FACULTAD DE CIENCIAS QUÍMICAS
DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y LAPLACIANO EN COORDENADAS CARTESIANAS TRABAJO ESCRITO POR URIEL GABRIEL ZAPATA RODRÍGUEZ ASPIRANTE A PLAZA DE PROFESOR DE ASIGNATURA DE LA E.E. CALCULO MULTIVARIABLE JURADO DRA. NELY GONZÁLEZ PALMEROS M.I. GUILLERMO HERMIDA SABA MTRA. YELITZA TIRADO JIMÉNEZ
BOCA DEL RÍO VERACRUZ A 17 DE DICIEMBRE DE 2018
Contenido INTRODUCCIÓN ..................................................... 2 USO INICIAL DE OPERADOR NABLA 𝛁 ................................ 3
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DIVERGENCIA ...................................................... 4 EJEMPLO DE CLASE ............................................... 4 ROTACIONAL ....................................................... 4 EJEMPLO DE CLASE ............................................... 4 LAPLACIANO ....................................................... 5 EL LAPLACIANO DE UN PRODUCTO DE CAMPOS ......................... 5 EL LAPLACIANO Y LOS CAMPOS VECTORIALES ......................... 6 EJEMPLOS DE CLASE .............................................. 6 ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA ......................................... 6 PROYECTOS DE CLASE Y RECOLECCIÓN DE DATOS REALES ............... 6 USO DE SOFTWARE MATEMÁTICO MATLAB .............................. 7 CANAL DE YOUTUBE ............................................... 7 FACEBOOK ....................................................... 8 PROMOCIÓN DE SABERES TEÓRICOS .................................... 8 CUADERNO DE EJERCICIOS (PROPUESTA) ............................. 8 TAREAS INDIVIDUALES (SEGUIMIENTO DE CASOS PARTICULARES) ........ 8 TAREAS EN EQUIPO ............................................... 9 PROYECTOS DE APLICACIÓN ........................................ 9 DESARROLLO DE HABILIDADES, DESTREZAS Y ACTITUDES NECESARIAS PARA EL DESEMPEÑO PROFESIONAL ........................................ 10 RECOLECCIÓN DE DATOS .......................................... 10 FUENTES DE INFORMACIÓN .......................................... 11 BÁSICAS ....................................................... 11 COMPLEMENTARIAS ............................................... 12 ALTERNATIVAS .................................................. 12
INTRODUCCIÓN Este tema pertenece a la sección 3.6 de la Unidad 3 llamada Funciones y Campos Vectoriales. Para abordar este tema es importante haber comprendido los contenidos de las secciones anteriores, comprender correctamente los conceptos de campo escalar, campo vectorial, derivación sucesiva y gradientes. En lo correspondiente a la planeación del curso a 15 semanas regulares con 1 hora clase diaria por semana, el tema desarrollado en el presente documento corresponde a la clase #35 del curso de la semana 5, el cual se planea impartir en 2 clases (aunque puede tomar
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mas de 2 debido a la complejidad y dicho avance es dependiente de factores como días inhábiles o festivos). FUNCIONES Y CAMPOS VECTORIALES SEMANA CLASE 3 25 26 4 27 28 29 30 31 5 32 33 34 35
Funciones vectoriales Funciones vectoriales Límites de funciones vectoriales Límites de funciones vectoriales Derivación de funciones vectoriales Derivación de funciones vectoriales Velocidad y aceleración Velocidad y aceleración Campos Vectoriales Campos Vectoriales Divergencia, Rotacional y Laplaciano en coordenadas cartesianas Divergencia, Rotacional y Laplaciano en coordenadas cartesianas Divergencia, Rotacional y Laplaciano en otros sistemas de coordenadas Divergencia, Rotacional y Laplaciano en otros sistemas de coordenadas
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SUBTEMA
37 38
El planteamiento del curso, está pensado para en cada subtema reforzar los saberes heurísticos como los axiológicos de cada participante potencializando su participación y asimilación de contenidos con un alto sentido de responsabilidad, compromiso y respeto.
USO INICIAL DE OPERADOR NABLA 𝛁
El operador vectorial diferencial 𝛁 llamado nabla es definido en tres dimensiones como 𝛁=
∂ ∂ ∂ 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 ∂x ∂y ∂z
El resultado de aplicar este operador vectorial a un campo escalar es llamado el gradiente de un campo escalar y es definido de la siguiente forma grad 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛁𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
∂𝑓 ∂𝑓 ∂𝑓 𝒊+ 𝒋+ 𝒌 ∂x ∂y ∂z
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DIVERGENCIA La divergencia indica si hay un flujo neto en un punto particular del espacio, una divergencia positiva indica una fuente de flujo y una divergencia negativa muestra un sumidero de flujo. La divergencia de un vector E es el producto escalar del vector y el operador nabla 𝛁, por lo tanto la divergencia es una cantidad escalar. El producto escalar de este operador vectorial con un campo vectorial 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) es llamado la divergencia de un campo vectorial y es definido de la siguiente forma en coordenadas cartesianas div 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛁 ∙ 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) =
∂𝐹1 ∂𝐹2 ∂𝐹3 + + ∂x ∂y ∂z
Es importante resaltar que el orden de la operación debe respetarse siempre debido a que 𝛁 ∙ 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) ≠ 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) ∙ 𝛁
EJEMPLO DE CLASE
Para 𝑓 = 𝑥 2 𝑦 − 𝑧 y 𝑭 = 𝑥𝒊 − 𝑥𝑦𝒋 − 𝑧 2 𝒌 calcule 𝛁 ∙ 𝑭 Notas:
ROTACIONAL El producto vectorial del operador 𝛁 con un campo vectorial 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) es llamado el Rotacional del campo vectorial y es definido de la siguiente forma en coordenadas cartesianas. 𝑖 𝑗 𝑘 ∂ ∂ ∂ | curl 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = 𝛁 × 𝑭(𝑥, 𝑦, 𝑧) = | ∂x ∂y ∂z 𝐹1 𝐹2 𝐹2 el rotacional de un vector es definido como la circulación de ese mismo vector por unidad de área en un bucle infinitesimalmente pequeño, el rotacional de un vector E es otro vector que nos indica cuanto rota E alrededor de un punto en particular. EJEMPLO DE CLASE
Para 𝑓 = 𝑥 2 𝑦 − 𝑧 y 𝑭 = 𝑥𝒊 − 𝑥𝑦𝒋 − 𝑧 2 𝒌 calcule 𝛁 × 𝑭
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Notas:
LAPLACIANO El Laplaciano es la divergencia (cambio en la densidad de un flujo de campo vectorial) del gradiente (conjunto de las derivadas parciales de una función expresadas en forma de vector) de una función escalar. El operador Laplaciano es definido en coordenadas rectangulares como: 𝛁𝟐 =
∂2 ∂2 ∂2 + + ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
El Laplaciano es un operador escalar, si es aplicado a un campo escalar, genera un campo escalar. El Laplaciano de un campo escalar también puede ser definido de la siguiente manera 𝛁 𝟐 𝑓 = 𝛁 ∙ 𝛁𝑓 Representando la divergencia del gradiente de la función f. se puede deducir de la siguiente manera. ∂𝑓 ∂𝑓 ∂𝑓 𝛁 ∙ 𝛁𝑓 = 𝛁 ∙ ( 𝒊 + 𝒋+ 𝒌) ∂x ∂y ∂z =
∂ ∂𝑓 ∂ ∂𝑓 ∂ ∂𝑓 ( )+ ( )+ ( ) ∂x ∂x ∂y ∂y ∂z ∂z ∂2 𝑓 ∂2 𝑓 ∂2 𝑓 + + = 𝛁𝟐𝑓 ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2
O sea, el Laplaciano no es más que la derivada parcial segunda de una función 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑧)). Tiene aplicaciones en potenciales eléctricos, propagación de ondas, transferencia de energía, teoría cuántica, entre otros EL LAPLACIANO DE UN PRODUCTO DE CAMPOS
Si un campo escalar viene definido como producto de dos campos vectoriales entonces se puede definir el Laplaciano de la siguiente manera: 𝛁 𝟐 (𝑢𝑣) = (𝛁 𝟐 𝑢)𝑣 + 𝑢𝛁 𝟐 𝑣 + 2(𝛁𝑢) ∙ (𝛁𝑣)
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EL LAPLACIANO Y LOS CAMPOS VECTORIALES
El operador Laplaciano es aplicado a un campo vectorial, éste actúa sobre cada componente del campo y genera otro campo vectorial. EJEMPLOS DE CLASE
Encuentre el Laplaciano de los siguientes campos escalares cuyos gradientes 𝛁𝑓 son dados a continuación. a) 𝛁𝑓 = 2𝑥𝑧𝒊 + 𝑥 2 𝒌 b) 𝛁𝑓 = 𝑒 𝑧 𝒊 + 𝑦𝑗 + 𝑥𝑒 𝑧 𝒌 1
𝑥
𝑥
c) 𝛁𝑓 = 𝑦𝑧 𝒊 + 𝑦2 𝑧 𝑗 + 𝑦𝑧2 𝒌 1
1
1
d) 𝛁𝑓 = 𝑥 𝒊 + 𝑦 𝑗 + 𝑧 𝒌 Notas:
ESTRATEGIAS DE ENSEÑANZA A diferencia de las clases tradicionales intramuros, el curso se desarrollará con apoyos en tecnologías de información, la inclusión (innovación) de incluir contenido, información y tendencias en redes sociales, el uso de la plataforma EMINUS, canal de YouTube, y proyectos mensuales para que el participante del curso se involucre en la dinámica del curso, y encuentre la motivación necesaria en la compresión de los tópicos a desarrollar. PROYECTOS DE CLASE Y RECOLECCIÓN DE DATOS REALES
Se implementa una técnica de involucramiento del estudiante con la asimilación de conceptos como campos vectoriales y escalares, consistente de levantamiento de datos de campo en clase, así mismo como toma de mediciones de diferentes parámetros físicos dentro de la facultad de ingeniería (temperaturas, luminosidad de puntos específicos del suelo, inclinación del suelo), para la creación de campos escalares y vectoriales reales para su posterior análisis en los software matemáticos correspondientes.
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USO DE SOFTWARE MATEMÁTICO MATLAB
En la actualidad el uso de software matemático es de especial importancia ya que sirve como apoyo visual y operacional a las diferentes abstracciones que en los diferentes tópicos de la materia de cálculo multivariable se estudian, el software MATLAB presenta un entorno amigable de uso, y posee todas las herramientas de cálculo, así como visualizaciones de las diferentes temáticas de la matemática de la asignatura. Es importante destacar propondrán ante academia cuadernos de prácticas con software computacional como el entorno MATLAB, pero con ayuda de los cursos PROFAS para profesores se implementarán nuevos softwares matemáticos a los cuadernos de prácticas como MAPLE y MATHEMATICA. Con la utilización de software matemático se promueven los saberes heurísticos de Análisis de la información, Contextualización de la información, fenómenos/situaciones de otras disciplinas Autoaprendizaje, Argumentación, Asociación de ideas, Plantear alternativas, Identificar variables. Y axiológicamente se promueve y refuerza la confianza del participante con cada meta conseguida. CANAL DE YOUTUBE
De manera paralela a la clase se generarán las sesiones completas correspondientes a cada clase en el canal de YouTube vinculadas a una “playlist” de videos seriados correspondientes a las 60 clases de la planeación del curso a 15 semanas, para que el estudiante al momento de revisar el material de clase en su casa, pueda resolver en cualquier momento sus dudas de la clase volviéndola a visualizar en la red en el momento que lo desee. Esto es una herramienta indispensable en la actualidad ya que los contenidos se pueden visualizar en cualquier momento y se pueden descargar para poderlos guardar en dispositivos móviles. Se promueven los saberes heurísticos de Contextualización de la información, Trasladar situaciones a hechos concretos y viceversa, Autoaprendizaje, Argumentación, Asociación de ideas, Formulación de
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preguntas, Abstracción, Inferencia, Plantear alternativas. Y se promueven saberes axiológicos como compromiso y colaboración.
FACEBOOK
El docente tiene canal de Facebook donde los estudiantes comparten preguntas en foros y mediante la red social pueden acceder a contenidos y llevar el seguimiento de los avances de clase. La red social ya forma parte del entorno cotidiano del estudiante y en su sección de noticias aparecerán los contenidos y asignaciones de cada clase, para su seguimiento puntual y oportuno.
La inclusión de las redes sociales hace más ameno y al mismo tiempo inclusivo el conocimiento.
PROMOCIÓN DE SABERES TEÓRICOS Los saberes teóricos son reforzados además de su plena y clara explicación en clase con ejercicios dentro del aula y fuera de ella. Los cuales consisten en la resolución y entrega de objetivos completados un cuaderno de ejercicios, tareas individuales, tareas en equipo, y proyectos de aplicación por parcial. Todo lo anterior con la finalidad de apoyar el aprendizaje mediante una técnica de “total atención” del alumno hacia las actividades extra clase del curso. CUADERNO DE EJERCICIOS (PROPUESTA)
La creación de un cuaderno de ejercicios para la resolución extra clase del alumno apoya a la asimilación del contenido del tema debido a su repetición y ejecución, es bien sabido que las materias matemáticas dependen en gran medida de la ejecución de tareas específicas y de la práctica que el propio estudiante desarrolle en su estudio individual. TAREAS INDIVIDUALES (SEGUIMIENTO DE CASOS PARTICULARES)
De las fuentes de información se deben realizar tareas de investigación de la aplicación del concepto o conceptos asimilados
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en clase, muchas veces existen focos de atención que requieren estimulación personal, así que las tareas individuales no implican que la totalidad de los participantes desarrollen las mismas, sino que los participantes que por circunstancias particulares no pudieron asimilar a la velocidad del grupo los contenidos, los refuercen ejercitando sus habilidades de manera individual dando un seguimiento puntual del avance de estos participantes. El compromiso como saber axiológico y el autoaprendizaje como heurístico destacan en su promoción con este tipo de tareas.
TAREAS EN EQUIPO
Las tareas en equipo están pensadas para reforzar los aspectos heurísticos de la materia como son Análisis de la información, Búsqueda bibliográfica y en Internet, en español e inglés, Construcción de reporte, Contextualización de la información, Análisis de fenómenos de causa – efecto, Modelar fenómenos/situaciones de otras disciplinas, Trasladar situaciones a hechos concretos y viceversa, Autoaprendizaje, Argumentación, Asociación de ideas, Formulación de preguntas, Abstracción, Inferencia, Plantear alternativas, Identificar variables, siendo este tipo de dinámicas las menos aprovechadas y las que representan mayor potencial de integración del participante con la materia. Mediante los aspectos axiológicos preponderantes en el mundo actual como el Liderazgo, el ingenio, la tolerancia hacia los compañeros y la honestidad, el participante puede colaborar con sus compañeros y puede lograr objetivos conjuntos que nunca podría lograr individualmente. Los proyectos de colección de datos son un ejemplo claro que involucra la colaboración completa de un equipo de trabajo conformado por participantes involucrados en conseguir objetivos específicos. Después la aplicación de las técnicas computacionales a los datos dará el valor al trabajo realizado gratificando y dando la motivación necesaria para organizarse mejor en los subsecuentes trabajos en equipo.
PROYECTOS DE APLICACIÓN
Son definidos como actividades que deben reportarse con la formalidad que se le dá a un trabajo profesional, realizando mediciones en campo, y recolección de parámetros para el análisis así mismo generación de discusiones tanto como conclusiones posteriores. Son ejemplos de proyectos de aplicación:
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Generación de campos escalares de luminosidad de las zonas libres de la facultad de ingeniería para análisis de factibilidad de páneles solares. Generación de campos escalares para el análisis de flujos de agua en posibles eventos de inundación en la facultad de ingeniería o zonas particulares. Generación de campos escalares de varias variables de parámetros de salud o bienestar de la población de estudiantes de la facultad de ingeniería o facultades aledañas.
DESARROLLO DE HABILIDADES, DESTREZAS Y ACTITUDES NECESARIAS PARA EL DESEMPEÑO PROFESIONAL Las disciplinas matemáticas muchas veces son vistas como demasiado abstractas para ser aplicadas en la vida cotidiana, sin embargo, esa aseveración no puede estar más alejada de la realidad, es importante que el participante del curso conozca y aplique lo aprendido en cada módulo para poder darle un grado mayor de significación al aprendizaje asimismo pueda redituarle confianza y valor a su trabajo en clase. RECOLECCIÓN DE DATOS
Se implementa una técnica de involucramiento del estudiante con la asimilación de conceptos como campos vectoriales y escalares, consistente de levantamiento de datos de campo en clase, así mismo como toma de mediciones de diferentes parámetros físicos dentro de la facultad de ingeniería (temperaturas, luminosidad de puntos específicos del suelo, inclinación del suelo), para la creación de campos escalares y vectoriales reales para su posterior análisis en los software matemáticos correspondientes.
CRITERIOS Y MEDIOS DE EVALUACIÓN Evidencia (s) de desempeño
Criterios de desempeño
Campo(s) de aplicación
Porcentaje
Opción 1:
Proceso de solución. Claridad. Creatividad. Presentación. Cantidad.
Trabajos clase.
Entregados en tiempo y Centro Cómputo, forma. Biblioteca, Originalidad. Casa. Claridad.
extra-
70%
Aula
Solución de problemas y ejercicios en exámenes parciales ó en un examen general de conocimientos.
de
25%
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Participación clase.
en
Intervención o Oportuna. o Ordenada. o Clara.
Aula.
5%
Aula.
80%
Opción 2: Solución de problemas y ejercicios en exámenes parciales ó en un examen general de conocimientos.
Proceso de solución. Claridad. Creatividad. Presentación. Cantidad.
Trabajos clase.
Entregados en tiempo y Centro Cómputo, forma. Biblioteca, Originalidad. Casa. Claridad.
extra-
de
20%
Opción 3: Solución de problemas y ejercicios en exámenes parciales ó en un examen general de conocimientos.
Proceso de solución. Claridad. Creatividad. Presentación. Cantidad.
Aula.
100%
FUENTES DE INFORMACIÓN Las fuentes de información representan la parte fundamental del apoyo del estudiante para los trabajos individuales y en equipo, así como para la recolección tanto como tratamiento de datos. Dejar claro de dónde puede obtenerse información para consulta, apoyo o resolución de dudas es medular para fortalecer factores axiológicos como el compromiso.
BÁSICAS
Larson, Ronal E. Calculo y Geometría Analítica ,McGraw-Hill Leitold, L. Calculo con Geometría Analítica, Harper and Row Latinoamericana Sowokowski E. W. Calculo con Geometría Analítica, Iberoamérica Protter M.H., Morrey CH.B., Fondo Educativo Interamericana Murray Spiegel ,Analisis Vectorial serie Shaums, McGraw-Hill
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Churchill, R. V. Variables Complejas y sus Aplicaciones. Mc GrawHill. COMPLEMENTARIAS
Marsden. J. E. Y Tromba, A. J. Calculo Vectorial Addison Wesley Iberoamericana Edwards. C.H. Jr. y Penney, d.e Calculo y Geometría Analítica Prentice Hall ALTERNATIVAS
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