Diem Bat Dong Cua Mot Lop Toan Tu Compac Tiem Can

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2

ĐOÀN TRỌNG HIẾU

ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA MỘT LỚP TOÁN TỬ COMPAK TIỆM CẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ Ngành: Toán giải tích Người hướng dẫn: PGS.TS Nguyễn Phụ Hy

Hà Nội-2009

Lời cảm ơn

Tôi xin chân thành cảm ơn các GS, TS giảng dạy chuyên ngành Toán Giải tích; các thầy, cô Phòng Sau Đại học trường Đại học Sư Phạm Hà Nội 2 đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện đề tài. Tôi xin gửi lời cảm ơn đặc biệt sâu sắc đến PGS.TS Nguyễn Phụ Hy đã trực tiếp hướng dẫn tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn chỉnh đề tài.

Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả

3

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn trực tiếp của PGS.TS Nguyễn Phụ Hy. Trong quá trình nghiên cứu luận văn, tôi đã kế thừa những thành quả khoa học của các nhà khoa học với sự trân trọng và biết ơn.

Hà Nội, tháng 9 năm 2009 Tác giả

4

Mục lục

Mở đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

7

Chương 1. KHÔNG GIAN BANACH THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ

9

1.1. Nón trong không gian Banach và ví dụ . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

1.1.2. Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.1.3. Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực . . 20 1.2. Không gian Eu0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.1. Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 1.2.2. Không gian Eu0

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

1.3. Một số định lý về nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25 1.3.2. Một số định lý về nón . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ U0 -LÕM

31

2.1. Các định nghĩa và ví dụ về toán tử u0 - lõm . . . . . . . . . . 31 2.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.1.2. Các ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.2. Một số tính chất về điểm bất động của toán tử u0 -lõm . . . . 34 Chương 3. TOÁN TỬ PHI TUYẾN COMPAK TIỆM CẬN

39

3.1. Các định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.1. Các định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 3.1.2. Một số tính chất về điểm bất động của toán tử lõm chính quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 3.2. Điểm bất động của toán tử Compak tiệm cận . . . . . . . . . 42

3.2.1. Định nghĩa và ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.2.2. Sự tồn tại điểm bất động của toán tử compak tiệm cận

42

Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Tài liệu tham khảo

49

6

Mở đầu

1. Lý do chọn đề tài Nhiều bài toán quan trọng trong toán học nói riêng và khoa học kỹ thuật nói chung dẫn đến việc nghiên cứu sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ. Chính vì vậy mà lý thuyết điểm bất động được nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm. Nhà toán học Banach Stefan (1892- 1945) là một trong các nhà toán học xuất sắc, người đặt nền móng cho lý thuyết này bằng nguyên lý nổi tiếng: "Nguyên lý ánh xạ co Banach” (1922). Tiếp theo đó, xuất hiện nhiều hướng nghiên cứu về lý thuyết điểm bất động của các toán tử trong các không gian hàm, trong các công trình của các nhà toán học nổi tiếng như Lipsit, Aylenbec, Kraxnoxenxky ... Những năm 60 của thế kỷ XX, nhà toán học nổi tiếng người Nga M. A. Kraxnoxenxky đã nghiên cứu và đã đạt được các kết quả quan trọng về lý thuyết điểm bất động của các toán tử lõm trong không gian Banach nửa sắp thứ tự. Đặc biệt trong hướng nghiên cứu này là các tác giả đã nghiên cứu điểm bất động của ánh xạ trên một tập nói chung không đóng, vì vậy đây là một hướng nghiên cứu khá thú vị. Ở nước ta vào những năm 80 của thế kỷ XX, PGS. TS Nguyễn Phụ Hy đã mở rộng được các định lý quan trọng về điểm bất động của toán tử lõm cho toán tử lõm chính quy. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này, nhờ sự giúp đỡ, hướng dẫn tận tình của PGS. TS. Nguyễn Phụ Hy tôi đã chọn đề tài: “Điểm bất động của một lớp toán tử phi tuyến Compak tiệm cận” 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài này nhằm nghiên cứu một cách có hệ thống, chi tiết các kết quả đã đạt được về lý thuyết điểm bất động của toán tử lõm và toán tử Compak 7

tiệm cận. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các kiến thức cơ sở cần thiết và các kết quả về điểm bất động của toán tử cực trị. Luận văn được chia làm 3 chương (ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo): Chương 1: Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. Chương này xây dựng một không gian định chuẩn nói chung và một không gian Banach nói riêng trở thành một không gian nửa sắp thứ tự bằng cách đưa ra khái niệm nón, sau đó xây dựng không gian Eu0 nhờ đưa ra khái niệm u0 - chuẩn. Chương 2: Điểm bất động của toán tử U0 - lõm. Chương này giới thiệu các khái niệm toán tử dương, đơn điệu, u0 - đo được trên không gian Banach thực E với nón K. Từ đó xây dựng khái niệm toán tử lõm, giới thiệu và chứng minh một số định lý về điểm bất động của toán tử u0 - lõm. Chương 3: Điểm bất động của toán tử phi tuyến Compak tiệm cận. Trên cơ sở các kết của chương 1, chương 2. Chương 3 tiếp tục giới thiệu khái niệm toán tử lõm chính quy, toán tử Compak tiệm cận. Từ đó đưa ra các định lý về điểm bất động của toán tử lõm chính quy. Cuối cùng, giới thiệu sự tồn tại điểm bất động của toán tử phi tuyến Compak tiệm cận.

Do thời

gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu và tổng hợp các kết quả nghiên cứu theo chủ đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn và xử lý văn bản chắc không tránh khỏi những thiếu xót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn. Hà nội, tháng 08 năm 2009 Tác giả

8

Chương 1 KHÔNG GIAN BANACH THỰC NỬA SẮP THỨ TỰ

1.1.

Nón trong không gian Banach và ví dụ

1.1.1.

Các định nghĩa

Định nghĩa 1.1. Cho không gian Banach thực E. Một tập con khác rỗng K ⊂ E được gọi là một nón nếu: N1 / Tập K đóng trong E; N2 / Với ∀x, y ∈ K thì x + y ∈ K; N3 / Với ∀x ∈ K, ∀t ∈ R, t ≥ 0 thì tx ∈ K; N4 / Với ∀x ∈ K, x 6= θ thì −x ∈ / K. Như vậy, theo định nghĩa thì nón K là một tập lồi trong E. Định lý 1.1. Giả sử tập F là một tập con khác rỗng của không gian Banach thực E thoả mãn các điều kiện lồi, đóng, bị chặn và không chứa phần tử không (θ). Khi đó tập K(F ) = {x ∈ E : x = tz, t ∈ R, t ≥ 0, z ∈ F } là một nón. Chứng minh. Từ giả thiết ta có K(F ) là tập khác rỗng. Từ tính chất của F là tập đóng, bị chặn và không chứa phần tử θ ta luôn tìm được hai số dương m, M : ∀z ∈ F ta có m ≤ kzk ≤ M. Thật vậy: nếu inf kzk = 0 thì ta tìm được một dãy (zn )∞ n=1 trong F để z∈F

lim kzn k = 0 hay lim zn = θ trong E, do F đóng nên θ ∈ F, trái với giả

n→∞

n→∞

thiết, nghĩa là tồn tại m ≥ 0 để m ≤ kzk, và F bị chặn nên tồn tại M ≥ 0 để kzk ≤ M. Ta chứng minh K(F ) là tập đóng. Lấy một dãy bất kỳ (un )∞ n=1 ⊂ K(F ) sao cho lim un = ν trong E. n→∞

9

+/ Nếu ν = θ thì đương nhiên ν ∈ K(F ). +/ Nếu ν 6= θ thì kνk > 0. Ta sẽ chỉ ra ν ∈ K(F ). 1 Thật vậy, do lim un = ν nên với số dương kνk, n→∞ 2 1 ∃n0 ∈ N ∗ , ∀n ≥ n0 , kun − νk < kνk 2 1 ⇒ |kun k − kνk| ≤ kun − νk < kνk 2 1 3 ⇒ kνk < kun k < kνk ∀n ≥ n0 (1.1) 2 2 Mặt khác, vì un ∈ K(F ) ⇒ un = tn zn , tn ≥ 0, zn ∈ F, ∀n = 1, 2, ... theo bất đẳng thức (1.1) thì: 1 3 1 3 kνk < ktn zn k = tn kzn k < kνk ⇒ kνk < tn < kνk∀n = 1, 2, ... suy 2 2 2M 2m 1 ∞ ra tồn tại dãy con (tni )∞ kνk ≤ t0 ≤ i=1 ⊂ (tn )n=1 sao cho lim tni = t0 ⇒ i→∞ 2M 3 kνk 2m nghĩa là t0 > 0. ∞ dãy con (uni )∞ ni = tni zni , ta có: i=1 ⊂ (un )i=1 với u

Xét

1 tn tn 1 1 1

zni − ν = zni − i zni + i zni − ν ≤ |tni − t0 | · kzni k + kuni − νk ≤ t0 t0 t0 t0 t0 t0 1 1 M

|tn − t0 | + kuni − νk → 0 khi i → ∞ ⇒ zni − ν → 0 khi i → ∞ t0 i t0 t0   1 1 Do F đóng nên ν ∈ F ⇒ t0 ν = ν ∈ K(F ). t0 t0 Vì vậy K(F ) đóng.

Với ∀u, v ∈ K(F ), ∀α, β ∈ R+ . Khi đó: u = t1 z1 , v = t2 z2 với t1 , t2 ∈ R+ , z1 , z2 ∈ F . Nếu t1 = 0 hoặc t2 = 0 hoặc α = 0 hoặc β = 0 thì αu + βv ∈ K(F ). Vì vậy, ta chỉ cần xét α > 0, β > 0, t1 > 0, t2 >0, khi đó  βt2 αt1 αu + βv = αt1 z1 + βt2 z2 = (αt1 + βt2 ) z1 + z2 αt1 + βt2 αt1 + βt2 do F là tập lồi nên αt1 βt2 z1 + z2 ∈ F ⇒ αu + βv ∈ K(F ) αt1 + βt2 αt1 + βt2 Giả sử tồn tại u0 ∈ K, u0 6= θ mà −u0 ∈ / K(F ). ta có u0 = t1 z1 trong đó z1 ∈ F còn t1 > 0 và −u0 = −t1 z1 = t2 z2 trong đó z2 ∈ F còn t2 > 0. Do u0 + (−u0 ) = θ nên 10



 t1 t2 θ = t1 z1 + t2 z2 = z1 + z2 (t1 + t2 ) ∈ K(F ). Điều này không t1 + t2 t1 + t2 t1 t2 t1 t2 xảy ra vì z1 + z2 ∈ F ⇒ z1 + z2 6= θ và t1 + t2 > 0. t1 + t2 t1 + t2 t1 + t2 t1 + t2 Như vậy K(F ) là một nón. 1.1.2.

Một số ví dụ

Ví dụ 1.1. Tập số thực R là một không gian tuyến tính thực. Đối với mỗi số thực bất kỳ x, ta đặt: kxk = |x|

(1.2)

Nhờ các tính chất về giá trị tuyệt đối của số thực, ta có: +/∀x ∈ R, kxk = |x| > 0 vàkxk = |x| = 0 ⇔ x = 0 +/ ∀x ∈ R, ∀α ∈ R kαxk = |αx| = |α||x| = |α|kxk +/∀x, y ∈ R, kx + yk = |x + y| ≤ |x| + |y| = kx + yk Vậy công thức (1.2) cho một chuẩn trên R. Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là R1 . Không gian R1 là một không gian Banach, điều này có được là do tiêu chuẩn Cauchy về sự hội tụ của dãy số thực. Trong không gian Banach R1 :  1/ Tập K = x ∈ R1 , x ≥ 0 ta chứng minh K là một nón. Thật vậy: +/ Ta chỉ ra K là một tập đóng trong R1 . Lấy tuỳ ý trong K dãy số thực xn → x khi n → ∞, vì xn ∈ R1 , xn ≥ 0 ∀n ∈ N ∗ khi đó x ≥ 0. Vậy x ∈ K, nên K là tập đóng trong R1 . +/ ∀x ∈ K, ∀t ≥ 0 ta chỉ ra tx ∈ K. Do x ∈ K nên x ≥ 0, từ đó tx ≥ 0. vậy tx ∈ K. +/ ∀x, y ∈ K ta chỉ ra x + y ∈ K. Do x, y ∈ K nên x ≥ 0, y ≥ 0, từ đó x + y ≥ 0. Vậy x + y ∈ K. +/ ∀x ∈ K, x 6= 0 ta chỉ ra −x ∈ K. Do x ∈ K, x 6= 0 nên x > 0 từ đó −x < 0. Vậy −x ∈ / K. Vậy K là một nón. 2/ Tập F = {x0 } ⊂ R1 \ {θ} ta chứng minh  K(F ) = x ∈ R1 : x = tx0 , t ∈ R, t ≥ 0, x0 ∈ F là một nón. 11

Do F lồi, đóng, bị chặn và không chứa phần tử không nên theo định lý 1.1.1 thì K(F ) là một nón. Ví dụ 1.2. Xét không gian tuyến tính thực Rn = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) : xi ∈ R

∀i = 1, 2, ..., n} ,

n ∈ N, n ≥ 2

với bất kỳ x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn ta đặt v u n uX kxk = t x2i

(1.3)

i=1

Ta sẽ chứng minh công thức (1.3) cho một chuẩn trên Rn . Thật vậy: +/ ∀x = (x1 , x2 , ..., xn )v ∈ Rn ta có: u n uX kxk = t x2i ≥ 0 i=1

s kxk = 0 ⇔

n P

i=1

x2i = 0 ⇔

n P

x2i = 0 ⇔ xi = 0∀i = 1, 2, ..., n ⇔ x = θ

i=1

+/ v ∀x = (x1 , x2 , ..., R, ta có vxn ) ∈ Rn , ∀α ∈v u u n u n n u X uX uX α2 x2i = tα2 x2i = |α|t x2i = |α|kxk kαxk = t i=1

i=1

i=1

+/ ∀x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , ∀y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn , ta có n n n n X X X X 2 2 2 kx + yk = (xi + yi ) = xi + 2 xi yi + yi2 i=1 i=1 v i=1 v i=1 u u n n n n X X uX uX 2 2 2 t t ≤ xi + xi yi + yi2 i=1

i=1

i=1

i=1

v v 2 u n u n uX uX = t x2i + t yi2  = (kxk + kyk)2 i=1

i=1

⇒ kx + yk ≤ kxk + kyk ∀x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn , ∀y = (y1 , y2 , ..., yn ) ∈ Rn Vậy công thức (1.3) cho ta một chuẩn trên không gian Rn . Do đó không gian Rn là một không gian định chuẩn. Không gian định chuẩn tương ứng ký hiệu là Rn . Ta sẽ chỉ ra không gian địng chuẩn Rn là không gian Banach. 12

Trước hết, sẽ chứng minh sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian Rn tương đương với sự hội tụ theo toạ độ. Thật vậy, giả sử dãy  điểm  (m) (m) (m) (m) x = x1 , x2 , ..., xn , m = 1, 2, ... hội tụ tới điểm x = (x1 , x2 , ..., xn ) trong Rn . Theo định nghĩa, v u n uX p (m) ∗ ∀ε > 0, ∃m0 ∈ N , ∀m ≥ m0 sao cho kx − xk = t (xm i − xi ) < ε suy i=1

ra |xm i − xi | ≤ ε ∀m ≥ m0 ,

∀i =1, 2, ...n  các bất đẳng thức này chứng tỏ, (m) hội tụ tới xi khi m → ∞. Sự hội tụ với mỗi i = 1, 2, ..., n dãy số thực xi đó gọi là sự hội tụ theo toạ độ. (m)

Ngược lại giả sử dãy điểm x

  (m) (m) (m) = x1 , x2 , ..., xn , m = 1, 2, ...

hội tụ theo toạ độ tới điểm x = (x1 , x2 , ..., xn ) trong Rn . Theo định nghĩa,  (m) ∀ε > 0 với mỗi i = 1, 2, ..., n, ∃mi ∈ N ∗ , ∀m ≥ mi , |xi − xi | ≤ √ . Đặt n  (m) m0 = max {m1 , m2 , ..., mn } thì ∀m ≥ m0 , |xi − xi | ≤ √ ∀i = 1, 2, ..., n n 2 2 2  X  (m) (m) ≤ xi − xi < 2 ∀ m ≥ m0 ⇒ xi ∀i = 1, 2, ..., n ⇒ n v u n  2 uX (m) t ⇒ xi − xi <  ∀m ≥ m0 ⇔ kx(m) − xk <  ∀m ≥ m0 i=1

Do đó dãy điểm đã cho hội tụ theo chuẩn của không gian Rn . Bây giờ ta chứng minh không gian Rn là không   gian Banach. (m) (m) Thật vậy, giả sử x(m) = x1 , x2 , ..., x(m) , ∀m = 1, 2, ... là dãy cơ n bản tuỳ ý trong không gian Rn . Theo v định nghĩa dãy cỏ bản ∀, ∃m0 ∈ u n uX p 2 p ∗ (m) (p) m N , ∀m, p ≥ m0 , kx − x k <  hay t (xm i − xi ) <  ⇒ |xi − xi | < i=1

 ∀m, p ≥ m0 , ∀i = 1,  2, ..., n. các bất đẳng thức này chứng tỏ với mỗi (m) (m) i = 1, 2, ..., n dãy xi là dãy số thực cơ bản, nên ∃ lim xi = xi ∀i = n→∞

1, 2, ..., n.
Đặt x = (x1 , x2 , ..., xn ) thì dãy x(m) ⊂ Rn đã cho hội tụ theo toạ độ tới x, nghĩa là dãy cơ bản đã cho hội tụ tới x trong không gian Rn . Vậy không gian Rn là không gian Banach. 13

Trong không gian Banach Rn : 1/ Cho tập K = {(xi )ni=1 ∈ Rn : xi ≥ 0 ∀i = 1, 2, ..., n}, ta chứng minh K là một nón. Thật vậy: +/Trước hết ta chỉ ra K là một tập đóng.   (m) (m) (m) , m = 1, 2, ..., n trong đó Trong K lấy tuỳ ý dãy x , x = xi (m)

xi

(m)

∈ R và xi

≥ 0, ∀i = 1, 2, ..., n, ∀m và xm −→ x khi m −→ ∞, x =

(xi )ni=1 . Ta sẽ chứng tỏ x ∈ K. Vì sự hội tụ theo toạ độ, nên từ xm −→ x khi (m)

m −→ ∞ ta có xi

i = 1, 2, ..., n ta có

−→ xi khi m −→ ∞ và ∀i = 1, 2, ...n. nhưng vì với mỗi

(m) xi

≥ 0, ∀i = 1, 2, ..., n ⇒ x ∈ K nên K là tập đóng.

+/∀x, y ∈ K ta chỉ ra x + y ∈ K. Do x, y ∈ K, x = (xi )ni=1 , y = (yi )ni=1 ⇒ xi ≥ 0, yi ≥ 0, ∀i = 1, 2, ..., n Ta có x + y = (xi + yi )ni=1 Vì xi ≥ 0, yi ≥ 0, ∀i = 1, 2, ..., n ⇒ xi + yi ≥ 0, ∀i = 1, 2, ..., n ⇒ x + y ∈ K. +/∀x ∈ K, ∀t ≥ 0 ta chỉ ra tx ∈ K. Do x ∈ K, x = (xi )ni=1 , ⇒ xi ≥ 0, ∀i = 1, 2, ..., n, lại do t ≥ 0 nên txi ≥ 0 ∀i = 1, 2, ..., n, mà tx = (txi )ni=1 nên tx ∈ K. +/∀x ∈ K, x 6= θ ta chỉ ra −x ∈ K. Do x ∈ K, x = (xi )ni=1 , x 6= θ ⇒ ∃xk 6= 0, k ∈ {i = 1, 2, ..., n} hay −x > 0. Mặt khác −x = (−x)ni=1 trong đó có −xk < 0, nên −x 6= K. Từ các điều đã chỉ một)nón. ( ra ở trên, ta kết luận K là n 1 X 2/ Cho tập F = (xi )ni=1 : xi ∈ R, xi ≥ ≤ 1 ta chứng minh 2n i=1 K(F ) = {x ∈ Rn : x = tz, t ∈ R, t ≥ 0, z ∈ F } là một nón. 1 +/ Ta có F 6= ∅ vì phần tử x = (xi )ni=1 ∈ F với xi = n +/Ta chỉ ra F là tập lồi;

∀i = 1, 2, ..., n.

∀x, y ∈ F, ∀λ ∈ [0; 1] ta cần chứng minh λx + (1 − λ) ∈ F. Do x, y ∈ F n 1 X n x = (xi )i=1 , xi ∈ R, xi ≥ xi ≤ 1 , 2n i=1 14

(yi )ni=1 ,

y=

n 1 X , yi ≤ 1 yi ∈ R, yi ≥ 2n i=1

Ta có ∀i = 1, 2, ..., n ∀λ ∈ [0; 1], vì xi ≥

1 1 , yi ≥ ∀i = 1, 2, ..., n 2n 2n

nên: λxi ≥ λ

1 , 2n

(1 − λ)yi ≥ (1 − λ)

1 1 1 ⇒ λxi + (1 − λ)yi ≥ + (1 − λ) 2n 2n 2n

⇒ λxi + (1 − λ)yi ≥ vì

n X

xi ≤ 1,

i=1

n X

=

n X

xi ≤ λ,

i=1 n X i=1

λxi +

n X

(1.4)

yi ≤ 1 ∀i = 1, 2, ..., n nên:

i=1

λxi = λ

i=1

n X

1 ∀i = 1, 2, ..., n 2n

n X

(1−λ)yi = (1−λ)

i=1

n X

yi ≤ (1−λ) ⇒

i=1

(1 − λ)yi = λ

i=1

n X

xi + (1 − λ)

i=1

n X

n X

(λxi + (1 − λ)yi

i=1

yi ≤ λ + (1 − λ) = 1 (1.5)

i=1

Mà λx+(1−λ)y = (λxi +(1−λ)yi )ni=1 nên từ (1.4),(1.5) ta có λx+(1−λ) ∈ F hay tập F là tập lồi. +/ Ta chứng minh F là tập đóng. (m)

(m)

Trong F lấy tuỳ ý dãy x(m) , x(m) = (xi ), xi

∈ Rn , ∀i = 1, 2, ... và

x(m) → x khi m → ∞, x = (xi ), i = 1, 2, ..., n. Ta sẽ chứng tỏ x ∈ F . Vì sự hội tụ trong không gian Rn tương đương với sự hội tụ theo toạ độ, nên từ (m)

x(m) → x khi m → ∞ ta có xi

→ xi khi m → ∞.∀i = 1, 2, ..., n. Nhưng vì n 1 X (m) (m) với mỗi i = 1, 2, ..., n và với mỗi m = 1, 2, ... ta có xi ≥ , x ≤1 2n i=1 i n 1 X do đó xi ∈ R, xi ≥ , xi ≤ 1 ⇒ x ∈ F. Vậy F là tập đóng. 2n i=1 +/ Rõ ràng từ định nghĩa tập F thì F không chứa phần tử không. Ta có ∀x = (xi )ni=1 ∈ F từ định nghĩa tập F suy ra 0 < xi < 1∀i = n n X X 2 2 1, 2, ..., n ⇒ xi < xi ∀i = 1, 2, ..., n ⇒ xi < xi ≤ 1 từ đó kxk = i=1 i=1 s n P x2i < 1 nên tập F là tập bị chặn. i=1

Vậy theo định lý 1.1.1 thì K(F ) là một nón. 15

Ví dụ 1.3. Trong không gian tuyến tính thực C[a;b] , với mỗi hàm số bất kỳ x ∈ C[a;b] ta đặt: kxk = max |x(t)|

(1.6)

a≤t≤b

+/ Do ∀x ∈ C[a;b] , x(t) là một hàm số liên tục trên đoạn [a; b] nên hàm số |x(t)| cũng liên tục trên đoạn [a; b]. Suy ra công thức (1.6)xác định một ánh xạ từ tích Descartes C[a;b] × C[a;b] vào tập số thực R. Ta sẽ chỉ ra công thức (1.6) cho một chuẩn trên C[a;b] . Thật vậy: +/ Theo cách đặt, rõ ràng ∀x ∈ C[a;b]

kxk = max |x(t)| ≥ 0 a≤t≤b

kxk = 0 ⇔ max |x(t)| = 0 ⇔ |x(t)| = 0 ∀t ∈ C[a;b] ⇔ x(t) = 0 ∀t ∈ C[a;b] ⇔ a≤t≤b

x=θ +/ ∀x ∈ C[a;b] , ∀α ∈ R, ta có: kαxk = max |(αx)(t)| = max |αx(t)| = |α| max |x(t)| = |α|kxk a≤t≤b

a≤t≤b

a≤t≤b

+/ ∀x ∈ C[a;b] ta có: kx + yk = max |(x + y)(t)| a≤t≤b

Mặt khác, ∀t ∈ C[a;b] , |(x+y)(t)| = |x(t)+y(t)| ≤ |x(t)|+|y(t)| ≤ max |x(t)|+ a≤t≤b

max |y(t)|

a≤t≤b

từ đó max |(x + y)(t)| ≤ max |x(t)| + max |y(t)| hay kx + yk ≤ kxk + kyk. a≤t≤b

a≤t≤b

a≤t≤b

Vậy công thức (1.6) cho ta một chuẩn trên không gian C[a;b] nên không gian tuyến tính C[a;b] cùnh với công thức (1.6) là không gian định chuẩn. Không gian định chuẩn tương ứng kí hiệu là C[a;b] Ta chứng minh không gian C[a;b] là không gian Banach. Trước hết, ta chứng minh sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian C[a;b] tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên [a; b]. Thật vậy, giả sử dãy hàm (xn ) ⊂ C[a;b] hội tụ tới hàm x trong không gian C[a;b] . Theo định nghĩa, ∀ > 0, ∃n0 ∈ N ∗ , ∀n > n0 , kxn − xk = max |(xn − x)(t)| = max |xn (t) − a≤t≤b

a≤t≤b

x(t)| <  từ đó suy ra |xn (t) − x(t)| <  ∀n ≥ n0 , ∀t ∈ [a; b]

(1.7)

Các bất đẳng thức (1.7) chứng tỏ dãy hàm số liên tục (xn (t)) hội tụ đều tới 16

hàm số x(t) trên đoạn [a; b] Ngược lại, giả sử dãy hàm (xn (t)) các hàm số liên tục trên [a; b], nghĩa là (xn ) ⊂ C[a;b] , hội tụ đều tới hàm số x(t) trên [a; b]. Khi đó x(t) liên tục trên [a; b], theo định nghĩa sự hội tụ đều của dãy hàm, thì ∀ > 0, ∃n0 ∈ N ∗ , ∀n > n0 ⇔ kxn − xk <  ∀n ≥ n0 . Do đó dãy (xn (t)) hội tụ tới hàm số x(t) theo chuẩn của không gian C[a;b] . Bây giờ, ta chứng minh không gian C[a;b] là không gian Banach. Thật vậy, giả sử (xn ) là dãy cơ bản tuỳ ý trong không gian C[a;b] . Theo định nghĩa dãy cơ bản ∀ > 0, ∃n0 ∈ N ∗ , ∀m, n > n0 , kxn − xm k <  hay max |xn (t) − xm (t)| <  ⇔ |xn (t) − xm (t)| <  ∀m, n ≥ n0 , ∀t ∈ [a; b] (1.8)

a≤t≤b

Các bất đẳng thức (1.8) chứng tỏ với mỗi t cố định tuỳ ý thuộc [a; b] dãy (xn (t)) là dãy số thực cơ bản, nên phải tồn tại giới hạn lim xn (t) = x(t), ∀t ∈ n→∞

[a; b]. Ta nhận được hàm số x(t) xác định trên [a; b]. Vì các bất đẳng thức (1.8) không phụ thuộc m nên cho qua giới hạn các bất đẳng thức này khi m → ∞ ta được |xn (t) − x(t)| ≤ ∀n ≥ n0 , ∀t ∈ [a; b]. Điều này chứng tỏ dãy hàm số (xn ) ⊂ C[a;b] hội tụ đều đến hàm số x(t) trên [a; b] nên x ∈ C[a;b] . Do sự hội tụ trong không gian C[a;b] tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên [a; b], nên dãy cơ bản (xn ) đã cho hội tụ tới x trong không gian C[a;b] . Vậy không gian C[a;b] là không gian Banach. Trong không gian Banach C[a;b] :  1/ cho tập K = x ∈ C[a;b] : x(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b] ta chứng minh K là một nón. Thật vậy: +/ Trước hết ta chỉ ra K là một tập đóng. Lấy trong K dãy hàm (xn ) tuỳ ý, n ∈ N ∗ và giả sử xn → x khi n → ∞. Do sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian C[a;b] tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên [a; b], nên ta có xn (t) → x(t) khi n → ∞, ∀t ∈ [a; b] vì xn ∈ K, nên xn (t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b], ∀n, do đó 17

x(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b] ⇒ x ∈ K, nên K là tập đóng. +/ ∀x, y ∈ K ta chỉ ra x + y ∈ K. Vì x, y ∈ K nên x(t) ≥ 0, y(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a; b] ⇒ (x + y)(t) = x(t) + y(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b], nên x + y ∈ K. +/ ∀x ∈ K, ∀α ≥ 0 ta chỉ ra αx ∈ K. Vì x, y ∈ K nên x(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a; b], lại do α ≥ 0 nên αx(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a; b], nên αx ∈ K +/ ∀x ∈ K, x 6= θ (θ là kí hiệu hàm số đồng nhất không) ta chỉ ra −x ∈ /K Do x ∈ K ⇒ x(t) ≥ 0, ∀t ∈ [a; b] vì x 6= θ, nên tồn tại t0 ∈ [a; b] để x(t0 ) > 0 ⇒ (−x)(t0 ) = −x(t0 ) < 0, nên −x ∈ / K. Vậy K là một nón.  2/ Cho tập F = x ∈ C[a;b] : 1 ≤ x(t) ≤ 2 ∀t ∈ [a; b] , ta chứng minh  K(F ) = x ∈ C[a;b] : x = tz, t ∈ R, t ≥ 0, z ∈ F là một nón. Thật vậy: +/ Rõ ràng F 6= ∅ vì với x(t) = 1 ∀t ∈ C[a;b] ⇒ x ∈ F. +/ Ta chỉ ra F là tập lồi. ∀x, y ∈ F, ∀λ ∈ [0; 1] ta cần chứng minh λx+(1−λ)y ∈ F. Thật vậy: Do x, y ∈ F nên 1 ≤ x(t) ≤ 2, 1 ≤ y(t) ≤ 2 ∀t ∈ [a; b] nên ta có λ ≤ λx(t) ≤ 2λ, và (1 − λ) ≤ (1 − λ)y(t) ≤ 2(1 − λ) t ∈ [a; b] ⇒ 1 ≤ λx(t) + (1 − λ)y(t) ≤ 2 ∀t ∈ [a; b] ⇒ 1 ≤ [λx + (1 − λ)y] (t) ≤ 2 ∀t ∈ [a; b] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ F. Nên F là tập lồi. +/ Ta chỉ ra F là tập đóng. Lấy tuỳ ý trong F dãy hàm xn , n ∈ N ∗ và giả sử xn → x khi n → ∞. Do sự hội tụ của một dãy điểm trong không gian C[a;b] tương đương với sự hội tụ đều của dãy hàm liên tục trên [a; b], nên ta có dãy hàm xn (t) hội tụ đều tới hàm x(t) trên [a; b] khi n → ∞ ∀t ∈ [a; b]. Vì xn ∈ F , nên 1 ≤ xn (t) ≤ 2 ∀t ∈ [a; b], ∀n, do đó 1 ≤ x(t) ≤ 2∀t ∈ [a; b] ⇒ x ∈ F, nên F là tập đóng. Từ định nghĩa của tập F ta có: ∀x ∈ F thì 1 ≤ x(t) ≤ 2 ∀t ∈ [a; b] nên 1 ≤ min |x(t)| ≤ max |x(t)| ≤ a≤t≤b

18

a≤t≤b

2 ⇒ x(t) 6= θ∀t ∈ [a; b] và 1 ≤ kxk ≤ 2, do đó tập F không chứa phần tử không và là tập bị chặn. Vậy K(F ) là một nón. Ví dụ 1.4. ( Trong không gian Banach thực ) Lp [a; b] : Rb Lp [a; b] = x = x(t) : |x(t)|p dt < +∞ Với mỗi x = x(t) ∈ Lp [a; b], đặt a



Zb

kxk = 

 p1 |x(t)|p dt

(1.9)

a

1/ Tập K = {x = x(t) ∈ Lp [a; b] : x(t) ≥ 0 h.k.n /[a; b]} là một nón. Thật vậy: + Hiển nhiên K 6= ∅ (vì θ ∈ K). + Ta chỉ ra K là tập đóng . Lấy dãy tuỳ ý {xn }∞ n=1 ⊂ K hội tụ tới x ∈ Lp [a; b] tức là lim xn = x trong n→∞

Lp [a; b]. ⇒ ∀t ∈ [a; b] : lim xn (t) = x(t) và xn (t) ≥ 0 hầu khắp nơi (h.k.n) trên n→∞

[a; b], ∀n = 1, 2, ... ⇒ x(t) ≥ 0 h.k.n /[a; b]. Suy ra K là tập đóng. + Với ∀ ∈ K nên ta có x = x(t) ≥ 0 h.k.n /[a; b] và y = y(t) ≥ 0 h.k.n /[a, b] ⇒ x + y = (x + y)(t) = x(t) + y(t) ≥ 0 h.k.n /[a; b] ⇒ x + y ∈ K. + Với ∀x ∈ K, ∀α ∈ R, α ≥ 0 : x = x(t) ≥ 0 h.k.n /[a; b] ⇒ αx = α · x(t) ≥ 0 h.k.n /[a; b] ⇒ αx ∈ K. + với ∀x ∈ K : x 6= θ tức là x = x(t) ≥ 0 h.k.n /[a; b] và ∃t0 ∈ [a; b] : x(t0 ) > 0. khi đó với −x = −x(t) ta có ∃t0 ∈ [a; b] : −x(t0 ) < 0. Suy ra −x ∈ K. Vậy tập K là một nón trong không gian Lp [a; b]. 2/ Tập F = {x ∈ Lp [a; b] : 1 ≤ x(t) ≤ 2 h.k.n /[a; b]}. khi đó tập K(F ) = {x ∈ Lp [a; b] : x = tz, t ∈ R+ , z ∈ F } là một nón. Thật vậy: + F là tập con khác rỗng của không gian Lp [a; b] vì x = x(t) = 1 h.k.n /[a; b] thuộc F . 19

+F không chứa phần tử θ, điều này suy ra từ định nghĩa tập F . +Ta chỉ ra F là tập lồi ∀x, y ∈ F, ∀λ ∈ [0; 1] ta có: 1 ≤ x(t) ≤ 2, 1 ≤ y(t) ≤ 2 h.k.n /[a; b] ⇒ λ · x(t) + (1 − λ) · y(t) ≥ λ · 1 + (1 − λ) · 1 = 1 h.k.n /[a; b] và λ · x(t) + (1 − λ) · y(t) ≤ λ · 2 + (1 − λ) · 2 = 2 h.k.n /[a; b] ⇒ 1 ≤ λ · x(t) + (1 − λ) · y(t) ≤ λ · 2 h.k.n /[a; b] ⇒ λ · x + (1 − λ) · y ∈ F . Suy ra F là tập lồi. + Ta chỉ ra F là tập đóng. Giả sử lấy dãy bất kỳ (xn ) = (xn (t)) ⊂ F hội tụ về x = x(t). do lim xn (t) = x(t), ∀t ∈ [a; b] và xn (t) ≥ 1 h.k.n /[a; b] suy ra x(t) ≥ 1 h.k.n

n→∞

/[a; b]. Tương tự ta cũng có x(t) ≤ 2 h.k.n /[a; b]. Do đó x ∈ F. Vậy F là tập đóng. + Ta chỉ ra F bị chặn. Với ∀x = x(t) ∈ F nên 1 ≤ x(t) ≤ 2 h.k.n /[a; b] ⇒ ∃ > 0 : |x(t)| ≤  p1  b Zb Z p  p , ∀t ∈ [a; b] ⇒ |x(t)| dt ≤ ⇒ kxk =  |x(t)|p dt ≤ 1 b−a (b − a) p a

a

Suy ra F là tập bị chặn. Từ các kết quả ở trên, áp dụng định lý 1.1.1, suy ra K(F ) là một nón. 1.1.3.

Quan hệ sắp thứ tự trong không gian Banach thực

Cho E là một không gian Banach thực, K là một nón trên E. ∀x, y ∈ E, ta viết x ≤ y (hoặc x < y) nếu y − x ∈ K (hoặc x − y ∈ / K\ {θ}). Khi đó, quan hệ “ ≤ ” là một quan hệ sắp thứ tự trong E. Thật vậy: +)∀x ∈ E. Ta sẽ chỉ ra x ≤ x. Do x − x = θ ∈ K nên x ≤ x. Vậy quan hệ “ ≤ ” có tính chất phản xạ. +)∀x, y ∈ E mà x ≤ y và y ≤ x. Ta sẽ chỉ ra x = y. giả sử x 6= y. Do x ≤ y và y ≤ x nên ( y − x ∈ K\ {θ} x − y ∈ K\ {θ}

20

⇒ y − x + x − y ∈ K\ {θ} ⇔ θ ∈ K\ {θ} điều này không thể xảy ra nên x = y. Vậy quan hệ “ ≤ ” có tính chất phản đối xứng. +)∀x, y, z ∈ E mà x ≤ y, y ≤ z. Ta sẽ chỉ ra x ≤ z. Do x ≤ y, y ≤ z nên ( y−x∈K z−y ∈K ⇒ y − x + z − y ∈ K ⇔ z − x ∈ K ⇔ x ≤ z. Vậy quan hệ “ ≤ ” có tính chất bắc cầu. Do đó, quan hệ “ ≤ ” là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian E với nón K. Hoàn toàn tương tự, ta có thể chỉ ra được quan hệ “ < ” là một quan hệ thứ tự nghiêm ngặt trong không gian E. Lúc này ta nói không gian Banach thực E cùng với nón K là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. Không gian Banach thực nửa sắp thư tự nói trên có một số tính chất đơn giản như sau ∞ 1/ ∀(xn )∞ n=1 ⊂ E, (yn )n=1 ⊂ E.xn ≤ yn ∀n = 1, 2, ... lim xn = x, lim yn = n→∞

n→∞

y trong E, thì x ≤ y. 2/ Giả sử có u0 ∈ K và x ∈ E. Nếu ∃t ∈ R sao cho x ≤ tu0 thì x ≤ γu0

∀γ > t.

3/ Giả sử có u0 ∈ K và x0 ∈ E sao cho ∃t0 ∈ R : x0 ≤ t0 u0 khi đó tìm được số thực t nhỏ nhất sao cho x0 ≤ tu0 . 4/ Giả sử có u0 ∈ K và x0 ∈ E sao cho ∃t1 > 0 : x0 ≥ −t1 u0 thì tìm được số thực t ≥ 0 nhỏ nhất sao cho x0 ≥ −tu0 .

Ví dụ 1.5. Ta đã biết không gian R1 là không gian Banach thực và tập  K = x ∈ R1 , x ≥ 0 là một nón (Ví dụ 1.1.1) Quan hệ “ ≤ ” trong R với x, y ∈ R ta viết x ≤ y nếu y − x ∈ K. Khi đó, quan hệ “ ≤ ” là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian R1 . Do định nghĩa nón K ở trên và quan hệ “ ≤ ” nên ta thấy quan hệ thứ tự trong R1 chính là quan hệ thứ tự thông thường trên tập số thực R. 21

Ví dụ 1.6. Ta đã biết không gian Rn là không gian Banach thực với nón K = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn } : xi > 0, ∀i = 1, 2, ..., n (Ví dụ 1.1.2) Bây giờ ta định nghĩa quan hệ “ ≤ ” trong Rn như sau: Với x, y ∈ Rn ta viết x ≤ y nếu y − x ∈ K. Khi đó quan hệ “ ≤ ” là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian Rn . Mặt khác, vì hai phần tử tuỳ ý trong không gian Rn có thể không có quan hệ “ ≤ ”, chẳng hạn: x = (0, 1, 1, ..., 1, 3), y = (2, 2, ..., 2, 1) Vì vậy, không gian Banach thực Rn cùng với nón K trở thành không gian nửa sắp rhứ tự. Lúc này ta có với x = (xi )ni=1 ∈ Rn , y = (yi )ni=1 ∈ Rn ,

x ≤ y ⇔ xi ≤ yi

∀i = 1, 2, ..., n.

Thật vậy, x ≤ y ⇔ y − x ≤ θ ⇔ yi − xi ≥ 0 ∀i = 1, 2, ..., n ⇔ xi ≤ yi

∀i = 1, 2, ..., n

Ví dụ 1.7. Không gian C[a;b] là không gian Banach thực và tập  K = x ∈ C[a;b] : x(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b] là một nón (Ví dụ 1.1.3) Bây giờ ta đinh nghĩa quan hệ “ ≤ ” trong C[a;b] như sau: Với x, y ∈ C[a;b] ta viết x ≤ y nếu y − x ∈ K. Khi đó quan hệ “ ≤ ” là một quan hệ sắp thứ tự trong không gian C[a;b] . Mặt khác, vì hai phần tử tuỳ ý trong không gian C[a;b] có thể không có quan hệ “ ≤ ”, chẳng hạn: x(t) = t − a, y(t) = a + b ∀t ∈ [a; b] Vì vậy, không gian Banach thực C[a;b] cùng với nón K trở thành không gian nửa sắp rhứ tự. Lúc này ta có với x, y ∈ C[a;b] , x ≤ y ⇔ x(t) ≤ y(t) ∀t ∈ [a; b]. Thật vậy, x ≤ y ⇔ (y − x)(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b] ⇔ y(t) − x(t) ≥ 0 ∀t ∈ [a; b] ⇔ x(t) ≤ y(t) ∀t ∈ C[a;b]

22

1.2.

Không gian Eu0

1.2.1.

Định nghĩa

Cho E là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với nón K và u0 ∈ K\ {θ} . Phần tử x ∈ E gọi là u0 - đo được nếu ∃t1 , t2 ≥ 0 sao cho −t1 u0 ≤ x ≤ t2 u0

(1.10)

Ta kí hiệu cận dưới đúng của các số không âm t1 thoả mãn (1.10) là α = α (x) , cận dưới đúng của các số t2 ≥ 0 thoả mãn (1.10) là β = β (x) . Khi đó (1.10) trở thành −α (x) · u0 ≤ x ≤ β (x) · u0 1.2.2.

(1.11)

Không gian Eu0

Kí hiệu Eu0 là tập tất cả các phần tử x ∈ E có tính chất u0 - đo được thế thì Eu0 là một không gian tuyến tính thực. Thật vậy +) ∀x, y ∈ Eu0 ta chứng minh x + y ∈ Eu0 . Do x, y ∈ Eu0 nên tồn tại các số thực dương t1 , t2 , t3 , t4 sao cho −t1 u0 ≤ x ≤ t2 u0 và −t3 u0 ≤ y ≤ t4 u0 từ đó ta có − (t1 + t3 ) u0 ≤ x + y ≤ (t2 + t4 ) u0 . vì vậy x, y ∈ Eu0 . +) ∀x ∈ Eu0 , ∀λ ∈ R ta chứng minh λx ∈ Eu0 . Do x ∈ Eu0 nên tồn tại các số dương t1 , t2 sao cho −t1 u0 ≤ x ≤ t2 u0 Nếu λ ≥ 0 thì −(λt1 )u0 ≤ λx ≤ (λt2 )u0 Nếu λ < 0 thì −λ > 0 và −(−λ)t1 u0 ≥ (−λ)x ≥ (−λ)t2 u0 ⇔ −(−λ)t2 u0 ≤ λx ≤ (−λ)t1 u0 do đó ∀x ∈ Eu0 , ∀λ ∈ R ta luôn có λx ∈ Eu0 . Vậy Eu0 là một không gian tuyến tính thực. Hơn nữa không gian Eu0 còn là một không gian định chuẩn với chuẩn k · ku0 được xác định như sau: ∀x ∈ Eu0 , kxku0 = max {α (x) , β (x)}

(1.12)

Thật vậy : Ta nhận thấy ngay k · ku0 xác định một ánh xạ từ không gian E vào R. 23

+)∀x ∈ Eu0 , do (1.11), (1.12) nên kxku0 ≥ 0 kxku0 = 0 ⇔ max {α (x) , β (x)} = 0 ⇔ α (x) = β (x) = 0 ⇔ x = θ +)∀x ∈ Eu0 , ∀λ ∈ R Do x ∈ Eu0 nên ∃t1 , t2 ∈ R, t1 ≥ 0, t2 ≥ 0 : −t1 u0 ≤ x ≤ t2 u0 . Nếu λ ≥ 0 thì −λt1 u0 ≤ λx ≤ λt2 u0 ⇒ inf λt1 = λ inf t1 = λα (x) , inf λt2 = λ inf t2 = λβ (x) Từ đó kλxku0 = max {λα (x) , λβ (x)} = λ max {α (x) , β (x)} = λkxku0 = |λ| kxku0 Nếu λ < 0 thì −λt1 u0 ≥ λx ≥ λt2 u0 ⇔ −(−λ)t1 u0 ≤ −λx ≤ −(−λ)t2 u0 ta có: inf (−λt2 ) = −λ inf t2 = −λβ (x) , inf (−λt1 ) = −λ inf t1 = −λα (x) Nên suy ra kλxku0 = max {(−λ) β (x) , (−λ) α (x)} = −λ max {β (x) , α (x)} =

(−λ) kxku0 = |λ| kxku0 .

Tóm lại , ∀x ∈ Eu0 , ∀λ ∈ R ta luôn có kλxku0 = |λ| kxku0 . +)∀x, y ∈ Eu0 , ta sẽ chứng minh kx + yku0 ≤ kxku0 + kyku0 Do x, y ∈ E ⇒ ∃t1 , t2 , t3 , t4 ∈ R : −t1 u0 ≤ x ≤ t2 u0 , −t3 u0 ≤ y ≤ t4 u0 ⇒ − (t1 + t3 ) u0 ≤ x + y ≤ (t2 + t4 ) u0 Từ inf (t1 = t3 ) u0 ≤ t1 + t3 ⇒ inf (t1 + t3 ) ≤ inf t1 + inf t3 , tương tự ta có inf (t2 + t4 ) ≤ inf t2 + inf t4 . ta cũng có max {inf (t1 + t3 ) , inf (t2 + t4 )} = kx + yku0 . Giả sử kx + yk = inf(t1 + t3 ) thế thì kx + yk =≤ inf t1 + inf t3 ≤ max {inf t1 + inf t2 } + max {inf t2 + inf t4 } từ đó ta có kx + yku0 ≤ kxku0 + kyku0 . Tương tự cho trường hợp kx + yku0 = inf(t1 + t2 ) nên ta có kx + yku0 ≤ kxku0 + kyku0 ∀x, y ∈ Eu0 . Như vậy công thức (1.12) xác định một chuẩn trong Eu0 . Không gian Eu0 cùng với chuẩn k · k là một không gian định chuẩn. Chuẩn xác định bởi công thức (1.12) ta gọi là u0 - chuẩn.

24

1.3.

Một số định lý về nón

1.3.1.

Các định nghĩa

Định nghĩa 1.2. Cho không gian Banach thực E với nón K. Nón K được gọi là nón chuẩn nếu ∃δ > 0, ∀e1 , e2 ∈ K : ke1 k = ke2 k = 1 thì ke1 + e2 k ≥ δ. Ví dụ 1.8. Trong không gian Banach thực Rn , với nón: K = {x = (x1 , x2 , ..., xn ) ∈ Rn : xi ≥ 0, ∀i = 1, 2, ..., n} Khi đó K là một nón chuẩn. Thật vậy, xét ∀e1 , e2 ∈ K, e1 = (xi )ni=1 , e2 = (yi )ni=1 : ke1 k = ke2 k = 1. Khi đó xi ≥ 0, yi ≥ 0, ∀i = 1, 2, ..., n,

v v u n u n uX uX t x2i = t yi2 = 1

i=1 i=1 v v u n u n uX uX ⇒ ke1 + e2 k = t (xi + yi )2 ≥ t x2i = 1 = δ. i=1

i=1

Vậy K là một nón chuẩn. Ví dụ 1.9. Trong không gian Banach thực l2 với nón K = {x = (xn )∞ n=1 ∈ l2 : xn ≥ 0, ∀n = 1, 2, ...} Khi đó K là một nón chuẩn. Thật vậy, xét ∀e1 , e2 ∈ K e1 = (xi )ni=1 , e2 = (yi )ni=1 : ke1 k = ke2 k = 1 Khi đó xi ≥ 0, yi ≥ 0, ∀i = 1, 2, ..., n,

v v u∞ u∞ uX uX t x2n = t yn2 = 1

n=1 n=1 v v u∞ u∞ uX uX ⇒ ke1 + e2 k = t (xn + yn )2 ≥ t x2n = 1 = δ. n=1



∗

Do ∀k ∈ N :

yn )2 ≥

∞ X

k X

2

(xn + yn ) ≥

n=1

x2n

cho (k → ∞)

k X

x2n

⇒

n=1

∞ X n=1



n=1

Vậy K là một nón chuẩn. 25

2

n=1 k X

(xn + yn ) ≥

n=1

x2n

⇒

∞ X n=1

(xn +

Định nghĩa 1.3. Cho không gian Banach thực E với nón K và hai phần tử x, y ∈ K\ {θ} . Phần tử y được gọi là thông ước với phần tử x nếu tồn tại các số dương c và d sao cho cx ≤ y ≤ dx.

Nhận xét 1.1. Với x, y ∈ K\ {θ}, nếu phần tử y thông ước với phần tử x thì phần tử x thông ước với phần tử y. Ta kí hiệu K(u0 ) là tập tất cả các phần tử thuộc K\ {θ} thông ước với phần tử u0 ∈ K\ {θ} cho trước. Định nghĩa 1.4. Cho không gian Banach thực E với nón K. Chuẩn trên không gian E được gọi là nửa đơn điệu, nếu ∃N > 0, ∀x, y ∈ K mà x ≤ y thì kxkE ≤ N kykE . 1.3.2.

Một số định lý về nón

Định lý 1.2. Giả sử K là một nón trong không gian Banach thực E. khi đó nón K là nón chuẩn khi và chỉ khi ∃M > 0, ∀y ∈ K\ {θ} , ∀x ∈ Ey sao cho kxkE ≤ M kxky · kykE

Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử K là nón chuẩn, ta chứng minh ∃M > 0, ∀y ∈ K\ {θ} , ∀x ∈ Ey sao cho kxkE ≤ M kxky · kykE

(1.13)

Giả sử (1.13) không xảy ra, tức là ∀n ∈ N ∗ , ∃yn ∈ K\ {θ} , ∃xn ∈ Eyn sao cho kxkE > nkxn kyn · kyn kE ⇒ kxn kyn <

kxn kE nkyn kE

(1.14)

Từ đây ta cũng có kxn kE 6= 0. Thoả mãn: −α (x) · yn ≤ x ≤ β (x) · yn . Từ định nghĩa chuẩn trong không gian Eyn ta luôn có −kxn kyn · yn ≤ xn ≤ kxn kyn · yn

(1.15)

Điều này có được vì xn ∈ Eyn nên ∃t1 , t2 ≥ 0 sao cho −t1 yn ≤ x ≤ t2 yn 26

(1.16)

Ta kí hiệu cận dưới đúng của các số không âm t1 thoả mãn (1.16) là α (x), cận dưới đúng của các số không âm t2 thoả mãn (1.16) là β (x). Khi đó (1.16) trở thành −α (x) · yn ≤ xn ≤ β (x) · yn

(1.17)

kxn kyn = max {α (x) ; β (x)}

(1.18)

Ta cũng có

Từ (1.17),(1.18) ta có (1.15). Từ (1.14),(1.15), ta suy ra: −

kxn kE yn xn yn kxn kE · yn ≤ xn ≤ · yn ⇔ − ≤ ≤ nkyn kE nkyn kE nkyn kE kxn kE nkyn kE

. yn xn yn xn + , hn = − + thì gn , hn ∈ K. kxn kE nkyn kE kxn kE nkyn kE Ta sẽ chứng minh gn , hn 6= θ.



x

y

1

n

n Giả sử gn = 0, ta có kgn kE ≥

−

= 1− > 0, ∀n ∈

kxn kE

nkyn kE n

Đặt gn =

N ∗.

E

E

Điều này không thể xảy ra, nên gn 6= θ. Hoàn toàn tương tự, ta cũng có hn 6= θ.





hn gn

gn

hn ∈ K, ∈ K và Lúc này

= 1,

= 1.

kgn kE

khn kE kgn kE khn kE E

E

Do nón K là nón chuẩn nên

g hn

n ∃δ > 0 : +

≥ δ, ∀n ∈ N ∗

kgn kE khn kE Mặt khác, gn hn 2yn kgn kE − khn kE + = + kgn kE khn kE nkyn kE · kxn kE kgn kE · khn kE Ta có



x

y

1



n n kgn kE ≥

−

=1−

nkyn kE

kxn kE n E

Và

E





xn 1

yn khn kE ≤ −

+

=1+

nkyn kE kxn kE n E

27

E

(1.19)



g

4 hn 2

n

gn ⇒ kgn kE − khn kE ≤ ⇒ + ⇒ lim +

≤ x→∞ kgn kE

kgn kE n khn kE n−1

hn

=0 khn kE Điều này mâu thuẫn với lập luận (1.19). Vì vậy nếu nón K là nón chuẩn, thì ta có ∃M > 0, ∀y ∈ K\ {θ} , ∀x ∈ Ey sao cho kxkE ≤ M kxky · kykE Điều kiện đủ: Giả sử nón K thoả mãn điều kiện ∃M > 0, ∀y ∈ K\ {θ} , ∀x ∈ Ey sao cho kxkE ≤ M kxky · kykE Ta sẽ chỉ ra nón K là nón chuẩn. Xét các x, y ∈ K mà kxkE = kykE = 1,ta có x + y ∈ K\ {θ}. Do − (x + y) ≤ x ≤ x + y nên x ∈ Ex+y , kxkx+y ≤ 1. Theo giả thiết của định lý, ∃M > 0 sao cho 1 kxkE ≤ M kxkx+y · kx + yk ⇒ kxkE ≤ M kx + ykE ⇒ kx + ykE ≥ = δ. M 1 Như vậy, ∃δ = ; ∀x, y ∈ K : kxk = kyk = 1 để kx + yk ≥ δ. M Vậy K là nón chuẩn. Định lý 1.3. Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự với nón K. Nón K là nón chuẩn khi và chỉ khi chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu. Chứng minh. Điều kiện cần: Giả sử K là nón chuẩn, ta sẽ chỉ ra chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu. Theo định lý 1.3.1, ta có:∃M > 0, ∀x, y ∈ K, y 6= θ, x ≤ y thì kxkE ≤ M kxky · kykE ≤ M kykE . Nhưng bất đẳng thức này lại đúng với y = θ, do đó ∃M > 0, ∀x, y ∈ K : x ≤ y ⇒ kxkE ≤ M kykE . Vậy chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu. Điều kiện đủ: Giả sử chuẩn trên không gian E là nửa đơn điệu, ta sẽ chỉ ra nón K là nón chuẩn. Điều đó được chứng minh như sau: 28

∀x, y ∈ K, x ≤ y

∃N > 0 ⇒ kxkE ≥ N kykE ⇒ kxkE ≤ N kx + ykE , ∀x, y ∈

K Do đó ∀x, y ∈ K mà kxkE = kykE = 1 ta cũng có bất đẳng thức trên. 1 suy ra kxkE = 1 ≤ N kx+ykE ⇒ kx+ykE ≥ = δ. Vậy K là nón chuẩn. N Nhận xét 1.2. Từ định nghĩa chuẩn nửa đơn điệu và định lý 1.3.2 ta nhận thấy trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự E với nón K, nón K là nón chuẩn khi và chỉ khi ∀x, y ∈ K, x ≤ y

∃M > 0 ⇒ kxkE ≥ M kykE (Số

dương M không phụ thuộc vao x, y). Định lý 1.4. Cho không gian Banach thực nửa sắp thứ tự E với nón K và phần tử u ∈ K\ {θ} . Nếu K là nón chuẩn thì Ku = K(u) ∪ {θ} là một nón. Chứng minh. Ta chứng minh Ku là một tập đóng. Ku là một tập đóng khi nó chứa tất cả các điểm tới hạn khác không của nó Thật vậy: giả sử dãy (xn ) ⊂ K(u), xn −→ x 6= θ trong không gian E khi n −→ ∞. Với số dương tuỳ ý r ≤ kxk = q tồn tại số tự nhiên n0 sao cho ∀n ≥ n0 ta có |kxn k − kxk| ≤ kxn − xk ≤ r hay q − r < kxn k < q + r. Mặt khác, tồn tại các số dương cn , dn sao cho cn · u ≤ xn ≤ dn · u, n = 1, 2, .. Nhờ tính chuẩn của nón K nên có số dương N để cn kuk ≤ N kxn k và kxn ≤ N · dkuk. N 1 Đặt kuk = h, ta có cn ≤ kxn k, dn ≥ kxn k với n = 1, 2, ... h N ·h 1 N do đó sup ≤ (q + r), inf dn ≥ (q − r), từ đó suy ra tồn tại dãy con n≥n0 h N ·h n≥n0 đơn điệu tăng (cnk ) hội tụ tới c, dãy con đơn điệu giảm (dnk ) hội tụ tới d. Nhờ tính đóng của nón K, cho qua giới hạn khi n −→ ∞ trong các bất đẳng thức cnk · u ≤ xn ≤ dnk · u ta được c · u ≤ x ≤ d · u, nghĩa là x ∈ K(u). Bây giờ ta lấy hai phần tử bất kỳ x, y ∈ Ku và hai số không âm tuỳ ý a, b. Nếu một trong hai phần tử x và y là phần tử θ hoặc một trong hai số a và b bằng 0 thì hiển nhiên ax + by ∈ K. Còn nếu hai phần tử x, y đều khác hần tử θ và hai số a và b đều dương,

29

thì tồn tại các số dương c, d, c0 , d0 sao cho cu ≤ x ≤ du, c0 u ≤ y ≤ d0 u suy ra acu ≤ ax ≤ adu, bc0 u ≤ by ≤ bd0 u do đó (ac + bc0 )u ≤ ax + by ≤ (ad + bd0 )u nghĩa là ax + by ∈ K(u) = Ku . Cuối cùng, nếu x ∈ Ku ⊂ K, x 6= θ thì −x ∈ / K ⇒ −x ∈ / Ku . Vậy Ku là một nón. Định lý 1.5. Cho không gian Banach thực nửa sắp thứ tự E với nón K và phần tử u0 ∈ K\ {θ}. Nếu nón K là nón chuẩn thì không gian Eu0 là không gian Banach theo u0 - chuẩn. Chứng minh. Giả sử dãy (xn ) là dãy cơ bản tuỳ ý trong không gian Eu0 theo u0 - chuẩn, nghĩa là với số dương c tuỳ ý tìm được số tự nhiên n0 sao cho với mọi số n, m ≥ n0 ta có kxn − xm k < c hay −cu0 ≤ xn − xm ≤ cu0

(1.20)

Do đó: xn − xm + cu0 ∈ K và |kxn − xm kE − cku0 kE | ≤ kxn − xm + cu0 kE ≤ 2cN ku0 kE từ đó kxn − xm kE ≤ c(1 + 2N )ku0 k ∀m, n ≥ n0 . Do tính chất tuỳ ý của số dương c, dãy (xn ) là dãy cơ bản trong không gian Banach E, nên tìm được phần tử x ∈ E sao cho lim kxn − xkE = 0. n→∞

Cho qua giới hạn trong hệ thức (1.20) khi m −→ ∞ Ta được: −cu0 ≤ xn − x ≤ cu0 , ∀n ≥ n0 Vì vậy : xn − x ∈ E, do đó x ∈ Eu0 và kxn − xm ku0 < c, ∀n ≥ n0 . Vậy không gian Eu0 là không gian Banach theo u0 -chuẩn.

30

Chương 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA TOÁN TỬ U0-LÕM

2.1.

Các định nghĩa và ví dụ về toán tử u0 - lõm

2.1.1.

Các định nghĩa

Giả sử E là một không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với nón K, và phần tử u0 ∈ K\ {θ}. Toán tử A là toán tử tác dụng trong không gian E. M là một tập hợp con nào đó của E. Định nghĩa 2.1. Toán tử A gọi là dương trên M , nếu AM ⊂ K. Định nghĩa 2.2. Toán tử A gọi là đơn điệu trên M nếu đối với hai phần tử tuỳ ý x, y ∈ M sao cho x ≤ y ta có Ax ≤ Ay. Định nghĩa 2.3. Toán tử A gọi là u0 - đo được trên nón K, nếu ∀x ∈ K\ {θ} tồn tại các số thực α = α(x) > 0, β = β(x) > 0 sao cho α · u0 ≤ Ax ≤ β · u0 . Theo định nghĩa này, nếu toán tử A là toán tử u0 - đo dược thì Ax ∈ K (u0 ). Định nghĩa 2.4. Toán tử A gọi là lõm, nếu i, A đơn điệu, dương, u0 - đo được trên nón K; ii, ∀x ∈ K, ∀t ∈ (0; 1) thì Atx > tAx. Nhận xét 2.1. 1, Nếu A là toán tử lõm thì cA (c= const>0) cũng là toán tử lõm. Điều này được suy ra từ định nghĩa. 2, Nếu A là toán tử lõm thì A2 cũng là toán tử lõm. Điều này được chứng minh như sau: + Do A là toán tử dương trên nón K nên ∀x ∈ K, Ax ≥ θ ⇒ A2 x ≥ Ax ≥ θ, suy ra A2 là toán tử dương trên nón K. 31

+ Do Alà toán tử đơn điệu trên nón K, nên ∀x, y ∈ K : x ≤ y ⇒ Ax ≤ Ay ⇒ A(Ax) ≤ A(Ay) hay A2 x ≤ A2 y, suy ra A2 đơn điệu trên nón K. + Do A là toán tử u0 - đo được nên ∀ ∈ K\ {θ} , ∃α = α(x) > 0, β = β(y) > 0 sao cho α · u0 ≤ Ax ≤ β · u0 ⇒ Aαu0 ≤ A2 x ≤ Aβu0 . Mặt khác: αu0 ∈ K\ {θ} ⇒ ∃α1 , β1 > 0 : α1 αu0 ≤ Aαu0 ≤ β1 αu0 βu0 ∈ K\ {θ} ⇒ ∃α2 , β2 > 0 : α2 βu0 ≤ Aβu0 ≤ β2 βu0 ⇒ (α1 α)u0 ≤ A2 x ≤ (β2 β)u0 . Vậy A2 là toán tử u0 - đo được. + ∀x ∈ K, ∀t ∈ (0; 1) thì Atx > tAx. Từ đó A2 tx > A(tAx) > tA(Ax) = tA2 x Vậy A2 là toán tử lõm. Tương tự ta cũng chứng minh được: Nếu A là toán tử lõm thì An (n ∈ N ∗ , n ≥ 3) là toán tử lõm. 3, Nếu A, B là các toán tử lõm sao cho A, B là các toán tử cùng thoả mãn u0 ∈ K\ {θ} thì A + B cũng là toán tử lõm. Định nghĩa 2.5. Toán tử A gọi là toán tử u0 -lõm, nếu: i, A là toán tử đơn điệu và u0 - đo được trên nón K; ii, ∀x ∈ K(u0 ), ∀t ∈ (0; 1), ∃η = η(x, t) > 0 sao cho Atx > (1 + η)tAx.

Nhận xét 2.2. Nếu toán tử A là u0 - lõm thì ∀x ∈ K(u0 ), ∀t ∈ (0; 1) có Atx > tAx. Thật vậy, do toán tử A là u0 - lõm ,nên ∀x ∈ K (u0 ) , ∀t ∈ (0; 1), ∃η = η(x, t) > 0 sao cho Atx > (1 + η)tAx. Do 1 + η > 1 ⇒ (1 + η)tAx > tAx ⇒ Atx > (1 + η)tAx > tAx. 2.1.2.

Các ví dụ

Ví dụ 2.1. Ta biết, không gian R1 là không gian Banach thực, nửa sắp thứ tự với nón K = [0; +∞). Giả sử u0 inK\ {θ} = (0; +∞) là phần tử cố định, xét toán tử: A : K → R1 , Ax = 32

√

x

+/ Rõ ràng A(K) ⊂ K. Vậy A là toán tử dương. √ √ +/ ∀x, y ∈ K, x ≤ y ⇒ x ≤ y hay A(x) ≤ A(y). Vậy A là đơn điệu trên nón K. +/ Với u0 ∈ K\ {θ} =√(0; +∞), với mỗi√x ∈ K\ {θ} , ta lấy x x , β = β(x) ≥ 0 < α = α(x) ≤ u0 u0 √ khi đó αu0 ≤ x ≤ βu0 hay αu0 ≤ A(x) ≤ βu0 . Vậy A là toán tử u0 - đo được. +/ Ta đã có A là toán tử dương và u0 - đo được trên nón K với u0 ∈ √ K\ {θ} . Ta xét ∀x ∈ K\ {θ} , ∀t ∈ (0; 1), khi đó ta có A(tx) = tx ⇒ √ √ √ √ tA(x) = t x. Do t ∈ (0; 1) ⇒ t > t ⇒ tx > t x hay A(tx) > tA(x). Vậy A là toán tử lõm. +/ Ta có A là toán tử lõm. Với u0 ∈ K\ {θ} , ta xét x ∈ K\ {θ} , và với 1 mõi t ∈ (0; 1), ta có thể chọn 0 < η < √ − 1. khi đó t √ √ √ 1 0 < η < √ ⇒ 1 > (1 + η) t ⇒ tx > (1 + η)t x hay A(tx) > (1 + η)tA(x). t Vậy A là toán tử u0 - lõm. Ví dụ 2.2. Xét không gian Banach thực Rn , n ≥ 2 với nón K = {x = (xi )ni=1 , xi ∈ R+ }. Giả sử Ai : (0; +∞) → (0; +∞) i = 1, 2, ..., n là các toán tử u0,i - lõm với u0,i ∈ (0; +∞). Với phần tử u0 = (u0,i )ni=1 ∈ K\ {θ} , ta đặt toán tử A : K(u0 ) → Rn xác định bởi Ax = (A1 x1 , A2 x2 , ..., An xn ) ∀x = (xi )ni=1 ∈ K(u0 ) thế thì toán tử A là một toán tử u0 - lõm trên Rn Thật vậy: +/Do K = {x = (xi )ni=1 , xi ∈ R+ } nên K = Ta chứng minh K(u0 ) =

n Y

n Y

Ki , Ki = [0; +∞).

i=1

K (u0,i ) .

i=1

Giả sử x =

(xi )ni=1

∈ K(u0 ), khi đó tồn tại hai số dương c và d sao cho:

cu0 ≤ x ≤ du0 ⇔ cu0,i ≤ xi ≤ du0,i , ∀i = 1, 2, ..., n ⇒ xi ∈ K(ui )∀i = n Y 1, 2, ..., n ⇒ x ∈ K(ui ) i=1

33

Ngược lại, giả sử y =

(yi )ni=1

∈

n Y

K(ui ), khi đó với mỗi i = 1, 2, ..., n, tồn

i=1

tại hai số dương ci , di sao cho ci u0,i ≤ yi ≤ di u0,i . Đặt c = min {ci i = 1, 2, ..., n} max {di i = 1, 2, ..., n} , thì ci u0,i ≤ yi ≤ di u0,i )∀i = 1, 2, ..., n ⇔ cu0 ≤ y ≤ du0 ⇒ y ∈ K(u0 ) n Y Vậy K(u0 ) = K(u0,i ). +/x =

i=1 n (xi )i=1 , y =

(yi )ni=1 ∈ K(u0 ) mà x < y

⇔ xi ≤ yi ∀i = 1, 2, ..., n ⇔ Ai xi ≤ Ai yi ∀i = 1, 2, ..., n (do Ai là các toán tử đơn điệu trên nón (0; +∞)). Điều này chứng tỏ Ax ≤ Ay do đó toán tử A là đơn điệu trên K(u0 ). Bây giờ ta chứng minh toán tử A là u0 - đo được. Thật vậy ∀x = (xi )ni=1 ∈ K(u0 ), do các toán tử Ai là u0 - đo được, i = 1, 2, ..., n nên tồn tại các số dương ai , bi để cho ai ui ≤ Ai xi ≤ bi ui ∀i = 1, 2, ..., n. Đặt a = min {ai i = 1, 2, ..., n}

b = max {bi i = 1, 2, ..., n} thì ta có

a > 0, b > 0 và aui ≤ Ai xi ≤ bui

∀i = 1, 2, ..., n điều này chứng tỏ

au ≤ Ax ≤ bu do đó toán tử A là u0 - đo được. +/ ∀x = (xi )ni=1 ∈ K(u0 ), ∀t ∈ (0; 1) có xi ∈ (0; +∞)∀i = 1, 2, ..., n do với mỗi i = 1, 2, ..., n, Ai là các toán tử u0,I - lõm trên R1 nên tồn tại ηi = ηi (x, t) > 0 : Ai tx ≥ (1 + η)tAi x Đặt η = min {ηi ;

i = 1, 2, ..., n} ta có:

Atx = (Atx1 , Atx2 , ..., Atxn ) ≥ ((1 + η1 ) tA1 x1 , (1 + η2 ) tA2 x2 , ..., (1 + ηn ) tAn xn ) ≥ (1 + η) t (Ax1 .Ax2 , ..., Axn ) = (1 + η) tAx Vậy toán tử A là u0 - lõm.

2.2.

Một số tính chất về điểm bất động của toán tử u0-lõm

Định lý 2.1. Trong không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự với nón K, cho phần tử u0 ∈ K\ {θ} . Toán tử A : K(u0 ) → E. Nếu toán tử A là toán tử 34

d=

u0 - lõm thì nó có trong K(u0 ) không quá một điểm bất động. Chứng minh. Giả sử có hai phần tử x1 , x2 ∈ K(u0 ), x1 6= x2 là hai điểm bất động của toán tử A. Do x1 − x2 6= θ nên phải có một trong hai phần tử x1 − x2 , x2 − x1 ∈ /K Giả sử x1 − x2 ∈ / K. Khi đó ta luôn tìm được số thực t0 để x1 − t0 x2 ≥ θ, chẳng hạn t0 < 0 ⇒ (−t0 ) > 0 ⇒ (−t0 )x2 ∈ K do x2 ∈ K ⇒ x1 −t0 x2 ∈ K hay x1 − t0 x2 ≥ θ. Kí hiệu t là số thực lớn nhất sao cho x1 − tx2 ≥ θ ⇒ t ∈ (0; 1). Thật vậy: +/ Giả sử có số thực γ ≥ 1 sao cho x1 − γx2 ≥ θ, khi đó γ − 1 ≥ 0 nên (γ − 1)x2 ∈ K ⇒ x1 − γx2 = x1 − x2 − (γ − 1)x2 ∈ / K vì nếu trái lại thì x1 − x2 = (x1 − γx2 ) + (γ − 1)x2 ∈ K, trái giả thiết x1 − x2 ∈ / K. Tuy nhiên, điều này cũng không xảy ra. Vậy γ < 1. +/ Do x1 , x2 ∈ K(u0 ) nên tồn tại các số dương c1 , d1 , c2 , d2 : c1 u0 ≤ x1 ≤ c1 c1 d1 u0 và c2 u0 ≤ x2 ≤ d2 u0 từ đó c1 ≥ c1 u = (d2 u0 ) ≥ x2 hay x1 − γx2 ≥ θ d1 d2 c1 với γ = d1 > 0. +/ Xét ánh xạ g : R → E, γ 7→ g(γ) = x1 − γx2 . Do phép cộng hai véc tơ và phép nhân hai véc tơ với một số trong không gian định chuẩn là liên tục, nên ánh xạ g là liên tục. Mà K lại là tập đóng nên tập g −1 (K) = {γ ∈ R : x1 − γx2 ≥ θ} là tập đóng trong R. Ở hai bước trên ta đã chỉ ra tập này bị chặn, nên ta khẳng định được sự tồn tại của t. Vậy t ∈ (0; 1). Từ tính u0 - lõm của toán tử A, suy ra ∃η = η(x2 , t) > 0 sao cho Atx2 ≥ (1 + η)tAx2 Khi đó do x1 , x2 là hai điểm bất động của toán tử A, ta có: x1 − tx2 = Ax1 − Ax2 1 ≥ Ax1 − Atx2 do (2.1) 1+η η ≥ Atx2 do toán tử A đơn điệu và x1 ≥ tx2 1+η ≥ ηtAx2 = ηtx2 . 35

(2.1)

Điều này có nghĩa x1 − (1 + η)tx2 ≥ θ, trái với định nghĩa của t. vậy toán tử A có không quá một điểm bất động trong K(u0 ) Định lý 2.2. Giả sử toán tử A tác dụng trong không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với nón K thoả mãn các điều kiện: 1, A là toán tử u0 - lõm; 2, Tồn tại x0 ∈ K\ {θ} sao cho dãy x0 , x1 , ..., xn , ... trong đó xn = Axn−1

(n = 1, 2, ...) tăng và tồn tại phần tử x∗ = sup(Axn−1 ) ∈ K

thì Ax∗ = x∗ . Chứng minh. Do xn ≤ x∗ và xn ≤ xn+1 = Ax ≤ Ax∗

(n = 1, 2, ...) suy ra

x∗ ≤ Ax∗

(2.2)

Gọi tn là số lớn nhất sao cho xn − tn x∗ ≥ 0 (n = 1, 2, ...). số tn tồn tại và 0 < tn < 1 vì x0 , x∗ ∈ K. Do xn+1 ≥ xn ≥ tn x∗

(n = 1, 2, ...)

từ đó dãy (tn ) tăng và tồn tại lim tn = t và 0 < t ≤ 1. Giả sử 0 < t < 1, khi đó từ tính lõm của toán tử A, ta có Atx∗ > tAx∗ ≥ tx∗ Lại do toán tử A là u0 - lõm và 0 < t < 1 nên ∃η > 0 sao cho Atx∗ ≥ (1 + η)Ax∗ tn 2 ∗ tn A tx ≥ Atx∗ ≥ (1 + η)tn x∗ . t t (n = 1, 2, ...), đặc biệt

Từ đó suy ra xn+2 = A2 xn ≥ A2 tn x∗ ≥ Do đó tn+2 ≥ (1 + η)tn

t2k+1 ≥ (1 + η)t2k−1 Cho nên ta được t = lim tn = lim t2k+1 = ∞, điều này mâu thuẫn với giả thiết t < 1. 36

Vậy lim tn = t = 1. Mặt khác, tn Ax∗ ≤ Atn x∗ ≤ Axn = xn+1 ≤ x∗

(n = 1, 2, ...)

(2.3)

Chuyển qua giới hạn trong hệ thức (2.3) khi n → ∞, chúng ta có Ax∗ ≤ x∗

(2.4)

Kết hợp (2.2) và (2.4) ta được Ax∗ = x∗ Định lý 2.3. Giả sử A là toán tử tác dụng trong không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự với nón K thoả mãn các điều kiện: 1, A là toán tử u0 - lõm với u0 ∈ K\ {θ}; 2, Tồn tại y0 ∈ K\ {θ} sao cho dãy yn = Ayn−1

(n = 1, 2, ...)

giảm và tồn tại phần tử y ∗ = inf(yn ) trong K. Khi đó Ay ∗ = y ∗ . Chứng minh. Hiển nhiên y ∗ ≤ yn

(n = 1, 2, ...)

(2.5)

suy ra Ay ∗ ≤ Ayn = yn+1 ≤ yn

(n = 1, 2, ...) ⇒ Ay ∗ ≤ y ∗

(2.6)

kí hiệu τ là số thực nhỏ nhất sao cho τn y ∗ −yn ≥ θ. Số τn tồn tại do các phần tử Ay ∗ , yn = Ayn−1

(n = 1, 2, ...) thông ước với u0 , do (2.6) và y ∗ , y0 ∈ K\ {θ},

đồng thời τ ≥ 1. Mặt khác, τn y ∗ ≥ yn ≥ yn+1

(n = 1, 2, ...) ⇒ τn ≥ τn+1

(n = 1, 2, ...).

Do dãy (τn ) là dãy số thực giảm và bị chặn dưới bởi số 1, nên lim τn = τ ≥ 1. Ta chứng minh τ = 1. Giả sử τ > 1, do tính lõm của toán tử A Ay ∗ = Ay ∗ = A( τ1 τ y ∗ ) > τ1 Aτ y ∗ và do tính u0 - lõm, tồn tại η > 0 sao cho Aty ∗ ≥ (1 + η)tAy ∗ . Từ đó suy ra τ τ τ A2 τ y ∗ ≤ A2 y ∗ ≤ Ay ∗ ≤ y∗. 1+τ 1+τ 1+τ Do đó, 37

τn τn 2 ∗ τ yn+2 = A2 yn ≤ A2 τn y ∗ = A2 ( τ y ∗ ) ≤ A τy ≤ y ∗ ⇒ τn+2 ≤ τ τ 1+η τ (n = 1, 2, ...) 1+η τ2k−1 τ1 suy ra τ2k+1 ≤ ≤ ... ≤ (k = 1, 2, ...) ⇒ τ = lim τn = 1+η (1 + η)k limτ2k+1 ≤ 0 mâu thuẫn với giả thiết τ > 1. Vậy τ = lim τn = 1. Nhờ điều đó, yn ≤ τn y ∗

(n = 1, 2, ...)

⇒ y ∗ ≤ yn+1 = Ayn ≤ Aτn y ∗ ≤ τn Ay ∗

(n = 1, 2, ...) ⇒ y ∗ ≤ Ay ∗

Kết hợp (2.6) và (2.7) ta kết luận Ay ∗ = y ∗ .

38

(2.7)

Chương 3 TOÁN TỬ PHI TUYẾN COMPAK TIỆM CẬN

3.1.

Các định nghĩa và ví dụ

3.1.1.

Các định nghĩa

Định nghĩa 3.1. Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự nhờ nón K ⊂ E, toán tử A tác dụng trong không gian E. Toán tử A gọi là toán tử lõm chính quy, nếu: i, Toán tử A dương và đơn điệu trên nón K. ii, Đối với phần tử bất kì x ∈ K\ {θ} và đối với số thực bất kì t ∈ (0; 1), tìm được số thực dương c = c(x, t) > 0 sao cho Atx ≥ (1 + c)tAx Định nghĩa 3.2. Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự nhờ nón K ⊂ E, toán tử A tác dụng trong không gian E. Toán tử A gọi là toán tử lõm chính quy đều, nếu: i, Toán tử A dương và đơn điệu trên nón K. ii, Đối với phần tử bất kì u, v ∈ K\ {θ} , u ≤ v và đối với số thực bất kì t ∈ (0; 1), tìm được số thực dương c = c(u, v, t) > 0(∀x : u ≤ x ≤ v) sao cho Atx ≥ (1 + c)tAx Nhận xét 3.1. 1) Rõ ràng toán tử lõm chính quy đều chính là toán tử lõm chính quy. 2) Toán tử lõm chính quy có thể không có tính chất u0 - đo được nghĩa là có thể không là toán tử lõm. Xét ví dụ: Ví dụ 3.1. Trong không gian C[a;b] các hàm x = x(t) liên tục trên đoạn [a; b] với nón K các hàm không âm chúng ta đặt Ax(t) = xα (t), 39

trong đó α là số thực cố định thuộc (0; 1). Hiển nhiên, toán tử A dương và đơn điệu trên nón K. Giả sử x là phần tử tuỳ ý, x ∈ K\ {θ}, r là phần tử tuỳ ý r ∈ (0; 1). Ta có Arx = (rx)α = rα xα = r(1 + c)Ax, 1

− 1 > 0. Do đó A là toán tử lõm chính quy và lõm chính r1−α quy đều trên nón K. trong đó c =

Tuy nhiên, toán tử A không có tính chất u0 - đo được, nghĩa là A không phải là toán tử u0 - lõm. Thật vậy, giả sử f orallu0 ∈ K\ {θ} sao cho A là toán tử u0 - lõm khi đó đối với các hàm x(t) = t ∈ K\ {θ} và y(t) = t ∈ K\ {θ} tìm được các số dương p, q sao cho pu0 (t) ≤ Ax(t) = tα , Ay(t) = 1 ≤ qu0 (t) ∀t ∈ [a; b] do đó ta có pu0 (0) ≤ 0 ⇒ u0 (0) ≤ 0,

1 ≤ qu0 (0) ⇒ u0 (0) > 0, điều này mâu

thuẫn. 3.1.2.

Một số tính chất về điểm bất động của toán tử lõm chính quy

Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự nhờ nón K ⊂ E, toán tử A tác dụng trong không gian E là toán tử lõm chính quy. Định lý 3.1. Hai điểm bất động x∗ , y ∗ ∈ K\ {θ} của toán tử lõm chính quy A không thông ước với nhau. Chứng minh. Giả sử x∗ , y ∗ thông ước với nhau. Vì x∗ 6= y ∗ nên ít nhất một trong hai phần tử x∗ − y ∗ ,

y ∗ − x∗ ∈ / K. Giả sử x∗ − y ∗ ∈ / K. nhờ tính thông

ước của x∗ và y ∗ tức là (existsp, q > 0)(px∗ ≤ y ∗ ≤ qy ∗ ). Ta có qx∗ − y ∗ ≥ θ hay x∗ − 1q y ∗ ≥ θ gọi t0 là số lớn nhất, sao cho x∗ − t0 y ∗ ≥ θ. Ta nhận thấy t0 ∈ (0; 1). Thật vậy, theo định nghĩa t0 ≥ f rac1q > 0, còn nếu t0 ≥ 1 thì x∗ − y ∗ ≥ x∗ − t0 y ∗ ≥ 0 do x∗ ≤ y ∗ suy ra y ∗ ≤ t0 y ∗ ≤ x∗ hay x∗ − y ∗ ∈ K. Điều này mâu thuẫn với giả thiết. Mặt khác nhờ tính chất lõm chính quy của toán tử A, ∃c > 0 x∗ = Ax∗ ≥ At0 y ∗ ≥ (1+c)t0 Ay ∗ = (1+c)t0 y ∗ ⇒ x∗ −(1+c)t0 y ∗ ≥ 0 ⇒ (1+c)t0 > 40

t0 điều này mâu thuẫn với cách chọn t. Vì vậy x∗ , y ∗ không thông ước với nhau. Nhận xét 3.2. Từ định lý này và do tính bắc cầu của hệ quả thông ước suy ra toán tử A có không quá một điểm bất động trên K(u0 ). Định lý 3.2. Nếu x∗ , y ∗ ∈ K\ {θ} là hai điểm bất động của toán tử lõm chính quy A và x∗ là y ∗ - đo được thì x∗ ≤ y ∗ Chứng minh. Giả sử bất đẳng thức x∗ ≤ y ∗ không xảy ra, nghĩa là y ∗ − x∗ ∈ / K. Gọi số p là số nhỏ nhất sao cho x∗ ≤ py ∗ (suy ra từ tính chất y ∗ - đo được của x∗ : ∃l ≥ 0 − ly ∗ ≤ x∗ ≤ ly ∗ ). Hiển nhiên p > l (vì nếu p < l ⇒ py ∗ − x∗ ≥ 0 ⇒ y ∗ − x∗ ≥ py ∗ − x∗ ≥ 0 mâu thuẫn với giả thiết). Đặt t =

1 p

y ∗ = Ay ∗ ≥ A p1 x∗ = Atx∗ ≥ (1 +

∈ (0; 1), thì ∃c > 0,

c)tAx∗ = (1 + c)tx∗ ⇒ x∗ ≤ tính chất của p. Vì vậy x∗ ≤ y

1 ∗ (1+c)t y ∗

=

1 ∗ 1+c py

⇒

1 1+c p

< p mâu thuẫn với

Định lý 3.3. Giả sử A là toán tử lõm chính quy, x0 ∈ K(u0 ), trong đó u0 ∈ K\ {θ} . Nếu dãy x0 , x1 , x2 , ..., xn , ... trong đó xn = Axn−1

(n = 1, 2, ...), là

một dãy tăng (không giảm) và tồn tại x∗ = sup(xn ) trong K(u0 ), thì x∗ = Ax∗ . Chứng minh. Hiển nhiên xn ≤ x∗

(n = 1, 2, ...) và

xn ≤ xn−1 = Axn ≤ Ax∗ ⇒ x∗ ≤ Ax∗

(3.1)

Ta gọi tn là số lớn nhất sao cho xn − tn x∗ ≥ 0 ta nhận thấy tn ∈ (0; 1) (n = 1, 2, ...) và dãy (tn ) tăng: xn+1 ≥ xn ≥ tn x∗ ⇒ xn+1 − tn x∗ ≥ 0 ⇒ tn+1 ≥ tn

(n = 1, 2, ...) ⇒ ∃ lim = t ≤ 1. n→∞

Giả sử t < 1 ∃c > 0 sao cho Atx∗ ≥ (1 + c)tAx∗ ≥ tAx∗ ≥ tx∗ .
Từ đó suy ra xn+2 = Axn+1 = A2 xn ≥ A2 tn x∗ = A2 ttn tx∗ ≥ ttn A2 tx∗ ≥ tn t (1

+ c)tx∗ = (1 + c)tn x∗ ⇒ xn+2 ≥ (1 + c)tn x∗ n = 2k + 1 thì x2k+1 ≥ (1 + c)t2k+1 x∗ chứng tỏ t2k+1 ≥ (1 + c)t2k+1 .

Áp dụng liên tiếp công thức trên ta được t2k+1 ≥ (1 + c)2 t2k−1 ≥ ... ≥ (1 + c)k t1 ,

t1 > 0. Cho k → ∞ ta có lim t2k+1 = +∞, mâu thuẫn với t < 1 k→∞

41

do đó t = 1. Mặt khác tn Ax∗ ≤ Atn x∗ ≤ Axn = xn+1 ≤ x∗ . Cho n → ∞ ta được Ax∗ ≤ x∗

(3.2)

Từ (3.1) và (3.2) suy ra Ax∗ = x∗

3.2.

Điểm bất động của toán tử Compak tiệm cận

3.2.1.

Định nghĩa và ví dụ

Định nghĩa 3.3. Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự nhờ nón K ⊂ E, toán tử A tác dụng trong không gian E. Toán tử A gọi là compak tiệm cận theo  nón K,nếu đối với dãy bất kỳ (xn ) ⊂ K, kxn k −→ +∞ (n −→ +∞) , 1 Axn luôn chứa dãy con hội tụ. dãy kxn k Ví dụ 3.2. Như ta đã biết không gian R1 là không gian Banach thực nửa sắp thứ tự với nón K = [0; +∞) (mục 1.1.2- ví dụ 1.1.1). Xét toán tử A : K −→ R1

Ax =

√

x

Ta sẽ chỉ ra toán tử A là toán tử Compak tiệm cận. Thật vậy, giả sử dãy (xn ) ⊂ K thoả mãn kxn k −→ +∞ (n −→ +∞) hay |x| −→ +∞ (n −→ +∞) (do trong R thì kxn k = |xn |) khi đó ta có: 1 1 √ 1 √ 1 A(xn ) = xn = p xn = √ kxn k |xn | xn x2n   1 Dễ nhận thấy dãy (xn ) −→ +∞ thì dãy A(xn ) −→ 0 ∈ K, như kx k n   1 vậy dãy A(xn ) luôn chứa một dãy con hội tụ. kxn k Vậy A là toán tử compak tiệm cận. 3.2.2.

Sự tồn tại điểm bất động của toán tử compak tiệm cận

Định lý 3.4. Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự nhờ nón K ⊂ E, A là toán tử lõm chính quy tác dụng trong không gian E. Nếu toán tử A có điểm bất động x∗ ∈ K\ {θ} , thì với phần tử tuỳ ý x0 ∈ K(x∗ ) dãy 42

xn = Axn−1 (n = 1, 2, ...) hội tụ theo x∗ - chuẩn tới x∗ Chứng minh. Giả sử x0 = tx∗ , t ∈ (0, 1). Khi đó ∃c > 0 sao cho x∗ = Ax∗ ≥ Atx∗ = x1 ≥ (1 + c)tx∗ = x0 . Từ đó suy ra dãy (xn ) tăng và tx∗ ≤ xn ≤ x∗ , nghĩa là xn ∈ K(x∗ ) (n = 1, 2, ...). chúng ta gọi tn là số lớn nhất sao cho xn − tn x∗ ≥ 0 (n = 1, 2, ...). Nên tồn tại lim tn = l ∈ (0, 1]. Giả sử l < 1. Khi đó ∃c = c(x∗ , l) > 0 sao cho tn−1 xn ≥ Axn−1 ≥ Atn−1 x∗ ≥ Alx∗ ≥ (1 + c)tn−1 x∗ , l Nghĩa là tn ≥ (1 + c)n t1 > 0 (n = 1, 2, ...). Từ đó suy ra lim tn = l = ∞ điều này mâu thuẫn với giả thiết l < 1. Do đó l = lim tn = 1. Chúng ta có 0 ≤ x∗ − xn ≤ x∗ − tn x∗ = (1 − tn )x∗ , nên lim kxn − x∗ kx∗ = 0 tiếp theo giả sử x0 = kx∗

(k > 1). khi đó

∃c = c(x∗ , k −1 ) > 0 sao cho x0 = kx∗ = kAk −1 x0 ≥ (1 + c)Ax0 ≥ Ax0 = x1 ≥ x∗ . Từ đó suy ra dãy (xn ) giảm và x∗ ≤ xn ≤ kx∗ , nghĩa là xn ∈ K(x∗ ) (n = 1, 2, ...). Gọi kn là số nhỏ nhất sao cho kn x∗ − xn ≥ 0 (n = 1, 2, ...). Hiển nhiên dãy (kn ) giảm và k ≥ kn ≥ 1 (n = 1, 2, ...); nên tồn tại lim kn = h ≥ 1. Lặp lại lý luận như trong trường hợp đầu tiên ta được h = 1. Nhưng 0 ≤ xn − x∗ ≤ kn x∗ − x∗ = (kn − 1)x∗

(n = 1, 2, ...),

lim kxn − x∗ kx∗ = 0

Nghĩa là

Bây giờ chúng ta lấy phần tử tuỳ ý x0 ∈ K(x∗ ). Khi đó tồn tại các số t ∈ (0, 1) và k > 1 sao cho y0 = tx∗ ≤ x0 ≤ kx∗ = z0 . Do đó tx∗ ≤ yn = An y0 ≤ xn = An x0 ≤ An z0 = zn ≤ kx∗ và xn ∈ K(x∗ ) (n = 1, 2, ...). Theo định nghĩa x∗ - chuẩn 43

−kyn − x∗ kx∗ · x∗ ≤ yn − x∗ ≤ xn − x∗ ≤ zn − x∗ ≤ kzn − x∗ kx∗ · x∗ kxn − x∗ kx∗ ≤ max(kzn − x∗ kx∗ , kyn − x∗ kx∗ ) (n = 1, 2, ...)

hay

Từ đó suy ra lim kxn − x∗ kx∗ = 0. Định lý 3.5. Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự nhờ nón K ⊂ E, A là toán tử lõm chính quy tác dụng trong không gian E. Nếu toán tử A có điểm bất động x∗ ∈ K\ {θ} , thì với phần tử tuỳ ý x0 ∈ K(x∗ ) dãy xn = Axn−1 (n = 1, 2, ...) hội tụ theo chuẩn tới x∗ Chứng minh. Thật vậy, nếu đặt xn = Axn−1

(n = 1, 2, ...), thì theo định

lý 3.2.1 lim kxn − x∗ kx∗ = 0, nghĩa là với  > 0 tuỳ ý ∃n0 sao cho kxn − x∗ kx∗ <  (n > n0 ) hay −x∗ ≤ xn − x∗ ≤ x∗ 0 ≤ xn − (1 − )x∗ ≤ 2x∗

(n = 1, 2, ...), do đó

(n > n0 ). Từ đó suy ra

kxn − x∗ k − kx∗ k ≤ kxn − (1 − )x∗ k ≤ 2N kx∗ k (n > n0 )

(3.3)

hay kxn − x∗ k ≤ (2N + 1)kx∗ k (n > n0 ) trong đó N tham gia trong hệ thức (3.3). Do tính chất tuỳ ý của  suy ra lim kxn − x∗ k = 0 Định lý 3.6. Cho không gian Banach thực E nửa sắp thứ tự nhờ nón K ⊂ E, A là toán tử lõm chính quy Compak và Compak tiệm cận tác dụng trong không gian E và có điểm bất động x∗ ∈ K\ {θ} . Khi đó với phần tử bất kì x0 ∈ K(x∗ ) dãy xn = Axn−1

(n = 1, 2, ...)

(3.4)

hội tụ theo chuẩn tới x∗ Chứng minh. Trước hết ta chứng minh dãy (3.4) bị chặn theo chuẩn. Giả sử sup(kxn k) = +∞

44

(3.5)

Khi đó ∃(xnk ) ⊂ (xn ) sao cho (kxnk k) > k

(kxnk k) > (kxnk −1 k) (k = 1, 2, ...)

(3.6)

0

Thật vậy với k = 1 tìm được chỉ số n1 sao cho kxn01 k > 1. Kí hiệu n1 là chỉ 0

số nhỏ nhất sao cho n1 > n1 , kxn1 k > kxn01 . ta có kxn1 k > 1,

kxn1 k > kxn1 −1 k.

Giả sử đã tìm được k phần tử (k ≤ 1) xn1 , xn2 , ..., xnk sao cho (kxnj k) > j,

(kxnj k) > (kxnj −1 k) (j = 1, 2, ...) 0

Do (3.5) tìm được chỉ số nk+1 > nk sao cho (kxn0 k) > k + 1 k+1

Kí hiệu nk+1 là chỉ số nhỏ nhất sao cho 0

nk+1 > nk+1 ,

kxnk+1 k > kxkn0

k+1

Ta có kxnk+1 k > k + 1,

kxnk+1 k > kxknk+1 −1

Do đó ta lập được dãy con (xnk ) ⊂ (xn ) thoả mãn (3.6) Từ tính chất của dãy con xnk và tính bị chặn của toán tử A lim kxnk k = ∞,

lim kxnk −1 k = ∞

Vì A cũng là toán tử compak tiệm cận và kxnk k Axnk −1 = , kxnk −1 k kxnk −1 k nên không mất tính chất tổng quát ta có thể coi k −→ +∞. kxnk k Vì > 1 (k = 1, 2, ...), nên x 6= θ kxnk −1 k Mặt khác theo định lý 3.2.1,

xnk −→ x ∈ K khi kxnk −1 k

lim kxn − x∗ kx∗ = 0

(3.7)

Và xn ∈ K(x∗ ) (n = 1, 2, ...). Tìm được số M > 0 sao cho xn ≤ M x∗ , do đó θ≤

xnk M x∗ ≤ kxnk −1 k kxnk −1 k 45

(k = 1, 2, ...)

(3.8)

Cho k −→ +∞ trong (3.8) ta được θ ≤ x ≤ θ suy ra x = θ, mâu thuẫn với lập luận trên x 6= θ. Mâu thuẫn nhận được chứng tỏ dãy (xn ) bị chặn. Tiếp theo, dãy (xn ) là dãy Compak nhờ tính Compak của toán tử A, do 0

0

đó dãy (xn ) chứa dãy con xnk hội tụ tới phần tử x . Ta chứng minh x = x∗ . Thật vậy, từ hệ thức (3.7), với số  tuỳ ý cho trước, tìm được số n0 sao cho kxn − x∗ kx∗ < ,

∀n ≥ n0 ,

hay −x∗ ≤ xn − x∗ ≤ x∗ ,

∀n ≥ n0 (theo định nghĩa x∗ - chuẩn)

đặc biệt −x∗ ≤ xnk − x∗ ≤ x∗ ,

k ≥ n0

(3.9)

Cho k −→ ∞ trong (3.9) ta nhận được 0

−x∗ ≤ x − x∗ ≤ x∗ 0

0

Từ tính chất tuỳ ý của số  > 0 suy ra θ ≤ x − x∗ ≤ θ hay x = x∗ . Vì vậy lim kxn − x∗ k = 0.

46

Kết luận

Trong bản luận văn này trình bầy một số kết quả về điểm bất động của lớp toán tử phi tuyến Compak tiệm cận. Các kết quả chính của luận văn dựa trên tính nửa sắp thứ tự của không gian E với nón K và một số tính chất của toán tử lõm. Luận văn được chia làm 3 chương (ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo): Chương 1: Không gian Banach thực nửa sắp thứ tự. Chương này trình bầy phương án tổng quát để xây dựng một không gian định chuẩn nói chung và một không gian Banach nói riêng trở thành một không gian nửa sắp thứ tự bằng cách đưa ra khái niệm nón, sau đó xây dựng không gian Eu0 nhờ đưa ra khái niệm u0 - chuẩn. Chương 2: Điểm bất động của toán tử U0 - lõm. Chương này trình bầy khái niệm toán tử lõm bằng cách đưa vào các khái niệm toán tử dương, đơn điệu, u0 - đo được trên không gian Banach thực E với nón K. Từ đó đưa ra các , giớ định lý về điểm bất động của toán tử u0 - lõm. Chương 3:Toán tử phi tuyến Compak tiệm cận. Trên cơ sở các kết của chương 1, chương 2. Chương 3 tiếp tục giới thiệu khái niệm toán tử lõm chính quy, toán tử Compak tiệm cận. Từ đó đưa ra các định lý về điểm bất động của toán tử lõm chính quy. Cuối cùng, chúng tôi giới thiệu phương pháp xấp xỉ liên tiếp để xác định điểm bất động khác không của toán tử Compak nhờ toán tử Compak tiệm cận. Do thời gian và khả năng còn hạn chế nên luận văn này mới chỉ dừng lại ở việc tìm hiểu và tổng hợp các kết quả nghiên cứu theo chủ đề đặt ra. Trong quá trình viết luận văn và xử lý văn bản chắc không tránh khỏi những thiếu xót, rất mong được sự đóng góp ý kiến của các thầy, cô giáo và các bạn

đồng nghiệp để luận văn được hoàn thiện hơn.

48

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, NXB khoa học và Kỹ thuật, Hà nội. [2] Nguyễn Phụ Hy (1987), “Các điểm bất động của toán tử lõm chính quy”, Tạp chí toán học, tập 15 (số 1), (27-32). [3] Nguyễn Phụ Hy (1987), “Các véc tơ riêng của toán tử lõm chính quy”, Tạp chí toán học”, tập 15 (số 2), (17-23). [4] Hoàng Tụy (2005), Hàm thực và giải tích hàm, NXB ĐH Quốc gia, Hà Nội. [5] RoBertH. Martin, JK. (1976) Nonliear operators and differential equatons in Banach spaces,

49