RELAZIONE DI SISTEMI DINAMICI Dato il circuito in fig. trovare la funzione di trasferimento e fare il diagramma di Bode.
Calcoliamo la funzione di trasferimento:
Zs =
1 SC1R1 + 1 + R1 = SC1 SC1
1 ⋅ R2 R2 SC 2 Zp = = 1 + R 2 R 2 SC 2 +1 SC 2
R2 R 2 SC1 Vo( s ) R 2 SC 2 + 1 = = = R2 ( SC1R1 + 1) ⋅ ( SC 2 R 2 + 1) + R 2 SC1 Vi ( s ) SC1R1 + 1 + SC1 R 2 SC 2 + 1
=
=
R 2 SC1 1 + R 2 SC 2 + R1SC1 + R 2 SC1 + R1R 2 S 2C1C 2 R 2 SC1 R1R 2C1C 2 S 2 + ( R1C1 + R 2C 2 + R 2C1) S + 1
Ora tramite Matlab operiamo i calcoli:
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(listato Matlab.) Ponendo: R1=50000 Ω; R2=49000 Ω; C1=10^-4 μF C2=4*10^-6 μF coeffs=R1*C1+R2*C2+R2*C1; coeffsq=R1*C1*R2*C2; a=[coeffsq,coeffs,1] roots(a)
troveremo le radici pari a -10 e -0,1 circa. Riscrivendo, l’equazione in forma compatta sarà:
E ( s) =
4,9S 4,9S = ( S + 10) ⋅ ( S + 0,1) (1 + 0,1S ) ⋅ (1 + 10 S )
quindi possiamo ricavare il diagramma di Bode. Considerazione: come si evince dalla funzione di trasferimento E(s) si ha uno zero nell’origine, questo pertanto merita una trattazione particolare. Quando per esempio si ha un polo nell’origine si avrà un’attenuazione, pari a: [A]dB = -20 log |jω| = -20 log ω ed è l’equazione di una retta avente pendenza -20 dB/decade e che attraversa l’asse delle ascisse nel punto log ω = 0 ovvero ω = 1. L’argomento essendo jω puramente immaginario vale 90° ed essendo relativo ad un termine a denominatore sarà di φ = - 90° quindi una retta parallela all’asse delle ascisse e di ordinata -90°. Ovviamente se fosse stato un polo doppio avrei avuto una pendenza di -40 dB/decade e una φ = - 180° e così via. Nel caso in cui si ha uno zero nell’origine il ragionamento è speculare, cioè: la pendenza sarà +20dB/decade e la fase +90°, e per uno zero doppio una pendenza di 40 dB/decade e la fase di 180° e così via.
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Ma veniamo al nostro caso:
E ( s) =
4,9S (1 + 0,1S ) ⋅ (1 + 10S )
Diagramma di Bode di E(s) Fabio Grossi
40
Modulo [dB]
20
0
20
40
60 3 10 135
2
10
1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
90
Fase [deg]
45 0 45 90 135 3 10
2
10
1
10
0
10
ω [rad/sec]
1
10
2
10
3
10
Bode Diagram
0 10
Magnitude (dB)
20 30 40 50 60 70 80 90
Phase (deg)
135
180
225
270
3
10
2
10
1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
Frequency (rad/sec)
Realizzato con Matlab
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3
Il diagramma di bode della F ( s ) =
10S (1 + 10S ) è: (1 + 100S )
Diagramma di Bode di F(s) Fabio Grossi
40 20
Modulo [dB]
0 20 40 60 80 4 10 180
3
10
2
1
10
10
0
10
1
10
Fase [deg]
135
90
45
0 4 10
3
10
2
10
1
ω [rad/sec]
10
0
10
1
10
Bode Diagram
20 10 0
Magnitude (dB)
10 20 30 40 50 60 70
Phase (deg)
80 90
60
30
4
10
3
10
2
1
10
10
0
10
1
10
Frequency (rad/sec)
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4
Il diagramma di bode della G ( s ) =
10(1 + 0,1S )(1 + 0,01S ) è: S (1 + S )
Diagramma di Bode di G(s) Fabio Grossi
40
Modulo [dB]
20
0
20
40 2 10 0
1
0
10
1
10
2
10
3
10
10
Fase [deg]
45
90
135
180 2 10
1
0
10
10
1
ω [rad/sec]
2
10
3
10
10
Bode Diagram
80
Magnitude (dB)
60
40
20
0
20
40 0
Phase (deg)
45
90
135
180
2
10
1
10
0
10
1
10
2
10
3
10
4
10
Frequency (rad/sec)
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