Diagrama De Bode

Diagrama de Bode

Diego Alejandro Villegas Oliveros Ingeniería Telemática Universidad Icesi

Diagrama de Bode • Es un diagrama logarítmico. • Si H (w) es la función de transferencia entonces w vs. H (w) diagrama de magnitud. w vs.  (w) ángulo de fase en frecuencia.

Diego Alejandro Villegas Oliveros

2

Magnitud •

•

Una función de transferencia se puede representar con dos diagramas separados uno de la magnitud en función de la frecuencia (decibeles) y el otro del ángulo de fase (grados). La Magnitud logarítmica de G( jw) es 20 log G( jw)  Decibel (db) 10

•

La unidad utilizada en esta representación es el decibel, abreviado usualmente como db.

Diego Alejandro Villegas Oliveros

3

• Además multiplicación de Magnitudes es una suma. log( AB)  log A  log B

• Disponemos de las asíntotas de la curva original para bosquejar la curva. • Se pueden representar las características de alta y baja frecuencia en el mismo diagrama. Diego Alejandro Villegas Oliveros

4

Ángulo de fase 

Punto de Inflexión

Angulo de fase

0º

-45º

-90º

Frecuencia w

Diego Alejandro Villegas Oliveros

5

Factores Básicos 1. Ganancia k. 2. Factores integrales y derivativos 3. Factores de primer orden

( jw ) 1

(1  jwT ) 1

4. Factores cuadráticos 1  2 ( jw / w )  ( jw / w )  2

n

Diego Alejandro Villegas Oliveros

1

n

6

• Una vez familiarizado con el uso de estos diagramas logarítmicos de cada factor, se pueden usar para hacer uno compuesto para cualquier G( jw) H ( jw) trazando curvas de cada factor y sumando gráficamente las curvas individuales, ya que sumar logaritmos de magnitudes equivale a multiplicarlos entre sí. El proceso de obtener el diagrama logarítmico se puede simplificar más aun si se usan aproximaciones asintóticas a las c u r v a s d e c a d a f a c t o r .

10  jw  3 G  jw   2  jw   jw  2  jw   jw  2



Diego Alejandro Villegas Oliveros

 7

Ganancia K • La curva para 20 log k  20 log k es una línea recta horizontal para la ganancia k en la magnitud de , log k db. El ángulo de fase es cero. 20 • Si se varía la ganancia k en la función de transferencia se eleva o desciende la curva del logaritmo para no afectar el ángulo de fase. • Si aumentamos el valor numérico en factor de 10, el valor en decibeles aumenta un factor de 20. Diego Alejandro Villegas Oliveros

8

Ganancia K

Si expresamos el recíproco de un número en decibeles

Diego Alejandro Villegas Oliveros

20 log k  20 log

1 k

9

Para tener en cuenta… Eje imaginario

c  a  bi c  a  bi  a 2  b 2

b

b tan   a 1 b tan  a

c = a+bi

Ф a

Diego Alejandro Villegas Oliveros

Eje real

10

Factor integral y derivativo

Diego Alejandro Villegas Oliveros

 jw 1.

11

Termino  jw  . 1

• la magnitud logarítmica en decibeles es 20 log

1  20 log w db jw

1 • El ángulo de fase de es una constante igual a jw

-90º.

Diego Alejandro Villegas Oliveros

12

Mas conceptos

• Octava: banda de frecuencias w a 2w • Década: banda de frecuencias w1 a 10w1 1

• La distancia

1

w1  3 a w1  30 es igual w1  1 a w1  10

Diego Alejandro Villegas Oliveros

13

Gráfico • El gráfico  20 log w db es una recta.

 jw.1

Pendiente

20

0

• Pendiente  20db/ década o  6db/ octava

-20

-40 0.1

Diego Alejandro Villegas Oliveros

1

10

100

14

Termino  jw  . • la magnitud logarítmica en decibeles es 20 log jw  20 log w db

• El ángulo de fase de jw es una constante igual a 90º.

Diego Alejandro Villegas Oliveros

15

Gráfico  jw.  • El gráfico 20 log w es una recta.

db 40

(0.1,20) Pendiente (1,0) (10,20) (100,40)

20 0

• Pendiente 20db/ década o 6db / octava

-20

0.1

1

Diego Alejandro Villegas Oliveros

10

100

16

Angulo de fase  jw .

1

Diego Alejandro Villegas Oliveros

17

Factor  jw 

n

n   jw • Para 1 20 log Magnitud logarítmica  jw  90ºn Angulo de fase

n

.

 20 n log w db

 jw n

• Para Magnitud logarítmica 90ºn Angulo de fase

20 log  jw  20 n log w db n

Pendientes -20n db/década y 20n db/década respectivamente y pasan por el punto (0 db en w =1). Diego Alejandro Villegas Oliveros

18

Factores de primer orden

Diego Alejandro Villegas Oliveros

1  jwT 1 ..

19

Termino 1  jwT  . 1

• la magnitud logarítmica en decibeles es 20 log

• Si

w 

1  20 log 1  w2T 2 db 1  jwT

1  20 log 1  w2T 2  20 log 1  0 db T

w 

recta 0 db.

1  20 log 1  w 2T 2  20 log wT  db T

• Si línea recta con una pendiente -20 db/década (o -6 db/octava). • Si

w

1  20 log 1  1  20 log 2 db  3,01 db T Diego Alejandro Villegas Oliveros

20

Curva de logaritmo de la magnitud

1  jwT 

1

Diego Alejandro Villegas Oliveros

21

1   1  jwT Angulo de fase .

• El ángulo de fase de esta dado por    tan 1 wT

1

Punto de Inflexión

-45º

-90º

1/ T

 ( w)   tan 1     tan 1 (1)  45º

 (w)  45º

Ф

jwT 

0º

1 w T  ( w)   tan 1 (0)  0 T  T 

1 

w

w

 (w)   tan 1 () tan( ( w))  90º Diego Alejandro Villegas Oliveros

22

El error 2 2  20 log 1  0 db   20 log 1  w T db   20 log wT  db 0 -1 -2 -3

1/10T

1 / 2T

1/ T

2/T

10 / T

Note corrección máxima 3db en w = 1/T

Diego Alejandro Villegas Oliveros

23

Termino 1  jwT  . • la magnitud logarítmica en decibeles es 20 log 1  jwT  20 log 1  w2T 2 db  20 log

• Si

w 

1 1  jwT

1  20 log 1  w2T 2  20 log 1  0 db T

w 

recta 0 db.

1  20 log 1  w2T 2  20 log wT  db T

• Si línea recta con una pendiente 20 db/década (o 6 db/octava). • Si

w

1  20 log 1  1  20 log 2 db  3,01 db T Diego Alejandro Villegas Oliveros

24

Curva de logaritmo de la magnitud 1  jwT 

Diego Alejandro Villegas Oliveros

25

Angulo de fase 1  jwT . • El ángulo de fase de esta dado por

90º

  tan 1 wT 45º

w

1 T 0.01/ T

1/ T

10 / T

 ( w)  tan 1 (0)  0 T  T 

 ( w)  tan 1    tan 1 (1)  45º

w  ( w)  tan 1 () tan( ( w))  90º

Diego Alejandro Villegas Oliveros

26

Factor • •

1 T 1 w T 1 w T w

1  jw 

n

.

frecuencia de corte recta horizontal 0 db

frecuencias altas, pendiente –20n I db/década o 20n db/década 1 ( 1  jwT ) • El error es n veces el correspondiente a . 1 ( 1  jwT ) • El ángulo de fase es n veces el de en cada punto de frecuencia. •

Diego Alejandro Villegas Oliveros

27

Factores cuadráticos



2 ˆ 1  2 ( jw / wn )  ( jw / wn )

Diego Alejandro Villegas Oliveros



1

28

Generalización 1 2 ( ˆjw / w )  ( ˆjw / w )  2

n

a) b)

•

1

n

Si   1 se puede escribir como dos de primer orden con polos reales. Si 0    1 producto de dos factores complejos conjugados.

Las aproximaciones asintóticas no son exactas para valores bajos de  porque la magnitud y la fase del factor cuadrático dependen de la frecuencia de cruce y del factor de amortiguamiento  . Diego Alejandro Villegas Oliveros

29

Factor 1 2 ( ˆjw / w )  ( ˆjw / w ) .

2 1

n

n

• la magnitud logarítmica en decibeles es 2

 w2   w     20 log   20 log 1   2  2  w2  w  ˆ w ˆ w n   n   1  2  j    j   wn   wn  1

2

• Si

2    w w   20 log 1  0db w  wn  20 log 1  2    2  wn   wn 

2

2

recta 0 db.

2

 w2   2 2 w2  w2 w  w  wn  20 log  2    2    20 log   40 log db 2  2 La wn wn  wn  wn  

• Si línea recta con una pendiente -40 db/década.

• Si la asíntota de alta frecuencia corta a la de

baja en

w  wn  40 log

wn db  40 log 1 db  0db wn

Diego Alejandro Villegas Oliveros

30

• Las asíntotas determinadas en la diapositiva anterior son independientes de  . En cercanía de w  wn se produce un pico de resonancia y el factor  determina la magnitud de ese pico. Hay error en la aproximación de asíntotas y el valor del error depende de  y es grande para  pequeños.

Diego Alejandro Villegas Oliveros

31

Magnitud para 1 2 ( ˆjw / w )  ( ˆjw / w. ) 

2 1

n

n

db

  0.1 0

0.1

w wn

Diego Alejandro Villegas Oliveros

w

32

Angulo de fase 1 2 ( ˆjw / w )  ( ˆjw / w ). 

2 1

n

n

• El ángulo de fase de esta dado por 

1  w 1  2  ˆj  wn

Si

w0

Si

w  wn

Si

w

 ˆ w    j   wn

  

2

   2 w   wn  1   tan  2    w   1       wn  

0

-90

   tan 1 (0)  0  2     tan     tan 1    90 º  0  1

w wn 0 lim  0 2 w 0 1 w 1 2 wn

-180

w 1 wn

w

  tan 1 0  180 33 Diego Alejandro Villegas Oliveros

Diego Alejandro Villegas Oliveros

34

Ejemplo • Trace el diagrama de bode para las siguiente función de transferencia:

10  jw  3 G  jw   2  jw   jw  2  jw   jw  2



Diego Alejandro Villegas Oliveros

 35

Paso 1 Se pone G(jw) en forma normalizada, donde los factores de primer orden y el factor de segundo orden están en línea con 0db 10  jw   1  10( jw  3) 3 3  G ( jw)   ( jw)( jw  2) ( jw) 2  jw  2 jw   ( jw) 2 jw   2( jw)1    1 2 2   2 2  





 jw  7.5  1  3   jw  ( jw) 2 jw   ( jw)1    1  2  2 2   Diego Alejandro Villegas Oliveros

36

Paso 2 • Identificar los factores que componen la función  jw  7.5  1 3   G ( jw)  2 jw  ( jw) jw   ( jw)1    1  2 2 2   

Compuesta por:

7.5;

w 1 ( jw ) ; 1  j ; 3

1

w   ( jw) 2 jw     1 1  j  ;  2 2  2  

Diego Alejandro Villegas Oliveros

1

37

Paso 3 • Hallar las Frecuencias de corte según el factor  1    1 w  1  jwT   c T  1  jwT 

1 j

w 1 1  1  jw   wc  3 1 3  3 3

1 j

w 1 1  1  jw   wc  2 1 2 2 2

Diego Alejandro Villegas Oliveros

38

 jw    jw 2   w Cuando w  wn 1  2     2  c  wn   wn  2

( jw) jw 2 jw  jw   1    1  wc  2   2 2 2 2  2 2

 jw   jw  1  2     2  2

2 2  2

2



2  jw   jw   1    2  2  2

2

2   0,3536 4

Diego Alejandro Villegas Oliveros

39

Paso 4 Se hayan los valores aproximados de cada uno de los factores de la función

Diego Alejandro Villegas Oliveros

40

Paso 5 Se grafica cada una de las funciones independientemente.

40

30 20 17.5

1

14

3

2.41 0 -3.52 -6.02 -10 4

-20

5

0.4 0.6 1

1.53 2

3

2

4

Diego Alejandro Villegas Oliveros

41

Paso 6 • La función de transferencia G(jw) resulta de la suma de las funciones 40

Curva exacta

30 20 17.5 14

G(jw)

2.41 0 -3.52 -6.02 -10 -20

0.4 0.6 1

1.53 2

3

4

Diego Alejandro Villegas Oliveros

42

• Para diagramas de ángulo de fase se procede de la misma manera.

Diego Alejandro Villegas Oliveros

43

Gracias…