Deter Min Antes

1 DETERMINANTES a11 x1 + a12 x 2 = b1 Considere o sistema  , resolvendo-o, supondo possível as operações, a 21 x1 + a 22 x 2 = b2 obtemos: X 1 =

b2 ⋅ a11 − b1 ⋅ a 21 b1 ⋅ a 22 − b2 ⋅ a12 e X2 = a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a21 a11 ⋅ a 22 − a12 ⋅ a 21

Observe que os denominadores são iguais e estão associados à matriz dos coeficientes do  a11 a12  sistema   a 21 a 22  a11 x1 + a12 x 2 + a13 x3 = b1  Num sistema 3 x 3 a 21 x1 + a 22 x 2 + a 23 x3 = b2 , os denominadores dos valores de x1, x2,  a31 x1 + a32 x2 + a33 x3 = b3 e x3 são iguais a:

a11 a22 a33+ a12 a23 a31 + a13 a21 a32 – a11 a23 a32 – a12 a21 a33– a13 a22 a31, que  a11 a12 a13    está associado à matriz dos coeficientes do sistema A = a 21 a 22 a 23  .  a31 a32 a33  Este número, que aparece nos denominadores das soluções do sistema, associados às matrizes quadradas, são casos particulares do que é chamado determinante de uma matriz quadrada. O determinante, ou seja, o número associado a uma matriz quadrada A=[a i j]mxm será representada por: det A ou A ou det [ai j]. 1º) Se A é de ordem n = 1, então det M é o único elemento de A ou seja A = [a 11] ⇒ det A = a11 Ex: A = [a5] ⇒ det A = 5 B = [4] ⇒ 4 = 4 C = [-3] ⇒ det C = -3 Propriedades: 1º) O det A = 0 quando todos os elementos de uma linha, ou coluna, forem nulos. 2º) det A = det At 3º) Se multiplicarmos uma linha por uma constante, o determinante fica multiplicado por esta constante. 4º) Uma vez trocada a posição de duas linhas, o determinante troca o sinal. 5º) O determinante de uma matriz que tem duas linhas, ou colunas, iguais, é iguais a zero.

6º) O determinante não se altera se somarmos a uma linha outra linha multiplicada por uma constante. *Filas paralelas proporcionais det A = 0. 7º) De modo geral det ( A + B) ≠ det A + det B 8º) det ( A . B ) = det A . det B. 1.1

Menor Complementar

Seja uma matriz quadrada A, de ordem n elemento ai j, indicado por Ai j ou Di j, suprimindo a linha i e a coluna j de A.  4 − 3 − 4 1  1 5  A11 = D11 Ex: a) A =  2 3 − 3 3 2  1.2

≥ 2, e aij um elemento de A. O Cofator do é o determinante da matriz que se obtém, 5 2

= −13

 − 3 − 4 A21 = D21  = +6 2  3

Cofator ou Complemento Algébrico

Seja uma matriz quadrada A, de ordem n ≥ 2. Definimos cofator do elemento ai j, indicamos por ∆ i j ou Ai j, como sendo o número ∆ =(−1) ⋅ D i j

 2 3 − 2   Exemplo: A: 1 4 8  7 5 3 

1.3

i +j

i j

4 8  1 8 ∆11 = (−1)1+1 =  = −28 ∆12 = (−1)1+ 2 =    = 53 5 3 7 3

Cálculo de Determinantes de Ordem “n”

Teorema Fundamental (De Laplace) O determinante de uma matriz M, de ordem n ≥ 2, é a soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer (linha ou coluna), pelos respectivos cofatores.

Escolhendo uma coluna

Então det A = a1 j ⋅ ∆1 j + a 2 j ⋅ ∆ 2 j +  + a n j ⋅ ∆ n j

det An x n = ai 1 ⋅ ∆ i 1 +  + ai n ⋅ ∆ i n Assim, temos:

n

= ∑ ai j ⋅ ∆ i j j =1

Obs: Quanto mais zeros haver em uma fila, mais fácil será o cálculo do det. Ex:  2 −1 2 −1 1+ 2 =− = −2 ∆12 = (−1) = − 2 2 − 2 2   1 3 ⇒ ∆ 22 = (−1) 2+ 2 =8 −2 2   1 3 ∆ 32 = (−1) 3+ 2 =7 2 −1  det A = A = (-2) (+2) + 1 . 8 + (-1) . 7 = -3 1 −2 3 1 −2 3 1 −2 2 1 − 1 = 2 1 − 1 = 1 ⋅ (−1) 3+3 ⋅ =5 2 1 − 2 −1 2 0 0 1

Exercícios de Determinantes I) Calcule os seguintes determinantes:

1)

− 3 −1 1 = 2 2

2)

13 7 = 11 5

3)

−4 2 = 4 −2

4)

1 3 = 1 3

1 3 2 6) − 1 0 − 2 = 2 5 1

−3 1 7 7) 2 1 − 3 = 5 4 2

0 a c 8) − c 0 b = a b 0

0 2 −3 9) 0 5 3 = 0 4 1

0 0 0 10) 5 6 7 = 8 9 10

2 3 4 11) − 1 − 2 5 = 2 3 4

5 −1 5 12) 6 0 6 = 7 2 7

2 0 −1 2 = 13) 3 0 4 −3 7

1 1 0 5) 0 1 0 = 0 1 1

−1 4 14) −1 2

2 3 −4 2 0 0 = 2 −3 0 5 3 1

4 −1 3 0 1 2 17) 2 − 3 4 5 3 −1 −3 2 −4 II)

3 5 15) 0 −1

4 2 1 0 −1 − 2 = 0 4 0 0 3 3 x a l 18) m b a

2 5 3 −1 2 0 = 4 2 1 5

0 0 0 y 0 0 p z 0 n p x c d e b c d

1 3 16) 2 0 0 0 0 0 y e

3 1 3 2

2 0 0 1

0 2 = 1 3

0 0 0 = 0 0 z

Determine “x” tal que :

1 x x a) 2 2 x 1 = 0 3 x +1 1 Respostas: I) 5) 1 6) –9 II) a) x = 1/2

1 x 1 b) 1 − 1 x = 0 1 −x 1

7) –40

8) b(a2-c2)

b) x = 0 ou x = 1

9) 10) 11) 12)= 0

14) 372

18) x2y2z2