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Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

2 2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO 2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON 2.3 2.4

FUNCIONES CONTINUIDAD EN UN INTERVALO TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO

OBJETIVOS: • Definir formalmente continuidad de una función de una variable real en un punto y en un intervalo. • Realizar demostraciones formales de continuidad. • Construir funciones continuas.

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Cap. 2 Continuidad de funciones

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Hasta aquí nos hemos dedicado a estudiar el comportamiento de una función en la cercanía de un punto; ahora nos proponemos definir su comportamiento justamente en el punto.

2.1 CONTINUIDAD EN UN PUNTO El término continuo aplicado a una función de variable real sugiere que su gráfica no debe presentar saltos; es decir, que al trazar su gráfica no se requiera alzar la mano. Esto en términos formales sería: 2.1.1 DEFINICIÓN

Sea f una función de una variable real definida en un intervalo abierto (a, b) y sea x0 ∈ (a, b) . f es continua en " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 ) . Es x→ x0

decir, si se cumplen tres cosas: 1. f ( x0 ) está definida 2. lím f ( x) = L (existe); y x→ x 0

3. L = f ( x0 ) Caso contrario, se dice que f es discontinua en " x0 " Ejemplo Una función continua en un punto x0

Como ejemplos de funciones discontinuas en un punto x0 , tenemos:

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Ejemplo 1

La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe x → x0

Ejemplo 2

La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) no existe x → x0

Ejemplo 3

La función no es continua en x0 , debido a que lím f ( x) ≠ f ( x 0 ) x→ x

0

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Para el caso del ejemplo 1 y del ejemplo 2, se dice que hay una discontinuidad esencial. Y para el caso del ejemplo 3 se dice que es una discontinuidad removible, porque sería cuestión de definir a f en el punto " x0 " con el valor de L para tener ya una función continua en ese punto. A propósito, observe que sólo en este caso el límite existe. Ejemplo 4 x 2 + 5x − 6 no está definida en x = 1 y su gráfica es la de f ( x) = x + 6 ; x ≠ 1 que x −1 no es continua en x = 1 . (tiene un hueco) f ( x) =

⎧ x 2 + 5x − 6 ;x ≠1 ⎪ Definiéndola continua tenemos f ( x) = ⎨ x − 1 ⎪ 7 ;x =1 ⎩

Ejemplo 5 Determine el valor de " A ", de ser posible, para que

⎧ x2 − 4 ⎪ ;x ≠ 2 f ( x) = ⎨ x − 2 ⎪A ;x = 2 ⎩

sea continua en x = 2 . SOLUCIÓN: Para que f sea continua en x = 2 será cuestión de definirla en este punto con el valor de lím f ( x) si es x→ 2

que existe; es decir, hacer que A = f (2) = lím f ( x) . x→ 2

Calculando el límite tenemos:

(x − 2)(x + 2) = lím (x + 2) = 4 . x2 − 4 = lím x→2 x − 2 x→2 x→2 x−2 lím

Por tanto A = 4

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Ejemplo 6 Calcular el valor de “ A ", de ser posible, para que

⎧ e2x − 1 ⎪ ;x ≠ 0 f ( x) = ⎨ x ⎪A ;x = 0 ⎩

sea continua en x = 0 . SOLUCIÓN:

La función está definida para todo número real excepto x = 0 . El asunto será definirla en este punto con el valor de lím f ( x) si es que existe; es decir, A = f (0) = lím f ( x) . x →0

x→0

Calculando el límite tenemos:

e 2x − 1 =2. x →0 x lím

Por tanto A = 2

Ejercicios Propuestos 2.1 1.

Grafique las funciones dadas y determine los puntos de discontinuidad.

⎧ 1 ⎪

x 2 − 16 x−4 2 ⎪⎧( x + 2 ) ; x ≠ −2 2. f ( x ) = ⎨ ; x = −2 ⎪⎩ 2 1. f ( x) =

⎪⎩ x − 1 ; x < 2

⎧ 1 ⎪⎪ x + 1 ; x < 0 7. f ( x ) = ⎨ ⎪ 1 ;x ≥ 0 ⎩⎪ x − 1

⎧x2 ; x < 0 ⎪⎪ 3. f ( x) = ⎨− x ;0 ≤ x ≤ 1 ⎪x ;x >1 ⎪⎩

2.

4.

⎧ 2 − 3x ⎪ f ( x) = ⎨ 5 ⎪ x2 − 2 x + 3 ⎩

5.

⎧1 + 2 x − x f ( x) = ⎨ ⎩2 x − 5

2

8.

f ( x) = μ ( x − 2) + Sgn( x + 2) ⎡

; x ≤ −1

9. f ( x ) = ⎢ x +

; x > −1

10.

;x ≤ 3

11.

1⎤ ⎥ 2⎦

⎣ f ( x) = x − x

[ ]

f ( x) = ⎡⎣ sen x ⎤⎦ ; x ∈ ( −2π , 2π )

;x > 3

Calcular el valor de " A ", de ser posible, para que f sea continua en todo R

⎧ 3− x ⎪

1. f ( x) = ⎨ x 2 − 9

;x ≥ 2

6. f ( x ) = ⎨ x − 1

;x ≠ 3

⎪A ;x = 3 ⎩ ⎧ x−2 −2 ;x≠6 ⎪ 2. f ( x ) = ⎨ x − 6 ⎪ A ;x = 6 ⎩

⎧ 2x2 + x − 3 ; x ≠1 ⎪ 3. f ( x ) = ⎨ 3 x − 1 ⎪ A ; x =1 ⎩

.

⎧ 3+ 3 x −2 ⎪ ;x ≠1 4. f ( x ) = ⎨ x −1 ⎪ A ;x =1 ⎩ 5.

⎧ sen x ;x ≠ 0 ⎪ f ( x) = ⎨ x ⎪A ;x = 0 ⎩

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2.2 CONTINUIDAD EN OPERACIONES CON FUNCIONES Si operamos funciones se obtienen nuevas funciones cuya continuidad se la puede determinar haciendo uso del siguiente teorema. 2.2.1 TEOREMA

Sean f y g funciones de variable real continuas en el punto " x0 ", entonces también lo serán: k f , f + g , f − g , f .g , f g

( g ( x0 ) ≠ 0) , f n , n f ( f ( x0 ) > 0

si n es par

)

Demostración. Demostremos lo siguiente:

"Si f y g son funciones continuas en el punto " x 0 " entonces

f + g también es continua en " x 0 "

Las hipótesis serían H 1: lim f ( x) = f ( x0 ) x → x0

y

H 2: lim g ( x ) = g ( x0 ) x → x0

Como lim [ f ( x) + g ( x) ] = lim f ( x) + lim g ( x) x → x0

x → x0

x → x0

entonces

lim [ f ( x) + g ( x) ] = f ( x0 ) + g ( x0 )

x → x0

Es decir

C : lim ⎡⎣( f + g ) ( x) ⎤⎦ = ( f + g ) ( x0 ) x → x0

Lo cual indica que la función f + g también es continua en " x0 "

Las demostraciones del resto del teorema se la dejamos como ejercicio al lector. Se puede hacer analogía con el teorema principal de límites si surge la interrogante de saber lo que ocurre con el recíproco del teorema, es decir, que si tenemos una función suma (u otra, resultado de las operaciones indicadas) se podría decir que las funciones que la formaron son también continuas. Para el caso de la función compuesta tenemos.

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2.2.2 TEOREMA DEL LÍMITE DE LA COMPOSICIÓN.

Sean f y g funciones de variable real. Si g es continua en " x0 " y f continua en g ( x0 ) entonces f D g es continua en " x0 " Demostración. Tenemos las siguientes hipótesis: H1 : g es continua en x0 , es decir lim g ( x ) = g ( x0 ) , lo cual significa que x → x0

∀ε1 > 0 , ∃∂1 > 0 tal que, si 0 < x − x0 < ∂1 entonces g ( x ) − g ( x0 ) < ε1

H 2 : f es continua en g ( x0 ) , es decir

lim f ( x) = f ( g ( x0 ) ) , lo cual significa que

x → g ( x0 )

∀ε 2 > 0 , ∃∂ 2 > 0 tal que, si 0 < x − g ( x0 ) < ∂ 2 entonces f ( x ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2

En la segunda hipótesis si hacemos x = g ( x ) tenemos: 0 < g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2

En la primera hipótesis, el consecuente de la implicación se cumple si ε1 = ∂ 2 . Considerando las dos hipótesis juntas: ⎡0 < x − x0 < ∂1 ⇒ 0 < g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⎤ ⎣ ⎦

∧

⎡ 0 < g ( x ) − g ( x0 ) < ∂ 2 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε 2 ⎤ ⎣ ⎦

Se cumple que: 0 < x − x0 < ∂1 ⇒ f ( g ( x ) ) − f ( g ( x0 ) ) < ε

O lo que es lo mismo lim f ( g ( x ) ) = f ( g ( x0 ) ) x → x0

Esto indica que f D g es continua en " x0 "

En límites nos interesaba indicar si la función se aproximaba a un punto, en cambio en continuidad estamos interesados, además, en indicar si la función toma el valor correspondiente en ese punto. Esto puede ocurrir en ambas direcciones de acercamiento, como lo acabamos de definir, o en una sola dirección, como lo vamos a decir a continuación.

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2.3 CONTINUIDAD LATERAL 2.3.1 CONTINUIDAD POR DERECHA

Sea f una función de variable real. f es continua por la derecha de " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 )

x → x0 +

Ejemplo

Es decir f , sólo por la derecha de x0 se aproxima y llega a ser f ( x0 ) . 2.3.2 CONTINUIDAD POR IZQUIERDA

Sea f una función de variable real. f es continua por la izquierda de " x0 " si lím f ( x) = f ( x0 )

x → x0 −

Es decir f , sólo por la izquierda de x0 se aproxima y llega a ser f ( x0 ) . Ejemplo

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En conclusión, si f es continua en x0 significa que tanto por derecha como por

izquierda f se aproxima y llegar a ser f ( x0 ) .

Bien lo anterior es sólo en un punto, si la función fuera continua en todo \ , bastaría con decir existe continuidad en todo punto de \ . Es decir:

Sea f una función de variable real. f es continua en \ si ∀x0 ∈ \ ⎡ lím f ( x) = f ( x0 ) ⎤ ⎣⎢ x→ x0 ⎦⎥ Existen funciones que ya se han tratado en cursos anteriores que son continuas en todo \ , como las funciones lineales, las funciones cuadráticas y en general todas las funciones polinomiales, las funciones trigonométricas seno y coseno. Otras funciones en cambio son continuas sólo en intervalos, sería importante aquí indicar lo que ocurre en los extremos del intervalo.

2.4 CONTINUIDAD EN UN INTERVALO 2.4.1 CONTINUIDAD EN (a, b )

Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo abierto (a, b ) si es continua en todo punto interior de (a, b ) . Es decir ∀x0 ∈ ( a, b ) ; lím f ( x) = f ( x0 ) x→ x0

Ejemplo 1 Una función continua en (a, b )

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Ejemplo 2 Otra función continua en (a, b )

2.4.2 CONTINUIDAD EN [a, b]

Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo cerrado [a, b] si es continua en (a, b ) y además continua a la derecha de a ( xlím f ( x) = f (a) ) y a la →a +

izquierda de b ( xlím →b

−

Ejemplo Una función continua en [a, b]

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f ( x) = f (b) ).

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2.4.3 CONTINUIDAD EN [a, b )

Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo semiabierto [a, b) , si es continua en (a, b ) y además continua a la derecha de a . Ejemplo 1 Una función continua en

[a, b)

Ejemplo 2 Otra función continua en

[a, b)

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2.4.4 CONTINUIDAD EN (a, b]

Sea f una función de variable real. f es continua en un intervalo semiabierto (a, b] , si es continua en (a, b ) y además continua a la izquierda de b . Ejemplo 1

Ejemplo 2

Ahora analicemos los siguientes ejercicios resueltos. Ejercicio resuelto 1 ⎧2 x − a ⎪

Hallar los valores de " a " y " b " para que f ( x) = ⎨ax + b ⎪b − 5 x ⎩

sea continua en todo SOLUCIÓN:

70

\.

; x < −3 ;−3 ≤ x ≤ 3 ;x > 3

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Note que las reglas de correspondencia que definen a f son lineales y por tanto f será continua en los respectivos intervalos. Entonces debemos procurar que f sea continua en los puntos donde cambia de regla de correspondencia, es decir en x = −3 y en x = 3 , lo que significa dos cosas:

lím (ax + b) = lím+ (b − 5 x)

lím (2 x − a ) = lím + (ax + b)

x → −3−

x →3−

x → −3

2(3) − a = 3a + b 2a − b = 6

1.

reemplazando el valor de

a

x →3

a (3) + b/ = b/ − 5(3) 3a = −15 a = −5

2.

en la primera ecuación obtenida, resulta:

; x < −3 ⎧2 x + 5 ⎪ Es decir, que la función f ( x) = ⎨− 5 x − 16 ;−3 ≤ x ≤ 3 ⎪− 16 − 5 x ;x > 3 ⎩

2(−5) − b = 6 b = −16

será continua en todo R .

Ejercicio resuelto 2 Analizar la continuidad de la función f ( x) =

9−x x−6

SOLUCIÓN:

9− x ≥0 x−6 Por tanto, f tendrá gráfica sólo en el intervalo (6,9] que será también su intervalo de continuidad.

El asunto aquí es sinónimo de establecer el dominio natural. Entonces debemos resolver

Ejercicio resuelto 3 Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: 1. Dom f = \ es continua en (−∞,−2 ) ∪ (−2,1] ∪ (1,+∞ )

2.

f

3.

∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) − 2 < ε

[

]

4. 5. 6.

∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x + 2 < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M ] ∀M > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒ f ( x) < − M ]

7.

∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x − ∂ < x + 2 < 0 ⇒ f ( x) + 2 < ε

8.

[ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 1 − x < ∂ ⇒

9.

f ( −2) = 1 , f (0) = 1 , f (−1) = 0 , f (3) = 0 , f (2) = 1

f ( x) − 2 < ε

]

]

SOLUCIÓN:

Las condiciones dadas significan: 1. Intervalos de continuidad (−∞,−2 ) ∪ (−2,1] ∪ (1,+∞ ) 2. lím f ( x) = 2 asíntota horizontal y = 2 para x negativos. x → −∞

3.

lím f ( x) = −∞ asíntota vertical x = −2 por derecha

x → −2 +

4. lím f ( x) = ∞ asíntota vertical x = 1 por derecha x →1+

5. lím f ( x) = −∞ x →∞

71

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz 6.

lím f ( x) = −2 límite por izquierda de x = −2

x → −2 −

7. lím f ( x) = 2 límite por izquierda de x = 1 x →1−

8. Puntos que pertenecen a f Por tanto la grafica sería:

Ejercicios Propuestos 2.2 1.

Hallar los valores de " a " y " b " para que f sea continua en R .

⎧x 2 ⎪⎪ 1. f ( x ) = ⎨ax + b ⎪2 x − 6 ⎪⎩

;x ≤1 ;1 < x < 4 ;x ≥ 4

;x ≤1 ⎧x ⎪ 2. f ( x ) = ⎨ax + b ;1 < x < 4 ⎪− 2 x ;x ≥ 4 ⎩

⎧x + 1 ⎪

3. f ( x ) = ⎨ax + b

⎪3 x ⎩

2.

72

⎧ x + 2a ⎪

; x < −1

4. f ( x ) = ⎨ ax + b

; −1 ≤ x < 3 ⎪2ax − 3b ;x ≥ 3 ⎩

5.

;x <1 ;1 ≤ x < 2 ;x ≥ 2

⎧−2sen x ; x ≤ −π 2 ⎪ ⎪ π f ( x) = ⎨a a cos x b + bx ; − < x<π 2 2 ⎪ π ;x ≥ ⎪sen x 2 ⎩

Determine los puntos de discontinuidad de las siguientes funciones: 1. f ( x ) =

sen 2 x x −1

4. f ( x ) =

2. h( x) =

1+ x2 2x + 3

5.

f ( x) =

2 x 3 + x 2 − x + 18 x3 + x 2 − 2 x − 8

x −1 sen 2 x

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

3. f ( x ) =

3.

x 2 + 2x − 8 x 3 + 6 x 2 + 5 x − 12

Sean las funciones:

⎛ x2 + 1 ⎞ f ( x) = sen ⎜ 2 ⎟ ⎝ x −1 ⎠

6.

;x > 0 ;x = 0 ;x < 0

⎧1 ⎪ f ( x) = ⎨0 ⎪− 1 ⎩

g ( x) = 1 + x 2

y

a) ( f D g )(x )

Para que valores de " x ", es continua:

b) (g D f )(x )

f ( x ) = ced x 2 − 2fhg

4. Determine el máximo valor de " k " para que la función:

[3,3 + k )

sea continua en el intervalo

5. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:

f

ƒ

es continua en (−5,2 ) ∪ (2,10

ƒ f (3) = f (10) = 0

]

[

ƒ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x + 5 < ∂ ⇒ f ( x) − 3 < ε

[ ƒ ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 2 < ∂ ⇒

ƒ ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < 2 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M

]

]

f ( x) < − M ]

6. Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: ƒ ƒ ƒ ƒ ƒ

f es continua en

(−∞,0] ∪ (0,3) ∪ (3, ∞ )

[ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[− ∂ < x < 0 ⇒

∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) < ε

f ( x) − 2 < ε

∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x < ∂ ⇒ f ( x) < − M ] ∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 3 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ]

ƒ

[ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒

ƒ

f (3) = f (5) = 2 , f (7) = 0

ƒ

]

∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x − 3 < ∂ ⇒ f ( x) < ε

f ( x) + 1 < ε

]

]

]

2.5 TEOREMA DEL VALOR INTERMEDIO PARA FUNCIONES CONTINUAS

Sea f una función de variable real definida en el intervalo cerrado [a, b] y sea " w " un número entre f (a) y f (b) . Si f es continua en [a, b] entonces existe por lo menos un número x0 ∈ [ a, b ] tal que f ( x0 ) = w .

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Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz

Ejemplo Demuestre que la ecuación x + 3 x − 2 = 0 tiene una solución real entre "0" y "1". SOLUCIÓN: 3

Definamos la función f ( x) = x3 + 3 x − 2 . Observamos que: f (0) = −2 y f (1) = 2

y como f es continua en [0,1] , por ser polinómica; aplicando el Teorema del Valor Intermedio, tenemos que si w = 0 existirá un x elemento de [0,1] que lo satisfaga. Es decir: ∃x ∈ [0,1] tal que

f ( x ) = x3 + 3x − 2 = 0

Ejercicios Propuestos 2.3 1.

(Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Bolzano.

2.

(Consulta) Enuncie y demuestre el teorema de Weierstrass.

3.

Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y en caso de ser falsa, dé un contraejemplo.

[ ]

[ ]

a)

Si f es continua y no tiene ceros en a, b , entonces f ( x) > 0 para toda x en a, b

b)

Si f es continua en x0 y f ( x0 ) > 0 , hay un intervalo (x0 − ∂ , x0 + ∂ ) tal que f ( x ) > 0 en ese

f ( x) < 0 , ∀x ∈ [a, b]

intervalo.

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c)

El producto de dos funciones f y g es continua en " x0 " ,si f es continua en " x0 " pero g no.

d)

Si f es continua en " x0 " y g es discontinua en " x0 ", entonces f + g es discontinua en " x0 ".

o

Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz e)

Toda función continua en (a, b ) es acotada.

f)

Toda función acotada en a, b es continua en a, b

g)

Si f es continua e inyectiva en a, b entonces su función inversa f −1 es continua en a, b

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

4.

Demuestre que la ecuación: x − 4 x − 3x + 1 = 0 tiene una solución en el intervalo [2,3].

5.

Si el peso de un niño al nacer es de 8 libras y después de un año el mismo niño tiene un peso de 16 libras, demuestre, empleando el teorema del valor intermedio para funciones continuas, que en algún instante de tiempo el niño alcanzó un peso de 11 libras.

5

3

Misceláneos 1.

Diga si son VERDADERAS o FALSAS las siguientes proposiciones. En caso de ser verdaderas demuéstrelas y en caso de ser falsa, dé un contraejemplo. a) lím f ( x ) = lím f ( x) entonces f es continua en x = a . x→a x →a +

−

b) Si f y g son funciones continuas en x = a entonces la función fg también es continua en x = a .

⎧ x − 2 + x−2 ;x > 2 ⎪ c) La función de variable real con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨ es x2 − 4 ⎪ 2 ;x ≤ 2 ⎩ continua en x = 2 . d) Si f es una función tal que dom f = IR y ∀a ∈ IR lím f ( x) existe, entonces f es continua x→a

e) Si

+

en todo su dominio. f es una función continua en a, b tal que f ( a) > 0 y f (b) < 0 entonces existe al menos un

c ∈ (a, b ) tal que f (c) = 0 .

[ ]

[

]

f) Si f es una función de IR en IR tal que f ( x ) = sen x entonces f es continua en x = π .

[ ]

[ ]

g) Sea f una función continua en a, b tal que f ( a) • f (b) > 0 entonces no existe un valor c ∈ a, b tal que f (c) = 0 .

h) Si f y g son funciones que no son continuas en x = a entonces la función f + g no es continua en x =a.

⎧⎪1 − x

i) La función f ( x ) = ⎨ ⎪ 2

;x < 2

⎩x − 2x ; x ≥ 2

j) Sea f

es continua en todo su domino.

⎧1 − cos x ; x≠0 ⎪ , x2 ⎪ 0 ; x 0 = ⎩

una función de variable real con regla de correspondencia f ( x ) = ⎨

entonces f es continua en todo su dominio.

π ⎧ x ⎪ cot x − 2 cos x ; x < 2. Determine el valor de "a" para que f ( x ) = ⎨ ⎪ ax − 1 ;x ≥ ⎩

π 2 π 2

sea continua en x = π 2

⎧ 1 − x2 ; x ≤ −1 ⎪ ⎪⎪ Ax5 + Bx 4 − Ax − B 3. Sea f una función de variable real tal que f ( x ) = ⎨ ;−1 < x < 1 x2 − 1 ⎪ ⎪ ;x ≥1 x2 ⎩⎪ Determine los valores de A y B para que f sea continua en todos los reales.

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Cap. 2 Continuidad de funciones

Moisés Villena Muñoz 4.

Realice el bosquejo de la gráfica de una función f que satisfaga cada una de las siguientes proposiciones: • • •

x → −∞

−

∀N > 0 ∃δ > 0 [0 < x − 1 < δ ⇒ f ( x) > N ]

•

∀ε > 0 ∃M > 0 x > M ⇒ f ( x) − 1 < ε

[

∀x ∈ (3,5) [ f ( x) < 0]

]

Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones:

ƒ

Domf = (− ∞,−1) ∪ [0,+∞ ) rgf = [1, e ) ∪ (e,+∞ ] f (0) = 1

ƒ

∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x > N ⇒ f ( x) − e < ε

ƒ ƒ

ƒ 6.

x →0

•

• 5.

f es continua en los intervalos (−∞,0) ; [0,1] ; (1,+∞ ) . f (0) = f (3) = f (5) = 0 f (1) = f (2) = 1 lim f ( x) = −1 lim f (x) = −∞

[

]

∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[−∂ < x + 1 < 0 ⇒ f ( x) > M ]

Bosqueje el gráfico de una función f que satisfaga las siguientes condiciones: ƒ Dom f=IR, f ( x) > 0 para x ∈ (−∞,−1 ∪ (0,1) ƒ

]

ƒ ƒ ƒ

[ ∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x[x > N ⇒

x→0

∀ε > 0, ∃N > 0, ∀x x < − N ⇒ f ( x) − 1 < ε f ( x) + 1 < ε

]

]

ƒ

∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < 1 − x < ∂ ⇒ f ( x) > M ]

ƒ

∀M > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < x + 1 < ∂ ⇒ f ( x) > M

ƒ ƒ

76

f (−1) = 1 ∧ f (0) = f (1) = 0 ∧ lím+ f ( x) = 1

[

[ ∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x[0 < x − 1 < ∂ ⇒

]

∀ε > 0, ∃∂ > 0, ∀x 0 < − x < ∂ ⇒ f ( x) − f (0) < ε f ( x) < ε

]

]