Disequazioni

Esercizi Disequazioni letterali

ESERCIZIO SVOLTO

1

Risolviamo la disequazione

ax

2>x‡1

Trasportiamo i termini con la x al primo membro in modo da poter effettuare il raccoglimento a fattor comune ax x > 3 x…a 1† > 3 Ricorda ora che, se i due membri di una disequazione vengono divisi (o moltiplicati) per un fattore positivo, il verso della disequazione non cambia, mentre se il fattore eÁ negativo il verso della disequazione eÁ quello opposto. Allora, poiche non conosciamo il segno del coefficiente …a 1†, dobbiamo distinguere i seguenti casi: n a

1 > 0, cioeÁ a > 1: dividendo entrambi i membri della disuguaglianza per tale fattore positivo,

questa mantiene il suo verso, quindi x >

a

3

1

1 < 0, cioeÁ a < 1: dividendo entrambi i membri della disuguaglianza per tale fattore negativo, 3 questa cambia verso, quindi x < a 1

n a

n a 2

1 ˆ 0, cioeÁ se a ˆ 1, la disuguaglianza assume la forma 0x > 3 e l'insieme soluzione eÁ 1.

ESERCIZIO GUIDATO a…x ‡ 1† < 2…1

x†

Svolgiamo i calcoli e scriviamo la disequazione nella forma risolutiva ax ‡ a < 2 2x ax ‡ 2x < 2 a …a ‡ 2†x < 2 a Prima di dividere entrambi i membri per il fattore a ‡ 2, esaminiamo i valori che esso puoÁ assumere: n se a ‡ 2 > 0, cioeÁ se a >

2, la soluzione della disequazione eÁ .........................

n se a ‡ 2 < 0, cioeÁ se a <

2 .........................

n se a ‡ 2 ˆ 0, cioeÁ se a ˆ 2, sostituendo nella disequazione al posto di a tale valore, si ottiene ......................... percioÁ ......................... 2

3 x…a ‡ 1† < 3

a>

6 6 6 6 6a < 4

aˆ

3 3 a‡17 7 7 3 7 1:x> 7 a‡15 1:x<

1:SˆR

UA6 LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

1

2

4 ax

3 > x…2

3 3 a > 1 : x > 6 2…a 1† 7 6 7 6 7 6 7 3 6a<1:x < 7 6 7 2…a 1† 4 5 aˆ1:Sˆ1

a†

2

5 a…x

1† >

a>0:x> a

2

3

6 a 7 6 7 6 7 6 7 a 2 6a<0:x < 7 4 a 5

2

aˆ0:SˆR 2

6 2…x

2† > a…x

3 a<2:x >2‡a 6 7 4a > 2 : x < 2 ‡ a5 aˆ2:Sˆ1

a† 2

7 x…a

x† <

…a ‡ 1†

x2

3 …1 ‡ a† a > 0 : x < 6 7 a 6 7 6 7 6 7 …1 ‡ a† 6a < 0 : x > 7 6 7 a 4 5 aˆ0:Sˆ1 2

3 b 1 b > 0 : x > 6 2 7 6 7 6 7 6 7 b 1 6b<0:x < 7 6 7 2 4 5 bˆ0:Sˆ1

2

8 b…x ‡ 1† > b…x 2 ‡ b†

2

9 a…x

3† ‡ 9 < …a ‡ 3†

3 a>0:x a‡95 aˆ0:Sˆ1

2

2

10 x…2b

1†

2b2 < b

3 b > 1 :x b ‡ 17 6 7 2 6 7 4 5 bˆ 1 :Sˆ1 2

1

2

11 …ax

2

1† > a2 x 2

3 a>0:x< 2 6 a7 6 7 6 7 6 7 2 6a < 0 : x > 7 4 a5

3

aˆ0:SˆR 2

12 …a

2†…a ‡ 1†x > 4…a ‡ 1† ‡ a2 …1 ‡ x†

a> 6 4a < aˆ 2

13 ax ‡ 2…a2

2

3† < x

4

UA6 LE DISEQUAZIONI DI PRIMO GRADO

3 2 : x < …a ‡ 2† 7 2 : x > …a ‡ 2† 5 2:Sˆ1

3 a > 1 : x < 2…a ‡ 1† 6 7 4 a < 1 : x > 2…a ‡ 1† 5 aˆ1:Sˆ1

2

14

x a

3 2 6 a < 0 _ a > 1 : x < a…1 a† 7 6 7 6 7 6 7 2 60 7 6 7 a…1 a† 6 7 6 7 6 a ˆ 0 : la disequazione perde significato 7 4 5

2 >x a2

aˆ1:Sˆ1 2

15 x ‡

a

x

1

<

x

2

1

1

3…1 a† 1 _ a>1:x< a‡1

6a < 7 6 7 6 7 6 7 6 1 < a < 1 : x > 3…1 a† 7 6 7 a‡1 6 7 6 7 6 a ˆ 1 : la disequazione perde significato 7 4 5 aˆ 1:Sˆ1 2

x‡1 > b…x ‡ 1† b‡1

16 b ‡ x

3

1 b2

3

6b> 1:x< 7 6 7 6 7 6 7 1 6b < 1:x > 7 6 7 2 b 4 5 b ˆ 1 : la disequazione perde significato 2

17

2x ‡ 1 x ‡x > ‡1 1 2a 2a 1

3 a< 1 _ a>2:x> a 6 7 2 a 2 6 7 6 1 7 a 6
18 2

3b

x

1

rel="nofollow">x

b 1 1 3b

3 1 5b 1 : x < b < 0 _ b > 6 7 3 3b 6 7 6 7 6 0 < b < 1 : x > 5b 1 7 6 7 3 3b 6 7 6 7 6 7 1 6 b ˆ : la disequazione perde significato 7 4 5 3 bˆ0:SˆR

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