Diferensial.docx

  • Uploaded by: Syafri Manurung
  • 0
  • 0
  • May 2020
  • PDF

This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA


Overview

Download & View Diferensial.docx as PDF for free.

More details

  • Words: 2,989
  • Pages: 14
PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT SATU DERAJAT SATU

Disusun Oleh

: Kelompok 4

Nama

:1. Eunike Engly Nainggolan

(16150117)

2. Amelisa S.W. Angkat

(16150121)

3. Omega Siringo-ringo

(16150135)

4. Helena Matondang

(161501)

5. Handoko H.S

(16150150)

Grup

:D

Mata Kuliah

: Persamaan Diferensial

Dosen Pengasuh

: Drs. Suprapto Manurung,M.S

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN UNIVERSITAS HKBP NOMMENSEN PEMATANGSIANTAR 2018 BAB I

PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang Persamaan differensial adalah persamaan matematika untuk fungsi satu variabel atau lebih, yang menghubungkan nilai fungsi itu sendiri dan turunannya dalam berbagai orde. Persamaan differensial memiliki peran penting dalam rekayasa, fisika, ilmu ekonomi, dan berbagai macam displin ilmu. Persamaan differensial muncul dalam berbagai bidang sains dan teknologi, bilamana hubungan deterministic yang melibatkan besaran yang berubah secara kontinu dimodelkan oleh fungsi matematika dan laju perubahnnya dinyatakan sebagai turunan diketahui atau dipostulatkan. Teori persamaan differensial sudah cukup berkembang dan metode yang digunakan bervariasi sesuai jenis persamaan, yaitu: persamaan diferensial tingkat satu derajat satu dan persamaan linear tingkat n. sebuah persaamaan differensial disebut linear apabila persamaan yang diketahui dan turunannya muncul dalam pangkat satu hasil kali tidak dibolehkan.

1.2 Rumusan Masalah 1. Apa defenisi persamaan diferensial tingkat satu derajat satu? 2. Bagaimana penerapan persamaan diferensial tingkat satu derajat satu terhadap variabel yang dapat dipisahkan ? 3. Bagaimana bentuk umum persamaan differensial homogen?

1.3 Tujuan Tulisan Agar mahasiswa dapat mengetahui : 1. Apa itu persamaan diferensial tingkat satu derajat satu. 2. Hubungan persamaan diferensial tingkat satu derajat satu terhadap variabel yang dapat dipisahkan 3. Untuk mengetahui bentuk umum persamaan differensial homogen

BAB II PEMBAHASAN PERSAMAAN DIFERENSIAL TINGKAT SATU DERAJAT SATU Persamaan differensial tingkat satu derajat satu adalah persamaan yang memuat turunan 𝑑𝑦

tertinggi yaitu turunan tingkat satu (𝑑π‘₯ ). Secara umum persamaan differensial tingkat satu derajat satu ditilis dalam bentuk: M (x,y)dx + N (x,y)dy = 0 𝑑𝑦 𝑑π‘₯ 𝑑𝑦 𝑑π‘₯

𝑀(π‘₯,𝑦)

= βˆ’ 𝑁(π‘₯,𝑦)

= 𝐹(π‘₯, 𝑦)(πΈπ‘˜π‘ π‘π‘™π‘–π‘ π‘–π‘‘) 𝑑π‘₯

𝑓 (π‘₯, 𝑦, 𝑑𝑦) = 0(πΌπ‘šπ‘π‘™π‘–π‘ π‘–π‘‘) Cara menentukan selesaian persamaan differensial tingkat satu derajat satu. 3.1 Variabel Yang Dapat Dipisahkan Bentuk Umum : 𝑃 (π‘₯ , 𝑦)𝑑π‘₯ + 𝑄 (π‘₯, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 Persamaan ini dapat diselesaikan berdasarkan bentuknya , dimana terdiri dari 2 bentuk, yaitu : 1. 𝑀 (π‘₯ )𝑑π‘₯ + 𝑁 (𝑦)𝑑𝑦 = 0 Fungsi ini mengandung 𝑑π‘₯ hanya fungsi x, dan fungsi yang mengandung unsur 𝑑𝑦. Hanya fungsi y, sehingga kedua ruas bisa langsung diintegralkan menjadi : ∫ 𝑀 (π‘₯)𝑑π‘₯ + ∫ 𝑁 (𝑦)𝑑𝑦 = 0 2. 𝑀(π‘₯). 𝑅(𝑦)𝑑π‘₯ + 𝑁(π‘₯). 𝑆(𝑦)𝑑𝑦 = 0 Fungsi yang mengandung 𝑑π‘₯ ada fungsi x, da nada fungsi y, dan fungsi yang mengandung unsur 𝑑𝑦 ada fungsi x da nada fungsi y, sehingga kedua ruas harus diubah dulu menjadi bentuk pertama . Dengan membagi kedua ruas dengan 𝑅(𝑦). 𝑁(π‘₯) menjadi : 𝑀(π‘₯) 𝑁(π‘₯)

𝑑π‘₯ +

𝑆(𝑦) 𝑅(𝑦)

𝑑𝑦 = 0

Contoh Soal : 1. (π‘₯𝑦 βˆ’ π‘₯)𝑑π‘₯ + (π‘₯𝑦 + 𝑦)𝑑𝑦 = 0

𝑀(π‘₯)

𝑆(𝑦)

∫ 𝑁(π‘₯) 𝑑π‘₯ ∫ 𝑅(𝑦) 𝑑𝑦 = 𝐢

Jawab : π‘₯(𝑦 βˆ’ 1)𝑑π‘₯ + 𝑦(π‘₯ + 1)𝑑𝑦 : (𝑦 βˆ’ 1)(π‘₯ + 1) ∫

π‘₯ 𝑦 𝑑π‘₯ + ∫ 𝑑𝑦 = 𝐢1 π‘₯+1 π‘¦βˆ’1

∫

π‘₯+1βˆ’1 π‘¦βˆ’1+1 𝑑π‘₯ + ∫ 𝑑𝑦 = 𝐢1 π‘₯+1 π‘¦βˆ’1

∫

π‘₯+1 1 π‘¦βˆ’1 1 𝑑π‘₯ βˆ’ ∫ 𝑑π‘₯ + ∫ 𝑑𝑦 + ∫ 𝑑𝑦 = 𝐢1 π‘₯+1 π‘₯+1 π‘¦βˆ’1 π‘¦βˆ’1

∫ 𝑑π‘₯ βˆ’ ln(π‘₯ + 1) + ∫ 𝑑𝑦 + ln(𝑦 βˆ’ 1) = 𝐢1 π‘₯ βˆ’ ln(π‘₯ + 1) + 𝑦 + ln(𝑦 βˆ’ 1) = 𝐢1 π‘₯ + 𝑦 + 𝑙𝑛

mis: 𝐢1 = ln 𝐢

π‘¦βˆ’1 = 𝑙𝑛𝐢 π‘₯+1

π‘¦βˆ’1

𝑒 π‘₯+𝑦+𝑙𝑛π‘₯+1 = 𝑒 ln 𝑐 π‘¦βˆ’1

𝑒 π‘₯ . 𝑒 𝑦 . 𝑒 𝑙𝑛π‘₯+1 = 𝐢 (𝑦 βˆ’ 1)𝑒 π‘₯ . 𝑒 𝑦 = 𝐢(π‘₯ + 1) 2. 𝑦 3 𝑑π‘₯ + √1 βˆ’ π‘₯ 2 𝑑𝑦 = 0 Jawab : 𝑦 3 𝑑π‘₯ + √1 βˆ’ π‘₯ 2 𝑑𝑦 = 0………………..dibagi 𝑦 3 (√1 βˆ’ π‘₯ 2 ) 1

1

√1βˆ’π‘₯ 2

𝑑π‘₯ + 𝑦 3 𝑑𝑦 = 0

1

1

∫ √1βˆ’π‘₯ 2 𝑑π‘₯ + ∫ 𝑦 3 𝑑𝑦 = 0 1

π‘Žπ‘Ÿπ‘ sin π‘₯ + (βˆ’ 2 𝑦 βˆ’2 ) = 𝐢1 1

π‘Žπ‘Ÿπ‘ sin π‘₯ βˆ’ 2𝑦 2 = 𝐢1 1

π‘Žπ‘Ÿπ‘ sin π‘₯ βˆ’ 𝐢1 = 2𝑦 2 ……… di kali 2 1

2(π‘Žπ‘Ÿπ‘ sin π‘₯ βˆ’ 𝐢1 ) = 𝑦 2 2(π‘Žπ‘Ÿπ‘ sin π‘₯ βˆ’ 𝐢1 )𝑦 2 = 1 , π‘šπ‘–π‘  ∢ βˆ’πΆ1 = 𝐢 1

𝑦 2 = 2(π‘Žπ‘Ÿπ‘ sin π‘₯+𝐢) 3. 𝑦(1 βˆ’ π‘₯)𝑑π‘₯ + π‘₯ 2 (1 βˆ’ 𝑦)𝑑𝑦 = 0 Jawab : 𝑦(1 βˆ’ π‘₯)𝑑π‘₯ + π‘₯ 2 (1 βˆ’ 𝑦)𝑑𝑦 = 0 … … … … … .. dibagi 𝑦. π‘₯ 2

∫

1βˆ’π‘₯

1βˆ’π‘¦

𝑑π‘₯ + ∫

π‘₯2

𝑦

1

π‘₯

1

1

𝑑𝑦 = 𝐢1 1

𝑦

∫ π‘₯ 2 𝑑π‘₯ βˆ’ ∫ π‘₯ 2 𝑑π‘₯ + ∫ 𝑦 𝑑𝑦 βˆ’ ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = 𝐢1 1

∫ π‘₯ 2 𝑑π‘₯ βˆ’ ∫ π‘₯ 𝑑π‘₯ + ∫ 𝑦 𝑑𝑦 βˆ’ ∫ 𝑑𝑦 = 𝐢1 1

βˆ’ π‘₯ βˆ’ ln π‘₯ + ln 𝑦 βˆ’ 𝑦 = 𝐢1 1

𝑦

βˆ’ π‘₯ + 𝑙𝑛 π‘₯ βˆ’ 𝑦 = 𝐢1 β†’ π‘šπ‘–π‘ . 𝐢1 = ln 𝐢 𝑦

𝑙𝑛 π‘₯ βˆ’ 𝑦 βˆ’

1

= ln 𝐢

π‘₯

𝑦

1

ln π‘₯ βˆ’ ln 𝐢 = 𝑦 + π‘₯ 𝑦

1

ln π‘₯.𝐢 = 𝑦 + π‘₯ Dimana,

𝑒 𝑙𝑛 = ln 𝑒 = 1 𝑦

1

𝑒 𝑙𝑛π‘₯.𝐢 = 𝑒 𝑦+π‘₯ 1

𝑦

= 𝑒𝑦. 𝑒π‘₯ π‘₯ .𝐢 1

𝑦 = π‘₯𝐢𝑒 𝑦 . 𝑒 π‘₯ 4.

π‘₯ 2 y dx + (x + 1)dy = 0 Jawab : π‘₯ 2 y dx + (x + 1)dy = 0 ………….. dibagi y (x + 1) π‘₯2

𝑑𝑦

dx +

(π‘₯ +1) π‘₯2

𝑦

=0

1

dx + 𝑦 dy = 0 (π‘₯ +1) π‘₯2

1

∫ (π‘₯+1) 𝑑π‘₯ + ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = 0 ∫

(π‘₯βˆ’1)(π‘₯+1)βˆ’1 (π‘₯+1)

1

𝑑π‘₯ + ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = 0 1

∫ π‘₯ βˆ’ 1 + 1 𝑑π‘₯ + ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = 0 1

∫ π‘₯ 𝑑π‘₯ + ∫ 𝑦 𝑑𝑦 = 0 1 2

π‘₯ 2 + ln 𝑦 = 𝐢1 1 2

𝑒 2π‘₯ + 𝑒 ln 𝑦 = 𝑒 𝐢1 1 2

𝑒 2π‘₯ + 𝑦 = 𝐢

2.2 Persamaan Diferensial Homogen Bentuk umum : 𝑀(π‘₯, 𝑦)𝑑π‘₯ + 𝑁(π‘₯, 𝑦)𝑑𝑦 = 0 Ciri umum Homogen adalah tiap suku derajat nya sama . Contoh : 1.

𝐹(π‘₯, 𝑦) = 3π‘₯ 2 + 4π‘₯𝑦 βˆ’ 7𝑦 2 𝐹(𝑑π‘₯, 𝑑𝑦) = 3𝑑 2 π‘₯ 2 + 4𝑑 2 π‘₯𝑦 βˆ’ 7𝑑 2 𝑦 2 𝐹(𝑑π‘₯, 𝑑𝑦) = 𝑑 2 (3π‘₯ 2 + 4π‘₯𝑦 βˆ’ 7𝑦 2 𝑑 2 . 𝐹(π‘₯, 𝑦) β†’ π»π‘œπ‘šπ‘œπ‘”π‘’π‘› π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘—π‘Žπ‘‘ 2

2. 𝐹(π‘₯, 𝑦)

= π‘₯ + √π‘₯ 2 + 𝑦 2

𝐹(𝑑π‘₯, 𝑑𝑦) = 𝑑π‘₯ + βˆšπ‘‘ 2 π‘₯ 2 + 𝑑 2 𝑦 2 𝐹(𝑑π‘₯, 𝑑𝑦) = 𝑑π‘₯ + π‘‘βˆšπ‘₯ 2 + 𝑦 2 = 𝑑 (π‘₯ + √π‘₯ 2 + 𝑦 2 ) 𝑑. 𝐹(π‘₯, 𝑦) β†’ π»π‘œπ‘šπ‘œπ‘”π‘’π‘› π‘‘π‘’π‘Ÿπ‘Žπ‘—π‘Žπ‘‘ 1 3. 𝐹(π‘₯, 𝑦)

= π‘₯2 + 𝑦

𝐹(𝑑π‘₯, 𝑑𝑦) = 𝑑 2 π‘₯ 2 + 𝑑𝑦 = 𝑑(𝑑π‘₯ 2 + 𝑦) β†’ π‘π‘œπ‘› π»π‘œπ‘šπ‘œπ‘”π‘’π‘›

Dikatakan Persamaan Diferensial Homogen jika : Fungsi M dan N adalah Homogen dengan derajat sama. Persamaan ini dapat diselesaikan dengan substitusi : 𝑦 𝑣 = π‘Žπ‘‘π‘Žπ‘’ 𝑦 = 𝑣π‘₯ π‘₯ 𝑑𝑦 = 𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣 𝑀 (π‘₯, 𝑦) β†’ 𝑀(π‘₯, 𝑣π‘₯) = π‘₯ π‘š 𝑅(𝑣) 𝑁 (π‘₯, 𝑦) β†’ 𝑁(π‘₯, 𝑣π‘₯) = π‘₯ π‘š 𝑆(𝑣) π‘₯ π‘š 𝑅(𝑣)𝑑π‘₯ + π‘₯ π‘š 𝑆(𝑣)(𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣) = 0 (Dibagi π‘₯ π‘š ) 𝑅(𝑣)𝑑π‘₯ + 𝑆(𝑣) (𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣) = 0 𝑅(𝑣)𝑑π‘₯ + 𝑣. 𝑆(𝑣)𝑑π‘₯ + π‘₯. 𝑆(𝑣)𝑑𝑣 = 0 { 𝑅(𝑣) + 𝑣. 𝑆(𝑣)}𝑑π‘₯ + π‘₯. 𝑆(𝑣)𝑑𝑣 = 0 𝑑π‘₯ 𝑆 (𝑣 ) + 𝑑𝑣 = 0 π‘₯ 𝑅(𝑣) + 𝑣. 𝑆(𝑣)

(Dibagi π‘₯. 𝑅(𝑣) + 𝑣. 𝑆(𝑣)

Maka ∫

𝑑π‘₯

𝑆(𝑣)

+ ∫ 𝑅(𝑣)+𝑣.𝑆(𝑣) 𝑑𝑣 = 𝐢

π‘₯

Contoh Soal : Cari lah jawaban persamaan differensial dari : 1.

𝑑𝑦 𝑑π‘₯

=

βˆ’π‘₯𝑦+𝑦 2 π‘₯𝑦

π½π‘Žπ‘€π‘Žπ‘ ∢ 𝑑𝑦 βˆ’π‘₯𝑦 + 𝑦 2 = 𝑑π‘₯ π‘₯𝑦 β‡’ π‘₯𝑦𝑑𝑦 = (βˆ’π‘₯𝑦 + 𝑦 2 )𝑑π‘₯ π‘₯𝑦𝑑𝑦 + (π‘₯𝑦 βˆ’ 𝑦 2 )𝑑π‘₯ = 0 (Dibagi dengan π‘₯ 2 𝑦 𝑦 𝑦 β‡’ 𝑑𝑦 + 𝑑π‘₯ βˆ’ ( ) 𝑑π‘₯ = 0 … … … … … … … … … … … (1) π‘₯ π‘₯ π‘₯ 𝑦

Substitusi 𝑣 = π‘₯ 𝑦 β‡’ 𝑦 = 𝑣π‘₯ 𝑑𝑦 = 𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣 Persamaan (1) menjadi : 𝑣(𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣) + 𝑣𝑑π‘₯ βˆ’ 𝑣 2 𝑑π‘₯ = 0 𝑣 2 𝑑π‘₯ + 𝑣π‘₯𝑑𝑣 + 𝑣𝑑π‘₯ βˆ’ 𝑣 2 𝑑π‘₯ = 0 𝑣π‘₯𝑑𝑣 + 𝑣𝑑π‘₯ = 0 𝑑𝑣 +

𝑑π‘₯ π‘₯

∫ 𝑑𝑣 + ∫

=0 𝑑π‘₯ π‘₯

= 𝐢1 𝑦

𝑣 + 𝑙𝑛π‘₯ = 𝐢1 𝑦 π‘₯

substitusi v = π‘₯

+ π‘₯ = 𝐢1 𝑦

𝑒 π‘₯ + 𝑒 𝑙𝑛π‘₯ = 𝑒 𝐢1 𝑦

π‘₯𝑒 π‘₯ = 𝐢 2.

𝑑𝑦 𝑑π‘₯

=

𝑦

π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘”π‘– ∢ 𝑣π‘₯

𝑦

βˆ’ cot π‘₯ π‘₯

π‘ƒπ‘’π‘›π‘¦π‘’π‘™π‘’π‘ π‘Žπ‘–π‘Žπ‘› ∢

𝑦 𝑦 ( βˆ’ cot ) 𝑑π‘₯ = 𝑑𝑦 π‘₯ π‘₯ 𝑦 𝑦 ( βˆ’ cot ) 𝑑π‘₯ βˆ’ 𝑑𝑦 = 0 … … … . . (1) π‘₯ π‘₯ 𝑦

Substitusikan : 𝑣 = π‘₯ , 𝑦 = 𝑣π‘₯ , 𝑑𝑦 = 𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣 π‘˜π‘’ (1) π‘‘π‘–π‘‘π‘Žπ‘π‘Žπ‘‘ ∢ (𝑣 βˆ’ cot 𝑣)𝑑π‘₯ βˆ’ (𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣) = 0 𝑣𝑑π‘₯ βˆ’ cot 𝑣𝑑π‘₯ βˆ’ 𝑣𝑑π‘₯ βˆ’ π‘₯𝑑𝑣 = 0 βˆ’ cot 𝑣𝑑π‘₯ βˆ’ π‘₯𝑑𝑣 = 0 β†’ π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘”π‘– (βˆ’π‘₯. cot 𝑣) 1 1 𝑑π‘₯ + 𝑑𝑣 = 0 π‘₯ cot 𝑣 1 1 ∫ 𝑑π‘₯ + ∫ 𝑑𝑣 = 𝐢1 π‘₯ cot 𝑣 1 𝑙𝑛π‘₯𝑑π‘₯ + ∫ cos 𝑣 𝑑𝑣 = 𝐢1 ⁄sin 𝑣 sin 𝑣

𝑙𝑛π‘₯𝑑π‘₯ + ∫ cos 𝑣 𝑑𝑣 = 𝐢1 π‘šπ‘–π‘ π‘Žπ‘™ 𝑒 = cos 𝑣 𝑑𝑒 = βˆ’ sin 𝑣 𝑑𝑣 βˆ’π‘‘π‘’ = sin 𝑣 𝑑𝑣 sin 𝑣

𝑙𝑛π‘₯ + ∫ cos 𝑣 𝑑𝑣 = 𝐢1 1 𝑙𝑛π‘₯ + ∫ . βˆ’π‘‘π‘’ = 𝐢1 𝑒 1 𝑙𝑛π‘₯ + (βˆ’ ∫ 𝑑𝑒) = 𝐢1 𝑒 𝑙𝑛π‘₯ + (βˆ’π‘™π‘›π‘’) = 𝐢1 𝑙𝑛π‘₯ + (βˆ’π‘™π‘›π‘π‘œπ‘  𝑣) = 𝐢1 ; 𝐢1 = βˆ’ ln 𝐢 𝑙𝑛π‘₯ βˆ’ π‘™π‘›π‘π‘œπ‘  𝑣 = βˆ’π‘™π‘›πΆ βˆ’π‘™π‘›π‘π‘œπ‘  𝑣 = βˆ’π‘™π‘›πΆ βˆ’ 𝑙𝑛π‘₯ 1 + βˆ’ π‘™π‘›π‘π‘œπ‘  𝑣 = βˆ’(𝑙𝑛𝐢 + 𝑙𝑛π‘₯) βˆ’ π‘™π‘›π‘π‘œπ‘  𝑣 = βˆ’ ln 𝐢 π‘₯ 𝑦 cos 𝑣 = 𝐢π‘₯ ; 𝑣 = π‘₯ 𝑦 π‘π‘œπ‘  = 𝐢π‘₯ π‘₯ 3.

𝑑𝑦 𝑑π‘₯

=1+

𝑦 π‘₯

𝑦

βˆ’ π‘π‘œπ‘  2 π‘₯

π‘π‘’π‘›π‘¦π‘’π‘™π‘’π‘ π‘Žπ‘–π‘Žπ‘› ∢

(1 +

𝑦 𝑦 βˆ’ π‘π‘œπ‘  2 ( )) 𝑑π‘₯ = 𝑑𝑦 … … … … . . (1) π‘₯ π‘₯

(1 +

𝑦 𝑦 βˆ’ π‘π‘œπ‘  2 ( )) 𝑑π‘₯ βˆ’ 𝑑𝑦 = 0 π‘₯ π‘₯ 𝑦

Substitusikan : 𝑣 = π‘₯ , 𝑦 = 𝑣π‘₯ , 𝑑𝑦 = 𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣 π‘˜π‘’ (1) (1 + 𝑣 βˆ’ π‘π‘œπ‘  2 (𝑣))𝑑π‘₯ βˆ’ (𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣) = 0 𝑑π‘₯ + 𝑣𝑑π‘₯ βˆ’ π‘π‘œπ‘  2 𝑣𝑑π‘₯ βˆ’ 𝑣𝑑π‘₯ βˆ’ π‘₯𝑑𝑣 = 0 (1 βˆ’ π‘π‘œπ‘  2 𝑣)𝑑π‘₯ βˆ’ π‘₯𝑑𝑣 = 0 𝑠𝑖𝑛2 𝑣𝑑π‘₯ βˆ’ π‘₯𝑑𝑣 = 0 β†’ π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘”π‘– π‘‘π‘’π‘›π‘”π‘Žπ‘› (π‘₯. 𝑠𝑖𝑛2 𝑣) 1 1 𝑑π‘₯ βˆ’ 𝑑𝑣 = 0 π‘₯ 𝑠𝑖𝑛2 𝑣 1 1 ∫ 𝑑π‘₯ βˆ’ ∫ 𝑑𝑣 = 𝐢 π‘₯ 𝑠𝑖𝑛2 𝑣 𝑙𝑛π‘₯ βˆ’ (βˆ’ cot 𝑣) = 𝐢 cot 𝑣 = 𝐢 βˆ’ 𝑙𝑛π‘₯ ; 𝑠𝑒𝑏𝑠𝑑𝑖𝑑𝑒𝑠𝑖 𝑣 = cot 4.

𝑑𝑦 𝑑π‘₯

𝑦 π‘₯

𝑦 = 𝐢 βˆ’ 𝑙𝑛π‘₯ π‘₯ 𝑦

= π‘₯+

√π‘₯𝑦

π‘π‘’π‘›π‘¦π‘’π‘™π‘’π‘ π‘Žπ‘–π‘Žπ‘› ∢ 𝑦𝑑π‘₯ = (π‘₯ + √π‘₯𝑦)𝑑𝑦 … … … … . . (1) 𝑦𝑑π‘₯ βˆ’ (π‘₯ + √π‘₯𝑦)𝑑𝑦 = 0

π‘ π‘’π‘π‘ π‘‘π‘–π‘‘π‘’π‘ π‘–π‘˜π‘Žπ‘› 𝑦 = 𝑣. π‘₯ , 𝑑𝑦

= 𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣 𝑣π‘₯𝑑π‘₯ βˆ’ (π‘₯ + βˆšπ‘£π‘₯ 2 ) (𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣) = 0 𝑣π‘₯𝑑π‘₯ βˆ’ (π‘₯ + π‘₯ βˆšπ‘£)(𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣) = 0 𝑣π‘₯𝑑π‘₯ βˆ’ 𝑣π‘₯𝑑π‘₯ βˆ’ π‘₯ 2 𝑑𝑣 βˆ’ 𝑣π‘₯ βˆšπ‘£π‘‘π‘₯ βˆ’ π‘₯ 2 βˆšπ‘£π‘‘π‘£ = 0 βˆ’π‘£π‘₯βˆšπ‘£π‘‘π‘₯ βˆ’ π‘₯ 2 𝑑𝑣 βˆ’ π‘₯ 2 βˆšπ‘£π‘‘π‘£ = 0 βˆ’π‘£π‘₯βˆšπ‘£π‘‘π‘₯ βˆ’ (π‘₯ 2 + π‘₯ 2 βˆšπ‘£)𝑑𝑣 = 0 βˆ’π‘₯βˆšπ‘£ 2 𝑑π‘₯. βˆšπ‘£ βˆ’ (π‘₯ 2 + π‘₯ 2 βˆšπ‘£)𝑑𝑣 = 0 βˆ’π‘₯βˆšπ‘£ 2 . 𝑣𝑑π‘₯ βˆ’ π‘₯ 2 (1 + βˆšπ‘£)𝑑𝑣 = 0 βˆ’π‘₯βˆšπ‘£ 3 𝑑π‘₯ βˆ’ π‘₯ 2 (1 + βˆšπ‘£)𝑑𝑣 = 0 βˆ’π‘₯βˆšπ‘£ 3 𝑑π‘₯ βˆ’ π‘₯ 2 (1 + βˆšπ‘£)𝑑𝑣 = 0 β†’ π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘”π‘– – π‘₯βˆšπ‘£ 3 1 1 + βˆšπ‘£ 𝑑π‘₯ + 𝑑𝑣 = 0 π‘₯ βˆšπ‘£ 3

1 1 + βˆšπ‘£ ∫ 𝑑π‘₯ + ∫ 𝑑𝑣 = 𝐢 π‘₯ βˆšπ‘£ 3 1

2

𝑙𝑛π‘₯ + ∫ (1 + 𝑣 2 ) (𝑣 βˆ’3 ) 𝑑𝑣 = 𝐢 2

𝑙𝑛π‘₯ + ∫ (𝑣 βˆ’3 ) 𝑑𝑣 + 𝑣 βˆ’1 𝑑𝑣 = 𝐢 1

𝑙𝑛π‘₯ βˆ’ 2𝑣 βˆ’2 + 𝑙𝑛𝑣 = 𝐢 𝑙𝑛π‘₯ βˆ’ 𝑙𝑛π‘₯ βˆ’

2 βˆšπ‘£ 2 𝑦 π‘₯

√

+ 𝑙𝑛𝑣 = 𝐢 ; π‘ π‘’π‘π‘ π‘‘π‘–π‘‘π‘’π‘ π‘–π‘˜π‘Žπ‘› 𝑣 = + 𝑙𝑛

𝑦 π‘₯

𝑦 = 𝐢 … … … . π‘†π‘’π‘™π‘’π‘ π‘Žπ‘–π‘˜π‘Žπ‘› π‘˜π‘’ π‘’π‘˜π‘ π‘π‘œπ‘›π‘’π‘› π‘₯

5. (3π‘₯ 2 𝑦 + 𝑦 3 )𝑑π‘₯ + (π‘₯ 3 + 3π‘₯𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0 π‘π‘’π‘›π‘¦π‘’π‘™π‘’π‘ π‘Žπ‘–π‘Žπ‘› ∢ (3π‘₯ 2 𝑦 + 𝑦 3 )𝑑π‘₯ + (π‘₯ 3 + 3π‘₯𝑦 2 )𝑑𝑦 = 0

(π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘”π‘– π‘₯ 3 )

𝑦 π‘₯ 3 𝑦2 𝑦 (3 + ( ) ) 𝑑π‘₯ + (1 + 3 ( )) 𝑑𝑦 = 0 ; 𝑠𝑒𝑏 ∢ 𝑣 = , 𝑦 = 𝑣π‘₯ , 𝑑𝑦 π‘₯ 𝑦 π‘₯ π‘₯ = 𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣 (3𝑣 + 𝑣 3 )𝑑π‘₯ + (1 + 3𝑣 2 )(𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣) = 0 3𝑣𝑑π‘₯ + 𝑣 3 𝑑π‘₯ + 𝑣𝑑π‘₯ + π‘₯𝑑𝑣 + 3𝑣 3 𝑑π‘₯ + 3𝑣 2 π‘₯𝑑𝑣 = 0 (3𝑣 + 𝑣 3 + 𝑣 + 3𝑣 3 )𝑑π‘₯ + (π‘₯ + 3𝑣 2 π‘₯)𝑑𝑣 = 0 (4𝑣 + 4𝑣 3 )𝑑π‘₯ + (π‘₯ + π‘₯)𝑑𝑣 = 0 (4𝑣 + 4𝑣 3 )𝑑π‘₯ + π‘₯(1 + 3𝑣 2 )𝑑𝑣 = 0 4(𝑣 + 𝑣 3 )𝑑π‘₯ + π‘₯(1 + 3𝑣 2 )𝑑𝑣 = 0 4 1 + 3𝑣 2 𝑑π‘₯ + 𝑑𝑣 = 0 π‘₯ 𝑣 + 𝑣3 1 1 + 3𝑣 2 4∫ + ∫ 𝑑𝑣 = 𝐢1 π‘₯ 𝑣 + 𝑣3 π‘šπ‘–π‘ π‘Žπ‘™ 𝑒 = 𝑣 + 𝑣 3 𝑑𝑒 = 1 + 3𝑣 2 𝑑𝑣) 1 ∫ 𝑑𝑒 = 𝑙𝑛𝑒 = ln( 𝑣 + 𝑣 3 ) 𝑒 4𝑙𝑛π‘₯ + ln 𝑣 + 𝑣 3 = 𝐢1 ; π‘šπ‘–π‘ π‘Žπ‘™ 𝐢1 = 𝑙𝑛𝐢 4𝑙𝑛π‘₯ + ln 𝑣 + 𝑣 3 = 𝑙𝑛𝐢 𝑙𝑛π‘₯ 4 +ln 𝑣 + 𝑣 3 = 𝑙𝑛𝐢 𝑙𝑛π‘₯ 4 (𝑣 + 𝑣 3 ) = 𝑙𝑛𝐢

(π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘”π‘– π‘₯(𝑣 + 𝑣 3 )

π‘₯ 4 (𝑣 + 𝑣 3 ) = 𝐢 𝑦 𝑦3 π‘₯ 4 ( + ( )) = 𝐢 β†’ π‘₯ 3 𝑦 + π‘₯𝑦 3 = 𝐢 π‘₯ π‘₯

Latihan soal :

Carilah solusi dari persamaan differensial homogen berikut: 𝑦

1.

𝑑𝑦 𝑑π‘₯

=

βˆ’ π‘₯𝑒 π‘₯ +𝑦

π‘₯ π‘₯

π‘₯

π‘₯

2. (1 + 2𝑒 𝑦 ) 𝑑π‘₯ + 2𝑒 𝑦 (1 βˆ’ 𝑦) 𝑑𝑦 = 0 Penyelesaian : 𝑦

1.

𝑑𝑦 𝑑π‘₯

=

βˆ’ π‘₯𝑒 π‘₯ +𝑦

π‘₯ 𝑦

π‘₯𝑑𝑦 = ( π‘₯𝑒 βˆ’π‘₯ + 𝑦) 𝑑π‘₯ 𝑦

π‘₯𝑑𝑦 βˆ’ ( π‘₯𝑒 βˆ’π‘₯ + 𝑦) 𝑑π‘₯ = 0 𝑦

Substitusi 𝑦 = 𝑣π‘₯ , 𝑑𝑦 = π‘₯𝑑𝑣 + 𝑣𝑑π‘₯ , 𝑣 = π‘₯ π‘₯(π‘₯𝑑𝑣 + 𝑣𝑑π‘₯) βˆ’ (π‘₯𝑒 βˆ’π‘£ + 𝑣π‘₯)𝑑π‘₯ = 0 π‘₯ 2 𝑑𝑣 + 𝑣π‘₯𝑑π‘₯ βˆ’ (π‘₯𝑒 βˆ’π‘£ + 𝑣π‘₯)𝑑π‘₯ = 0 π‘₯ 2 𝑑𝑣 + (𝑣π‘₯ βˆ’ π‘₯𝑒 βˆ’π‘£ + 𝑣π‘₯)𝑑π‘₯ = 0 π‘₯ 2 𝑑𝑣 + (βˆ’ π‘₯𝑒 βˆ’π‘£ )𝑑π‘₯ = 0 π‘₯ 2 𝑑𝑣 + (βˆ’π‘’ βˆ’π‘£ )π‘₯𝑑π‘₯ ∫

(π‘‘π‘–π‘π‘Žπ‘”π‘– π‘₯ 2 (βˆ’π‘’ βˆ’π‘£ )

𝑑𝑣 𝑑π‘₯ + ∫ =0 βˆ’π‘’ βˆ’π‘£ π‘₯

∫ βˆ’π‘’ βˆ’π‘£ + ∫

𝑑π‘₯ =0 π‘₯

βˆ’π‘’ βˆ’π‘£ + 𝑙𝑛π‘₯ = 𝐢 𝑙𝑛π‘₯ βˆ’ 𝑒 βˆ’π‘£ = 𝐢 𝑦

𝑙𝑛π‘₯ βˆ’ 𝑒 π‘₯ = 𝐢 𝑦

βˆ’ π‘₯π‘‘π‘¦βˆ’ (π‘₯𝑒 π‘₯ +𝑦)𝑑π‘₯ = 0

β†’ 𝑑𝑦 βˆ’ (𝑒

:π‘₯ 𝑦 βˆ’ π‘₯

+ 𝑦) 𝑑π‘₯ = 0

(𝑣 𝑑π‘₯ + 𝑑π‘₯ ) βˆ’ 𝑒 βˆ’π‘£ + 𝑣 𝑑π‘₯ = 0

βˆ’π‘’ βˆ’π‘£ 𝑑π‘₯+π‘₯ 𝑑𝑣

β†’ ∫

: (βˆ’π‘’ βˆ’π‘£ )π‘₯

𝑑π‘₯ βˆ’ ∫ βˆ’π‘’ 𝑣 𝑑𝑣 = 0 π‘₯

π‘₯

π‘₯

π‘₯

2. (1 + 2𝑒 𝑦 ) 𝑑π‘₯ + 2𝑒 𝑦 (1 βˆ’ 𝑦) 𝑑𝑦 = 0 π‘₯

Mis: 𝑣 = 𝑦 β†’ π‘₯ = 𝑣𝑦 𝑑π‘₯ = 𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣 (1 + 2𝑒 𝑣 ) + (𝑣𝑑𝑦 + 𝑦𝑑𝑣) + 2𝑒 𝑣 (1 βˆ’ 𝑣)𝑑𝑦 = 0 𝑣 𝑑𝑦 + 𝑦 𝑑𝑣 + 2𝑣𝑒 𝑣 𝑑𝑦 + 2𝑦𝑒 𝑣 𝑑𝑣 + 2𝑒 𝑣 𝑑𝑦 βˆ’ 2𝑣𝑒 𝑣 𝑑𝑦 = 0 (𝑣 + 2𝑣𝑒 𝑣 + 2𝑒 𝑣 βˆ’ 2𝑣𝑒 𝑣 )𝑑𝑦 + 𝑦 𝑑𝑣 + 2𝑦𝑒 𝑣 𝑑𝑣 = 0 (𝑣+2𝑒 𝑣 )𝑑𝑦+𝑦(1+2𝑒 𝑣 ) 𝑑𝑣=0

: (𝑣 + 2𝑒 𝑣 )𝑦

β†’

1+2𝑒 𝑣

1

∫ 𝑦 𝑑𝑦 + ∫ 𝑣+2𝑒 𝑣 𝑑𝑣 = 0 Mis : 𝑒 = 𝑣 + 2𝑒 𝑣 𝑑𝑒 = 1 + 2𝑒 𝑣 𝑑𝑣 1

1

∫ 𝑦 𝑑𝑦 + ∫ 𝑒 𝑑𝑒 = 0 ln 𝑦 + ln 𝑒 = 𝐢1 ln 𝑦 + ln ( 𝑣 + 2𝑒 𝑣 ) = 𝐢1 ln y( 𝑣 + 2𝑒 𝑣 ) = 𝐢1 𝑒 ln 𝑦(𝑣+2𝑒

𝑣)

= 𝑒 𝐢1

𝑦(𝑣 + 2𝑒 𝑣 ) = 𝐢 π‘₯

π‘₯

𝑦 (𝑦 + 2𝑒 𝑦 ) = 𝐢 π‘₯

π‘₯ + 2𝑦𝑒 𝑦 = 𝐢

BAB III PENUTUP

3.1 Kesimpulan Persamaan ini dapat diselesaikan berdasarkan bentuknya , dimana terdiri dari 2 bentuk, yaitu : 1.

𝑀(π‘₯ )𝑑π‘₯ + 𝑁 (𝑦)𝑑𝑦 = 0

diintegralkan menjadi : ∫ 𝑀 (π‘₯)𝑑π‘₯ + ∫ 𝑁 (𝑦)𝑑𝑦 = 0 2. 𝑀(π‘₯). 𝑅(𝑦)𝑑π‘₯ + 𝑁(π‘₯). 𝑆(𝑦)𝑑𝑦 = 0 Dengan membagi kedua ruas dengan 𝑅(𝑦). 𝑁(π‘₯) menjadi : 𝑀(π‘₯)

𝑑π‘₯ + 𝑁(π‘₯)

𝑆(𝑦)

𝑑𝑦 = 0 𝑅(𝑦)

𝑀(π‘₯)

𝑆(𝑦)

∫ 𝑁(π‘₯) 𝑑π‘₯ ∫ 𝑅(𝑦) 𝑑𝑦 = 𝐢

Bentuk umum persamaan differensial homogen 𝑀(π‘₯, 𝑦)𝑑π‘₯ + 𝑁(π‘₯, 𝑦)𝑑𝑦 = 0

3.2 Saran Sebelum mempelajari persamaan differensial tingkat satu derajat satu diharapkan setiap mahasiswa mampu memahami apa dan bagaimana variabel yang dapat dipisahkan, karena variabel yang dapat dipisahkan penting untuk diketahui dan sangat menunjang untuk pembahasan untuk selanjutnya.

More Documents from "Syafri Manurung"

Diferensial.docx
May 2020 0
Doc-20190331-wa0027.docx
December 2019 38
Direct Admiinistrasi.docx
December 2019 43
Surat Pribadimateri.docx
December 2019 28
Documentucl.docx
December 2019 42