Distribusi-normal.pdf

DISTRIBUSI PROBABILITAS: Distribusi Normal

2

Sekilas Distribusi Normal atau Gaussian ▪ Distribusi Normal atau Gaussian termasuk distribusi variabel kontinyu. ▪ Kurva distribusi berbentuk lonceng (bellshaped distribution) ▪ Distribusi Normal dirumuskan bermula dari observasi pada model sebaran error atau residual dalam pengukuran ilmiah yang mengikuti pola simetris dalam distribusi berbentuk lonceng.

3

Distribusi Normal

4

Tokoh Statistik Terkait Distribusi Normal ▪ Abraham DeMoivre (1733) ▪ Laplace (1775) ▪ Legendre (1805) ▪ Karl Friedrich Gauss (1809)

De Moivre 1667-1754

Laplace 1749-1827

Legendre 1752-1833

Gauss 1777-1855

5

Sifat Penting Distribusi Normal 1. Rentang variabel acak meliputi semua bilangan nyata dari negatif tak hingga sampai positif tak hingga (- < x < ) 2. Nilai fungsi probabilitas (pdf) bernilai positif untuk semua variabel acak (f(x) > 0) 3. Total probabilitas bernilai sebesar 1     f ( x)dx = 1    4. −...

6

Sifat Penting Distribusi Normal 3. ... 4. Nilai mean, median dan mode berimpit. 5. Kurva simetris dengan pembatas pada nilai rata-rata atau mean sebagai axis vertikal. 6. Titik belok atau perubahan fungsi kurva (inflection points) di +, pada bagian tengah cembung (concave downward) dan pada sisi luar (tail) cekung (concave upward) 7. ...

7

Sifat Penting Distribusi Normal 6. ... 7. Nilai fungsi probabilitas simetris terhadap mean. f ( − x) = f ( + x) 8. Nilai fungsi probabilitas di kedua ujung (tail) distribusi mengecil.

(lim f (x) = 0 x →−

dan

lim f ( x) = 0 x →

)

8

Distribusi Normal

9

Dua Bilangan Konstanta Spesial ▪ Bilangan natural (e) n 2 3 a a a   lim e −a = 1 −  = 1 − a + − +  n → 2! 3!  n e = 2,718281828459045235360287 ▪ Bilangan phi ()  1 1 1  lim  = 41 − + − +  n →  3 5 7   = 3,141592653589793238462643

10

The Law of Large Number ▪ Semakin banyak data ditambahkan dalam observasi atau eksperimen, maka selisih antara statistik rata-rata sampel (x) dengan parameter rata-rata populasi () adalah sangat kecil atau mendekati 0 (nol). ▪ Data observasi atau eksperimen yang sangat banyak mempunyai statistik sampel (x dan s) sebagai pendekatan parameter populasi ( dan )

11

Central Limit Theorem ▪ Jika sebuah variabel x adalah rata-rata sederet variabel acak independent dengan ukuran sampel yang sangat besar, maka distribusi rata-rata sampel tersebut mendekati distribusi normal dengan pendekatan rata-rata dan simpangan baku x = x = s x = n

x

( N / n)

x  = N

12

13

14

15

P(1)=P(2)=P(3)=P(4)=P(5)=P(6)=1/6

P(1)=P(6)=1/36 P(2)=P(5)=3/36 P(3)=P(4)=5/36 P(1)=P(6)= 1/216 P(2)=P(5)=10/216 P(3)=P(4)=25/216 P(1)=P(6)= 1/7776 P(2)=P(5)=126/7776 P(3)=P(4)=651/7776

16

Distribusi Normal ▪ Distribusi Normal menunjukkan sebaran variabel acak yang membentuk pola simetris berbentuk lonceng dengan laju . Variabel acak meliputi semua bilangan nyata mulai dari negatif tak hingga (-) sampai tak hingga (), X{-<x<}.

17

Distribusi Normal ▪ Penerapan Distribusi Normal antara lain untuk menunjukkan sebaran data hasil pengukuran ilmiah baik observasi ataupun eksperimen, sebaran kesalahan, sebaran rata-rata data subgrup, sebaran data yang sangat banyak (Law of Large Number dan Central Limit Theorem).

18

Distribusi Normal ▪ Parameter ➔  (mean) dan  (standard deviation) ▪ Probability Density Function, f(x)

f ( x) =

e

− ( x −  ) 2 /( 2 2 )

2 .

2

f(x)

▪ Cummulative Distribution Function, F(x) x

F ( x) =

 f (i)di

−

F(x)

19

Distribusi Normal ▪ Dinotasikan dengan N(x;,) ▪ Parameter ➔  dan  ▪ Mean

=

▪ Variance

 = 2

2

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Distribusi Normal

25

Perbedaan Dua Distribusi Normal

1   2 1 =  2

1 =  2 1   2

1   2 1   2

Distribusi Normal

27

Distribusi Standardized Normal ▪ Distribusi Standard (Standardized) Normal adalah distribusi normal yang mempunyai parameter  = 0 dan  = 1 ▪ Distribusi Standard (Standardized) Normal juga disebut dengan Distribusi Z.

28

Distribusi Standardized Normal ▪ Parameter ➔  (mean) dan  (standard deviation) ▪ Probability Density Function, f(x)

f ( x) =

e

− x2 / 2

2

f(x)

▪ Cummulative Distribution Function, F(x) x

F ( x) =

 f (i)di

−

F(x)

29

Distribusi Standardized Normal ▪ Dinotasikan dengan Z(x) ▪ Parameter ➔  dan  ▪ Mean

 =0

▪ Variance

 2 =1

30

Distribusi Standardized Normal ▪ Hubungan Distribusi Standard (Standardized) Normal dengan Distribusi Normal ▪ Jika X adalah variabel acak independen X − berdistribusi Normal (,), maka Z= adalah variabel acak berdistribusi Standard  Normal

31

Distribusi Standardized Normal

32

33

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Distribusi Normal

Distribusi Normal ▪ Menggunakan Tabel Distribusi Normal Standar

Distribusi Normal ▪ Contoh Soal

▪ Suatu perusahaan generator menghitung berat salah satu komponennya. Berat komponen tersebut berdistribusi normal dengan rata-rata 35 gram, dan standard deviasi 9 gram. 1.

Hitung probabilitas bahwa satu komponen yang diambil secara acak akan memiliki berat antara 35 dan 40 gram? 2. Berapa peluang pengambilan acak satu komponen dengan berat paling ringan 50 gram? ▪ JAWAB: 1. 𝐏 𝟑𝟓 ≤ 𝐱 ≤ 𝟒𝟎 : ▪ 𝑥 = 40 𝑔𝑟𝑎𝑚, 𝑥 − 𝜇 40 − 35 𝑧= = = 0,56, 𝑃 𝑍 ≤ 0,56 = 0,7123 𝜎 9 ▪ 𝑥 = 35 𝑔𝑟𝑎𝑚, 𝑥 − 𝜇 35 − 35 𝑧= = = 0, 𝑃 𝑍 ≤ 0 = 0,5 𝜎 9 ▪ 𝑃 35 ≤ 𝑥 ≤ 40 = 𝑃 0 ≤ 𝑧 ≤ 0,56 = 0,7123 − 0,5 = 0,2123

Distribusi Normal ▪ Contoh Soal

Distribusi Normal ▪ Latihan Soal: ▪ Nilai ujian fisika di sebuah kelas terdistribusi secara normal dengan rata-rata 60 dan standar deviasi 10. Berapa persen siswa yang memperoleh nilai antara 60 dan 70?

Distribusi Normal

▪ Menghitung nilai 𝑥 𝑥−𝜇 𝑧= , 𝜎 ▪ Contoh:

𝑚𝑎𝑘𝑎 𝑥 = 𝑧𝜎 + 𝜇

▪ Diketahui suatu distribusi normal dengan 𝜇 = 40 dan 𝜎 = 6. Carilah nilai 𝑥, yang memiliki: a. 45% area dari sisi kiri b. 14% area dari sisi kanan

Jawab: a. 𝑃 𝑍 ≤ 𝑧 = 0.45, 𝑧 = −0,13 𝑥 = 6 −0,13 + 40 = 39,22

Distribusi Normal ▪ Latihan Soal: ▪ Diketahui rata-rata hasil ujian adalah 74 dengan simpangan baku 7. Jika nilai-nilai peserta ujian berdistribusi normal dan 12% peserta nilai tertinggi mendapat nilai A, berapa batas nilai A yang terendah ?

Distribusi Normal ▪ Menyelesaikan permasalahan binomial dengan distribusi normal

Pendekatan Normal Untuk Binomial Distribusi Binomial :

Exp : Pendekatan normal untuk binomial dengan n = 15, p = 0,4

Pendekatan Normal Untuk Binomial Menurut Teorema Limit Pusat : Jika x suatu variable random binomial dengan mean & variansi . Jika n cukup besar (n>30) dan p tidak terlalu dekat dengan 0 atau 1, maka :

49

Distribusi Student’s t ▪ Distribusi Student’s X t adalah sebaran variabel acak Y   yang merupakan model gabungan variabel acak X berdistribusi Standard Normal yang mempunyai parameter =0 dan =1 dengan variabel acak Y berdistribusi Chi square dengan derajat bebas sebesar  yang mempunyai parameter =/2 dan =2.

50

51

Distribusi Lognormal ▪ Parameter ➔  dan  ▪ Probability Density Function, f(x)

 e − (ln( x ) −  ) /( 2  f ( x) =  x. 2 . 2 0  2

2

)

x0 other

f(x)

▪ Cummulative Distribution Function, F(x) x0 0 x  F ( x) =  f (i )di x  0   0 F(x)

52

Distribusi Lognormal ▪ Parameter ➔  dan  ▪ Mean

 =e

 + 2 / 2

▪ Variance

 =e 2

2  + 2

2

(e

− 1)

53

Distribusi Lognormal ▪ Hubungan Distribusi Lognormal dengan Distribusi Normal ▪ Jika X adalah variabel acak independen berdistribusi Normal (,), maka eX adalah variabel acak berdistribusi Lognormal

54

Distribusi Chi-Square ▪ Parameter ➔  (degree of freedom) ▪ Probability Density Function, f(x)  2 − / 2 x ( / 2)−1e − x / 2  x0  f ( x) =  ( 2 ) 0 other ▪ Cummulative Distribution Function, F(x)

0 x F ( x) =  f (i )di   0

f(x)

x0 x0

F(x)

55

Distribusi Chi-Square ▪ Dinotasikan dengan CHISQR(x;) atau 2 ▪ Parameter ➔  (degree of freedom) ▪ Mean

 =

▪ Variance

 = 2 2

56

Distribusi Chi-Square ▪ Hubungan Distribusi Chi Square dengan Distribusi Normal ▪ Jika X adalah variabel acak independen berdistribusi Normal (,) dengan derajat kebebasan sebesar , maka X2 adalah variabel acak berdistribusi Chi Square

57

Distribusi Chi-Square ▪ Hubungan Distribusi Chi Square dengan Distribusi Gamma ▪ Jika X adalah variabel acak independen berdistribusi Chi Square dengan parameter , maka akan ekuivalen dengan variabel acak berdistribusi Gamma (, ) dengan parameter =/2 dan =2

58

59

Distribusi F ▪ Hubungan Distribusi F dengan Distribusi Chi Square ▪ Jika X1 dan X2 adalah variabel acak independen berdistribusi Chi-Square dengan derajat kebebasan sebesar 1 dan 2, maka rasio X1 dan X2 adalah variabel acak berdistribusi F

X1 F=

X2

1 2

60

61

62

63

Terima kasih ...

... Ada pertanyaan ???