Dialogo Sobre Potencias

Diálogos sobre potencias  1  32  , 53  ,  24 ¿Qué demonios son esas cosas?  Son expresiones matemáticas que se llaman potencias  ¿Y por qué tienen un número grande y otro pequeño?  Porque no significan lo mismo. El grande se llama base y el pequeño exponente  ¿Y cómo hago para nombrarlas?  La primera se lee tres elevado a dos, la segunda cinco elevado a tres, la tercera la dices tú que  ya estoy cansado  ¿y no teníamos bastante con los números normales?  Pssseee ….depende  ¿De qué depende?  Si los números son muy grandes, y cuando digo grandes, digo muy, muy, muy  grandes, las  potencias son una forma de escribir menos y entender mejor el número  No entiendo nada.  No me extraña, todavía no me has preguntado cuánto vale una potencia  ¿Cuánto vale una potencia?  Vale el resultado de multiplicar por sí misma la base, tantas veces como diga el exponente.  Por ejemplo 32 es el resultado de multiplicar 3 por si mismo 2 veces. 32= 3x3=9.   Y 53 vale 125 porque si multiplicamos 5 por si mismo 3 veces sale 5x5x5=125.  Y 24 la calculas tú que te veo un poco flojo.  Vale 16, pero sigo sin entender eso que contabas de los números grandes  Tú imagínate que  cuentas un secreto a tres amigos tuyos y les dices que no se lo cuenten a  nadie. Pero tus amigos no se portan muy bien y cada uno de ellos se lo cuenta cada día a otros  tres. Y así hasta que eso mismo ocurra cinco días  Ahora te pregunto yo a ti, ¿Cuánta gente se entera del secreto el quinto día?  Pues 3x3x3x3x3=243  ¿y si pasa 50  veces?  No tengo ganas de escribir 50 veces el 3 y 50 veces el x  1   

¿Por qué?  Porque es muy largo  Pues para eso están las potencias, para no tener que escribir tanto   Mira qué rápido lo hago yo: 350  Vale, ya entiendo, los números normales cuando son muy grandes es mejor expresarlos en  forma de potencia. Pero por curiosidad, ¿cuánto vale 350?  Pues mi calculadora dice que 717897987691852588770249  ¿Conclusión?  Te puedes fiar más de las potencias que de los amigos esos que tienes  Y para que no se te olvide todo esto, rellena la siguiente tabla  Potencia  23   

34   

43   

                54   

103   

                   

Base 

Exponente 

Significado 

Valor 

2 

3 

2x2x2 

8 

 

 

 

 

 

 

 

 

5 

2 

 

 

 

 

6x6x6 

 

2 

 

 

16 

 

3 

 

125 

 

 

 

 

 

 

 

 

7 

2 

 

 

 

 

8x8x8 

 

2 

 

 

32 

 

3 

 

1 

 

5 

 

0 

  Y resuelve estos dos problemas: 

2   

•

•

Un virus informático alojado en un e‐mail se reenvía automáticamente a 5 direcciones  de correo electrónico cada 10 minutos. Cuantos ordenadores pueden contagiarse al  cabo de 3 horas (puedes usar la calculadora)    Un vampiro muerde a tres personas cada día. ¿Cuántas serán mordidas por vampiros el  décimo día? 

 

2  Ayer me quedé con una duda  No tienes hartura  ¿Las bases y los exponentes pueden ser cualquier número?  Si, pero en 1º solo te van a preguntar por potencias que tengan exponente positivo como las  de ayer. Las bases sí que te las puedes encontrar negativas.  Ya me imaginaba yo que esto no iba a ser tan fácil  Así me gusta, que seas un optimista nato.  Qué simpático es usted  Es que te quejas por quejarte. Si la base es negativa, pues que sea negativa. Lo único que tienes  que hacer es tener cuidado con el signo del resultado final. Todo lo demás es igual.  ¿Si la base es negativa el resultado es negativo?  Depende  ¿De qué depende?  Mira estos ejemplos e intentas decírmelo tú  (‐2)2 = (‐2)x(‐2)=4                                                    (‐2)3 = (‐2)x(‐2) (‐2)=‐8  (‐2)4 = (‐2)x(‐2) (‐2)x(‐2)=16                                  (‐2)5 = (‐2)x(‐2) (‐2)x(‐2) (‐2)=‐32  (‐2)6 = (‐2)x(‐2) (‐2)x(‐2) (‐2)x(‐2)=64                   (‐2)7 =(‐2)x(‐2)x (‐2)x(‐2) (‐2)x(‐2) (‐2)x(‐2)=‐128  No sé decir nada  ¿Qué signo tienen los resultados de la columna izquierda?  Positivo  ¿Y los de la derecha?  Negativo  ¿Cómo son los exponentes de la columna izquierda?  3   

Positivos  Ya sé que son positivos, todos los exponentes son positivos, los de la derecha y los de la  izquierda. Pero aparte de positivos, ¿qué más son?  ¿Pares?  Si, son pares. ¿Y los de la derecha?  Impares. Ya comprendo lo de las bases negativas  Cuenta, cuenta: ¿Qué es lo que comprendes?  Pues que si la base es negativa, y el exponente es par el resultado final es positivo. Y si el  exponente es impar el resultado es negativo  Muy bien, ya sabes todo lo que hay que saber sobre las potencias de base negativa  ¿Y hoy no hay conclusión?  Pues sí. Que para que el resultado de una potencia sea negativo, no basta con que la base sea  negativa. Tiene que ser además impar el exponente.  Y ahora a practicar un poco con esta tabla, que después todo se olvida  Potencia  (‐2)3   

(‐3)4   

(‐4)3   

                (‐5)4   

Base 

Exponente 

Significado 

Valor 

‐2 

3 

(‐2)x(‐2)x(‐2) 

‐8 

 

 

 

 

 

 

 

 

‐5 

2 

 

 

 

 

(‐6)x(‐6)x(‐6) 

 

‐2 

 

 

16 

 

‐3 

 

‐125 

 

 

 

 

  Y por último:  • • • •

Escribe tres potencias de base negativa y cuyo resultado sea positivo  Escribe tres potencias de base negativa y cuyo resultado sea negativo  Escribe tres potencias de base positiva y cuyo resultado sea positivo  Escribe tres potencias de base positiva y cuyo resultado sea negativo 

  4   

3  ¿Se pueden hacer cuentas con las potencias?  Claro, pero hay que saberse cinco reglas  ¿De memoria?  Sí, pero antes hay que comprenderlas para que no se olviden después fácilmente  ¿Y cuál es la primera?  Te pongo un ejemplo y tú me la dices  Yo no la se  Para eso es el ejemplo, para que pienses y no te oxides  23x24=(2x2x2)x(2x2x2x2)=2x2x2x2x2x2x2=27  52x56=(5x5)x(5x5x5x5x5x5)=5x5x5x5x5x5x5x5=58  Fácil ¿no?¿cuál es la regla?  Dila tú que yo lo entiendo pero no sé explicarlo  El resultado de multiplicar dos potencias con la misma base es otra potencia que tiene la  misma base y de exponente la suma de los exponentes.  Y la segunda regla la dices tú  ¿Y cuál es la segunda?  Te pongo un ejemplo  32x52=(3x3)x(5x5)=3x3x5x5=(3x5)x(3x5)= (3x5)2=152  23x53=(2x2x2)x(5x5x5)=2x2x2x5x5x5=(2x5)x(2x5)x(2x5)=(2x5)2 =103  El resultado de multiplicar dos potencias con el mismo exponente es otra potencia que tiene  el mismo exponente y de base el producto de las bases  Muy bien, ya sólo nos quedan 3 reglas  Pero me las cuentas otro día que como no practique se me hace un lío la cabeza  Bueno, pues a trabajar  ¿Y no hay conclusión?  Si después de las actividades que vas a realizar, las dos primeras reglas vas a olvidar, a nadie  después te podrás quejar. 

5   

Pues vaya conclusión más chunga  Eso es lo que hay. Venga, ¡a trabajar¡   •

Expresa en forma de una sóla potencia  42x32                               32x32                                53x55                         32x37                            33x53                           74x54            35x55                               62x52                                 62x22                        52x52                  32x52                           42x45  32x52x22                     32x33x34                22x25x23               33x53x73                    22x23x24                  32x35x34  33x53x23                     52x53x54                32x35x33               33x43x53                    72x75x74                  22x24x26   

4  ¿Y las otras tres reglas?  ¡No se te habrán olvidado las del otro día¡  Yo nunca olvido nada  Bueno, bueno. Las reglas tercera y cuarta son muy parecidas a la primera y a la segunda, pero  en vez de multiplicando es dividiendo   ¿Algún ejemplo?  25:23=(2x2x2x2x2):(2x2x2)=2x2=22  36:32=(3x3x3x3x3x3):(3x3)=3x3x3x3=34  O sea, que para dividir dos potencias de la misma base, lo que se hace es dejar la misma base  y restar los exponentes  O dicho más finamente: El resultado de dividir dos potencias de la misma base es otra potencia  que tiene la misma base y de exponente la resta de los exponentes  Ya me estoy imaginando la cuarta propiedad  Te pongo un ejemplo para que estés seguro y dejes la imaginación para otras cosas más  interesantes  65:25=(6x6x6x6x6x6):(2x2x2x2x2)=(6:2)x(6:2)x (6:2)x (6:2)x (6:2) =3x3x3x3x3=35  82:42=(8x8):(4x4)=(8:4)x(8:4)=2x2=22  La cuarta regla es que el resultado de dividir dos potencias que tengan el mismo exponente,  es otra potencia que  tiene el mismo exponente y de base la división de las bases.  Te cuento la quinta o ¿se te hará un lio la cabeza?  Me la cuentas mañana, prefiero practicar un poco. Pero antes quiero la conclusión  La conclusión es que tengo mucha hambre y me voy a comer un bocadillo de jamón 

6   

Esto está cada vez peor  Venga, menos protestar y más practicar  •

Expresa en forma de una sóla potencia  92:32                               35:32                                57:55                         37:32                            163:23                           124:44            105:25                            62:32                               142:72                      153:53               38:35                               56:52 

5  ¿Y la quinta?  La quinta se llama potencia de potencia  (32)3=32x32x32=36  (23)4=23x23x23x23=212  Que se hace dejando la misma base y multiplicando los exponentes  Dilo bien  La potencia de una potencia es otra potencia que tiene la misma base y de exponente el  producto de sus exponentes  Bueno, pues ya sabes todas las propiedades de las potencias  A mí esto se me olvida  Si comprendes de verdad  de donde vienen las propiedades y practicas no se te olvidarán  Y la conclusión  Que todas las propiedades se pueden escribir con símbolos y a lo mejor te resultan más fáciles  de recordar. Te pongo además un ejemplo al  lado para que no te líes  1ª          anxam=an+m       23x24=27  2ª         anxbn=(axb)n     43x23=83  3ª          an:am=an‐m            25:23=22  4ª         an:bn=(a:b)n        63:23=33  5ª        (an)m=anxm         (23)2=26  Te mezclo todas las propiedades para que las practiques    •

52x32                               34:32                                  55:52                         32x39                            63:23                           84:44            (35)3                               63x53                                 62:22                           (52)3                  22x72                           45:42  82:22x42                     35x33:32                (22x25)x23               (73)2                    (22x23)3x24                  35:34  7 

 

6  Bueno, ¿ya sé todo sobre las potencias?  Sabes mucho, pero todo no  ¿Qué es lo que no sé?  Por ejemplo que hay un par de potencias especiales que no han salido todavía y que pueden  liarte  ¿Y cuáles son?  Las de exponente 0 y las de exponente 1  ¿Y que tienen de especial?  Las de exponente 1 valen siempre lo que vale la base.  31=3           51=5              20001=2000        Todas valen lo que vale la base  Las de exponente 0 siempre valen 1   30=1           50=1              20000=1        Todas valen 1  Eso es muy fácil. ¿Y qué más falta por saber?  Pues que hay otro par de potencias que se nombran de un modo especial  ¿Cuáles?  Las que tienen exponente 2 se leen como la base al cuadrado y las que tienen exponente 3  como la base al cubo. Por ejemplo 52 no se dice 5 elevado a 2 sino 5 al cuadrado y 53 no se dice  5 elevado a tres sino 5 al cubo.  ¿Y eso por qué?  Por que se inventaron para calcular el área de un cuadrado y el área de un cubo que midieran  de lado la base de la potencia. Pero es sólo el nombre lo que es diferente. Para calcularlas sirve  todo lo que hemos hecho hasta ahora.  Bueno, ¿ahora sí lo sé todo?  Ya no falta casi nada. Lo que sí hace falta es que no te inventes nada  No entiendo  Lo que quiero decir es que cuando salgan las potencias y tengas que hacer cuentas sólo puedes  usar las cinco reglas que hemos usado y no inventarte ninguna  ¿Y por qué me dices esto?  ¿Tu cuánto dirías que vale 23 + 22?  8   

45  ¿Y por qué?  He sumado los exponentes y las bases  ¿Y cuál de las cinco reglas has usado?  Ejem,…, ninguna.  Ves como te inventas las reglas  Y entonces ¿cómo se hace 23+22 si no hay ninguna regla para ese caso?  Cuando no se pueda aplicar ninguna regla se calcula el valor de las potencias y después se  hacen las operaciones que haya sin inventarse nada.  23+22=8+4=12  ¿Y si hay muchas operaciones y también potencias?  Pues respetas el orden en las operaciones y ya está, pero no te inventes propiedades.  Vale… ¿Hoy hay conclusión?  Si con las potencias hay que operar, lo mejor es no inventar  •

23+33                               3x23                              (‐2)3+5‐23                 23+3x42                         52+(‐5)2+5  22+32                               5x24                              (‐2)2+3+22                (‐ 2)3+4x32                33+(‐5)3‐3   

7  ¿Esto de las potencias, no se acaba nunca?  Hoy es la última lección, pero no vamos a hacer potencias  ¿Entonces?  Vamos a hacer lo contrario de elevar un número al cuadrado   ¿Y eso como se llama?  Se llama raíz cuadrada y tenemos un símbolo que es √   Qué cosa más rara  ¿Cuánto vale 32?  9  Pues la raíz cuadrada de 9 vale 3 y se escribe   √9

3 

9   

No me entero  ¿Cuánto vale 52?  25  Pues la raíz cuadrada de 25 vale 5 y se escribe   √25

5 

Ya me voy enterando. La raíz cuadrada de 4 es 2 porque 22=4  Eso es, ¿y cómo se escribe?  √

 

Bien, bien. Dime cuánto vale√5  Déjame pensar… No sé porque 22=4 que no llega y 32=9 se pasa. ¿Qué hago?  No preocuparte, no es culpa tuya. Simplemente √5 no es exacta. Sólo algunos números tienen  raíz cuadrada exacta. Son los cuadrados perfectos  ¿Y?  Que cuando no tengamos un cuadrado perfecto nos conformaremos con una aproximación. En  este caso diremos que √5 tiene de raíz entera 2 y que su resto es 1  ¿Qué es eso del resto?  Es lo que le falta a 22=4  para llegar a 5  Parece fácil  No me fio de ti. ¿Cuánto vale la raíz cuadrada entera de 19?  4 y de resto 3 porque a 42=16 le faltan 3 para llegar a 19  Vale me has convencido  ¿Y hoy no hay conclusión?  La conclusión es  que sin ser un empollón me parece que de potencias ya si que  sabes un  montón. Espero que en el examen te portes como un campeón.  Y ahora las últimas actividades:  • •

Escribe los quince primeros cuadrados perfectos  Calcula las siguientes raíces cuadradas. Si no son exactas indica el resto  √64       √56        √169         √49        √34        √100        √23       √15        √121       √74  

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