Disequazioni Con I Moduli

Disequazioni con i moduli

Giacomo Palazzi

28 Novembre 2008

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Modulo di un numero reale

Ricordiamo la de…nizione di modulo di un numero reale. De…nizione 1. Si dice "modulo di un numero reale" A 2 R la quantità: 0 jAj = AAseseAA<0

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Disequazioni con i moduli

1. Disequazioni del tipo jf (x)j (<; ; >)g(x); 2. Disequazioni del tipo jf (x)j (<)k 2 R; 3. Disequazioni del tipo jf (x)j (>)k 2 R:

2.1

Disequazioni del tipo jf (x)j

(<; ; >)g(x)

Dalla de…nizione 1 si ha che: se f (x) 0 jf (x)j = ff(x) (x) se f (x)<0 Dunque per risolvere la disequazione basterà risolvere i due sistemi seguenti e unirne i due insiemi di soluzioni. f (x) 0 f (x)<0 _ f (x) (<; ;>)g(x) f (x) (<; ;>)g(x) Esempio. Risolviamo la disequazione jx + 1j 3x + 4. se x 1 Poichè jx + 1j = x+1 x 1 se x< 1 si ha che: x 1 x< 1 x+1 3x+4 _ x 1 3x+4 da cui si ottiene: x 1 x< 1 5 3 _ x x 4 2 e pertanto: x 1 _ 54 x 1. L’insieme di soluzioni della disequazione perciò è 5 S = [ 4 ; +1[.

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2.2

Disequazioni del tipo jf (x)j

(<)k 2 R

Ricordiamo che vale il risultato seguente. Proposizione 1. Siano A; k 2 R. Allora se jAj k (jAj < k) si ha che k A k ( k < A < k). Allora l’insieme di soluzioni della disequazione jf (x)j (<)k 2 R coincide con quello del sistema seguente. f (x) (>) k f (x) (<)k

2.3

Disequazioni del tipo jf (x)j

(>)k 2 R

Ricordiamo che vale il risultato seguente. Proposizione 2. Siano A; k 2 R. Allora se jAj k (jAj > k) si ha che A k (A < k) _ A k (A > k). Allora l’insieme di soluzioni della disequazione jf (x)j (>)k 2 R coincide con l’unione delle soluzioni delle disequazioni seguenti. f (x) k (f (x) < k) _ f (x) k (f (x) > k).

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