of atomen met zuurstof (O2). Alhoewel in werkelijkheid verbrandingsreacties zeer complex kunnen zijn, zullen we hier veronderstellen dat bij deze reacties van elk atoom dat in de verbinding aanwezig was een oxide gevormd wordt. Indien verschillende oxiden van een atoom bestaan wordt steeds het oxide met de hoogst mogelijke oxidatoetoestand van het atoom gevormd.. Chemie
37
Voorbeeld 13 Enkele verbrandingsreacties. 1 Verbranding van ijzer 4 Fe + 3 O2 ⇒ 2Fe2O3 2. Verbranding van methaan (CH4) CH4 + 2 O2 ⇒ CO2 + 2 H2O 3 Verbranding van C6H5NO2Cl 4 C6H5NO2Cl + 37 O2 ⇒ 24 CO2 + 10 H2O + 2 N2O5 + 2 Cl2O7 Opmerking: omdat bij de verbranding geen ionen betrokken zijn, heeft deze reactie geen essentiële vergelijking.
B.3. Reacties van onedele metalen met een zuur. Onedele metalen reageren met een zuur tot vorming van een zout en waterstofgas (H2). Dit gas ontsnapt uit het reactiemengsel. Voorbeeld 14 Zink reageert met waterstofchloride Zn + 2 HCl ⇒ ZnCl2 + H2↑ De essentiële reactie is: Zn + 2 H+ ⇒ Zn2+ + H2↑ Opmerking: edele metalen (Au, Pt, Ag) en halfedele metalen (Cu, Hg) reageren op een andere manier met zuren. Deze reacties behoren tot de complexe oxidoreductiereacties (zie verder).
5. Oefeningen. Schrijf van de volgende reacties de reactievergelijking. Geef, indien van toepassing, ook de essentiële vergelijking. 1. Zwavelzuur met natriumsulfide. 2. Calciumoxide met zwaveltrioxide. 3. Lithiumoxide met zwavelzuur. 4. Thermolyse van aluminiumcarbonaat. 5. Ammoniumchloride met kaliumhydroxide. 6. Zilversulfiet met waterstofchloride. 7. Thermolyse van koper(I)sulfaat. 8. Aluminiumoxide met waterstofchloride. 9. Reactie van chloorzuur op zink. 10. Aluminiumoxide met waterstoffosfaat. 11. Reactie van perchloorzuur op magnesium. 12. Aluminiumcarbonaat met zwavelzuur. 13. Lood(II)nitraat met kaliumchloride. 14. Oplossen van zwaveldioxide in water. Chemie
38
15. Thermolyse van koper(II)fosfaat. 16. Het oplossen van koolstofdioxide in een oplossing kaliumhydroxide. 17. Reactie van natriumhydroxide met waterstofarsenaat. 18. Het oplossen van lithiumoxide in water. 19. De verbranding van C4H4S 20. De reactie van natriumsulfaat met bariumnitraat.
Chemie
39
Related Documents
Document Inhoud 00_introductiecursus_a4 Def3.pdf
June 2020 6
Wiskunde Inhoud
November 2019 22
Inhoud Hoekenkaarten
April 2020 6
Pdf 0 Inhoud
November 2019 4
Werkblaadje Inhoud Derde Leerjaar
November 2019 16
Stappenplan Naar Elo-inhoud
October 2019 12More Documents from ""
Document Inhoud 00_introductiecursus_a4 Def3.pdf
June 2020 6
Word Pad
June 2020 11
2025
July 2020 18
