Dl

RAN ITII 10/2009

Feuille d’exercices

Développements limités Exercice 1: 1. Calculer les DL à l’ordre 4 en 0 de (sin x) arctan x

ex log(1 + x)

√ cos(x 1 + x).

2. Calculer les DL à l’ordre 3 en 0 des fonctions 1+x 3 + x2

1 1 + x + x3 arctan(x) 1+x

log(1 + x) sin x

arctan(arg tanh x)

log2 (1 + x) ex − 1 − log(1 − x) . 1 + arcsin x

3. Donner le développement limité à l’ordre n au voisinage de 0 de ln(a + x) (a > 0). 4. Montrer que la fonction x → ner.

ex −1 x

admet un développement limité à tout ordre et le détermi-

Exercice 2: 1. Calculer le DL à l’ordre 3 en 2 de x4 − x2 + 1. 2. Calculer les DL au point a > 0 à l’ordre n des fonctions √ x log x ex cos x. 3. Calculer les DL à l’ordre 3 aux points 1 et eπ/2 de cos(log x). Exercice 3: Calculer les limites cos x + cosh x − 2 x→0 x4

log(sin x) x→π/2 (π − 2x)2 lim

lim


 1x 1 1 . lim tanh − x→+∞ x cosh x

1 1 lim 2 − x→0 sin x sinh2 x

Exercice 4: Calculer les DL en 0 à l’ordre N indiqué des fonctions :
(cos(x + x )) 2

2

N = 5;

  1 + 1 + x2

sin x x

 1x

N = 2; x

N=6

0

1

sint dt t

√ 4

x2 1−x

N = 5.

N = 5;

Exercice 5: Calculer les DL en 1 à l’ordre N indiqué des fonctions √ x−1 (N = 3); xx (N = 5); tan x (N = 2); log x tan

πx 4

(N = 3);

1 log(1 + ) (N = 3); x

arctan x

Exercice 6: Calculer les 5 premières dérivées en 1 de la fonction Exercice 7: Soit n un entier strictement positif. 1. Déterminer le développement limité de x → composition en éléments simples de

1 (1−x)n

(N = 4).

log x 1+x .

à l’ordre n − 1 en 0. En déduire la dé-

1 X n (1−X)n .

1 1 2. Soit F = (X n −1) 2 . Calculer le développement limité à l’ordre 1 en 0 de x → (x−1)2 . En déduire la partie polaire de F relative au pôle 1. En déduire la décomposition en éléments simples de F.

Exercice 8: Calculer la limite des suites suivantes, en discutant éventuellement selon la valeur du paramètre réel α : 
√ √  √ 1 1 n n n (3 2 − 2 3)n (n2 + 1)α − (n2 − 1)α . sinh n n 1+ α n Exercice 9: Soit f la fonction de R dans R définie par f (x) = 2x + sin x. 1. Montrer que f est bijective et de réciproque de classe C ∞ . 2. Calculer un DL à l’ordre 3 en 0 de f −1 . Exercice 10: [Théorème de division] Soit n ∈ N∗ . Soit f : R −→ R une fonction de classe C n . On définit g : R −→ R par  f (x)− f (0) si x = 0 x x →  si x = 0. f (0) 1. On suppose dans cette question que f (x) = o(xn ) au voisinage de 0. Montrer que pour tout entier p ≤ n, on a f (p) = o(xn−p ) et tout p < n, g(p) = o(xn−p−1 ). En déduire que g est de classe C n−1 . 2. Montrer que g est de classe C n−1 dans le cas général. 3. Soit u et v deux fonctions de classe C ∞ sur R telles que u(0) = v(0) = 0 et v (0) = 0. Montrer que u/v se prolonge en une fonction de classe C ∞ au voisinage de 0. x (prolongement, asympExercice 11: Etudier les fonctions f (x) = x log |2+ 1x | et g(x) = 1+exp(1/x) totes, position par rapport aux asymptotes, tangentes et demi-tangentes, courbes représentatives...).

Exercice 12: Calculer les limites


  x tan x x+1 x xx − x1/x lim lim tan lim x→+∞ x − 1 x→1 (x − 1)2 2 x→π/2
2   x 1 4 + x log cos lim lim e−x cosh x2 + 1 x→+∞ x→+∞ 2 x

2