Diagrama De Smith -orrala.docx

Nombre: Tania Brigitty Orrala Muñoz Asignatura: Electromagnetismo II

Segundo Parcial Carrera: Electrónica e Instrumentación

DIAGRAMA DE SMITH La carta de Smith es un diagrama polar especial que muestra cómo varía la impedancia compleja de una línea de transmisión a lo largo de su longitud. Se usa frecuentemente para simplificar la adaptación de la impedancia de una línea de transmisión con su carga. Contiene círculos de resistencia constante, círculos de reactancia constante, círculos de relación de onda estacionaria constante y curvas radiales que representan los lugares geométricos de desfase en una línea de valor constante; se utiliza en la resolución de problemas de guías de ondas y líneas de transmisión. Fue inventada por Phillip Smith en 1939 mientras trabajaba para RCA, aunque el ingeniero japonés Kurakawa inventó un dispositivo similar un año antes. El motivo que tenía Smith para hacer este diagrama era representar gráficamente las relaciones matemáticas que se podían obtener con una regla de cálculo.

La impedancia normalizada 𝑟𝑁 + 𝑗𝑥𝑁 barre todo el plano complejo. Allí, los lugares geométricos equi −𝑟𝑁 y equi −𝑥𝑁 son simplemente rectas paralelas a los ejes real e imaginario, respectivamente. Ese mismo plano complejo es barrido por el coeficiente de reflexión Γ𝐿 = 𝑢 + 𝑗𝑣. Sin embargo, como entre ambas variables complejas existe la relación Γ𝐿 = 𝑢 + 𝑗𝑣 =

𝑟𝑁 +𝑗𝑥𝑁 −1 𝑟𝑁 +𝑗𝑥𝑁 +1

(2)

si los valores de impedancia normalizada (𝑟𝑁 , 𝑥𝑁 ) se expresan en función de Γ𝐿 : 𝑟𝑁 = 𝑟𝑁 (𝑢, 𝑣) 𝑦 𝑥𝑁 = 𝑥𝑁 (𝑢, 𝑣), los lugares geométricos rectilíneos equi −𝑟𝑁 y equi −𝑥𝑁 , en el dominio (𝑟𝑁 , 𝑗𝑥𝑁 ) , se transforman en circunferencias en el plano complejo de la variable (𝑢 + 𝑗𝑣).

Una ilustración gráfica de esta transformación se muestra en la siguiente figura

La Carta o Diagrama de Smith se obtiene, precisamente, trazando algunos de los lugares geometricos de 𝑟𝑁 𝑦 𝑥𝑁 en el plano complejo de la variable 𝑢 + 𝑗𝑣 , utilizando como base la ecuación 2. Para ello se sugiere seguir los pasos siguientes. Multiplicar en cruz: (𝑢 + 𝑗𝑣)(𝑟𝑁 + 1 + 𝑗𝑥𝑁 ) = 𝑟𝑁 + 𝑗𝑥𝑁 − 1 igualar parte real y parte imaginaria 𝑢(𝑟𝑁 + 1) − 𝑣𝑥𝑁 = 𝑥𝑁 − 1 ordenar y factorizar los términos 𝑟𝑁 𝑦 𝑥𝑁 (𝑢 − 1)𝑟𝑁 − 𝑣𝑥𝑁 = −(1 − 𝑢) 𝑢𝑟𝑁 + (𝑢 − 1)𝑥𝑁 = −𝑣 con este par de ecuaciones se procede a eliminar una vez 𝑥𝑁 y otra vez 𝑟𝑁 , ordenando los términos restantes en potencias descendientes de u y v, respectivamente 𝑢2 −

2𝑟𝑁 1 − 𝑟𝑁 𝑢 + 𝑣2 = 𝑟𝑁 + 1 𝑟𝑁 + 1

𝑢2 − 2𝑢 + 𝑣 2 −

2 𝑣 = −1 𝑥𝑁

finalmente se procede a completar los cuadrados2 correspondientes en cada ecuación {𝑢 −

𝑟𝑁 2 1 } + 𝑣2 = (𝑟𝑁 + 1)2 𝑟𝑁 + 1

(𝑢 − 1)2 + (𝑣 −

1 2 1 2 ) =( ) 𝑥𝑁 𝑥𝑁

Use el diagrama de Smith para hallar la impedancia de entrada de una sección de línea de transmisión sin pérdidas de 50 Ω con longitud de 0.1 longitudes de onda, terminada en un cortocircuito. Solución Dado: 𝑧𝐿 = 0 𝑅𝑜 = 50 Ω 𝑧 ′ = 0.1𝜆 1. Determinar en el diagrama de Smith la intersección de 𝑟 = 0 𝑦 𝑥 = 0 (Punto P en el extremo izquierdo del diagrama)

2. Avance 0.1 “longitudes de onda hacia el generador” por el borde del diagrama (|Γ| = 1), en sentido de las agujas del reloj hacia 𝑃1 3. En 𝑃1 , lea los valores 𝑟 = 0 𝑦 𝑧 ≅ 0.725, 𝑜 𝑧𝑖 = 𝑗0.725. De esta manera: 𝑍𝑖 = 𝑅0 𝑧𝑖 = 50(𝑗0.725) = 𝑗36.3Ω (La impedancia de entrada es puramente inductiva)

4. Se puede comprobar este resultado utilizando la ecuación 𝑍𝑖 = 𝑗𝑅0 tan 𝛽𝑙 = 𝑗50 tan (

2𝜋 ) 0.1 𝜆 𝜆

𝑍𝑖 = 𝑗 50 tan 36°

𝒁𝒊 = 𝒋𝟑𝟔. 𝟑 𝝅

La carta de Smith es una relación gráfica entre la impedancia de entrada normalizada y el coeficiente de reflexión del voltaje en el mismo punto de la línea, y que utilizando la carta se evitan los laboriosos cálculos con números complejos para conocer la impedancia de entrada a la línea o el coeficiente de reflexión, por lo que son de mucha utilidad en el acoplamiento de las líneas de transmisión y en el cálculo del inverso de un número complejo.

Bibliografía  Zozaya, A. (2007). Líneas de Transmisión Carta de Smith [en línea] Disponible en: http://www.ing.uc.edu.ve/~azozaya/docs/LT/CSmith.pdf  Diagrama de Smith [en línea] Disponible en: http://www.3dsmithchart.com/  Cheng, D. Fundamnetos de electromagnetismo para ingeniería. Sexta edición. Cap 8. Líneas de transmisión. Pag 372.