Diferencracunufizici_skr

PRIMENE DIFERENCIJALNOG RAČUNA U FIZICI

I

Osnovne definicije izvoda i diferencijala

Pojam izvoda funkcije u tački je centralni pojam diferencijalnog računa za realne funkcije jedne realne promenljive. Neka je f:X → R (X ⊆ R) i a∈X∩X’ Def. 1 Konačna granična vrednost, ili broj def

f ′ (a) = lim

(1)

x→ a

f ( x) − f (a) , x− a

ako postoji, naziva se izvodom funkcije f u tački a. Jednakost (1) ekvivalentna je sa f ( x) − f (a ) = f ′ (a)( x − a ) + o( x − a), x → a (2) Egzistencija izvoda funkcije u tački, može se opisati i na drugi, ekvivalentan način: Neka je data funkcija f : X → R i x ∈ X ∩ X ′ fiksirana tačka. Uvidimo def

skup A = { h ∈ R | x + h ∈ X } ≠ ∅ x

Def. 2 Funkcija f:X→R je diferencijabilna u x ako postoji linearno preslikavanje lx:R→R i funkcija αx:Ax→R takvi da važi (∀ h ∈ Ax ) f ( x + h) − f ( x) = l x (h) + α x (h) (3) gde je α x (h) = o(h),

h→ 0

Teorema Funkcija f:X→R je diferencijabilna u x∈X∩X’ akko postoji izvod f’(x).

Def. 3 (a)

Broj

def

∆ x ( h) = ( x + h) − x = h

zove se PRIRAŠTAJ NEZAVISNO def

PROMENLJIVE U TAČKI x, a broj ∆ f ( x; h) = f ( x + h) − f ( x ) zove se

(b)

PRIRAŠTAJ FUNKCIJE f u tački x, koji odgovara priraštaju h nezavisno promenljive. Kada je f diferencijabilna u tački x, linearna funkcija l x : R → R iz Def. 2 zove se diferencijal funkcije u tački x, i obeležava se sa df(x). 1

Kako važi

( ∀ h ∈ R)

df ( x)(h) = f ′ ( x) ⋅ h , h ∈ Ax odakle je ∆ f ( x)(h) ≈ f ′ ( x) ⋅ h . Kada je f ( x) = x , onda je df ( x) = dx ( x) i za svaku tačku x ∈ R važi f ′ ( x) = 1 , to važi jednakost (∀ h ∈ R ) dx( x)(h) = 1 ⋅ h = h pa imamo da za ∀ h ∈ R \ { 0} važi df ( x)(h) = f ′ ( x) (∗) dx(h) Jednakost (∗) omogućava da se u diferencijalnom računu, uporedo sa Lagranžovom oznakom f ′ (x) koristi Lajbnicova oznaka

II

df (x) . dx

Diferencijalni račun kod kretanja materijalne tačke

Nastanak izvoda funkcije vezuje se ili zapravo imao je za inspiraciju neke osnovne fizičke veličine, barem u Njutnovoj verziji. Grubo rečeno, ako pređeni put materijalne tačke predstavimo kao funkciju od vremena t, brzina će biti upravo izvod pređenog puta, a ubrzanje izvod brzine.

<1>

Brzina

Neka tačka pri kretanju opisuje proizvoljnu trajektoriju. Pređeni put može se definisati kao funkcija od vremena t. Srednja brzina u vremenskom intervalu ∆t, jeste količnik promene vektora položaja sa vrednošću vremenskog intervala u kome se to pomeranje desilo. 

 ∆r vsr = ∆t

Kada „pustimo“ da ∆ t → 0 , dobijamo trenutnu brzinu kao

   ∆ r dr v = lim = ∆ t→ 0 ∆ t dt

Kada ∆ t → 0 , važi

∆s  = 1 , pa je intenzitet trenutne brzine ∆t→ 0| ∆ r | lim

  |∆ r| ∆s v = | v |= lim = lim ∆ t→ 0 ∆ t ∆ t→ 0 ∆ t def

Ako pređeni put predstavimo u obliku s = f (t ) , onda je zapravo

2

v = lim

∆ t→ 0

<1.1.>

f (t + ∆ t ) − f (t ) = f ′ (t ) = s ′ (t ) ∆t

Brzina u Dekartovom koordinatnom sistemu

U Dekartovom koordinatnom sistemu, vektor položaja tačke dat je sa

  

    r = rx ⋅ e x + ry ⋅ e y + rz ⋅ e z

gde je (e x , e y , e z ) ortonormirana baza. Kako je trenutna brzina

        def dr d (rx ⋅ e x + ry ⋅ e y + rz ⋅ e z ) drx dry drz v = = = + + dt dt dt dt dt  to znači da je v = ( s′x (t ), s ′y (t ), s ′z (t )) , odnosno ds y ds ds vx = x , v y = , vz = z dt dt dt gde su v x , v y , v z projekcije brzine na x, y i z – osu redom. <1.2.> sistema

Veze između Dekartovog i cilindričnog koordinatnog Ovaj rad ima ukupno 6 strana - - ZA SAMO 5 EURA - -

MOŽETE NARUČITI OVAJ RAD U CELINI AKO POŠTANSKOM UPUTNICOM POŠALJETE GORE NAVEDENI IZNOS NA ADRESU DEJAN GAJIĆ OMLADINSKA 6, MUDRAKOVAC 37000 KRUŠEVAC RAD MOŽETE DOBITI E-MAIL ADRESOM, ILI NA CD-u, KAO KOMPRESOVANU ARHIVU (RAR ILI ZIP), U FORMATU .DOC ILI .PDF. E-MAIL ZA KONTAKT: [email protected]

3