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TECNOLÓGICO NACIONAL DE MÉXICO INSTITUTO TECNOLÓGICO DE CERRO AZUL (I.T.C.A.)

MATERIA: DINAMICA RESUMEN DE EL TEMA 1 CATEDRÁTICO: ING. JOSE VICTOR TRINIDAD PUENTE ALUMNO: HECTOR HUGO DEL ANGEL LUGO N° DE CONTROL: 17500064 ESPECIALIDAD: CIVIL

CERRO AZUL. VER.

INDICE 1.1

INTRODUCCIÓN............................................................................................3

1.2

MOVIMIENTO RECTILINEO........................................................................5

1.3 MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS......................................................16

1.4 MOVIMIENTO CURVILINEO..........................................................................18

BIBLIOGRAFIA........................................................................................................30

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TEMA 1: CINEMATICA DE PARTICULAS

1.1 INTRODUCCIÓN La Mecánica es la rama de la Física que estudia el movimiento de los cuerpos materiales. Históricamente es la primera de las ciencias exactas de la naturaleza y por lo tanto es un paradigma de toda actividad científica. Más aún, la Tecnología moderna y sus inmensas posibilidades de transformación del mundo resultan de la aplicación sistemática del método científico. Por esta razón, más allá del interés que sin duda tiene el transmitir un conjunto de conocimientos útiles para la actividad profesional del ingeniero, este curso de Física, como todos los restantes, tiene el objetivo fundamental de lograr que los estudiantes adquieran la capacidad de analizar y resolver los problemas que enfrenten en su actividad profesional con esa mezcla de rigor e imaginación propia de la ciencia. El primer obstáculo que debe superar toda ciencia empírica para su desarrollo es el de poner orden en nuestras sensaciones extraordinariamente ricas y fugaces. Platón fue el primero en observar que nada podríamos decir acerca de las percepciones fluidas de nuestros sentidos si no pudiéramos captar en ellas relaciones permanentes proyectadas por nuestra razón. El pensamiento debe ir eliminando factores accesorios o accidentales y con la ayuda de objetos geométricos y matemáticos debe intentar describir los fenómenos que ante nosotros fluyen sin cesar. Platón se limitó a enunciar el programa de las ciencias empíricas. Había que esperar hasta la llegada de la época moderna, para que hombres como Kepler, Galileo y Newton lo llevaran a cabo. El primer problema al que se ve enfrentada la Física al buscar una descripción precisa del movimiento es por consiguiente el de eliminar todos aquellos factores que son accesorios y el de encontrar el lenguaje matemático más apropiado. La máxima realización de este programa alcanzada en la antigüedad es la descripción de Ptolomeo del movimiento planetario. Resulta natural que la primera descripción con cierto grado de exactitud de un fenómeno se refiera al movimiento planetario. En efecto, los datos de la observación son sumamente simples (debido a la distancia entre los objetos celestes y la Tierra, es fácil tratar a los primeros como objetos puntuales). Por otra parte, sus movimientos son muy regulares y periódicos. Basándose en las nociones de la geometría de Euclides y en la idea platónica de la perfección de la circunferencia, Ptolomeo llega a una 3

descripción del movimiento planetario en términos de partículas puntuales que ocupan posiciones sucesivas en el espacio a medida que el tiempo transcurre. Los elementos esenciales de la descripción cinemática del movimiento de las partículas materiales ya están presentes en el esquema de Ptolomeo. 1. La cinemática, la cual corresponde al estudio de la geometría del movimiento. Se utiliza para relacionar el desplazamiento, la velocidad, la aceleración y el tiempo, sin hacer referencia a la causa del movimiento. 2. La cinética, que es el estudio de la relación que existe entre las fuerzas que actúan sobre un cuerpo, su masa y el movimiento de este mismo. La cinética se utiliza para predecir el movimiento ocasionado por fuerzas dadas, o para determinar las fuerzas que se requieren para producir un movimiento específico. El uso de la palabra partículas no significa que el estudio se restringirá a pequeños corpúsculos, sino que en estos primeros capítulos el movimiento de cuerpos — posiblemente tan grandes como automóviles, cohetes o aviones— será considerado sin tomar en cuenta su tamaño. Al afirmar que los cuerpos se analizan como partículas, se entiende que sólo se va a considerar su movimiento como una unidad completa, y se ignora cualquier rotación alrededor de su propio centro de masa. Sin embargo, hay casos en los que dicha rotación no es despreciable; entonces no pueden considerarse como partículas. Este tipo de movimiento se analiza en los capítulos finales, en los que se trata la dinámica de cuerpos rígidos. Se estudia el movimiento rectilíneo de una partícula; esto es, se determina la posición, velocidad y aceleración de una partícula en todo instante conforme ésta se mueve a lo largo de una línea recta. Primero, se emplean métodos generales de análisis para estudiar el movimiento de una partícula; después se consideran dos casos particulares importantes, a saber, el movimiento uniforme y el movimiento uniformemente acelerado de una partícula. Se aborda el movimiento simultáneo de varias partículas, y se presenta el concepto de movimiento relativo de una partícula con respecto a otra. La primera parte de este capítulo concluye con un estudio de métodos gráficos de análisis y su aplicación en la solución de diversos problemas que implican el movimiento rectilíneo de partículas. En la segunda parte de este capítulo se analiza el movimiento de una partícula cuando ésta se mueve a lo largo de una trayectoria curva. Puesto que la posición, velocidad y aceleración de una partícula se definen como cantidades vectoriales, el concepto de la 4

derivada de una función vectorial y se añade a las herramientas matemáticas. Después se estudian las aplicaciones en las que el movimiento de una partícula se define mediante las componentes rectangulares de su velocidad y aceleración; en este punto se analiza el movimiento de un proyectil. Se estudiara el movimiento de una partícula en relación con el sistema de referencia en traslación. Por último, se analiza el movimiento curvilíneo de una partícula en términos de componentes que no sean las rectangulares. Las componentes tangencial y normal de la velocidad y la aceleración de una partícula y las componentes radial y transversal de su velocidad y aceleración. 1.2 MOVIMIENTO RECTILINEO El movimiento rectilíneo uniforme se designa frecuentemente con el acrónimo MRU, aunque en algunos países es MRC, por movimiento rectilíneo constante. El MRU se caracteriza por: 

Movimiento que se realiza sobre una línea recta.



Velocidad constante; implica magnitud y dirección constantes.



La magnitud de la velocidad recibe el nombre de celeridad o rapidez.



Sin aceleración.

Para este tipo de movimiento, la distancia recorrida se calcula multiplicando la magnitud de la velocidad por el tiempo transcurrido. Esta relación también es aplicable si la trayectoria no es rectilínea, con tal que la rapidez o módulo de la velocidad sea constante. Por lo tanto, el movimiento puede considerarse en dos sentidos; una velocidad negativa representa un movimiento en dirección contraria al sentido que convencionalmente hayamos adoptado como positivo. De acuerdo con la Primera Ley de Newton, toda partícula puntual permanece en reposo o en movimiento rectilíneo uniforme cuando no hay una fuerza externa que actúe sobre el cuerpo, dado que las fuerzas actuales están en equilibrio, por lo cual su estado es de reposo o de movimiento rectilíneo uniforme. Esta es una situación ideal, ya que siempre existen

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fuerzas que tienden a alterar el movimiento de las partículas, por lo que en el movimiento rectilíneo uniforme (MRU) es difícil encontrar la fuerza amplificada. En las leyes de Newton el concepto de cuerpo implica cuerpo rígido o partícula de masa constante. Como ya se ha dicho anteriormente, movimiento es un concepto relativo, luego será necesario especificar el sistema respecto del cual el cuerpo o partícula se mueve. Las leyes de Newton enunciadas, se cumplen para sistemas inerciales de referencia, esto significa, sistemas que se mueven con velocidad constante respecto de otro considerado fijo. Para nuestros estudios consideremos a nuestro planeta como un sistema inercial de referencia, a pesar de que en forma estricta no es un sistema inercial de referencia debido a sus movimientos propios (rotación y traslación). Dé algunos ejemplos de sistemas inerciales y no inerciales de referencia. En la segunda ley de Newton se introduce el concepto de momentum lineal o cantidad de r p movimiento lineal , éste se define como. r r p=mv r r siendo m la masa y v la velocidad. Si llamamos F a la fuerza neta, entonces la segunda ley toma la forma : r r dpr r d( m v) F= ; F= dt dt r r r dm dv F= v + m dt dt Si la masa del cuerpo es constante, entonces el primer término se anula y se obtiene que:

r r F = ma

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Se conoce como la ecuación fundamental de la dinámica Al interpretar la segunda ley de Newton aparece la necesidad de definir el concepto de masa. Las diferentes épocas han visto la dificultad inherente al concepto de masa. A mediados del siglo pasado Ernest Mach resolvió esta dificultad . (Complemente esta información en el capitulo 5 de Física tomo I del autor Resnick). La masa es una magnitud escalar constante, es un concepto absoluto, independiente del espacio, del tiempo y de la velocidad ( mecánica clásica ). La tercera ley de Newton se refiere a interacción entre dos partículas o cuerpos. Si un cuerpo A ejerce una fuerza (acción ) sobre un cuerpo B, B ejerce simultáneamente una fuerza (reacción) sobre A, de igual módulo y dirección, pero de sentido opuesto. Ambas fuerzas tienen la misma línea de acción. De esta ley se deduce que en la naturaleza las fuerzas se manifiestan de a pares.

r F

AB

r =-F

B

BA

A

⃗F BA

⃗F AB

IDENTIFIQUE las fuerzas de acción y reacción en diferentes situaciones como por ejemplo un cuerpo que se mueva sobre una superficie horizontal rugosa por la acción de una fuerza r F , un cuerpo que cuelga de una cuerda, un cuerpo que esta ligado a un resorte estirado. Mencionaremos algunos tipos de fuerzas. FUERZA PESO 7

Todos los cuerpos se ven afectados por la fuerza de atracción gravitatoria que ejerce la Tierra sobre ellos, esta fuerza recibe el nombre de peso del cuerpo r r P = m g donde

⃗g

es la aceleración de gravedad.

r g En cinemática se analizó que la aceleración de gravedad no es una constante, luego en forma estricta la fuerza peso tampoco lo es ( para el análisis de problemas consideraremos a la aceleración de gravedad

r g como

constante.)

Se considerarán tres clases comunes de movimiento: 1. a = f(t). La aceleración es una función dada de t. para dv y sustituir f(t) por a, se escribe: dv= a dt dv=f(t) dt Al integrar ambos miembros, se obtiene la ecuación: ʃ dv = ʃ f(t) dt que define v en términos de t. Sin embargo, debe notarse que una constante arbitraria se introducirá como resultado de la integración. Esto se debe al hecho de que hay muchos movimientos que corresponden a la aceleración dada a = f(t). Para definir en forma única el movimiento de la partícula, es necesario especificar las condiciones iniciales del movimiento, esto es, el valor de v0 de la velocidad y el valor x0 de la coordenada de la posición en t = 0. Al sustituir las integrales indefinidas por integrales definidas con los límites inferiores correspondientes a las condiciones iniciales t = 0 y v = v0 y los límites superiores correspondientes a t = t y v = v, se escribe:

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lo cual produce v en términos de t. La ecuación (11.1) puede resolverse ahora para dx, dx = v dt Y la expresión que se acaba de obtener sea sustituida por v. Ambos miembros se integran después, el miembro izquierdo con respecto a x desde x = x0 hasta x = x, y el miembro derecho respecto a t desde t = 0 hasta t = t. La coordenada de la posición x se obtiene de ese modo en términos de t; el movimiento está completamente determinado. Dos casos particulares importantes se estudiarán con gran detalle en el caso en el que a = 0, que corresponde a un movimiento uniforme, y en el que a = constante, que corresponde a un movimiento uniformemente acelerado. a = f(x). La aceleración se da en función de x. Al reordenar la ecuación y sustituir f(x) para a, se escribe v dv = a dx v dv = f(x) dx El movimiento rectilíneo uniforme es un tipo de movimiento en línea recta que a menudo se encuentra en las aplicaciones prácticas. En este movimiento, la aceleración a de una partícula es cero para todo valor de t. En consecuencia, la velocidad v es constante, y la ecuación se transforma en: (dx/dt)= v = constante La coordenada de posición x se obtiene cuando se integra esta ecuación. Al denotar mediante x0 el valor inicial de x, se escribe

Esta ecuación puede utilizarse sólo si la velocidad de la partícula es constante. 9

dx = dt El movimiento rectilíneo uniformemente acelerado es otro tipo común de movimiento. En éste, la aceleración a de la partícula es constante, y la ecuación se convierte en: dv/dt= a = constante La velocidad v de la partícula se obtiene al integrar esta ecuación:

donde v0 es la velocidad inicial. Al sustituir por v en, se escribe dx/dt= v˳+at Al integrar ambos lados, se obtiene

Las tres ecuaciones que se han deducido ofrecen relaciones útiles entre la coordenada de posición, la velocidad y el tiempo en el caso del movimiento uniformemente acelerado, al sustituir los valores apropiados de a, v0 y x0. El origen O del eje x debe definirse primero y escogerse una dirección positiva a lo largo del eje; esta dirección se usará para determinar los signos de a, v0 y x0. La ecuación relaciona v y t y debe utilizarse cuando se desee que 10

el valor de v corresponda a un valor determinado de t, o de manera inversa. La ecuación relaciona a x y t; la ecuación (relaciona a v y x. Una aplicación importante del movimiento uniformemente acelerado es el movimiento de un cuerpo en caída libre. La aceleración de un cuerpo en caída libre (usualmente denotada mediante g) es igual a 9.81 m/s2 o 32.2 ft/s2. Es importante recordar que las tres ecuaciones anteriores pueden utilizarse sólo cuando se sabe que la aceleración de la partícula es constante. Si la aceleración de la partícula es variable, su movimiento se debe determinar a partir de las ecuaciones fundamentales según los métodos señalados en la sección.

En astronomía, el MRU es muy utilizado. Los planetas y las estrellas no se mueven en línea recta, pero la que sí se mueve en línea recta es la luz, y siempre a la misma velocidad. Entonces, sabiendo la distancia a la que se encuentra un objeto, se puede saber el tiempo que tarda la luz en recorrer esa distancia. Por ejemplo, el sol se encuentra a 150 000 000 km. La luz, por lo tanto, tarda 500 segundos (8 minutos 20 segundos) en llegar hasta la tierra. La realidad es un poco más compleja, con la relatividad de por medio, pero a grandes rasgos podemos decir que la luz sigue un movimiento rectilíneo uniforme. Un movimiento uniformemente acelerado es aquél cuya aceleración es constante. Dada la aceleración podemos obtener el cambio de velocidad v-v0 entre los instantes t0 y t, mediante integración, o gráficamente. v−v0=a⋅(t−t0)v−v0=a⋅(t−t0)

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Dada la velocidad en función del tiempo, obtenemos el desplazamiento x-x0 del móvil entre los instantes t0 y t, gráficamente (área de un rectángulo + área de un triángulo), o integrando x−x0=v0⋅(t−t0)+12⋅a⋅(t−t0)2x−x0=v0⋅(t−t0)+12⋅a⋅(t−t0)2 Habitualmente, el instante inicial t0 se toma como cero, quedando las fórmulas del movimiento rectilíneo uniformemente acelerado, las siguientes. a=ctev=v0+a⋅tx=x0+v0⋅t+12⋅a⋅t2a=ctev=v0+a⋅tx=x0+v0⋅t+12⋅a⋅t2 Despejando el tiempo t en la segunda ecuación y sustituyéndola en la tercera, relacionamos la velocidad v con el desplazamiento x-x0 v2=v20+2a(x−x0) El siguiente applet, nos puede ayudar a entender el concepto de derivada y la interpretación geométrica de la derivada v=limΔ t→0ΔxΔt=dxdtv=limΔ t→0ΔxΔt=dxdt Se elige la función a representar en el control de selección titulado Función, entre las siguientes: x=16t3−73t2+172tx=13t+5x=8⋅sin(π10t)x=16t3−73t2+172tx=13t+5x=8·sin(π10t) Se pulsa el botón titulado Nuevo Se observa la representación de la función elegida

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Con el puntero del ratón se mueve el cuadrado de color azul, para seleccionar una abscisa t0. Se elige el aumento, 10, 100, ó 1000 en el control de selección titulado Aumento 

Cuando se elige 100 ó 1000, la representación gráfica de la función es casi un segmento rectilíneo. Se mide su pendiente con ayuda de la rejilla trazada sobre la representación gráfica



Se calcula la derivada de la función en el punto de abscisa t0 elegido



Se comprueba si coinciden la medida de la pendiente y el valor de la derivada en t0.

Ejemplo: Elegimos la primera función y el punto t0=3.009 Elegimos ampliación 1000. La pendiente de la recta vale -1, y se muestra en la figura.

La derivada de dicha función es dxdt=12t2−143t+172dxdt=12t2−143t+172 para t0=3.0 la derivada tiene vale -1.0 Integral definida Dada la velocidad del móvil en función del tiempo, vamos a calcular el desplazamiento del móvil entre los instantes t0 y t. En los casos en los que la velocidad es constante o varía linealmente con el tiempo, el desplazamiento se calcula fácilmente 13

Si v=35 m/s, el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es Δx=35·10=350 m

Si v=6·t, el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es el área del triángulo de color azul claro Δx=(60·10)/2=300 m

Si v=-8·t+60. el desplazamiento del móvil entre los instantes t0=0 y t=10 s es la suma de las áreas de dos triángulos: 

el de la izquierda tiene un área de (7.5·60)/2=225



el de la derecha tiene un área de (-20·2.5)/2=-25. 14

El desplazamiento es el área total Δx=225+(-25)=200 m

En otros casos, podemos calcular el desplazamiento aproximado, siguiendo el procedimiento que se muestra en la figura

En el instante ti-1 la velocidad del móvil es vi-1, en el instante ti la velocidad del móvil es vi. La velocidad media en el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido entre ti1

y ti es

=v(ti)+v(ti−1)2=v(ti)+v(ti−1)2 El desplazamiento del móvil durante el intervalo de tiempo Δti=ti-ti-1 comprendido entre ti-1 y ti es aproximadamente el área del rectángulo ·Δti. El desplazamiento total x-x0 entre el instante inicial t0, y el instante final t=tn es, aproximadamente x−x0≈∑i=1nΔtix−x0≈∑i=1nΔti donde n es el número de intervalos Si v=-t2+14t+21 (m/s) y tomamos n=10 intervalos iguales, entre el instante t0=0 y t=10 s el desplazamiento aproximado vale x-x0≈27.7+39.8+49.8+57.7+63.7+67.7+69.7+69.8+67.8+63.8=577.5 m Cuando el número de intervalos en los que se ha dividido un intervalo dado (t0, t) es muy grande Δti→0. En el límite, el desplazamiento se expresa como

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x−x0=∫t0tv⋅dtx−x0=∫t0tv·dt Si v=-t2+14t+21 (m/s), el desplazamiento entre el instante t0=0 y t=10 s vale x−x0=∫010(−t2+14t+21)⋅dt=−t33+7t2+21t∣∣∣100=17303  mx−x0=∫010(−t2+14t+21)·dt=−t33+7t2+21t|010=17303 m Actividades Se elige la función a representar en el control de selección titulado Función, entre las siguientes: v=-t2+14t+21 v=-8t+60 v=35 v=2t2-12t-12 Se pulsa el botón titulado Nuevo Se arrastra el puntero del ratón el pequeño cuadrado de color azul, y se pulsa el botón titulado Área. Se arrastra hacia la derecha el el pequeño cuadrado de color azul, y se vuelve a pulsar el botón titulado Área y así sucesivamente, hasta un máximo de 15 veces. Se representa y se calcula el área ·Δti de cada rectángulo que se suma al área calculada previamente.

1.3 MOVIMIENTO DE VARIAS PARTICULAS Cuando varias partículas se mueven de manera independiente a lo largo de la misma línea, es posible escribir ecuaciones de movimiento independientes para cada partícula. Siempre que sea factible, el tiempo debe registrarse a partir del mismo instante inicial para todas las partículas, y es necesario medir los desplazamientos desde el mismo origen y en la misma dirección. En otras palabras, deben usarse un solo reloj y una sola cinta métrica. 16

Movimiento relativo de dos partículas. Considere dos partículas A yB que se mueven a lo largo de la misma línea recta (figura 11.7). Si las coordenadas de posición xA y xB se miden desde el mismo origen, la diferencia xB - xA define la coordenada de posición relativa de B con respecto a A y se denota por medio de x-A. Se escribe

Un signo positivo de vB/A significa que a partir de A se observa que B se mueve en dirección positiva; un signo negativo indica, según se observa, que ésta se mueve en dirección negativa. La razón de cambio de vB/A se conoce como la aceleración relativa de B con respecto a A y se denota mediante aB/A. Al diferenciar, se obtiene

Movimientos dependientes. Algunas veces, la posición de una partícula dependerá de la posición de otra o de varias partículas. En ese caso se dice que los movimientos son dependientes. Por ejemplo, la posición del bloque B en la figura 11.8 depende de la posición del bloque A. Puesto que la cuerda ACDEFG es de longitud constante, y puesto que las longitudes de las porciones de cuerda CD y EF alrededor de las poleas permanecen constantes, se concluye que la suma de las longitudes de los segmentos AC, DE y FG es constante. Al observar que la longitud del segmento AC difiere de xA sólo por una constante y que, de manera similar, las longitudes de los segmentos DE y FG difieren de xB únicamente por una constante, se escribe xA 2xB constante la cual recibe el nombre de ecuación de ligadura. Puesto que sólo una de las dos coordenadas xA y xB pueden elegirse de manera arbitraria, se afirma que el sistema que se presenta en la figura 11.8 tiene un grado de libertad. De la relación entre las coordenadas de posición xA y xB se deduce que xA presenta un incremento xA, esto es, si el bloque A desciende una cantidad xA, la coordenada xB recibirá un incremento xB 1 2 xA. En otras palabras, el bloque B ascenderá la mitad de la 17

misma cantidad; lo anterior puede verificarse con facilidad de modo directo de la figura 11.8. En el caso de los tres bloques de la figura 11.9, se puede observar de nuevo que la longitud de la cuerda que pasa por las poleas es constante y, en consecuencia, las coordenadas de posición de los tres bloques deben satisfacer la siguiente relación:

Puesto que es posible elegir de manera arbitraria dos de las coordenadas, se afirma que el sistema que se muestra en la figura 11.9 tiene dos grados de libertad. Cuando la relación que existe entre las coordenadas de posición de varias partículas es lineal, se cumple una relación similar entre las velocidades y entre las aceleraciones de las partículas. En el caso de los bloques de la figura 11.9, por ejemplo, se diferencia dos veces la ecuación obtenida y se escribe

1.4 MOVIMIENTO CURVILINEO

Se conoce como movimiento curvilineo a aquel movimiento que es parabólico, oscilatorio o circular. Cuando se conoce la trayectoria a lo largo de la cual viaja una partícula, es conveniente describir el movimiento por medio de los ejes de coordenadas n y t, los cuales actúan de manera normal y tangente a la trayectoria, respectivamente, y en el instante considerado tienen su origen localizado en la partícula. Si su trayectoria es curva este movimiento puede ser elíptico. Una partícula o cuerpo ejecuta un movimiento curvilíneo, cuando dicha partícula describe una trayectoria que no es recta. En la naturaleza, así como en la técnica es muy corriente encontrarse con movimientos cuyas trayectorias no son líneas rectas, sino curvas. Estos movimientos son llamados 18

curvilíneos, y se encuentran con más frecuencia que los rectilíneos. Por trayectorias curvas se mueven en el espacio cósmico los planetas, los satélites y en la Tierra se mueven así todos los medios de transporte, las partes de las máquinas, el agua de los ríos, el aire de la atmósfera. Durante este movimiento no se puede decir que varía solamente una coordenada del cuerpo. I por ejemplo el movimiento ocurre en el plano, entonces como se ve en la figura 1, durante el movimiento varían dos coordenadas: X e Y. La dirección del movimiento, es decir, la dirección del vector velocidad varía durante todo el tiempo que dure el movimiento. Además, varía la dirección del vector aceleración. Considerando una partícula que se desplaza en un plano a lo largo de una curva fija, en un instante dado esta estará en la posición s, medida con respecto al punto O. Considere un sistema de coordenadas con su origen en un punto fijo de la curva, y en el instante considerado este origen coincide con la ubicación de la partícula. El eje t es tangente a la curva en el punto y es positivo en la dirección de s creciente. El eje normal n es perpendicular al eje t con su sentido positivo dirigido hacia el centro de curvatura. El plano que contiene los ejes n y t se conoce como plano abrazador u osculante y en este caso está fijo en el plano del movimiento. Como la partícula se mueve, s es una función del tiempo. La dirección de la velocidad v de la partícula siempre es tangente a la trayectoria, y su magnitud se determina por la derivada con respecto al tiempo de la función de la trayectoria s=s(t), es decir, v=ds/dt3 Supongamos que el movimiento tiene lugar en el plano XY, Situamos un origen, y unos ejes, y representamos la trayectoria del móvil, es decir, el conjunto de puntos por los que pasa el móvil. Las magnitudes que describen un movimiento curvilíneo son: Vector posición r en un instante t. Cine_10.gif (2821 bytes) Como la posición del móvil cambia con el tiempo. En el instante t, el móvil se encuentra en el punto P, o en otras palabras, su vector posición es r y en el instante t' se encuentra en el punto P', su posición viene dada por el vector r'. Diremos que el móvil se ha desplazado Dr=r’-r en el intervalo de tiempo Dt=t'-t. Dicho vector tiene la dirección de la secante que une los puntos P y P'. Vector velocidad El vector velocidad media, se define como el cociente entre el vector desplazamiento Dr y el tiempo que ha empleado en desplazarse Dt. El vector velocidad media tiene la misma dirección que el vector desplazamiento, la secante que une los puntos P y P1 cuando se calcula la velocidad media entre los instantes t y t1. Cine_12.gif (2647 bytes) El vector velocidad en un instante, es el límite del vector velocidad media cuando el intervalo de tiempo tiende a cero. Como podemos ver en la figura, a medida que hacemos tender el intervalo de tiempo a cero, la dirección del vector velocidad media, la recta secante que une sucesivamente los puntos P, con los puntos P1, P2....., tiende hacia la tangente a la trayectoria en el punto P. En el instante t, el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto. Vector aceleración Cine_13.gif (3324 bytes) En el 19

instante t el móvil se encuentra en P y tiene una velocidad v cuya dirección es tangente a la trayectoria en dicho punto. En el instante t' el móvil se encuentra en el punto P' y tiene una velocidad v'. El móvil ha cambiado, en general, su velocidad tanto en módulo como en dirección, en la cantidad dada por el vector diferencia Dv=v’-v. Se define la aceleración media como el cociente entre el vector cambio de velocidad Dv y el intervalo de tiempo Dt=t'-t, en el que tiene lugar dicho cambio. Y la aceleración a en un instante Resumiendo, las ecuaciones del movimiento curvilíneo en el plano XY son La primera fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje X, la segunda fila corresponde, a las ecuaciones de un movimiento rectilíneo a lo largo del eje Y, y lo mismo podemos decir respecto del eje Z. Por tanto, podemos considerar un movimiento curvilíneo como la composición de movimientos rectilíneos a lo largo de los ejes coordenados. Componentes tangencial y normal de la aceleración Las componentes rectangulares de la aceleración no tienen significado físico, pero si lo tienen las componentes de la aceleración en un nuevo sistema de referencia formado por la tangente a la trayectoria y la normal a la misma. Hallar las componentes tangencial y normal de la aceleración en un determinado instante es un simple problema de geometría, tal como se ve en la figura. Cuando una partícula se mueve a lo largo de una curva diferente a una línea recta, se afirma que describe un movimiento curvilíneo. Para definir la posición P ocupada por la partícula en un tiempo determinado t, se elige un sistema de referencia fijo, tal como los ejes x, y, z que se muestran en la figura 11.14a), y se dibuja el vector r que une al origen O y al punto P. Puesto que el vector r está caracterizado por su magnitud r y sudirección con respecto a los ejes de referencia, éste define por completo la posición de la partícula con respecto a esos ejes; el vector r se conoce como el vector de posición de la partícula en el tiempo t. Considérese ahora el vector r∆ que define la posición P∆ ocupada por la misma partícula en un tiempo posterior t ∆ t. El vector ∆rque une a P y a P∆ representa el cambio en el vector de posición durante el intervalo del tiempo ∆t, pues, como se puede verificar fácilmente en la figura 11.14a), el vector r∆ se obtiene al sumar los vectores r y ∆r de acuerdo con el método de triángulo. ∆rrepresenta un cambio de dirección, así como un cambio de magnitud del vector de posición r. La velocidad promedio de la partícula sobre el intervalo de tiempo ∆t se define como el cociente de ∆r y ∆t. Puesto que ∆r es un vector y ∆t es un escalar, el cociente de ∆r/∆t es un vector unido a P, de la misma dirección que ∆r y de magnitud igual a la magnitud de ∆r dividida entre ∆t (figura 11.14b). La velocidad instantánea dela partícula en el tiempo tse obtiene al elegir intervalos de tiempo ∆t cada vez más cortos y, de manera correspondiente,

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incrementos vectoriales ∆r cada vez menores. La velocidad instantánea se representa en consecuencia mediante el vector:



Se dibujan los ejes horizontal X y vertical Y.



Se calculan las componentes rectangulares de la velocidad y de la aceleración en dicho instante. Se representan los vectores velocidad y aceleración en dicho sistema de referencia.



Se dibujan los nuevos ejes, la dirección tangencial es la misma que la dirección de la velocidad, la dirección normal es perpendicular a la dirección tangencial.



Con la regla y el cartabón se proyecta el vector aceleración sobre la dirección tangencial y sobre la dirección normal.



Se determina el ángulo θ entre el vector velocidad y el vector aceleración, y se calcula el valor numérico de dichas componentes: at=a cosθ y an=a sinθ

Ejemplo: El vector velocidad del movimiento de una partícula viene dado por v=(3t-2)i+(6t2-5)j m/s. Calcular las componentes tangencial y normal de la aceleración en el instante t=2 s. Dibujar

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el vector velocidad, el vector aceleración y las componentes tangencial y normal en dicho instante. 1. Dadas las componentes de la velocidad obtenemos las componentes de la aceleración vx =3t-2 m/s, ax=3 m/s2 vy=6t2-5 m/s, ay=12t m/s2 2. Los valores de dichas componentes en el instante t=2 s son vx =4 m/s, ax=3 m/s2 vy=19 m/s, ay=24 m/s2 3. Dibujamos el vector velocidad y el vector aceleración

4. Calculamos el módulo de la aceleración a y el ángulo θ que forman el vector velocidad y el vector aceleración. θ=arctanayax−arctanvyvx=4.76ºa=a2x+a2y−−−−−−√=24.2 5. Se calculan las componentes tangencial y normal de la aceleración at=a·cosθ =24.1 m/s2 an=a·sinθ=2.0 m/s2 Podemos hallar la aceleración tangencial en cualquier instante, a partir del producto escalar del vector aceleración a y el vector velocidad v. v⋅a=vacosθ=vatat=v⋅av=vxax+vyayv2x+v2y√ La aceleración normal, se obtiene a partir del módulo de la aceleración a y de la aceleración tangencial at 22

a2n=a2−a2t=a2x+a2y−(vxax+vyay)2v2x+v2yan=axvy−ayvxv2x+v2y√ Radio de curvatura

En la figura, se muestra el radio de curvatura y el centro de curvatura de una trayectoria cualesquiera en el instante t. Se dibuja la dirección del vector velocidad v en el instante t, la dirección del vector velocidad v+dv en el instante t+dt. Se trazan rectas perpendiculares a ambas direcciones, que se encuentran en el punto C denominado centro de curvatura. La distancia ente entre la posición del móvil en el instante t, y el centro de curvatura C es el radio de curvatura ρ.

En el intervalo de tiempo comprendido entre t y t+dt, la dirección del vector velocidad cambia un ángulo dθ. que es el ángulo entre las tangentes o entre las normales. El móvil se desplaza en este intervalo de tiempo un arco ds=ρ·dθ, tal como se aprecia en la figura. Otra forma de obtener las componentes tangencial y normal de la aceleración, es la de escribir el vector velocidad v como producto de su módulo v por un vector unitario que tenga su misma dirección y sentido ut=v/v. La derivada de un producto se compone de la suma de dos términos a=dvdt=d(v⋅ut)dt=dvdtut+vdutdt El primer término, tiene la dirección de la velocidad o del vector unitario ut, es la componente tangencial de la aceleración

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El segundo término, vamos a demostrar que tiene la dirección normal un. Como vemos en la figura las componentes del vector unitario ut son ut=cosθ·i+sinθ·j Su derivada es dutdt=(−sinθi+cosθj)dθdt=dθdtun=1ρdsdtun=vρun El vector aceleración es a=dvdt=dvdtut+v2ρun Las componentes tangencial y normal de la aceleración valen, respectivamente at=dvdt  an=v2ρ Esta última fórmula, la obtendremos de una forma más simple para una partícula que describe un movimiento circular uniforme. Como la velocidad es un vector, y un vector tiene módulo y dirección. Existirá aceleración siempre que cambie con el tiempo bien el módulo de la velocidad, la dirección de la velocidad o ambas cosas a la vez. 

Si solamente cambia el módulo de la velocidad con el tiempo, como en un movimiento rectilíneo, tenemos únicamente aceleración tangencial.



Si solamente cambia la dirección de la velocidad con el tiempo, pero su módulo permanece constante como en un movimiento circular uniforme, tenemos únicamente aceleración normal.

Si cambia el módulo y la dirección de la velocidad con el tiempo, como en un tiro parabólico, tendremos aceleración tangencial y aceleración

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A medida que ty ∆r disminuyen, las posiciones P y P∆ se acercan cada vez más entre sí; el vector v obtenido en el límite debe, por lo tanto, ser tangente a la trayectoria de la partícula (figura 11.14c). Puesto que el vector de posición r depende del tiempo t, se conoce como una función vectorial de la variable escalar t y se denota mediante r(t). Extendiendo el concepto de derivada de una función escalar que se presenta en cálculo elemental, el límite del cociente ∆r∆ ∆t se conoce como la derivada de la función vectorial r(t). Se escribe: Dt/dr La magnitud v del vector v se conoce como la rapidez de la partícula y es posible obtenerla al sustituir, en vez del vector ∆r en la fórmula (11.14), la magnitud de este vector representado por el segmento de línea recta PP∆. Sin embargo, la longitud del segmento PP∆ se acerca a la longitud ∆s del arco PP∆ cuando ∆t disminuye por lo que se puede escribir

Llamamos movimiento curvilíneo al movimiento que realiza una partícula o un móvil que sigue una trayectoria parabólica, elíptica, vibratoria, oscilatoria o circular. Las magnitudes que utilizamos para describir un movimiento curvilíneo son las siguientes: -Vector posición: sabemos que la posición en la que se encuentra una partícula o un móvil depende del tiempo en el que nos encontremos, es decir, que varía en función del tiempo. Por tanto, como podemos observar en la siguiente imagen, la partícula se encuentra en el punto P cuando estamos en el instante t, y su posición viene dada por el vector r. -Vector desplazamiento: Cuando nuestra partícula pasa de estar en el punto P en el instante t, al punto P´en el instante t´, diremos que ésta se ha desplazado, y lo indicamos con el vector Dr , que como podemos observar en la imagen anterior, es el vector que une P y P´. -Vector velocidad media: llamamos velocidad media al cociente entre el desplazamiento y el tiempo que emplea en desplazarse, es decir:

Tanto el vector de la velocidad media, como el vector desplazamiento tienen la misma dirección. – Vector velocidad instantánea: Este vector se obtiene al hacer el límite cuando el Dt 25

tiende a cero:

Este vector es tangente en el punto P a la trayectoria que sigue la partícula. – Vector aceleración media: De forma similar al caso de la velocidad media, la aceleración media es igual al cociente entre el incremento de velocidad y el incremento del tiempo:

-Vector aceleración instantánea: Es el vector obtenido al hacer el límite cuando Dt tiende a cero:

ECUACIONES DE UN MOVIMIENTO CURVILÍNEO Teniendo en cuenta que en el plano XY un movimiento curvilíneo viene determinado por la componente del eje x y por la componente del eje y. Entonces, escribimos las ecuaciones de un movimiento curvilíneo como podemos ver en la siguiente imagen. Donde x indica el desplazamiento de una partícula, t el tiempo, v la velocidad y a la aceleración.

EJEMPLO Para finalizar la explicación resolveremos como ejemplo dos problemas de movimiento curvilíneo, el primero de ellos bastante facilito, mientras que en el segundo debemos poner en práctica muchos de los conceptos adquiridos:

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Problema 1: Sabemos que un automóvil describe una curva plana. Calcular las componentes de la velocidad y de la aceleración en cualquier instante sabiendo que su

trayectoria viene determinada por las siguientes expresiones: Las componentes de la velocidad en cualquier instante.

Las componentes de la aceleración en cualquier instante. Problema 2: Lanzamos una pelota de forma vertical hacia arriba con una velocidad de 30m/s desde la azotea de un edificio que tiene una altura de 60m. Sabemos que la pelota es empujada por el viento, de tal forma que se produce un movimiento horizontal con una aceleración de 3m/s2. A partir de estos datos calcular: a) La distancia horizontal entre el punto de lanzamiento y el punto donde caiga. b) La altura máxima que alcanza la pelota. c) La componentes de la velocidad y el instante en el que la pelota se encuentra a 70 m de altura.

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En primer lugar, realizamos un esquema estableciendo las magnitudes de nuestro movimiento, tomando como referencia la azotea del edificio.

A continuación analizamos los datos que nos da el problema: A partir de los datos planteamos la ecuaciones del problema: – Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje X:

-Movimiento uniformemente acelerado a lo largo del eje Y (movimiento de caída de los cuerpos):

a) El punto de impacto con el suelo tiene coordenada x desconocida, pero sabemos que y=60m. A partir del valor de y, podemos obtener el valor de t, resolviendo la ecuación; y

luego el de x: b) Para hallar la altura máxima de la pelota, tenemos que tener en cuenta que se produce cuando la velocidad vertical es cero: Por tanto la altura desde el suelo será: 60+45,9=105,9 m. c) En primer lugar hallamos el instante en el que ocurre esto, teniendo en cuenta que el móvil se encontrará en dos instantes a 70m sobre el suelo, (10 sobre el origen), y=10m, 28

por tanto tenemos dos soluciones para la ecuación de segundo grado:

Sustituyendo: Si t=0,59s; vx=1,77 m/s; vy=24,22 m/s Si t=3,41s; vx=10,23 m/s; vy=-3,41 m/s

Tipos de movimientos curvilineos: 1) Circular: describe circunferencias iguales, en tiempos iguales. 2) Oscilatorio: describe un semicirculo y el sentido del movimientocambia constantemente en un ir y venir. Se toman en cuenta: el ciclo, el periodo y la frecuencia. 3) Parabolico: describe una parabola en su trayectoria. Ej: el de una pelota de volleyball, cuando pasa de un lado a otro de la cancha. 4) Eliptico: describe una elipse en su trayectoria. Ej: el movimiento de traslacion de la Tierra alrededor del Sol. 5) Ondulatorio: es el movimiento en forma de ondas que adquiere un cuerpo. Ondulatorio Concentrico: ondas concentricas. Ondulatorio Longitudinal: se distinguen estos elementos: cresta, valles, onda completa, longitud de onda, amplitud de onda, frecuencia, periodo.

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BIBLIOGRAFIA http://www.sc.ehu.es/sbweb/fisica_/cinematica/rectilineo/rectilineo/rectilineo_3.html https://es.pdfcoke.com/document/306212764/Movimiento-de-Varias-Particulas http://dcb.fic.unam.mx/CoordinacionesAcademicas/CienciasAplicadas/Cinematica Dinamica/cinematicadelaparticula.pdf

https://es.pdfcoke.com/doc/270129999/Introduccion-Dinamica-de-Una-Particula

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