Diagrammi Di Bode

  • November 2019
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RELAZIONE DI SISTEMI DINAMICI Dato il circuito in fig. trovare la funzione di trasferimento e fare il diagramma di Bode.

Calcoliamo la funzione di trasferimento:

Zs =

1 SC1R1 + 1 + R1 = SC1 SC1

1 ⋅ R2 R2 SC 2 Zp = = 1 + R 2 R 2 SC 2 +1 SC 2

R2 R 2 SC1 Vo( s ) R 2 SC 2 + 1 = = = R2 ( SC1R1 + 1) ⋅ ( SC 2 R 2 + 1) + R 2 SC1 Vi ( s ) SC1R1 + 1 + SC1 R 2 SC 2 + 1

=

=

R 2 SC1 1 + R 2 SC 2 + R1SC1 + R 2 SC1 + R1R 2 S 2C1C 2 R 2 SC1 R1R 2C1C 2 S 2 + ( R1C1 + R 2C 2 + R 2C1) S + 1

Ora tramite Matlab operiamo i calcoli:

Fabio Grossi Sistemi Dinamici

1

(listato Matlab.) Ponendo: R1=50000 Ω; R2=49000 Ω; C1=10^-4 μF C2=4*10^-6 μF coeffs=R1*C1+R2*C2+R2*C1; coeffsq=R1*C1*R2*C2; a=[coeffsq,coeffs,1] roots(a)

troveremo le radici pari a -10 e -0,1 circa. Riscrivendo, l’equazione in forma compatta sarà:

E ( s) =

4,9S 4,9S = ( S + 10) ⋅ ( S + 0,1) (1 + 0,1S ) ⋅ (1 + 10 S )

quindi possiamo ricavare il diagramma di Bode. Considerazione: come si evince dalla funzione di trasferimento E(s) si ha uno zero nell’origine, questo pertanto merita una trattazione particolare. Quando per esempio si ha un polo nell’origine si avrà un’attenuazione, pari a: [A]dB = -20 log |jω| = -20 log ω ed è l’equazione di una retta avente pendenza -20 dB/decade e che attraversa l’asse delle ascisse nel punto log ω = 0 ovvero ω = 1. L’argomento essendo jω puramente immaginario vale 90° ed essendo relativo ad un termine a denominatore sarà di φ = - 90° quindi una retta parallela all’asse delle ascisse e di ordinata -90°. Ovviamente se fosse stato un polo doppio avrei avuto una pendenza di -40 dB/decade e una φ = - 180° e così via. Nel caso in cui si ha uno zero nell’origine il ragionamento è speculare, cioè: la pendenza sarà +20dB/decade e la fase +90°, e per uno zero doppio una pendenza di 40 dB/decade e la fase di 180° e così via.

Fabio Grossi Sistemi Dinamici

2

Ma veniamo al nostro caso:

E ( s) =

4,9S (1 + 0,1S ) ⋅ (1 + 10S )

Diagramma di Bode di E(s) Fabio Grossi

40

Modulo [dB]

20

0

­20

­40

­60 ­3 10 135

­2

10

­1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

90

Fase [deg]

45 0 ­45 ­90 ­135 ­3 10

­2

10

­1

10

0

10

ω [rad/sec]

1

10

2

10

3

10

Bode Diagram

0 ­10

Magnitude (dB)

­20 ­30 ­40 ­50 ­60 ­70 ­80 ­90

Phase (deg)

­135

­180

­225

­270

­3

10

­2

10

­1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

Frequency  (rad/sec)

Realizzato con Matlab

Fabio Grossi Sistemi Dinamici

3

Il diagramma di bode della F ( s ) =

10S (1 + 10S ) è: (1 + 100S )

Diagramma di Bode di F(s) Fabio Grossi

40 20

Modulo [dB]

0 ­20 ­40 ­60 ­80 ­4 10 180

­3

10

­2

­1

10

10

0

10

1

10

Fase [deg]

135

90

45

0 ­4 10

­3

10

­2

10

­1

ω [rad/sec]

10

0

10

1

10

Bode Diagram

20 10 0

Magnitude (dB)

­10 ­20 ­30 ­40 ­50 ­60 ­70

Phase (deg)

­80 90

60

30

­4

10

­3

10

­2

­1

10

10

0

10

1

10

Frequency  (rad/sec)

Fabio Grossi Sistemi Dinamici

4

Il diagramma di bode della G ( s ) =

10(1 + 0,1S )(1 + 0,01S ) è: S (1 + S )

Diagramma di Bode di G(s) Fabio Grossi

40

Modulo [dB]

20

0

­20

­40 ­2 10 0

­1

0

10

1

10

2

10

3

10

10

Fase [deg]

­45

­90

­135

­180 ­2 10

­1

0

10

10

1

ω [rad/sec]

2

10

3

10

10

Bode Diagram

80

Magnitude (dB)

60

40

20

0

­20

­40 0

Phase (deg)

­45

­90

­135

­180

­2

10

­1

10

0

10

1

10

2

10

3

10

4

10

Frequency  (rad/sec)

Fabio Grossi Sistemi Dinamici

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