Distribusi Peluang.docx

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Statistik merupakan kegiatan mengumpulkan, menyajikan, menganalisis, serta menginterpretasikan data mengenai kehidupan. Istilah ’statistika’ (bahasa Inggris: statistics) berbeda dengan ’statistik’ (statistic). Statistika merupakan ilmu yang berkenaan dengan data, sedang statistik adalah data, informasi, atau hasil penerapan algoritma statistika pada suatu data. Pada mulanya statistika sematamata hanya dikaitkan dengan pemaparan fakta-fakta dengan angka-angka atau gambar yang menyangkut situasi kependudukan dan perekonomian untuk mengambil keputusan politik di suatu negara. Hal tersebut sampai sekarang masih dilakukan. Pada perkembangannya statistika adalah sekumpulan konsep atau metode

yang dapat

digunakan untuk

mengumpulkan, menyajikan dan

menganalisis data serta menarik kesimpulan berdasar hasil analisis data tersebut. Sejauh ini teori peluang yang kita bicarakan hanya sebatas pada suatu peristiwa tertentu atau tentang kemungkinan terjadinya peristiwa dengan nilai peluang tertentu. Padahal masih ada nilai-nilai peluang dari peristiwa lainnya yang bisa ditentukan. Nilai-nilai peluang tambahan yang demikian bisa membentuk suatu distribusi yang disebut sebagai distribusi peluang. Sebagai contoh, ketika melempar sebuah dadu, kita bisa menghitung peluang dari seluruh peristiwa yang mungkin yakni munculnya angka 1, 2, 3, 4, 5 dan 6 yang masingmasing memiliki peluang 1/6. Peluang merupakan teori dasar stastistika, suatu disiplin ilmu yang mempelajari pengumpulan, pengaturan, perhitungan, penggambaran dan penganalisisan data, serta penarikan kesimpulan yang valid berdasarkan penganalisisan yang dilakukan dan pembuatan keputusan yang rasional.

1

1.2 Rumusan Masalah 1. Apa itu Distribusi binomial ? 2. Apa itu Distribusi multinomial ? 3. Apa itu Distribusi hipergeometrik ? 4. Apa itu Distribusi Poisson ? 5. Apa itu Distribusi normal ? 6. Apa itu Distribusi student ? 7. Apa itu Distribusi chi kuadrat ? 8. Apa itu Distribusi F ?

1.3 Tujuan Makalah 1. Mengetahui apa itu Distribusi binomial 2. Mengetahui apa itu Distribusi multinomial 3. Mengetahui apa itu Distribusi hipergeometrik 4. Mengetahui apa itu Distribusi Poisson 5. Mengetahui apa itu Distribusi normal 6. Mengetahui apa itu Distribusi student 7. Mengetahui apa itu Distribusi chi kuadrat 8. Mengetahui apa itu Distribusi F

2

BAB II PEMBAHASAN

2.1 Distribusi binomial Distribusi

Binomial ditemukan

oleh

seorang

ahli

matematika

berkebangsaan Swiss bernama Jacob Bernauli.Oleh karena itu distribusi binomial ini dikenal juga sebagai distribusi bernauli. Distribusi binomial berasal dari percobaan binomial yaitu suatu proses Bernoulli yang diulang sebanyak n kali dan saling bebas. Suatu distribusi Bernoulli dibentuk oleh suatu percobaan Bernoulli (Bernoulli trial). Sebuah percobaan Bernoulli harus memenuhi syarat:Keluaran (outcome) yang mungkin hanya salah satu dari “sukses” atau “gagal”, Jika probabilitas sukses p, maka probabilitas gagal q = 1 – p. Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik. Distribusi Binomial digunakan untuk data diskrit (bukan data kontinu) yang dihasilkan

dari

eksperimen

Bernouli,

mengacu

kepada

matematikawan

JacobBernouli. Peristiwa pelemparan mata uang (koin) yang dilakukan beberapa kaliadalah contoh dari proses bernouli, dan hasil (outcomes) dari tiap-tap pengocokan dapat dinyatakan sebagai distribusi probabilitas binomial. Kejadian sukses atau gagal calon pegawai dalam psikotest merupakan contoh lain dari proses Bernouli. Sebaliknya distribusi frekuensi hidupnya lampu neon di pabrik anda harus diukur dengan skala kontinu dan bukan dianggap sebagai distribusi binomial. Secara formal, suatu eksperimen dapat dikatakan eksperimen binomial jika memenuhi empat persyaratan: 1.

Banyaknya eksperimen merupakan bilangan tetap (fixed number of trial)

3

Setiap ekperimen selalu mempunyai dua hasil ”Sukses” dan ”Gagal”.

2.

Tidak ada ‟daerah abu-abu‟. Dalam praktiknya, sukses dan gagal harus didefinisikan sesuai keperluan, Misal: 

Lulus (sukses), tidak lulus (gagal)



Setuju (sukses), tidak setuju (gagal)



Barang bagus (sukses), barang sortiran (gagal)



Puas (sukses), tidak puas (gagal)

3.

Probabilitas sukses harus sama pada setiap eksperimen.

4.

Eksperimen tersebut harus bebas satu sama lain, artinya satu eksperimen

tidak boleh berpengaruh pada hasil eksperimen lainnya.

Untuk membentuk suatu distribusi binomial diperlukan dua hal : 1.

Banyaknya/jumlah percobaan/kegiatan;

2.

Probabilitas suatu kejadian baik sukses maupun gagal.

Rumus Distribusi Binomial Keterangan : P(B)

= Peluang berhasil, bisa juga dimisalkan dengan p

P(G)

= Peluang gagal, bisa juga dimisalkan dengan q

n

= banyak percobaan yang dilakukan

X

= banyaknya percobaan yang berhasil nilai X ini berada

0<X
Contoh Soal : Kemungkinan seorang balita tidak di imunisasi campak adalah 1/5. Pada tanggal 26 Juni 2016, di klinik Anda terdapat 4 orang balita. Berapakah peluang dari balita tersebut 2 orang belum mendapatkan imunisasi campak?

4

Penyelesaian: Langsung kita selesaikan dengan polinomial. Identifikas terlebih dahulu. Total (n) = 4. Yang diinginkan/harapkan (x) = 2. p= 1/5. Karena p+q =1. Maka didapat q =1 -0,2 =0,8. Kemudian digunakan penyelesaian dengan menggunakan rumus distribusi binomial.

2.2 Distribusi Multinomial Percobaan multinomial terjadi bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil yang mungkin.Jadi pembagian hasil pabrik jadi ringan, berat/masih dapat diterima, demikaian juga percobaan kecelakaan disuatu simpang jalan menurut hari dalam seminggu merupakan percobaan multinomial. Penarikan suatu kartu dari sekotak kartu brige dengan pengambilan juga merupakan percobaan multinomial bila yang menjadi perhatian keempat warna kartu. Bila setiap ulangan menghasilkan salah satu dari 𝑘 hasil percobaan 𝐸1 , 𝐸2 , … , 𝐸𝑘 dengan peluan 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑘 , maka sebaran peluang bagi peubah acak 𝑋1 , 𝑋2 , … , 𝑋𝑘 , yang menyatakan berapa kali 𝐸1 , 𝐸2 , … , 𝐸𝑘 terjadi dalam 𝑛 ulangan yang bebas, adalah : 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ; 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑘 , 𝑛) = (𝑥1 , 𝑥2 𝑛 , … , 𝑥𝑘 )𝑝1 𝑥1 𝑝2 𝑥2 … 𝑝𝑘 𝑥𝑘 , Dengan

∑𝑘𝑖=1 𝑥𝑖 = 𝑛 dan ∑𝑘𝑖=1 𝑝𝑖 = 1.

Distribusi multinomial mendapatkan namanya dari kenyataan bahwa sukusuku penguraian multinomial (𝑝1 +𝑝2 𝑥2 + ⋯ + 𝑝𝑘 )𝑛 , berpadanan dengan semua kemungkinan nilai 𝑓(𝑥1 , 𝑥2 , … , 𝑥𝑘 ; 𝑝1 , 𝑝2 , … , 𝑝𝑘 , 𝑛)

5

Contoh : Bila dua dadu dilantunkan 6 kali, berapa peluang mendapatkan jumlah bilangan yang muncul sebesar 7 atau 11 sebanyak dua kali, bilangan yang sama pada kedua dadu sekali, dan kemungkinan lainnya tiga kali? Jawab: Kita daftarkan kejadian yang mungkin terjadi: 𝐸1 : terjadi jumlah bilangan yang muncul 7 atau 11 𝐸2 : muncul bilangan yang sama pada kedua dadu 𝐸3 : kemungkinan lainnya selain dua di atas. 2

Dalam setiap ulangan, peluang masing-masing kejadian di atas adalah 𝑝1 = 9, 1

11

𝑝2 = 6 dan 𝑝3 = 18. Ketiga peluang tersebut tidak berubah dari ulangan satu ke ulangan lainnya. Dengan menggunakan distribusi multinomial denga 𝑥1 = 2, 𝑥2 = 1 dan 𝑥3 = 3, kita mendapatkan peluang yang ditanyakan: 𝑓 (2, 1, 3;

2 1 11 2 2 1 1 11 3 6 , , , 6) = ( )( ) ( ) ( ) 2, 1, 3 9 9 6 18 6 18 =

6! 2 2 1 11 3 ∙( ) ∙( )∙( ) 2! 1! 3! 9 6 18

= 0,1127

2.3 Distribusi Hipergeometrik Eksperimen hipergeometrik memiliki karakteristik sebagai berikut: 1. sebuah sampel random berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N item (populasi) 2. k dari N item dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan N – k diklasifikasikan sebagai gagal Jumlah sukses yang terjadi dalam suatu eksperimen hipergeometrik disebut dengan variabel random hipergeometrik dan distribusi probabilitas dari variabel random ini disebut dengan distribusi hipergeometrik. Dapat disimpilkan bahwa distribusi hipergeometrik adalah distribusi probabilitas diskrit dari sekelompok obyek yang dipilih tanpa pengembalian.

6

Rumus Distribusi Hipergeometrik Distribusi Hipergeometri Jumlah cara/hasil dari memilih nelemen dari Nobyek adalah kombinasi :

Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh xsukses dan (n–k) gagalm dari suatu populasi yang terdiri dari ksukses dan (N –k) gagal adalah :

1). Fungsi Padat Peluang Jumlah cara/hasil dari memilih/memperoleh xsukses dan (n–k) gagalm dari suatu populasi yang terdiri dari ksukses dan (N –k) gagal adalah :

Keretangan : x = jumlah terambil dari kelompok sukses N = Jumlah sampel populasi n = jumlah sampel k = jumlah sukses.

Beberapa ukuran statistik deskriptif distribusi hipergeometrik. Cara Mencari Nilai Harapan Dari Distribusi Hipergeometrik. Sering kali kita tidak hanya tertarik pada jumlah keberhasilan dalarn n kali percobaan, tetapi juga proporsi dari keberhasilan. Jika X mewakili jumlah keberhasilan dan P mewakili proporsi keberhasilan, maka P =X/no Kita dapat menemukan E(P) dan Var(P) sebagai berikut:

7

Nilai harapan dari proporsi keberhasilan sarna dengan p, probabilitas keberhasilan. Sebagai contoh, jika probabilitas bahwa suatu mesin akan berjalan sebagaimana mestinya adalah 3/4, maka anda dapat mengharapkan mesin tersebut bekerja 3/4 (75%) dari waktu yang anda opeasika

Contoh Soal : 1. Tumpukan 40 komponen masing-masing dikatakan dapat diterima bila isinya tidak lebih dari 3 yang cacat. Prosedur penarikan contoh tumpukan tersebut adalah memilih 5 komponen secara acak dan menolak tumpukan tersebut bila ditemukan suatu cacat. Berapakah probabilitas bahwa tepat 1 cacat ditemukan dalam contoh itu bila ada 3 cacat dalam keseluruhan tumpukan itu ? Penyelesaian: Dengan menggunakan sebaran hipergeometri dengan n = 5, N = 4, k = 3 dan x = 1 kita dapatkan probabilitas perolehan satu cacat menjadi :

2.4 Distribusi Poisson Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random x (x diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu (Hassan,2001). Distribusi Poisson disebut juga distribusi peristiwa yang jarang terjadi, ditemukan oleh S.D.Poisson (1781–

8

1841), seorang ahli matematika berkebangsaan Prancis. Distribusi Poisson termasuk distribusi teoretis yang memakai variabel random diskrit.

9

2.5 Distribusi normal Distribusi peluang kontinu yang terpenting dalam seluruh bidang statistika adalah distribusi normal. Distribusi normal merupakan suatu alat statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan peristiwa-peristiwa yang lebih luas. Grafiknya disebut kurva normal, terbentuk lonceng seperti pada gambar 2.1. yang menggambarkan dengan cukup baik banyak gejala yang muncul di alam, industri, dan penelitian. Pengukuran fisik di bidang seperti percobaan meteorologi, penelitian curah hujan, dan pengukuran suku cadang yang diproduksi sering dengan baik dapat diterangkan menggunakan distribusi normal. Di samping itu, galat dalam pengukuran ilmiah dapat dihampiri dengan sangat baik oleh distribusi normal. Pada tahun 1733, Abraham de Moivre menemukan persamaan matematika kurva normal. Ini merupakan dasar bagi banyak teori statistika induktif. Distribusi normal sering pula disebut distribusi Gauss untuk menghormati Karl Friedrich Gauss (1777-1855) yang juga menemukan persamaannya waktu meneliti galat dalam pengukuran yang berulang- ulang mengenai bahan yang sama.

10

Gambar 2.1 Suatu peubah acak kontinu X yang distribusinya berbentuk lonceng seperti pada gambar 2.1 disebut peubah acak normal. Persamaan matematika distribusi peluang peubah normal kontinu bergantung pada dua parameter 𝜇 dan

𝜎 yaitu rataan dan simpangan bakunya. Jadi fungsi padat X akan

dinyatakan dengan n (x, 𝜇, 𝜎) .

Distribusi Normal Fungsi padat peubak acak normal X, dengan rataan 𝜇 dan variansi 𝜎 , ialah  1  x     

2

  1 n( x;  ,  )  e  2  2

  x  

Dengan 𝜋= 3,14159 ... dan e = 2,71828 Fungsi densitas distribusi normal diperoleh dengan persamaan sebagai berikut f ( x) 

x 2 1 ( ) 1 e 2   2

Keterangan: π = 3,1416 e = 2,7183 µ = rata-rata σ = simpangan baku Begitu 𝜇 dan 𝜎 diketahui maka seluruh kurva normal diketahui. Sebagai contoh, bila 𝜇 = 50 dan 𝜎 = 5 , maka ordinat n(x; 50, 5) dapat dengan mudah dihitung untuk berbagai nilai x dan kurvanya dapat digambarkan. Pada ambar 2.2 telah dilukiskan dua kurva normal yang mempunyai simpangan baku

11

yang sama tapi rataanya berbeda. Kedua kurva bentuknya persis sama tapi titik tengahnya terletak di tempat yang berbeda di sepanjang sumbu datar.

Gambar 2.2 Pada gambar 2.3 terlukis dua kurva normal denga rataan yang sama tapi simpangan bakunya berlainan. Terlihat kedua kurva mempunyai titik tengah yang sama pada sumbu datar, tapi kurva dengan simpangan baku yang lebih besar tampak lebih rendah dan lebih melebar. Perhatikan bahwa luas di bawah kurva peluang harus sama dengan 1 sehingga baik kumpulan data makin berbeda maka makin rendah dan melebar pula kurvanya.

Gambar 2.3 Gambar 2.4 memperlihatkan lukisan dua kurva normal yang baik rataan maupun simpangan bakunya berlainan. Jelas keduanya mempunyai letak titik tengah yang berlainan pada sumbu datar dan bentuknya mencerminkan dua nilai 𝜎 yang berlainan.

12

Gambar 2.4

Beberapa sifat dari kurva fungsi kepadatan peluang (densitas) distribusi normal umum: 1. Kurvanya berbentuk lonceng dan simetrik di x = µ. 2. Rataan, median, modus dari distribusi berimpitan. 3. Fungsi kepadatan peluang mencapai nilai maksimum di x = µ sebesar 1 2 2 .

4. Kurvanya berasimtot sumbu datar x. 5. Kurvanya mempunyai titik infleksi (x, f(x), dengan x = µ ± σ,

f ( x) 

1 2 2

e



1 2

Mean , Variansi dan Fungsi Pembangkit Momen Mean, variansi dari fungsi pembangkit momen dari distribusi normal umum adalah: Mean E ( X )   2 Variansi Var ( X )  

Pembangkit momen Mx(t )  e

13

 t  2 t 2    2  

Pr oof . 

E ( X )     x. f ( x)dx  



 x.

2



Misal z 

(x  )



 ( x   )2

1 2

2 2

e

dx

, maka x   z dan dx  dz

Batas-batasnya x  0 maka z  0, dan x   maka z  . 

E( X ) 

 ( z   ).



  2



ze



 z2 2

1 2 2

e

 dx  2

 z2 2

z dz





e

 z2 2

dx



z2  karena f  x   z e merupakan fungsi ganjil, maka 2 2



 ze



  2z sehingga kita mencari dulu  e dx 2  (x  ) Misal z  , maka x   z   dan dx   dz  2

Batas-batasnya x  0 maka z  0, dan x   maka z  

 2





e

 z2 2

dx

 

 



1 e 2



 



 ( x   )2 2 2

1 2 2

1

 e

 ( x   )2 2 2

dx

dx

  .(1)  Sehingga z    E( X )  z e 2 dx   2  2 0   2

14







e

 z2 2

dx

 z2 2

dz  0

Pr oof . Var ( X )  E ( X   ) 2 





( z   ) 2 f ( x)dx

 





( z   ) 2 f ( x)dx

 





(z  )

2



Misakan p 

x



 ( x   )2

1

2

2

e

2 2

dx

, maka x     p, dx   dp

Batas-batasnya x  0 maka p  0, dan x   maka p   Var ( X ) 



2

p 2

2 2

2

e

 p2 2

 dp

0

Contoh soal : Diketahui

nilai

rata-rata

hasil

UN

tahun

2015

adalah

73,25

dengan varians 42,25 , serta nilai UNUN terdistribusi secara normal . Jika dipilih siswa lulusan SMA yang ikut UAN, tentukan peluang siswa tersebut nilainya a. Kurang dari 8080 b. Antara 6060 sampai 70 Penyelesaian : a. Peluang siswa nilainya kurang dari 80 Misalnya X adalah nilai seorang siswa, maka yang ditanya P(X<80) rata-rata μ=73,25 dan variansnya σ2=42,25 → σ=6,5 𝑧=

𝑥−𝜇 80 − 73,25 → 𝜎 6,5 =1,038

Jadi P(X<80) = P (Z<1,038) PX =0,8504 Jadi peluang siswa nilainya kurang dari 80 adalah 0,85040

15

b. Peluang siswa nilainya antara 60 sampai 70 misalnya X adalah nilai seorang siswa, maka yang ditanya P(60<X<70) rata-rata μ=73,25 dan variansnya σ2 = 42,25→ σ = 6, 𝑧= Untuk 𝑥 = 60 → 𝑧 = Untuk 𝑥 = 70 → 𝑧 =

60 −73,25 6,5 70 −73,25 6,5

𝑥−𝜇 𝜎

= 2,038 = −0,5

Jadi P(60 < X < 70) =P (−2,038 < Z < −0,5) =P (Z < −0,5) − P( Z < −2,038) ={1− P (Z < 0,5) }−{1 – P (Z < 2,038) ={1−0,6915}−{1−0,9792} ={0,3085}−{0,0208} =0,2877 Jadi peluang siswa nilainya antara 60 dan 70 adalah 0,28770 Atau bisa juga : P(60 < X < 70) = P(−2,038 < Z < −0,5) =P (0,5 < Z < 2,038) =P (Z< 2,038) −P(Z < 0,5) = 0,9792−06915 =0,2877

2.6 Distribusi student student t test adalah uji komparatif untuk menilai perbedaan antara nilai tertentu dengan rata-rata kelompok populasi. Student t test disebut juga dengan istilah one sample t test atau uji t satu sampel oleh karena uji t di sini menggunakan satu sampel.

Rumus Student T Test Berikut kami jelaskan rumus student t test:

16

Rumus student t test Keterangan: t : t hitung : rata-rata sampel : rata-rata spesifik atau rata-rata tertentu (yang menjadi perbandingan) s

: standart deviasi sampel

n : jumlah sampel.

Contoh Student T Test Sebagai contoh uji student t adalah penelitian yang bertujuan untuk menilai apakah terdapat perbedaan yang bermakna antara rata-rata (mean) tinggi badan siswa SMA sekolah A kelas 1 dengan tinggi badan rata-rata nasional siswa SMA kelas 1. Rata-rata atau harapan tinggi badan siswa SMA kelas 1 secara nasional misalkan 150 cm. Maka penelitian tersebut menguji apakah terdapat perbedaan bermakna rata-rata tinggi badan siswa SMA kelas 1 sekolah A dengan rata-rata tinggi badan nasional siswa SMA kelas 1 yaitu 150 cm. Misalkan siswa kelas 1 sekolah A yang menjadi sampel penelitian sebesar 50 orang, maka apabila hasilnya nanti misalkan rata-rata tinggi badan sebesar 145 cm. Apakah 145 cm ini berbeda signifikan secara statistik dengan 150 cm pada tingkat kepercayaan penelitian 95%? Di sinilah fungsi dari uji t student untuk menjawab hipotesis tersebut.

17

T Student Asumsi Student T Test Sebagaimana halnya uji parametris lainnya, uji student test juga mempunyai asumsi atau syarat yang harus dipenuhi. Asumsi tersebut antara lain: 1. Data harus berskala data interval atau rasio. Untuk mempelajari skala data, baca artikel kami pada Pengertian Data. 2. Data bersifat independen, artinya tidak terdapat korelasi antara rata-rata populasi dengan nilai tiap-tiap sampel dalam populasi. Hal ini biasanya terjadi jika data anda berasal dari data time series. Jadi sebenarnya hanya terdapat satu subjek namun diuji berulang-ulang dalam berbagai waktu. Jadi dengan kata lain, sampel yang diambil berasal dari pengambilan acak atau simple random sampling. 3. Data tidak terdapat outlier atau data pencilan. Adanya outlier harus dicari dan sampel yang menjadi outlier harus dikeluarkan dari penelitian. Biasanya batasan pencilan ini jika nilainya menjadi nilai ekstrem atau melebihi dari 3 kali standart deviasi. Untuk mendeteksi outlier, anda dapat menggunakan grafik stem-leaf, box-plot atau nomal qq plot. Selengkapnya pelajari di Normalitas pada SPSS.

18

4. Data harus berdistribusi normal. Uji normalitas yang digunakan dapat berbagai macam, tentunya jika anda menggunakan SPSS maka pilihannya adalah uji shapiro wilk, lilliefors atau kolmogorov smirnov. Untuk menentukan uji yang tepat sebaiknya perhatikan jumlah sampel. Setelah anda selesai memastikan apakah sampel yang digunakan telah memenuhi asumsi, maka selanjutnya anda bisa memulai melakukan uji student t test dengan menggunakan aplikasi yang anda miliki, misalkan SPSS.

2.7 Distribusi chi kuadrat Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi observasi atau yang benar-benar terjadi atau aktual dengan frekuensi harapan. Yang dimaksud dengan frekuensi harapan adalah frekuensi yang nilainya dapat di hitung secara teoritis (e). sedangkan dengan frekuensi observasi adalah frekuensi yang nilainya di dapat dari hasil percobaan (o). Dalam statistik, distribusi chi square termasuk dalam statistik nonparametrik. Distribusi nonparametrik adalah distribusi dimana besaran-besaran populasi tidak diketahui. Distribusi ini sangat bermanfaat dalam melakukan analisis statistik jika kita tidak memiliki informasi tentang populasi atau jika asumsi-asumsi yang dipersyaratkan untuk penggunaan statistik parametrik tidak terpenuhi. Chi-kuadrat ini digunakan untuk mengadakan pendekatan dari beberapa vaktor atau mngevaluasi frekuensi yang diselidiki atau frekuensi hasil observasi dengan frekuensi yang diharapkan dari sampel apakah terdapat hubungan atau perbedaan yang signifikan atau tidak. Dalam statistik, distribusi chi square termasuk dalam statistik nonparametrik. Distribusi nonparametrik adalah distribusi dimana besaran-besaran populasi tidak diketahui. Distribusi ini sangat bermanfaat dalam melakukan analisis statistik jika kita tidak memiliki informasi tentang populasi atau jika asumsi-asumsi yang dipersyaratkan untuk penggunaan statistik parametrik tidak terpenuhi. Jika parameter α pada distribusi gamma diganti menjadi v/2, dan β diganti menjadi 2, dimana v adalah bilangan bulat positif, maka distribusi gamma tersebut akan menjadi distribusi khi-kuadrat. Distribusi khi-kuadrat ini memiliki parameter tunggal yaitu v, atau disebut juga dengan derajat kebebasan.

19

Fungsi Kepadatan Peluang

Mean : µ = v Varian : σ2 = 2v Fungsi Pembangkit Momen (MGF) : Mx(t) = (1 – 2t)-v/2 Fungsi Karakteristik : Cx(t) = (1 – 2it)-v/2 Fungsi Pembangkit Peluang : Gx(t) = (1 – 2 ln t)-v/2 Contoh Soal : Telah dilakukan pengumpulan data untuk mengetahui bagaimana kemungkinan rakyat dikabupaten pringgodani dalam memilih dua calon kepala desa. Calon yang satu adalah wanita dan calon yang kedua adalah pria. Sampel sebagai sumber data diambil secara random sebanyak 300 orang. Dari sampel tersebut ternyata 200 orang memilih pria dan 100 orang memilih wanita. Hipotesis yang diajukan adalah: Ho: peluang calon pria dan wanita adalah sama untuk dapat dipilih menjadi kepala desa. Ha: peluang calon pria dan wanita adalah tidak sama untuk dapat di pilih menjadi kepala desa. Untuk dapat membuktikan hipotesis dengan rumus 5.4 tersebut, maka data yang terkumpul perlu disusun ke dalam tabel seperti tabel 5.3 berikut:

TABEL 5.3 KECENDRUNGAN RAKYAT DI KABUPATEN PRINGGODANI DALAM MEMILIH KEPALA DESA Alternatif Calon Frekuensi yang Frekuensi yang Kepala Desa diperoleh diharapkan Calon Pria 200 150 Calon Wanita 100 150 Jumlah 300 300 Catatan: Jumlah frekuensi yang diharapkan adalah sama yaitu 50% : 50% dari seluruh sampel.

20

Untuk dapat menghitung besarnya Chi Kuadrat (χ2) dengan menggunakan rumus 5.4, maka diperlukan tabel penolong seperti yang ditunjukkan pada tabel 5.4 berikut. TABEL 5.4 TABEL PENOLONG UNTUK MENGHITUNG CHI KUADRAT DARI 300 ORANG SAMPEL Alternatif fo fh fo - fh (fo – fh)2 (fo – fh)2/ Pilihan fh Pria Wanita Jumlah

200 100 300

150 150 300

50 -50 0

2500 2500 5000

16,67 16,67 33,33

Catatan: Disini frekuensi yang diharapkan (fh) untuk kelompok yang memilih pria dan wanita = 50%. Jadi, 50% x 300 = 150 Harga Chi Kuadrat dari perhitungan dengan rumus 5.4 ditunjukkan pada tabel di atas yakni jalur paling kanan yang besarnya 33,33. Untuk dapat membuat keputusan tentang hipotesis yang diajukan diterima atau di tolak, maka harga chi kuadrat tersebut perlu dibandingkan dengan Chi Kuadrat tabel dengan dk dan taraf kesalahan tertentu. Dalam hal ini berlaku ketentuan bila Chi Kuadrat hitung lebih kecil dari tabel, maka Ho diterima, dan apabila lebih besar atau sama dengan (≥) harga tabel maka Ho ditolak. Derajat kebebasan untuk Chi Kuadrat tidak tergantung pada jumlah individu dalam sampel. Derajat kebebasan akan tergantung pada kebebasan dalam mengisi kolom-kolom pada frekuensi yang yang diharapkan (fh) setelah disusun kedalam tabel berikut ini. Kategori I II

A B (a + b)

M N (m + n)

Dalam hal ini frekuensi yang diobservasi (fo) harus sama dengan frekuensi yang diharapkan (fh). Jadi (a + b) = (m + n) dengan demikian kita mempunyai

21

kebebasan untuk menetapkan frekuensi yang diharapkan (fh) = (m + n). Jadi kebebasan yang dimiliki tinggal satu yaitu kebebasan dalam menetapkan m atau n. Jadi untuk model ini derajat kebebasannya (dk) = 1. Berdasarkan dk = 1 dan taraf kesalahan yang kita tetapkan 5% maka harga Chi Kuadrat tabel = 3,841. Ternyata harga Chi Kuadrat hitung lebih besar dari tabel (33,33 > 3,841). Sesuai ketentuan kalau harga Chi Kuadrat hitung lebih besar dari tabel, maka Ho ditolak dan Ha diterima. Jadi, kesimpulannya, hipotesis nol yang diajukan bahwa peluang pria dan wanita sama untuk dipilih menjadi kepala desa di kabupaten itu ditolak. Hasil penelitian menunjukkan bahwa masyarakat di kabupaten itu cenderung memilih pria menjadi Kepala Desa. 2.8 Distribusi F Distribusi F merupakan distribusi variable acak kontinu. 𝟏

𝐟 (𝐅) = 𝑲

𝑭𝟐

(𝒗𝟏−𝟐)

𝒗𝟏𝑭 𝟏 (𝒗𝟏+𝒗𝟐) (𝟏+ 𝒗𝟐 )𝟐

Dimana: F=Variabel acak yang memenuhi F>0 K= Bilangan tetap yang harganya bergantung pada derajat kebebasan v1 dan v2 v1= Derajat kebebasan antara varians rata-rata sampel (sebagai pembilang) v2= Derajat kebebasan dalam keseluruhan sampel (sebagai penyebut) Luas dibawah kurva sama dengan satu. Daftar distribusi normal berisikan nilai-nilai F untuk peluang 0,01 dan 0,05 dengan derajat kekebasan v1 dan v2. Peluang ini sama dengan luas daerah ujung kanan yang diarsir, sedangkan derajat kekebasan pembilang (v1) ada pada baris paling atas dan derajat kebebasan penyebut (v2) pada kolom paling kiri.

22

Notasi lengkap untuk nilai-nilai F dari daftar distribusi F dengan peluang p dan dk = (v1,v2) adalah Fp (v1,v2). Demikianlah untuk contoh kitadidapat: F0.05 (24,8) = 3.12 dan F0.01 (24,8 ) = 5.28 Meskipun daftar yang diberikan hanya untuk peluang p = 0.05 dan p = 0.01, tetapi sebenarnya masih bisa didapat nilai-nilai F dengan peluang 0,99 dan 0,95. Untuk ini digunakan hubungan : 𝑭(𝟏−𝒑)(𝒗𝟏,𝒗𝟐) = 𝑭

𝟏

𝒑(𝟏,𝒗𝟐)

Dalam rumus diatas perhatikan antara p dan (1-p) dan pertukaran antara derajat kebebasan (v1,v2) menjadi (v2,v1).

Ujung Bawah dan Ujung Atas Sebagai gambaran tentang uji hipotesis statistika ujung bawah dan ujung atas pada distribusi probabilitas F Fisher-Snedecor, di sini, ditampilkan duacontoh yakni contoh 1 dan contoh 2. Mereka bersama-sama menguji hal yang sama, kecuali contoh 1 mengujinya melalui ujung atas sedangkan contoh 2 mengujinya melalui ujung bawah.

23

Contoh 1. Kita ingin menguji hipotesis tentang apakah variansi populasi X lebih besar dari variansi populasi Y. Misalkan penguji anini menggunakan sampel acak dengan ukuran sampel nX = 31 dan nY = 41 yang menghasilkan variansi sampel s2X = 5 dan s2Y = 2. Uji hipotesis ini dilakukan pada taraf signifikansi α = 0,05. Dalam hal ini, hipotesis statistika adalah:

 X2 1  Y2  X2 H1 : 1  Y2

H0 :

Dari variansi sampel diperoleh:

F

s X2 5   2,50 2 2 sY

Selanjutnya dari tabel fungsi ditribusi pada distribusi probabilitas F untuk vX = nX – 1 = 30, vY =nY – 1 = 40,dan α = 0,05 kita temukan F(0,95) (30) (40) = 1,74 sehingga kriteria pengujian menjadi Tolak H0 jikaF > 1,740 Terima H0 jika F≤ 1,740 Dan dalam hal ini, kita menolak H0. Contoh Soal : Kita ingin menguji hipotesis tentang apakah variansi populasi X lebih besar dari variansi populasi Y. Misalkan pengujian ini menggunakan sampel acak dengan ukuran sampel nX = 31 dan nY = 41 yang menghasilkan variansi sampel s2X = 5 dan s2Y = 2. Uji hipotesis ini dilakukan pada taraf signifikansi α = 0,05. Dalam hal ini, hipotesis statistika adalah:

 X2 H0 : 1  Y2  X2 H1 : 1  Y2 Dari variansi sampel diperoleh:

24

F

s X2 5   2,50 2 2 sY

Selanjutnya dari tabel fungsi ditribusi pada distribusi probabilitas F untuk vX = nX – 1 = 30, vY = nY – 1 = 40, dan α = 0,05 kita temukan F(0,95)(30)(40) = 1,74 sehingga kriteria pengujian menjadi Tolak H0 jika F > 1,740 Terima H0 jika F≤ 1,740 Dan dalam hal ini, kita menolak H0. Contoh 2. Kasus pada contoh 1 ingin kita uji melalui hipotesis statistika

H0 :

 Y2 1  X2

H1 :

 Y2 1  X2

Dari variansi sampel diperoleh

F

sY2 2   0,40 5 s X2

Selanjutnya dari tabel fungsi distribusi pada distribusi probabilitas F kita temukan F(0,05)(40)(30) = 0,537 sehingga kriteria pengujian menjadi Tolak H0 jika F < 0,537 Terima H0 jika F ≥ 0,537 Dalam hal ini, kita menolak H0.

25

BAB III PENUTUP 3.1 Kesimpulan Adapun kesimpulan pada makalah ini : 1. Distribusi binomial adalah distribusi probabilitas diskrit jumlah keberhasilan dalam n percobaan ya/tidak (berhasil/gagal) yang saling bebas, dimana setiap hasil percobaan memiliki probabilitas p. Eksperimen berhasil/gagal juga disebut percobaan bernoulli. Ketika n = 1, distribusi binomial adalah distribusi bernoulli. Distribusi binomial merupakan dasar dari uji binomial dalam uji signifikansi statistik. 2. Percobaan multinomial terjadi bila tiap usaha dapat memberikan lebih dari 2 hasil yang mungkin.Jadi pembagian hasil pabrik jadi ringan, berat/masih dapat diterima, demikaian juga percobaan kecelakaan disuatu simpang jalan menurut hari dalam seminggu merupakan percobaan multinomial. 3. Eksperimen hipergeometrik memiliki karakteristik sebagai berikut: (a). sebuah sampel random berukuran n diambil tanpa pengembalian dari N item (populasi), (b). k dari N item dapat diklasifikasikan sebagai sukses dan N – k diklasifikasikan sebagai gagal. 4. Distribusi Poisson adalah distribusi nilai-nilai bagi suatu variabel random x (x diskrit), yaitu banyaknya hasil percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu tertentu atau disuatu daerah tertentu. 5. Distribusi normal merupakan suatu alat statistik yang sangat penting untuk menaksir dan meramalkan peristiwa-peristiwa yang lebih luas. 6. Student t test adalah uji komparatif untuk menilai perbedaan antara nilai tertentu dengan rata-rata kelompok populasi. Student t test disebut juga dengan istilah one sample t test atau uji t satu sampel oleh karena uji t di sini menggunakan satu sampel. 7. Chi Kuadrat adalah pengujian hipotesis mengenai perbandingan antara frekuensi observasi atau yang benar-benar terjadi atau aktual dengan frekuensi harapan.

26

8. Uji hipotesis statistika melalui distribusi probabilitas F dapat dilakukan pada ujung bawah. Namun ada masalah di sejumlah buku statistika. Tabel fungsi distribusi pada distribusi probabilitas F di dalam lampiran buku statistika hanya mencantumkan nilai ujung atas dengan membatasi taraf signifikansi pada α = 0,05 dan α = 0,01. Karena itu, diperlukan teknik manupulasi tertentu agar uji ujung bawah dapat dilaksanakan dengan menggunakan tabel dengan nilai ujung atas.

27

DAFTAR PUSTAKA

Subana. (2000), Statistik Pendidikan, : Bandung : Pustaka Setia Sudijono, Anas. (2010). Pengantar Statistik Pendidikan. Jakarta: Rajawali Pers Sujana. (2005). Metoda Statistika. Bandung : Tarsito Supardi. (2009). Statistik pendidikan. Jakarta : Diadit media

28