B.T.S 1 ère Année - Correction du devoir de Mathématiques 1. Trouver la partie réelle et imaginaire des nombres complexes suivants : 1 2i 2 − 1 − i 3 2 i 3 1 − i 2 x iy 2 ; z ; z où x, y ∈ R 2 z1 2 3 3 2 2 x i1 y − i 1 i − 1 2i 2 2i 3 Solution : z 1 22 − 5i ; z 2 − 31 − 12i ; 159 318 13 13 2 2 2 xx 2y y x y − 1 y 2 1 y i z3 x 2 1 y 2 x 2 1 y 2 2. On considère le complexe : u −2 2i a. Calculer le module et l’argument de u |u| 2 2 argu 3 4 b. Déterminer sous forme exponentielle , puis sous forme algébrique, le complexe z tel que : u z 4 2 cos 13 i sin 13 12 12 i On cherche z e tel que 2 2e
3i 4
e i 4 2 e
13i 12
2
3 4
13 12
3
d’où
z 2e i 3 1 i 3 c. En déduire les valeurs exactes de cos sin 12 uz −2 2i 1 i 3
13 12
et sin
4 2 cos 13 12
−2 − 2 3 4 2 cos 2 − 2 3 4 2 sin
13 12 13 12
puis celles de cos
12
i sin 13 12
cos
13 12
− cos
12
−1− 3
sin
13 12
− sin
12
1− 3
d’où
3. On donne le nombre complexe :
13 12
cos
12
1 3
sin
12
3 −1
2 2 2 2
2 2 2 2
et
−4i 2 i 6
Z
a. Déterminer le module et l’argument de Z |Z|
2 argZ 7 2k, k ∈ Z 6 b. En déduire le module et l’argument des nombres complexes u, tels que u 2 Z u2
2 ei
7 6
2k
d’où 1
|u| 2 4 argu 7 k, k ∈ Z 12 c’est-à-dire 1
u 2 4 e
7i 12
c. Calculer Z 6 Z6
2 ei
7 6
2k
6
8e i712k −8