Divisibilidad-5to-a-2019.pptx

IEP. NUESTRA SEÑORA DE COPACABANA TEMA: DIVISIBILIDAD I.

PROFESOR: WILLIAMS ARAGÓN GALLARDO

DIVISIBILIDAD Número Divisibles

Un número A es divisible entre otro B, cuando la división de A entre B es entera y exacta. A B 0 K

donde: K  Z

 A = BK

Se lee:  A “es divisible por” B  B “es divisor de “A  B “divide a “A

A “es múltiplo de” B B “es factor de” A B “es módulo de A”

Divisor Se dice que un número B es divisor o divide a A cuando está contenido en un número entero y exacto de veces. Multiplicidad de un número en ℤ

Un número A es múltiplo de otro B cuando A contiene a B un número entero y exacto de veces. Observación • El cero es múltiplo de cualquier número entero positivo.

• El cero no es divisor de la unidad y de ningún número.

-La unidad es divisor de todo número. -Los conceptos de divisibilidad y multiplicidad son equivalentes en el conjunto de los números enteros. -Un número negativo puede ser múltiplo de otro positivo. -Todo número entero es múltiplo de sus divisores enteros positivos.

• Principios de la divisibilidad Si A y B son divisibles por n, Se cumplen las siguientes propiedades (1)

“A ± B es divisible por n”

(2)

“A= 𝒏ሶ ˄ K∈ℤ”

(3)

𝒌 = 𝒏ሶ → 𝑨 ሶ “A= 𝒏 ˄ K∈ℤ”

ሶ 𝒏ሶ → 𝒏ሶ ± 𝒏=

→ 𝑨𝒌= 𝒏ሶ

“Todo número es divisible por los factores naturales que contiene”

(4)

(5)

Principio de Arquimedes

“Si 𝐀 × 𝐁 = 𝒏;ሶ A y n tienen como único factor común la unidad. Entonces 𝐁 = 𝒏ሶ ” (6) Aplicación del binomio de Newton “Sean A y n números no divisibles” Simbólicamente

A = 𝑛ሶ ± r Entonces

𝐴𝑘 = 𝑛ሶ + r, ∀ 𝑘 ∈ ℤ+

2¿Cuántos números de cuatro cifras son divisibles entre 11? 𝟏𝟎𝟎𝟎 ≤ 𝟏𝟏𝒌 ≤ 𝟗𝟗𝟗𝟗 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟗𝟗 ⇔ ≤𝒌≤ 𝟏𝟏 𝟏𝟏 ⇔ 𝟗𝟎, 𝟗𝟎 … ≤ 𝒌 ≤ 𝟗𝟎𝟗 ⇔ 𝒌 = 𝟗𝟏, 𝟗𝟐, 𝟗𝟑, … , 𝟗𝟎𝟗 N° de valores=909-91+1=819 ⇔ 𝑷𝒂𝒓𝒂 𝒄𝒂𝒅𝒂 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓 𝒅𝒆 𝒌 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆 𝒖𝒏 𝒎ú𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒐 𝒅𝒆 𝟏𝟏 𝒅𝒆 𝒄𝒖𝒂𝒕𝒓𝒐 𝒄𝒊𝒇𝒓𝒂𝒔

3).-Hallar cuántos números de tres cifras que terminan en 4 resultan ser múltiplos de 7. 𝟏𝟎𝟎 ≤ 𝟕𝒌 ≤ 𝟗𝟗𝟗

𝟏𝟎𝟎 𝟗𝟗𝟗 ⇔ ≤𝒌≤ 𝟕 𝟕 ⇔ 𝟏𝟒, 𝟐 … ≤ 𝒌 ≤ 𝟏𝟒𝟐, 𝟕 …

⇔ 𝒌 = 𝟏𝟓, 𝟏𝟔, 𝟏𝟕, … , 𝟏𝟒𝟐

⇔ 𝑺𝒐𝒍𝒐 𝒔𝒆𝒍𝒆𝒄𝒊𝒐𝒏𝒂𝒎𝒐𝒔 𝒍𝒐𝒔 𝒗𝒂𝒍𝒐𝒓𝒆𝒔 𝒅𝒆 𝑲 𝒒𝒖𝒆 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆𝒏 𝒆𝒏 𝟐, 𝒚𝒂 𝒒𝒖𝒆 𝒆𝒔𝒕𝒐𝒔 𝒂𝒍 𝒔𝒆𝒓 𝒎𝒖𝒍𝒕𝒊𝒑𝒍𝒊𝒄𝒂𝒅𝒐 𝒑𝒐𝒓 𝒔𝒊𝒆𝒕𝒆 𝒏𝒐𝒔 𝒅𝒂 𝒖𝒏 𝒏ú𝒎𝒆𝒓𝒐 𝒒𝒖𝒆 𝒕𝒆𝒓𝒎𝒊𝒏𝒆 𝒆𝒏 𝟒 Los valores de K que hacen cumplir las condiciones del problema son: 𝒌 ∗= 𝟐𝟐, 𝟑𝟐, 𝟒𝟐, 𝟓𝟐, 𝟔𝟐, 𝟕𝟐, 𝟖𝟐, 𝟗𝟐, 𝟏𝟎𝟐, 𝟏𝟏𝟐, 𝟏𝟐𝟐, 𝟏𝟑𝟐, 𝟏𝟒𝟐

Por tanto solo existen 13 valores que tres cifras que terminan en 4 resultan ser múltiplos de 7.

4.En un barco donde iban 100 personas ocurre un naufragio. De los sobrevivientes la onceava parte son niños y la quinta parte de los muertos eran casados. ¿Cuántos murieron? Sea N el número de personas sobrevivientes y M el número de muertos 𝑶

𝑵 = 𝑴𝑪𝑴(𝟓; 𝟏𝟏ሻ

𝑵 = 𝟏𝟏ሶ 𝑴 = 𝟏𝟎𝟎 − 𝑵 = 𝟓ሶ

𝑶

⇒ 𝑵 = 𝟓𝟓

⇒ 𝟓ሶ − 𝑵 = 𝟓ሶ ⇒ 𝑵 = 𝟓ሶ

⇒ 𝑵 = 𝟓𝟓𝒌

N° de muertos=100-55=45

⇒ 𝑵 = 𝟓𝟓

5.En un salón de 50 alumnos se observa que la séptima parte del número de mujeres son rubias y la onceava parte del número de hombres usan lentes. ¿Cuántos hombres no usan lentes? Sea M el número de mujeres y H el número de hombres

ሶ 𝑴 = 𝟕ሶ =28=22+6=𝟏𝟏+6 𝑯 = 𝟓𝟎 − 𝑴 = 𝟏𝟏ሶ ⇒ 𝟒𝟒 + 𝟔 − 𝑴 = 𝟏𝟏ሶ ⇒ 𝟏𝟏ሶ + 𝟔 − 𝑴 = 𝟏𝟏ሶ ⇒ 𝟏𝟏ሶ + 𝟔 = 𝑴

𝐌 = 𝟏𝟏𝐤 + 𝟔 ⇒ 𝑴 = 𝟏𝟏 + 𝟔; 𝟐𝟐 + 𝟔; 𝟑𝟑 + 𝟔 ⇒ 𝑴 = 𝟏𝟕; 𝟐𝟖; 𝟑𝟗 Como el dato nos habla de la séptima parte entonces el valor de M es 28

Los hombres son en total 22, entonces los hombres que usan lentes son la onceaba parte de 22, ósea 2. finalmente los que no usan lentes 20

ሶ 6. En una división el divisor es 𝟏𝟏+3 el ሶ cociente 𝟏𝟏+8 y el resto 𝟏𝟏ሶ -2. Entonces el dividendo es: 𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐 = 𝒅𝒊𝒗𝒊𝒔𝒐𝒓 × 𝒄𝒐𝒄𝒊𝒆𝒏𝒕𝒆 +𝒓𝒆𝒔𝒊𝒅𝒖𝒐

𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐 =

𝟏𝟏ሶ + 𝟑 × 𝟏𝟏ሶ + 𝟖 +𝟏𝟏ሶ − 𝟐 𝟏𝟏ሶ + 𝟐𝟒 +𝟏𝟏ሶ − 𝟐

𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐 =

𝟏𝟏ሶ + 𝟏𝟏ሶ + 𝟐 +𝟏𝟏ሶ − 𝟐

𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐 =

𝟏𝟏ሶ + 𝟐 +𝟏𝟏ሶ − 𝟐

𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐 =

𝑫𝒊𝒗𝒊𝒅𝒆𝒏𝒅𝒐 = 𝟏𝟏ሶ + 𝟎 = 𝟏𝟏ሶ

7.¿Cuántos números de dos cifras al ser divididos entre 21 el resto que se obtiene es 3? 𝟏𝟎 ≤ 𝟐𝟏𝒌 + 𝟑 ≤ 𝟗𝟗 ⇒ 𝟏𝟎 − 𝟑 ≤ 𝟐𝟏𝒌 ≤ 𝟗𝟗 − 𝟑

⇒ 𝟕 ≤ 𝟐𝟏𝒌 ≤ 𝟗𝟔 𝟕 𝟗𝟔 ⇒ ≤𝒌≤ 𝟐𝟏 𝟐𝟏 ⇒ 𝟎, 𝟎𝟒 … ≤ 𝒌 ≤ 𝟒, 𝟓 … 𝒌 = {𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒} Para cada valor de k existe un número de 2 cifras que es múltiplo de 21 mas 3. Por tanto existen 4 números

8.El número 𝒂𝟎𝟎𝒂 tiene como divisores a:

Descomponiendo polinómicamente

𝒂𝟎𝟎𝒂 = 𝒂 × 𝟏𝟎𝟑 + 𝟎 × 𝟏𝟎𝟐 + 𝟎 × 𝟏𝟎𝟏 + 𝒂 ⇔ 𝒂𝟎𝟎𝒂 = 𝒂 × 𝟏𝟎𝟎𝟎 + 𝟎 + 𝟎 + 𝒂 ⇔ 𝒂𝟎𝟎𝒂 = 𝟏𝟎𝟎𝟏𝒂 ⇔ 𝒂𝟎𝟎𝒂 = 𝟏𝟑 × 𝟕 × 𝟏𝟏 × 𝒂

𝟏𝟎𝟎𝟏 𝟏𝟑 𝟕𝟕 𝟕 𝟏𝟏 𝟏𝟏 𝟏

∴ El número 𝒂𝟎𝟎𝒂 es múltiplo de 13, 7 y 11

9.Calcule cuántos números positivos de 4 cifras hay tal que al expresado a base 5,6 y 7 terminan en cifras 2, 3 y 4 respectivamente. Sea N el número que cumple con la condición del problema

𝑵 = … 𝟐𝟓 ⇒ 𝑵 = 𝟓ሶ + 𝟐 ⇒ 𝑵 = 𝟓ሶ − 𝟑 𝑵 = … 𝟑𝟔 ⇒ 𝑵 = 𝟔ሶ + 𝟑 ⇒ 𝑵 = 𝟔ሶ − 𝟑

ሶ 𝟕 −𝟑 ⇒ 𝑵 = 𝑴𝑪𝑴 𝟓, 𝟔, ሶ −𝟑 ⇒ 𝑵 = 𝟐𝟏𝟎

𝑵 = … 𝟒𝟕 ⇒𝑵 = 𝟕ሶ + 𝟒 ⇒ 𝑵 = 𝟕ሶ − 𝟑

⇒ 𝑵 = 𝟐𝟏𝟎𝒌 − 𝟑

⇒ 𝒌 = {𝟓, 𝟔, 𝟕, 𝟖, … , 𝟒𝟕} ∴ Entonces, existen 47-5+1=43 números que cumplen con la condición

ሶ Además 𝑑𝑢 = 3 𝑚𝑐 + 2 10. Si:𝐴 = 𝑚𝑐𝑑𝑢 = 13. Calcule cuántos valores tiene A. Por dato: 𝒎𝒄𝒅𝒖 = 𝟏𝟑ሶ Descomponiendo polinómicamente

⇒ 𝟏𝟎𝟎𝒎𝒄 + 𝒅𝒖 = 𝟏𝟑ሶ

También : 𝒅𝒖 = 𝟑(𝒎𝒄 + 𝟐ሻ Efectuando las operaciones

𝒅𝒖 = 𝟑𝒎𝒄 + 𝟔

Reemplazando la segunda ecuación en la primera

⇒ 𝟏𝟎𝟎𝒎𝒄 + 𝟑𝒎𝒄 + 𝟔 = 𝟏𝟑ሶ ⇒ 𝟏𝟎𝟑𝒎𝒄 + 𝟔 = 𝟏𝟑ሶ ⇒(𝟏𝟑ሶ + 𝟔ሻ𝒎𝒄 + 𝟔 = 𝟏𝟑ሶ ⇒ 𝟏𝟑ሶ + 𝟔𝒎𝒄 + 𝟔 = 𝟏𝟑ሶ ⇒ 𝟔𝒎𝒄 + 𝟔 = 𝟏𝟑ሶ

⇒ 𝟔𝒎𝒄 = 𝟏𝟑ሶ − 𝟔 𝟏𝟑ሶ − 𝟔 ⇒ 𝒎𝒄 = 𝟔 ⇒ 𝒎𝒄 = 𝟏𝟑ሶ − 𝟏 Probando valores que sean múltiplos de 13

𝒎𝒄 = 𝟏𝟑ሶ − 𝟏

𝟏𝟑 −𝟏 = 𝟏𝟐 𝒎𝒄 = 𝟐𝟔 −𝟏= 𝟐𝟓 𝒎𝒄 = 𝟑𝟗 −𝟏 = 𝟑𝟖 𝒎𝒄 = 𝟓𝟐 −𝟏 = 𝟓𝟏 𝒎𝒄 =

∴ Finalmente para algunos valores encontrados de 𝒎𝒄, existe algunos valores válidos de 𝒅𝒖. Por tanto los valores de A son determinados por los valores válidos de 𝒅𝒖

⇒ 𝒅𝒖 = 𝟑 × 𝟏𝟐 + 𝟔 = 𝟒𝟐 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟑 × 𝟐𝟓 + 𝟔 = 𝟖𝟏 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟑 × 𝟑𝟖 + 𝟔 = 𝟏𝟐𝟎 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟑 × 𝟓𝟏 + 𝟔 = 𝟏𝟓𝟗

Cumple Cumple No Cumple No Cumple

𝒎𝒄 = 𝟔𝟓 −𝟏 = 𝟔𝟒 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟑 × 𝟔𝟒 + 𝟔 = 𝟏𝟗𝟖

No Cumple

⇒ 𝒅𝒖 = 𝟑 × 𝟕𝟕 + 𝟔 = 𝟏𝟗𝟖 𝒎𝒄 = 𝟗𝟏 −𝟏= 𝟗𝟎 ⇒ 𝒅𝒖 = 𝟑 × 𝟗𝟎 + 𝟔 = 𝟐𝟕𝟔

No Cumple

𝒎𝒄 = 𝟕𝟖 −𝟏= 𝟕𝟕

No Cumple