Dichotomie Ts

TP Info — Terminale S.

Dichotomie et tableur – Recherche d’une solution approchée de l’équation 𝑓(𝑥) = 0 Présentation: 𝑓 es t u ne f o nc t i on d éf i n i e s ur u n i nt er v al l e 𝐼. Il ar r i ve p arf o is q ue l' on s ac he qu e l' éq u a ti o n 𝑓(𝑥) = 0 a dm et u n e u ni q ue s o lu t io n s u r 𝐼 (u n r és u l ta t qu i p e ut êtr e do n né p ar l e t h éor èm e des v a l eurs i nt erm é d ia ir es ) s ans ê tr e c a p ab l e de c a lc u l er c e tt e s o lu t io n d e f aç o n ex ac t e. Il ex is te p l us ie urs a l g or it hm es p er m ett a nt d e do n ne r des e nc adr e m ents ( de p l us e n p lu s pr éc is ) de c et te s o l ut i o n. L 'u n d e c es a l go r i t hm es es t c e lu i d e l a d ic ho tom i e. E n gr ec , d ic ho t om ie s i gn if ie « c ou p er e n de u x ».

Etude d’ un cas particulier: Considérons le cas de l'équation 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑥 1) Vérifiez que vous êtes en mesure d’afficher un graphique associé à l’équation précédente sur un grapheur (Geogebra par exemple), un tableur ou votre calculatrice. L’utiliser pour donner un encadrement de l’unique solution de l’équation 𝑐𝑜𝑠 𝑥 = 𝑥 entre deux entiers consécutifs. On appellera 𝑎0 le plus petit et 𝑏0 le plus grand.

2)

On pose 𝑓(𝑥) = 𝑥 − 𝑐𝑜𝑠(𝑥). Montrez que 𝑓 est continue et strictement croissante sur . En déduire que l’équation que 𝑓(𝑥) = 0 admet une unique solution sur  appartenant à l’intervalle [𝑎0 ; 𝑏0 ]. On notera α cette solution.

3) On note 𝑐0 =

𝑎 0 +𝑏 0 2

. Calculer 𝑐0 et une valeur approchée de 𝑓(𝑐0 ). Déterminer si α∈ [𝑎0 ; 𝑐0 ] ou si α∈ [𝑐0 ; 𝑏0 ]

en indiquant la technique utilisée. 4) On prendra pour définir [𝑎1 ; 𝑏1 ], les bornes de l’intervalle précédent dans lequel se trouve α. Calculez 𝑐1 =

𝑎 1 +𝑏1 2

, 𝑓(𝑐1 ) , itérez le processus et définissez l’intervalle [𝑎2 ; 𝑏2 ].

5) Que pouvez-vous dire sur l’amplitude des intervalles successifs? Notons 𝐼0 l’amplitude de l’intervalle [𝑎0 ; 𝑏0 ] et 𝐼𝑛 celle de l’intervalle [𝑎𝑛 ; 𝑏𝑛 ], Exprimer 𝐼𝑛 en fonction de n et 𝐼0 . Pour quelle valeur de n obtiendra-t-on -4 une valeur approchée de α à 10 près ? 6) Afin d’approcher α au plus près, nous sommes amené à construire 3 suites définies sur  : (𝑎𝑛 ),(𝑏𝑛 ) et (𝑐𝑛 ) avec 𝑐𝑛 =

𝑎 𝑛 +𝑏𝑛 2

. Nous allons automatiser le calcul en utilisant les fonctionnalités d’un tableur.

7) Préparez une feuille de calcul comme suit :

8) Entrez les valeurs numériques de 𝑎0 et 𝑏0 , puis les formules de la ligne 4 permettant d’automatiser les 21 janvier 2008

TP Info — Terminale S. calculs. Utilisez la poignée pour recopier ces formules jusqu’à la valeur de n trouvée en 5). Pensez à utiliser un format approprié pour l’affichage des nombres. 9) Un élève propose de saisir les formules suivantes : 

Dans la cellule B5 : =Si(E4 * G4<=0 ;B4;D4)



Dans la cellule C5 : =Si(E4 * G4<=0;D4;C4)

Expliquez clairement pourquoi (en lisant l’aide en fin de page) ces formules vont permettre de mettre en oeuvre la méthode de dichotomie ? -4

-6

Complétez la feuille de calcul et donnez une valeur approchée de α à 10 près puis à 10 près.

A 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

B

C

D

E

an

bn

cn

f(an)

F

G

olivier Leguay n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

0 0,5 0,5 0,625 0,6875 0,71875 0,734375 0,734375 0,73828125 0,73828125 0,73828125 0,738769531 0,739013672 0,739013672 0,739074707 0,739074707 0,739074707 0,739082336 0,739082336 0,739084244 0,739084244

1 1 0,75 0,75 0,75 0,75 0,75 0,7421875 0,7421875 0,740234375 0,739257813 0,739257813 0,739257813 0,739135742 0,739135742 0,739105225 0,739089966 0,739089966 0,739086151 0,739086151 0,739085197

0,5 0,75 0,625 0,6875 0,71875 0,734375 0,7421875 0,73828125 0,740234375 0,739257813 0,738769531 0,739013672 0,739135742 0,739074707 0,739105225 0,739089966 0,739082336 0,739086151 0,739084244 0,739085197 0,739084721

-1 -0,377582562 -0,377582562 -0,18596312 -0,085334946 -0,033879372 -0,007874725 -0,007874725 -0,00134515 -0,00134515 -0,00134515 -0,000528158 -0,000119597 -0,000119597 -1,74493E-05 -1,74493E-05 -1,74493E-05 -4,68074E-06 -4,68074E-06 -1,48858E-06 -1,48858E-06

f(bn) 0,459697694 0,459697694 0,018311131 0,018311131 0,018311131 0,018311131 0,018311131 0,005195712 0,005195712 0,001923873 0,000289009 0,000289009 0,000289009 8,47007E-05 8,47007E-05 3,36253E-05 8,08791E-06 8,08791E-06 1,70358E-06 1,70358E-06 1,07502E-07

f(cn) -0,377582562 0,018311131 -0,18596312 -0,085334946 -0,033879372 -0,007874725 0,005195712 -0,00134515 0,001923873 0,000289009 -0,000528158 -0,000119597 8,47007E-05 -1,74493E-05 3,36253E-05 8,08791E-06 -4,68074E-06 1,70358E-06 -1,48858E-06 1,07502E-07 -6,90538E-07

Aide sur le tableur : Vous allez être amener à utiliser la fonction SI du tableur, dont voici la syntaxe : =si(condition ; valeur à afficher si VRAI ; valeur afficher si FAUX)

Exemple : En saisissant

, on obtient :

.

Pour régler le format d'affichage d'un nombre : Sélectionner le(s) nombre(s) concernés, cliquer sur Format, cellule, nombres. Choisir alors le format qui convient.

21 janvier 2008