Diafores Askiseis

Ασκήσεις πάνω στους µιγαδικούς: 1. ∆ίνεται η εξίσωση: az 3 + 3 z 2 + 2 z + 3 = 0 Αν γνωρίζουµε ότι µία ρίζα της είναι η z1 = −i , προσδιορίστε την παράµετρο α και βρείτε τις υπόλοιπες ρίζες της z2,z3. Λύση: z1 = −i

Ισχύουν z12 = −1 οπότε η εξίσωση γίνεται: ai − 3 − 2i + 3 = 0 ⇔ ( a − 2)i = 0 ⇔ a = 2

z13 = i 2 z 3 + 3z 2 + 2 z + 3 = 0 ⇔ z 2 (2 z + 3) + (2 z + 3) = 0

Τώρα η εξίσωση είναι η

⎧ z =i ⎪ ( z + 1)(2 z + 3) = 0 ⇔ ⎨ z = −i . ⎪ z = −3 / 2 ⎩ 2. Να βρεθούν όλα τα z στο σύνολο C των µιγαδικών αριθµών που ικανοποιούν την 2

εξίσωση 27 z 6 + 1 = 0 και να υποδειχθούν αυτά που αποτελούν συζυγή µιγαδικά ζεύγη. Λύση: 27 z 6 + 1 = 0 ⇔ z 6 = − 313 =

Κατά συνέπεια z =

1 3

1 33

(cos π + i sin π ) .

(cos π +62 kπ + i sin π +62 kπ ), k = 0,1, 2,… 5 . Παίρνουµε τις ρίζες

z0 =

1 3

(cos π6 + i sin π6 ) =

z1 =

1 3

(cos 36π + i sin 36π ) =

3 3

(cos π2 + i sin π2 ) = i

z2 =

1 3

(cos 56π + i sin 56π ) =

3 3

(−

3 2

+ i 12 ) = − 12 + i

3 6

,

z3 =

1 3

(cos 76π + i sin 76π ) =

3 3

(−

3 2

− i 12 ) = − 12 − i

3 6

,

z4 =

1 3

(cos 96π + i sin 96π ) =

3 3

(cos 32π + i sin 32π ) = −i

z5 =

1 3

(cos 116π + i sin 116π ) =

3 3

(

3 2

3 3

(

+ i 12 ) = 12 + i

3 2

3 6

− i 12 ) = 12 − i

,

3 6

3 3

,

3 3

,

.

Παρατηρούµε ότι: z0 = z5 , z1 = z4 και z2 = z3 . 3. Θεωρούµε το σύνολο των µιγαδικών αριθµών z = x+iy µε την ιδιότητα | z − i |= 2 | z − 1 | .

∆είξτε ότι η γραφική παράσταση του συνόλου αυτού στο µιγαδικό επίπεδο είναι ένας κύκλος και βρείτε το κέντρο και την ακτίνα του. Λύση:

1

z = x + iy ,

Έστω

x, y ∈

.

| z − i |= x 2 + ( y − 1) 2

Έχουµε:

και

| z − 1|= ( x − 1) 2 + y 2 .

Άρα

x 2 + ( y − 1) 2 = 2 ( x − 1) 2 + y 2 ⇔ x 2 + ( y − 1) 2 = 2( x − 1) 2 + 2 y 2 ⇔

⇔ x2 + y 2 + 1 − 2 y = 2x2 + 2 − 4x + 2 y 2 ⇔ x2 + 1 − 4 x + y 2 + 2 y = 0 ⇔ ⇔ ( x − 2) 2 + ( y + 1) 2 = 22 που είναι η εξίσωση κύκλου µε κέντρο το σηµείο (2, −1) ≡ 2 − i

(1 + i 3)60 4. Χρησιµοποιώντας το θεώρηµα του De Moivre, υπολογίστε το A = (4 i )30

Λύση: (1 + i 3)60 260 ( 12 + i 23 )60 260 (cos π3 + i sin π3 )60 260 (cos 603π + i sin 603π ) A= = = = = (4i )30 430 i 30 (22 )30 (i 2 )15 260 (−1)15 =

cos(10(2π )) + i sin(10(2π )) 1 = = −1 . −1 −1

Ασκήσεις πάνω στα π.ο. , π.τ., αντίστροφη συνάρτηση και σύνθεση συναρτήσεων: ∆είτε επίσης τις σκαναρισµένες ασκήσεις Α,Β,C 5. Ποιες από τις παρακάτω συναρτήσεις είναι 1-1; Ποιες είναι επί; Στην περίπτωση που µια συνάρτηση είναι 1-1 και επί προσδιορίστε την αντίστροφή της. i) f : [0, + ∞ ) → [0, + ∞ ) µε f ( x) = x . ii) h : R → R µε h( x) = x 2 − 3x + 2 Λύση: i) Έστω x1 , x2 ∈ [0, + ∞) µε f ( x1 ) = f ( x2 ) . Τότε

x1 = x2 ⇒

( x) 1

2

= =

( x) 2

2

⇒ x1 = x2 .

Άρα η f είναι 1-1. Έστω y ∈ [0, + ∞ ) . Θέτουµε x = y 2 ∈ [0, + ∞) . Προφανώς f ( x) = x = y 2 = y . Άρα η f y ≥0

−1

είναι και επί. Από τα προηγούµενα προκύπτει ότι f ( x) = x για κάθε x ∈ [0, + ∞ ) ii) Η h δεν είναι 1-1 γιατί h(1) = h(2) = 0 . Αν ήταν επί τότε θα υπήρχε x ∈ , τέτοιο ώστε 2

h( x) = −1 . Αλλά η εξίσωση h( x) = x 2 − 3x + 2 = −1 ⇔ x 2 − 3x + 3 = 0 έχει διακρίνουσα

∆ = −3 < 0 και συνεπώς δεν έχει πραγµατικές ρίζες. Άρα η h δεν είναι επί.

Ασκήσεις πάνω στις ακολουθίες: 6. Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις ακολουθίες : 2

i) u n = ( −1) n + 1, iii) u n =

sin( n) , n

1 (−1) n + 1, n

n = 0,1, 2, 3,.....

ii) u n =

n = 1, 2, 3,.....

iv) u n = n + 1 − n ,

n = 1, 2, 3,.....

n = 0,1, 2,....

Λύση:

i) Έχουµε lim(−1) n + 1 = 0 για n περιττό και lim(−1) n + 1 = 2 για n άρτιο. Άρα η n→∞

n→∞

ακολουθία δεν συγκλίνει.

1 ii) Έχουµε lim( (−1)n + 1) = 0 + 1 = 1 . n n →∞

sin n 1 = lim( sin n) = 0 , ως γινόµενο φραγµένης ακολουθίας ( sin n ) και n →∞ n →∞ n n 1 µηδενικής ( ). n

iii) Έχουµε lim

iv) Είναι: lim( n + 1 − n ) = lim(( n + 1 − n ) n →∞

n →∞

n +1 + n 1 ) = lim =0 n →∞ n +1 + n n +1 + n

7. Υπολογίστε τα κάτωθι όρια εξηγώντας τους συλλογισµούς σας:

{(

i lim n n →+∞

)}

⎧⎪ (3n 2 + 4n + 1) 4n + 3 ⎫⎪ n + 1 − n , ii lim ⎨ ⎬ , iii 2 n →+∞ ⎪⎩ (4n − 1) n + 1 ⎪⎭ 2

Λύση:

i. n

(

)

n2 + 1 − n = n

n2 + 1 − n2 n +1 + n 2

=

n n +1 + n 2

=

1 1 1 ⎯⎯⎯ → = . n →+∞ 1 1+ 0 +1 2 1+ 2 +1 n

3n 2 + 4n + 1 4n + 3 ⎪⎧ (3n 2 + 4n + 1) 4n + 3 ⎪⎫ lim ⎨ lim lim = = ⎬ 2 2 n →+∞ n →+∞ 4n − 1 n→+∞ n + 1 ⎩⎪ (4n − 1) n + 1 ⎭⎪ 1 1 ii 3+ 4⋅ + 2 n n lim 4 + (3 / n) = 3 4 = 3 = lim n →+∞ n →+∞ 1 1 + (1/ n) 4 2 4− 2 n

iii

3

⎡ ⎤ 1 1 ∆είξτε ότι lim ⎢ n + ( n + 1 − n )⎥ = . 2 n → +∞ ⎣ ⎦ 2

8. Λύση:

2

2

1 1 ( n + 1) − ( n ) 1 = n+ n + ( n +1 − n) = n + 2 2 2 n +1 + n

∆ιαιρούµε αριθµητή και παρονοµαστή µε

n +1− n = n +1 + n

1 2 . n +1 + n n+

=

n και παίρνουµε

1 1+ 0 1 2n → = . 1 1+ 0 +1 2 1+ +1 n 1+

9. Λύση:

4

10. ∆ίνεται η ακολουθία a1 = 1 , a2 = 0 και an + 2 = 3an +1 − 2an . Να βρεθεί ο γενικός όρος συναρτήσει του n. Λύση:

⎧an +1 = an +1 σε πινακική µορφή ως εξής: Γράφουµε το σύστηµα των σχέσεων ⎨ ⎩an + 2 = 3an +1 − 2an ⎛ an +1 ⎞ ⎛ 0 ⎟=⎜ ⎜a ⎝ n+ 2 ⎠ ⎝ − 2

Άρα

(αν

= ⎛⎜ −02 13 ⎞⎟ ⎝ ⎠

n −1

1 ⎞⎛ an ⎞ . 3 ⎟⎠⎜⎝ an +1 ⎟⎠

θέσουµε

n-1

αντί

⎛ an ⎞ ⎛ 0 ⎜a ⎟ = ⎜− 2 ⎝ n +1 ⎠ ⎝

n)

1 ⎞⎛ an −1 ⎞ = ⎛ 0 3 ⎟⎠⎜⎝ an ⎟⎠ ⎜⎝ − 2

2 1 ⎞ ⎛ an − 2 ⎞ = ⎟ 3 ⎠ ⎜⎝ an −1 ⎟⎠

⎛ a1 ⎞ ⎛ 0 1 ⎞n −1⎛ 1 ⎞ ⎜ a ⎟ = ⎜ − 2 3 ⎟ ⎜ 0 ⎟ . Εποµένως θα έχουµε βρεί το διάνυσµα ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ 2⎠ ⎝

άρα και το an , αν προηγουµένως βρούµε τη δύναµη ⎛⎜ −02 ⎝

1⎞ 3 ⎟⎠

n −1

=

⎛ an ⎞ ⎜a ⎟ , ⎝ n +1 ⎠

. Αυτό µπορεί να επιτευχθεί

αν ο πίνακας ⎛⎜ −02 13 ⎞⎟ είναι διαγωνίσιµος. ⎠ ⎝ Tο χαρακτηριστικό πολυώνυµο του ⎛⎜ −02 ⎝ και συνεπώς ο πίνακας ⎛⎜ −02 ⎝ ⎛⎜ 0 ⎝− 2

1 ⎞ είναι x − 1 = x 2 − 3x + 2 = = ( x − 1)( x − 2) 2 x−3 3 ⎟⎠

1 ⎞ είναι διαγωνίσιµος. Βρίσκουµε τώρα τα ιδιοδιανύσµατα του 3 ⎟⎠

1⎞ . 3 ⎟⎠

Έχουµε ⎛⎜ −02 13 ⎞⎟⎛⎜ xy ⎞⎟ = ⎛⎜ xy ⎞⎟ ⇔ x = y . Άρα ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί στην ιδιοτιµή 1 ⎠⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎞⎟ . Επίσης ⎛⎜ 0 1 ⎞⎟⎛⎜ x ⎞⎟ = ⎛⎜ 2 x ⎞⎟ ⇔ y = 2 x . Άρα ένα ιδιοδιάνυσµα που αντιστοιχεί είναι το ⎛⎜1 ⎝1⎠ ⎝ − 2 3 ⎠⎝ y ⎠ ⎝ 2 y ⎠ στην ιδιοτιµή 2 είναι το ⎛⎜ 12 ⎞⎟ . Άρα P −1 = ⎛⎜11 12 ⎞⎟ και εποµένως P = ⎛⎜ −21 −11⎞⎟ . Συνεπώς ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ ⎛⎜ 0 ⎝− 2

1 ⎞ = ⎛1 3 ⎟⎠ ⎜⎝1

1 ⎞ ⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 2 − 1⎞ και άρα 2 ⎟⎠ ⎜⎝ 0 2 ⎟⎠ ⎜⎝ − 1 1 ⎟⎠

⎛⎜ 0 ⎝− 2

1⎞ 3 ⎟⎠

n −1

= ⎛⎜11 ⎝

1⎞ 2 ⎟⎠

⎛ 1 0 ⎞ ⎛ 2 − 1⎞ ⎛⎜ 2 − 2n −1 − 1 + 2n −1 ⎞⎟ . ⎟= ⎜ n −1 ⎟ ⎜ n − 1 + 2n ⎟⎠ ⎝ 0 2 ⎠ ⎝ − 1 1 ⎠ ⎜⎝ 2 − 2 ⎛ a ⎞ Άρα ⎜ n ⎟ = ⎝ an +1 ⎠

⎛ 2 − 2n −1 − 1 + 2n −1 ⎞ ⎛ 1 ⎞ ⎛ 2 − 2n −1 ⎞ n −1 ⎜⎜ . n n ⎟⎟ ⎜⎝ 0 ⎟⎠ = ⎜⎜ n ⎟⎟ και εποµένως an = 2 − 2 −1+ 2 ⎠ ⎝ 2−2 ⎝ 2−2 ⎠

5

Ασκήσεις πάνω στις σειρές: α) Εξετάστε ως προς τη σύγκλιση τις ακόλουθες σειρές:

11.

2 n + 3n i) ∑ , n! n =0

n2

∞

∞

⎛3⎞ ii) ∑ 2 ⎜ ⎟ , iii) ⎝5⎠ n =0 n

∞

2n , ∑ 2 n =1 n

∞

iv)

∑ n =0

3

n2 +1 . n +1

β) Υπολογίστε τα αθροίσµατα: ∞

⎛ 2⎞ i) ∑ ⎜ − ⎟ 3⎠ n=0 ⎝

2n

και

ii)

∞

1

∑ (3n − 2)(3n + 1) . n =1

α)

2n + 3n ∞ 2n ∞ 3n = ∑ + ∑ . Εφαρµόζουµε το κριτήριο λόγου στις σειρές i) ∑ n! n =0 n =0 n ! n =0 n ! ∞

Παρατηρούµε ότι

∞

2n και ∑ n =0 n !

2n +1 /(n + 1)! 2 = lim = 0 < 1 και εποµένως η σειρά n n →+∞ n →+∞ n + 1 2 / n! lim

∞

συγκλίνει. Ο έλεγχος της σύγκλισης της σειράς

3n

∑ n!

∞

3n . ∑ n =0 n ! ∞

2n ∑ n=0 n !

είναι πανοµοιότυπος (και προκύπτει

n =0

2 n + 3n συγκλίνει. ∑ n! n =0 ∞

ότι και η σειρά αυτή συγκλίνει). Άρα η αρχική σειρά n

⎛3⎞ ii) Εφαρµόζουµε το κριτήριο ρίζας: lim 2 ⎜ ⎟ n →+∞ ⎝5⎠

n2

n

∞

⎛3⎞ 2 ⎜ ⎟ ∑ ⎝5⎠ n =0

⎡ ⎛ 3 ⎞n ⎤ = lim ⎢ 2 ⎜ ⎟ ⎥ = 0 < 1 . Άρα η σειρά n →+∞ ⎢⎣ ⎝ 5 ⎠ ⎥⎦

n2

συγκλίνει.

n

2

2n +1 /(n + 1)2 ⎛ n ⎞ = 2 lim ⎜ iii) Εφαρµόζουµε το κριτήριο λόγου: lim ⎟ = 2 > 1 και εποµένως 2 n n →+∞ n →+∞ 2 /n ⎝ n +1 ⎠ ∞

η σειρά

2n αποκλίνει. ∑ 2 n =1 n 3

iv) Παρατηρούµε ότι

n2 + 1 n2 / 3 n2 / 3 1 1 > ≥ = ⋅ για κάθε n > 0 . Εφόσον η σειρά n +1 n + 1 2n 2 n1/ 3

∞

1 ζ (1/ 3) = ∑ 1/ 3 αποκλίνει, έπεται ότι και η σειρά n =1 n

∞

∑ n =0

3

n2 +1 αποκλίνει. n +1

β) Υπολογίστε τα αθροίσµατα:

6

∞

⎛ 2⎞ i) ∑ ⎜ − ⎟ 3⎠ n=0 ⎝

2n

⎛4⎞ 1− ⎜ ⎟ n ∞ ⎛4⎞ ⎝9⎠ = ∑ ⎜ ⎟ = lim n →+∞ 4 n=0 ⎝ 9 ⎠ 1− 9

n +1

=

1 9 = . 5/9 5

a b 1 = + ⇒ 1 = a (3n + 1) + b(3n − 2) = (3a + 3b)n + a − 2b . (3n − 2)(3n + 1) 3n − 2 3n + 1

ii) Θέτουµε

⎧ a = 13 ⎧3a + 3b = 0 ⎧ a = −b Άρα ⎨ . ⇔⎨ ⇔⎨ 1 ⎩ a − 2b = 1 ⎩ −3b = 1 ⎩b = − 3 m 1 1 ⎞ 1⎛ 1 ⎞ ⎛ 1 1 = − ∑ ⎟ = 3 ⎜1 − ⎟. 3 ∑⎜ 3n + 1 ⎠ ⎝ 3m + 1 ⎠ n =1 (3n − 2)(3n + 1) n =1 ⎝ 3n − 2 m

Εποµένως

∞

m 1 1 ⎞ 1⎛ 1 ⎞ 1 ⎛ 1 1 Κατά συνέπεια ∑ = 3 lim ∑ ⎜ − ⎟ = 3 ⎜ 1 − mlim ⎟= . m →+∞ →+∞ 3n + 1 ⎠ 3m + 1 ⎠ 3 ⎝ n =1 (3n − 2)(3n + 1) n =1 ⎝ 3n − 2

12. Να εξεταστούν ως προς τη σύγκλιση οι σειρές: (α)

∞

∑

2n n!

n n =1 n

∞

⎛ n ⎞ ∑ ⎜⎝ n + 1 ⎟⎠ n =1

∞

∑

, (β)

n +1

n n =1 2

,

(γ)

∞

1 ∑ n! , n =1

(δ)

∞

n!

∑ n4 + 3

n =1

∞

(ε)

⎛ n ⎞ ∑ ⎜⎜ 1 + n2 ⎟⎟ ⎠ n =1⎝

2n

(στ)

n2

.

2n +1(n + 1)! Λύση: (α)

(n + 1) n +1 n

2 n! n

=

2(n + 1)n n (n + 1)

n

n +1

=2

1 2 → < 1 . Από το κριτήριο λόγου (d’ 1 e (1 + ) n n

Alembert) η σειρά συγκλίνει. n+2 n +1 1 n+2 (β) 2 = → < 1 και από το κριτήριο λόγου η σειρά συγκλίνει. n + 1 2(n + 1) 2 n 2

(γ)

1 (n + 1)! = 1 n!

n! = (n + 1)!

1 → 0 και από το κριτήριο λόγου η σειρά συγκλίνει. n +1

7

(n + 1)!

(δ)

n4 + 3 (n + 1) 4 + 3 = (n + 1) → 1 ⋅ (+∞) = +∞ > 1 και από το κριτήριο λόγου η σειρά n! (n + 1)4 + 3 n4 + 3

δεν συγκλίνει.

⎞ ⎟ 2⎟ ⎝1+ n ⎠

⎛ (ε) n ⎜⎜

n

2n

2

⎛ n ⎞ ⎟ → 02 = 0 < 1 και από το κριτήριο ρίζας του Cauchy η σειρά = ⎜⎜ 2⎟ ⎝1+ n ⎠

συγκλίνει.

⎛ n ⎞ (στ) n ⎜ ⎟ ⎝ n + 1⎠

n2

n

1 1 ⎛ n ⎞ → < 1 και από το κριτήριο ρίζας του Cauchy η =⎜ ⎟ = n e ⎝ n + 1⎠ ⎛ 1⎞ ⎜1 + ⎟ ⎝ n⎠

σειρά συγκλίνει. 13. Να εξεταστούν ως προς τη σύγκλιση µε το κριτήριο σύγκρισης ή διαφορετικά οι σειρές ∞

(α) ∑

cos 2 n

n =1 n

2

Λύση: (α) 0 ≤

∞

2 + cos n

n =1

3n

∑

(β)

cos 2 n n2

≤

1 n2

(γ)

∞

1

∑ 2n + n

(δ)

n =1

και η σειρά

∞

∞

n

∑ n2 + 3

n =1

∑

1

n =1 n

2

συγκλίνει. Άρα και η σειρά

∞

∑

cos 2 n

n =1 n

2

συγκλίνει. (β) 0 <

σειρά

1 n

3

≤

2 + cos n n

3

∞

2 + cos n

n =1

3n

∑

(γ) 0 <

1 2n + n

<

1 2n

≤

3 n

3

=

1 n −1

3

και η γεωµετρική σειρά

∞

1

∑ 3n −1

συγκλίνει. Άρα και η

n =1

συγκλίνει.

και η γεωµετρική σειρά

∞

1

∑ 2n

συγκλίνει. Άρα και η σειρά

n =1

∞

1

∑ 2n + n

n =1

συγκλίνει. ∞

∞ 1 n (δ) ∑ ≥∑ = ∑ = +∞ , άρα ∑ = +∞ . 2 2 2 n =1 n + 3 n =1 n n =1 n n =1 n + 3

n

∞

n

∞

14. Να υπολογισθεί το άθροισµα:

8

∞

2 + (−1) n

n =1

2n

∑

Λύση ∞

2 + (−1)n

n =1

2n

∑

=

∞

1

∞

(−1)n

n =1

2n

∑ 2n −1 + ∑

n =1

=

1 1− 1

2

+

−1

2 = 2−1 = 5 3 3 1+ 1 2

9