Diferenciales Aplicaciones, Ejercicios.docx

Aplicaciones: 

Tasa de cambio. La tasa de cambio de la variable y cuando la variable x en el punto 𝑥 = 𝑎 cambia a un nuevo valor (𝑎 + 𝑥), se representa por el cociente:

Δ𝑦 𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎) = lim Δ𝑥 ∆𝑥→0 ∆𝑥 

Derivada de una función. Derivada de la función 𝑓(𝑥) en el punto 𝑥 = 𝑎, es el límite, si existe, del incremento de la función dividido por el incremento de la variable, cuando éste tiende a cero.

𝑓(𝑎 + ∆𝑥) − 𝑓(𝑎) ∆𝑥→0 ∆𝑥

𝑓 ′ (𝑎) = lim

La derivada es un número, y se llama función derivada, y se representa por 𝑓′(𝑥), a una función tal que en cada punto toma el valor de la derivada de 𝑦 = 𝑓(𝑥). La derivada es la tasa instantánea de variación de 𝑓(𝑥) en el punto a, es decir 𝑓′(𝑎). La tasa proporcional de variación de 𝑓(𝑥) en el punto a, sería 𝑓′(𝑎)/𝑓(𝑎). 

Derivada como pendiente de una curva. La derivada de la función y = f(x), en el punto x = a, o sea f′(a), representa la pendiente de la tangente geométrica a dicha curva en 𝑥 = 𝑎. Sea una función 𝑦 = 𝑓(𝑥). Dado un punto de abscisa 𝑥, se le dota de un pequeñísimo incremento (aumento) ℎ y se encuentra un punto 𝑥 + ℎ. Se traza la tangente a la curva en el punto de abscisa 𝑥, 𝑦 desde 𝑥 + ℎ se levanta una paralela al eje de ordenadas hasta cortar a la curva y a la tangente. 𝑆𝑖 𝛼 𝑒𝑠 𝑒𝑙 á𝑛𝑔𝑢𝑙𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 𝑙𝑎 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑒𝑗𝑒 𝑋

𝑡𝑔(𝛼) = 𝑓 ´ (𝑥) = 

̅̅̅̅ 𝐴𝐶 ℎ

Diferencial de una función en un punto Se define diferencial de una función 𝑦 = 𝑓(𝑥) en un punto 𝑥, 𝑦 se simboliza por 𝑑𝑦 ó 𝑑𝑓(𝑥), al producto 𝑓′(𝑥) · ℎ. Por tanto,

𝑑𝑦 = 𝑑𝑓(𝑥) = 𝑓′(𝑥) · ℎ

Ejercicios: 1.- Hallar el diferencial total de cada función a) 𝒛 = 𝟐𝒙𝒔𝒆𝒏𝒚 − 𝟑𝒙𝟐 𝒚𝟐 b) 𝒘 = 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 + 𝒛𝟐 Solución: a) La diferencial total 𝑑𝑧 de 𝑧 = 2𝑥𝑠𝑒𝑛𝑦 − 3𝑥 2 𝑦 2 𝑑𝑧 =

𝜕𝑧 𝜕𝑥

𝑑𝑥 +

𝜕𝑧 𝜕𝑦

𝑑𝑦

𝑑𝑧 = (2𝑠𝑒𝑛𝑦 − 6𝑥𝑦 2 )𝑑𝑥 + (2𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑦 − 6𝑥 2 𝑦)𝑑𝑦

2.- Calcular 𝒚 = √𝟐𝟔 usando diferenciales. Solución: Usamos una raíz que sea aproximada a 26 en este caso puede ser 25 cuya raíz es 5 𝑦 = √𝑥

𝑑𝑦 1 −1/2 = 𝑥 𝑑𝑥 2 1 −1/2 𝑥 𝑑𝑥 2 1 𝑑𝑦 = 𝑑𝑥 2√𝑥 𝑑𝑦 =

𝑥1 = 25 ∆𝑥 = 𝑥2 − 𝑥1 = 26 − 25

𝑥2 = 26

∆𝑥 = 1 𝑦 + 𝑑𝑦 = √25 + 𝑑𝑦 𝑦 = 𝑑𝑦 =

1(1)

2√25 1 𝑦 = 𝑑𝑦 = 2(5) 1 𝑑𝑦 = 10 𝑑𝑦 = 0.1 Resulta 5 + 0.1 = 5.1

3.- Mostrar que 𝒇𝒙 (𝟎, 𝟎) y 𝒇𝒚 (𝟎, 𝟎) existen, pero f no es diferenciable en (𝟎, 𝟎) donde 𝒇 está definida como

𝒇(𝒙, 𝒚) = { 𝟎

−𝟑𝒙𝒚 𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) ≠ (𝟎, 𝟎) 𝒙 𝟐 + 𝒚𝟐 𝒔𝒊 (𝒙, 𝒚) = (𝟎, 𝟎)

Solución: 𝑥=𝑦 −3𝑥 3 lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = lim =− 2 (𝑥,𝑥)→(0,0) (𝑥,𝑥)→(0,0) 2𝑥 2 2

𝑦 = −𝑥 −3𝑥 3 lim 𝑓(𝑥, 𝑦) = lim = 2 (𝑥,𝑥)→(0,0) (𝑥,𝑥)→(0,0) 2𝑥 2 2

𝑓(∆𝑥, 0) − 𝑓(0,0) ∆𝑥→0 ∆𝑥 0−0 𝑓𝑥 (0,0) = lim ∆𝑥→0 ∆𝑥 𝑓𝑥 (0,0) = 0 𝑓𝑥 (0,0) = lim

𝑓(0, ∆𝑦) − 𝑓(0,0) ∆𝑦→0 ∆𝑦 0−0 𝑓𝑦 (0,0) = lim ∆𝑦→0 ∆𝑦 𝑓𝑦 (0,0) = 0 𝑓𝑦 (0,0) = lim

∴Derivadas parciales de (0,0) existen

𝑓(𝑥, 𝑦) = { 0

−3𝑥𝑦 (𝑥, 𝑦) ≠ (0,0) 𝑥2 + 𝑦2 (𝑥, 𝑦) = (0,0)

4.- El error producido al medir cada una de las dimensiones de una caja rectangular es ±𝟎. 𝟏 milimetros. Las dimensiones de la carga son 𝒙 = 𝟓𝟎 centímetros 𝒚 = 𝟐𝟎 centímetros y 𝒛 = 𝟏𝟓 centímetros. Utilizar 𝒅𝑽 para estudiar el error propagado y el error relativo en el volumen calculado de la caja. 𝑉 = 𝑥𝑦𝑧 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝜕𝑉 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 + 𝑑𝑧 𝜕𝑥 𝜕𝑦 𝜕𝑧 𝑑𝑉 = 𝑦𝑧 𝑑𝑥 + 𝑥𝑧 𝑑𝑦 + 𝑥𝑦 𝑑𝑧 𝑑𝑉 =

0.1 𝑚𝑚 → 0.01𝑐𝑚 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 = 𝑑𝑧 = ±0.01 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑉 𝑑𝑉

= (20)(15) (±0.01) + (50)(15) (±0.01) + (50)(20) (±0.01) = (300) (±0.01) + (750) (±0.01) + (1000) (±0.01) = (2050)(±0.01) = 20.5 𝑐𝑚3

→ 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑉 = (50)(20)(15) 𝑉 = 15000 𝑐𝑚3 → 𝐸𝑟𝑟𝑜𝑟 𝑟𝑒𝑙𝑎𝑡𝑖𝑣𝑜

∆𝑉 𝑉

∆𝑉 𝑑 𝑉 20,5 ≈ = ≈ 0.14% 𝑉 𝑉 15000 5.- Utilizar la diferencial 𝒅𝒛 para aproximar el cambio en 𝒛 = √𝟒 − 𝒙𝟐 + 𝒚𝟐 cuando (𝒙, 𝒚) se desplaza del punto (𝟏, 𝟏) al punto (𝟎. 𝟎𝟏, 𝟎. 𝟗𝟕). Comparar esta aproximación con el cambio exacto en 𝒛.

Solución: (𝑥, 𝑦) = (1,1) (𝑥 + ∆𝑥, 𝑦 + ∆𝑦) = (0.01 , 0.97) 𝑑𝑥 = ∆𝑥 = 0.01

𝑑𝑦 = ∆𝑦 = −0.03

∆𝑧 ≈ 𝑑𝑧 =

𝜕𝑧 𝜕𝑧 −𝑥 −𝑥 𝑑𝑥 + 𝑑𝑦 = ∆𝑥 + ∆𝑦 𝜕𝑥 𝜕𝑦 √4 − 𝑥 2 + 𝑦 2 √4 − 𝑥 2 + 𝑦 2

→𝑥=1 𝑦=1 1 1 0.02 (0.01) − (−0.03) = ∆𝑧 ≈ − = √2(0.01) √2 √2 √2 ∆𝑧 ≈ 0.0141 ∆𝑧 = 𝑓(1.01 , 0.97) − 𝑓(1,1) ∆𝑧 = √4 − (1.01)2 − (0.97)2 − √4 − 12 − 12 ∆𝑧 = 0.0137