Distr-pel-gabungan3.doc

E. DISTRIBUSI PELUANG GABUNGAN (BERSAMA) Pada pembahasan yang lalu distribusi peluang yang dibicarakan dibatasi pada ruang sampel berdimensi satu, dengan kata lain hasil percobaan berasal dari variabel random tunggal. Tetapi banyak keadaan yang memerlukan pencatatan hasil beberapa variabel random secara serentak. Misalnya bila ingin memeriksa sebuah TV. Bila V menyatakan umurnya dan W menyatakan jumlah lampu yang cacat didalamnya. Maka akan menghasilkan ruang sampel berdimensi 2 yang terdiri atas hasil (v,w). Jika X dan Y dua variabel random, distribusi peluang terjadinya secara serentak dapat dinyatakan dalam fungsi f(x,y) dan biasanya f(x,y) dinamakan distribusi peluang gabungan (bersama) X dan Y atau dapat didaftar f(x,y) = P(X=x. Y=y). Untuk contoh TV f(5,3) menyatakan bahwa peluang TV tersebut berumur 5 tahun dan memerlukan 3 lampu baru. Definisi 5.9 Fungsi f(x,y) adalah fungsi peluang gabungan dari variabel random diskret X dan Y jika 1. f(x,y) ≥ 0, untuk semua (x,y) 2.

  f ( x, y )  1 x

y

3. P[(X,Y)  A] 

  f ( x, y ) A

untuk setiap daerah A di bidang x,y

Definisi 5.10 Fungsi f(x,y) adalah fungsi peluang gabungan dari variabel random diskret X dan Y jika 1. f(x,y) ≥ 0, untuk semua (x,y) 2.





 

f ( x, y ) dxdy 1

  

3. P[(X,Y)  A] 

 f ( x, y )dxdy A

untuk setiap daerah A di bidang x,y.

Contoh 5.18 Dua kelereng dipilih secara acak dari sebuah kotak berisi 3 kelereng biru, 2 kelereng merah, dan 3 kelereng hijau. Jika X menyatakan kelereng berwarana biru yang terambil, dan Y menyatakan kelereng berwarna merah yang terambil, tentukan a. fungsi peluang gabungan f(x,y) 64

b. P[(X,Y)  A] jika A = {(x,y)│x+y≤ 1} Penyelesaian. Pasangan harga-harga X dan Y adalah (1,0), (1,1), (2,0), (0,2) , (0,1) , (0,0) f(0,0) = peluang terambil 2 bola berwarna hijau f(1,1) = peluang teambil 1 bola berwarna biru dan berwarna merah ,dst. 8!

n(S) = 8C2 = 2!6!  28 f(0,0) =

3C 2 3  28 28

f(1,1) =

3C1 .2C1 6  28 28

f(0,2) =

2C 2 1  28 28

f(1,0) =

3C1 .3C1 9  28 28

f(2,0) =

3C 2 3  28 28

f(0,1) =

3C 2 .3C1 6  28 28

a. Jadi distribusi peluang gabungan dapat ditulis Y X 0 1 2

0

1

2

3/28 9/28 3/28

6/28 6/28

1/28

b. P[X+Y≤ 1] = P[X=0, Y=0] + P[X=0, Y=1] + P[X=1, Y=0] = f(0,0) + f(0,1) + f(1,0) =

3 6 9 18    28 28 28 28

Contoh 5.19 Pandang fungsi padat gabungan

kx(1  3 y 2 ) ,0  x  2 , 0  y  1 f(x,y) =  , untuk x, y yang lain 0 a. tentukan k agar f merupakan fungsi distribusi peluang gabungan b. Hitung P[(X,Y)  A] jika A = {(x,y)│0<x< 1, ¼
65





a.  

f ( x, y ) dxdy 1

  

1 2

2   kx(1  3 y ) dxdy 1  0 0

1

k

2x

2

(1  3 y 2 ) 02 dy  1

0

1

k   (4  0)(1  3 y 2 ) 02 dy  1 20  2k ( y  y 3 ) 10  1

 2k(2) = 1

 k=

1 . 4 1 . 4

Jadi agar f merupakan fpg maka k = 1

b. P[(X,Y)  A] =

21

1

  4 x(1  3 y

2

) dxdy

1 0 4 1

1 2 2 x (1  3 y 2) =  81

1 0

dy

4

1

1 2 (1  3 y 2 )dy =  81 4

= =



1 y  y3 8



1 2 1 4



1  1 1   1 1       8  2 8   4 64 

23 64

Jika f(x,y) diketahui maka kita dapat mencari distribusi peluang X saja dan Y saja, yaitu :

g(x) =

 f ( x, y) , jika diskret  y    f ( x, y ) dy , jika kontinu 

66

yang disebut distribusi marginal X. Sedangkan distribusi marginal Y

h(y) =

 f ( x, y ) , jika diskret  x    f ( x, y ) dx , jika kontinu 

Contoh 5.20 Pada contoh 5.18 tentukan a. Distribusi peluang marginal X b. Distribusi peluang marginal Y Penyelesaian. a. g(x) =

 f ( x, y )

g(0) =

 f (0, y )

=

y

y

= f(0,0)+ f(0,1) + f(0,2)

3 6 1 10    28 28 28 28

g(1) =

9 6 15   28 28 28

g(2) =

3 28

disajikan dalam tabel x

0

1

2

g(x)

10 28

15 28

3 28

b. h(x) =

 f ( x, y )

h(0) =

 f ( x,0)

=

x

x

= f(0,0)+ f(1,0) + f(2,0)

3 9 3 15    28 28 28 28

h(1) =

6 6 12   28 28 28

h(2) =

1 28

67

disajikan dalam tabel x

0

1

2

g(x)

15 28

12 28

1 28

Contoh 5.21 Pada contoh 5.19, tentukan a. Distribusi peluang marginal X b. Distribusi peluang marginal Y Penyelesaian.

f(x,y)

1 2  x(1  3 y ) ,0  x  2 , 0  y  1 = 4 0 , untuk x, y yang lain 

a. g(x) =



1

f ( x, y ) dy 



= h(y) =

2

) dy

0

1 1 x( y  y 3 ) 10  x , 0<x<2 4 2 

b.

1

 4 x(1  3 y



2

f ( x, y ) dx 



1

 4 x(1  3 y

2

) dx

0

1 8

2 2 = (1  3 y ) x

2 0



1 (1  3 y 2 ) , 0
Dari contoh 4 ini terlihat bahwa g(x).h(x) = f(x,y), ini dikatakan bahwa variabel random X dan Y saling bebas. Jadi 2 variabel random X dan Y dikatakan saling bebas, jika distribusi peluang gabungannya sama dengan perkalian distribusi peluang marginalnya. Telah dikemukakan pada bab terdahulu bahwa nilai dari variabel random sebenarnya adalah kejadian yang merupakan himpunan bagian dari ruang sampel, sehingga jika A dan B merupakan kejadian yang ditentukan oleh masing-masing X=x, Y=y, maka dari definisi peluang bersyarat P(A│B) =

P( A  B) , didapat P ( A)

68

P(Y=y │X=x) =

P ( X  x, Y  y ) f ( x, y )  P( X  x) g ( x)

Atau sering ditulis

f ( x y) 

f ( x, y ) f ( x, y ) , f ( y x)  h( y ) g ( x)

.

Perhatikan jika X dan Y bebas maka maka x tidak tergantung y sehingga f(x│y) = f(x) Jadi f ( x y ) 

f ( x, y )  g ( x ) , diperoleh f(x,y) = g(x).h(y). h( y )

Contoh 5.22 a. Pada contoh 5.20, tentukan P(X=0│Y=1) b. Pada contoh 5.21, tentukan f(x│Y=y) Penyelesaian. a. P(X=x │Y=y) =

P ( X  x, Y  y ) f ( x, y )  P (Y  y ) h( y )

6 f (0,1) 1  28  P(X=0 │Y=1) = 12 h(1) 2 28 1 x(1  3 y 2 ) f ( x, y ) 1  4  x , 0<x<2. b. f ( x Y  y )  1 h( y ) 2 x(1  3 y 2 ) 2

LATIHAN 1. Dari suatu bungkus buah-buahan yang berisi tiga jeruk, dua mangga dan tiga pisang dipilih secara acak empat buah. Bila X menyatakan banyaknya jeruk dan Y banyaknya mangga dalam sampel , hitunglah a. distribusi peluang gabungan X dan Y b. hitung P[(X,Y)  A] jika A = {(x,y)│x + y ≤ 2} c. Distribusi marginal X d. Distribusi marginal Y e. f(y│2) f. P(Y=0│X=2) g. Periksa apakah X dan Y bebas.

69

2. Misalkan S ruang sampel percobaan melempar dua dadu bersama-sama. Jika X variabel random yang didefinisikan dengan X(a,b) = maks (a,b) ( a, b)  S , dan Y variabel random yang didefinisikan dengan Y(a,b) = a+b) (a, b)  S , tentukan a. distribusi peluang gabungan X dan Y b. hitung P[(X,Y)  A] jika A = {(x,y)│x+y>15} 3. Dua variabel random mempunyai fungsi padat gabungan f(x,y) = k(x2 + y2 ) , jika 0<x<2, 1
, jika x dan y yang lain

a. carilah nilai k b. Hitung P[(X,Y)  A] jika A = {(x,y)│0<X< 2, 2 4 } 4. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi peluang bersama berikut. x y

2

4

1 0,10 0,15 2 0,20 0,30 3 0,10 0,15 Carilah distribusi peluang marginal dan tentukan apakah X dan Y bebas. 5. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi padat peluang bersama berikut. f(x,y) = 2 , =0 ,

jika 0<x
a. Tentukan apakah X dan Y bebas b. Hitunglah P(1/4 < X < ½ │Y=3/4) 6. Misalkan X dan Y mempunyai fungsi padat peluang bersama berikut. f(x,y) = 6x , =0 ,

jika 0<x<1, 0< y <1-x jika x dan y lainnya.

a. Tentukan apakah X dan Y bebas b. Hitunglah P(X > 0,3 │Y=0,5).

70