Dicas Do Pss 2

Dicas de Matemática

Elaborado pelos professores Rosivaldo Vicente Hállison Chico Carlos Ronaebson Paiva

A equipe de Matemática do Colégio Motiva, juntamente com todo o corpo docente que compõem todas as outras disciplinas, deseja a todos vocês um excelente desempenho e votos de muita paz.

“Se você não tiver um objetivo claro em sua vida, dificilmente se empenhará por aprender de verdade. Defina as prioridades de sua vida – entre elas, a de preparar-se para o futuro – e não se deixa desviar do rumo. Lembre-se do trapezista, que não tira os olhos da plataforma, na final da corda. Se ele olhar para baixo, cairá. É assim que funciona a mente humana.”

Matrizes e determinantes 1. Matriz simétrica Quando a matriz A é igual à sua transposta, ou seja, A = At . 2. Matriz antissimétrica Quando seus elementos são iguais ao oposto dos elementos de sua transposta, ou seja, A = − At . 3. Propriedades

( )

▪ At

t

=A

▪ ( A + B ) = At + B t t

▪ ( A.B ) = B t . At Atenção aqui!!! t

4. Multiplicação Por definição, temos que

Am x n .Bn x p = A.Bm x p , onde o número de

colunas da matriz A é igual ao número de linhas da matriz B. ▪ Lembre que a multiplicação de matrizes não é comutativa, ou seja, A.B e B. A nem sempre são iguais.

( A + B)

ATENÇÃO!

2

= A2 + 2 AB + B2 e

( A + B ) . ( A − B ) = A2 − B 2

podem ou não serem verdadeiras. 5. Matriz inversa ▪ A matriz

−1 −1 A−1 é inversa de A ⇔ A. A = A . A = I n

▪ A matriz A é inversível

⇔ det A ≠ 0

▪ Propriedades da matriz inversa » ( A−1 ) = A −1

» ( A.B ) »

(A)

−1

t −1

= B −1. A−1

= ( A −1 )

t

6. Propriedades dos determinantes

det A = det At 1 −1 ▪ det A = det A ▪ det A.B = det A .det B n ▪ det ( k . A ) = k .det A , em que k é uma constante e n é a ordem da ▪

matriz. Sistema de equações lineares ▪

Equação

linear

é

toda

equação

do

tipo

a1 x1 + a2 x2 + a3 x3 + ... + an xn = b , em que x1, x2, x3, ..., xn são as n

incógnitas; os números reais a1, a2, a3, ..., an são os coeficientes das incógnitas; e b, real, é termo independente. ▪ um sistema S de equações lineares m x n é formado por m equações lineares com n incógnitas em que x1, x2, x3, ..., xn são as incógnitas; a11, a12, a13, ..., a1n, ..., am1, ..., amn são os coeficientes reais das incógnitas; e os números reais b1, b2, b3, ..., bm são os termos independentes. Representa-se:

 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 + ... + a1 n xn = b1  a x + a x + a x + ... + a x = b 2n n 2  21 1 22 2 23 3 S =  a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 + ... + a3 n xn = b3  M M M M M   am1 x1 + am 2 x2 + am 3 x3 + ... + amn xn = bm ▪ A ênupla ( α1 , α 2 , α 3 , ..., α n ) é a solução de um sistema linear de m equações e n incógnitas quando é solução de cada uma das equações do sistema. ▪ Sistema possível e determinado (SPD) é um sistema linear que tem uma única solução. ▪ Sistema possível e indeterminado (SPI) é um sistema que tem infinitas soluções. ▪ Sistema impossível (SI) é um sistema linear que não tem solução.

▪ Um sistema linear homogêneo tem todos os termos independentes nulos e, nesse caso, a ênupla (0, 0, 0, 0, ..., 0) é solução nula, trivial ou imprópria. ▪ Todo sistema linear pode ser escrito na forma de equação matricial.

 a11 x1 + a12 x2 + a13 x3 ...+ n +a1n x  a x + a x + a x ...+ +a x 23 3 n 2n  21 1 22 2 S =  a31 x1 +a32 x2 +a33 x3 ... + n a3n+ x  M M M M   am1 x1 + am 2 x2 + am 3 x3 ... + +amn xn   b  1  b2 b  M3   bn

   a11 a12 a13K b1 na1   b2 na2   a21 a22 a23L ⇒  a a32 a33L b3 na3   M31 M M M M    1am41 4 a4m 2 44a2mL3 4 4 4amn4 b4n3 Matria associada co mpleta 

  a  a11 a12 a13K  n 1   x1 b=2  a na 2   21 a22 a23L b3 =  a ⇒ .  x2  a32 a33L 31 na3 x M M M M   M  M3 a  mn   b=m 1 m41 4 a4m 24 2am4L3 4 4 a43 Matria associada incompleta  xn

b=1

    =    

      

▪ Regra de Cramer Considere um sistema linear n x m em que o determinante da matriz incompleta é D e Dj é o determinante obtido da matriz incompleta, com a substituição da coluna j pela coluna dos termos independentes. Se sistema.

 a11 a12   a21 a22 D = a a32 31 M  M a  n1 an 2

D  D D D D ≠ 0 , então  1 , 2 , 3 ,..., n  é a solução do D D D D

a13 K a23 L a33 L M

an 3 L

a1n   a2 n  a3 n   ann 

 b1 b12   b2 b22 D1 =  b b 3 32  M M b  n1 an 2  a11 b1   a21 b2 D2 =  a b3 31  M M a  n1 bn

b13 K b23 L b33 L M

bn 3 L a13 K a23 L a33 L M

an3 L

a1n   a2 n  D1 a3 n  ⇒ x1 = D M  ann  a1n   a2 n  D2 a3 n  ⇒ x2 = D M  ann 

▪ Escalonamento de um sistema linear » Dois sistemas lineares são equivalentes quando tem o mesmo conjunto solução. » Um sistema está escalonado quando, de cada equação para a seguinte aumenta a quantidade de coeficientes nulos antes do primeiro coeficiente não-nulo. » Para escalonar um sistema linear, escrevemos sistemas equivalentes a ele, podendo: ▫ inverter a ordem das equações; ▫ multiplicar ambos os membros de uma equação por um mesmo número real e não-nulo; ▫ substituir uma equação pela soma dela com a outra, multiplicada por um número real não-nulo. ▪ Discussão de um sistema linear Discutir um sistema linear, em função de um ou mais parâmetros, é indicar para quais valore desses parâmetros o sistema é possível e determinado, possível e indeterminado ou impossível. » Se D ≠ 0 , então o sistema é SPD; » Se D = 0 , então o sistema e SPI ou SI.

Geometria espacial Primas 1. Prisma reto

AT = 2. AB + AL V = AB . h AL = n. AF

2. Prisma triangular reto

AB =

a2 3 4

3. Prisma hexagonal regular AB =

3a 2 3 2

4.

V = a.b.c AT = 2 ( ab + bc + ac ) d = a2 + b2 + c 2

Paralelepípedo retângulo

5. Cubo

V = a3 AT = 6. 2a d= a3 Pirâmides 1.

Pirâmide

regular

AT = AB + AL V=

1 AB . h 3

2. Tetraedro regular

AT = a2 3 a3 2 12 a 6 H= 3

V=

3. Tronco de pirâmide

(

h V = . A B+ Ab+ AB .Ab 3 AT = AB + Ab + n .Aface lateral

)

Cilindro 1.

Cilindro

circular

reto

AL = 2π rh AB = π r2

AT = 2π r( r +h) V = π r2 h 2.

AL = 4π 2r AT = 6π 2r V = 2π 3r

Cilindro

equilátero

Cone 1. Cone circular reto

AL = π rg

AT = π r( g +) r 1 V = π r2 h 3 2 g = h2 + r 2 2. Cone equilátero

g=2 r h= r 3 AT = 3π 2r

3. Tronco de cone

πh 2 2 ( R + r + R. r) 3 AL = π gt ( R + r)

VT =

AT = ABt + Ab t + ALt

Esfera Esfera

AS = 4π 2r 4 V = π 3r 3

Fuso esférico 360º →4 π r 2  2π → rad π4 r 2  ou rad → AF  α º → AF α

Cunha esférica

4 3  360º → π r 3    α º → VC

 →  2π rad ou   α rad→

4 π r3 3 VC

A Escola das Grandes Conquistas