Deux Variables
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View Deux Variables as PDF for free.
More details
- Words: 4,025
- Pages: 9
COURS PCSI
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
I) ESPACE R2 1) R2 est un R- espace vectoriel euclidien orienté. Voir cours sur les espaces vectoriel euclidiens. ³¡ ! ¡ !´ La base canonique est orthonormée directe. ! ! ¡ Le produit scalaire est noté simplement ¡ ¡ et la norme euclidienne k! k2 2) R2 est un R- espace a¢ne euclidien orienté. ¡ ¡! Ses éléments sont alors vus comme des points : si = ( ) et = ( ) = ( ¡ ¡ ) ° ° !° °¡¡ ° ° est simpli…é en 2
3) R2 est un R- espace vectoriel normé.p On a vu la norme euclidienne : k( )k2 = 2 + 2 , mais il y en a d’autres :
DEF : La norme ’sup’ ou ’in…nie’ est dé…nie par k( )k1 = sup (jj jj) = max (jj jj) La norme ’1’ est dé…nie par k( )k1 = jj + jj (on montre que ce sont bien des normes sur R2 (appelées les normes usuelles sur R2 ) Explication des notations kk121
³ ´1 Pour 0 la norme ’’ est dé…nie par k( )k = jj + jj : on peut montrer que c’est bien une norme, et que lim k( )k = k( )k1
!+1
4) R2 est un espace métrique.
DEF : une distance sur un ensemble est une application de 2 dans R+ véri…ant 8 2 ( ) = 0 , = ( ) = ( ) (propriété de symétrie) ( ) 6 ( ) + ( ) (inégalité triangulaire) un ensemble muni d’une distance est appelé un espace métrique. ! ! ! ! PROP : tout espace vectoriel normé est un espace métrique pour la distance dé…nie par (¡ ¡ ) = k¡ ¡¡ k Remarque : toute norme engendre donc une distance, mais une distance ne provient pas forcément d’une norme. R2 est donc muni de 3 distances usuelles 1 ( ) = j ¡ j + j ¡ j q 2 ( ) = ( ¡ )2 + ( ¡ )2 noté tout simplement
1 ( ) = max(j ¡ j j ¡ j) Sans indication, dans la suite, kk désignera la norme euclidienne. 5) R2 est un espace topologique.
Rappel : un intervalle du type ]0 ¡ 0 + [ avec 0 est appelé un voisinage de 0 2 R 1
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
COURS PCSI
DEF : un disque ouvert centré en 0 (0 ) = f 0 g est appelé un voisinage de 0 2 R2 DEF : on dit qu’une partie de R2 est ouverte si pour tout point de il existe un voisinage de inclus dans ; autrement dit si 8 2 9 0 8 2 R2 ) 2 EXEMPLES : (1) le plan tout entier et l’ensemble vide un disque ouvert le plan moins un point le plan moins une droite un demi-plan sans son bord le complémentaire d’une demi-droite fermée (i.e. contenant son extrémité). D1 PROP : (2) Toute réunion d’ouverts est un ouvert (3) toute intersection FINIE d’ouverts est un ouvert, mais cela peut être faux pour une intersection non …nie. D4 Coro : un carré ouvert,le complémentaire d’un ensemble …ni sont ouverts. CNS : est ouvert ssi c’est une réunion de disques ouverts. D3 On désigne plus généralement par espace topologique tout ensemble pour lequel on a décrété certaines parties "ouvertes", telles que soient exactes les propriétés (1) (2) (3) ci-dessus ; voici pourquoi on peut dire que R2 est un espace topologique. II) FONCTIONS DE R2 dans R limites et continuité. 1) Généralités. fonction de R2 dans R ; (( )) est simpli…é en ( ) = ensemble de dé…nition de de R2 ) 8 (partie ¯ 9 ¯ < ¯ = Surface représentative : = ¯¯ ( ) 2 et = ( ) d’équation cartésienne : = ( ) : ¯ ; EXEMPLES : E1 2) Limites
Dé…nition générale d’une limite : 1 et 2 sont deux espaces topologiques, une fonction de 1 dans 2 une partie de 0 un point adhérent à (c’est-à dire que tout voisinage de 0 rencontre ) un point de 2 Alors
() ! , 8 voisinage de 9 voisinage de 0 8 2 2 ) () 2 !0 2
Pour 1 = 2 = R, on retrouve bien la dé…nition
() ! , 8 0 9 0 8 2 j ¡ 0 j ) j () ¡ j !0 2
Pour 1 = R 2 = R, cas qui nous concerne ici, on obtient 2
( )
!
()!(0 0 ) ()2
, 8 0 9 0 8 ( ) 2 k( ¡ 0 ¡ 0 )k ) j ( ) ¡ j
2
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
COURS PCSI
k( ¡ 0 ¡ 0 )k pouvant être remplacé par l’une des 3 normes usuelles. PROP 1 : si elle existe, la limite est unique. On peut donc utiliser la notation : =
lim
()!(0 0 )
( )
()2
PROP 2 : limite restreinte si ½ et (0 0 ) 2
=
lim
()!(0 0 ) ()2
PROP 3 : opérations sur les limites si lim ( ) = 1 et lim ()!(0 0 )
()!(0 0 )
()2
()2
alors lim
()!(0 0 )
( ) ) =
lim
()!(0 0 )
( )
()2
( ) = 2
( + ) ( ) = 1 + 2
()2
lim
()!(0 0 )
() ( ) = 1 2
()2
si 2 6= 0
lim
()!(0 0 ) ()2
( ) =
1 2
si lim () = 3 ( fonction de R dans R) !1 2 ()
lim
()!(0 0 )
( ( )) = 3
()2
2 2 2 ( ) = ( ) ( ) = 2 + 2 4 + 2 2 + 2 1) n’admet pas de limite en (0 0) ceci bien que lim ( 0) = lim (0 ) = 0
Exemples : ( ) =
!0
!0
2) n’admet pas de limite en (0 0) ceci bien qu’elle admette pour limite 0 en (0 0) sur toute droite passant par (0 0) !! 3) lim = 0 (00)
D5
3) Continuité Dé…nition de la continuité : si (0 0 ) 2
est continue (C 0 ) en (0 0 ) ,
lim
()!(0 0 )
( ) = (0 0 )
, 8 0 9 0 8 ( ) 2 k( ¡ 0 ¡ 0 )k ) j ( ) ¡ (0 0 )j si ½ est continue sur si la restriction de à est continue en tout point de (c’est à dire
lim
()!(0 0 )
( ) =
()2
(0 0 ) pour (0 0 ) dans ) Exemples de base : toute fonction constante, et les deux fonctions coordonnées ( ) 7! et ( ) 7! sont continues sur R2 D6 PROP 4 : toute somme, produit, quotient, composées de fonctions continues est continue. D7 Corollaire : toute fonction telle que ( ) s’exprime algébriquement à l’aide de de constantes et des fonctions usuelles (sauf la partie entière) est continue sur son ensemble de dé…nition. 3
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
COURS PCSI E4 dé…nie par ( ) = ( ) =
et (0 0) = 0 est continue sur R2 nf(0 0)g mais pas sur R2 par contre dé…nie par 2 + 2
2 et (0 0) = 0 est continue sur R2 + 2
2
D8 III) DÉRIVATION 1) Dérivées partielles. DEF : fonction de R2 dans R ; (0 0 ) 2
est dérivable (partiellement) par rapport à la première variable en (0 0 ) si la fonction partielle
dérivable en 0 autrement dit, si
½
R!R est ! ( 0 )
(0 + 0 ) ¡ (0 0 ) tend vers une limite …nie qd ! 0 Notations : lim
!0
(0 + 0 ) ¡ (0 0 )
= 10 (0 0 ) = 1 ( ) (0 0 ) = 0 (0 0 ) =
(0 0 )
De même, lim
!0
(0 0 + ) ¡ (0 0 )
= 20 (0 0 ) = 2 ( ) (0 0 ) = 0 (0 0 ) =
(0 0 )
EXEMPLES E5 ATTENTION : la dérivabilité partielle par rapport aux deux variables en un point n’entraine pas la continuité en ce point ! et (0 0) = 0 Exemple : dé…nie par ( ) = 2 + 2 D9 2) Dérivée suivant un vecteur, dérivabilité dans une direction. ! DEF : 0 = (0 0 ) 2 ¡ = ( ) 2 R2 ! ! est dérivable suivant le vecteur ¡ en 0 si la fonction d’une variable 7! (0 + ¡ ) est dérivable en 0 autrement dit, si (0 + 0 + ) ¡ (0 0 ) tend vers une limite …nie qd ! 0 (0 + 0 + ) ¡ (0 0 ) 0 ! Notations : lim = ! (0 0 ) = ¡ (0 0 ) ¡ ( ) (0 0 ) = ¡ !0 ! Remarque : cette notion généralise celle de dérivée partielle, en e¤et = ! et = ! ¡ ¡ 4
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
COURS PCSI
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
D10 Exemple : E6 ¡ ¡ PROP : si est dérivable en 0 suivant ! elle est dérivable suivant tout vecteur colinéaire à ! et ! ¡ ¡ (0 0 ) = ! (0 0 )
¡ on dit donc que est dérivable ”dans la direction de ! . D11 ¡ ! ! ¡ ! ¡ ¡ ATTENTION : l’application ! ! 7 (¡ ) = ! (0 0 ) véri…e ( ) = ( ) mais elle n’est pas forcément linéaire ; 3 et (0 0) = 0 exemple : dé…nie par ( ) = 2 + 2 On va voir que cette fonction sera quand même forcément linéaire si est de classe 1 3) Fonction de classe C1 DEF : ouvert inclus dans est de classe 1 sur si 1. est dérivable partiellement par rapport aux deux variables en tout point de 2. les deux dérivées partielles ( ) 7! ( ) et ( ) 7! ( ) sont continues sur TH Fondamental Si 1. 2. 3.
est de classe 1 sur , alors est continue sur est dérivable dans toute les directions en tout point de ! Si ( ) 2 et ¡ = ( ) 2 R2 ( ) = ( ) + ( ) ! ¡
¡ (l’application ! ! 7 ( ) est donc linéaire pour tout point ( ) de ) ! ¡ ¡ ( ) = ( ) + ( ) s’appelle la di¤érentielle de en DEF : dans ce cas la forme linéaire ! = ( ) 7! ¡ ! ( ) notée () ! Autrement dit : ¡ ( ) = () (¡ ) = ( ) + ( ) ! ! Le vecteur ¡ est souvent noté ( ) ce qui donne : () ( ) =
( ) + ( )
Notations simpli…ées pratiques, mais abusives :
= ( ) = +
(ceci explique pourquoi les dérivées partielles doivent impérativement s’écrire avec des ronds). PROP : di¤érentielle d’une somme, d’un produit, d’un quotient et d’une composée :
5
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
COURS PCSI
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
Si et sont de classe 1 sur alors + , et
(si jamais nulle sur ) aussi et
( + )() = () + () ( )() = ( )() + ( )() µ ¶ ( ) () ¡ ( ) () = () 2 ( ) si de plus : R ! R est de classe 1 sur () ± est de classe 1 sur et ( ± )() = 0 (( )) () en simpli…é : (1 + 2 ) = 1 + 2 ( µ 1 2¶) = 1 2 + 2 1 2 1 ¡ 1 2 1 = 2 22 =
EXEMPLES : E7 4) Développements limités. DEF : : R2 ! R, (0 0 ) 2 ; possède un développement limité à l’ordre 1 en (0 0 ) s’il existe deux réels et tels que (0 + 0 + ) = (0 0 ) + + +
()!(00)
(k( )k)
(0 0 ) et = (0 0 ) ; par contre l’existence des deux dérivées partielles n’entraîne pas l’existence d’un DL1 (exemple : toujours 2 ) + 2 Remarque : si le DL1 existe, alors =
D 12 TH : si est 1 sur admet un DL à l’ordre 1 en tout point de Exemple : E8 5) Plan tangent et gradient. DEF : si est 1 sur 0 = (0 0 ) 2 0 = (0 0 ) alors le plan d’équation = 0 +
(0 0 ) ( ¡ 0 ) + (0 0 ) ( ¡ 0 )
est le plan au point 0 = (0 0 0 ) ; c’est le plan passant par 0 et orthogonal µ tangent à la surface représentative ¶ 3 au vecteur (0 0 ) (0 0 ) ¡1 de R CORO : la courbe de niveau 0 d’équation ( ) = 0 dans R2 a une tangente orthogonale au vecteur en 0 ”D”13 6
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
µ
(0 0 ) (0 0
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
COURS PCSI DEF : le vecteur
µ
¶ ¡¡! (0 ) (0 ) (s’il existe) est appelé le gradient de en 0 ; notation 0
¡¡! ! ! Remarque 1 : on a donc, sur un ouvert où est 1 : (¡ ) = ¡ ce qui , en simpli…é, donne : ¡¡! ¡ ! = Remarque 2 : le gradient en est toujours orthogonal à la courbe de niveau passant par 6) Dérivées partielles des composées. a) Dérivée de ( ( )) Données : : R2 ! R, 1 sur : R ! R, 1 sur ( ) = ± ; alors ( ) = ( ) = Soit, en simpli…é : si ( ) = () = = = D14 b) Dérivée de (() ()) Données : et : R ! R, 1 sur : R2 ! R, 1 sur contenant les (() ()) pour 2 () = (() ()) ; alors 0 () = 1 (() ()) 0 () + 2 (() ()) 0 () soit, en simpli…é, en posant () = () = ( ) = : = + D15 c) Dérivées partielles de (( ) ( )) Données : et : R2 ! R, 1 sur : R2 ! R, 1 sur contenant les (( ) ( )) pour ( ) 2 ( ) = (( ) ( )) ; alors 1 ( ) = 1 (( ) ( )) 1 ( ) + 2 (( ) ( )) 1 ( ) soit, en simpli…é, en posant ( ) = ( ) = ( ) = : = + D16 7) Dérivées d’ordres supérieurs.
7
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
COURS PCSI
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
DEF : si 1 sont des entiers égaux à 1 ou 2, 1 = 1 ± ± par exemple, pour = 2 ¶ 2 n otations ± = 11 = = 002 ()2 µ ¶ 2 n otations 00 = ± = 12 = = µ ¶ 2 n otations 00 = ± = 21 = = µ ¶ 2 notations = ± = 22 = = 002 ()2
(1 ± 1 )
=
(1 ± 2 ) (2 ± 1 ) (2 ± 2 )
µ
EXEMPLE : E8 DEF : est de classe sur un ouvert si toutes les dérivées partielles de jusqu’à l’ordre inclus existent et sont continues sur TH : toute somme, produit, quotient, composée de fonctions de classe est de classe THÉORÈME de SCHWARZ : 00 00 Si est de classe 2 sur un ouvert les deux dérivées partielles 12 = et 21 = sont égales sur
”D”17 : ceci revient à démontrer la ”simple” interversion de limites suivante : ( + + ) ¡ ( + ) ¡ ( + ) + ( ) ( + + ) ¡ ( + ) ¡ ( + ) + ( ) lim lim !0 !0
lim lim
!0 !0
=
COROLLAIRE : si est de classe sur les 1 ne dépendent pas de l’ordre des D’où la notation : 11 22 =
1
()
2
()
avec 1 + 2 =
Question : combien existe-t-il donc de dérivées partielles ”distinctes” à l’ordre ? 8) Extremums. DEF : fonction de R2 dans R ; (0 0½) 2 ½ maximum absolu (ou global) sur On dit que possède (ou présente) un en (0 0 ) si minimum absolu (ou global) sur ½ 6 8 ( ) 2 ( ) (0 0 ) > ½ ½ maximum (local) maximum absolu sur un voisinage de (0 0 ) On dit que possède un en (0 0 ) si à possède un minimum (local) minimum absolu sur un voisinage de (0 0 ) en (0 0 ) autrement dit, s’il existe 0 tel que ½ 6 8 ( ) 2 (j ¡ 0 j et j ¡ 0 j ) ) ( ) (0 0 ) > 8
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
COURS PCSI
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
”extremum” signi…e ”minimum” ou ”maximum” La valeur du maximum ou du minimum est alors (0 0 ) On dé…nit aussi la notion d’extremum strict par 8 ( ) 2 n f(0 0 )g ( )
½
(0 0 )
TH : si les deux dérivées partielles de existent en (0 0 ) et si (0 0 ) est intérieur à (c’est-à dire s’il existe un voisinage de (0 0 ) inclus dans ) alors présente un extremum en (0 0 ) sur ¡¡! (c’est-à dire, si est de classe 1 (0 0 )
) =
(0 0 ) = (0 0 ) = 0 ! ¡ 0 ou (0 0 ) = 0 )
D18 ATTENTION: 1) La réciproque est fausse : exemples: ( ) = (cas d’un ”col” ou ”point-selle”), ou ( ) = 3 (cas d’un ”palier”). D19 2) Une fonction peut très bien avoir un extremum p - en un point où elle n’a pas ses deux dérivées partielles : exemples : ( ) = 2 + 2 ou ( ) = jj - en un point de la "frontière" de : exemple : ( ) = 2 + 2 et : 2 + 2 6 1
DEF : si est de classe 1 sur un ouvert les points critiques de sur sont les points où la di¤érentielle de s’annule. REM : est un point critique ssi le plan tangent en à la surface est horizontal. On sait donc que les points de où est extrémale sont à rechercher parmi les points critiques. Pour savoir si un point critique (0 0 ) correspond à un extremum, on étudie le signe de (0 + 0 + ) ¡ (0 0 ) au voisinage de (0 0) ¡ ¢ E9 : ( ) = ( ¡ ) ¡ 2
9
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
I) ESPACE R2 1) R2 est un R- espace vectoriel euclidien orienté. Voir cours sur les espaces vectoriel euclidiens. ³¡ ! ¡ !´ La base canonique est orthonormée directe. ! ! ¡ Le produit scalaire est noté simplement ¡ ¡ et la norme euclidienne k! k2 2) R2 est un R- espace a¢ne euclidien orienté. ¡ ¡! Ses éléments sont alors vus comme des points : si = ( ) et = ( ) = ( ¡ ¡ ) ° ° !° °¡¡ ° ° est simpli…é en 2
3) R2 est un R- espace vectoriel normé.p On a vu la norme euclidienne : k( )k2 = 2 + 2 , mais il y en a d’autres :
DEF : La norme ’sup’ ou ’in…nie’ est dé…nie par k( )k1 = sup (jj jj) = max (jj jj) La norme ’1’ est dé…nie par k( )k1 = jj + jj (on montre que ce sont bien des normes sur R2 (appelées les normes usuelles sur R2 ) Explication des notations kk121
³ ´1 Pour 0 la norme ’’ est dé…nie par k( )k = jj + jj : on peut montrer que c’est bien une norme, et que lim k( )k = k( )k1
!+1
4) R2 est un espace métrique.
DEF : une distance sur un ensemble est une application de 2 dans R+ véri…ant 8 2 ( ) = 0 , = ( ) = ( ) (propriété de symétrie) ( ) 6 ( ) + ( ) (inégalité triangulaire) un ensemble muni d’une distance est appelé un espace métrique. ! ! ! ! PROP : tout espace vectoriel normé est un espace métrique pour la distance dé…nie par (¡ ¡ ) = k¡ ¡¡ k Remarque : toute norme engendre donc une distance, mais une distance ne provient pas forcément d’une norme. R2 est donc muni de 3 distances usuelles 1 ( ) = j ¡ j + j ¡ j q 2 ( ) = ( ¡ )2 + ( ¡ )2 noté tout simplement
1 ( ) = max(j ¡ j j ¡ j) Sans indication, dans la suite, kk désignera la norme euclidienne. 5) R2 est un espace topologique.
Rappel : un intervalle du type ]0 ¡ 0 + [ avec 0 est appelé un voisinage de 0 2 R 1
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
COURS PCSI
DEF : un disque ouvert centré en 0 (0 ) = f 0 g est appelé un voisinage de 0 2 R2 DEF : on dit qu’une partie de R2 est ouverte si pour tout point de il existe un voisinage de inclus dans ; autrement dit si 8 2 9 0 8 2 R2 ) 2 EXEMPLES : (1) le plan tout entier et l’ensemble vide un disque ouvert le plan moins un point le plan moins une droite un demi-plan sans son bord le complémentaire d’une demi-droite fermée (i.e. contenant son extrémité). D1 PROP : (2) Toute réunion d’ouverts est un ouvert (3) toute intersection FINIE d’ouverts est un ouvert, mais cela peut être faux pour une intersection non …nie. D4 Coro : un carré ouvert,le complémentaire d’un ensemble …ni sont ouverts. CNS : est ouvert ssi c’est une réunion de disques ouverts. D3 On désigne plus généralement par espace topologique tout ensemble pour lequel on a décrété certaines parties "ouvertes", telles que soient exactes les propriétés (1) (2) (3) ci-dessus ; voici pourquoi on peut dire que R2 est un espace topologique. II) FONCTIONS DE R2 dans R limites et continuité. 1) Généralités. fonction de R2 dans R ; (( )) est simpli…é en ( ) = ensemble de dé…nition de de R2 ) 8 (partie ¯ 9 ¯ < ¯ = Surface représentative : = ¯¯ ( ) 2 et = ( ) d’équation cartésienne : = ( ) : ¯ ; EXEMPLES : E1 2) Limites
Dé…nition générale d’une limite : 1 et 2 sont deux espaces topologiques, une fonction de 1 dans 2 une partie de 0 un point adhérent à (c’est-à dire que tout voisinage de 0 rencontre ) un point de 2 Alors
() ! , 8 voisinage de 9 voisinage de 0 8 2 2 ) () 2 !0 2
Pour 1 = 2 = R, on retrouve bien la dé…nition
() ! , 8 0 9 0 8 2 j ¡ 0 j ) j () ¡ j !0 2
Pour 1 = R 2 = R, cas qui nous concerne ici, on obtient 2
( )
!
()!(0 0 ) ()2
, 8 0 9 0 8 ( ) 2 k( ¡ 0 ¡ 0 )k ) j ( ) ¡ j
2
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
COURS PCSI
k( ¡ 0 ¡ 0 )k pouvant être remplacé par l’une des 3 normes usuelles. PROP 1 : si elle existe, la limite est unique. On peut donc utiliser la notation : =
lim
()!(0 0 )
( )
()2
PROP 2 : limite restreinte si ½ et (0 0 ) 2
=
lim
()!(0 0 ) ()2
PROP 3 : opérations sur les limites si lim ( ) = 1 et lim ()!(0 0 )
()!(0 0 )
()2
()2
alors lim
()!(0 0 )
( ) ) =
lim
()!(0 0 )
( )
()2
( ) = 2
( + ) ( ) = 1 + 2
()2
lim
()!(0 0 )
() ( ) = 1 2
()2
si 2 6= 0
lim
()!(0 0 ) ()2
( ) =
1 2
si lim () = 3 ( fonction de R dans R) !1 2 ()
lim
()!(0 0 )
( ( )) = 3
()2
2 2 2 ( ) = ( ) ( ) = 2 + 2 4 + 2 2 + 2 1) n’admet pas de limite en (0 0) ceci bien que lim ( 0) = lim (0 ) = 0
Exemples : ( ) =
!0
!0
2) n’admet pas de limite en (0 0) ceci bien qu’elle admette pour limite 0 en (0 0) sur toute droite passant par (0 0) !! 3) lim = 0 (00)
D5
3) Continuité Dé…nition de la continuité : si (0 0 ) 2
est continue (C 0 ) en (0 0 ) ,
lim
()!(0 0 )
( ) = (0 0 )
, 8 0 9 0 8 ( ) 2 k( ¡ 0 ¡ 0 )k ) j ( ) ¡ (0 0 )j si ½ est continue sur si la restriction de à est continue en tout point de (c’est à dire
lim
()!(0 0 )
( ) =
()2
(0 0 ) pour (0 0 ) dans ) Exemples de base : toute fonction constante, et les deux fonctions coordonnées ( ) 7! et ( ) 7! sont continues sur R2 D6 PROP 4 : toute somme, produit, quotient, composées de fonctions continues est continue. D7 Corollaire : toute fonction telle que ( ) s’exprime algébriquement à l’aide de de constantes et des fonctions usuelles (sauf la partie entière) est continue sur son ensemble de dé…nition. 3
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
COURS PCSI E4 dé…nie par ( ) = ( ) =
et (0 0) = 0 est continue sur R2 nf(0 0)g mais pas sur R2 par contre dé…nie par 2 + 2
2 et (0 0) = 0 est continue sur R2 + 2
2
D8 III) DÉRIVATION 1) Dérivées partielles. DEF : fonction de R2 dans R ; (0 0 ) 2
est dérivable (partiellement) par rapport à la première variable en (0 0 ) si la fonction partielle
dérivable en 0 autrement dit, si
½
R!R est ! ( 0 )
(0 + 0 ) ¡ (0 0 ) tend vers une limite …nie qd ! 0 Notations : lim
!0
(0 + 0 ) ¡ (0 0 )
= 10 (0 0 ) = 1 ( ) (0 0 ) = 0 (0 0 ) =
(0 0 )
De même, lim
!0
(0 0 + ) ¡ (0 0 )
= 20 (0 0 ) = 2 ( ) (0 0 ) = 0 (0 0 ) =
(0 0 )
EXEMPLES E5 ATTENTION : la dérivabilité partielle par rapport aux deux variables en un point n’entraine pas la continuité en ce point ! et (0 0) = 0 Exemple : dé…nie par ( ) = 2 + 2 D9 2) Dérivée suivant un vecteur, dérivabilité dans une direction. ! DEF : 0 = (0 0 ) 2 ¡ = ( ) 2 R2 ! ! est dérivable suivant le vecteur ¡ en 0 si la fonction d’une variable 7! (0 + ¡ ) est dérivable en 0 autrement dit, si (0 + 0 + ) ¡ (0 0 ) tend vers une limite …nie qd ! 0 (0 + 0 + ) ¡ (0 0 ) 0 ! Notations : lim = ! (0 0 ) = ¡ (0 0 ) ¡ ( ) (0 0 ) = ¡ !0 ! Remarque : cette notion généralise celle de dérivée partielle, en e¤et = ! et = ! ¡ ¡ 4
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
COURS PCSI
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
D10 Exemple : E6 ¡ ¡ PROP : si est dérivable en 0 suivant ! elle est dérivable suivant tout vecteur colinéaire à ! et ! ¡ ¡ (0 0 ) = ! (0 0 )
¡ on dit donc que est dérivable ”dans la direction de ! . D11 ¡ ! ! ¡ ! ¡ ¡ ATTENTION : l’application ! ! 7 (¡ ) = ! (0 0 ) véri…e ( ) = ( ) mais elle n’est pas forcément linéaire ; 3 et (0 0) = 0 exemple : dé…nie par ( ) = 2 + 2 On va voir que cette fonction sera quand même forcément linéaire si est de classe 1 3) Fonction de classe C1 DEF : ouvert inclus dans est de classe 1 sur si 1. est dérivable partiellement par rapport aux deux variables en tout point de 2. les deux dérivées partielles ( ) 7! ( ) et ( ) 7! ( ) sont continues sur TH Fondamental Si 1. 2. 3.
est de classe 1 sur , alors est continue sur est dérivable dans toute les directions en tout point de ! Si ( ) 2 et ¡ = ( ) 2 R2 ( ) = ( ) + ( ) ! ¡
¡ (l’application ! ! 7 ( ) est donc linéaire pour tout point ( ) de ) ! ¡ ¡ ( ) = ( ) + ( ) s’appelle la di¤érentielle de en DEF : dans ce cas la forme linéaire ! = ( ) 7! ¡ ! ( ) notée () ! Autrement dit : ¡ ( ) = () (¡ ) = ( ) + ( ) ! ! Le vecteur ¡ est souvent noté ( ) ce qui donne : () ( ) =
( ) + ( )
Notations simpli…ées pratiques, mais abusives :
= ( ) = +
(ceci explique pourquoi les dérivées partielles doivent impérativement s’écrire avec des ronds). PROP : di¤érentielle d’une somme, d’un produit, d’un quotient et d’une composée :
5
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
COURS PCSI
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
Si et sont de classe 1 sur alors + , et
(si jamais nulle sur ) aussi et
( + )() = () + () ( )() = ( )() + ( )() µ ¶ ( ) () ¡ ( ) () = () 2 ( ) si de plus : R ! R est de classe 1 sur () ± est de classe 1 sur et ( ± )() = 0 (( )) () en simpli…é : (1 + 2 ) = 1 + 2 ( µ 1 2¶) = 1 2 + 2 1 2 1 ¡ 1 2 1 = 2 22 =
EXEMPLES : E7 4) Développements limités. DEF : : R2 ! R, (0 0 ) 2 ; possède un développement limité à l’ordre 1 en (0 0 ) s’il existe deux réels et tels que (0 + 0 + ) = (0 0 ) + + +
()!(00)
(k( )k)
(0 0 ) et = (0 0 ) ; par contre l’existence des deux dérivées partielles n’entraîne pas l’existence d’un DL1 (exemple : toujours 2 ) + 2 Remarque : si le DL1 existe, alors =
D 12 TH : si est 1 sur admet un DL à l’ordre 1 en tout point de Exemple : E8 5) Plan tangent et gradient. DEF : si est 1 sur 0 = (0 0 ) 2 0 = (0 0 ) alors le plan d’équation = 0 +
(0 0 ) ( ¡ 0 ) + (0 0 ) ( ¡ 0 )
est le plan au point 0 = (0 0 0 ) ; c’est le plan passant par 0 et orthogonal µ tangent à la surface représentative ¶ 3 au vecteur (0 0 ) (0 0 ) ¡1 de R CORO : la courbe de niveau 0 d’équation ( ) = 0 dans R2 a une tangente orthogonale au vecteur en 0 ”D”13 6
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
µ
(0 0 ) (0 0
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
COURS PCSI DEF : le vecteur
µ
¶ ¡¡! (0 ) (0 ) (s’il existe) est appelé le gradient de en 0 ; notation 0
¡¡! ! ! Remarque 1 : on a donc, sur un ouvert où est 1 : (¡ ) = ¡ ce qui , en simpli…é, donne : ¡¡! ¡ ! = Remarque 2 : le gradient en est toujours orthogonal à la courbe de niveau passant par 6) Dérivées partielles des composées. a) Dérivée de ( ( )) Données : : R2 ! R, 1 sur : R ! R, 1 sur ( ) = ± ; alors ( ) = ( ) = Soit, en simpli…é : si ( ) = () = = = D14 b) Dérivée de (() ()) Données : et : R ! R, 1 sur : R2 ! R, 1 sur contenant les (() ()) pour 2 () = (() ()) ; alors 0 () = 1 (() ()) 0 () + 2 (() ()) 0 () soit, en simpli…é, en posant () = () = ( ) = : = + D15 c) Dérivées partielles de (( ) ( )) Données : et : R2 ! R, 1 sur : R2 ! R, 1 sur contenant les (( ) ( )) pour ( ) 2 ( ) = (( ) ( )) ; alors 1 ( ) = 1 (( ) ( )) 1 ( ) + 2 (( ) ( )) 1 ( ) soit, en simpli…é, en posant ( ) = ( ) = ( ) = : = + D16 7) Dérivées d’ordres supérieurs.
7
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
COURS PCSI
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
DEF : si 1 sont des entiers égaux à 1 ou 2, 1 = 1 ± ± par exemple, pour = 2 ¶ 2 n otations ± = 11 = = 002 ()2 µ ¶ 2 n otations 00 = ± = 12 = = µ ¶ 2 n otations 00 = ± = 21 = = µ ¶ 2 notations = ± = 22 = = 002 ()2
(1 ± 1 )
=
(1 ± 2 ) (2 ± 1 ) (2 ± 2 )
µ
EXEMPLE : E8 DEF : est de classe sur un ouvert si toutes les dérivées partielles de jusqu’à l’ordre inclus existent et sont continues sur TH : toute somme, produit, quotient, composée de fonctions de classe est de classe THÉORÈME de SCHWARZ : 00 00 Si est de classe 2 sur un ouvert les deux dérivées partielles 12 = et 21 = sont égales sur
”D”17 : ceci revient à démontrer la ”simple” interversion de limites suivante : ( + + ) ¡ ( + ) ¡ ( + ) + ( ) ( + + ) ¡ ( + ) ¡ ( + ) + ( ) lim lim !0 !0
lim lim
!0 !0
=
COROLLAIRE : si est de classe sur les 1 ne dépendent pas de l’ordre des D’où la notation : 11 22 =
1
()
2
()
avec 1 + 2 =
Question : combien existe-t-il donc de dérivées partielles ”distinctes” à l’ordre ? 8) Extremums. DEF : fonction de R2 dans R ; (0 0½) 2 ½ maximum absolu (ou global) sur On dit que possède (ou présente) un en (0 0 ) si minimum absolu (ou global) sur ½ 6 8 ( ) 2 ( ) (0 0 ) > ½ ½ maximum (local) maximum absolu sur un voisinage de (0 0 ) On dit que possède un en (0 0 ) si à possède un minimum (local) minimum absolu sur un voisinage de (0 0 ) en (0 0 ) autrement dit, s’il existe 0 tel que ½ 6 8 ( ) 2 (j ¡ 0 j et j ¡ 0 j ) ) ( ) (0 0 ) > 8
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
COURS PCSI
13. FONCTIONS DE 2 VARIABLES R. FERRÉOL 04/05
”extremum” signi…e ”minimum” ou ”maximum” La valeur du maximum ou du minimum est alors (0 0 ) On dé…nit aussi la notion d’extremum strict par 8 ( ) 2 n f(0 0 )g ( )
½
(0 0 )
TH : si les deux dérivées partielles de existent en (0 0 ) et si (0 0 ) est intérieur à (c’est-à dire s’il existe un voisinage de (0 0 ) inclus dans ) alors présente un extremum en (0 0 ) sur ¡¡! (c’est-à dire, si est de classe 1 (0 0 )
) =
(0 0 ) = (0 0 ) = 0 ! ¡ 0 ou (0 0 ) = 0 )
D18 ATTENTION: 1) La réciproque est fausse : exemples: ( ) = (cas d’un ”col” ou ”point-selle”), ou ( ) = 3 (cas d’un ”palier”). D19 2) Une fonction peut très bien avoir un extremum p - en un point où elle n’a pas ses deux dérivées partielles : exemples : ( ) = 2 + 2 ou ( ) = jj - en un point de la "frontière" de : exemple : ( ) = 2 + 2 et : 2 + 2 6 1
DEF : si est de classe 1 sur un ouvert les points critiques de sur sont les points où la di¤érentielle de s’annule. REM : est un point critique ssi le plan tangent en à la surface est horizontal. On sait donc que les points de où est extrémale sont à rechercher parmi les points critiques. Pour savoir si un point critique (0 0 ) correspond à un extremum, on étudie le signe de (0 + 0 + ) ¡ (0 0 ) au voisinage de (0 0) ¡ ¢ E9 : ( ) = ( ¡ ) ¡ 2
9
PDF created with pdfFactory trial version www.pdffactory.com
