Dispensa Trigonometria

Trigonometria Generale Daniele Cozzolino C.d.L. Matematica, L'Aquila

28 novembre 2008

Capitolo 1

Tabella Qui di seguito è riportata una tabella con i valori delle funzioni trigonometriche per angoli noti: Gradi Radianti Seno Coseno Tangente Cotangente √ √ 15 2− 3 2+ 3 √ q p √ 18 5+2 5 √ 30 3 45 1 1 √ 60 3 90 1 0 Non Esiste 0 180 π 0 −1 0 Non Esiste 270 −1 0 Non Esiste 0 360 2π 0 1 0 Non Esiste π 12 π 10 π 6 π 4 π 3 π 2

√

√ 6− 2 4 √ 5−1 4 1 √2 2 √2 3 2

√

√ 6+ 2 4 √ 10+2 5 √4 3 √2 2 2 1 2

3π 2

1

√ 5−2 5 5 √ 3 3

√

3 3

Capitolo 2

Formulario con Verica 2.1 Teorema fondamentale per triangoli rettangoli

Prima di iniziare a vericare queste relazioni, è opportuno fare qualche richiamo. Innanzitutto ricordiamo che si denisce Seno di un angolo α la distanza dall'asse X di un punto P della circonferenza goniometrica tale che il raggio congiungente il centro forma con l' asse X un angolo α. Similmente si ha che il Coseno di un angolo α è la distanza dello stesso punto P dall'asse Y. Chiamando H la proiezione di P sull'asse X, si ha che: sin α =

ed anche:

PH OP

. Dunque possiamo generalizzare questo risultato per tutti i triangoli rettangoli grazie alla loro similitudine con i triangoli OHP al variare di α. Si ha quindi il seguente teorema: cos α =

OH OP

4

Teorema 1

In un triangolo rettangolo, la misura di un cateto è uguale al

prodotto della misura dell'ipotenusa per il seno dell'angolo opposto al cateto, o per il coseno dell'angolo acuto adiacente ad esso.

2

2.2 Formula di Addizione per il Seno

Questa relazione la vericheremo con un metodo semplice. Ci avvarremo infatti la seguente gura:

Sia ora sin(α + β) = AH . Possiamo notare inoltre: AH = AD + DH . Per le relazioni tra angoli e lati di un triangolo rettangolo si ha che: AD

= AC cos α = =

sin β cos α

=

CE =

ed anche: DH

=

OC sin α =

=

cos β sin α

In conclusione si ha che sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α

.

2.3 Formula di Addizione per il Coseno

Sempre dalla stessa gura si può notare che:

cos(α + β) = OH = OE − HE

Poichè: OE

=

OC cos α =

=

cos β cos α

e: 3

.

HE

= QC = = BC sin α = =

sin β sin α

si ottiene: cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β

.

2.4 Formula di Addizione per la Tangente tan(α + β)

= =

sin(α + β) = cos(α + β) sin α cos β + sin β cos α = cos α cos β − sin α sin β

=

sin α cos β+sin β cos α cos α cos β cos α cos β−sin α sin β cos α cos β

=

tan α + tan β 1 − tan α tan β

=

2.5 Formule di Sottrazione

Poichè si ottengono sostituendo β con −β, non eseguiremo nuovamente la verica ma daremo solamente le formule diretta: sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos α ; cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β ; . Ricordiamo al lettore inoltre che il Seno è una funzione tale che sin(−α) = − sin α, mentre per il Coseno si ha cos α = cos(−α). tan(α − β) =

tan α − tan β 1 + tan α tan β

2.6 Formule di Duplicazione

Anche in questo caso, dato che i conti risultano estremamente semplici, li svolgeremo solamente per il Seno. Infatti adotteremo una semplice sostituzione: β = α. Così facendo avremo: sin 2α

=

sin(α + α) =

=

sin α cos α + sin α cos α =

=

2 sin α cos α

4

Per tutte le altre versioni del Coseno, si usa la relazione fondamentale della trigonometria: sin α + cos α = 1 . Duqnue si ha: 2

2

cos 2α = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1 tan 2α =

2 tan α 1 − tan2 α

.

2.7 Formula di Bisezione per il Seno

Per questi conti vogliamo ricordare che x = y ⇒ x = ±√y. Iniziamo la verica considerando invece di sin , sin . Con questo espediente potremmo rendere più lineare la dimostrazione. 2

2 α 2

α 2

sin2

α 2

= = =

2 sin2 α2 = 2 1 − 1 + 2 sin2 2 1 − cos α 2

α 2

=

Applicando la radice quadrata su ambo i membri si ha: r 1 − cos α α sin = ± . 2 2 Si vuole mettere in risalto, per eludere eventuali misticismi che potrebbero insorgere nella mente del lettore, che è stato possibile considerare la radice di poichè questa quantità è sempre non negativa. 1−cos α 2

−1 ≤ cos α ≤ 1 1 ≥ − cos α ≥ −1 −1 ≤ − cos α ≤ 1 1 − 1 ≤ 1 − cos α ≤ 1 + 1 0 ≤ 1 − cos α ≤ 2 α 0 ≤ 1−cos ≤1 2

2.8 Formula di Bisezione per il Coseno

Seguiremo una linea guida simile a quella per il calcolo del sin : α 2

cos2

α 2

= = =

2 cos2 α2 = 2 1 − 1 + 2 cos2 2 1 + cos α 2

5

α 2

=

Dunque segue: α cos = ± 2

r

1 + cos α 2

.

2.9 Formula di Bisezione per la Tangente

Sempre per la proprietà di scrittura della Tangente si ha: tan

α 2

sin α2 = cos α2 q α ± 1−cos 2 q = = α ± 1+cos 2 s 2(1 − cos α) = ± = 2(1 + cos α) r 1 − cos α = ± 1 + cos α =

2.10 Formulazione Parametrica del Seno

Si ricorda al lettore che t = tan . α 2

sin α

= = = = =

α α cos = 2 2 2 sin α2 cos α2 = 1 α α 2 sin 2 cos 2 = sin2 α2 + cos2 α2 2 tan α2 = 1 + tan2 α2 2t 1 + t2

2 sin

6

2.11 Formulazione parametrica del Coseno cos α

= = =

α α − sin2 = 2 2 2 α 2 α cos 2 − sin 2 = 1 cos2 α2 − sin2 α2 = sin2 α2 + cos2 α2

cos2

=

1 − tan2 1 + tan2

=

1 − t2 1 + t2

α 2 α 2

=

Il tutto considerando sempre la sostituzione t = tan . α 2

2.12 Formulazione Parametrica della Tangente

La verica consta di una serie di piccoli passaggi: tan α

=

sin α = cos α

=

2t 1+t2 1−t2 1+t2

= =

=

2t(1 + t2 ) = (1 − t2 )(1 + t2 ) 2t 1 − t2

2.13 Formula di Prostaferesi per l'Addizione del Seno sin p + sin q

p p q q cos + 2 sin cos = 2 2 2 2 p p q q q q p p = 2(sin cos )(sin2 + cos2 ) + 2(sin cos )(sin2 + cos2 ) = 2 2 2 2 2 2 2 2 p p q p p q q q p q q p = 2(sin cos sin2 + sin cos cos2 + sin cos sin2 + sin cos cos2 ) = 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 p q q p p q p q = 2(sin cos + sin cos )(sin sin + cos cos ) = 2 2 2 2 2 2 2 2 p+q p−q = 2 sin cos 2 2 =

2 sin

2.14 Formula di Prostaferesi per la Dierenza del Seno

Per la disparità del Seno si ha:

7

sin p − sin q = sin p + sin(−q) = 2 sin

p−q p+q cos 2 2

.

2.15 Formula di Prostaferesi per l'Addizione del Coseno cos p + cos q

p q − 1 + 1 − 2 sin2 = 2 2 p q 2(cos2 − sin2 ) = 2 2 p q q p q p 2(cos2 (sin2 + cos2 ) − sin2 (sin2 + cos2 )) = 2 2 2 2 2 2 2 q 2 p 2 p 2 q 2(cos cos − sin sin ) = 2 2 2 2 q p q p q p q p 2(cos cos + sin sin )(cos cos − sin sin ) = 2 2 2 2 2 2 2 2 p+q p−q 2 cos cos 2 2 2 cos2

= = = = = =

2.16 Formula di Prostaferesi per la Sottrazione del Coseno cos p − cos q

q p − 1 − 2 cos2 + 1 = 2 2 p q 2(cos2 − cos2 ) = 2 2 q q p p 2 q 2 p 2(cos (sin + cos2 ) − cos2 (sin2 + cos2 )) = 2 2 2 2 2 2 2 q 2 p 2 q 2 p sin − sin cos ) = 2(cos 2 2 2 2 p q p q p q p q 2(cos sin + sin cos )(cos sin − sin cos ) = 2 2 2 2 2 2 2 2 p+q q−p 2 sin sin = 2 2 p+q p−q −2 sin sin 2 2 2 cos2

= = = = = = =

2.17 Formula di Werner per il prodotto di Coseni

Dal seguente sistema possiamo ricavare: 



cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β



cos(α + β) + cos(α − β) = cos α cos β − sin α sin β + cos α cos β + sin α sin β

8





cos(α + β) + cos(α − β) = 2 cos α cos β 



cos(α+β)+cos(α−β) 2

= cos α cos β

2.18 Formula di Werner per il prodotto di Seni 



cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β



cos(α + β) − cos(α − β) = cos α cos β − sin α sin β − cos α cos β − sin α sin β 



cos(α − β) − cos(α + β) = 2 sin α sin β 



cos(α−β)−cos(α+β) 2

= sin α sin β

2.19 Formula di Werner per il prodotto misto 



sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos α



sin(α + β) + sin(α − β) = sin α cos β + sin β cos α + sin α cos β − sin β cos α 



sin(α + β) + sin(α − β) = 2 sin α cos β 



sin(α+β)+sin(α−β) 2

9

= sin α cos β

Capitolo 3

Formulario 3.1 Formule di Addizione e Sottrazione sin(α + β) = sin α cos β + sin β cos α sin(α − β) = sin α cos β − sin β cos α cos(α + β) = cos α cos β − sin α sin β cos(α − β) = cos α cos β + sin α sin β tan(α + β) =

tan α + tan β 1 − tan α tan β

tan(α − β) =

tan α − tan β 1 + tan α tan β

3.2 Formule di Duplicazione sin 2α = 2 sin α cos α cos 2α = cos2 α − sin2 α = 1 − 2 sin2 α = 2 cos2 α − 1 2 tan α 1 − tan2 α

tan 2α =

3.3 Formule di Bisezione α sin = ± 2

r

1 − cos α 2

r α 1 + cos α cos = ± 2 2

10

α tan = ± 2

r

1 − cos α 1 − cos α sin α = = 1 + cos α sin α 1 + cos α

3.4 Formule Parametriche

Con t = tan

sin α =

2t 1 + t2

cos α =

1 − t2 1 + t2

tan α =

2t 1 − t2

α 2

3.5 Formule di Prostaferesi sin p + sin q = 2 sin

p+q p−q cos 2 2

sin p − sin q = 2 cos

p+q p−q sin 2 2

cos p + cos q = 2 cos

p−q p+q cos 2 2

cos p − cos q = −2 sin

p+q p−q sin 2 2

3.6 Formule di Werner sin α sin β =

cos(α − β) − cos(α + β) 2

sin α cos β =

sin(α − β) + sin(α + β) 2

cos α cos β =

cos(α + β) + cos(α − β) 2

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Capitolo 4

Relazioni Trigonometriche Fondamentali • sin(x + π2 ) = − cos x • sin(x − π2 ) = cos x • cos(x + π2 ) = sin x • cos(x − π2 ) = − sin x • sin(x ± π) = − sin x • cos(x ± π) = − cos x • sin(−x) = − sin x • cos(−x) = cos x • tan x =

sin x cos x

• cot x =

cos x sin x

• tan x =

1 cot x

⇒ cot x =

1 tan x

• tan(x + π2 ) = − tan1 x = − cot x • tan(x − π2 ) =

1 tan x

= cot x

• tan(−x) = − tan x • cot(−x) = − cot x

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Capitolo 5

Periodicità Le prossime relazioni sono date in funzione di un parametro k ∈ Z . • sin(x + 2kπ) = sin x • cos(x + 2kπ) = cos x • tan(x + kπ) = tan x • cot(x + kπ) = cot x

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Capitolo 6

Graci delle Funzioni Trigonometriche 6.1 Graco del Seno

: R −→ [−1 ; 1] . Ovvero ∀α ∈ R ⇒ sin α ∈ [−1 ; 1]. sin

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6.2 Graco del Coseno

: R −→ [−1 ; 1] . Ovvero ∀α ∈ R ⇒ cos α ∈ [−1 ; 1]. cos

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6.3 Graco della Tangente

: A −→ R . Ovvero ∀α ∈ A ⇒ tan α ∈ R, con [  kπ (k + 1)π  [ A= ; 2 {0} 2 tan

k∈Z

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