Diagonalisasi: Anisa Ainun Fitriani 162151125

DIAGONALISASI Anisa Ainun Fitriani 162151125

Apa itu diagonalisasi ? • Diagonalisasi adalah sebuah proses transformasi suatu

matriks PERSEGI menjadi matriks DIAGONAL • Matriks diagonal ? Matriks diagonal adalah matriks bujur sangkar yang semua entri diluar diagonal utama bernilai nol (0) Contoh : 𝐴=

3 0

2 0 0 0 atau B = 0 −4 0 −1 0 0 1

Diagonalisasi Definisi : “Matriks kuadrat A dinamakan dapat didiagonalisasi jika terdapat matriks P yang dapat dibalik sehingga P-1 AP diagonal; matriks P diakatakan mendiagogalisas A.” 𝜆1 0 … 0 0 𝜆2 … 0 𝐷= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆𝑛

Teorema 2. Jika A adalah matriks n x n, maka pernyataanpernyataan berikut ekivalen satu sama lain a. A dapat didiagonalisasi b. A mempunyai n vektor eigen bebas linear Bukti (a) ⇒ (b). karena A dianggap dapat didiagonalisasi, maka terdapat matriks yang dapat dibalik yaitu: 𝑃11 𝑃12 … 𝑃1𝑛 𝑃 𝑃22 … 𝑃2𝑛 𝑃 = 21 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 𝑃𝑛1 𝑃𝑛2 ⋯ 𝑃𝑛𝑛 Sehingga P-1 AP diagonal, katakana P-1 AP = D, diamana 𝜆1 0 … 0 0 𝜆2 … 0 𝐷= ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 𝜆𝑛

Karena P-1 AP = D Maka AP=PD 𝑃11 𝑃 𝐴𝑃 = 21 ⋮ 𝑃𝑛1

𝑃12 𝑃22 ⋮ 𝑃𝑛2

𝜆1 𝑃11 𝜆 𝑃 = 1 21 ⋮ 𝜆1 𝑃𝑛1

… …

𝑃1𝑛 𝑃2𝑛 ⋮ ⋮ ⋯ 𝑃𝑛𝑛

𝜆2 𝑃12 𝜆2 𝑃22 ⋮ 𝜆2 𝑃𝑛2

𝜆1 0 ⋮ 0

0 𝜆2 ⋮ 0

… 0 … 0 ⋮ ⋮ ⋯ 𝜆𝑛

… …

𝜆𝑛 𝑃1𝑛 𝜆𝑛 𝑃2𝑛 ⋮ ⋮ ⋯ 𝜆𝑛 𝑃𝑛𝑛

Vektor-vektor kolom P adalah P1,P2,…,Pn . Maka vektor-vektor kolom AP yang berurutan adalah AP1,AP2,…,APn. Sedangkan vektor-vektor kolom dari PD adalah 𝜆1 P1,𝜆2 P2,…,𝜆𝑛 Pn Karena AP=PD Maka AP1= 𝜆1 P1,AP2=𝜆2 P2,…,APn=𝜆𝑛 Pn .

Langkah-langkah untuk mendiagonalisasi matriks 𝐴𝑛𝑥𝑛 • Langkah 1. Tentukan nilai-nilai eigen, misalkan

𝜆1 ,𝜆2 ,…,𝜆𝑛 , dimana k≤n • Berdasarkan nilai-nilai eigen yang diperoleh pada langkah 1tentukan vektor-vektor eigennya, misalkan dimana P1, P2,…, Pn jika vektor eigen yang didapat kurang dari n berarti A tidak dapat didiagonalisasi dan langkah selanjutnya tidak perlu dilakukan. • Langkah 2. Bentuklah matriks P yang mempunyai P1, P2,…, Pn sebagai vector-vektor kolomnya • Langkah 3. Matriks P-1 AP akan diagonal dengan 𝜆1 ,𝜆2 ,…,𝜆𝑛 sebagai entri-entri diagonalnya yang bereurutan, dimana 𝜆𝑖 adalah nilai eigen yang bersesuaian dengan 𝑃𝑖 , 𝑖 = 1,2, … , 𝑛.

Contoh Apakah matriks matriks dibawah ini dapat didiagonalisasi ? Jika dapat tentukan matriks P dan matriks diagonalnya 2 2 0 1 0 2 3 𝐴= ,B = 2 2 0 ,𝐶 = 3 1 2 1 0 0 4