Dinamika Partikel Pada Lattice Gas Cellular Automata

Makrodinamika dan Mikrodinamika pada Lattice Gas Cellular Automata Bergas Bimo Branarto, 10204033 Program Studi Fisika Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Institut Teknologi Bandung, 2009 Abstrak – paper ini memberi gambaran umum tentang sebuah metode komputasi untuk mensimulasikan gerak fluida. Metode ini tidak menggunakan metode analisa dan penurunan rumus tetapi menggunakan aturan-aturan fisis yang dimuat dalam persamaan-persamaan gerak secara mikrodinamika dan mengkaitkannya dengan sifat makrodinamika dari gerakan fluida. Keywords – Lattice Gas Cellular Automata, hidrodinamika, persamaan kontinuitas, tensor kerapatan fluks momentum, variable Boolean. 1. Lattice Gas dan Cellular Automata Lattice Gas Pada 1986 Frisch, Hasslacher, Pomeau menemukan sebuah model untuk menggambarkan pergerakan fluida. Model yang disebut Lattice Gas atau Gas Kisi ini menggunakan konsep atomik dalam menggambarkan pergerakan makro pada fluida. Mereka menganalogikan adanya partikel fiktif pada fluida yang bergerak dengan memegang prinsip kekekalan massa dan kekekalan momentum. Partikel-partikel ini diandaikan memiliki massa yang sama, dengan kecepatan yang sama. Pada model ini partikel memiliki enam atau tujuh arah gerak kecepatan. Partikel fiktif pada fluida ini terletak pada sebuah kisi fiktif. Jarak antar kisi konstan, bergantung pada mean free path partikel. Kondisi awal ditentukan sedemikian rupa sehingga hanya ada satu kecepatan partikel pada satu kisi. Waktu dibuat diskrit dalam beberapa time-step. Pada tiap time-step partikel akan berpindah dan terhambur. Model dapat dilihat pada gambar 1 berikut.

Perpindahan menggambarkan satu partikel berpindah dari kisi awal ke kisi yang ada di sebelahnya. Hamburan terjadi jika ada lebih dari satu partikel bergerak ke kisi yang sama. Sesuai hukum kekekalan massa dan kekekalan momentum maka partikel tersebut akan dibelokkan atau dikatakan berubah kecepatannya dan jumlah partikel tidak akan berubah. Persamaan gerak fluida viskos tak termampatkan dinyatakan dalam sebuah persamaan yang memuat aturan kekekalan momentum yaitu persamaan Navier-Stokes: .

…(1)

Secara umum model Lattice Gas ini merupakan sebuah kumpulan aturan fisis yang mengacu pada sifat hidrodinamika. Contoh hasil simulasi dari model ini dapat dilihat pada gambar 2 berikut.

Gambar 2. Aliran 2-D melewati keping datar

Gambar 1. Kisi dan Partikel pada Gas Kisi model FHP

Cellular Automata Pada akhir 1940-an, Ulam dan Von Neumann mengusulkan bahwa program komputer dapat digunakan untuk mensimulasikan kehidupan. Ide awalnya adalah tiap entitas merupakan sebuah sistem yang berada pada sebuah titik kisi dan saling terhubung dengan tetangganya. Keadaan pada tn akan menentukan kondisi keterhubungan antar mereka pada tn+1. Mereka menyatakan bahwa pada kondisi tertentu, tingkah laku kolektif seluruh sistem menjadi sedemikian kompleks sehingga mengimitasi aspek dari sistem biologis, lebih spesifik lagi, yaitu sistem reproduksi. Sistem saling-terhubungan antara sistem terbatas ini akhirnya dikenal dengan nama cellular automata. Sistem ini merupakan metode penggambaran berbeda mengenai fenomena fisika, alih-alih menggunakan solusi numerik dari persamaan diferensial dalam menyatakan gerak, sistem ini menggunakan komputer untuk mensimulasikan aspek-aspek fisis yang dijadikan acuan oleh persamaan-persamaan tersebut. Pada 1970-an Hardy, Pazzis dan Pomeau membuat sebuah model fluida diskrit pada kisi kotak, empat arah kecepatan. Sifat kekekalan massa dan momentum juga digunakan pada model HPP ini, tetapi pada penerapannya fluida yang dimodelkan bersifat anisotropik, bertentangan dengan sifat fluida asli yang isotropik. Barulah kemudian pada tahun 1986 model HPP ini disempurnakan dalam model FHP, dengan menggunakan enam atau tujuh arah kecepatan. 2. Hidrodinamika Ada dua cara umum studi mengenai fluida. Yang pertama adalah dengan mengambil sudut pandang makroskopik yang menggambarkan fluida sebagai kontinuum. Yang kedua menggunakan sudut pandang mikroskopik yang menggambarkan interaksi antar partikel dalam fluida. Fluida memiliki karakteristik skala panjang. Pada skala makroskopik, karakteristik tersebut berkaitan dengan lebar channel atau diameter hambatan atau bisa juga ukuran pusaran. Pada skala mikro, karakteristik ini ditentukan oleh jarak perpindahan partikel sebelum terjadi tumbukan, atau mean free path. Pada skala

mikro, mean free path untuk fluida cair jauh lebih kecil daripada gas. Kekekalan Massa Anggap kita mencuplik sebuah volume fluida secara sembarang. Massa cuplikan tersebut dinyatakan dengan . , dimana ρ menyatakan kerapatan massa pada sejumlah kecil volume (dV). Karena sifatnya yang isotropik, fluida bisa bergerak masuk atau keluar dari volume tersebut. Kita tinjau fluida yang mengarah tegak lurus bidang permukaan dS pada volume tersebut, searah vektor normal permukaan. Kita dapat menentukan jumlah partikel yang keluar dari volume tersebut sebagai . , dengan u menyatakan kecepatan fluida dan dS menyatakan luas permukaan yang dilewati. Dari gambaran tersebut dapat ditentukan jumlah partikel yang keluar dari volume tiap satuan waktu dengan persamaan .

…(2)

Dengan teorema divergensi .

.

=

…(3)

Substitusi persamaan (2) ke persamaan (1) maka menghasilkan: .

0

…(4)

Karena volume tidak mungkin bernilai nol, maka dapat disimpulkan: .

0

…(5)

Persamaan di atas disebut sebagai persamaan kontinuitas yang menggambarkan perubahan jumlah partikel di dalam volume karena adanya partikel yang keluar, jadi massa tidak hilang, hanya berpindah keluar dari volume. Dengan kata lain menggambarkan kekekalan massa. Pada fluida incompressible (tak termampatkan), kerapatan dapat dinyatakan sebagai konstanta karena tidak mengalami perubahan kerapatan terhadap waktu, persamaan kontinuitas bisa disederhanakan menjadi . 0. …(6) Kekekalan Momentum Dinamika berkaitan dengan gerak. Persamaan gerak fluida mengacu pada hukum kedua Newton. Dalam konteks cuplikan fluida,

hukum kedua Newton dapat dinyatakan , dengan F adalah gaya per satuan volume. Dari persamaan gerak tersebut dapat dilihat bahwa gaya merupakan perubahan momentum yang dialami oleh massa tertentu. Perubahan momentum berkaitan dengan perubahan kecepatan. Perubahan kecepatan bisa terjadi karena dua hal: medan kecepatan berubah terhadap waktu dan perubahan arah dalam ruang. Secara matematis total perubahan kecepatan dapat dinyatakan dalam persamaan:

…(11) u(α) menyatakan vektor kecepatan pada komponen α. Dengan mensubstitusi persamaan Euler dan persamaan kontinuitas dapat diperoleh persamaan

Jika disusun berdasarkan derivatifnya, persamaan tersebut bisa ditulis sebagai

…(7) Persamaan ini bisa disederhanakan lagi secara matematis dengan membagi persamaan tersebut dengan dt, menjadi: .

…(12) Dengan menggunakan konvensi einstein diperoleh persamaan ∏

…(8)

Ada dua jenis gaya pada fluida, yaitu gaya eksternal dan gaya internal. Gaya eksternal berkaitan dengan body forces, seperti gravitasi. Gaya internal didefinisikan dari tekanan dan gaya friksi, seperti shear stress. Dalam pembahasan mikroskopik gaya eksternal dapat diabaikan dan shear stress ditiadakan (asumsikan fluida encer). Sehingga gaya yang bekerja pada fluida ditentukan oleh tekanan. Gaya merupakan tekanan yang berada pada luasan tertentu, secara matematis dituliskan sebagai . , teorema divergensi menjadikan persamaan tersebut dinyatakan sebagai: .

…(9)

Dengan memasukkan nilai F di atas ke dalam persamaan gerak Newton dan mensubstitusi persamaan (7) maka dapat dinyatakan persamaan .

…(10)

sumasi …(13)

Persamaan di atas disebut sebagai tensor kerapatan fluks momentum, dengan: ∏

…(14)

Dengan menggunakan operator Kronecker Delta 1, 0,

…(15)

Kerapatan fluks momentum tersebut merupakan tensor karena menggambarkan bagaimana kuantitas vektor momentum mengalir ke arah tertentu. Aliran Kental Aliran kental berkaitan dengan adanya kemampatan dan tegangan geser. Tegangan geser merupakan gaya friksi akibat adanya persentuhan fluida dengan dinding pembatas. Hal ini menyebabkan bagian fluida yang lebih dekat dengan dinding bergerak lebih lambat daripada bagian fluida yang paling jauh dengan dinding.

Persamaan ini disebut persamaan Euler yang menyatakan kekekalan momentum pada fluida encer dan keterkaitannya dengan tekanan internal yang akan memicu terjadinya gerak.

Pada fluida Newtonian, fluks momentum sebanding dengan gradien kecepatannya. Fluks momentum akibat adanya pergeseran seperti kasus di atas dinyatakan dengan:

Tensor Kerapatan Fluks Momentum

∏

Secara matematis persamaan laju perubahan momentum pada volume tetap dapat dinyatakan

Dengan µ adalah konstanta viskositas geser dinamis. Persamaan ini kemudian dikaitkan dengan sifat elastisitas fluida (ciri fluida

μ

…(16)

viskos) sehingga menghasilkan kerapatan fluks momentum: ∏

∏

∏

tensor …(17)

Maka diperoleh momentum, yaitu:

hasil

keseimbangan

Persamaan mikrodinamika hanya menyatakan keadaan interaksi antar partikel pada kisi, untuk menyatakan geraknya secara umum maka kita perlu menuliskan persamaan makrodinamika partikel. Persamaan Makrodinamika pada Gas Kisi

∏

…(18)

Dengan memasukkan koefisien kompresi maka kemudian dapat dinyatakan persamaan Navier-Stokes (dapat dilihat pada persamaan (1)) dari persamaan (17) dan (18).

Kita lihat kembali tinjauan massa yang keluar dari volume fluida melalui permukaan tertentu, lalu kita gabungkan dengan gerak mikrodinamika partikel pada persamaan (20) dalam sebuah persamaan: ∑

ni

…(22)

Persamaan Mikrodinamika pada Gas Kisi

Dengan = ni(x+ci,t+1) - ni(x,t).

Pada bagian ini kita meninjau kondisi gerak partikel yang berada pada kisi berdasarkan kesesuaiannya kepada aturan-aturan fisis yang ada pada persamaan hidrodinamika. Persamaan ini dimulai dengan menuliskan persamaan evolusi untuk kuantitas kekal dan dinamika partikel.

Sehingga menjadi:

Pada gambar 1 kita dapat melihat ada beberapa partikel yang mengalami tumbukan, dinamika partikel pada gambar 1 dapat dijabarkan dengan persamaan: ni(x+ci,t+1) = ni(x,t) + Δi[n(x,t)]

…(19)

t bernilai integer dan menyatakan satuan tiap time-step. ni menyatakan kuantitas partikel dan merupakan variabel Boolean yang menyatakan ada (ni=1) atau tidaknya (ni=0) partikel. i menyatakan arah gerak partikel, dalam hal ini kita menggunakan 6 arah gerak sehingga i=1,2,3,..,6. ci menunjukkan arah gerak dan x menyatakan posisi awal. Δi merupakan operator tumbukan yang merupakan variable Boolean yang menyatakan ada (Δi=1) atau tidak (Δi=0) partikel yang mengalami tumbukan pada arah i. Sehingga secara umum persamaan (19) menunjukkan posisi partikel pada t+1 yang dipengaruhi oleh kondisi awal partikel dan tumbukan yang dialaminya. Jumlah operator Δi untuk semua nilai i biasanya nol (untuk 6 arah kecepatan). Sehingga jumlah total dari persamaan 19 dapat dituliskan menjadi persamaan kekekalan massa: ∑ ni x

ci, t

∑ ni x, t

1

…(20)

Dan kekekalan momentum: ∑ ci ni x

ci, t

1

∑ ci ni x, t

…(21)

fluks

massa

∑

dapat

∑

dituliskan …(23)

Sedangkan fluks momentum menjadi: ∑ ∑

α

β

…(24)

Kita dapat melihat kedua persamaan tersebut serupa dengan persamaan kontinuitas dan keseimbangan momentum pada hidrodinamika jika kita mengubah ∑ ρ. Kemudian kita bias nyatakan tensor kerapatan fluks momentum: ∏

∑

α

β

…(25)

Faktor delta kronecker dapat dihilangkan untuk fluida dengan kecepatan rendah. Referensi 1] Rothman, Daniel H & Zaleski, Stephan. Lattice-Gas Models of Phase Separation: Interfaces, Phase, Transitions and Multiphase Flow. 1994. Reviews of Modern Physics, Vol. 66 No. 4. 2] Fox, Robert W. & McDonald, Alan T. Introduction to Fluid Mechanics 4th edition. 1994. New York: John Wiley & Sons.