Divisibilidad De Polinomios Y Cocientes Notables Final.docx

DIVISIBILIDAD DE POLINOMIOS Y COCIENTES NOTABLES. I.

4. TEOREMA 04 Si al dividir el polinomio 𝑃(𝑥)separadamente entre 𝑥 − 𝑎, 𝑥 − 𝑏 𝑦 𝑥 − 𝑐, se obtiene el mismo residuo R, entonces al dividir 𝑃(𝑥)entre el producto de (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)( 𝑥 − 𝑐), también se obtendrá el mismo resto. Descriptivamente: Si: 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑎) → 𝑅1(𝑥) = 𝑅 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑏) → 𝑅2(𝑥) = 𝑅 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑐) → 𝑅3(𝑥) = 𝑅 Entonces:

DIVISIBILIDAD POLINOMIAL. DEFINICIÓN: Dados dos polinomios 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) de grados no nulos; se dirá que 𝑓(𝑥) es divisible entre 𝑔(𝑥), si existe un único polinomio ℎ(𝑥), tal que verifique la identidad de la división exacta: 𝑓(𝑥) = 𝑔(𝑥). ℎ(𝑥) 𝐸𝑗𝑒𝑚𝑝𝑙𝑜: El polinomio 𝑃(𝑥) = 2𝑥 3 + 5𝑥 2 − 7𝑥 − 12 será divisible entre 𝑥 + 3, si existe un único ℎ(𝑥), tal que verifica: 𝑃(𝑥) = (𝑥 + 3). ℎ(𝑥) 3

°

1°

𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐) → 𝑅(𝑥) = 𝑅 5. TEOREMA 05 En toda división de polinomios, si al dividendo y al divisor se les divide por un polinomio de grado no nulo, el cociente no se altera; pero el residuo queda dividido por dicho polinomio: DEMOSTRACIÓN:  𝐷(𝑥) = 𝑑(𝑥)𝑞(𝑥) + 𝑅(𝑥)  𝐷𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑒𝑛𝑑𝑜 𝑝𝑜𝑟 𝑆(𝑥) ≠ 0 𝐷(𝑥) 𝑑(𝑥) 𝑅(𝑥) = . 𝑞(𝑥) + 𝑆(𝑥) 𝑆(𝑥) 𝑆(𝑥) De donde se observa que el residuo queda divido entre 𝑆(𝑥) y el cociente es el mismo

2°

TEOREMAS DE LA DIVISIBILIDAD. 1. TEOREMA 01 Si el polinomio 𝑃(𝑥) es divisible separadamente entre los binomios 𝑥 − 𝑎, 𝑥 − 𝑏 𝑦 𝑥 − 𝑐, entonces también 𝑃(𝑥) es divisible entre el producto de: (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐) Descriptivamente: Si: 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑎) → 𝑅 = 0 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑏) → 𝑅 = 0 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑐) → 𝑅 = 0 Entonces: 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐) → 𝑅 = 0 2. TEOREMA 02 Si el polinomio 𝑃(𝑥) es divisible entre el producto de (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐), entonces 𝑃(𝑥)es divisible separadamente entre 𝑥 − 𝑎, 𝑥 − 𝑏 𝑦 𝑥 − 𝑐. Descriptivamente: Si: 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑎)(𝑥 − 𝑏)(𝑥 − 𝑐) → 𝑅 = 0 Entonces: 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑎) → 𝑅 = 0 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑏) → 𝑅 = 0 𝑃(𝑥) ÷ (𝑥 − 𝑐) → 𝑅 = 0 3. TEOREMA 03 Si 𝑓(𝑥) es divisible entre 𝑔(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) es divisible entre ℎ(𝑥), entonces 𝑓(𝑥) es divisible entre ℎ(𝑥).

HERNÁN PAUCAR ÁLVAREZ

II.

COCIENTES NOTABLES llamaremos cocientes notables (C.N.) a los cocientes que se obtienen en forma directa, es decir, sin la necesidad de efectuar la operación de división. Las divisiones indicadas que dan origen a estos cocientes notables son de la forma: 𝒙𝒏 ± 𝒚𝒏 ;𝒏 ∈ 𝑵˄𝒏 ≥ 𝟐 𝒙±𝒚 Mediante la combinación de los signos se presentarán 4 casos. 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 ; ; ; 𝑥−𝑦 𝑥+𝑦 𝑥+𝑦 𝑥−𝑦

CUADRO DE LOS COCIENTES NOTABLES EXACTOS División indicada según su forma

Cocientes notables 𝑛 ∈ 𝑍+

𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ; ∀𝑛 𝑥−𝑦 𝑥𝑛 − 𝑦𝑛 ; ∀𝑛 𝑝𝑎𝑟 𝑥+𝑦 𝑥𝑛 + 𝑦𝑛 ; ∀𝑛 𝑖𝑚𝑝𝑎𝑟 𝑥+𝑦

𝑥 𝑛−1 + 𝑥 𝑛−2 𝑦 + 𝑥 𝑛−3 𝑦 2 + ⋯ + 𝑦 𝑛−1 𝑥 𝑛−1 − 𝑥 𝑛−2 𝑦 + 𝑥 𝑛−3 𝑦 2 − ⋯ −𝑦 𝑛−1 𝑛−1 𝑛−2 𝑥 −𝑥 𝑦 + 𝑥 𝑛−3 𝑦 2 − ⋯ +𝑦 𝑛−1

TÉRMINO GENERAL DE UN COCIENTE NOTABLE En el desarrollo de la división indicada 𝒙𝒏 ± 𝒚𝒏 ;𝒏 ∈ 𝑵 ˄ 𝒏 ≥ 𝟐 𝒙±𝒚 Un término cualquiera de lugar 𝑘, de la parte entera del cociente, se calcula mediante la fórmula general: 𝑇𝑘 = (𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜)𝑥 𝑛−𝑘 𝑦 𝑘−1 ; 𝑘 ∈ 𝑁/𝑛 ≥ 2 Donde: 𝑥: 𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑟 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑦: 𝑠𝑒𝑔𝑢𝑛𝑑𝑜 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 𝑑𝑒𝑙 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑠𝑜𝑟 𝑛: 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝐶𝑁 𝑘: 𝑙𝑢𝑔𝑎𝑟 𝑞𝑢𝑒 𝑜𝑐𝑢𝑝𝑎 𝑒𝑙 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜 REGLA PRÁCTICA PARA DEDUCIR EL SIGNO DE (𝑻𝒌 ) a. Si el divisor es de la forma 𝑥 − 𝑦 todos los términos 𝑇𝑘 del cociente son POSITIVOS. b. Si el divisor es de la forma 𝑥 + 𝑦  Los términos de lugar IMPAR son POSITIVOS.  Los términos del lugar PAR son NEGATIVOS. CONDICIÓN NECESARIA Y SUFICIENTE PARA OBTNER UN C.N. 𝐷𝑒:

𝑥 𝑚 ±𝑦 𝑛 𝑥 𝑝 ±𝑦 𝑞

se debe cumplir

𝑚 𝑛 = = 𝑟; 𝑟 ∈ 𝑍 + 𝑝 𝑞

HERNÁN PAUCAR ÁLVAREZ

𝐴𝑑𝑒𝑚á𝑠: 𝑟: 𝑖𝑛𝑑𝑖𝑐𝑎 𝑒𝑙 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑡é𝑟𝑚𝑖𝑛𝑜𝑠 𝑑𝑒𝑙 𝑞(𝑥) Luego, cualquier término se obtiene a partir de la fórmula explícita: 𝑻𝒌 = (𝒔𝒊𝒈𝒏𝒐)(𝒙𝒑 )𝒓−𝒌 (𝒚𝒒 )𝒌−𝟏 ; 𝟏 ≤ 𝒌 ≤𝒓 PROPIEDADES PARTICULARES 1. Término central de la parte entera de un C.N. Se tiene la división indicada: 𝑥𝑛 ± 𝑦𝑛 ;𝑛 ∈ 𝑁 ˄𝑛 ≥ 2 𝑥±𝑦 a. Si n es un número impar. 𝑛+1 lugar(𝑇𝑐 ) = 2 luego, dicho

término se determina por la fórmula: 𝑛−1 2

𝑇𝑐 = 𝑇𝑛+1 = (𝑠𝑖𝑔𝑛𝑜)(𝑥𝑦) 2

b. Si n es un número par. 𝑛  lugar(𝑇𝑐1 ) =  lugar(𝑇𝑐 ) =

2 𝑛+2 2

EJERCICIOS. 1. Si un polinomio se divide entre (𝑥 − 1) el resto es 3 y dividido entre (𝑥 + 2) el residuo es 9. Calcule el resto que obtendría al dividirlo entre el producto de (𝑥 − 1) (𝑥 + 2) A) 12𝑥 − 5 B) 2𝑥 + 5 C) −2𝑥 − 5 D) −𝑥 + 5 E) −𝟔𝒙 + 𝟗 2. Halle el residuo de dividir un polinomio 𝑃(𝑥) entre (𝑥 − 10) si se sabe que el término independiente del cociente es 5 y el término independiente de dicho polinomio es 2 A) 50 B) 52 C) 48 D) 46 E) -50 3. Halle el polinomio 𝑃(𝑥) de grado 3 si es divisible entre (𝑥 − 2) y (𝑥 + 3)cuya suma de coeficientes es -4 y tiene por término independiente a 6. A) 𝑥 3 − 2𝑥 + 1 B) 𝑥 3 + 2𝑥 − 1 3 C)𝑥 − 1 D) 𝑥 3 + 2

E)(𝒙 − 𝟐)(𝒙 + 𝟑)(𝟐𝒙 − 𝟏)

10. Hallar el término independiente respecto a 𝑥 en el cociente notable

4. Un polinomio de cuarto grado en 𝑥, cuyo primer coeficiente es la unidad, es divisible por (𝑥 2 − 1) y por (𝑥 − 4). Al dividirlo entre (𝑥 + 3) da como resto 56. Determine el resto de dividirlo entre (𝑥 − 2). A) -16 B) -12 C) -20 D) -24 E) 4 5. Un polinomio 𝑃(𝑥) Mónico y de segundo grado al ser dividido entre 𝑥 + 3 da como resultado un cierto cociente 𝑄(𝑥) y un resto 12. Si se divide 𝑃(𝑥) entre el mismo cociente aumentado en 4, la división resulta ser exacta. Hallar el resto de dividir 𝑃(𝑥) entre 𝑥 − 5 A) 15 B) 17 C) 20 D) 21 E) 25 6. Determinar el valor de "𝑚" en el cociente notable: 𝑥 5𝑚−1 − 𝑦12𝑚−5 𝑥 𝑚−5 − 𝑦 𝑚−1 A) 10 B) 6 C) 7 D) 8 E) 12 7. ¿Qué lugar ocupa en el desarrollo de cociente notable: 𝑥 160 −𝑦 280 𝑥 4 −𝑦 7

, el qué tiene G.A. =252?

A) 30 D) 33

B) 31 E) 34

C) 32

8. Calcula (𝑝 + 𝑞), si el 𝑡25 del desarrollo de: 𝑥 129𝑝 −𝑦 86𝑞 𝑥 3𝑝 −𝑦 2𝑞

, es 𝑥 270 𝑦 288

A) 10 D) 13 9. Si la división

B) 11 E) 14

C) 12

(5𝑥−1)99 −(5𝑥+1)99 𝑥

, origina

un CN, en el cual un término tiene la forma 𝐴(25𝑥 2 − 1)𝐵 . Calcula 𝐴 + 𝐵 A) 40 B) 38 C) 42 D) 37 E) 39

HERNÁN PAUCAR ÁLVAREZ

𝑛

generado por

(√𝑥+𝑦) −𝑦 𝑛 √𝑥

𝑡10−𝑛 = 𝑦 9−𝑛 A) 𝑦 4 B)𝑦 8 4 D) 5𝑦 E) −3𝑦 4

, si C)3𝑦 4

11. Cuál es el valor numérico del término central de: (𝑥+𝑦)100 −(𝑥−𝑦)100 8𝑥𝑦(𝑥 2 +𝑦2 )

A) 1 D) 4

para 𝑥 = 3; 𝑦 = 2√2

B) 2 E) 5

C) 3

12. Calcule el número de términos del producto: A.B si: 𝐴 = 𝑥 20𝑛 + 𝑥 19𝑛 + 𝑥 18𝑛 + ⋯ + 𝑥 𝑛 + 1 𝐵 = 𝑥 20𝑛 − 𝑥 19𝑛 + 𝑥 18𝑛 − ⋯ − 𝑥 𝑛 + 1 A) 21 B) 23 C) 25 D) 27 E) 29 TAREA 13. Al dividir el polinomio 𝑃(𝑥) entre los binomios (𝑥 − 4)𝑦 (𝑥 − 2) se obtiene como residuos 9 y 5, respectivamente. Determine el residuo de dividir 𝑃(𝑥) entre el producto (𝑥 − 4)(𝑥 − 2). A) 2𝑥 B)1 c) 2𝑥 + 1 D) 4𝑥 E)4𝑥 + 1 14. Sea 𝑃(𝑥) un polinomio de quinto grado divisible por (2𝑥 4 − 3), al dividir 𝑃(𝑥) separadamente entre (𝑥 + 1)𝑦 (𝑥 − 2) los restos obtenidos separadamente son 7 y 232. Determine el coeficiente del término lineal del polinomio 𝑃(𝑥) A) -15 B) -3 C) 5 D) 15 E) 27 15. Un polinomio 𝑃(𝑥) de cuarto grado es divisible separadamente por (𝑥 + 3), (𝑥 + 2)𝑦 (𝑥 + 5) y además al ser dividido por (𝑥 + 1) arroja como resto 32. Si el término independiente en 𝑃(𝑥) es -240, halle el resto de dividir 𝑃(𝑥) entre (𝑥 + 4). A) 80 B) -11 C) 70 D) 10 E) -42

16. Si la expresión:

𝑥 𝑚+3 −𝑦 2𝑚+6 𝑥 𝑚−3 −𝑦 𝑚−1

es un

cociente notable. Determiné el número de términos. A) 5 B) 3 C) 6 D) 4 E) 7 17. Calcular: 𝐸 = 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 ; si el término 𝑥 𝑎 +𝑦 𝑏

central del desarrollo 𝑥 2 −𝑦5 es 𝑥 𝑐 𝑦120 A) 390 D) 393

B) 391 E) 394

C) 392

18. Hallar el valor numérico del cuarto término en el desarrollo del cociente notable, para 𝑥 = 1 (2𝑥 + 1)6 − (𝑥 + 1)6 𝑥 A) 16 B) 256 C) 128 D) 64 E) 72 19. Indicar cuántos términos tiene el siguiente desarrollo de: 𝑥 𝑛𝑝 − 𝑦 𝑝 𝑥𝑛 − 𝑦 Si los grados absolutos de todos los términos van disminuyendo de 3 en 3, y si además el 𝑡40 de su desarrollo tiene 𝐺. 𝐴. = 87 A) 53 B) 54 C) 56 D) 56 E) 57 20. Determinar el número de términos del siguiente cociente notable … + 𝑥 195 𝑦140 − 𝑥 190 𝑦147 + ⋯ A) 7 B) 21 C) 30 D) 42 B) 60

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