Determinant

Applications multilinéaires Exercice 1

Soient F et G deux sous-espaces vectoriels supplémentaires d’un K -espace vectoriel E . Soient f une forme linéaire sur E , p la projection vectorielle sur F parallèlement à G et q = Id− p sa projection complémentaire. Montrer que l’application ϕ : E ×E → K définie par ϕ (x , y ) = f (p (x )) f (q (y )) − f (p (y )) f (q (x )) est une forme bilinéaire alternée sur E .

Déterminant d’un endomorphisme Exercice 2

Soient E un ℝ -espace vectoriel de dimension finie et f un endomorphisme de E vérifiant

f 2 = − Id . Montrer que dim E est pair. Exercice 3

Soit V = {x ֏ ex P (x ) | P ∈ ℝ n [X ]} . a) Montrer que V est un sous-espace vectoriel de F ( ℝ, ℝ ) dont on déterminera la dimension. b) Montrer que l’application D : f ֏ f ′ est un endomorphisme de V dont on calculera le déterminant.

Exercice 4

Soient n ∈ ℕ∗ , E un K -espace vectoriel de dimension n , f ∈ L(E ) et B = (e1 ,...,en ) une base n

de E . Montrer que pour tout (x1 ,..., x n ) ∈ E n :

∑ det (x ,..., f (x B

1

j

),..., x n ) = tr( f ) det B (x1 ,..., x n ) .

j =1

Déterminant d’une matrice Exercice 5

Soit A = (ai , j ) ∈ Mn (ℂ) . On note A = (ai , j ) ∈ Mn (ℂ) . Former une relation liant det(A) et det A .

Exercice 6

Soit A ∈ Mn (ℂ) telle que t A = A . Montrer que det A ∈ ℝ .

Exercice 7

Soit A une matrice antisymétrique d’ordre 2n + 1 . Montrer que det A = 0 . Ce résultat est-il encore vrai lorsque A est d’ordre pair ?

Exercice 8

Comparer det(ai , j ) et det((−1)i + j ai , j ) où (ai , j )1≤i , j ≤n ∈ Mn (K ) .

Calcul de déterminants Exercice 9

Calculer sous forme factorisée les déterminants suivants : 0 a b a b c a) a 0 c b) c a b b c 0 b c a

a a d) a a

a b b b

a b c c

a b c d

a c e) c b

c a b c

c b a c

b c c a

a +b b +c c +a 2 2 2 2 c) a + b b + c c 2 + a 2 a 3 +b 3 b 3 + c 3 c 3 + a 3 1 f) cos a sin a

1 1 cos b cos c . sin b sin c

Exercice 10 Soient a1 , …, an ∈ ℂ . Calculer det(a max(i , j ) ) . En déduire det(max(i , j )) et det(min(i , j )) .

a 2 ⋯ an ⋱ ⋱ ⋮ ⋱ a2

a1 Exercice 11 Soient a1 , a 2 , …, an ∈ K . Calculer

S1 S1 S1 S 2 Exercice 12 Soit n ∈ ℕ∗ . Calculer S1 S 2 ⋮ ⋮ S1 S 2 Exercice 13 Calculer de deux façons :

S1 S2 S3 ⋮ S3

a1 ⋯ ⋯ ⋯ ⋱ ⋯

a1

S1 S2 S3 ⋮ Sn

k

où pour tout 1 ≤ k ≤ n on a : Sk = ∑ i i =1

a −b c −d . b a d c

a b c d    −b a −d c   avec a ,b ,c ,d ∈ ℝ . Exercice 14 Soit A =  a −b  −c d −d −c b a  a) Calculer t A.A . En déduire det A . b) Soient a ,b ,c ,d ,a ′,b ′,c ′, d ′ ∈ ℝ . Montrer qu’il existe a ′′,b ′′,c ′′,d ′′ ∈ ℝ tels que : (a 2 + b 2 + c 2 + d 2 )(a ′ 2 + b ′ 2 + c ′ 2 + d ′ 2 ) = a ′′ 2 + b ′′ 2 + c ′′ 2 + d ′′ 2 .

Exercice 15 Soient A, B ∈ Mn ( ℝ ) . a) Montrer que

A B = det(A + B ) det(A − B ) . B A

b) Justifier que

A −B ≥0 . B A

λ1 + x b +x Exercice 16 Soient a ≠ b et λ1 , λ2 ,..., λn . On pose ∆n (x ) = ⋮ b +x

a +x ⋯ λ2 + x ⋱ ⋱ ⋱ ⋯ b +x

a +x ⋮ . a +x λn + x [n ]

a) Montrer que ∆n (x ) est une fonction affine de x . b) Calculer ∆n (x ) et en déduire ∆n (0) .

Calcul par relation de récurrence 0 1 ⋯ 1 −1 ⋱ ⋱ ⋮ Exercice 17 Calculer en établissant une relation de récurrence : Dn = ⋮ ⋱ ⋱ 1 −1 ⋯ −1 0 0 1 ⋯ 1 1 ⋱ ⋱ ⋮ Exercice 18 Calculer en établissant une relation de récurrence : Dn = ⋮ ⋱ ⋱ 1 1 ⋯ 1 0 1 ⋯ Exercice 19 Calculer en établissant une relation de récurrence : Dn = ⋮ ⋱

1

0

1

0 1

. [n ]

[n ]

[n ]

2 1 ⋯ 1 1 3 ⋱ ⋮ Exercice 20 Calculer en établissant une relation de récurrence Dn = . ⋮ ⋱ ⋱ 1 1 ⋯ 1 n + 1 [n ] n 1 On exprimera le résultat à l’aide des termes de la suite (H n ) avec H n = ∑ . k k =1

a +b b ⋯ b a ⋱ ⋱ ⋮ Exercice 21 Calculer en établissant une relation de récurrence : Dn = ⋮ ⋱ ⋱ b a ⋯ a a +b

C 10 C 11 C Exercice 22 Calculer Dn =

C C

0 2 0 3 0 4

C C C

1 2 1 3 1 4

⋮

0 C C C

2 2 2 3 2 4

⋯ ⋯

0

0

⋮

C C

3 3 3 4

⋱

⋮

⋱

0

. [n ]

n  n! en notant C nk =   = . k   k !(n − k )!

⋱ C nn−−11

C n0 C n1 C n2 C n3 ⋯ C nn −1 C 00 C 11 ⋯ C nn C 0 C 21 ⋯ C nn+1 Exercice 23 Calculer Dn +1 = 1 ⋮ ⋮ ⋮ C n0 C n1 +1 ⋯ C 2nn

[n ]

n  n! en notant par C nk =   = . k  k !(n − k )! [n +1]

Déterminants tridiagonaux 2a a 0 a ⋱ ⋱ Exercice 24 Calculer Dn = pour a ∈ K . ⋱ ⋱ a 0 a 2a

1+ x 2 x x ⋱ ⋱ Exercice 25 Soient x ∈ ℂ et n ∈ ℕ∗ . Calculer Dn = ⋱ ⋱

0

x

0 x

.

1+ x 2

2cos θ 1 1 ⋱ ⋱ Exercice 26 Soient θ ∈ ℝ et n ∈ ℕ . Calculer Dn = 1 ⋱ 1 1 2cos θ [n ] ∗

a + b ab 1 ⋱ ⋱ Exercice 27 Soient a ,b ∈ ℂ∗ distincts. Calculer Dn = . ⋱ ⋱ ab 1 a +b

Système de Cramer Exercice 28 Soient a ,b , c et d des éléments de K deux à deux distincts. Résoudre sur K les systèmes suivants :   x +y +z =1 x +y +z = 1   a)  ax + by + cz = d b)   ax + by + cz = d  2  3 2 2 2 3 3 3 a x + b y + c z = d a x + b y + c z = d

 x + y + z = a 2 Exercice 29 Résoudre  x + jy + j z = b en fonction de a ,b ,c ∈ ℂ .  2 x + j y + jz = c  x + ay + a 2z = 0  Exercice 30 Résoudre   ax + y + az = 0 en fonction de a ∈ ℂ .  2 a x + ay + z = 0 Exercice 31 Soient a ,b ,c ∈ ℂ distincts. x + ay + a 2z = a 3  a) Résoudre : x + by + b 2z = b 3 en introduisant : P = X 3 − (x + yX + zX 2 )  2 3 x + cy + c z = c x + ay + a 2z = a 4  b) Même question pour x + by + b 2z = b 4  2 4 x + cy + c z = c

Exploitation de déterminants Exercice 32 Soient E un K -espace vectoriel de dimension 3 et B = (e1 ,e 2 ,e3 ) une base de E .

 3 −2 −3  Soit f l’endomorphisme de E dont la matrice dans B est A = −2 6 6  .  2 −2 −2 a) Pour quelles valeurs de λ , a-t-on det (A − λI 3 ) = 0 ?

1 0 0  b) Déterminer une base C = (ε1 , ε2 , ε3 ) de E telle que Mat C ( f ) = 0 2 0 .  0 0 4 Exercice 33 Soient n ∈ ℕ∗ , A ∈ GLn ( ℝ ) et B ∈ Mn ( ℝ ) . Montrer qu’il existe ε > 0 tel que : ∀x ∈ [−ε, ε ], A + xB ∈ GLn ( ℝ ) .

Comatrice Exercice 34 Soit A = (ai , j ) une matrice carrée d’ordre n à coefficients dans ℤ . a) Justifier que det A ∈ ℤ . b) Montrer que l’inverse de A existe et est à coefficients entiers si et seulement si det A = ±1 .

Exercice 35 Soient n un entier supérieur à 2 et A ∈ Mn (K ) .

rg(A) = n  a) Etablir rg(A) = n −1  rg(A) ≤ n − 2

⇒ rg (com(A)) = n ⇒ rg (com(A)) = 1 . ⇒ rg (com(A)) = 0 n −1

b) Montrer que det (com(A)) = (det A)

.

c) En déduire com (com(A)) .

Calcul de rang 1 α 0    ⋱ ⋱   ∈ M (ℂ) . Exercice 36 Soient α ∈ ℂ et M =  n 1 α  0 α 0 1  a) Calculer det M . b) Déterminer, en fonction de α le rang de M .

a b   Exercice 37 Soient a ,b ∈ ℂ . Déterminer, en fonction de a et b le rang de la matrice M (a ,b ) =  ⋱  .  b a  david Delaunay http://mpsiddl.free.fr