Dinamika Rotasi & Kesetimbangan_2.pdf

BAHAN AJAR PEGANGAN SISWA UNTUK MEMAHAMI DAN MENERAPKAN KONSEP

Panduan Menguasai Fisika Secara Tuntas

Untuk Kelas XI Sekolah Menengah Atas / Madrasah Aliyah Program Ilmu Pengetahuan Alam

Dede Saepudin, S.Pd, M.Si NIP. 197711052002121006

SMA Negeri 1 Garut Jl. Merdeka No. 91 Garut, Jawa Barat Indonesia

Kata Pengantar Puji dan syukur kami panjatkan ke hadirat Allah SWT yang telah memberikan kekuatan baik fisik, mental, dan pikiran sehingga penyusunan Bahan Ajar Materi bagi siswa kelas XI semester 1 untuk topik Dinamika Rotasi dan Kesetimbangan Benda Tegar dapat terselesaikan dengan baik. Bahan ajar ini disusun dalam rangka memenuhi tugas akhir perkuliahan “Pengembangan Bahan Ajar” yang diampu oleh Dosen Dr. Ida Kaniawati, M.Si., dan Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si. Penulis menyadari bahwa masih banyak kekurangan baik konstruk maupun isi dari bahan ajar ini, oleh karena itu kritik dan saran yang sifatnya membangun untuk memperbaiki bahan ajar ini ke depan sangat penulis nantikan. Akhirnya, semoga bahan ajar ini dapat bermanfaat, amin.

Garut, Desember 2015 Penyusun,

Dede Saepudin NIM. 1402983 5

I

Daftar Isi Kata Pengantar ……………………………………………………………….

I

Daftar Isi ……………………………………………………………………..

II

Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar ……………………………………..

III

1. Momen Gaya (Torsi) ……………………………………………………..

1

2. Momen Kopel …………………………………………………………….

9

3. Momen Inersia ……………………………………………………………

10

4. Hubungan Momen Gaya dan Momen Inersia ……………………………

16

5. Usaha dan Energi …………………………………………………………

21

6. Momentum Sudut ………………………………………………………...

27

7. Kesetimbangan dan Titik Berat …………………………………………..

32

Resume ……………………………………………………………………….

51

Peta Konsep ………………………………………………………………….

51

Soal-Soal Persiapan Tes Tulis ……………………………………………….

52

Daftar Pustaka ………………………………………………………………..

55

Bilangan-Bilangan Konstanta ………………………………………………..

56

II

Kompetensi Inti dan Kompetensi Dasar Kompetensi Inti : KI I : Menghayati dan mengamalkan ajaran agama yang dianutnya KI II

: Menghayati dan mengamalkan perilaku jujur, disiplin, tanggungjawab, peduli (gotong royong, kerjasama, toleran, damai), santun, responsif dan pro-aktif dan menunjukkan sikap sebagai bagian dari solusi atas berbagai permasalahan dalam berinteraksi secara efektif dengan lingkungan sosial dan alam serta dalam menempatkan diri sebagai cerminan bangsa dalam pergaulan dunia.

KI III

: Memahami, menerapkan, menganalisis pengetahuan faktual, konseptual, prosedural berdasarkan rasa ingintahunya tentang ilmu pengetahuan, teknologi, seni, budaya, dan humaniora dengan wawasan kemanusiaan, kebangsaan, kenegaraan, dan peradaban terkait penyebab fenomena dan kejadian, serta menerapkan pengetahuan prosedural pada bidang kajian yang spesifik sesuai dengan bakat dan minatnya untuk memecahkan masalah.

KI IV

: Mengolah, menalar, dan menyaji dalam ranah konkret dan ranah abstrak terkait dengan pengembangan dari yang dipelajarinya di sekolah secara mandiri, dan mampu menggunakan metoda sesuai kaidah keilmuan

Kompetensi Dasar : 3.6 Menerapkan konsep torsi, momen inersia, titik berat, dan momentum sudut pada benda tegar (statis dan dinamis) dalam kehidupan sehari-hari. 4.6 Merencanakan dan melaksanakan percobaan titik berat dan keseimbangan benda tegar.

III

Dede Saepudin [1402983]

1. Momen Gaya (Torsi)

Gambar 1. Seseorang yang sedang membuka mur menggunakan kunci pas.

Kalian pasti sering melihat seorang mekanik sedang membuka mur menggunakan kunci Inggris atau kunci pas atau mungkin kalian sendiri pernah melakukannya. Nah, tidakkah Kalian memikirkan prinsip-prinsip fisika apa yang diterapkan pada praktek tersebut? Ketika mur yang Anda buka masih sulit, Anda kemudian menambah lengan kuncinya agar lebih panjang dan ternyata menjadi lebih mudah mudah. Peristiwa lainnya yang menerapkan prinsip yang sama seperti tadi adalah perputaran daun pintu atau jendela saat kita buka atau tutup. Pernahkah juga kalian memikirkan prinsip fisika apa yang ada di situ?

Penyebab gerak suatu benda adalah gaya. Pada gerak rotasi, sesuatu yang menyebabkan benda untuk berotasi atau berputar disebut momen gaya atau torsi. Konsep torsi dapat dilihat pada saat kita membuka pintu. Cobalah membuka pintu dari bagian yang dekat dengan engsel. Bagaimanakah gaya yang kalian keluarkan? Sekarang, cobalah kembali membuka pintu dari bagian paling jauh dari engsel. Bandingkan gaya yang diperlukan antara dua perlakuan tersebut. Tentu saja membuka pintu dengan cara mendorong bagian yang jauh dari engsel lebih mudah dibandingkan dengan mendorong bagian yang dekat dari engsel.

Gambar 2 menunjukkan sebuah pintu yang tampak dari atas. Gaya dorong F diberikan pada pintu dengan membentuk sudut  terhadap arah mendatar. Semakin besar gaya yang diberikan, semakin cepat pintu terbuka. Semakin besar jarak engsel dari tempat gaya bekerja, maka semakin besar momen gaya sehingga pintu lebih mudah terbuka. Momen gaya didefinisikan sebagai hasil kali antara gaya dengan jarak titik dari sumbu rotasi ke garis kerja gaya pada arah tegak lurus. Dari Gambar 1, maka besarnya momen gaya adalah:

 = F.d = F.r sin  ….. (1) dengan:  = momen gaya (Nm), F = gaya yang bekerja (N), d = jarak tegak lurus dari sumbu rotasi ke garis gaya (m) = r sin 

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

Gambar 2. Sebuah gaya menarik batang pada bagian ujungnya sedangkan ujung yang lain diengselkan.  = F sin .r = F.d

1

Dede Saepudin [1402983]

Menentukan Jarak Tegak Lurus dari Sumbu Rotasi Ke Garis Kerja Gaya Perhatikan beberapa contoh berikut!

d1

F

Contoh 1. Sebuah batang homogen ditarik oleh gaya F dan berat w seperti gambar, maka jarak dari sumbu rotasi yang tegak lurus dengan garis kerja gaya (d) adalah d1 untuk gaya w dan d2 untuk gaya F sehingga torsi yang dihasilkannya adalah:

w

1 = F. d1 dan 2 = w. d2

 d2

Sumbu rotasi

Gambar 3. Sebuah batang yang ditarik oleh gaya F dan berat w

F d1

r d2

O

h

Sumbu rotasi

w

Contoh 2. Sebuah roda dengan berat w dan jari-jarinya r ditarik menggunakan tali dengan gaya F agar dapat menaiki sebuah anak tangga yang tingginya h. Terlihat jelas garis putusputus warna merah adalah garis tegak lurus dari sumbu rotasi ke F dan garis yang putus-putus warna biru adalah tegak lurus antara sumbu rotasi dengan w, sehigga:

1 = F. d1 dan 2 = w. d2 r

(r – h)

d2 Gambar 4. Sebuah roda yang dita-rik tali dengan gaya F dan berat w

Sumbu rotasi

F d1 h1

Jika panjang batang L maka d1 = L cos dan d2 = (L/2) sin sehingga selengkapnya 1 = F Lcos dan 2 = w (L/2) sin.

w

d2 h2 x

Gambar 5. Sebuah batang tipis yang ditarik gaya F dan berat w

Dengan menganalisis gambar, maka d1 = 2r – h, dan d2 adalah: d2 = [r2 – (r – h)2]1/2 = [ 2rh – h2 ]1/2. Sehingga torsi untuk tiap gaya menjadi: 1 = F (2r – h) dan 2 = w (2rh – h2)1/2

Contoh 3. Sebuah batang tipis homogen akan dijadikan sebagai jembatan penghubung antara dua sisi sebuah parit yaitu h1 dan h2 dengan lebar parit x. Batang ditarik ke bawah oleh gaya berat di tengah-tengahnya dan ditarik pula ke atas oleh gaya F jika mau diangkat. Terlihat dengan memperpanjang F lalu menarik garis dari sumbu rotasi tegak lurus (warna merah) akan menghasilkan d1. Begitu pula dengan menarik garis dari sumbu rotasi ke w wana biru akan menghasilkan d2. Sehingga:

1 = F. d1 dan 2 = w. d2 Dengan mudah bisa diperoleh d1 = h1 – h2 dan d2 = x/2, maka selengkapnya 1 = F (h1 – h2) dan 2 = w (x/2).

Berdasarkan tiga contoh di atas maka tergambar mudah cara menentukan garis tegak lurus dari sumbu rotasi ke garis gaya. Kemampuan ini sangat penting untuk mempermudah langkah selanjutnya yaitu menentukan torsi oleh gaya yang terkait.

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

2

Dede Saepudin [1402983]

Torsi Dipengaruhi Orientasi Gaya yang Berkerja dan Panjang Lengan

Gambar 6. (a) Arah gaya tidak tegak lurus dengan lengan menyebabkan beban terasa berat karena torsi yang dihasilkan kurang besar, (b) Arah gaya tegak lurus dengan lengan menyebabkan beban terasa rigan karena torsi yang dihasilkan lebih besar, (c) Arah gaya tegak lurus dengan lengan yang diperpanjang menyebabkan beban terasa sangat ringan karena torsi yang dihasilkan tambah besar.

Momen gaya yang dihasilkan oleh gaya sebesar F pada Gambar 6b lebih besar daripada momen gaya yang dihasilkan oleh besar gaya F yang sama pada Gambar 6a. Hal tersebut disebabkan sudut antara arah gaya terhadap lengan gayanya. Momen gaya yang dihasilkan juga akan semakin besar jika lengan gaya semakin panjang, seperti terlihat pada Gambar 6c.

Gambar 7. Diagram bebas benda dari penerapan gaya pada alat pembuka mur

Gambar 8. Hubungan panjang lengan dan gaya yang dibutuhkan.

Gambar 7 dan Gambar 8 adalah Diagram piktorial yang menunjukkan hubungan antara panjang lengan, gaya yang diperlukan, dan torsi yang dihasilkan. Terlihat jelas bahwa semakin panjang lengan gayanya, maka semakin kecil gaya yang diperlukan. Jika panjang lengan bertambah dua kali semula, maka gaya yang diperlukan berkurang setengah kali semula.

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

3

Dede Saepudin [1402983]

Torsi Merupakan Besaran Vektor Torsi atau Momen gaya merupakan besaran vektor hasil perkalian silang antara vektor posisi dan vektor gaya, sehingga persamaan (1) dapat dinyatakan dalam bentuk:  = r x F ….. (2) Arah momen gaya ( ) tegak lurus terhadap r dan F. Jika r dan F terletak pada bidang yang tegak lurus sumbu putar, maka arah vektornya sepanjang sumbu putar menurut kaidah tangan kanan.

Gambar 9. Arah vektor torsi ditunjukkan oleh ibu jari tangan

Contoh : Sebuah gaya F = (3i + 5j) N memiliki lengan gaya r = (4i +2j) m terhadap suatu titik poros. Vektor i dan j berturut-turut adalah vektor satuan yang searah dengan sumbu-x dan sumbu-y pada koordinat Kartesian. Berapakah besar momen gaya yang dilakukan gaya F terhadap titik poros? Jawab Diketahui: F = (3i + 5j)N dan r = (4i + 2j)m. τ = r × F = (4i + 2j)m × (3i + 5j)N = (4)(5) (k) Nm + (2)(3) (–k) Nm = 14 k Nm Jadi, besarnya momen gaya 14 Nm yang searah sumbu z.

Catatan : Sebagai besaran vektor, momen gaya τ memiliki besar dan arah. Untuk kepentingan perhitungan, diperlukan perjanjian tanda untuk arah momen gaya adalah sebagai berikut : a. Momen gaya, τ, diberi tanda positif jika cenderung memutar benda searah putaran jarum jam, atau arahnya mendekati pembaca. b. Momen gaya, τ, diberi tanda negatif jika cenderung memutar benda berlawanan arah putaran jarum jam, atau arahnya menjauhi pembaca

Review Berdasarkan hasil membaca materi di atas, coba Anda review untuk memperkuat pemahaman Anda dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut! 1. Apa yang dimaksud dengan torsi atau momen gaya? ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. 2. Apa yang dimaksud dengan sumbu rotasi? ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 3. Bagaimana hubungan gaya yang bekerja dan panjang lengan gaya terhadap torsi? ………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………... Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

4

Dede Saepudin [1402983]

4. Apa yang dimaksud dengan “garis kerja gaya tegak lurus terhadap lengan gaya?” yang mana? Tunjukkan dari gambar berikut! 4.1 Sebuah batang homogen yang panjangnya L dan beratnya w ditarik oleh gaya F dalam keadaan F Sb.rotasi horizontal. Tunjukan garis kerja tegak lurus dari  sumbu rotasi ke garis gaya (F dan w)! ……………………………………………………. ……………………………………………………. …………………………………………………… …………………………………………………….

w

Sb.rotasi

4.2

Sebuah batang pohon homogen yang panjangnya L dan beratnya w dijadikan jembatan penghubung antara dua bukit. Batang ditarik horizontal oleh gaya F. Tunjukan garis kerja tegak lurus dari sumbu rotasi ke garis gaya (F dan w)! ………………………………………………………. ………………………………………………………. ……………………………………………………….

4.3

Sebuah batang homogen yang panjangnya L diikat degan tali secara tegak lurus dan batang miring dengan sudut . Gambarkan garis kerja tegak lurus dari sumbu rotasi ke garis gaya (T dan w)! ………………………………………………………. ………………………………………………………. ……………………………………………………….

F a w

b

T

 w

5. Dari pertanyaan 4 coba Anda tuliskan persamaan torsinya oleh gaya F dan w untuk ketiga gambar! ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. 6. Sebutkan beberapa kejadian sehari-hari yang bekerja berdasarkan momen gaya? ………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………... 7. Bilamana momen gaya bertanda positif dan bilamana momen gaya bertanda negatif? ………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………...

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

5

Dede Saepudin [1402983]

8.

AB = lengan beban BC = lengan kuasa

9.

Gambar di atas adalah usaha mengangkat beban dengan pengungkit AC. Agar dengan mudah kita mengangkat beban maka diperlukan lengan kuasa yang pendek atau yang panjang. Jelaskan! ………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………... ………………………………………………………………………………………………...

Contoh Penerapan Momen Gaya dalam Perhitungan  Katrol Dua roda silinder dengan jari-jari r1 = 30 cm dan r2 = 50 cm disatukan dengan sumbu yang melewati pusat keduanya, seperti pada gambar. Hitunglah momen gaya total pada roda gabungan! Jawab: F1 = 50 N, r1 = 0,3 m, F2 = 50 N, r2 = 0,5 m  = 1 + 2 = -(50 N)(0,3 m) + (50 N)(0,5 m) cos30o = - 15 + 25 (0,87) = 6,25 Nm Catatan : Dalam perhitungan 2 melibatkan cos karena arah gaya belum tegak lurus dengan lengan gaya.

 Jembatan Sederhana Pada batang homogen seberat 200 N digantungkan beban 440 N dengan panjang L (lihat gambar). Besar gaya yang dilakukan penyangga pada batang adalah … 200 N

440 N

Jawab: Syarat kesetimbangan di A, A = 0 0 = wj (L/2) + wb(3L/4) - FBL 200/2 + 440(3/4) = FB FB = 430 N Syarat kesetimbangan di B, B = 0 0 = – wb(L/4) – wj(L/2) + FAL 440/4 + 200/2 = FA FA = 210 N

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

6

Dede Saepudin [1402983]

 Jungkat-Jungkit Jungkat-jungkit pajangnya totalnya L = 5 m lalu tengahnya disangka secara kaku. Dua orang anak yang massanya berbeda (merah = 20 kg, putih = 30 kg) sedang duduk dan bermain jungkat-jungkit. Jika anak yang massanya lebih kecil duduk tepat di ujung papan, dimanakah anak yang lainnya harus duduk agar setimbang?

LA

Jawab: A = B  wA LA = wB LB (200)(2,5 m) = (300 N)(LB) LB = 1,67 m dari tengah ke kanan

LB

wA

wB

 Roda Pedati Sebuah roda dengan jari-jari r dan berat w ditarik oleh gaya F agar dapat menaiki tangga seperti gambar. Tentukan torsi oleh F sebagai fungsi F, r, h dan torsi ole w tersebut sebagai fungsi w, r, dan h!

F w

R-h

R

O

h

R d

O

Jawab : F = F(R - h)  w = w.d Kita cari dulu d, d = [R2 – (R-h)2]1/2 = [R2 – R2 +2Rh – h2]1/2 = [2Rh – h2]1/2 Maka, w = w. [2Rh – h2]1/2

 Jembatan Angkat Pada zaman dulu di depan pintu gerbang istana biasanya dibuat jembatan angkat untuk menambah keamanan istana seperti pada gambar. Hitunglah gaya angkat minimal untuk menarik jembatan bila bobotnya 3000 N, dan panjang 6 meter. Jawab : B = 0 1 = 2  w . r1 = F sin . r2 (3000 N)(3 m) = F (0,52)(6) 9000 Nm = (32)F F = 15002 N

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

7

Dede Saepudin [1402983]

Latihan Soal 1. Empat buah gaya bekerja pada batang seperti gambar di bawah ini ! Tentukan besar momen gaya dari masing-masing gaya terhadap poros di titk A dan terhadap poros di titik B Jawab……………………………………………......... ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................ ........................................................................................

2. Gaya-gaya sebesar F1 = 10 N, F2 = 5 N, F3 = 8 N dan F4 = 12 N bekerja pada benda berbentuk empat persegi panjang ABCD seperti gambar berikut ini. Panjang sisi AB = 40 cm, pajang sisi BC = 30 cm dan titik O adalah perpotongan kedua diagonalnya. Tentukan besar momen gaya masing-masing gaya terhadap poros di A a. titik A B b. titik O c. titik B F1 Jawab O ……………………………………………. ……………………………………………. O ……………………………………………. F2 F3 ……………………………………………. F4 ……………………………………………. ……………………………………………. C D

3.

Batang AC bermassa 40 kg dan Fpanjangnya 3 F2 3 m. Jarak tumpuan A dan B adalah 2 m (di B papan dapat berputar) seorang anak bermassa 25 kg berjalan dari A menuju C. Berapa jarak minimum anak dari titik C agar papan tetap setimbang (ujung batang A hampir terangkat)? Jawab : ……………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

4.

Sebuah beban dengan berat wb = 20 N disimpan di atas sebuah papan tipis (L = 2 m, w = 200 N) pada jarak 50 cm dari ujug kiri. Hitunglah torsi yang dialami beban dan torsi yang dialami papan terhadap ujung papan kanan.

wb a

w b x

Jawab : ……………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

8

Dede Saepudin [1402983]

2. Momen Kopel Kopel adalah pasangan dua buah gaya yang sejajar, sama besar, dan berlawanan arah. Kopel yang bekerja pada suatu benda akan mengakibatkan benda tersebut berotasi. Momen kopel (M) adalah perkalian silang antara dua besaran vektor, yaitu gaya dan jarak antara kedua gaya tersebut. Secara matematis, dituliskan sebagai berikut: M = F x d ….. (3) Perjanjian tandanya, yaitu jika kopel menyebabkan perputaran benda searah putaran jarum jam, momen kopel (M) bernilai positif (mendekati pembaca,  ). Sebaliknya, apabila kopel menyebabkan perputaran benda berlawanan arah dengan putaran jarum jam, momen kopel bernilai negatif (menjauhi pembaca ).

Gambar 10. Kopel dari dua gaya yang sama besar dan berlawanan arah

Gambar 11. (a) Momen kopel positif arahnya mendeka ti pembaca dan (b) momen kopel negatif arahnya menjauhi pembaca.

Penerapan dari momen kopel ini adalah pada pemasangan pedal sepeda dan kawat putar pada motor listrik, hal ini memberikan kemudahan dalam proses putarannya.  SISTEM PEDAL SEPEDA Contoh aplikasi momen kopel dalam keseharian terdapat pada pedal sepeda. Kedua kaki akan memberikan gaya F yang sama pada pedal sepeda (panjang pedal sama) dengan arah keduanya saling berlawanan. Hal ini akan memberikan kemudahan pada pengendara sepeda sehingga bisa mengayuh cepat. Sumber : demandstudios.com Gambar 12. Posisi kaki pada saat bersepeda menunjukkan penerapan momen kopel yang bermanfaat.

 PEMASANGAN KAWAT PUTAR MOTOR LISTRIK F

d F

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

Gambar 13. Kawat segiempat dipasang sedemikian rupa sehingga arah arus tegak lurus dengan arah medan magnet sehingga menimbulkan arah gaya magnet ke atas dan ke bawah pada sisi yang berbeda

9

Dede Saepudin [1402983]

3. Momen Inersia

v m

r

Gambar 13. Momen inersia benda yang sedang berputar pada sumbu rotasi berjarak r.

Sebuah benda yang berotasi pada sumbunya, cenderung untuk terus berotasi pada sumbu tersebut selama tidak ada gaya luar (momen gaya) yang bekerja padanya. Ukuran yang menentukan kelembaman benda terhadap gerak rotasi dinamakan momen inersia (I). Momen inersia juga menyatakan bagaimana massa benda yang berotasi didistribusikan di sekitar sumbu rotasinya. Apabila sistem yang berotasi adalah sebuah partikel yang bermassa m dan berada pada jarak r dari sumbu rotasi, maka momen inersia partikel tersebut merupakan hasil kali massa partikel dengan kuadrat jaraknya dari sumbu rotasi. Secara matematis dirumuskan: I = mr2 ….. (4) dengan: I = momen inersia (kg.m2) m = massa benda (kg) r = jarak partikel dari sumbu putar (m)

Dari Persamaan (4) itu, Anda dapat menyimpulkan bahwa momen inersia suatu partikel berbanding lurus dengan massa partikel dan kuadrat jarak partikel tersebut terhadap sumbu rotasinya. Dengan demikian, semakin jauh jarak poros benda (sumbu rotasinya), besar momen inersia benda tersebut akan semakin besar. Prinsip ini banyak digunakan dalam atraksi sirkus, misalnya atraksi berjalan pada seutas tali. Pemain akrobat yang membawa sepotong kayu panjang akan lebih stabil berjalan di atas tali karena akan memperbesar momen inersianya dibandingkan dengan tanpa menggunakan tongkat, mengapa?

(a)

(a)

Gambar 14. Dua orang profesional sedang mendemonstrasikan atraksi berjalan di atas tali. Gambar (a) atraksi berjalan tanpa bantuan tongkat tapi melentangkan tangannya dan gambar (b) atraksi dengan bantuan tongkat keseimbangan. Gambar (b) menunjukkan orang yang berjalan lebih stabil bahkan berani sambil mata tertutup. Sumber : neuneuknews.blogspot.com

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

10

Dede Saepudin [1402983]

Momen Inersia Sistem Partikel

𝐼=

𝑛 2 𝑖=1 𝑚𝑖 𝑟𝑖

m1

r1

Apabila terdapat banyak partikel dengan massanya masingmasing m1, m2, dan m3 serta memiliki jarak masing-masing r1, r2, dan r3 terhadap poros (sumbu rotasi) seperti gambar 15, maka momen inersia total partikel tersebut adalah penjumlahan momen inersia setiap partikelnya. Secara matematis dapat dituliskan sebagai berikut.

m2

r2 r3

m3

Gambar 15. Tiga partikel yang berputar pada sumbu rotasi yang sama

= 𝑚1 𝑟12 + 𝑚2 𝑟22 + 𝑚3 𝑟32 ……. (5)

Momen Inersia Benda Tegar Apabila benda yang berotasi terdiri atas susunan partikel kontinu, seperti benda tegar, maka momen inersia dihitung dengan metode integral sebagai berikut: 𝐼=

𝑟 2 𝑑𝑚 ……… (6)

Besarnya momen inersia tergantung pada bentuk benda, jarak sumbu putar ke pusat massa, dan posisi benda relatif terhadap sumbu putar. Tabel 1 menunjukkan momen inersia beberapa benda tegar yang sering digunakan dalam kehidupan sehari-hari. Tabel 1. Momen Inersia Berbagai Benda Tegar Homogen Gambar

Nama Benda Batang silinder dengan poros melalui pusat

Momen Inersia 𝐼=

1 𝑚ℓ2 12

1 𝑚(𝑎2 + 𝑏2 ) 2

Pelat besi persegi panjang dengan poros melalui pusat

𝐼=

Silinder berongga dengan poros melalui pusat

1 𝐼 = 𝑚(𝑅12 + 𝑅22 ) 2

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

11

Dede Saepudin [1402983]

Silinder tipis berongga dengan poros melalui pusat

𝐼 = 𝑚𝑟 2

Silinder pejal dengan poros melalui pusat

𝐼=

1 𝑚𝑟 2 2

Bola pejal dengan poros melalui pusat

𝐼=

2 𝑚𝑟 2 5

𝐼=

2 𝑚𝑟 2 3

R

Bola tipis berongga dengan poros melalui pusat

Sumber : Fundamentals of Physics, 2001.

Momen Inersia Benda Tegar dengan Poros Bergeser Sejajar Poros Pusat Dalam kasus benda tegar, apabila momen inersia benda terhadap pusat massa Ipm diketahui, maka momen inersia benda terhadap sumbu lain yang paralel dengan sumbu pusat massa dapat dihitung menggunakan teori sumbu sejajar, yaitu: I = Ipm + Md2 ……… (7) dengan: Ipm = Inersia benda dengan sumbu melalui pusat (kg.m 2) d = jarak dari sumbu pusat massa ke sumbu paralel (m) m = massa benda (kg).

M

ℓ d Gambar 16. Batang homogen dengan poros bergeser ke ujung

Seperti kasus yang diilustrasikan oleh Gambar 16, maka besar momen inersia batang dapat dihitung sebagai berikut: I = (1/12)ML2 + M(L/2)2  I = [(1/12) + (1/4)]ML2 = [4/12]ML2 = [1/3]ML2

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

12

Dede Saepudin [1402983]

Momen Inersia Sistem Benda Tegar Apabila beberapa benda tegar digabungkan membentuk suatu sistem utuh kemudian berputar menyatu secara bersamaan, maka momen inersia sistemnya adalah penjumlahan momen inersia setiap benda tegar. Isys = I1 + I2 + I3 + … ……. (8)

Contoh: Sebuah batang homogen yang massanya M dan panjang L dipasangi sebuah bola berongga pada ujungnya dengan massa m dan jari-jarinya r. Sistem tersebut kemudian diputarkan pada porosnya seperti Gambar 17. Tentukan besar momen inersia sistem ini jika L = 4r dan M = 2m! Jawab: I1 = Ipm1 + M1d12  I1 = (1/12)ML2 + M(L/2)2 I1 = (1/3)ML2 = (1/3)(2m)(4r)2 = (32/3)mr2 I2 = Ipm2 + M2d22  I2 = (2/3)mr2 + m(L+r)2 I2 = (2/3)mr2 + m(5r)2 = (2/3 + 25)mr2 = (77/3)mr2 Maka, Isys = I1 + I2 = (32/3 + 77/3)mr2 = (109/3)mr2

d1 M,L

d2

m,r

Gambar 16. Sistem Batang homogen dengan bola berongga diujung nya.

Review Berdasarkan hasil membaca materi di atas, coba Anda review untuk memperkuat pemahaman dengan menjawab beberapa pertanyaan di bawah ini. 1. Apa yang dimaksud dengan momen kopel? ……………………………………………………………………………………………..… ……………………………………………………………………………………………….. 2. Apa saja besaran yang mempengaruhi besarnya momen kopel? …………………………………………………………………………………………….…. ……………………………………………………………………………………………….. 3. Dengan mengidentifikasi persamaan (3), bagaimana caranya menmperbesar momen kopel? ……………………………………………………………………………………………..… ……………………………………………………………………………………………..… 4. Apa yang dimaksud dengan momen inersia? ……………………………………………………………………………………………..… ………………………………………………………………………………………………. 5. Apa saja besaran yang mempengaruhi besarnya momen inersia? ……………………………………………………………………………………………..… ……………………………………………………………………………………………….. 6. Pada peristiwa atraksi berjalan di atas tali seperti ditampilkan Gambar 14, orang yang berjalan menggunakan tongkat akan merasakan lebih stabil, mengapa? Jelaskan!

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

13

Dede Saepudin [1402983]

……………………………………………………………………………………………..… ……………………………………………………………………………………………….. 7. Bagaimana langkah-langkah untuk menentukan momen inersia sistem benda tegar? ……………………………………………………………………………………………..… ……………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………….. Contoh Penerapan Momen Kopel dan Momen Inersia dalam Perhitungan  Motor pada Generator Sebuah motor listrik memiliki jari jari 5 cm. Apabila gaya magnet yang dihasilkan oleh sitem itu adalah 20 N, hitungkah besar momen kopel yang mendorong putaran motor! Jawab : M = F.d = (40 N)(5.10-2 m) = 2 Nm  Sistem Partikel P

2 kg

1 kg

R

2 kg

Q

1 kg

Empat partikel dihubungkan dengan batang kayu yang ringan dan massanya diabaikan seperti pada gambar berikut. Jika jarak antar partikel sama, yaitu 20 cm, berapakah momen inersia sistem partikel tersebut terhadap: (a) poros PQ, (b) poros RS

S

Jawab Diketahui: m1 = 1 kg, m2 = 2 kg, m3 = 2 kg, m4 = 1 kg, dan r = 20 cm. a. Momen inersia sistem terhadap poros PQ, berarti PQ sebagai sumbu rotasi I = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 = (1kg)(0,2m)2+(2kg)(0m)2+(2kg)(0,2m)2 +(1kg)(0,4m)2 = 0,28 kg.m2 b. Momen inersia sistem terhadap poros RS, berarti RS sebagai sumbu rotasi I = m1r12 + m2r22 + m3r32 + m4r42 = (1kg)(0,6m)2+(2kg)(0,4m)2+(2kg)(0,2 m)2+(1 kg)(0m)2 = 0,76 kg.m2

d L

r m

Sebuah bola pejal dengan massa m = 2 kg dan jari-jari r = 10 cm diputarkan horizontal melalui sebuah tali ringan (L = 0,5 m) yang massanya diabaikan seperti gambar. Berapakah besar momen inersianya jika L = 3r? Jawab : I = Ipm + Md2 I = (2/5)mr2 + m(L + r)2 = (2/5)mr2 + m(4r)2 = (2/5 + 16)mr2 = (82/5)mr2

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

14

Dede Saepudin [1402983]

m

M

r

ℓ /2

Sebuah sistem terdiri atas sebuah batang tipis (m, ℓ) yang ujungnya direkatkan sebuah bola pejal (M, r). Sistem lalu diayunkan seperti gambar, tentukan besar inersia sistemnya dalam M dan r! [Dimana : M = 3m, ℓ = 4r) Jawab : I1 = Ipm1 + M1d12  I1 = (1/12)mL2 I1 = (1/12)(M/3)(4r)2 = (16/36)Mr2 = (4/9)Mr2 I2 = Ipm2 + M2d22  I2 = (2/3)mr2 + m(L+r)2 I2 = (2/5)Mr2 + M(L+r)2 = (2/5)Mr2 + M(5r)2 = (127/5)Mr2 Maka, Isys = I1 + I2 = (4/9 + 127/5)Mr2 = (20/45 + 635/45)Mr2 = (655/45) Mr2 = 14,6Mr2

Latihan Soal 1.

Perhatikan gambar di samping! Pada batang AD bekerja empat buah gaya sejajar, masing-masing F1 = F3 = 8 N dan F2 = F4 = 12 N. Tentukan besar momen kopel pada batang AD!

F2 F1 1m

1m

…………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… …………………………………………………………… 2.

A

B

C

2 kg

1 kg

D

3 kg

2 kg

F3

1m

F4

Empat partikel dihubungkan dengan batang kaku yang ringan dam massanya diabaikan seperti pada gambar berikut. Jika jarak antarpartikel sama, yaitu 40 cm, berapakah momen inersia sistem partikel tersebut terhadap: (a) poros AB, (b) poros CD!

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………

3.

Sebatang kayu homogen memiliki panjang L dan massa m. Tentukanlah momen inersianya, jika batang kayu tersebut berputar menurut sumbu putarnya pada jarak L/4 dari ujung!

m L L/4

……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………………..

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

15

Dede Saepudin [1402983]

4.

Sebuah piringan bermassa 20 gram dan berjari-jari 10 cm. Tentukanlah momen inersia piringan tersebut jika dirotasikan dengan: (a) poros digeser ke sisi ujung piringan yang sejajar poros pusat (poros a), (b) poros digeser agak ke tengah berjarak r/2 dari pusat yang sejajar poros pusat (poros b)!

a r/2

b

r

………………………………………………………………………...… ………………………………………………………………………...… …………………………………………………………………………... ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………….

5.

Sebuah sistem terdiri atas sebuah batang tipis (m, ℓ) yang pada bagian tengahnya direkatkan sebuah bola pejal (M, r). Sistem lalu diayunkan seperti gambar, tentukan besar inersia sistemnya dalam m dan r! (Dimana : M = 2m, ℓ = 5r) m

………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………….

M r ℓ /2

4. Hubungan Momen Gaya dan Momen Inersia Pada pembahasan sebelumnya, Anda telah mempelajari bahwa penyebab gerak translasi adalah gaya F dan penyebab gerak rotasi adalah momen gaya τ. Menurut Hukum Kedua Newton, persamaan gerak translasi benda diam bermassa m yang dikenai gaya F dan bergerak dengan percepatan a adalah F = ma. Maka untuk benda dengan momen inersia I yang bergerak rotasi dengan percepatan sudut α karena adanya momen gaya τ, maka persamaannya adalah: τ = I α ………. (8) Dimana : τ = momen gaya (N.m) I = momen inersia (kg.m2)  = percepatan sudut (rad/s2) Dengan demikian terdapat analogi yang setara antara besaran-besaran pada gerak translasi (lurus) dan gerak rotasi (melingkar) yaitu F  , m  I, dan a  . Maka kita pun dapat mengembangkannya untuk besaran-besaran lainnya, yaitu: Tabel 2. Analogi besaran-besaran pada gerak translasi dan rotasi Gerak Translasi Kecepatan Linier (v) Jarak tempuh (s) Energi kinetik translasi (Ek = ½ mv2) Usaha (W = F.s) Daya (P = F v)

Gerak Rotasi Kecepatan sudut () Sudut tempuh () Energi kinetik rotasi (Ek = ½ I2) Usaha (W = .) Daya (P =  )

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

16

Dede Saepudin [1402983]

Salah satu penerapan dari hubungan ini adalah pada saat kita hendak mengencangkan atau mengendorkan sekrup. Jika Anda ingin putar dengan cepat sekrup itu menggunakan obeng, maka Anda harus memberikan momen gaya () yang lebih besar sehingga percepatan sudut ( ) sekrup makin besar.

Gambar 17. Seseorang sedang menggunakan obeng untuk membuka dan mengencangkan sekrup. Meningkatkan putaran sekrup dilakukan dengan meningkatkan torsi yang diberikan. Sumber : Fisika Universitas, 2002.

Contoh Penerapan Hubungan Momen Gaya-Momen Inersia dalam Perhitungan  Torsi Pada Roda/Bola Berputar r

F

Sebuah roda berputar dari kecepatan 10 rad/s menjadi 70 rad/s karena mendapat momen gaya tetap dalam waktu 3 sekon. Jika momen kelembaman roda 4 kg.m2, tentukanlah besar momen gaya (torsi) tersebut? Jawab :

𝜏 = 𝐼𝛼 = 𝐼

𝜔 2 −𝜔 1 𝑡

= (4 kg.m2)[(70 rad/s) – (10 rad/s)]/3 s = 80 N.m  m r

v

Sebuah bola pejal yang berdiameter 40 cm berotasi dengan poros yang melalui pusat bola. Persamaan kecepatan sudut bola adalah (5 + 20t) rad/s dengan t dalam sekon. Apabila massa bola 4 kg, tentukan momen gaya yang bekerja pada bola. Jawab :  = I  = [(2/5)mr2] [d/dt] = [(2/5)(4kg)(0,2m)2][d(5+20t)/dt] = [0,064 kgm2][20rad/s2] = 1,28 N.m

 Torsi Pada Kerekan Air Sumur Sebuah silinder pejal berjari-jari 15 cm dan bermassa 2 kg dijadikan kerekan untuk sebuah sumur, seperti tampak pada gambar. Batang yang dijadikan poros memiliki permukaan licin sempurna. Seutas tali yang massanya dapat diabaikan, digulung pada silinder. Kemudian, sebuah ember bermassa 1 kg diikatkan pada ujung tali. Tentukan percepatan ember saat jatuh ke dalam sumur.

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

17

Dede Saepudin [1402983]

Jawab : Rotasi pada kerekan silinder.  = I  T.r = [(1/2)mr2] [a/r]  T = (1/2) ma ……. (1)

 r

T

Translasi pada ember. F = ma mg – T = ma ……… (2) maka, (1) ke (2) Diperoleh, mg – (1/2)ma = ma mg = (3/2)ma a = (2/3)g = 20/3 m/s2

T a

w

 Sistem Benda-Katrol Di Bidang Datar Balok A (2 kg) berada di atas meja licin dihubungkan tali dengan balok B (3 kg) melalui katrol sehingga dapat menggantung seperti pada Gambar. Jika massa katrol (mk = 2 kg) dan jari-jari 10 cm maka tentukan : a. percepatan benda A dan B, b. percepatan sudut katrol, c. tegangan tali TA dan TB ! Jawab: Tinjauan sistem (tegangan tali saling menghilangkan), F = ms . a wB = (mA + mB + ½ mk) a 30 = (2 + 3 + 1) a  30 = 6a  a = 5 m/s2 ….. (1) Percepatan sudut katrol,  = a/r = [5/0,1] = 50 rad/s2



TA r

TB

Translasi pada balok A, TA = mA a TA = 2a = 2.5 = 10 N

TB mB

a mA

TA

Translasi pada balok B, wB – TB = mB a 30 – TB = 3a = 18  TB = 30 – 3a TB = 30 – 15 = 15 N

a wB

 Sistem Benda-Katrol Di Bidang Miring a w2sin

m2

T2

a T1

m1 o

30

w1

Dua buah benda bermassa sama 2 kg dihubungkan dengan tali melalui sebuah katrol dengan massa 2 kg dan jari-jari 10 cm seperti gambar. Berapakah percepatan sistem ketika benda mulai dilepaskan? Jawab : F = ms . a w1 – w2sin = (m1 + m2 + ½ mk) a 20 – 10 = (2 + 2 + 1)a = 5a a = 2 m/s2

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

18

Dede Saepudin [1402983]

 Sistem Dua Katrol Berimpit (Pengayaan)  r1 r2

a2

a1 T1

T2 m2

m1

T1 a1

m1

w1

a2 w1

Jawab : Sistem ini harus ditinjau terpisah-pisah tidak bisa disekaliguskan. Rotasi pada katrol,  = I  [lihat arah putaran, maka 2 +) (2 - 1) = (1,59) (T2r2 – T1r1) = 1,59  (0,2T2 – 0,5T1) = 1,59 ……. (1) Percepatan tiap balok berbeda yaitu a1 = r1 dan a2 = r2. Translasi pada beban yang digantung (tinjau satu persatu), F1 = m1a1 [percepatan tiap balok berbeda] T1 – w1 = m1a1  T1 – 10 = a1 T1 = 10 + a1 = 10 + r1 = 10 + 0,5 ……. (2)

T2 m2

Benda m1 = 1 kg dan m2 = 4 kg dihubungkan dengan katrol yang memiliki dua jari-jari berbeda seperti tampak pada gambar. Momen Inersia sistem katrol adalah I = 1,59 kg m2 dengan r1 = 50 cm dan r2 = 20 cm. Berapakah besar percepatan sudut sistem katrol, percepatan tiap beban, dan tegangan tiap talinya?

F2 = m2a2 w2 – T2 = m2a2  40 – T2 = 4a2 T2 = 40 – 4a2 = 40 – 4r2 = 40 – 0,8 ……. (3)

(2) dan (3) substitusi ke (1) akan diperoleh, 0,2(40 – 0,8) – 0,5(10 + 0,5) = 1,59  8 – 0,16 – 5 – 0,25 = 1,59 3 = 1,59 + 0,41 = 2   = 1,5 rad/s2, maka a1 = 0,75 m/s2, a2 = 0,3 m/s2 Sehingga, T1 = 10 + 0,5 = 10 + 0,75 = 10,75 N T2 = 40 – 0,8 = 40 – 1,2 = 38,8 N

Review Berdasarkan hasil membaca materi di atas, coba Anda review kembalii untuk memperkuat pemahaman Anda dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut! 1. Bagaimana hubungan momen gaya dan momen inersia? ………………………………………………………………………………………………. 2.

Untuk torsi yang sama, bagaimana percepatan sudut suatu partikel jika momen inersianya diperbesar? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….

3.

Tulisah analogi beberapa besaran pada gerak lurus dan gerak rotasi! ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

19

Dede Saepudin [1402983]

4.

Tuliskan langkah-langkah menyelesaikan persoalan pada kasus kerekan air! ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….

5.

Tuliskan langkah-langkah menyelesaikan persoalan pada kasus sistem benda-katrol pada bidang datar! ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….

6.

Tuliskan langkah-langkah menyelesaikan persoalan pada kasus sistem benda-katrol pada bidang miring! ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….

7.

Apa yang dimaksud dengan tinjauan sistem? Dan apa konsekuensinya? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….

Latihan Soal 1.

Sebuah roda berputar dari diam hingga menjadi 40 rad/s dalam waktu 4 sekon. Jika momen kelembaman roda 6 kg.m2, tentukanlah besar momen gaya yang dialami roda?

r

F

………………………………………………………………... ……………………………………………………………….. ……………………………………………………………….. 2.

Sebuah bola pejal yang berdiameter 30 cm berotasi dengan poros yang melalui pusat bola. Persamaan geraknya memenuhi (t) = (5t + 10t2) rad dengan t dalam sekon. Apabila massa bola 2 kg, tentukan momen gaya yang bekerja pada bola.

 m v

r

………………………………………………………………... ……………………………………………………………….. ……………………………………………………………….. 3.

Beban dengan massa 18 kg (g = 10 m/s2) digantungkan pada katrol yang berjari-jari 24 cm. Jika momen gaya sebesar 4 Nm dan momen inersia sebesar 2 kgm2, tentukan: a. percepatan sudut, b. kecepatan sudut pada t = 5 s! ………………………………………………………………...…... ……………………………………………………………..……… …………………………………………………………………….. …………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

 r

a T

m

20

Dede Saepudin [1402983]

4.

Balok m1 dengan massa 1 kg berada di atas meja kasar dengan k = 0,2. Balok m1 ditarik oleh balok m2 (3 kg) yang tergantung melalui seutas tali ringan. Sistem dihubungkan dengan sebuah katrol (mk = 2 kg, r = 10 cm) dan mulai bergerak setelah dilepaskan. Tentukan: (a) percepatan sistem, (b) percepatan sudut katrol, (c) tegangan T1 dan T2 !

T1

m1

k = 0,2

………………………………………………………………...…... ……………………………………………………………..……… …………………………………………………………………….. …………………………………………………………………….. 5.

a T2 w2sin

a T1

m2

m1 o

37

w1

a T2 m2

Dua buah benda masing-masing bermassa m1 = 3 kg dan m2 = 2 kg dihubungkan dengan tali melalui sebuah katrol dengan massa 2 kg dan jari-jari 10 cm seperti gambar. Berapakah percepatan sistem ketika benda mulai dilepaskan? ………………………………………………………..… ………………………………………………………….. …………………………………………………………..

5. Usaha dan Energi Perhatikanlah roda delman, seperti terlihat pada Gambar 18. Agar dapat berjalan, roda delman tersebut harus dapat menggelinding di sepanjang jalan yang dilaluinya. Apakah gerak menggelinding itu? Gerak menggelinding adalah perpaduan antara gerak rotasi dengan gerak translasi. Perhatikanlah Gambar 19. Gerak translasi dicontohkan pada Gambar 19a. Pada gambar tersebut, gaya F bekerja di pusat massa (PM) roda sehingga roda berpindah atau bertranslasi. Pada Gambar 19b, gaya F bekerja di jari-jari roda sehingga menyebabkan roda berotasi pada pusat massanya.

(a)

Gambar 18. Sebuah delman yang sedang melaju menarik penumpang di suatu jalan raya di seputaran Kota Garut. Sumber : lintasgayo.com.

(b)

(c)

Gambar 19. (a) Roda bergerak translasi karena ditarik dengan gaya yang bekerja pada titik pusat massanya (PM). (b) Roda berotasi pada titik pusat massanya (PM).(c) Roda menggelinding.

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

21

Dede Saepudin [1402983]

Untuk benda yang bergerak rotasi murni, besar usahanya merupakan perkalian antara momen gaya () dengan besar sudut yang ditempuhnya () atau bisa juga diperoleh dari perubahan energi kinetiknya, yaitu: W =   …………. (9) W = Ekrot = Ek2rot – Ek1rot = (1/2)I(22 - 12) ……… (10) Begitu pula untuk dayanya, untuk gerak rotasi murni ini bisa menggunakan analogi yang sudah disampaikan sebelumnya, yaitu: P =   ………… (11)

Gerak Menggelinding

N

F f w Gambar 20. Sebuah bola pejal yang menggelinding tanpa slip pada suatu permukaan datar

Gerak menggelinding adalah perpaduan antara gerak rotasi dan gerak translasi. Dalam melakukan gerak menggelinding, dibutuhkan gaya gesek antara benda dengan permukaan. Jika tidak ada gaya gesek maka benda tersebut akan tergelincir atau slip (benda hanya melakukan gerak translasi). Perhatikanlah Gambar 20. Dari uraian gaya-gaya yang bekerja pada roda tersebut dapat Anda lihat bahwa gaya normal N, gaya F, dan gaya berat w bekerja pada titik pusat massa roda. Gaya F menyebabkan benda bertranslasi. Gaya gesek f menimbulkan momen gaya pada roda sebesar τ sehingga roda dapat berotasi dan menggelinding tanpa slip. Dapat disimpulkan bahwa gaya gesek yang bekerja pada benda, memegang peranan penting agar benda dapat menggelinding sempurna tanpa slip.

Dalam kehidupan sehari hari, konsep menggelinding tanpa slip ini dapat Anda temukan pada desain ban kendaraan, misalnya mobil dan motor. Desain permukaan ban kendaraan dirancang sedemikian rupa agar gesekan yang ditimbulkan saat ban bersentuhan dengan jalan, dapat membuat roda menggelinding sempurna tanpa slip. Menganalisa Penerapan Konsep Menggelinding Pada Desain Ban

Gambar 21. Dua buah ban yang didesain berbeda untuk keperluan berbeda. Ban sebelah kiri untuk di jalan raya dan yang kanan untuk di jalan bertanah.

Desain ban suatu kendaraan berbeda-beda, sesuai dengan kebutuhan kendaraan tersebut. Jika Anda perhatikan, ban yang digunakan oleh para pembalap Formula One memiliki permukaan yang lebih licin daripada ban mobil biasa, bahkan terkadang tidak bergerigi sama sekali. Menurut Anda, adakah gaya gesek yang ditimbulkan oleh ban mobil balap itu? Apabila dihubungkan dengan konsep menggelinding tanpa slip, apakah fungsi ban seperti yang digunakan oleh para pembalap tersebut? Untuk mendukung jawaban Anda, cobalah Anda cari informasi lebih lanjut mengenai kegunaan desain ban mobil balap dan perbandingannya dengan desain ban mobil biasa di perpustakaan, internet, dan sumber-sumber lainnya.

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

22

Dede Saepudin [1402983]

Ketika sedang menggelinding, benda memiliki energi kinetik yang terbagi atas dua jenis, yaitu energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi. Anda telah mengetahui pada benda yang bergerak translasi, energi kinetiknya adalah Ek = (1/2)mv2, rumusan ini disebut energi kinetik translasi (Ektrans). Sedangkan, pada benda yang berotasi murni, energi kinetiknya adalah energi kinetik rotasi, yaitu : Dimana: Ekrot = energi kinetik rotasi (joule) Ekrot = (1/2)I2 …………. (9) I = momen inersia benda (kg.m2)  = kecepatan sudut benda (rad/s) Pada benda yang menggelinding, gerak benda merupakan perpaduan antara gerak translasi dan gerak rotasi. Oleh karena itu, energi kinetik yang dimiliki benda adalah energi kinetik total, yaitu : Ektot = Ektrans + Ekrot Ektot = (1/2)mv2 + (1/2)I2 ……….. (10) Jika resultan momen gaya luar yang bekerja pada benda sama dengan nol (tidak ada momen gaya luar yang bekerja pada benda), pada gerak rotasi murni atau gerak menggelinding tersebut berlaku Hukum Kekekalan Energi Mekanik, yaitu: EM1 = EM2 Ep1 + Ektot1 = Ep2 + Ektot2 ………. (11)

Penerapan Konsep Usaha-Energi dalam Perhitungan  BENDA BEROTASI MURNI 

F r

Kasus seperti ini banyak terjadi dalam kehidupan sehari-hari seperti pada batu gir yang dipakai untuk memotong lantai marmer atau memotong batu-batuan lainnya. Contoh lainnya terjadi pada proses pengereman mobil, pengereman motor, dll.

Sebuah piringan dengan massa 2 kg dan jari-jari 20 cm sedang berotasi murni pada poros melalui pusat. Akibat suatu torsi yang menahannya, benda berputar makin pelan dan akhirnya berhenti dengan perlambatan 20 rad/s2 selama 20 sekon. Tentukan: a) kecepatan sudut benda 10 sekon sebelum berhenti, b) besar sudut yang ditempuh selama bergerak, c) usaha yang dilakukan torsi pada benda? Jawab: 2 = 1 - t 0 = 1 – (20 rad/s2)(10 s)  1 = 200 rad/s (a) Untuk mengetahui sudut total yang ditempuh, diperlukan informasi kecepatan sudut mula-mula, yaitu: 2 = 0 - t 0 = 0 – (20 rad/s2)(20 s)  0 = 400 rad/s  = 0t – (1/2)t2 = (400.20) – (1/2)(20)(20)2 = 8000 – 4000 = 4000 rad (b) W =   = (I ) = (1/2)mr2() = (1/2)(2 kg)(0,22)(20 rad/s2)(4000 rad) = 3200 joule = 3,2 kJ (c)

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

23

Dede Saepudin [1402983]

A



B

L

 h



h=0

Ketinggian h dihitung dari bawah hingga ke titik pusat massa batang, h = (1/2)L sin

Sebuah batang dengan massa M yang mulanya diam dari keadaan miring (A) lalu dijatuhkan horizontal ke lantai (B). Jika panjang batang L dan titik tumpu tidak bergeser, tentukan: a) kecepatan sudut () batang sesaat sebelum menyentuh lantai, b) kecepatan linier (v) titik di ujung batang sesaat sebelum menyentuh lantai, c) torsi yang dialami batang pada posisi B? Jawab : EMA = EMB EpA + EkA = EpB + EkB Mgh + 0 = 0 + (1/2)I2 Mg(1/2)L sin = (1/2)(1/3)ML22  = [3g sin / L]1/2 (a) Kecepatan linier titik di ujung, maka r = L v = L = [3g sin L]1/2 (b) Torsi yang dialami batang pada posisi B,  = F r = Mg(1/2)L = (1/2)MgL (c)

r w

 MENGGELINDING DI BIDANG DATAR  r v

Sebuah bola besi pejal dengan massa 2 kg dan berjari-jari 20 cm sedang menggelinding di atas permukaan datar kasar dengan kelajuan 4 m/s. Tentukan energi kinetik dari bola besi tersebut! Jawab : Ektot = Ektrans + Ekrot = (1/2)mv2 + (1/2)I2 = (1/2)mv2 + (1/2)(2/5)mr2(v/r)2 = (1/2 + 1/5)mv2 = (7/10)(2 kg)(4 m/s)2 = 22,4 joule

 MENGGELINDING DI BIDANG MIRING

1

a h

2

v

Sebuah bola besi berongga bermassa m dan berjari-jari r, menggelinding dari keadaan diam di atas bidang miring kasar seperti gambar. Tentukan: a) kecepatan linier benda sesaat sebelum menyentuh dasar, b) percepatan linier yang dialami bola besi? Jawab : EM1 = EM2 Ep1 + Ektot1 = Ep2 + Ektot2 mgh + 0 = 0 + (1/2)mv +(1/2)I2 mgh = (1/2)mv2 + (1/2)(2/3)mr2(v/r)2 = (5/6)mv2 v = [(6/5)gh]1/2 (a)

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

24

Dede Saepudin [1402983]

Tinjauan rotasi bola,  = I  f r = (2/3)mr2(a/r)  f = (2/3)ma ………. (1)

N

f

a mg sin Gaya normal menghasilkan torsi nol karena arah gaya dan arah lengan gaya berlawanan ( = N.r sin 180o). Gaya berat bekerja tepat di pusat rotasi, r = 0. Jadi hanya gaya gesek f yang ada torsinya.

Tinjauan translasi bola, F = ma mg sin - f = ma ………… (2) (1) substitusi ke (2) akan diperoleh, mg sin - (2/3)ma = ma g sin = (5/3)a  a = (3/5)g sin

Review Berdasarkan hasil membaca materi tadi, coba Anda review kembali untuk memperkuat pemahaman Anda dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut! 1. Tuliskan kembali rumusan dari usaha, daya, dan energi kinetik dalam gerak rotasi! ………………………………………………………………………………………………. 2. Apa syarat berlakunya kekekalan energi mekanik dalam gerak rotasi? ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. 3.

Untuk gerak rotasi murni pada kasus sebuah batang homogen yang jatuh dari keadaan diam hingga ke lantai, bagaimana menentukan ha dan hb untuk kasus (a), (b), dan (c)? A

A

A B

L

L



B

L

 B

(a) (b) (c) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. 4.

Bagaimana langkah-langkah menentukan kecepatan linier bola yang menggelinding pada bidang miring, sesaat sebelum bola menyentuh lantai? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….

5.

Bagaimana langkah-langkah menentukan percepatan linier bola yang menggelinding pada bidang miring? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

25

Dede Saepudin [1402983]

Latihan Soal 1.

Sebuah bola besi pejal dengan massa 2 kg dan berjari-jari 20 cm sedang menggelinding di atas permukaan datar kasar dengan kelajuan 4 m/s. Tentukan energi kinetik total dari bola besi tersebut!

r v

………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... 2.

Sebuah bola pejal yang bermassa m dan lantai yang berjari-jari R menggelinding pada permukaan datar dengan kecepatan v. Tentukan nilai perbandingan energi kinetik translasi dan energi kinetik rotasi bola! ………………………………………………………………...…………………………….. …………………………………...………………………………………………………….. …….........................................................................................................................................

3.

Sebuah bola pejal bermassa 10 kg berjari-jari 10 cm menggelinding di atas bidang miring 37°. Jika gaya gravitasi 10 m/s2, maka tentukanlah: a) momen inersia bola, b) percepatan bola, c) percepatan sudut bola, d) gaya gesek antara bola dan lantai, e) torsi yang memutar bola!

h

………………………………………………………………...…………………………….. …………………………………...………………………………………………………….. ……......................................................................................................................................... ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. ................................................................................................................................................. 4.

5.

Sebuah tali dililitkan pada yoyo kemudian digantung seperti gambar. Jika gaya yang dilepaskan maka akan bergerak yang sama dengan gerak melingkar. Massa yoyo 200 gr dan jari-jari 15 cm. Tentukan: a). percepatan yoyo, b). percepatan sudut yoyo, c). tegangan talinya! ………………………………………………………………...…... …………………………..…………………………………...……. ……………………………………………………..……................ .......................................................................................................... ..........................................................................................................

T r

w

Dua buah benda yang massanya sama m dan jari-jari r menggelinding tanpa slip menuruni bukit yang kasar dari titik fg a yang sama seperti gambar. Tentukan perbandingan percepatan r turunnya antara bola pejal terhadap bola berongga (apj : arg) = .... mg sin ………………………………………………………………...…... …………………………..…………………………………...……. ……………………………………………………..……....................................................... ................................................................................................................................................. ……………………………………………………………………………………………….

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

26

Dede Saepudin [1402983]

6. Momentum Sudut Seperti halnya benda yang sedang bergerak translasi, benda yang sedang begerak rotasipun memiliki momentum yaitu momentum sudut. Perhatikan atlit yang sedang melakukan tarian balet. Pada saat dia berputar, tangannya kadang dilipat kadang pula dilentangkan. Hal ini untuk memberi perubahan pada kecepatan putarnya. Dengan prinsip kekekalan momentum sudut, penari akan melentangkan tangannya untuk mengurangi kecepatan putar begitu pula sebaliknya. Karena pada saat tangan dilentangkan, momen inersianya bertambah, maka kecepatan putarnya akan berkurang. L = I  = mvr …………. (12)

Gambar 21. Seorang atlit penari balet sedang memperagakan gerakan memutar.

dengan: L = momentum sudut (kg.m2/s) I = momen inersia (kg.m2)  = kecepatan sudut (rad/s)

Momentum sudut merupakan besaran vektor. Arah momentum sudut dari suatu benda yang berotasi dapat ditentukan dengan kaidah putaran sekrup atau dengan aturan tangan kanan. Jika keempat jari menyatakan arah gerak rotasi, maka ibu jari menyatakan arah momentum sudut seperti ditunjukkan Gambar 22. Gambar 22. Arah putaran keempat jari menunjukkan arah rotasi, sedangkan ibu jari menunjukkan arah momentum sudut

Jika momen gaya luar sama dengan nol, berlaku Hukum Kekekalan Momentum Sudut, yaitu momentum sudut awal akan sama besar dengan momentum sudut akhir. Secara matematis, pernyataan tersebut ditulis sebagai sebagai berikut: Lo = L’ …………. (13) L1 + L2 = L1’ + L2’ (I11) + (I22) = Isys’

Dengan : Lo = momentum sudut awal (kg.m2/s) L’ = momentum sudut akhir (kg.m2/s) L1 = momentum sudut awal benda 1 L2 = momentum sudut awal benda 2 L1’ = momentum sudut akhir benda 1 L2’ = momentum sudut akhir benda 2

Pada saat peloncat indah hendak melakukan putaran di udara, ia akan menekuk tubuhnya. Hal ini untuk mengurangi momen inersianya, sehingga kercepatan sudutnya menjadi lebih besar. Pada tahap akhir loncatan, peloncat meluruskan lagi tubuhnya, meningkatkan momen inersianya sehingga secara otomatis memperkecil kecepatan sudutnya. Gambar 23. Peloncat indah yang merubah formasi tubuhnya untuk menghasilkan putaran yang berbeda.

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

27

Dede Saepudin [1402983]

Hubungan Momentum Sudut dengan Momen Gaya Secara teori, besar kecilnya perubahan momentum sudut (L) bergantung pada perubahan dari momen inersia (I) dan kecepatan sudutnya (). Karena perubahan momen inersia benda juga terkait dengan perubahan momen gaya ( ) benda maka perubahan momentum sudut benda akan mempengaruhi besar momen gayanya. Dengan demikian maka bisa diungkapkan: F.dt = dp  F = dp/dt = d(mv)/dt = d(mr)/dt rF = d(mr2)/dt = d(I)/dt

 = dL/dt …………. (14)

Contoh Penerapan Konsep Momentum Sudut dalam Perhitungan  PARTIKEL BEROTASI

v



m

r

Sebuah partikel dengan massa 2 gram bergerak melingkar dengan jari-jari lingkaran 2 cm dan kecepatan sudut 10 rad/s. Tentukan momentum sudut partikel itu terhadap pusat lingkaran! Jawab: L=I = mr2 = (2.10-3kg)(2.10-2m)2(10 rad/s) = 8.10-6 kg.m2/s atau 80 g.cm2/s

 BENDA TEGAR HOMOGEN BEROTASI Sebuah silinder tipis berongga dengan diameter 120 cm dan massa 20 kg berotasi melalui pusat sumbunya seperti gambar berikut ini. Jika kecepatan sudutnya 20 rpm, hitunglah momentum sudutnya! Jawab: L=I = mr2 = (20kg)(0,6m)2(2/3 rad/s) = 4,8 kg.m2/s

 = 20 rpm = 20 put/mnt = 20.2 rad/60 s = 2/3 rad/s

 HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM

m, r

M, R

Diketahui sebuah piringan hitam bermassa m dan berjarijari r. Piringan hitam ini diletakkan di atas sebuah meja putar dengan jari-jari R dan massa M yang sedang berputar dengan kecepatan sudut ω. Meja putar ini dapat berputar dengan bebas tanpa ada momen gaya luar yang bekerja padanya. Jika piringan hitam dan meja putar dapat dianggap sebagai silinder homogen, berapakah kecepatan sudut akhir sistem?

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

28

Dede Saepudin [1402983]

Jawab: Lo = L’ L1 + L2 = L’ I11 + I22 = Isys ’ (1/2)MR2 + 0 = (1/2)(MR2 + mr2)’, maka 𝑴𝑹𝟐 ′ 𝜔 = 𝝎 𝑴𝑹𝟐 + 𝒎𝒓𝟐

 Awal

L

’ Akhir

L

Sebuah batang homogen massa M dan panjang L sedang berputar pada poros di tengah batang dengan kecepatan sudut  rad/s. Tiba-tiba jatuh partikel bermassa M/10 tepat di ujung batang. Dengan menganggap tidak ada gesekan pada poros, maka hitunglah kecepatan sudut batang sekarang (’)! Jawab: Lo = L’ L1 + L2 = L’ I11 + I22 = Isys ’ (1/12)ML2 + 0 = [(1/12)(ML2) + mr2)’, maka (1/12) ML2 = [(1/12)(ML2) + (M/10)(L/2)2]’ (1/12) ML2 = [(1/12)(ML2) + (1/40)ML2]’ (1/12) = [13/120]’  ’= (10/13) Seorang peloncat indah meluruskan badan dan tangannya pada awal loncatan seperti batang tipis yang panjangnya 200 cm dan berputar 4 rad/s, lalu menarik kedua lutunya dan bergulung seperti sebuah bola pejal yang berjari-jari 50 cm. Jika massa atlit tersebut 60 kg, tentukan kecepatan sudutnya saat bergulung! Jawab: Lo = L’ L1 + L2 = L’ I11 + I22 = Isys ’ (1/12)ML2 = (2/5)(Mr2)’, maka  = (5/24)(L2/r2) = (5/24)(22/0,52)(4 rad/s) = 13,33 rad/s

F



r

Suatu benda bergerak rotasi secara teratur akibat torsi yang bekerja padanya menurut persamaan (t) = (4 + 2t) Nm dengan t dalam sekon. Berapakah besar momentum sudut yang dialami benda dari t = 1 s hingga t = 4 s! Jawab: 4 𝜏 𝑡 = 𝑑𝐿/𝑑𝑡  𝐿 = 𝜏 𝑡 𝑑𝑡 = 1 4 + 2𝑡 𝑑𝑡 𝐿 = [4𝑡 + 𝑡 2 ]14 = 4.4 + 42 − (4.1 + 12 ) = 32 – 5 = 27 kg.m2/s

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

29

Dede Saepudin [1402983]

Review Berdasarkan hasil membaca materi tadi, coba Anda review kembali untuk memperkuat pemahaman Anda dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut! 1. Jelaskan bagaimana besaran momentum sudut terdapat pada peristiwa putaran tarian balet dan peristiwa putaran loncat indah! ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… 2.

Apa saja besaran yang dapat mempengaruhi besarnya momentum sudut? ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

3.

Dalam penerapan hukum kekekalan momentum sudut, besaran apa yang akan berubah nilainya (makin besar atau makin kecil?) apabila besar momen inersia benda bertambah? ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

4.

Tuliskan kembali hubungan momentum sudut dengan momen gaya! ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

Mari Berdiskusi Bagilah kelas Anda menjadi beberapa kelompok. Setiap kelompok dapat terdiri atas 4 sampai 6 anak. Diskusikan hal-hal berikut! 1. Mengapa lebih sulit berdiri di atas satu kaki dibandingkan di atas dua kaki! 2. Pada saat meniti bambu atau kayu, mengapa saat akan jatuh kedua tangan Anda secara reflek direntangkan? 3. Mengapa mobil yang bentuknya relatif lebih tinggi (bus) mudah terguling dibanding mobil yang bentuknya relatif pendek (sedan)? Buatlah kesimpulan dari diskusi tersebut. Mintalah kepada guru Anda agar memilih salah satu kelompok untuk mempresentasikan hasil diskusinya!

Info Corner YOYO Apakah Anda pernah bermain yoyo? Sepintas yoyo hanya mainan sederhana. Terbuat dari bahan kayu, plastik, atau besi berbentuk bulat dengan sebuah rongga dan porosnya diikat seutas benang. Di tangan pemain yoyo yang mahir, yoyo menjadi pertunjukan yang menakjubkan. Yoyo termasuk jenis permainan kuno yang sampai sekarang masih populer. Orang Yunani kuno telah bermain yoyo sekitar 2.500 tahun yang lalu. Fakta-fakta menunjukkan nenek moyang orang Cina juga memiliki mainan serupa yoyo. Ada beragam desain yoyo. Pada yoyo tradisional, benangnya diikat erat ke poros. Yoyo tradisional mula-mula banyak digunakan di Eropa. Pada yoyo modern, benangnya berbentuk laso. Yoyo modern dibawa dari Filipina ke Amerika Serikat pada tahun 1920-an. Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

30

Dede Saepudin [1402983]

Yoyo memiliki energi potensial. Energi ini berasal dari dua sumber, yaitu gaya gravitasi (melalui lemparan) dan laso yang memungkinkan yoyo berotasi. Ketika yoyo dimainkan, kedua energi potensial itu berubah menjadi energi kinetik. Yoyo jatuh lurus ke tanah karena lemparan dan gaya gravitasi. Pada saat yang sama, tali memberi energi putar. Saat yoyo sampai pada ujung benang, energi putar belum habis sehingga yoyo terus berotasi dalam keadaan “diam”. Dalam bahasa Inggris, kondisi tersebut dinamakan sleep. Rotasi yoyo membuatnya stabil. Agar yoyo naik ke atas, Anda harusmenyentakkan talinya. Gerakan sleep tidak mungkin terjadi pada yoyo tradisional sebab talinya terikat erat pada poros, sehingga saat yoyo sampai pada ujung benang, yoyo akan membalik ke atas (ke tangan pemain yoyo). Gerakan sleep memungkinkan pemain yoyo melakukan beragam trik. Maka, pemain yoyo selalu berusaha melakukan sleep selama mungkin agar dapat melakukan banyak trik. Salah satu trik adalah walk the dog, yaitu yoyo digelindingkan di tanah seperti roda, kemudian ditarik kembali ke tangan. Pabrik yoyo menciptakan beragam desain yoyo untuk memudahkan sleep. Salah satu desain yoyo menggunakan prinsip fisika yang disebut momen inersia. Momen inersia berkaitan dengan kemampuan suatu benda melakukan rotasi. Momen inersia dipengaruhi dua faktor, yaitu massa benda dan jarak massa dari poros. Makin besar massa dan makin jauh jaraknya dari poros, makin besar pula momen inersianya. Jika memiliki momen inersia tinggi, yoyo bisa melakukan sleep dalam waktu yang lama. Untuk itu, pabrik yoyo menumpukkan berat pada tepi terluar. Cara lain untuk mendapatkan momen inersia yang tinggi adalah dengan mengurangi gesekan antara poros yoyo dengan benang. Caranya dengan meletakkan bola (gotri) pada sekeliling poros, sehingga poros yoyo tidak bersentuhan dengan benang. Agar lebih halus, gotri bisa diberi minyak pelumas (oli). Saat dunia tergila-gila dengan yoyo pada tahun 1990-an, sebuah perusahaan bernama Yomega menciptakan yoyo jenis baru. Sama dengan yoyo generasi sebelumnya, benang juga tidak menyentuh poros. Bedanya, benang diletakkan pada pelek. Antara pelek dan poros dipisahkan pegas (per). Saat yoyo diam atau berputar pelan, pegas menekan pelek. Jadi, jika poros berputar, pelek (dan yoyo) ikut berputar. Namun, saat yoyo berputar cepat, gaya sentrifugal menarik pegas sehingga pegas tidak menekan pelek. Jadi, pelek terpisah dari poros. Saat poros berputar, pelek (dan yoyo) tetap diam. Saat yoyo dilempar, awalnya bergerak pelan. Namun, sesampai di ujung benang, putaran menjadi cepat. Poros berputar, tetapi yoyo diam atau melakukan gerakan sleep. Fisika memang dunia yang mengasyikan, dimasa datang kreativitas Andalah yang ditunggu. (Dikutip seperlunya dari Suplemen Anak Suara Merdeka, Yunior, edisi 264 2005)

Latihan Soal 1.

Sebuah bola pejal bermassa 0,5 kg dan jari-jari 20 cm berotasi dengan kecepatan sudut 15 rad/s. Berapakah momentum sudut bola tersebut? ................................................................................................................................................. .................................................................................................................................................

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

31

Dede Saepudin [1402983]

2.

Dua cakram dipasang pada suatu poros putar yang sama. Cakram A memiliki momen inersia 3 kg.m2 dan kecepatan sudut 360 rad/s. Cakram B memiliki momen inersia 4 kg.m2 dan kecepatan sudut 320 rad/s, dengan arah putaran sama dengan cakram A. Hitunglah kecepatan sudutnya setelah digabung! ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

3.

4.

Seorang penari balet memiliki momen inersia 8 kg.m 2 ketika kedua lengannya telentang dan 2 kg.m2 ketika merapat ke tubuhnya. Pada saat kedua lengannya terentang, penari tersebut berputar dengan kelajuan 3 putaran/s. Setelah itu, kedua lengannya dirapatkan ke tubuhnya. Tentukanlah laju putaran penari ketika kedua lengannya merapat! ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. Sebuah batang homogen massa M dan panjang L sedang  berputar pada poros di ujung batang dengan kecepatan Awal sudut  rad/s. Tiba-tiba jatuh partikel bermassa M/6 tepat di L tengah batang. Dengan menganggap tidak ada gesekan pada poros, maka hitunglah kecepatan sudut batang sekarang ’ (’)! Akhir ……………………………………………………………… L ……………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….

5. Kesetimbangan dan Titik Berat Kesetimbangan dan Jenis-Jenisnya Menurut Hukum Pertama Newton, apabila resultan gaya-gaya yang bekerja pada benda sama dengan nol, percepatan benda tersebut juga akan sama dengan nol. Dalam hal ini, dapat diartikan bahwa benda berada dalam keadaan diam atau bergerak dengan kecepatan tetap. Kondisi ini berlaku untuk gerak translasi dan gerak rotasi. Apabila pada benda berlaku hubungan Σ F = 0 dan Στ = 0 (a = 0 dan α = 0) maka dikatakan benda tersebut dalam keadaan setimbang. Dengan demikian, keadaan setimbang itu terdapat dua macam, yaitu a. Setimbang statik (benda diam). v = 0 dan ω = 0 ; Σ F = 0 dan Στ = 0 b. Setimbang mekanik - Setimbang translasi → benda bertranslasi dengan v konstan. - Setimbang rotasi (untuk benda tegar) → benda berotasi dengan ω konstan.

Gambar 24. Plank sebuah kafe yang tergantung diam, dikatakan plank dalam keadaan setimbang karena tidak bergeser maupaun berputar. Sumber : Rohman.an.web.id

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

32

Dede Saepudin [1402983]

Dilihat dari tingkat kestabilan, kesetimbangan benda tegar juga dapat dibedakan atas tiga jenis yaitu: kesetimbangan stabil, labil, dan netral ditunjukkan Gambar 28 berikut.

Gambar 25. (a) Benda setimbang stabil (mantap), (b) Benda setimbang labil (goyang), dan (c) Benda setimbang netral (indeherent/sembarang).

Kesetimbangan stabil (mantap), ialah jenis kesetimbangan benda di mana apabila benda diberi gangguan (gaya luar) maka benda akan bergerak. Kemudian, apabila gangguan gaya luar tersebut dihilangkan maka benda akan diam dan kembali pada kedudukannya semula. Perhatikanlah Gambar 25a. Titik berat benda akan naik, jika benda hendak menggelinding karena gaya F. Kedudukan benda setelah digulingkan akan tetap. Kesetimbangan labil (goyah), ialah jenis kesetimbangan benda dimana benda tidak dapat kembali ke kedudukannya semula apabila gaya luar (gangguan) yang diberikan padanya dihilangkan. Perhatikanlah Gambar 25b. Titik berat benda O turun, apabila benda hendak menggelinding karena gaya F. Kedudukan benda sebelum dan sesudah digelindingkan berubah. Kesetimbangan netral (indifferent/sembarang), ialah jenis kesetimbangan benda di mana apabila benda diberi gangguan, benda akan bergerak. Kemudian, apabila gangguan dihilangkan, benda akan kembali diam pada posisinya yang baru. Perhatikanlah Gambar 25c. Titik berat benda, O, tidak naik maupun turun apabila benda menggelinding. Setelah menggelinding, benda kembali setimbang di posisinya yang baru. Pusat Massa atau Titik Berat Benda tegar yang melakukan gerak rotasi, memiliki pusat massa yang tidak melakukan gerak translasi (v = 0). Berbeda dengan sebuah partikel yang bergerak melingkar beraturan, partikel tersebut memiliki pusat massa yang melakukan gerak translasi (v ≠ 0) dengan arah yang selalu berubah karena adanya percepatan sentripetal, asp di mana F ≠ 0. Perhatikanlah Gambar 26 berikut.

Gambar 26. Sebuah kunci inggris yang dilemparkan berotasi, difoto dengan menggunakan kamera tingkat tinggi. Gambar menunjukkan bahwa letak pusat massa suatu benda menunjukkan kestabilan. Sumber : Conceptual Physics, 1993.

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

33

Dede Saepudin [1402983]

Letak pusat massa suatu benda menentukan kestabilan (kesetimbangan) benda tersebut. Jika dari titik pusat massa benda ditarik garis lurus ke bawah dan garis tersebut jatuh pada bagian alas benda, dikatakan benda berada dalam keadaan setimbang stabil. Namun, apabila garis lurus yang ditarik dari titik pusat massa jatuh di luar alas benda maka benda dikatakan tidak stabil. Menara Pisa yang miring masih tetap dapat berdiri selama berabad abad. Mengapa menara tersebut tidak jatuh? Dari ilustrasi Gambar 27, dapat dilihat bahwa garis yang ditarik dari pusat massa menara masih jatuh pada alasnya sehingga menara berada dalam keadaan stabil (setimbang). Agar tidak mudah terguling, benda dirancang dengan dasar (alas) yang lebar dan titik pusat massa yang rendah. Perhatikan Gambar 27 berikut.

Gambar 27. Letak titik pusat massa menara Pisa masih berada di dalam alasnya sehingga menara tetap dalam keadaan stabil. Sumber : Conceptual Physics, 1993.

Gambar 28. Benda berbentuk kerucut merupakan benda yang paling stabil dibandingkan dengan ketiga benda lainnya. Sumber : Conceptual Physics, 1993.

Dari gambar tersebut dapat dilihat bahwa semakin lebar alas suatu benda, gaya yang dibutuhkan untuk menggulingkannya akan semakin besar karena jarak yang dibutuhkan untuk menaikkan titik pusat massa benda (ditandai tanda panah) makin besar. Titik berat benda adalah titik tangkap gaya berat suatu benda, di mana titik tersebut dipengaruhi oleh medan gravitasi. Penentuan letak titik berat ini dapat dilakukan dengan mudah apabila benda bersifat homogen dan beraturan (seperti kubus, bola, dan silinder). Apabila benda tidak homogen atau tidak beraturan, penentuan titik beratnya adalah sebagai berikut. Anggaplah benda berupa kumpulan titik-titik massa, yaitu m1, m2, m3, dan seterusnya yang terletak pada koordinat (x1, y1), (x2, y2), (x3, y3), dan seterusnya. Titik berat benda terhadap sumbu-x adalah: (m1 + m2 + m3 + ...) gx0 = m1gx1 + m2gx2 + m3gx3 + ... Titik berat benda terhadap sumbu-y adalah: (m1 + m2 + m3 + ...) gy0 = m1gy1 + m2gy2 + m3gy3 + ... maka momen gaya berat benda terhadap sumbu-x adalah: 𝑥𝑜 =

𝑚1 𝑥1 + 𝑚2 𝑥2 + 𝑚3 𝑥3 + ⋯ … … … … . . (15) 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯

Untuk sumbu-y, momen gaya berat benda tersebut adalah: 𝑦𝑜 =

𝑚1 𝑦1 + 𝑚2 𝑦2 + 𝑚3 𝑦3 + ⋯ … … … … . . (15) 𝑚1 + 𝑚2 + 𝑚3 + ⋯

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

34

Dede Saepudin [1402983]

Mari Meneliti Tujuan : Menentukan titik berat benda tidak teratur. Alat dan bahan : Karton, gunting, benang, paku, styrofoam, kertas. Cara Kerja : 1. Potonglah karton dengan bentuk tidak teratur. 2. Buatlah beberapa lubang pada pinggir potongan karton, dan berilah nama, 6. misalnya A, B, C, dan seterusnya. 3. Gantungkan potongan karton pada papan styrofoam dengan memasukkan 7. paku pada lubang A. 4. Gantungkan benang yang telah diberi paku (beban), pada paku lubang A.

5. 6. 7.

Jika benang sudah setimbang (tenang, diam, tidak bergerak), buatlah garis yang berimpit dengan benang tersebut. Ulangi langkah 3 - 5 untuk lubang B, C, D, dan seterusnya. Dari garis-garis yang kalian buat akan ditemukan satu titik yang merupakan perpotongan dari garis-garis tersebut. Berilah nama titik z (titik berat).

Diskusi 1. Apakah yang dimaksud titik berat? 2. Bagaimanakah jumlah momen gaya terhadap titik z dan resultan gayanya 3. ketika benda dalam keadaan setimbang? 4. Setelah ketemu titik beratnya, letakkan potongan karton pada kertas dan tentukan koordinat titik z tersebut!

Untuk benda-benda homogen, berat atau massa benda dapat dinyatakan dalam volume, luas, dan panjangnya. a) Benda Homogen Berbentuk Garis Tabel 3. Letak titik berat beberapa benda homogen berbentuk garis

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

35

Dede Saepudin [1402983]

b) Benda Homogen Berbentuk Bidang Tabel 4. Letak titik berat beberapa benda homogen berbentuk bidang

c) Benda Homogen Berbentuk Ruang Pejal Tabel 5. Letak titik berat beberapa benda homogen berbentuk ruang pejal

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

36

Dede Saepudin [1402983]

d) Benda Homogen Berbentuk Ruang Berongga (Selimut) Tabel 6. Letak titik berat beberapa benda homogen berbentuk ruang berongga

Contoh Penerapan Kesetimbangan dan Titik Berat dalam Kehidupan Sehari-hari  Kesetimbangan pada Akrobat Masal Amati Gambar 29 ini! Lima orang artis akrobatik sedang memperagakan teknik kesetimbangan dalam suatu acara hiburan. Mereka saling menumpu dengan menggunakan kursi sebagai kontrol kesetimbangan. Perhatikan! Makin ke atas peserta yang menumpu makin kecil badannya, itu artinya pusat massa sistem ada di bagian yang lebih ke bawah dan jika ditarik garis lurus ke bawah dari pusat massa ini akan ada pada area alas sistem. Itulah sebabnya sistem ini dalam keadaam setimbang.

Gambar 29. Lima orang artis akrobat profesional sedang memperagakan teknik kesetimbangan masal. Sumber : Antara Sumatra Barat.

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

37

Dede Saepudin [1402983]

 Kesetimbangan pada Menara Derek (Crane) Di kapal dan galangan kapal terdapat derek kapal, yaitu sebuah derek statis yang dioperasikan dengan kabel yang dihubungkan pada sebuah menara. Menara derek juga dapat dijumpai pada pembangunan gedung-gedung dan pertambangan. Menara derek ini harus selalu berada dalam keadaan setimbang agar tidak timbul total momen gaya yang akan merobohkan menara derek tersebut. Salah satu derek yang terkenal adalah derek Gottwald MK 1000 yang diberi julukan “ irdie ne” karena menara derek tersebut pernah mengangkat beban yang sangat berat, yaitu menempatkan reaktor berkapasitas 742 ton di kilang minyak Selandia Baru. Gambar 30. Sebuah crane (menara derek) sedang mengangkut hasil tambang di sebuah pertambangan Indonesia. Sumber : chindonews.blogspot.co.id

 Kesetimbangan pada Jembatan Kesetimbangan statis banyak diaplikasikan dalam bidang teknik, khususnya yang berhubungan dengan desain struktur jembatan. Anda mungkin sering melewati jembatan untuk menyeberangi sungai atau jalan. Menurut Anda, bagaimanakah kesetimbangan statis suatu jembatan jika dijelaskan secara Fisika? Suatu jembatan sederhana dapat dibuat dari batang pohon atau lempengan batu yang disangga di kedua ujungnya. Sebuah jembatan, walaupun hanya berupa jembatan sederhana, harus cukup kuat menahan berat jembatan itu sendiri, kendaraan, dan orang yang menggunakannya. Jembatan juga harus tahan terhadap pengaruh kondisi lingkungan. Seiring dengan perkembangan jaman dan kemajuan teknologi, dibuatlah jembatan-jembatan yang desain dan konstruksinya lebih panjang dan indah, serta terbuat dari material yang lebih kuat dan ringan, seperti baja. Secara umum, terdapat tiga jenis konstruksi jembatan. Marilah pelajari pembahasan kesetimbangan gaya-gaya yang bekerja pada setiap jenis jembatan berikut: a. Jembatan kantilever adalah jembatan panjang yang mirip dengan jembatan sederhana yang terbuat dari batang pohon atau lempengan batu, tetapi penyangganya berada di tengah. Pada bagian-bagiannya terdapat kerangka keras dan kaku (terbuat dari besi atau baja). Bagianbagian kerangka pada jembatan kantilever ini meneruskan beban yang ditanggungnya ke ujung penyangga jembatan melalui kombinasi antara tegangan dan regangan. Tegangan timbul akibat adanya pasangan gaya yang arahnya menuju satu sama lain, sedangkan regangan ditimbulkan oleh pasangan gaya yang arahnya saling berlawanan. Perhatikanlah Gambar 31! Kombinasi antara pasangan gaya yang berupa regangan dan tegangan, menyebabkan setiap bagian jembatan yang berbentuk segitiga membagi berat beban jembatan secara sama rata sehingga meningkatkan perbandingan antara kekuatan terhadap berat jembatan. Pada umumnya, jembatan kantilever digunakan sebagai penghubung jalan yang jaraknya tidak terlalu jauh, karena jembatan jenis ini hanya cocok untuk rentang jarak 200 m sampai dengan 400 m. Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

38

Dede Saepudin [1402983]

Gambar 31. Sebuah jembatan yang menghubungkan dua kecamatan di kabupaten Garut Sumber : pustaka.pu.go.id

b. Jembatan lengkung adalah jembatan yang konstruksinya berbentuk busur setengah lingkaran dan memiliki struktur ringan dan terbuka. Rentang maksimum yang dapat dicapai oleh jembatan ini adalah sekitar 900 m. Pada jembatan lengkung ini, berat jembatan serta beban yang ditanggung oleh jembatan (dari kendaraan dan orang yang melaluinya) merupakan gaya-gaya yang saling berpasangan membentuk tekanan. Oleh karena itu, selain menggunakan baja, jembatan jenis ini dapat menggunakan batuan-batuan sebagai material pembangunnya. Perhatikanlah Gambar 32! Desain busur jembatan menghasilkan sebuah gaya yang mengarah ke dalam dan ke luar pada dasar lengkungan busur.

Gambar 32. Jembatan Habour Bridge di Sedney, Australia yang menjadi salah satu ikon kota ini. Sumber : diskominfo.kaltimprov. go.id.

c. Jembatan gantung adalah jenis konstruksi jembatan yang menggunakan kabel-kabel baja sebagai penggantungnya, dan terentang di antara menara-menara. Setiap ujung kabel-kabel penggantung tersebut ditanamkan pada jangkar yang tertanam di pinggiran pantai. Perhatikanlah Gambar 33. Jembatan gantung menyangga bebannya dengan cara menyalurkan beban tersebut (dalam bentuk tekanan oleh gaya-gaya) melalui kabel-kabel baja menuju menara penyangga. Kemudian, gaya tekan tersebut diteruskan oleh menara penyangga ke tanah. Jembatan gantung ini memiliki perbandingan antara kekuatan terhadap berat jembatan yang paling besar, jika dibandingkan dengan jenis jembatan lainnya. Oleh karena itu, jembatan gantung dapat dibuat lebih panjang, seperti Jembatan Akashi-Kaikyo di Jepang yang memiliki panjang rentang antarmenara 1780 m.

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

39

Dede Saepudin [1402983]

Gambar 33. Jembatan Los Angles yang terkenal begitu indah di malam hari. Sumber : diskominfo. kaltimprov. go.id.

Contoh Penerapan Kesetimbangan dan Titik Berat dalam Perhitungan  Kesetimbangan Tiga Gaya o

o

30

60

T2 T1 T3 m

Cara 2 bisa dengan poligon, sebagai berikut. T1 = T3 sin30o T1 = 20(1/2) = 10 N T3 T2 = T3 cos30o 30o T2 = 20(1/2)3 = 103 N

Suatu benda yang massanya 2 kg tergantung setimbang pada tiga utal tali yang disusun seperti gambar di samping. Jika sistem dalam keadaan setimbang, tentukan besar tegangan tali T1, T2, dan T3! (g = 10 m/s2) Jawab: Karena benda dalam keadaan diam, maka T3 = w = 20 N. Cara 1 bisa dengan analisis vektor, T2y T2 Fx = 0 T1y T2x – T1x = 0  T2x = T1x T1 60o T2 cos60o = T1 cos30o T2x T1x T2 (1/2) = T1 (1/2)3 T2 = T13 …….. (1) T3

Fy = 0  T1y + T2y – T3 = 0 T1 sin30o + T2 sin60o – 20 = 0 ……… (2) Persamaan (1) substitusi ke (2) T1 (1/2) + T13 (1/2)3 = 20  T1 (2) = 20 T1 = 10 N, maka T2 = 103 N. Dua buah benda digantung setimbang melalui sebuah katrol seperti pada gambar. Jika benda A beratnya 20 N dengan tan  = 3/4 dan tan  = 4/3, maka tentukan berat w agar kesetimbangan tercapai!



B

Jawab: w

4

tan  = 4/3, maka r = 5 artinya: sin  = 4/5 dan cos  = 3/5

r A

20 N



3

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

40

Dede Saepudin [1402983]

Sehingga dengan teknik poligon akan diperoleh, wA cos = wB (20)(3/5) = wB = 12 N T wB = 12 N wA 

wB

Tiga buah massa (mA = 1,2 kg, mB = 0,5 kg, dan mC) digantung menggunakan tiga utas tali ringan dimana dua diantaranya melalui katrol seperti gambar. Jika sistem dalam keadaan setimbang, berapakah besar massa C agar kesetimbangan tercapai? wB

wA wC

Jawab: Cara 1, menggunakan teknik analisis vektor Umpamakan sudut siku-siku y w Ay pada soal adalah ( + ), maka wA sin  = cos  dan sin  = cos  w 

Cara 2 bisa dengan poligon, sebagai berikut. tan = wA /wB = 12/5 wA Maka, wC sin = 12/13  wB Sehingga, wA = wC sin wC = wA /sin = 12 /(12/13) = 13 N mC = 1,3 kg



By

 

wAx

wB

wBx

x

wC

Fx= 0 wBx = wAx wB cos  = wA cos  5 sin  = 12 cos  Tan  = 12/5  sin  = 12/13 cos  = 5/13

Fy = 0 wAy + wBy = wC  wA sin  + wB sin  = wC wA sin  + wB cos  = wC 12(12/13) + 5(5/13) = wC wC = (144 + 25)/13 = 169/13 = 13 N maka, mC = 1,3 kg

 Kesetimbangan Sistem Batang Sebuah batang homogen yang beratnya w dan panjangnya L digunakan untuk menahan beban 3w. dengan skema seperti pada gambar. Tali dikaitkan ke dinding dan ke tengah batang. Hitunglah besar tegangan tali yang terjadi (dalam w)!

T

53o o

w

3w

Catatan : arah gaya T dan arah lengan gayanya saling tegak lurus, maka tidak perlu mengalikan sin atau cos.

Jawab: Resultan torsi di engsel (O) sama dengengan nol, O = 0 0 = w(L/2) sin53o + 3wL sin53o – T(L/2) T(L/2) = w(L/2)(4/5) + 3wL(4/5) T = (4/5)w + (24/5)w T = (28/5)w

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

41

Dede Saepudin [1402983]

T1

Sebuah balok homogen mempunyai panjang 4 m dan berat 100 N digantung seperti pada gambar. Jika AB = 0,5 m, BC = 2 m dan CD = 1,5 m. (a) Berapakah perbandingan tegangan tali T1 dan T2? (b) Tentukan nilainya?

T2

A B

T1

C

T2

2m

B

D

A = 0 0 = T1(2) + T2(0) – w(0,5) T1(2) = w(0,5)  T1 = (1/4)w = 25 N Maka, T1 : T2 = 25 : 75 = 1 : 3

C

1,5 m

Jawab: Sistem menunjukkan B = 0 dan C = 0, maka B = 0 0 = w(1,5) – T1(0) – T2(2) T2(2) = w(1,5)  T2 = (3/4)w = 75 N

w

Sebuah tangga berbentuk segitiga sama kaki seperti pada gambar, mempunyai massa yang sangat kecil dan bisa diabaikan. Seorang tukang bangunan dengan massa m kg memanjat sampai ketinggian 3 meter dari dasar. Berapa tegangan tali penghubung (pada posisi horizontal di gambar) antara kedua sisi tangga ? (Nyatakan dalam m dan g, dimana g = percepatan gravitasi bumi). [OSK 2007] Jawab: Batang AC, sin = (15)/4, cos = 1/4 C = 0 0 = NA(4) cos - w(1) cos - T(2) sin 0 = NA(4)(1/4) - w(1)(1/4) - T(2)(15)/4) NA = T(15)/2 + w(1/4) …….. (1) C

4m

w

15 m

Batang BC, sin = (15)/4, cos = 1/4 C = 0 0 = NB(4) cos - T(2) sin 0 = NB(4)(1/4) - T(2)(15)/4 NB = T(15)/2 ……… (2)

T T NA

NB  1m

Catatan : Dalam soal ini orang yang ada di tangga ditinjau sebagai partikel sehingga titik massanya ada di titik persentuhan pada tangga

Fy = 0 NA + NB – w = 0 ……… (3) Persamaan (1) dan (2) ke (3) akan diperoleh, [T(15)/2 + w(1/4)] + [T(15)/2] = w (15)T = (3/4)w T = (3/4)w = (315)w 15 60 T = 15 w 20

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

42

Dede Saepudin [1402983]

Sistem terlihat seperti pada gambar berikut. Massa batang homogen AB adalah 50 kg dan massa beban 150 kg. Ujung A diengselkan ke tembok, sedangkan beban dihubungkan ke ujung B dengan seutas tali melalui sebuah katrol. Massa tali dan gesekan pada katrol diabaikan, g = 10 m/s2. (a) Gambarlah diagram gaya-gaya yang bekerja pada batang AB dan pada beban! (b) Hitunglah tegangan tali dan gaya engsel yang dialami titik A! r 1m

 2,5 m

r = [12 + 2,52]1/2 = [7,25]1/2 = 2,693 sin = [1/2,693] = 0,371 cos = [2,5/2,693] = 0,928

Jawab: Diagram gaya yang bekerja pada batang, Keterangan: T R - T = Tegangan tali   - w = berat batang - N’ = gaya tekan dari beban - R = gaya reaksi dari dinding N’ w

Diagram gaya pada beban, N

N

T

T

Keterangan: - T = Tegangan tali - wb = berat beban - N = gaya normal

wb wb Fy = 0 N + T – wb = 0 N = wb – T = N’ Dimana N dan N’ adalah pasangan aksi reaksi

Besar gaya tegangan tali (T), tinjau batang A = 0 0 = w(3) + N’(1,5) – T(4) sin - R(0) 0 = 50(3) + (150 – T)(1,5) – T(4)(0,371) 0 = 150 + 225 – (1,5)T – (1,484)T (2,984)T = 375  T = 125,67 N Besar gaya engsel pada titik A, Tinjau batang Fx = 0 R cos = T cos R cos = (125,67)(0,928) = 116,62 N Fy = 0 R sin + T sin = N’ + w R sin = (150 – T) + 50 – T(0,371) R sin = (150 – 125,67) + 50 – (125,67)(0,371) = 27,7 N Penggabungan keduanya menghasilkan, [R sin/R cos] = tan = 0,2375   = 13,36o Maka, R cos(13,36o) = 116,62  R = 119,86 N

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

43

Dede Saepudin [1402983]

 Kesetimbangan Bola Sebuah bola bowling yang beratnya 80 N terletak di atas dinding licin seperti tampak dalam gambar. Berapa besar gaya reaksi masing-masing dinding terhadap bola? II I 30o

70o

N1 N2 

30o



70o

Jawab: Diagram gaya-gaya yang bekerja pada benda dilukiskan pada gambar yang di bawahnya. Berdasarkan diagram, bisa diperoleh  = 60o dan  = 20o, maka Fx = 0 N1 N1y N1x = N2x N1 cos60o = N2 cos20o N2y N1 (0,5) = N2 (0,94) N2 N1 = 1,88N2 



N2x

N1x

w w

Fy = 0 N1y + N2y = w N1 sin60o + N2 sin20o = 80 (1,88)N2(0,87) + N2(0,94) = 80 2,576N2 = 80  N2 = 31,06 N

Maka, N1 = 1,88(31,06) = 58,39 N Perhatikan sistem di samping. Ada benang melilit sebuah silinder dan ujung lain benang diikat ke dinding. Jarak dari titik ikat ke titik sentuh silinder dengan dinding adalah L. Jari-jari silinder adalah r. Anggap ada gesekan antara silinder dan dinding dengan koefisien gesek maksimum . Massa silinder adalah m. a. Nyatakan hubungan sin dan cos terhadap r dan L! b. Tentukan tegangan tali T dalam r, L, m dan g ! c. Tentukan gaya normal N dalam r, L, m dan g ! d. Tentukan gaya gesek f dalam r, L, m dan g ! e. Hitung berapa nilai minimum  agar kesetimbangan ini bisa tercapai! [OSK 2007]

 L L

r a

   L L d b

c

r

r

a

 L

T d’ r’

b

Jawab: Perhatikan segiempat abcd di samping terdiri atas dua segitiga siku-siku, maka  = 2 sehingga, sin = sin2 = 2 sin cos = 2[r/(r2 + L2)1/2][L/(r2 + L2)1/2] = 2rL/(L2 + r2) cos = cos 2 = cos2 - sin2 = [L/(r2 + L2)1/2]2 - [r/(r2 + L2)1/2]2 = [L2/(r2 + L2)] - [r2/(r2 + L2)] = (L2 – r2)/(L2 + r2) Tinjau segitiga abd’ dimana r’ adalah lengan gaya yang tegak lurus dari sumbu rotasi titik b ke perpanjangan garis gaya T, maka r’ = L sin = 2rL2/(r2 + L2). b = 0  0 = wr – Tr’  T = mgr/r’ T = mgr/[2rL2/(r2 + L2)] = [mg(L2 + r2)]/(2L2)

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

44

Dede Saepudin [1402983]

T



Perhatikan gambar diagram bebas benda untuk gaya pada bola, Fx = 0 N = T sin = [(mg(L2 + r2))/(2L2)] [2rL/(L2 + r2)] = mgL/r

f

N

Fy = 0 f + T cos = mg  f = mg - T cos f = mg - [(mg(L2 + r2))/(2L2)] [(L2 – r2)/(L2 + r2)] = mg – mg(L2 – r2)/(2L2) = mg[2L2 - (L2 – r2)] / (2L2) = mg(L2 + r2)/(2L2)

w

f = N  mg(L2 + r2) =  mgL (2L2) r  = r(L2 + r2) (2L3)  Titik Berat Benda Batang Sebuah sistem terdiri dari tiga buah benda berupa batang lurus homogen. Jika sistem tersebut dalam keadaan setimbang, tentukan letak titik beratnya!

y 8 6

L1

4

L3

2

L2 2

x 4

6

8

Catatan: Untuk benda garis miring titik beratnya (x/2, y/2) lalu masing-masing ditambah koordinat awalnya.

Jawab: Data yang diperlukan adalah, L1 = 6, x1 = 2, y1 = (3 + 2) L2 = 6, x2 = 3, y2 = 2 L3 = 5, x3 = (2 + 4), y3 = (1,5 + 2) xo = x1L1 + x2L2 + x3L3 = 2.6 + 3.6 + 6.5 = 60 = 3,53 L1 + L2 + L3 6+6+5 17 yo = y1L1 + y2L2 + y3L3 = 5.6 + 2.6 + 3,5.5 = 59,5 = 3,5 L1 + L2 + L3 6+6+5 17 Jadi titik berat sistem ini ada di [3,53 ; 3,5]

 Titik Berat Benda Bidang Gambar disamping ini melukiskan sebuah benda bidang homogen dengan bentuk seperti gambar! Tentukan koordinat titik berat benda tersebut!

Catatan: Titik berat y benda segitiga adalah t/3

Jawab: Benda ini dibagi dua bagian yaitu segitiga dan segiempat, maka koordinat titik berat masing-masing adalah: (A1) = 18, x1 = 3, y1 = (2 + 3) (A2) = 12, x2 = 3, y2 = 1,5 xo = x1A1 + x2A2 = 3.18 + 3.12 = 90 = 3 A1 + A2 18 + 12 30 yo = y1A1 + y2A2 = 5.18 + 1,5.12 = 108 = 3,6 A1 + A2 18 + 12 30

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

45

Dede Saepudin [1402983]

 Titik Berat Benda Pejal Sebuah silinder pejal diatasnya disimpan benda setengah bola pejal yang menghadap ke atas. Pada bagian bawah di dalam silinder volumenya kosong sebesar sengah bola seperti gambar. Hitunglah koordinat titik beratnya!

y y r

Jawab: Karena sistem ini sudah simetris terhadap sb-y, maka tidak perlu dicari koordinat titik berat pada sb-x, sudah pasti di tengah-tengahnya, yaitu xo = r.

2r 2r

x

Catatan: Titik berat y benda setengah bola pejal, 3r/8 diukur dari tali busur (garis horizontal melalui pusat)

Titik berat pada sb-y, Benda 1 (stg bola) : V1 = (2/3)r3, y1 = (r – 3r/8) + 2r Benda 2 (silinder) : V2 = r2.2r, y2 = r Benda 3 (stg bola kos) : V3 = - (2/3)r3, y2 = 3r/8 Maka, yo = y1V1 + y2V2 + y3V3 V1 + V2 + V 3 = (21/8)r[(2/3)r3] + r[2r3] – (3r/8)[(2/3)r3] (2/3)r3 + 2r3 - (2/3)r3 = (21/8)r(1/3) + r – (3/8)r(1/3) = [(7/8) + 1 – (1/8)]r = (7/4)r Maka koordinat titik berat sistem ini adalah [r, (7/4)r]

Review Berdasarkan hasil membaca, menyimak, dan menelaah materi tadi, coba Anda review kembali untuk memperkuat pemahaman Anda dengan menjawab pertanyaan-pertanyaan berikut! 1. Apa syarat suatu benda atau sistem benda dikatakan setimbang? ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. 2.

Apa saja jenis-jenis kesetimbangan yang Anda ketahui? ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………..

3.

Apa yang dimaksud dengan pusat massa atau titik berat? Adakah kaitannya dengan kesetimbangan benda? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………….

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

46

Dede Saepudin [1402983]

4.

Apakah konsep kesetimbangan ini bermanfaat bagi kehidupan kita? Berikan penjelasanmu! ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

5.

Suatu benda berupa batang homogen dalam keadaan setimbang karena ditahan oleh seutas tali seperti gambar. Tentukan rumusan torsi untuk w dan T pada setiap gambar ini! ………………….. ………………………….. T ………………….. ………………………….. T ………………….. ………………………….. L/3  ………………….. ………………………….. ………………….. …………………………..  w w ………………….. ………………………….. ………………….. …………………………..

6.

Sebuah batang homogen dengan berat w tersimpan diam di atasnya sebuah kotak dengan berat 2w dan pada ujungnya tergantung beban dengan berat 3w. Jika sistem tersebut dalam keadaan setimbang, gambarkan diagram gaya-gaya yang bekerja pada batang!

37o

L/3

2w

w 3w

7.

Gambarkan diagram gaya-gaya yang bekerja pada bola lengkap dengan besar sudut kemiringannya terhadap sb-x dalam kerangka sb-xy.

II I 40o

8.

………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………

60o

………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………

Tuliskan bagaimana langkah-langkah untuk menentukan letak titik berat suatu sistem benda berupa sistem batang, sistem bidang, dan sistem ruang pejal. Tuliskan pula persamaan titik beratnya (xo, yo)! ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………….

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

47

Dede Saepudin [1402983]

Latihan Soal 1.

Sebuah kotak bermassa m tertahan tidak bergerak akibat gesekan dengan meja. Pada saat sistem mencapai setimbang ini, berapakah besar m yang tepat? ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… ………………………………………………………… …………………………………………………………

2.

30o m T2 T1

s = 0,4

fg

2 kg

Pada sistem kesetimbangan benda tegar seperti padagambar di samping, batang AB homogen dengan panjang 80 cm, beratnya 18 N, menyangga beban seberat 30 N, BC adalah tali. a. Berapakah tegangan pada tali (dalam newton) jika b. jarak AC = 60 cm? c. Tentukanlah besar gaya reaksi dinding terhadap d. batang di titik A? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

3.

Batang AC bermassa 40 kg dan panjangnya 3 m. Jarak tumpuan A dan B adalah 2 m (di B papan dapat berputar) seorang anak bermassa 25 kg berjalan dari A menuju C. Berapa jarak minimum anak dari titik C agar papan tetap setimbang (ujung batang A hampir terangkat)? ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

4.

Sebuah tangga homogen AB yang panjangnya 5 m dan massanya 8 kg disandarkan pada dinding vertikal yang licin. Ujung A bersandar pada dinding, sedangkan ujung B terletak di lantai kasar yang berjarak 3 m dari dinding. Tentukan koefisien gesek antara lantai dan ujung B, agar batang setimbang tepat akan bergerak. (percepatan gravitasi g = 10 m/s2) ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………… ………………………………………………………………………………………………

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

48

Dede Saepudin [1402983]

5.

Sebuah bola bowling yang beratnya 80 N terletak di atas dinding licin seperti tampak dalam gambar. Berapa besar gaya reaksi masing-masing dinding terhadap bola? ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………...

6.

7.

8.

9.

I

II 30o

Sebuah silinder yang diam dengan berat W dikenai gaya F secara vertikal seperti gambar. Bila F = 2W dan koefisien gesekan seluruh permukaan adalah 1/3, agar silinder tetap diam, maka tentukan nilai d maksimum! ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... Tiga buah batang homogen disusun seperti gambar. Tentukan titik berat sistem tersebut! …………………………………………………………….. .……………………………………………………………. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. …………………………………………………………….. ……………………………………………………………..

F d

r W

y 7 4 1 2

Tiga buah bidang setimbang seperti gambar, tentukan koordinat titik pusat sistem tersebut! ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... Dua buah bidang bola setimbang, tentukan letak titik berat sistemnya! ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………... ………………………………………………………………...

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

60o

4

x

6

10

y 7 4 2 2

4

x 6

y r/2 x

r

49

Dede Saepudin [1402983]

10. Sebuah silinder pejal diatasnya disimpan benda setengah bola pejal yang menghadap ke atas. Pada bagian atas di dalam silinder volumenya kosong sebesar sengah bola seperti gambar. Hitunglah koordinat titik beratnya! …………………………………………………………………….. …………………………………………………………………….. …………………………………………………………………….. …………………………………………………………………….. …………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………..

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

y R

2R 2R

x

50

Dede Saepudin [1402983]

Resume 1.

2.

3. 4. 5. 6.

7.

Momen gaya adalah penyebab terjadinya gerak rotasi. τ=r×F Momen inersia adalah ukuran kecenderungan suatu benda untuk mempertahankan keadaannya terhadap gerak rotasi. Momen inersia partikel, I = mr2. Momen inersia kumpulan partikel, I = Σmr2. Momen inersia benda tegar, I = ∫ r2 dm. Momen inersia benda yang sumbunya dipindahkan paralel terhadap sumbu yang melalui pusat massa benda, I = Ipm + md2 Momentum sudut adalah hasil perkalian antara momentum linear benda dengan jarak terhadap sumbu rotasinya. L=r×p

8.

9. 10. 11.

12. 13.

Besarnya momentum sudut dirumuskan sebagai L = Iω Hukum Kekekalan Momentum Sudut. L1 = L2 → I1ω1 = I2ω2 Energi kinetik gerak rotasi. EKrot = (1/2) Iω2 Energi kinetik total (pada benda menggelinding) EKtot = EKtrans + EKrot EK tot = (1/2)mv2 + (1/2) Iω2 Kopel dirumuskan sebagai berikut. M = Fd Syarat kesetimbangan benda tegar. ΣF = 0 Στ = 0

Peta Konsep

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

51

Dede Saepudin [1402983]

Soal-Soal Persiapan Tes Tulis Pilihlah salah satu jawaban yang paling tepat!  Momen Gaya (Torsi) 1. Penyebab langsung gerak rotasi adalah …. A. kecepatan sudut B. percepatan sudut C. momen gaya D. momen inersia E. momentum sudut 2. Sebuah gaya F = (5i + 4j) N memiliki lengan momen r = (ai + 2j) terhadap suatu titik poros. Vektor i dan j berturut-turut adalah Vektor satuan yang searah dengan sumbu x dan y pada kooidinat kartesian. Bila besar momen yang dilakukan gaya F terhadap titik poros bernilai 26 N m, maka nilai a sama dengan …. A. 3 C. 7 E. 9 B. 4 D. 8 3.

Batang homogen dengan berat 50 N dan panjang 1 m diikat seperti gambar. Jika sistem setimbang ( = 0) besar tegangan tali (T) adalah, A. 25/8 N D. 75/4 N B. 25/4 N E. 75/5 N C. 75/8 N

T 37o

 Momen Inersia

4. Sebuah sistem partikel gambar di bawah. m

4m

3a 3a

seperti

3a

3m A

tersusun

2m 2a

A’

2a m

Bila m = 1 kg dan a = 10 cm, maka momen inersia sistem bila diputar pada sumbu A-A’ adalah … kg.m2 A. 0,39 C. 0,63 E. 0,75 kg m2 B. 0,42 D. 0,75 5. Sebuah silinder pejal dengan sumbu putar melalui porosnya memiliki momen inersia ½ mr2. Momen inersia silinder tersebut ketika sedang menggelinding di lantai dan anggap lantai sebagai sumbu putar adalah …

A. (1/2) mr2 C. (3/4) mr2 E. (2) mr2 B. (2/3) mr2 D. (3/2) mr2 6. Sebuah bola pejal homogen (Ip = d=R 2/5 MR2) dengan massa M dan berjari-jari R. Besar momen inersia bola tersebut bila diputar melalui poros yang menyinggung tepi bola adalah … A. (2/5)MR2 D. (7/5)MR2 2 B. (3/5)MR E. (9/5)MR2 2 C. MR  Hubungan Torsi dan Momen Inersia 7. Sebuah roda 4 kg dengan radius girasi 20 cm berputar pada kecepatan sudut sebesar 30 rpm. Pada roda itu bekerja gesekan yang menyebabkan torsi 0,16 Nm. Untuk berhenti, roda membutuhkan waktu …. A. 1 detik C. 6 detik E. 10 detik B. 5 detik D. 8 detik 8. Sebuah katrol cakram pejal bermassa 8 kg dan berjari-jari 10 cm. Pada tepinya dililitkan sutas tali yang ujungnya diikat kan beban beban 4 kg. (g = 10 m/s2), percepatan gerak turunnya adalah …. A. 0,2 ms-2 D. 2,5 ms-2 -2 B. 1,0 ms E. 5,0 ms-2 -2 C. 2,0 ms 9. Perhatikan gambar berikut! Dari gambar tersebut diketahui massa m1 = 0,5 kg, m2 = 0,3 kg, dan mk = 0,4 kg. Diketahui pula katrol berbentuk silinder pejal dengan diameter 10 cm dan percepatan gravitasi 10 m/s2, besarnya T1 dan T2 adalah … A. 1,8 N dan 2,0 N B. 2,0 N dan 1,8 N C. 3,6 N dan 4,0 N D. 4,0 N dan 3,6 N E. 4,0 N dan 4,8 N

a m

T2

T1 m2

m1

Usaha dan Daya 10. Sebuah roda yang jari-jarinya 10 cm dan massa 20 kg mula-mula diam kemudian diberi gaya tetap 40 N di tepi roda tegak lurus jari-jari. Akibatnya roda berputar dan

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

52

Dede Saepudin [1402983]

menempuh sudut /2 radian. Hitunglah usaha (W) yang dialami roda? A. 4,0 joule D. 2,0 joule B. 3,6 joule E. 1,2 joule C. 2,4 joule 11. Sebuah mesin mobil menghasilkan daya 3π x 104 W ketika berputar pada kelajuan 1800 putaran per menit. Momen gaya yang dihasilkan sebesar, A. 500 N m C. 350 Nm B. 450 N m D. 300 Nm C. 400 Nm Hk. Kekekalan Energi Mekanik 12. Pada gambar adalah batang beraturan dengan massa M dan panjang L, yang dapat berputar di ujung O. Kalau batang O dilepas dari posisi A dan kemudian jatuh, maka kecepatan sudut saat mencapai tanah adalah, A. B. C.

3𝑔𝑐𝑜𝑠𝜃 1/2 𝐿 3𝑔𝑠𝑖𝑛𝜃 1/2 𝐿 3𝑔 1/2

D. E.

A



B

3𝑔(1−𝑐𝑜𝑠𝜃 ) 1/2 𝐿 3𝑔(1−𝑠𝑖𝑛𝜃 ) 1/2 𝐿

2𝐿

13. AB pada gambar adalah B batang beraturan dengan massa M dan panjang L, yang dapat berputar di ujung A. kalau batang dilepas dan A kemudian jatuh, maka kecepatan sudut sesampai di lantai adalah ….. 3g 6g A. C. E. L L 3g g B. D. 3L 2L 14. Sebuah bola pejal bermassa M dengan jarijari R menggelinding tanpa slip menuruni bukit yang kasar Tentukan kelajuan bukit! A. (5gh/7)1/2 B. (10gh/7)1/2 C. (12gh/7)1/2

h

Momentum Sudut

15. Sebuah partikel bergerak melingkar dengan kecepatan sudut 10 rad/s. Jika massa partikel 2 gram dan momentum sudutnya 8 x 10-6 kg m2/s, maka jari-jari gerakan melingkar partikel tersebut adalah … A. 10 cm C. 6 cm E. 2 cm B. 8 cm D. 4 cm 16. Sebuah batang 10 kg dan panjangnya 50 cm berotasi pada poros di tengah batang dengan kecepatan 36 rad/s. Momentum sudutnya adalah …... kgm2/s A. 1,25 C. 12,5 B. 7,5 D. 42,0

E. 75,0

17. Seorang penari balet dengan tangan terentang berputar pada kecepatan sudut  di atas lantai mendatar yang licin. Jika penari tersebut melipat tangannya, momen inersianya akan berkurang sebesar 10% dari semula. Perbandingan energi kinetik rotasi penari penari saat tangan dilipat dan saat tangan terentang adalah …. A. 4/5 C. 11/10 E. 5/4 B. 9/10 D. 10/9 Essai 18. Sebuah roda dengan jari-jari r dan berat w ditarik oleh gaya F agar dapat menaiki tangga seperti gambar. Tentukan torsi oleh F sebagai fungsi F, r, h dan torsi ole w tersebut sebagai fungsi w, r, dan h!

g L

F w

v

R h

19. Dua buah balok seperti gambar saling dihubungkan dengan seutas tali melewati katrol dengan jari-jari 0,5 m dan momen inersia I. balok bergerak dengan percepatan 2 m/s2. Tentukan (a) T1, (b) T2, (c) I katrol ?

dengan seperti gambar. linear (v) bola di dasar

T1

10 Kg

D. (6gh/5)1/2 E. (7gh/5)1/2

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

300

T2 20 Kg

53

Dede Saepudin [1402983] 𝑎 𝑝𝑗𝑙 𝑎 𝑟𝑔𝑎

20. Benda m1 = 1 kg dan m2 = 4 kg dihubungkan dengan katrol seperti tampak pada gambar. Momen Inersia sistem katrol adalah I = 1,42 kg m2 dengan r1 = 60 cm dan r2 = 30 cm. Berapakah besar (a) percepatan sudut sistem katrol, (b) tegangan T1 dan T2 ? 21. Tentukan resultan momen gaya pada batang yang beratnya 50 N dan ditarik oleh gaya 20 N seperti gambar di bawah ini serta kemanakah arahnya?



r1 r2

T2

T1

= ……

23. Sebuah batang homogen massa M dan panjang L sedang berputar pada poros di tengah batang dengan kecepatan sudut  rad/s. Tiba-tiba jatuh partikel bermassa m = M/4 tepat di ujung batang. Dengan menganggap tidak ada geseka pada poros, tentukan kecepatan sudut batang sekarang!

m2 m1

F

53o

w

22. Tentukan perbandingan percepatan liniear (a) antara bola pejal dengan bola berongga yang bermassa sama dan jari-jari sama bila keduanya digelindingkan pada bidang miring yang sama dari titik yang sama.

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

54

Dede Saepudin [1402983]

Daftar Pustaka Foster, Bob. (2005). Fisika SMA/MA Kelas XI. Jakarta : Erlangga. __________. (2006). 1001 Soal dan Pembahasan Fisika. Jakarta: Erlangga Giancoli. (2001). Fisika jilid 1 (terjemahan). Jakarta: Erlangga Halliday & Resnick. (1994). Fisika Dasar 1 (Terjamahan). Jakarta : Erlangga Haryadi, Bambang. (2008). Fisika untuk SMA/MA Kelas XI IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan Depdiknas. Nurachmandani, Setya. (2009). Fisika 2 untuk SMA/MA Kelas XI IPA. Jakarta : Pusat Perbukuan Depdiknas. Saripudin, Ai. (2009). Praktis Belajar Fisika untuk Kelas XI SMA/MA Program Ilmu Pengetahuan Alam. Jakarta : Pusat Perbukuan Depdiknas. Surya, Yohanes. 1999. Olimpiade Fisika 1,2,3. Jakarta: Primatika Cipta Ilmu.

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

55

Dede Saepudin [1402983]

Bilangan – Bilangan Konstanta

Pengembangan Bahan Ajar | 2015 Dosen Pengampu : Dr. Ida Kaniawati, M.Si, Dr. Parlindungan Sinaga, M.Si

56