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NOTAS DE AULA DE DIDÁTICA DA MATEMÁTICA

Prof. Alzir Fourny Marinhos

TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA A necessidade de se ensinar o conhecimento leva à necessidade de modificá-lo. Essa modificação chamamos de transposição didática. A transposição didática é o estudo das transformações por que passam os conteúdos de matemática. A transposição didática ocorre permanentemente, por exemplo, quando: - o conteúdo é selecionado ou recortado de acordo com que o professor considera relevante para constituir as competências na proposta pedagógica; - alguns aspectos ou temas são mais enfatizados, reforçados ou diminuídos; - o conhecimento é dividido para facilitar a compreensão e depois o professor volta a estabelecer relação entre aquilo que foi dividido; - distribui-se o conteúdo no tempo para organizar uma seqüência, um ordenamento; - determina-se uma forma de organizar e apresentar os conteúdos, como por meio de textos, gráficos, entre outros. Fazer a transposição didática implica em algumas competências que é preciso desenvolver e isto deverá estar contemplado no plano de educação continuada da escola, da região ou do sistema de ensino: - saber fazer recortes na sua área de especialidade de acordo com um julgamento sobre relevância, pertinência, significância para o desenvolvimento das competências escolhidas que vão garantir a inserção do aluno no mundo moderno; - saber selecionar quais aspectos daquele conhecimento são relevantes; - saber relacionar o conhecimento em questão com os de outras áreas; - saber como contextualizar esse conhecimento; - dominar estratégias de ensino eficazes para organizar situações de aprendizagem que efetivamente promovam no aluno as competências que se quer desenvolver. O fenômeno da transposição didática põe em evidência o fato que a disciplina escolar não é o conhecimento científico, mas uma parte dele modificada. O conhecimento surge dentro de um campo científico, porém, para que possa ser ensinável, precisa passar por transformações que o vão “moldando”, tornando-o assimilável por parte dos alunos. Assim, o saber passa por, pelo menos, três tipos distintos de transposição até se constituir em conteúdo alcançado pelos alunos: o saber científico, o saber a ensinar e o saber ensinado. O SABER CIENTÍFICO O saber científico é aquele produzido pelos cientistas. O saber científico não pode ser ensinado como é em seu estado nascente, isto é, em linguagem científica, mas tem de ser publicado em linguagem acessível e por pessoas que não são os seus criadores. Nesse momento, ele começa a passar por algumas transformações, a sofrer a

transposição didática, para que possa ser elaborado de forma didática e se constituir em saber a ensinar. O saber científico torna-se público através de publicações em revistas especializadas e após, mais tarde, de livros didáticos, que nas escolas os professores utilizam como auxílio a sua prática pedagógica. O saber científico é validado por parâmetros internos da ciência e é apresentado ao meio científico através da publicação em forma de artigos, teses, relatórios ou livros. O SABER A ENSINAR O saber a ensinar é o que é estabelecido para ser ensinado nas Instituições escolares. O saber a ensinar é encontrado na forma de livros didáticos, cartilhas, softwares e outros materiais de apoio ao professor. O SABER ENSINADO O saber ensinado é o resultado do planejamento da aula e do ato pedagógico. O saber ensinado não é só aquilo que foi planejado no momento de preparar o plano de aula; na verdade, é o resultado final, desde a sua elaboração no planejamento da aula, na definição do conteúdo, na metodologia aplicada pelo professor para transmitir ou trabalhar esse conteúdo específico de ensino até o resultado final obtido. O saber ensinado está diretamente ao programa de ensino. Isso leva a pensar na importância de se estar atento ao que se apresenta ao aluno no início como programa de ensino, pois muitos se esquecem do plano logo em seguida e só o lembram quando se encerra o ano letivo. Torna-se interessante também lembrar a importância da interação e do diálogo entre professor e aluno, pois essa troca entre os pares leva ao desenvolvimento, além de levar o professor a refletir sobre o método utilizado e o que os alunos aprenderam. ALGUNS ELEMENTOS DA TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA. A TEXTUALIZAÇÃO DO SABER A textualização do saber é um processo de preparação prévia por que passa o conteúdo a ser ensinado na escola, e sua realização ocorre sob o controle de certas regras que visam a estruturação de uma forma didática: - divisão da teoria em várias áreas e bem delimitadas. - separação do saber de qualquer contexto pessoal. - estabelecimento de uma programação de aprendizagem progressiva e racional. - a definição explícita do que deverá ser ensinado. Na textualização do saber devemos destacar fundamentais : o tempo didático e o tempo de aprendizagem.

duas

variáveis

O tempo didático é aquele marcado nos programas escolares e nos livros didáticos em cumprimento a uma exigência legal.

O tempo de aprendizagem é aquele que está mais vinculado com rupturas e conflitos do conhecimento, exigindo uma permanente reorganização de informações, e que caracteriza toda a complexidade no ato de aprender. È o tempo necessário para o aluno superar os bloqueios e atingir uma nova posição de equilíbrio. Trata-se de um tempo que não é seqüencial e nem pode ser linear na medida em que é sempre necessário retomar uma concepção para poder transformá-la. Cada sujeito tem o seu próprio tempo de aprendizagem. AS NOÇÕES PARAMATEMÁTICAS As noções paramatemáticas são idéias que se caracterizam como ferramentas auxiliares à atividade matemática. Essa noções não são ensinadas de forma explícita e também são excluídas de uma avaliação direta. Elas são concebidas como idéias possíveis de serem aprendidas no transcorrer da própria aprendizagem. São sempre necessárias ao ensino como à aprendizagem matemática. As noções de equações, sistemas, definição, demonstrações, fatoração, variáveis são exemplos de noções paramatemáticas. Sempre se pede ao aluno para resolver uma equação ou demonstrar um teorema, mas quase nunca se pergunta o que é uma equação, uma demonstração ou uma definição matemática. UM EXEMPLO DE TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA ESTUDO DE FUNÇÕES 1- ORIENTAÇÕES DOS PCN PROMOVENDO A TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA NO ESTUDO DE FUNÇÕES. É importante destacar a ação do Ministério da Educação do Brasil em desenvolver um trabalho em prol da qualidade da educação escolar. Esse trabalho, que contou com a experiência e estudos de diversos educadores brasileiros, foi analisado e debatido por professores de diferentes graus de ensino, por especialistas da educação e de outras áreas, além de instituições governamentais e não-governamentais, resultando num projeto que visa uma revisão nos currículos que orientam o trabalho realizado pelos professores no Brasil e propôs um novo currículo que tenha vínculo com os diversos contextos de vida dos alunos e não mais apenas um acúmulo de informações. Assim foi entregue ao Sistema Educacional Brasileiro Os Parâmetros Curriculares Nacionais, (PCNs ), para servirem como mais uma ferramenta de apoio ao educador no momento do planejamento de suas aulas. Os PCNs ressaltam a importância do ensino da matemática para que o aluno possa estruturar o pensamento e o raciocínio dedutivo e considera sua compreensão uma ferramenta que serve para a vida cotidiana e para muitas tarefas específicas em quase todas as atividades humanas. Especificamente no estudo de funções, que é o alvo de nossa análise, os PCNs destacam que o seu ensino isolado como vem ocorrendo não permite a exploração do seu

caráter integrador. Segundo os PCNs, a compreensão do conceito de funções é de extrema importância para a interpretação e construção de gráficos do comportamento de certos fenômenos, do cotidiano e de áreas específicas do conhecimento, como a Física, Geografia ou Economia, por exemplo. Deve-se, conforme orientam, estar atento também para a sua relação com outros temas da matemática. Os PCNs enumeram uma série de relações entre funções e outros tópicos da matemática, a título de exemplificação, conforme transcrito abaixo: “...uma parte importante da Trigonometria diz respeito às funções trigonométricas e seus gráficos. As seqüências, em especial progressões aritméticas e progressões geométricas, nada mais são que particulares funções. As propriedades de retas e parábolas estudadas em Geometria Analítica são propriedades dos gráficos das funções correspondentes. Aspectos do estudo de polinômios e equações algébricas podem ser incluídos no estudo de funções polinomiais, enriquecendo o enfoque algébrico que é feito tradicionalmente.” (PCNs E.M., p.255) Tais conexões entre os temas devem ser observadas e exploradas pelo professor no momento do planejamento para que o ensino se torne mais dinâmico e significativo. É, também importante que não seja esquecido o aspecto da contextualização, que possibilitará ao aluno uma visão ampla e científica da realidade. Logo, de acordo com os PCNs, o ensino de Matemática deve propiciar ao aluno um nível de compreensão que o permita trabalhar com o conceito de função na resoluções de situações–problemas tanto em Matemática como em outras disciplinas. Sendo a Transposição Didática um conjunto de ações que visam favorecer o desenvolvimento de uma atividade didática que contribua efetivamente para um aprendizado significativo, a elaboração dos PCNs pode ser considerada uma dessas ações de valiosa contribuição. 2- A TRANSPOSIÇÃO DIDÁTICA DO ESTUDO DE FUNÇÕES. Em edições recentes de livros, encontramos aplicações ilustradas, dando um visual mais moderno, estimulando o aluno ao conhecimento e trabalhando alguns conceitos matemáticos, como preliminares ao estudo de funções. Desses, alguns se preocupam em apresentar resolução de problemas envolvendo situações do cotidiano, problemas relacionando outras disciplinas ou mesmo fatos de interesse científico onde possa ser demonstrado a utilização desse tópico matemático. O estudo de funções deve iniciar atendendo às recomendações dos PCNs, utilizando as idéias intuitivas como: lei, associação, regra, correspondência, para desenvolver a noção de função, para depois se retomar o estudo de funções de maneira mais formal, com a finalidade de se demonstrar como se estrutura a argumentação nessa Ciência, através de linguagem precisa e dedução lógica. O conceito de função, apesar de ser um dos do mais importantes na área da Matemática, como pode ser notado, é relativamente simples e formaliza o que ao longo da história foi sendo observado pelo homem, nas relações existentes na natureza e, principalmente, nas relações de grandezas existentes em suas atividades científicas.

A medida em que o homem evolui, suas necessidades e atividades vão se tornando cada vez mais complexas. O homem avança em busca de explicações e soluções e com isso o conhecimento da humanidade evolui. Com a somatória de conhecimentos, muitos desses, agregados ao saber científico, ou apenas em informações que vão enriquecendo o conhecimento na esfera individual, o homem foi tendo condições de criar, perceber relações já existentes e formalizá-las. As diversas relações ou o que, desde Leibniz, conhece-se como funções, também foram, no decorrer dos estudos matemáticos, classificadas e nomeadas. Exemplificando, pode-se citar função constante, função linear, função quadrática, função modular, função exponencial, função logarítmica, função trigonométrica entre outras. Muitas dessas funções têm uma relação estreita com outros tópicos da matemática e como orientam os PNCs, devem ser exploradas em benefício do aprendizado. A análise e interpretação de gráficos é um conceito muito importante nos diversos ramos das Ciências, portanto, é de grande valor que o professor atente para o fato de que o ensino desse tema não deve restringir-se à mera resolução de uma série de exercícios repetitivos, o que, como pudemos constatar, ocorre em livros didáticos que abundam em exercícios que favorecem a resolução mais pelo adestramento do que pela motivação da resolução de problemas reais, relacionados com o cotidiano do aluno ou com outros temas matemáticos e científicos. Encontrar aplicações significativas para esse tópico da matemática deve ser uma preocupação constante. Além disso, é importante que o aluno ao estudar funções se familiarize com suas aplicações em outras áreas científicas, para sentir-se motivado a reconhecer o valor desse conceito. O ensino de funções deve propiciar ao aluno a possibilidade de uma compreensão ampla que possa ser utilizada em benefício de outras disciplinas. Acreditamos ser propício que a noção intuitiva de função seja desenvolvida desde as primeiras séries do ensino fundamental, através de jogos, construção e interpretação de gráficos e tabelas simples, com o intuito de que o aluno comece a visualizar as operações em questão e perceber relações a partir de problemas concretos e interessantes, o mais próximos possível de seu universo. EXERCÍCIOS: 1-No estudo de funções no Ensino Fundamental: definição de função; definição de domínio; definição de contradomínio; definição de imagem; definição de conjunto imagem, desenvolva a transposição didática. 2- No estudo de frações no Ensino Fundamental: definição de fração; frações equivalentes; fração própria; fração imprópria; desenvolva a transposição didática. 3- No estudo do máximo divisor comum no Ensino Fundamental desenvolva a transposição didática. 4- No estudo do mínimo múltiplo comum no Ensino Fundamental desenvolva a transposição didática. 5- No estudo da adição com frações, no Ensino Fundamental, desenvolva a transposição didática.

6- No estudo da multiplicação e divisão com frações, no Ensino Fundamental, desenvolva a transposição didática. 7- No estudo das regras de sinais nas operações aritméticas, no Ensino Fundamental, desenvolva a transposição didática. 8- No estudo da resolução de equações do primeiro grau, no Ensino Fundamental, desenvolva a transposição didática. 9- No estudo do conjunto dos números irracionais, no Ensino Fundamental, desenvolva a transposição didática. 10- No estudo do sen, cos, tg, cotg, sec, cossec dos arcos em graus: 0, 90, 180, 270 e 360, no Ensino Médio, desenvolva a transposição didática. 11- No estudo de números complexos - definição de número complexo, no Ensino Médio, desenvolva a transposição didática. Sugestão : Siga o roteiro abaixo. 1- Descreva a programação da apresentação dos conteúdos. 2- Distribua o conteúdo no tempo para organizar uma seqüência, um ordenamento. 3Desenvolva o conteúdo de acordo com um julgamento sobre a significância para desenvolvimento das competências que se quer desenvolver. 4- Contextualizar o conhecimento. 5- Desenvolver estratégias de ensino eficazes para organizar situações de aprendizagem que efetivamente promovam no aluno as competências que se quer desenvolver. CONTRATO DIDÁTICO A relação professor – aluno está subordinada a muitas regras e convenções que funcionam como se fossem cláusulas de um contrato. Essas regras, porém, quase nunca são explícitas, mas se revelam principalmente quando se dá a transgressão das mesmas. O conjunto das cláusulas que estabelecem as bases das relações entre os professores e alunos mantêm com o saber , constitui o chamado contrato didático. Chama-se contrato didático o conjunto de comportamentos do professor que são esperados pelos alunos e o conjunto de comportamentos do aluno que são esperados pelo professor. O contrato didático depende da estratégia de ensino adotada, adaptando-se a diversos contextos, tais como: as escolhas pedagógicas, o tipo de trabalho solicitado aos alunos, os objetivos do curso, as condições de avaliação, etc. A prática pedagógica mais comum em matemática parece ser aquela em que o professor cumpre seu contrato dando aulas expositivas e passando exercícios para os alunos; em suas aulas ele deve selecionar partes do conteúdo que o aluno possa aprender e propor problemas cujos enunciados contenham os dados necessários e tão-somente esses, cuja combinação

racional, aliadas aos elementos da aula, permite encontrar a solução do problema. O aluno, por seu lado cumpre o contrato se ele bem ou mal compreende a aula dada e consegue resolver, corretamente ou não, os exercícios. Se isso não acontecer, o professor deverá ajudá-lo, dirigindo o seu trabalho através de indicações que esclareçam suas dúvidas ou de pequenas questões elementares que conduzam o resultado. Há casos extremos em que o professor se refugia na segurança dos algoritmos prontos, fraciona a atividade matemática em etapas pelas quais passa mecanicamente, esvaziando o seu significado. Sua atuação se resume em apresentar uma definição, dar alguns exemplos e solicitar exercícios idênticos aos dos exemplos dados. Aos alunos cabe memorizar as regras para repeti-las nas provas repletas de questões rotineiras que permitem a reprodução do professor. Já na estratégia de ensino em que o aluno trabalha individualmente ou em duplas, seguindo as orientações contidas em seqüências didáticas organizadas pelo professor, e a institucionalização do saber se dá através de sessões coletivas, o contrato didático é totalmente diferente. O professor se apóia nas produções pessoais ou coletivas dos alunos (resultado de atividades propostas através de um problema) para fazer progredir o aprendizado de toda a classe. Em muitos casos é necessário que haja a ruptura e a renegociação do contrato didático. O caso em que o professor pretende introduzir um conceito novo por meio não de uma aula expositiva (definição , propriedades, exemplos, lista de exercícios), mas de atividades em que os alunos, partindo de uma situação –problema, resolvem o problema trabalhando individualmente ou em dupla e, no final, e no final o professor faz com toda a classe o fechamento, visando a institucionalização do conceito que se pretende construir. EFEITOS DO CONTRATO DIDÁTICO Grande parte das dificuldades dos alunos é causada pelos efeitos do contrato didático mal- colocado ou mal entendido. Desejando que os alunos obtenham bons resultados, o professor tende a facilitar-lhes a tarefa de variadas maneiras como, por exemplo, fornecendo abundantes explicações, ensinando pequenos truques, algoritmos e técnicas de memorização ou mesmo indicando pequenos passos nos problemas. As vezes as explicações excessivas podem impedir a compreensão. EXERCÍCIOS 1 - No ensino da representação de reta a partir de uma equação dada na forma geral, no sistema cartesiano ortogonal, fazer um contrato didático. 2- No ensino dos algoritmos da adição e subtração usando o ábaco, fazer um contrato didático. 3. No ensino da resolução de sistema com duas equações e duas incógnitas, fazer um contrato didático. Sugestão: - O trabalho deve ser realizado individualmente;

- é permitida a consulta de todo material ( anotações, livros, calculadoras, etc). - não haverá consulta ao professor; - após a realização do exercício de forma individual serão formadas duplas; - a dupla deve discutir sobre os seus resultados. Estão iguais? Estão diferentes? Se diferentes, houve erros? Se houve erros, detectá-los. Se houver dúvidas, saná-las com os seus materiais. - anotar todas as conclusões ou dúvidas surgidas da discussão. - não é permitida a comunicação com alunos que não pertençam a própria dupla; - não é permitido o empréstimo de qualquer material alheio á dupla; - a produção da dupla deve ser apresentada á turma; - haverá uma discussão, em cada apresentação, com todos os alunos, podendo haver a intervenção do professor promovendo o aprendizado. . REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO Em matemática toda a comunicação se estabelece com base em representações. Os objetos a serem estudados são conceitos, propriedades, estruturas, relações que podem expressar diferentes situações, portanto para o seu ensino precisamos levar em consideração as diferentes formas de representação de um mesmo objeto matemático. Podemos dizer que uma escrita, um símbolo ou notação representam objetos/conteúdos/conceitos matemáticos. O que se constatou em diversas pesquisas em Educação Matemática é a dificuldade que o aluno encontra de passar de uma representação a outra. A matemática trabalha com objetos abstratos, ou seja, os objetos não são diretamente acessíveis à percepção, necessitando para a sua apreensão o uso de uma representação. Neste caso as representações através de símbolos, códigos, tabelas, gráficos, algoritmos, desenhos são bastante significativas, pois permitem a comunicação entre os sujeitos e as atividades cognitivas do pensamento, permitindo registros de representação diferentes de um mesmo objeto matemático. Por exemplo, a função pode ser representada através da expressão algébrica, tabelas e/ou gráficos que são diferentes registros de representação. Um objeto matemático não pode nem deve ser confundido com sua representação, uma vez que não é acessível diretamente à percepção e nem à experiência intuitiva. Por essa razão, as atividades sobre o objeto matemático ocorrem sempre pela sua representação, sendo essa representação, portanto, essencial à atividade cognitiva. Há dois tipos de transformações de representações: - Tratamento - ocorre quando trabalhamos dentro de um mesmo registro, como, por exemplo, quando resolvemos uma equação apenas usando o transformismo algébrico. - Conversão - envolve registros diferentes, como acontece ao solucionarmos uma equação algébrica por meio de sua representação geométrica.

A ÁLGEBRA E OS REGISTROS DE REPRESENTAÇÃO Consideramos que a Álgebra está presente no ensino desde as séries iniciais, porém é importante que os alunos tenham um aprendizado significativo dos conceitos algébricos, pois para o aluno construir um significado concreto para as expressões algébricas é necessário haver uma fundamentação teórica rica em significados desde o início do aprendizado. Ao tratarmos do ensino de álgebra, precisamos considerar os diferentes registros de representação, no sentido de contribuir com o aprendizado significativo, produzindo a construção de conceitos algébricos pelos alunos. REGISTROS DE REPRESENTAÇÕES ALGÉBRICOS: - Registro Funcional – expressa relações e variáveis; - Registro de Equações – as letras entendidas como incógnitas; - Registro da aritmética generalizada – Letras como generalizações de modelos matemáticos. Como exemplo, a operação da adição é comutativa. Isto pode ser representado como a + b = b + a ( a ordem das parcela não altera a soma). - Registro Língua Materna – situações apresentadas a partir da língua natural. Sugere situações-problema através da língua portuguesa – quando é solicitado, por exemplo, que “Escreva uma equação observando a figura retangular de perímetro 48 metros em que um dos lados não conhecemos e os outros são informados na figura”. É necessário que se faça um tratamento deste registro, lendo e compreendendo o registro de representação a partir do entendimento de perímetro, de região retangular, demonstrando o entendimento conceitual a partir da língua natural. - Registro Figural – propriedades das figuras geométricas e utilização de gráficos. É composto de figuras geométricas ou gráficos, que representa um objeto matemático. EXERCÍCIOS 1 - Fazer registros de representação para as seguintes: a) o estudo do sinal da função f(x) = x – 2. b) o estudo do sinal da função f(x) = x2 – 3x + 2 c) a resolução da inequação x-2 >0 d) a resolução da inequação ( x - 1) x ( - x + 2 ) > 0. c) a área de um retângulo de dimensões 2m e 4m. d) o volume de um cubo de aresta 5 cm. e) Achar a função inversa de y = x + 3. f) Achar a função composta de f o g sendo f(x) = x - 1 e g(x) = 2x – 3. Sugestão : - Investigar os diferentes registros de representações algébricos.

2 - Desenvolver uma atividade em que haja os registros de representações: -Registro da língua materna. -Registro figural. -Registro de equações. SITUAÇÕES DIDÁTICAS A teoria das situações didáticas analisa as diferentes formas de apresentação do conteúdo matemático ao aluno. O significado do saber matemático escolar para o aluno é fortemente influenciado pela forma didática com que o conteúdo lhe é apresentado. O envolvimento do aluno dependerá da estruturação das diferentes atividades de aprendizagem através de uma situação didática. As situações didáticas devem efetuar não a simples comunicação de um conhecimento, mas a devolução de um problema. A devolução é a transferência de responsabilidade, uma atividade na qual o professor, além de comunicar o enunciado, procure agir de tal forma que o aluno aceite o desafio de resolvê-lo como se o problema fosse seu, e não somente porque o professor quer. Se o aluno toma para si a convicção de sua necessidade de resolução do problema, ou seja, se ele aceita participar dese desafio intelectual e se ele consegue sucesso nesse seu empreendimento, então inicia-se o processo de aprendizagem. Uma situação a-didática se caracteriza essencialmente pelo fato de representar determinados momentos do processo de aprendizagem nos quais o aluno trabalha de forma independente, não sofrendo nenhum tipo de controle direto por parte do professor. As situações a-didáticas representam os momentos mais importantes da aprendizagem, pois o sucesso do aluno nas mesmas significa que ele, por seu próprio mérito, conseguiu sintetizar um conhecimento. Observamos que a escolha do problema pelo professor é uma parte importante de uma situação mais ampla, planejadas com fins pedagógicos, na qual pode ocorrer uma ou mais situações a-didáticas. Toda atividade pedagógica deve ser planejada pelo professor no sentido de direcionar o aluno para o principal que é a situação a-didática. Poderão ser utilizados recursos didáticos variados, por exemplo: problematização matemática a partir da exploração de material concreto de manipulação ou de situações -problema contextualizadas; desafios matemáticos com o uso de programas computacionais; desenvolvimento de atividades baseadas em seqüências didáticas previamente elaboradas pelo professor; enfim há um grande número de problemas e opções que possibilita um aumento considerável de situações a-didáticas. O que impulsiona o processo de ensino–aprendizagem matemática são as atividades envolvendo a resolução de problema. O trabalho pedagógico tem início exatamente com a escolha com a escolha de um problema que deve ser compatível com o nível de conhecimento do aluno.

CATEGORIAS DE SITUAÇÕES 1- Situações de ações. Um determinado contexto de aprendizagem é uma situação de ação quando o aluno, que se encontra ativamente empenhado na busca de solução de um problema, realiza determinadas ações mais imediatas, que resultam de uma operação mais operacional. Numa situação de ação há sempre o predomínio quase que exclusivo do aspecto experimental do conhecimento. Este é o caso, por exemplo, quando na solução de um problema de construção geométrica o aluno se contenta exclusivamente através da realização de um desenho utilizando régua e compasso. Ele realiza uma ação mais experimental sem no entanto se preocupar com a explicação de um resultado que esclareça ou justifique a validade de sua resposta. 2- Situações de formulação Numa situação de formulação o aluno utiliza, na solução do problema estudado, alguns esquemas teóricos mostrando um evidente trabalho com informações teóricas de uma forma bem mais elaborada, podendo ainda utilizar uma linguagem mais apropriada para viabilizar esse uso da teoria. 3- Situações de validação As situações de validação é aquela em que o aluno já utiliza mecanismos de prova e em que o saber é usado com essa finalidade. Elas podem servir para contestar, validar ou rejeitar proposições. O trabalho do aluno não se refere somente às informações em torno do conhecimento (Situação de formulação) mas sim a certas afirmações, elaborações, declarações a propósito deste conhecimento. A noção de prova está associada a uma determinada situação particular quando uma dada explicação é reconhecida e aceita por certo grupo de pessoas num momento particular. As demonstrações são determinados tipos de provas aceitas pela comunidade matemática. A estrutura da uma demonstração se constitui numa seqüência de deduções lógicas formais através de regras bem definidas, apoiando-se em proposições verdadeiras, que permitem concluir a verdade de uma dada proposição. Na origem dessas deduções estão algumas proposições cuja validade é admitida como evidente por si mesma. È necessário destacar que a atividade de validação é indissociável da de formulação. UTILIZAÇÃO DO WINPLOT PARA CONSTRUÇÃO DE SITUAÇÕES DIDÁTICAS. O Winplot desenha gráficos em duas ou três dimensões. Mostraremos os gráficos em duas dimensões. Ao iniciar o programa selecione no menu principal a opção de gráficos em duas dimensões “2-dim” ou pressione a tecla F2 do teclado.

Tela inicial do Winplot A principal função do Winplot é traçar gráficos de funções e efetuar algumas operações sobre elas. Também é possível inserir pontos e traços. É possível plotar a maioria das funções elementares (veja as funções disponíveis no final deste texto). Para que o Winplot desenhe os gráficos é necessário observar a sintaxe correta ao inserir os dados da função. Gráficos de funções a)Função explícita Clicando em “Equação” no menu principal e em seguida na opção “Explícita”será mostrada a janela onde será inserida a fórmula da função desejada.

Nesta caixa de texto insere-se a fórmula da função. Indique nesta caixa de texto o intervalo do domínio da função a ser plotada e marque a opção “travar intervalo”. Ao pressionar o botão “Ok”, o winplot desenha o gráfico solicitado. O gráfico é exibido de forma bem simplificada. Alguns detalhes podem ser adicionados ao editá-lo e ao modificar algumas opções de visualização do gráfico. Para editá-lo é necessário acessar o “inventário de funções”. Isto pode ser feito através do atalho no teclado: Ctrl + i. Para acessar as opções de visualização do gráfico, deve clicar-se em ”Ver” na barra de menu. Existem várias opções. A janela de inventário Ao acessar a janela de inventário o usuário tem as seguintes opções: 1. Editar: Nesta opção é possível modificar a fórmula da função, determinar um novo intervalo a ser plotado, alterar a cor e espessura do traço. 2. Apagar: Elimina uma equação selecionada (e todas que dependem dela) do inventário. Não existe uma opção “voltar” para esta operação. 3. Dupl: Duplica a função selecionada. Útil para não ter que escrever uma função similar a uma que já esteja no inventário. 4. Copiar: Copia a fórmula da equação para a área de transferência do sistema. 5. Derivar: O programa gera o gráfico da derivada da função. 6. Nome: Útil quando se trabalha com muitas funções. 7. Mostrar gráfico: Ao clicar uma vez, oculta o gráfico. Para exibi-lo clique outra vez. 8. Mostrar equação: Exibe a sentença da função no gráfico.

9. Família: Converte a equação em uma família de curvas (ou pontos). Para que funcione, o exemplo deve ser definido por uma equação que tem um parâmetro extra. Indique o parâmetro extra na caixa "parâmetro", coloque o intervalo dos nas caixas "min" e "max" e indique quantas curvas devem estar na família na caixa "passo". Clique em "definir" para completar o processo e ver o gráfico. 10. Tabela: Exibe uma tabela com valores da função dentro do intervalo plotado. Janela de inventário de funções. Opções de visualização Veremos como melhorar a apresentação de um gráfico a partir de pequenas modificações. No item “Ver”, temos a opção “grade” que pode ser acessada pelo atalho “Crtl G” do teclado. Faça as modificações segundo a figura abaixo:

No inventário de funções, clique nos botões “Mostrar equa” e “tabela”.

b)Funções parametrizadas

Indique o intervalo a ser plotado. Insira nas caixas de texto os parâmetros correspondentes. Ao marcar esta opção, o programa insere uma flecha indicando em que sentido o parâmetro está crescendo. c) Funções implícitas

Para desenhar funções implícitas, o Winplot utiliza um método especial baseado em cálculo numérico de equações diferenciais, a partir de um ponto escolhido aleatoriamente pelo programa. Inequações Esta opção do menu equações está disponível somente se existir ao menos uma função implícita no inventário. O Winplot pode converter uma equação do tipo f(x,y)=0 em uma inequação: basta selecionar a equação na primeira caixa de listagem e clicar desigualdade implícita- alterar, mostrar região. Animações Os gráficos gerados pelo Winplot podem ser animados desde que as equações contidas no inventário estejam definidas por parâmetros. Para animar o gráfico é preciso indicar o intervalo no qual o parâmetro deve variar. Veja o exemplo abaixo.

Clique em “Anim” no menu principal e selecione o parâmetro que deseja variar.

Neste exemplo, -2 a  2. Digite –2 na caixa de texto indicada na figura abaixo e clique em def L para definir o extremo esquerdo dos possíveis valores de a. Para definir o outro extremo do intervalo, o direito, digite 2 na mesma caixa de texto e clique em def R.

Para visualizar a animação clique em auto rev ou em auto cícl..

Comandos de animação Existem três comandos para a visualização da animação e todos são no teclado: Digite a tecla R do teclado e mantenha-a pressionada para incrementar a taxa de variação do parâmetro. Digite a tecla L do teclado e mantenha-a pressionada para diminuir a taxa de variação do parâmetro e para fazer com que o parâmetro varie rapidamente. Digite S para finalizar a animação. Seqüência de animação:

Anexo Extraído do arquivo de ajuda do Winplot com adaptações e correções. Tradução do Profª Adelmo Ribeiro de Jesus, Universidade Estadual da Bahia. O interpretador de funções deste programa foi projetado para reconhecer a maioria das funções elementares, tais como: Pi = 3,14159, ln, log, exp, sin, cos, tan, csc, sec, cot, sinh, cosh, tanh, coth, arcsin, arccos, arctan, arccot, argsinh, argcosh, argtahn, argcoth, floor, ceil, int [ int(-2.3) = -2.0 ],

sqr = sqrt = raiz quadrada, abs(x) = |x| , e , assim como as funções não tão elementares: root(n,x) = raiz enésima de x, pow(n,x) = enésima potência de x, iter(n,f(x)) = n-iterado de f(x), abs(x,y) = sqrt(x*x+y*y), abs(x,y,z) = sqrt(x*x+y*y+z*z), arg(x,y) = ângulo polar [ -pi < ângulo <= pi ], max(a,b,..) e min(a,b,..) , mod(x,y) = x - |y|*floor(x/|y|) , sgn(x) = x/abs(x), frac(x) = x-int(x) hvs(x) = função Heaviside (1+sgn(x))/2, erf(x) = a função erro padrão, binom(n,r) = n!/r!/(n-r)!, sum(b,f(n,x)) = soma de f(n,x) para n=1 à n=b, prod(b,f(n,x)) = produto de f(n,x) para n=1 à n=b, rnd(x) = valor aleatório entre -x e x, lg(b,x) = ln(x)/ln(b). Função definida por várias sentenças: joinx(f|c,g|d,...,h), que significa: y = f(x) para x <= c , y = g(x) para c < x <= d , ... , e y = h(x) para outros valores de x. Por exemplo, tente desenhar a função y = joinx(x+1|0,1-x^2|2,-1). A função joint(f|c,g|d,...,h) é definida de forma análoga para funções de um parâmetro t. Existe também chi(a,b,x) = a função do intervalo [a,b], que atribuirá valor 1 se x estiver entre a e b, e 0 caso contrário (função característica do intervalo [a, b]). As constantes ninf (negative infinit) e pinf (positive infinit) representam menos infinito e mais infinito. O valor da constante deg é pi/180, o fator de conversão de radianos para graus. Exemplificando, y = sin(x deg) produz o gráfico do seno em função do ângulo em graus. Vale esclarecer que x^n é calculado através o uso de logaritmos, pela fórmula exp(n*ln(x)), a qual requer que x seja positivo. O decodificador procura constantes inteiras no expoente quando a definição é editada, mas não há nenhuma verificação durante a representação gráfica para ver se um expoente variável está próximo a um inteiro. É conseqüentemente necessário supor que a base é positiva em uma expressão do tipo x^n. Usando o pow(n,x) se evita est convenção, porque aqui n é sempre avaliado como um inteiro (que se arredonda, se necessário). Os sinais usuais da álgebra são usados. Exponenciação é representado por ^, embora seja mais fácil escrever xx do que x^2. O símbolo multiplicativo * pode geralmente ser dispensado. Por exemplo, 2x é interpretado para significar 2*x.Não use pix ao invés de pi*x, contudo. Qualquer letra pode ser usada como uma variável numérica e receber um valor específico a qualquer hora. Por exemplo, axx + bx + c representa uma função quadrática padrão, cujos coeficientes podem ser modificados. Qualquer conjunto de letras e números serão tratados como um produto de constantes e variáveis, caso este não se encontre na biblioteca de nomes de

função. A tradução inicia-se no final esquerdo de cada conjunto. Embora xpi seja lido como x*pi, o conjunto pix será interpretado como p*i*x. A constante e tem como valor padrão 2.718281828459045..., a base do sistema de logaritmos naturais (ou neperianos). Maiúsculas e minúsculas não são diferenciadas. Colchetes, chaves e parênteses podem ser usados como símbolos de agrupamento. Espaços serão ignorados. O ESTUDO DE FUNÇÕES COM O SUPORTE DO SOFTWARE WINPLOT 1 - Num mesmo par de eixos, desenhe os gráficos de f(x) = x, f(x) = x+1, f(x) = x + 2; f(x) = x - 4. Tire conclusões. 2- Num mesmo par de eixos, desenhe os gráficos de f(x) = (1/10)x, f(x) =(1/5) x, f(x) = x, f(x) = 4x, f(x) =10x. Tire conclusões. 3 - Num mesmo par de eixos, desenhe os gráficos f(x) = (1/5)x 2, f(x) = (1/2) x 2, f(x) = x2 , f(x) = 2 x2, f(x) = 4 x2. Tire conclusões. 4- Num mesmo par de eixos, desenhe os gráficos f(x) = x 2, f(x) = x 2+ 1, f(x) = x2 + 3, f(x) = x2 - 2, f(x) = x2 - 5. Tire conclusões.

O DESENVOLVIMENTO DE ALGUMAS SITUAÇÕES DIDÁTICAS COM O USO DO WINPLOT. ABORDAGEM GEOMÉTRICA NAS RESOLUÇÕES DAS INEQUAÇÕES COM O SUPORTE DO SOFTWARE WINPLOT. 1- Represente, no sistema cartesiano ortogonal, o gráfico da função y = - x+1. Determine o valor da abscissa do ponto que está sobre o eixo x observando que este ponto tem ordenada zero. Como representar, algebricamente, o problema e sua resolução? 2- Determine, observando o gráfico do primeiro exercício, os valores das abscissas (x) de todos os pontos do gráfico que estão abaixo ou sobre o eixo x? Observe que esses pontos têm a ordenada (y) negativa ou nula. Como representar, algebricamente, o problema e sua resolução? 4 - Determine, observando o gráfico do primeiro exercício, os valores das abscissas (x) de todos os pontos do gráfico que estão acima do eixo x? Observe que esses pontos têm a ordenada (y) positiva. Como representar, algebricamente, o problema e sua resolução? 5 - Resolva a inequação - 2x – 4 ≥ 0 através da representação geométrica. 6 - Represente o gráfico da função y = x+2. 4- Verifique os valores de x (abscissas dos pontos do gráfico) que têm y (ordenadas dos pontos do gráfico) positivos; negativos; nulos. (você está fazendo o estudo do sinal da função y = x+2). 5- Represente o gráfico da função y = -2x-2. Verifique os valores de x (abscissas dos pontos do gráfico) que têm y (ordenadas dos pontos do gráfico) positivos; negativos; nulos. (você está fazendo o estudo do sinal da função y = -2x- 2). 6- Como resolver, geometricamente, a inequação (x+3) < 0? 7- Como resolver, geometricamente, a inequação (-2x - 4) ≥ 0 ?

ABORDAGEM GEOMÉTRICA NAS RESOLUÇÕES DAS INEQUAÇÕES PRODUTO E QUOCIENTE COM O SUPORTE DO SOFTWARE WINPLOT. Represente, no mesmo sistema cartesiano ortogonal, os gráficos das funções y = x + 2 e y = - 2x – 2. Verifique, para cada gráfico, os valores de x (abscissas dos pontos do gráfico) que têm y (ordenadas dos pontos do gráfico) positivos; negativos; nulos. Verifique os valores de x que têm y positivos, negativos, nulos numa nova função obtida pelo quociente entre as funções dadas, isto é, y =

x +2 , − 2x − 2

fazendo o gráfico no mesmo sistema em que representou as funções y = x + 2 e y = - 2x – 2. Para isso, faça, no mesmo sistema, a representação do gráfico da função y =

x +2 e observe os valores de x dos pontos desse − 2x − 2

gráfico que tem y positivos; negativos; nulos.

Você é capaz de resolver a inequação

y=

x +2 somente com as − 2x − 2

representações dos gráficos das funções y = x + 2 e y = - 2x – 2? Resolva, geometricamente, as inequações: (4x – 4) x ( x + 3) > 0 ( x+3) x ( 2x + 4) < 0

O USO DO WINPLOT NA GEOMETRIA ANALÍTICA. 1- Representar os pontos ( 1, 2 ) ; ( - 2, 3 ); ( 1, - 3 ); ( - 4, - 3 ) em cores diferentes. 2- Refletir o ponto ( - 2, 3 ) em relação ao eixo x, em relação ao eixo y e em relação à reta y = x. Observe os pontos e tire conclusões. 3- Representar o gráfico da equação 2x + 3y + 4 = 0. Representar o gráfico da equação y = (- 2/3)x – (4/3). Observe os dois gráficos e tire conclusões. 4- Representar os gráficos das equações y = 2x – 2 e y = - 3x + 5. Determine o ponto de intersecção entre os gráficos. 5 - Representar os gráficos das equações y = 3x – 1 , y = 3x + 4, y =3x +2. Tire conclusões em relação aos gráficos e as equações dadas. 6 - Representar os gráficos das equações y = ½ x + 2 e y = - 2x - 3 . Tire conclusões em relação aos gráficos e as equações dadas. 7-Representar os gráficos das equações 2y – 3x + 1 = 0 e 4y – 6x + 2 = 0. Tire conclusões em relação aos gráficos e as equações dadas. 8-Representar os gráficos das equações x2 + y 2 = 4 e

x2 y2 + = 1 . Observe 4 4

os gráficos e tire conclusões.

9- Representar o gráfico da equação e

.

x2 y2 + = 1 . Observe o gráfico e tire 4 9

conclusões. 10- Representar o gráfico da equação ( x –2)2 + ( y + 3)2 =16. Observe o gráfico e tire conclusões. 11- Representar o gráfico de ( x-2)2 + ( y + 3 )2 = 1. Observe o gráfico e tire conclusões. 16 9

RESOLUÇÃO DE SISTEMAS DE EQUAÇÕES LINEARES. UMA VISÃO ALGÉBRICA E GEOMÉTRICA. Equações lineares a1x1 + a2x2 + a3x3 + . . . anxn = b a1, a2, a3 . . . an são coeficientes numéricos. x1, x2, x3, xn são incógnitas de grau um. b é o termo independente ( número). Exemplos: a)_3x + 2y = 1 ( Mostrar no Winplot). b) 2x + y + z = 1 ( Mostrar no Winplot). x 2 + y = 2 não é linear. (Mostrar no Winplot). x1/2 + y = 1 não é linear. ( Mostrar no Winplot) Soluções de uma equação linear a) Soluções da equação linear 3x + 2y = 1. 2y = 1 – 3 x y=

1 −3 x 2

Soluções: ( 1, -1 ); ( 0, ½ ) , etc. (Mostrar, no winplot, que esses pontos são pontos do gráfico 3x + 2y = 1). Verificar, graficamente, se x = 3,4 e y = - 4,6 é solução. ( Ver no winplot) b) Soluções da equação linear 2x + y + z = 1. z = 1 – 2x – y. Soluções: x = 1, y = 2, z = -3 ; x = 2, y = -1, z = -2; etc (Mostrar, no winplot, que esses pontos são pontos do gráfico 2x + y + z = 1). Onde o plano intercepta os eixos? Estes pontos são, também, soluções do sistema. ( Mostrar no winplot ) Verificar, geometricamente, se x = 1.4; y = 2,3 e z = - 4,1 é solução da equação 2x + y + z = 1. ( Ver no winplot) . Solução da equação linear 2x = 4. x=2 Equação Linear Homogênea. Termo independente é zero. Exemplos: 3x + 2y = 0 x = 0, y = 0 é uma solução. Solução trivial (Mostrar no winplot a solução trivial). x – 2y + z = 0. x = 0, y = 0, z = 0 é uma solução. Solução trivial. (Mostrar no winplot a solução trivial).

UMA SITUAÇÃO DIDÁTICA NO ESTUDO DA TRIGONOMETRIA. 1- CONSTRUIR UMA TÁBUA TRIGONOMÉTRICA COM OS VALORES DO SENO, COSSENO E TANGENTE DOS ÂNGULOS ABAIXO ( COM DUAS DECIMAIS). APRESENTAR TODO O PROCESSO DA CONSTRUÇÃO. ÂNGULOS: 250; 300; 450; 600; 800 2 – CONSTRUIR UM TEODOLITO PARA ENSINO DE TRIGONOMETRIA. O teodolito é um instrumento muito usado na engenharia para medir ângulos e distâncias.

Apresentaremos abaixo um exemplo: Você pode construir um teodolito, para medir ângulos, fixando um extremo de um fio no centro de um transferidor e o outro extremo em um peso.

Para entender como se usa esse aparelho, imagine que você alinhe a base do transferidor com o topo de um prédio e que o fio estacione sobre a marca 60º da escala. Desse modo, você pode concluir que seu raio visual forme 60º com a vertical e 30º com a horizontal

Você pode concluir que o ângulo com a horizontal é 30º porque os ângulos agudos em um triângulo retângulo são complementares. 3- COM O USO DO TEODOLITO CONSTRUÍDO, DAS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO E DE UMA TÁBUA TRIGONOMÉTRICA, CALCULE A ALTURA APROXIMADA DO PRÉDIO FRONTAL DA FEUC. 4- APRESENTAR CINCO PROBLEMAS CONTEXTUALIZADOS EM QUE ESTAMOS USANDO AS RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NUM TRIÂNGULO RETÂNGULO.

CONSTRUÇÃO DE SITUAÇÕES DIDÁTICAS ENVOLVENDO CONTEXTUALIZAÇÃO E A INTERDISCIPLINARIDADE.

A

APLICAÇÕES DA FUNÇÃO EXPONENCIAL O crescimento exponencial é característico de certos fenômenos naturais. No entanto, de modo geral não se apresenta na forma ax, mas sim modificado por constantes características do fenômeno, como em f(x) = C . akx. Dê três aplicações da função exponencial: Uma aplicação sobre bactérias. Uma aplicação sobre radioatividade. Uma aplicação sobre juros compostos. UMA ATIVIDADE INTERDISCIPLINAR ABORDANDO UM TEMA INTERDISCIPLINAR. TEMA: A LEITURA COMO SABER Apresentar gráficos que procuram retratar uma determinada situação e fazer referência aos seguintes temas: 1. Sistema cartesiano. 2. Função numa visão gráfica 3. Estudo do domínio, contradomínio, conjunto imagem, imagens representadas no gráfico. 4. Leitura de gráficos. O USO DO ÁBACO 1) a) b) c)

Mostre, usando o ábaco, como fazer a adição de: 124 + 232 675 + 137 208 + 202

2) a) b) c)

Mostre, usando o ábaco, como fazer a subtração: 435–212 342- 165 400–199

SITUAÇÕES DIDÁTICAS NO ESTUDO DE FRAÇÕES FAÇA AS REPRESENTAÇÕES FRAÇÕES PRÓPRIAS COMO PARTE DO TODO

2 DO TODO . 3

COMO DIVISÃO DO TODO EM PARTES

DIVIDIR POR TRÊS PESSOAS. QUANDO TEM CADA PESSOA? 2 CADA PESSOA TEM DO TODO. 3 2 . 3 QUAL A REPRESENTAÇÃO FRACIONÁRIA DA DIVISÃO DE 3 PARA 5?

DIVIDIR 2 PARA 3 TEM A REPRESENTAÇÃO

FRAÇÕES IMPRÓPRIAS COMO PARTE DO TODO. 5 2 1 5 PARTES DE NOS TODOS. 2 Esssssss ESTA REPRESENTAÇÃO PODE SER 2 INTEIROS E MAIS A REPRESENTAÇÃO PODE SER

1 DO INTEIRO. 2

5 1 ( FRAÇÃO) OU 2 ( NO MISTO). 2 2

COMO DIVISÃO DO TODO EM PARTES

DIVIDIR POR DUAS PESSOAS. QUANTO TEM CADA PESSOA? 1 DO INTEIRO. 2 5 1 A REPRESENTAÇÃO PODE SER ( FRAÇÃO) OU 2 ( NO MISTO). 2 2

CADA PESSOA TEM 2 INTEIROS MAIS

FRAÇÕES APARENTES COMO PARTE DO TODO E COMO DIVISÃO DO TODO EM PARTES.

OS PROCEDIMENTOS SÃO OS MESMOS DO QUE FIZEMOS ANTERIORMENTE. 4 FAÇA OS PROCEDIMENTOS PARA A REPRESENTAÇÃO DE COMO PARTE 2 DO TODO E COMO DIVISÃO DO TODO EM PARTES. FRAÇÕES EQUIVALENTES REPRESENTAR COMO PARTE DO TODO AS FRAÇÕES

2 4 E . 3 6

2/3

4/6

REPRESENTAM A MESMA PORÇÃO. SÃO FRAÇÕES EQUIVALENTES. REPRESENTAR COMO PARTE DO TODO AS FRAÇÕES

3 6 E . 2 4

3 2

6 4

REPRESENTAM A MESMA PORÇÃO. SÃO FRAÇÕES EQUIVALENTES. ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES IGUAIS. FAZER A ADIÇÃO DE

3 1 + . 5 5

ADIÇÃO DE FRAÇÕES COM DENOMINADORES DIFERENTES.

FAZER A ADIÇÃO

1 2 + 2 3

HÁ NECESSIDADE DE FAZER COM QUE AS FRAÇÕES TENHAM OS MESMOS DENOMINADORES. ISSO FACILITA A VISUALIZAÇÃO DA ADIÇÃO DAS PARTES DO TODO. 3 1 − . 2 3 REPRESENTAR GRAFICAMENTE.

FAZER A SUBTRAÇÃO DE

MULTIPLICAÇÃO DE FRAÇÕES. REPRESENTAR

1 2 DE DO TODO. 2 3

QUAL A FRAÇÃO QUE INDICA

REPRESENTAR

1 2 X . 2 3

1 3 X . 2 2

QUAL A FRAÇÃO QUE INDICA

1 3 X ? 2 2

DIVISÃO DE FRAÇÕES.

1 2 2 1 DIVIDIDO POR . QUANTAS VEZES ESTÁ DENTRO DE NO TODO? 2 3 3 2

OBSTÁCULOS DIDÁTICOS

Os obstáculos didáticos são conhecimentos que se encontram relativamente estabilizados no plano intelectual e que podem dificultar a evolução da aprendizagem do saber escolar. No que se refere ao estudo dos obstáculos didáticos, permanece o interesse de estabelecer os limites do paralelismo possível entre o plano histórico do desenvolvimento de um conceito e a aprendizagem escolar deste conceito. Se a didática se dispõe a estudar o aspecto evolutivo da formação de conceitos, é conveniente admitir a flexibilização de que os obstáculos não dizem respeito somente às dificuldades históricas e externas ao plano da aprendizagem. É preciso estar atento às diferentes fontes de dificuldades na aprendizagem escolar. O interesse em estudar a noção de obstáculo decorre do fato da mesma permitir identificar as fontes de diversos fatores que levam a aprendizagem a uma situação de inércia e de obstrução. EXEMPLOS DE OBSTÁCULOS DIDÁTICOS Exemplo 1- No estudo da aritmética, está relacionado ao caso da aprendizagem do produto de dois números inteiros positivos que é sempre maior do que cada fator. Esse conhecimento pode ser um obstáculo à aprendizagem das propriedades do produto de dois números decimais, para os quais tal proposição nem sempre é verdadeira, como é o caso do produto de 0,1 x 0,01 que é menor do que cada fator. Exemplo 2 - Um exemplo de obstáculo didático, ainda relacionado às operações com números racionais, pode ser encontrado no caso da divisão de um número inteiro positivo por um número racional menor do que um, cujo resultado é um número maior do que o dividendo. Nesse caso, o aspecto inerente à estrutura lógica da matemática entra em conflito direto com o conhecimento que o aluno traz de sua vivência não escolar. No cotidiano não refletido, normalmente se conclui, intuitivamente, que o resultado da divisão é sempre menor do que o dividendo, contrariando o caso da divisão de frações acima mencionada. Exemplo 3 - Um outro exemplo de obstáculo didático está relacionado à aprendizagem da geometria espacial, quando faz intervir a utilização de uma representação por meio de uma perspectiva. A realização ou leitura desse desenho não é uma atividade evidente. Um cubo representado em perspectiva paralela, normalmente, aparece com a face superior representada por um paralelogramo não quadrado, onde os ângulos não são retos, quando medidos sobre a superfície do papel, mas, por outro lado, representam os ângulos retos da face superior do cubo. Se o aluno fixar sua leitura nas particulares do desenho em si, ele pode ter dificuldades em compreender as propriedades geométricas do sólido representado.

Exemplo 4 - Dificuldade em fazer comparações entre frações, pois estando acostumados com a relação 3 > 2, terão de compreender uma desigualdade que lhes parece contraditória, ou seja,

1 1 < . Nesse caso, o conhecimento 3 2

das propriedades dos números naturais seria um obstáculo, pois a lógica utilizada nos naturais, não seria condizente com a das frações. Exemplo 5 - Dificuldade de aceitar que ao multiplicar 10 por

1 o 2

resultado obtido será menor do que 10, pois estão também acostumados a esperar que quando multiplicado um natural por outro natural (sendo este diferente de 0 ou 1) a expectativa é de encontrar um número maior que ambos. Exemplo 6 – Os obstáculos didáticos envolvendo demonstrações de geometria. Os tipos de problemas, observados em livros didáticos, em geral, não propõem questões envolvendo demonstração. A passagem da geometria empírica para a geometria de dedução é um obstáculo para a demonstração. Muitos professores deixaram de incentivar os alunos a fazerem quaisquer demonstrações, justificando que não dá tempo nem de ensinar Geometria quanto menos para demonstrar teoremas. A aprendizagem da demonstração tem ocorrido muitas vezes por analogia. O professor propõe um modelo submetido à observação e o aluno é levado a imitar o método de resolução, numa situação simular. E os alunos têm dificuldades em mobilizar os saberes. Exemplo 7 - A aquisição do conceito do número racional de diferentes maneiras. A aquisição de um dado conceito matemático pressupõe o seu reconhecimento em diversas situações e em diversos contextos. Com o conceito do número racional isso se torna bem mais evidente, pois podemos dizer que para construir esse importante conceito matemático, torna-se necessário explora-lo em várias situações e em diferentes contextos. No que se refere a representação fracionária, dos números racionais, os PCN evidenciam que o contato dos alunos com essa representação é pouco freqüente em seu contexto diário, pois limita-se a metades, terços, quartos, na maioria das vezes pela via da linguagem oral do que das representações. Os PCN sugerem ainda que, a prática mais comum para explorar o conceito de fração é a que recorre as situações que está implícita a relação parte-todo. Nesse caso, a fração indica a relação que existe entre o número de partes e o total de partes. Outro significado das frações é a do quociente, baseia-se na divisão (a : b = a/b; b ≠ 0). Para o aluno essa situação se diferencia da interpretação anterior (parte-todo), pois dividir “um chocolate em 3 partes e comer duas dessas partes é uma situação diferente daquela em que é preciso dividir 2 chocolates para três pessoas” (PCN, 1997, p.103). Os PCN sugerem ainda uma terceira situação diferente das duas anteriores “é aquela em que a fração é usada como uma espécie de índice comparativo entre duas quantidades e uma grandeza, ou seja, quando é interpretada como razão” (PCN, 1997, p.104) Resumidamente os PCN sugerem que no segundo ciclo do Ensino Fundamental sejam trabalhados três significados: parte-todo, razão e

quociente, e somente no terceiro ciclo do Ensino Fundamental seja introduzido o significado de operador multiplicativo. A título de ilustração, apresentaremos sucintamente cinco significados. •

Fração com o significado Número A idéia envolvida nesse significado é o da notação a/b, expressando um número na reta numérica, ou ainda sua representação na notação decimal. Exemplo: Represente 1/5 na reta numérica.

•

Fração com o significado Parte-Todo A idéia presente nesse significado é a partição de um dado objeto em n partes, isto é, um todo dividido em partes iguais e que cada parte poderá ser representada como 1/n, e que o procedimento da dupla contagem dá conta de se chegar a uma resposta correta. Exemplo: Uma barra de chocolate foi dividida em 4 partes iguais. João meu 3 dessa partes. Que fração representa o que João comeu?

•

Fração com o significado Quociente Esse significado está presente em situações associadas a idéia de partição, o quociente representa o tamanho de cada grupo quando se conhece o número de grupos a ser formado. Exemplo: Duas pizzas foram divididas igualmente para 3 pessoas. Quanto recebeu cada uma?

•

Fração com o significado Medida Está presente nesse significado a idéia de dividirmos uma unidade em partes iguais (sub unidades), e verificarmos quantas dessas partes caberão naquele que se quer medir. Exemplo: Um tambor pode conter 11 litros de leite. Quantas canecas de 2 litros serão necessárias para encher esse tambor?

•

Fração com o significado Operador Multiplicativo Esse significado está associado o papel de transformação, isto é, uma ação que se deve imprimir sobre um número, transformando o seu valor nesse processo. Exemplo: Pedro tinha uma coleção de 30 soldadinhos de chumbo e deu a seu amigo 2/3 dessa coleção. Com quantos soldadinhos de chumbo Pedro ficou? EXERCÍCIOS

1- A ordem das operações é um obstáculo didático. Ao fazerem 4 + 3x2, fazem 7x2. Somam 4 e 7 para depois multiplicar por 2.

Procure, na máquina de calcular, fazer (4 + 3) x 2 =, clicando os símbolos e algarismos. Agora fazer 4 + 3x2 = . Comparar os resultados. São iguais ou diferentes? O que faz serem diferentes? Tirar conclusões. Estabelecer o procedimento para desenvolver as operações corretamente. 2- As operações (- 2)2 e - 2 2 são desenvolvidas da mesma forma dando o resultado 4. Procure, na máquina de calcular, fazer (- 2)2 e - 2 2 , clicando os símbolos e algarismos. Comparar os resultados. São iguais ou diferentes? O que faz serem diferentes? Tirar conclusões. Estabelecer o procedimento para desenvolver as operações corretamente. 3 – A introdução das variáveis em situações algébricas é um obstáculo didático. Através do problema, criar um modelo para descrever uma lei . Uma loja de departamentos aumenta em 35% os preços para a venda no varejo. Complete a seguinte tabela. Preço no atacado Preço no varejo R$20,00 20 + 20 x 0,35 = 27 R$50,00 50 + 50 x 0,35 = 67,50 R$70,00 70 + 70x 0,35 = 94,50 P -----------------Usando a lei encontrada determine o preço no varejo, sabendo que o preço no atacado é R$25,00. 4 – Formule dez obstáculos didáticos. ( Estes obstáculos didáticos podem ser considerados seus obstáculos). AS RESOLUÇÕES DE PROBLEMAS COMO SITUAÇÕES DIDÁTICAS Resolução de problemas é um caminho para o ensino de Matemática que vem sendo discutido ao longo dos últimos anos. A História da Matemática mostra que ela foi construída como resposta a perguntas provenientes de diferentes origens e contextos, motivadas por problemas de ordem prática (divisão de terras, cálculo de créditos), por problemas vinculados a outras ciências (Física, Astronomia), bem como por problemas relacionados a investigações internas à própria Matemática. Todavia, tradicionalmente, os problemas não têm desempenhado seu verdadeiro papel no ensino, pois, na melhor das hipóteses, são utilizados apenas como forma de aplicação de conhecimentos adquiridos anteriormente

pelos alunos. A prática mais freqüente consiste em ensinar um conceito, procedimento ou técnica e depois apresentar um problema para avaliar se os alunos são capazes de empregar o que lhes foi ensinado. Para a grande maioria dos alunos, resolver um problema significa fazer cálculos com os números do enunciado ou aplicar algo que aprenderam nas aulas. Desse modo, o que o professor explora na atividade matemática não é mais a atividade, ela mesma, mas seus resultados, definições, técnicas e demonstrações. Por exemplo: Resolver a equação do Segundo Grau x2 - 3x + 2 = 0 Ache o vértice da parábola representada pela função f(x) = x2 - 3x + 2 Conseqüentemente, o saber matemático não se apresenta ao aluno como um sistema de conceitos, que lhe permite resolver um conjunto de problemas, mas como um interminável discurso simbólico, abstrato e incompreensível. Nesse caso, a concepção de ensino e aprendizagem subjacente é a de que o aluno aprende por reprodução/imitação. Vejamos as seguintes situações: Um jardim retangular tem 6 m de largura por 8m de comprimento. Seu proprietário diminuirá o jardim, que passará a ter a metade da área inicial. Em volta do jardim será construída uma calçada de largura x. Qual é a largura x? O senhor Alzir dispõe de 100 m de tela para construir uma cerca em um terreno retangular com 600 m2 de área. Quais são as dimensões dessa cerca? Para uma partida de futebol de praia, devo demarcar uma região retangular utilizando uma corda de 100 m. Qual a área máxima desse campo de futebol. Quais são as dimensões do campo de futebol? Ao colocar o foco na resolução de problemas, o que se defende é uma proposta que poderia ser resumida nos seguintes princípios: • o ponto de partida da atividade matemática não é a definição, mas o problema. No processo de ensino e aprendizagem, conceitos, idéias e métodos matemáticos devem ser abordados mediante a exploração de problemas, ou seja, de situações em que os alunos precisem desenvolver algum tipo de estratégia para resolvê-las; • o problema certamente não é um exercício em que o aluno aplica, de forma quase mecânica, uma fórmula ou um processo operatório. Só há problema se o aluno for levado a interpretar o enunciado da questão que lhe é posta e a estruturar a situação que lhe é apresentada; • aproximações sucessivas ao conceito são construídas para resolver um certo tipo de problema; num outro momento, o aluno utiliza o que aprendeu para resolver outros, o que exige transferências, retificações, rupturas, segundo um processo análogo ao que se pode observar na história da Matemática;

• o aluno não constrói um conceito em resposta a um problema, mas constrói um campo de conceitos que tomam sentido num campo de problemas. Um conceito matemático se constrói articulado com outros conceitos, por meio de uma série de retificações e generalizações; • a resolução de problemas não é uma atividade para ser desenvolvida em paralelo ou como aplicação da aprendizagem, mas uma orientação para a aprendizagem, pois proporciona o contexto em que se pode apreender conceitos, procedimentos e atitudes matemáticas. Considerados esses princípios, convém precisar algumas características das situações que podem ser entendidas como problemas. Um problema matemático é uma situação que demanda a realização de uma seqüência de ações ou operações para obter um resultado. Ou seja, a solução não está disponível de início, no entanto é possível construí-la. Em muitos casos, os problemas usualmente apresentados aos alunos não constituem verdadeiros problemas, porque, via de regra, não existe um real desafio nem a necessidade de verificação para validar o processo de solução. O que é problema para um aluno pode não ser para outro, em função do seu nível de desenvolvimento intelectual e dos conhecimentos de que dispõe. Resolver um problema pressupõe que o aluno: • elabore um ou vários procedimentos de resolução (como, por exemplo, realizar simulações, fazer tentativas, formular hipóteses); • compare seus resultados com os de outros alunos; • valide seus procedimentos. Resolver um problema não se resume em compreender o que foi proposto e em dar respostas aplicando procedimentos adequados. Aprender a dar uma resposta correta, que tenha sentido, pode ser suficiente para que ela seja aceita e até seja convincente, mas não é garantia de apropriação do conhecimento envolvido. Além disso, é necessário desenvolver habilidades que permitam pôr à prova os resultados, testar seus efeitos, comparar diferentes caminhos, para obter a solução. Nessa forma de trabalho, o valor da resposta correta cede lugar ao valor do processo de resolução. O fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos. OBJETIVOS DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS - Fazer o aluno pensar produtivamente. Situações problemas que envolvam, que desafiem e motivem a resolução. -Desenvolver o raciocínio do aluno.

Desenvolver no aluno a habilidade de elaborar um raciocínio lógico e fazer uso inteligente e eficaz dos recursos disponíveis, para que ele possa propor boas soluções às questões que surgem em seu dia-a-dia, na escola ou fora dela. - Ensinar o aluno a enfrentar situações novas. Ensinar apenas conceitos e algoritmos não é um bom caminho. Preparar o aluno para lidar com situação – problema. -Dar oportunidade de se envolver com as aplicações da Matemática. Logo nos primeiros contatos com a Matemática, os alunos começam a detestála ou tornam-se indiferentes a ela. Pouco envolvimento dos alunos com aplicações. Dar oportunidade de usar a matemática no dia-a-dia. -Tornar as aulas de Matemática mais interessantes e desafiadoras. Buscar a solução de um problema é desafiador. - Equipar o aluno com estratégias para resolver problemas. Estratégias que se aplicam a um grande número de situações. -Dar uma boa base matemática as pessoas. Formar cidadão matematicamente alfabetizados, que saibam como resolver problemas do seu dia-a-dia. OS VÁRIOS TIPOS DE PROBLEMAS. Exercícios de reconhecimento. Seu objetivo é fazer com que o aluno reconheça, identifique ou lembre de um conceito, uma definição, uma propriedade. Ex: Dados os números 2, 5, 10, 103, 156 e 207, quais são pares? Exercícios de algoritmos. Ex. Calcule o valor [(3 x 4) + 2] : 7 Problemas – padrão. Envolve a aplicação direta de um ou mais algoritmos e não exige qualquer estratégia. Ex. Numa classe há 17 meninos e 22 meninas. Quantos alunos há na classe. Problemas heurísticos. São problemas cuja solução envolve operações que não estão contidas no enunciado. Ex. Numa reunião de equipe há seis alunos. Se cada um trocar um aperto de mão com todos os outros, quantos apertos de mão teremos ao todo? Problemas de aplicação. Para fazer seu relatório, um diretor de escola precisa saber qual é o gasto mensal que ele tem com a merenda escolar. Vamos ajudá-lo a fazer os cálculos? Problemas recreativos( Jogos Matemáticos)

COMO SE RESOLVE UM PROBLEMA - Compreender um problema. O que se pede no problema? Quais são os dados e as condições do problema? È possível fazer uma representação? È possível estimar a resposta? - Elaborar um plano. Você já resolveu um problema como este antes? Você se lembra de um problema que pode ajudá-lo a resolver este? È possível resolver o problema por partes? È possível criar um modelo para resolver o problema? - Executar o plano E preciso executar um plano elaborado (mesmo que seja mental). - Fazer o retrospecto ou verificação. Analisamos a solução obtida e fazemos a verificação do resultado. Como exemplo de problemas, apresentamos a seguinte situação envolvendo uma equação do 2º grau: Duzentas e quarenta figurinhas devem ser repartidas por um grupo de meninos, mas na hora de reparti-las 5 meninos não apareceram para pegar as suas figurinhas. Por causa disso, cada menino recebeu 8 figurinhas a mais. Quantos meninos receberam figurinhas? Para resolver este problema será necessário que o aluno traduza o enunciado para a linguagem matemática apropriada

240 240 +8 = , realizando x x −5

manipulações algébricas para chegar à expressão x2 – 40x – 1200 = 0 (ou x2 – 5x – 150 = 0). Após estes passos, o aluno poderá utilizar algum procedimento padronizado para a resolução, como por exemplo, a aplicação da fórmula de Bhaskara. Como exemplo de um exercício, poderíamos propor ao aluno que resolvesse a seguinte equação do 2º grau: 8x2 – 40x – 1200 = 0. Neste caso solicita-se ao aluno a aplicação imediata, por exemplo, da fórmula de Bhaskara, não requerendo do mesmo outras habilidades matemáticas. Destacamos que a proposição de problemas deve estar vinculada aos objetivos didáticos, à realidade escolar e à extra-escolar do aluno. Trata-se, portanto, de trabalhá-los em sala de aula através do desejo dos alunos de resolvê-los, pois sabemos que muito da Matemática é mesmo resolução de problemas. Deste modo, professores e alunos desenvolvem o gosto pela Matemática se os problemas desafiarem a curiosidade, estimularem a pesquisa e motivarem a busca por novas estratégias que serão utilizadas e se todo esse conhecimento permitir desenvolver capacidades, tais como o pensar, raciocinar, questionar, criar estratégias e compartilhar idéias para encontrar uma solução ao problema. Por isso, no contexto de educação matemática, professores e pesquisadores do assunto atribuem cada vez mais uma maior relevância a esta metodologia.

Os Parâmetros Curriculares Nacionais (1998), “enfatizam que o fato de o aluno ser estimulado a questionar sua própria resposta, a questionar o problema, a transformar um dado problema numa fonte de novos problemas, a formular problemas a partir de determinadas informações, a analisar problemas abertos — que admitem diferentes respostas em função de certas condições — evidencia uma concepção de ensino e aprendizagem não pela mera reprodução de conhecimentos, mas pela via da ação refletida que constrói conhecimentos”. Para que o aluno possa construir o conhecimento será necessário que, diante do enunciado de um problema, ele conheça cada expressão verbal utilizada. Em seguida deverá ser capaz de traduzir cada dado apresentado verbalmente em dados concretos do mundo em que ela vive. Por último precisará entender as relações lógicas constantes do problema para então relacionar os dados entre si e realizar as operações necessárias à solução. Tudo isto supõe o desenvolvimento de certas capacidades do aluno as quais poderão ou não estar presentes. Um outro fator importante, que deve estar dentro do leque de preocupações de um professor durante a resolução de problemas, é se o aluno possui ou não pré-requisitos para execução do problema proposto. Assim, devemos propor situações que os estudantes tenham condições de resolver. Caso contrário, poderemos estar nutrindo sentimentos de aversão à matemática. O professor deve levar seu aluno a superar os procedimentos padronizados, próprios de uma didática desvinculada de situações reais, é possível consolidar essa nova relação do aluno com o conhecimento adquirido na resolução de problemas. Devemos propor aos estudantes várias estratégias de resolução de problemas, mostrando-lhes que não existe uma única estratégia, ideal e infalível. Cada problema exige uma determinada estratégia. A resolução de problemas não deve se constituir em experiências repetitivas, através da aplicação dos mesmos problemas (com outros números) resolvidos pelas mesmas estratégias. O interessante é resolver diferentes problemas com uma mesma estratégia e aplicar diferentes estratégias para resolver um mesmo problema. Em sala de aula o professor pode trabalhar com as tentativas e os erros dos alunos, observando o caminho usado para chegar à solução do problema. Essa observação servirá para compreender o raciocínio dos educandos e preparar as discurssões em torno da resolução desses problemas, com o intuito de conceber processos de resolução diferentes dos já aprendidos. O aluno inexperiente em relação ao processo de resolver problemas, invariavelmente se apressa em busca das soluções antes de ocupar-se com definir a situação que precisa ser resolvida. Até mesmo pessoas experientes, quando sujeitas a pressão social, submetem-se a esta exigência de fazer as coisas às pressas. Quando agem assim, muitas soluções são encontradas, mas não necessariamente para o problema que se tem à mão. O professor que deseja desenvolver nos alunos o espírito solucionador e a capacidade de resolver problemas deve incutir em suas mentes algum interesse por problemas e proporcionar-lhes muitas oportunidades de imitar e de praticar. Além disso, quando o professor resolve um problema em aula, deve dramatizar um pouco as suas idéias e fazer a si próprio as mesmas

indagações que utiliza para ajudar os alunos. Por meio desta orientação, o estudante acabará por descobrir o uso correto das indagações e sugestões e, ao fazê-lo, adquirirá algo mais importante do que o simples conhecimento de um fato matemático qualquer. Todo professor quando começa a trabalhar com resolução de problemas que exijam habilidades matemáticas deve ter objetivos concretos que favoreçam seus alunos na produção de determinadas transformações, isto é, que estes adquiram certos conhecimentos e capacidades. O ensino, os métodos didáticos empregados, devem estar em função destes objetivos. O professor não deve dar respostas a perguntas como: este problema é uma equação do primeiro ou do segundo grau? É um problema que envolve soma, subtração, multiplicação ou divisão?A resposta é 9? Pois, do contrário, o problema já estará resolvido e o aluno não pensará mais nele, passando a executar as contas rápida e automaticamente. Algumas possíveis respostas a essas perguntas são: vamos pensar juntos, pense um pouco mais, é realmente o que o problema está pedindo para fazer, discuta isso um pouco com seu colega, mostre ao seu colega o que você fez e peça para que ele também lhe conte como planeja resolver o problema. Com essas respostas do professor os alunos continuam envolvidos com o problema e pouco a pouco vão perguntando menos e tornando-se independentes. Enquanto os alunos trabalham, o professor percorre as carteiras ajudando, encorajando, dando idéias, pequenas “dicas” (sem contar como se chega à solução), deixando claro quais são os objetivos, os dados do problema, as condições etc. Depois que a maioria dos alunos solucionou o problema, o professor pede que alguns façam a resolução no quadro-negro (um de cada vez) explicando o que fizeram e como fizeram, e por que a sua estratégia funcionou. O professor pode também, ele mesmo, ir registrando no quadro as sugestões dos alunos. É comum aparecerem maneiras diferentes de resolver o mesmo problema, inclusive algumas erradas, e é interessante que todas sejam discutidas e analisadas, pois isso incentiva os alunos a sempre tentarem vários métodos. Deve-se observar que um problema não está necessariamente resolvido quando o aluno encontrou a resposta certa. Para estar necessariamente resolvido, o aluno precisa saber o que e como fez, e por que sua ação foi apropriada. E isso deve ser parte integrante da resolução do problema, na etapa de revisão da solução. EXERCÍCIOS SOBRE RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS 1- Alexandre pensou em um número e verificou que o quadrado desse número é igual ao triplo do mesmo número. Em que número Alexandre pensou? - Represente a situação com uma equação. - Resolva a equação obtida e encontre o número em que Alexandre pensou. 2- Duas torneiras enchem um tanque em 6 horas. Sozinha, uma delas gasta 5 horas a mais que a outra. Determine o tempo que uma delas leva para encher esse tanque isoladamente.

3- Num jantar de confraternização, seria distribuído, em partes iguais, um prêmio de R$ 24.000,00 entre os convidados. Como faltaram 5 pessoas, cada um dos presentes recebeu um acréscimo de R$ 400,00 no seu prêmio. Quantas pessoas estiveram presentes nesse jantar? 4- Um número de dois algarismos é tal que, trocando-se a ordem dos seus algarismos, obtém-se um número que o excede de 27 unidades. Determine esse número, sabendo que o produto dos valores absolutos dos algarismos é 18. OS JOGOS MATEMÁTICOS COMO SITUAÇÕES DIDÁTICAS Quando uma criança brinca, demonstra prazer em aprender e tem oportunidade de lidar com suas pulsões em busca da satisfação de seus desejos. Ao vencer as frustrações aprende a agir estrategicamente diante das forças que operam no ambiente e reafirma sua capacidade de enfrentar os desafios com segurança e confiança. A curiosidade que a move para participar da brincadeira é, em certo sentido, a mesma que move os cientistas em suas pesquisas. Assim, seria desejável conseguir conciliar a alegria da brincadeira com a aprendizagem escolar. Das situações acadêmicas, provavelmente a mais produtiva é a que envolve o jogo, quer na aprendizagem de noções, quer como meios de favorecer os processos que intervêm no ato de aprender e não se ignora o aspecto afetivo que, por sua vez, se encontra implícito no próprio ato de jogar, uma vez que o elemento mais importante é o envolvimento do indivíduo que brinca. A atividade lúdica é, essencialmente, um grande laboratório em que ocorrem experiências inteligentes e reflexivas e essas experiências produzem conhecimento. Pode-se dizer, com base nas características que definem os jogos de regra, o aspecto afetivo manifesta-se na liberdade da sua prática, prática essa inserida num sistema que a define por meio de regras, o que é , no entanto, aceito espontaneamente. Impõem-se um desafio, uma tarefa, uma dúvida, entretanto é o próprio sujeito quem impõe a si mesmo resolvê-los. Assim, jogar é estar interessado, não pode ser uma imposição, é um desejo. O sujeito quer participar do desafio, da tarefa. Perder ou ganhar no jogo é mais importante para ele mesmo do que como membro de um grupo. Isto porque é o próprio jogador que se lança desafios, desejando provar seu poder e sua força mais para si mesmo que para os outros. Num contexto de jogo, a participação ativa do sujeito sobre o seu saber é valorizado por pelo menos dois motivos. Um deles deve-se ao fato de oferecer uma oportunidade para os estudantes estabelecerem uma relação positiva com a aquisição de conhecimento, pois conhecer passa a ser percebido como real possibilidade. Alunos com dificuldades de aprendizagem vão gradativamente modificando a imagem negativa (seja porque é assustadora, aborrecida ou frustrante) do ato de conhecer, tendo uma experiência em que aprender é uma atividade interessante e desafiadora. Por meio de atividades com jogos, os alunos vão adquirindo autoconfiança, são incentivados a questionar e corrigir suas ações, analisar e comparar pontos de

vista, organizar e cuidar dos materiais utilizados. Outro motivo ue justifica valorizar a participação do sujeito na construção do seu próprio saber é a possibilidade de desenvolver seu raciocínio. Os jogos são instrumentos para exercitar e estimular um agir-pensar com lógica e critério, condições para jogar bem e ter um bom desempenho escolar. Particularmente, a participação em jogos de grupo permite conquista cognitiva, emocional, moral e social para o estudante, uma vez que poderão agir como produtores de seu conhecimento, tomando decisões e resolvendo problemas, o que consiste um estímulo para o desenvolvimento da competência matemática e a formação de verdadeiros cidadãos. Por vezes surgem as competições. A competição não é boa nem má. Ela caracteriza uma situação onde duas pessoas desejam a mesma coisa ou dela necessitam ao mesmo tempo. Esses fatos também ocorrem na vida. O ponto principal é a forma de se reagir diante dela. A teoria de Piaget mostra que a competição nos jogos é parte de um desenvolvimento maior, que vai do egocentrismo a uma habilidade cada vez maior em descentrar e coordenar pontos de vista. Este processo de desenvolvimento pode ser visto não somente nos jogos, mas também no julgamento moral, na linguagem, na classificação, na conservação, na construção de uma estrutura espaço-temporal e na causalidade. A melhor maneira de lidar com a competição nos jogos em grupo é desenvolver desde o início uma atitude saudável e natural em relação à vitória ou à derrota, ao invés de evitar os jogos competitivos até que as crianças se tornem “prontas” para eles, de alguma maneira misteriosa. O jogo e a competição estão intimamente ligados, e o jogo social não pode existir ou não tem graça sem esta competitividade. É fato, absolutamente lógico, de que na ausência de um vencido, não pode haver um vencedor, assim na impossibilidade de eliminar o caráter competitivo do jogo, o melhor é procurar utilizá-lo no sentido de valorizar as relações, acentuando a colaboração entre os participantes do grupo. O professor não dando tanta importância somente ao ganhador e encarando a competição de forma natural, minimiza o caráter competitivo, embora isso não impeça que as crianças se empenhem ao máximo em ganhar o jogo, já que é esse o seu objetivo. Ao jogar, as emoções vão se equilibrando, transformando a derrota em algo provisório e a vitória em algo a ser partilhado. A ABORDAGEM DO JOGO NA PERSPECTIVA DA RESOLUÇÃO DE PROBLEMAS Para um trabalho sistemático com jogos é necessário que os mesmos sejam escolhidos e trabalhados com o intuito de fazer o aluno ultrapassar a fase da mera tentativa e erro, ou de jogar pela diversão apenas. Por isso, é essencial a escolha de uma metodologia de trabalho que permita a exploração do potencial dos jogos no desenvolvimento de todas as habilidades (raciocínio lógico e intuitivo), o que pode ser feito por meio da metodologia de resolução de problemas. Neste método, cada hipótese/estratégia formulada, ou seja, cada jogada, desencadeia uma série de questionamentos como: Essa é a única jogada possível? Se houver outra alternativa, qual escolher e porque escolher esta ou aquela? Terminado o problema ou a jogada, quais os erros e

porque foram cometidos? Ainda é possível resolver o problema ou vencer o jogo, se forem mudados os dados ou as regras? Assim, as situações-problema permeiam todo o trabalho, na medida em que o aluno é desafiado a observar e analisar aspectos considerados importantes pelo professor. Em geral, situações-problema têm as seguintes características: a) são elaboradas a partir de momentos significativos do próprio jogo; b) apresentam um obstáculo, ou seja, representam alguma situação de impasse ou decisão sobre qual a melhor ação a ser realizada; c) favorecem o domínio cada vez maior da estrutura do jogo; d) têm como objetivo principal promover análise e questionamentos sobre a ação de jogar, tornando menos relevante o fator sorte e as jogadas por ensaio e erro. As situações-problema podem ocorrer por meio de uma intervenção oral com questionamentos ou pedidos de justificativas de uma jogada que está acontecendo; uma remontagem de um momento do jogo; ou ainda, uma situação gráfica. No trabalho com os alunos, é interessante propor, sempre que possível, e adequado à idade, diferentes possibilidades de análise, apresentando novos obstáculos a serem superados. O PAPEL DO PROFESSOR O uso de jogos para o ensino, representa, em sua essência, uma mudança de postura do professor em relação ao o que é ensinar matemática, ou seja, o papel do professor muda de comunicador de conhecimento para o de observador, organizador, consultor, mediador, interventor, controlador e incentivador da aprendizagem, do processo de construção do saber pelo aluno, e só irá interferir, quando isso se faz necessário, através de questiomamentos, por exemplo, que levem os alunos a mudanças de hipóteses, presentando situações que forcem a reflexão ou para a socialização das descobertas dos grupos, mas nunca para dar a resposta certa. O professor lança questões desafiadoras e ajuda os alunos a se apoiarem, uns nos outros, para atravessar as dificuldades. leva os alunos a pensar, espera que eles pensem, dá tempo para isso, acompanha suas explorações e resolve, quando necessário, problemas secundários. Um aspecto importante para incrementar as discussões sobre estratégias é o registro das jogadas, tanto as eficientes como as frustradas. Tendo em mãos a história dos lances experimentados, torna-se mais fácil a análise do jogo. É claro que, quando usamos o jogo na sala de aula, o barulho é inevitável, pois só através de discussões é possível chegar-se a resultados convincentes. É preciso encarar esse barulho de uma forma construtiva; sem ele, dificilmente, há clima ou motivação para o jogo. É importante o hábito do trabalho em grupo, uma vez que o barulho diminui se os alunos estiverem acostumados a se organizar em equipes. Por meio do diálogo, com trocas de componentes das equipes e, principalmente, enfatizando a importância das opiniões contrárias para descobertas de estratégias vencedoras, conseguimos resultados positivos. Vale ressaltar que o sucesso não é imediato e o professor deve ter paciência para colher os frutos desse trabalho.

Um cuidado metodológico que o professor deve considerar antes de levar os jogos para a sala de aula, é o de estudar previamente cada jogo, o que só é possível jogando. Através da exploração e análise de suas próprias jogadas e da reflexão sobre seus erros e acertos é que o professor terá condições de colocar questões que irão auxiliar seus alunos e ter noção das dificuldades que irão encontrar. O educador continua indispensável, é ele quem cria as situações e arma os dispositivos iniciais capazes de suscitar problemas úteis aos alunos, e organiza contra-exemplos que levem à reflexão e obriguem ao controle das soluções demasiado apressadas. Assim, o professor é fundamental em sala de aula, é ele quem dá o “tom” do desafio proposto e deve ser o líder da situação, saber gerenciar o que acontece, tornando o meio o mais favorável possível, desencadeando reflexões e descobertas. É o professor que tem influência decisiva sobre o desenvolvimento do aluno e suas atitudes vão interferir fortemente na relação que ele irá estabelecer com o conhecimento. Classificação dos jogos : • jogos estratégicos, onde são trabalhadas as habilidades que compõem o raciocínio lógico. Com eles, os alunos lêem as regras e buscam caminhos para atingirem o objetivo final, utilizando estratégias para isso; • jogos de treinamento, os quais são utilizados quando o professor percebe que alguns alunos precisam de reforço num determinado conteúdo e quer substituir as cansativas listas de exercícios. • jogos geométricos, que têm como objetivo desenvolver a habilidade de observação e o pensamento lógico. Com eles conseguimos trabalhar a geometria. Os jogos estão em correspondência direta com o pensamento matemático. Em ambos temos regras, instruções, operações, definições, deduções, desenvolvimento, utilização de normas e novos conhecimentos (resultados). O trabalho com jogos matemáticos em sala de aula nos traz alguns benefícios: • conseguimos detectar os alunos que estão com dificuldades reais; • o aluno demonstra para seus colegas e professores se o assunto foi bem assimilado; • existe uma competição entre os jogadores e os adversários, pois almejam vencer e por isso aperfeiçoam-se e ultrapassam seus limites; • durante o desenrolar de um jogo, observamos que o aluno se torna mais crítico, alerta e confiante, expressando o que pensa, elaborando perguntas e tirando conclusões sem necessidade da interferência ou aprovação do professor; • não existe o medo de errar, pois o erro é considerado um degrau necessário para se chegar a uma resposta correta; • o aluno se empolga com o clima de uma aula diferente, o que faz com que aprenda sem perceber. Mas devemos, também, ter alguns cuidados ao escolher os jogos a serem aplicados: • não tornar o jogo algo obrigatório;

• escolher jogos em que o fator sorte não interfira nas jogadas, permitindo que vença aquele que descobrir as melhores estratégias; • utilizar atividades que envolvam dois ou mais alunos, para oportunizar a interação social; • estabelecer regras, que podem ou não ser modificadas no decorrer de uma rodada; • trabalhar a frustração pela derrota na criança, no sentido de minimizá-la; • estudar o jogo antes de aplicá-lo (o que só é possível, jogando). • EXEMPLO DE JOGO Adivinhando a idade de uma pessoa ou quantos anos fará no corrente ano. Podemos adivinhar a idade de uma pessoa pedindo-lhe que realize os seguintes cálculos: 1º Escrever um número de dois algarismos. 2º Multiplicar o número escrito por dois. 3º Somar cinco unidades ao produto obtido. 4º Multiplicar esta soma por cinqüenta 5º Somar ao produto o número 1757. 6º Subtrair o ano do nascimento. O resultado que se obtém é um número de quatro algarismos abcd. Os dois algarismos da direita, que correspondem às dezenas e às unidades, indicam a idade da pessoa e, os dois algarismos da esquerda, que correspondem às centenas e aos milhares, indicam o número que a pessoa havia pensado.

A explicação matemática em que essa atividade se baseia é a seguinte: 1º Suponhamos que o número pensado seja ab cuja a expressão polinomial é 10a + b

2º O produto deste número por dois é: (10a + b) x 2 = 20a + b 3º Somando cinco unidades ao produto, temo: 20a + b + 5

4º Multiplicando a soma anterior por cinqüenta, encontramos:

(20a + 2b + 5) x 50 = 1000a + 100b + 250 5º Acrescentando 1757 ao produto temos (1757 + 250 = 2007). O acréscimo do número 1757 não se faz por acaso, mas porque 1757 mais 250, que resulta da operação anterior, é igual a 2007, número que indica o ano atual. Devemos tomar cuidado ao acrescentar esse último valor, tomando por base que estamos no ano 2007. 6º Ao resultado anterior, subtrai-se o ano de nascimento da pessoas que está fazendo os cálculos. Se N é o ano de nascimento, então o número obtido será: 1000a + 100b + 2007 - N Nota-se que, ao subtrair do ano atual o ano do nascimento, obtém-se a idade da pessoa que realiza o jogo. Expressemos por (2007 - N).

o resultado da operação

( 2007 – N) = cd cd = 10c + d Então, o resultado final é: 1000a + 100b + 10c + d Esse resultado é a expressão polinomial do número de quatro algarismos abcd, onde os dois algarismos da direita ''cd'', que correspondem às dezenas e unidades, expressam a idade da pessoa que realizou os cálculos, os algarismos da esquerda ''ab'', que correspondem aos milhares a às centenas, nos indicam o número que a pessoa havia pensado. Vamos ver um exemplo: 1º O número pensado é 57. 2º O produto deste número por dois é: 57 x 2 = 114 3º Somando cinco unidades: 114 + 5 = 119 4º Multiplicando a soma obtida por 50: 119 x 50 = 5950 5º

Somando

o

número

1757

(pois

estamos

no

ano

de

2007):

5950 + 1757 = 7707 6º Subtraindo o ano de nascimento, suponhamos que a pessoa que realizou os cálculos nasceu no ano de 1947, portanto, tem 53 anos ou vai completar 53 anos. 7707 - 1947 = 5760 O resultado final (5760) é um número de quatro algarismos. Os dois algarismos da direita (60) nos indica a idade da pessoa (ou quantos anos ela

completará no corrente ano) e os dois algarismos da esquerda (57) nos indicam o número de dois algarismos que a pessoa havia pensado. É interessante para o professor, nessa atividade de adivinhação de números desenvolver o exercício no quadro de giz de forma coletiva analisando com os alunos as propriedades que aplicou, levando-os a descobrir o ''truque matemático'' utilizado. Também deve pedir aos alunos que criem outros jogos utilizando as propriedades analisadas.

JOGO TANGRAN

Tangram é um quebra-cabeça chinês formado por 7 peças (5 triângulos, 1 quadrado e 1 paralelogramo)

Com essas peças podemos formar várias figuras, utilizando todas elas e sem sobrepô-las.

Esse quebra-cabeça, também conhecido como jogo das sete peças, é utilizado pelos professores de matemática como instrumento facilitador da compreensão das formas geométricas. Além de facilitar o estudo da geometria, ele desenvolve a criatividade e o raciocínio lógico, que também são fundamentais

para o estudo da matemática. EXERCÍCIOS Confeccionar jogos relacionados com - frações. - plano cartesiano. - múltiplos e divisores. - porcentagem. Na confecção desses jogos, utilizar materiais de fácil aquisição, como cartolina, isopor, pedaços de madeira; peças emborrachadas, tipo E.V.A., com figuras geométricas desenhadas com canetas coloridas.

A HISTÓRIA DA MATEMÁTICA COMO SITUAÇÃO DIDÁTICA A História da Matemática pode ser um potente auxiliar no processo de ensino e aprendizagem, com a finalidade de manifestar de forma peculiar as idéias matemáticas, situar temporalmente e espacialmente as grandes idéias e problemas, junto com suas motivações e precedentes históricos e ainda enxergar os problemas do passado, bem como encontrar soluções para problemas abertos. A História da Matemática é considerada um tema importante na formação do aluno. Ela proporciona ao estudante a noção exata dessa ciência em construção, com erros e acertos e sem verdades universais, contrariando a idéia positivista de uma ciência universal e com verdades absolutas. A História da Matemática tem este grande valor, de poder contextualizar o saber, mostrar que seus conceitos são frutos de uma época histórica, dentro de um contexto social e político. Se estabelecermos um laço entre o aluno, a época e o personagem relacionado com os conceitos estudados, se conhecerem as motivações e dúvidas que tiveram os sábios da época, então ele poderá compreender como foi descoberto e justificado um problema, um corpo de conceitos, etc. Essa visão da Matemática faz com que ela seja vista pelo estudante como um saber significativo, que foi e é construído pelo homem para responder suas dúvidas na leitura do mundo, permitindo ao aluno apropriar-se desse saber, o que lhe propiciará uma melhor leitura do contexto global. A história da Matemática, como situação didática, visa atingir os seguintes objetivos: • •

mostrar que o processo do descobrimento matemático é algo vivo e em desenvolvimento; estabelecer distinções entre uma prova, uma argumentação e uma

•

demonstração dos conceitos matemáticos, bem como saber dosá-las de maneira equilibrada no currículo escolar; destacar a importância da aplicação de “provas” para os alunos, porém provas que contribuam ao conhecimento e não somente para testar “decorebas”.

O professor que ensina a Matemática desligada de sua parte histórica, comete verdadeiro atentado contra a ciência e contra a cultura em geral. É nesse sentido que tem crescido cada vez mais o interesse pela História da Matemática em relação ao ensino, não somente como uma ferramenta didática, mas também como campo de investigação. Um certo conhecimento de História da Matemática, deveria ser parte indispensável da bagagem de conhecimentos de qualquer matemático em geral e do professor de todos os níveis. Isso, não somente com a intenção de utilizá-la como um instrumento em seu ensino, mas principalmente por que a História pode proporcionar uma visão verdadeiramente humana da Matemática, o que é difícil de se imaginar, pois a imagem que os alunos possuem dessa disciplina está totalmente desvinculada da realidade . Uma visão mais profunda da História permite ao professor evoluir em seu trabalho educativo, pois lhe possibilita visualizar melhor o futuro, ou seja, de enxergar antes o que pode acontecer, as dúvidas que podem surgir. Além disso, permite que ele descubra as dificuldades do passado, comprovando os caminhos da invenção, com a percepção da ambigüidade e confusões iniciais. O valor do conhecimento histórico não consiste em ter uma bateria de histórias e anedotas curiosas para entreter os alunos, a história pode e deve ser utilizada, para entender e fazer compreender uma idéia mais difícil e complexa de modo mais adequado. A utilização da História da Matemática no contexto didático não deve se restringir à sua utilização como elemento de motivação ao desenvolvimento do conteúdo, pois sua amplitude extrapola o campo da motivação. Baseados nesses princípios, justificamos a utilização da História como um recurso metodológico capaz de auxiliar no processo de construção do conhecimento

EXEMPLOS DE ATIVIDADES PELA HISTÓRIA DA MATEMÁTICA

ATIVIDADE 1 Associar a História da Matemática à metodologia resolução de problemas é um forte aliado para desenvolver, no estudante, a capacidade de lidar com situações novas de forma criativa e independente. Com o objetivo de que a Teoria dos Números ganhe espaço nos currículos escolares do Ensino Básico apresentaremos três aplicações de sua utilização. Máximo Divisor Comum entre dois números (mdc) O universo de Euclides era geométrico. Ele descreveu em um dos volumes dos Elementos o conhecido Algoritmo de Euclides, ou algoritmo das divisões sucessivas, para determinação do máximo divisor comum (mdc) entre números inteiros. Esse algoritmo pode ser sintetizado no seguinte dispositivo:

Figura 2. mdc entre a e b A seguir, apresentaremos uma aplicação geométrica desse dispositivo, através do exemplo do cálculo do mdc entre os números inteiros 6 e 9. Começamos construindo um retângulo com lados medindo 9u.c. e 6u.c. e traçamos quadrados, tantos quanto possíveis, medindo 6u.c. (Figura 3) cada lado, contidos no retângulo inicial.

Figura 3. retângulo de lados 9 e 6 Obtemos um quadrado de lado 6u.c. e um retângulo de lados 3u.c. e 6u.c., isto é:

Como o resto não é zero, repetimos o processo para 6 e 3, agora construíndo um retângulo de lados 6u.c. e 3u.c (figura 4).

Figura 4. retângulo de lados 6 e 3 Obtemos dois quadrados com lados 3u.c., ou seja,

. Como o resto

é 0, então o , logo o .Podemos comparar o processo da obtenção geométrica do mdc com o processo aritmético.

Pelo algoritmo de Euclides temos: 9=6.1+3 e 6 = 3.2 + 0, logo o mdc (9,6) é 3.

ATIVIDADE 2 A multiplicação e a divisão dos egípcios (3000 aC) eram efetuadas por uma sucessão de duplicações. Como exemplo de multiplicação achemos o produto de 12 por 27. A multiplicação é efetuada duplicando 12 até que a soma das duplicações exceda 27.

Escolhemos, na coluna da esquerda, números que somados dêem 27: 1+2+8+16=27 Somamos, na coluna da direita, os valores correspondentes e também os somamos: 12+24+96+192=324 Este número é o resultado da multiplicação: 12x27=324 ATIVIDADE 1: 1- Justifique, através de propriedades matemáticas, a veracidade do procedimento Egípcio para o produto de números. 2- Utilize o método da duplicação dos egípcios para multiplicar 424 por 137. Faça isso também para 137 por 424. Tire conclusões. Para efetuar a divisão de 184 por 8 procedemos assim,

Dobramos sucessivamente o divisor 8 até que a soma de duplicações exceda o dividendo 184. Escolhemos, na coluna da direita, números que somados dêem 184: 128+32+16+8=184 Tomamos, na coluna da esquerda, os valores correspondentes e somando-os, temos: 1+2+4+16=23 Este é o resultado da divisão: 184/8=23 Atividade: 3- Justifique, através de propriedades matemáticas, a veracidade do procedimento Egípcio para a divisão de números. 4- Utilize o método da duplicação dos egípcios para dividir 1043 por 28. ATIVIDADE 3

Os egípcios representavam as frações unitárias ( com numerador 1). Usavam o fato de que dois terços é a soma de duas frações unitárias 1/2 e 1/6, e sabiam que o dobro da fração 1/2 é o inteiro 1. É interessante verificar o modo como os egípcios encaravam frações de forma geral m/n. Por exemplo, a fração 3/5 era pensada como soma de três frações unitárias 1/3 + 1/5 + 1/15. Represente 5/6 como soma de duas frações unitárias. Use procedimentos matemáticos. ATIVIDADE 4 1- A Geometria Experimental já existia antes de 500 aC. No Egito, em torno de 3000 aC, já existia a Geometria Experimental. Para calcular, por exemplo, a distância de um barco até a costa, recorria-se a um curioso artifício. Dois observadores se postavam de maneira que um deles pudesse ver o barco sob um ângulo de 90º com relação à linha da costa e o outro sob um ângulo de 45º. Bastava medir a distância entre os dois observadores para conhecer a distância do barco até a costa.

Em torno de 500 aC um matemático grego ( que dá origem à Geometria Dedutiva) prova uma proposição que nos garante essa afirmativa? Quem foi esse Matemático? Que proposição é essa? Dê mais uma contribuição geométrica desse Matemático. ATIVIDADE 5 No auge da Geometria Dedutiva surge Pitágoras (Grego-em torno de 400aC), com o seu Teorema que deu-se o nome de Teorema de Pitágoras. Faça uma prova do Teorema de Pitágoras.

ATIVIDADE 6 Em torno de 300aC, Euclides, Grego, escreve os Elementos. São treze livros que tem todo o conhecimento matemático até a época colocado de forma dedutiva (provas demonstrativas). Especifique o que tratava esses livros.

ATIVIDADE 7

Os sacerdotes encarregados de arrecadar os impostos sobre a terra provavelmente começaram a calcular a extensão dos campos por meio de um simples golpe de vista. Depois, ao observar trabalhadores pavimentando, com mosaicos quadrados, uma superfície retangular, notaram que para conhecer o total de mosaicos bastava contar os de uma fileira e repetir esse número tantas vezes quantas fileiras houvesse. Nessa experiência, surge uma fórmula de área? Mostre, em desenhos, como surgiu a fórmula da área de um retângulo e área de um triângulo.

ATIVIDADE 8 Euclides, nos Livros VII, VIII e IX dos Elementos, define o algorítmo para achar o maior divisor comum (mdc) entre dois números e faz a prova da irracionalidade de 2 . Mostre porque o algoritmo determina o mdc entre dois números. Faça a prova de Euclides da irracionalidade de 2 .

ATIVIDADE 9 Coloque em ordem, numa seqüência de surgimento: números negativos, números naturais, números fracionários, números irracionais. ATIVIDADE 10 Embora reconhecendo como fórmula de Bhaskara a fórmula que resolve uma equação do segundo grau, você acha que Bhaskara sabia resolver as equações com essa fórmula? Com que álgebra Bhaskara resolvia suas equações? Faça uma demonstração da fórmula de Bhaskara. ATIVIDADE 11 Hoje sabemos resolver, na álgebra simbólica, ( a + b ) 2 como o quadrado do primeiro, mais o dobro do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Como Euclides mostrou, de forma geométrica, nos Elementos, este produto notável (Euclides não conhecia a álgebra simbólica).

ATIVIDADE 12

Os números negativos aparecem pela primeira vez na China, antes de Cristo. Usavam barras vermelhas para representar positivos e barras pretas para representar negativos. Os Hindus ensaiaram a soma e subtração com positivos e negativos através do matemático Brahmagupta ( 590 dC) ; A aceitação e o entendimento pleno dos números negativos foi um processo longo. Basta ver algumas designações que receberam: Stifel ( 1486-1567) os chamava de números absurdos; Cardano ( 1501-1576) de números fictícios; Descartes ( 1596- 1650) chamava de falsas a raízes negativas de uma equação; Viete ( 1540-1603) rejeitava os negativos ; partir do século XVIII, os números negativos aparecem naturalmente em trabalhos científicos, embora ainda houvesse alguns questionamentos ; D’ Alembert ( 1717-1783): “Dizer que as quantidades negativas estão abaixo do nada é afirmar uma coisa que não se pode conceber” ; Lazare Carnot ( 1753-1823): “ A quantidade negativa -3 seria menor que +2; contudo sabe-se que (-3)2>(+2)2, o que confronta com todas as idéias claras que se poderiam formar sobre quantidade” ; Existe uma linha de estudo que afirma que o sinal + surge da palavra latina et, depois t e depois + e que o sinal – surge da palavra latina minus, depois m e depois -. 1) Até o século XVIII, havia modelos para entender as regras de sinais. Havia o modelo de crédito (ganho) e débito (perda) para se entender as regras de sinais da adição e subtração. Como você pode explicar para seus alunos essas regras através desse modelo? 2) As regras de sinais do produto foram de grande complexidade. Até o século XVIII essas regras eram apresentadas de uma forma intuitiva, através de modelos. Veja um exemplo: Entendia-se que (+2)x (+3) = (+3)+(+3) = +6 e (+2)x(-3) ou (-3)x(+2) = (-3) + (-3) = -6. Daí (+)x(+) = (+) ; (+)x(-) = (-); (-)x(+)=(-). A regra (-)x(-)=(+) podia ser percebida na seqüência: (+4)x(-5) = -20 (+3)x(-5)=-15 (+2)x(-5)=-10 (+1)x(-5)=-5 (0)x(-5)=0 (-1)x(-5)= (-2)x(-5)= (-3)x(-5)= Veja que -20 + 5 = -15; -15 + 5 = -10; -10 + 5= -5; -5 + 5= 0. Para verificar o valor de (-1) x ( -5) devemos somar a zero o valor +5 obtendo +5; Para verificar o valor de (-2) x ( -5) devemos somar a cinco o valor +5 obtendo +10, e assim por diante. . 3) Você é capaz de construir um modelo para justificar que -10 é menor que +2?

4) Simon Stevin, 1634, expõe uma demonstração geométrica para a regra de sinais. Entende que um número sem sinal é positivo. 3 9 2 5

(12 – 9) x ( 7 – 5) = 84 – 63 – 60 + (-9) x (-5) = 6 ( A área do retângulo 2 por 3) = - 39 + (-9) x (-5) = 6 Logo (-9) x (-5) = + 45 para que -39 + 45 dê 6. Crie um outro modelo, baseado na demonstração geométrica de Stevin.

VEJA A DEMONSTRAÇÃO DE Mac Laurin ( 1700) +a -a=0; m>0: (+ m) x ( + a – a) = (+ m) x ( + a) + ( + m) x ( - a) = (+ ma) + .....= 0. Então (+ m) x ( - a) = (- ma) ( + a – a) x ( + m) = (+ a) x ( + m) x (- a) x ( + m) = (+ am) x ....= 0 . Então (- a) x (+ m) = ( - am ) m<0: (- m) x ( + a – a) = (- m) x (+a) + (- m) x ( - a) = ( - ma) + .... = 0. Então ( m) x ( - a) = (+ ma).